Exercícios: Probabilidade / Variáveis aleatórias
1. A probabilidade de um atirador A acertar um alvo é 1/2. A probabilidade de um atirador B acertar o alvo é 1/3. Se cada um
deles dispara 5 tiros, qual a probabilidade
a) de o atirador A não acertar nenhum tiro?
b) de o alvo não ser atingido por nenhum deles?
c) de um único tiro acertar o alvo?
2. Seja 0,2 a probabilidade de o nível de poluição do ar em certa região ultrapassar o limite de segurança. Qual a probabilidade de
tal ocorrência 7 dias em um mês de 30 dias? Qual o número médio de dias “insalubres”em um mês de 30 dias?
3. Os carros chegam independentemente a um cruzamento. Supondo que em média, 25% dos carros virem à esquerda e que a pista
de virada tenha capacidade para 5 carros, qual a probabilidade de a capacidade da pista de virada ser atingida, quando 10 carros
ficam retidos por um sinal vermelho?
4. Um supermercado faz a seguinte promoção: o cliente, ao passar pelo caixa, lança um dado. Se saírem faces 1 ou 6, o cliente tem
um desconto de 25% sobre o total de sua conta. Se saírem faces 4 ou 5, o desconto é de 15%. Se ocorrerem faces 2 ou 3, o
desconto é de 5%.
a) Calcular a probabilidade de que num grupo de 10 clientes, ao menos um consiga um desconto maior que 10 %
Calcular a probabilidade de que o quarto cliente seja o primeiro a conseguir 25%. Em média, qual é o desconto concedido?
5. Cada controlador de tráfego aéreo em um aeroporto tem a responsabilidade de orientar n máximo 20 decolagens e aterrisagem
por hora. Durante determinado período, a taxa média de decolagens e ateriisagens é de uma a cada dois minutos. Admitindo que
as chegadas e partidas sejam variáveis de Poisson, determine a probabilidade de serem necessários dois controladores naquele
período de tempo.
6. O número de partículas emitidas por uma fonte radioativa, durante um período especificado é uma v.a. com distribuição de
Poisson. Se a probabilidade de não haver emissões for igual a 1/3, qual é a probabilidade de que 2 ou mais emissões ocorram?
7. Cinco casais compram 10 lugares consecutivos na mesma linha de um teatro. Sentam-se aleatoriamente. Calcule a probabilidade
de que (a) sentem-se de modo que dois do mesmo sexo, não fiquem lado a lado (b) as mulheres sentem-se juntas.
8. Um telefone recebe chamadas a uma taxa de 0,25 por hora. Qual a probabilidade de em 4 horas receber (a) no máximo 2 (b)
exatamente 3 (c) no máximo 3 chamadas?
9. Um vendedor de automóveis sabe que o número de carros vendidos por dia em sua loja comporta-se como uma v.a. de Poisson
cuja média é 2 nos dias de tempo bom, e é 1 nos dias chuvosos. Se em 70% dos dias faz tempo bom, qual é a probabilidade de
que em certo dia do ano sejam vendidos pelo menos 3 automóveis?
10. A probabilidade de um atirador A acertar um alvo é 1/2. De B acertar é 1/3. Se cada um deles dispara 5 tiros, qual é a
probabilidade de (a) A não acertar nenhum tiro? (b) a acertar no máximo 2? (c) o alvo não ser atingido por nenhum atirador? (d)
um único tiro acertar o alvo?
11. Suponha que n componentes, que funcionem independentemente, sejam ligados em série. Admita que a duração até falhar, de
cada componente, seja normalmente distribuída, com média de 50 horas e desvio-padrão de 5 horas.
(a) Se n=4, qual a probabilidade de que o sistema ainda esteja a funionar depois de 52 horas de operação?
(b) Se n componentes forem instalados em paralelo, qual deverá ser o valor de n, para que a probabilidade de falhar durante as
primeiras 55 horas seja aproximadamente igual a 0,01?
12. Um industrial tem duas alternativas para a venda de seu produto, que é fornecido em lotes de 500 peças cada.
O comprador A, que paga R$8,00 por peça e não exige nenhum ensaio.
O comprador B, que, para cada lote recebido, retira uma amostra de 10 peças ao acaso e as examina: se todas forem perfeitas,
paga R$5000,00 pelo lote; se entre 10 houver uma defeituosa, paga R$4000,00 pelo lote; e se entre as 10 houver duas ou mais
peças defeituosas, paga apenas R$2500,00 pelo lote.
Sabendo o industrial ser de 10% a porcentagem de peças defeituosas que produz, qual a melhor a.lternativa para a venda de seu
produto?
13. De vinte xícaras de café, quinze são preparadas começando com água fria e cinco começando com água quente. Depois de
provar todas as vinte xícaras, um provador escolhe cinco que supõe sejam aquelas cujo preparo se iniciou com água quente.
Qual é a probabilidade de que, se sua seleção for feita meramente ao acaso, escolha um grupo contendo quatro ou cinco que
efetivamente foram preparadas com água quente?
14. Suponha que 100 tiros independentes são disparados contra um alvo e que a probabilidade de acerto é 0,25. Seja X o número
total de acertos nestes 100 ensaios e Y o número de tiros certos nos primeiros 50 ensaios. Encontre P(Y=k | X=j).
15. Um lote de 50 caixas com 30 unidades de abacaxi deve ser totalmente rejeitado ou vendido, dependendo do resultado do
seguinte procedimento: 20 unidades são escolhidas ao acaso e inspecionadas. Se dez ou mais estiverem com o pH abaixo do
especificado, isto é, se as frutas forem consideradas ácidas, o lote será rejeitado; caso contrário, será aceito. Suponha que cada
caixa custa R$ 15,00 e seja vendida por R$ 20,00. Se cada caixa contiver 2 abacaxis ácidos, qual será o lucro médio do
produtor para o lote?
16. As concentrações de poluentes causadas por uma fonte de poluição podem ter como modelo a fdp (a>0)
f (r )  0
r0
 ae ar
r0
onde R é a distância da fonte. Determine o raio da região dentro da qual se concentram 95% dos poluentes.
17. Como é mais econômico limitar as chamadas telefônicas interurbanas a três minutos, a função de distribuição de X, duração
dessas chamadas em minutos, pode tomar a forma
F ( x)  0
x0
 1  e x / 3
0 x 3
1
 1  e x / 3
2
x3
Determine a probabilidade de X (a) ser superior a dois minutos, (b) estar compreendida entre dois e seis minutos.
18. O tempo de prateleira de um iogurte é uma v.a. exponencialmente distribuída, com vida média de 20 dias. Calcule:
a) A probabilidade de um iogurte durar mais de 25 dias
b) Suponha que quatro desses iogurtes foram selecionados ao acaso de uma caixa e reservados para um teste sobre a validade do
produto, qual a probabilidade de que dentre esses quatro dois deles não estejam em condições de consumo após 25 dias?
c) Determine o parâmetro λ da distribuição exponencial, considerando que a probabilidade de um iogurte selecionado ao acaso
durar mais de 30 dias seja igual a 0,1.
19. Suponha que uma pessoa esteja aguardando numa fila para o caixa eletrônico de um banco. Seja X, o tempo gasto até a pessoa
concluir sua operação, uma v.a. exponencialmente distribuída com parâmetro , f(x)= e-x para >0.
Seja Y a v.a. inteira definida em termos de X por: Y=m se mX<m+1, onde m é um inteiro não negativo. Calcule P[Y=3|Y>2].
20. A duração de vida de um satélite é uma v.a. exponencialmente distribuída, com duração da vida esperada igual a 1,5 anos. Se
três desses satélites forem lançados simultaneamente, qual será a prob. de que ao menos dois ainda venham a estar em órbita
depois de 2 anos?
21. Suponhamos que o vão de uma porta em construção deve ser utilizado por um tipo de pessoas cujas alturas são normalmente
distribuídas com média 1,80 m e desvio padrão de 8 cm. Qual a altura mínima do vão da porta para determinar que não mais de
2% das pessoas batam com a cabeça na porta? Se o vão da porta tiver 1,90 m de altura, que porcentagem da população baterá
com a cabeça na porta caso não se abaixe? Encontre os quartis para a altura das pessoas.
22. Suponha que T a duração até falhar de uma peça, seja normalmente distribuída com E(T)=90 horas e desvio-padrão 5 horas.
Quantas horas de operação deverão ser consideradas, a fim de se achar uma confiabilidade de 0,90; 0,95; 0,99?
23. Uma clínica de emagrecimento recebe pacientes adultos com peso seguindo uma distribuição Normal de média 130 kg e desvio
padrão de 20 kg. Para efeito de determinar o tratamento mais adequado, os 25% dos pacientes de menor peso são classificados
de “magros”, enquanto os 25% de maior peso de “obesos”. Determine os valores que delimitam cada uma dessas classificações.
24. Suponha que em um processo de secagem de uvas são utilizadas uvas cuja distribuição é aproximadamente normal com média
3,3cm e desvio padrão de 0,3cm. Uma amostra de 50 uvas é selecionada ao acaso e classificada antes de submetidas ao
processamento da seguinte forma:
normal: cujo diâmetro chega até 3,8cm e extra: para uvas com diâmetro acima de 3,8cm. Determine:
(a) qual a probabilidade de serem encontradas pelo menos duas uvas de tamanho extra na amostra?
(b) se o custo para processar uma batelada de 50 uvas de tamanho normal for de R$2,00 e no caso da extra for de R$2,40,
qual o custo médio no processamento da batelada?
25. Uma empresa de engarrafamento de refrigerantes mantém registros sobre o número de garrafas não aceitas pelas máquinas de
engarrafamento e fechamento. Com base em dados do passado, a probabilidade de que uma garrafa venha da máquina I e não
esteja de acordo com os padrões é 0,01, e a probabilidade de que a garrafa venha da máquina II e não esteja de acordo com os
padrões é de 0,025. Metade das garrafas é abastecida na máquina I e a outra metade é abastecida na máquina II. Se uma garrafa
for escolhida aleatoriamente, qual é a probabilidade de que ela seja uma garrafa dentro dos padrões? Sabendo-se que: 1. o custo
de uma garrafa fora das especificações é de R$0,48; 2. que uma caixa contém 24 unidades; 3. que cada garrafa é vendida a R$
0,90, qual o lucro médio por caixa?