RESULTADOS DE UMA INVESTIGAÇÃO SOBRE A APRENDIZAGEM DE
ALGUNS CONCEITOS ALGÉBRICOS E GEOMÉTRICOS
Ms. Cristiane Fernandes de Souza-UFRN
[email protected]
Dr. Francisco Peregrino Rodrigues Neto-UFRN
[email protected]
RESUMO
O presente trabalho mostra os resultados de uma avaliação diagnóstica sobre a
aprendizagem de alguns conceitos algébricos e geométricos. Tal estudo faz
parte de uma pesquisa que está sendo desenvolvida a nível de Doutorado, e
tem por objetivo geral a aplicação de um módulo de ensino para um estudo de
manipulações algébricas nas fórmulas de área de polígonos e a obtenção da
fórmula para a área do círculo. A avaliação diagnóstica foi aplicada em 51
alunos da 8ª série do Ensino Fundamental de uma escola particular de
Natal/RN. A análise dos dados mostrou que, de modo geral, os alunos não
apresentaram domínio no conhecimento sobre os conceitos algébricos e
geométricos que são abordados na pesquisa.
Palavras-chave: Álgebra; Geometria; Ensino/aprendizagem.
1. Apresentação
A pesquisa de Doutorado que está sendo desenvolvida consiste numa
intervenção metodológica para aplicação de um módulo de atividades de
ensino, fundamentado em Dienes (1974), Dokweiller (1992, apud RODRIGUES
NETO, 1998, p. 28-29) e Fossa (2001), com base em teoria construtivista
(PIAGET
1995)
do
ensino
de
Matemática,
que
visa
promover
o
ensino/aprendizagem de conceitos geométricos e algébricos para alunos das 8ª
séries do Ensino Fundamental. A intervenção metodológica contempla também
fases de avaliação (ver GIL, 1993; LAVILLE e DIONNE, 1999). Foi aplicada
uma avaliação diagnóstica inicial, com 8 questões subjetivas ilustradas (ver
SOUZA, C., NETO, F. SOUZA, C., NETO, F. Resultados de uma Investigação sobre a Aprendizagem de alguns
Conceitos Algébricos e Geométricos . In Anais do SIPEMAT. Recife, Programa de Pós-Graduação em EducaçãoCentro de Educação – Universidade Federal de Pernambuco, 2006, 8p.
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anexo), com o objetivo de investigar os conhecimentos dos alunos sobre os
conceitos geométricos e algébricos, referentes ao objeto de estudo de nossa
pesquisa, a serem abordados no módulo de atividades de ensino (cf MIRAS e
SOLÉ, 1996). O presente trabalho apresenta uma síntese de resultados dos
dados coletados na avaliação diagnóstica de uma turma 51 alunos de uma 8ª
série de uma escola tradicional de grande porte da rede particular de ensino de
Natal/RN, aplicada em Novembro/2005.
Os conceitos geométricos investigados foram: medida de segmentos,
perímetro e área de polígonos obtidos com suas fórmulas, além de
comprimento da circunferência e área do círculo. Nos conceitos algébricos, as
questões tratam da escrita simbólica de expressões matemáticas para
perímetro e área de figuras planas, resolução de equações do 1° grau e
propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição. As questões
tratam da determinação de valores numéricos e da obtenção de expressões
simbólicas para perímetro e área de polígonos. Em algumas o aluno deve
expressar sua opinião baseado em observação como, por exemplo, a
comparação entre o comprimento da circunferência (e a área do círculo), e o
perímetro (e área) do hexágono regular inscrito e circunscrito ao mesmo círculo
(circunferência), com base nos cálculos realizados.
2. Sobre a análise das respostas dos alunos
A análise e interpretação das respostas dessa avaliação se baseiam na
teoria de Skemp (1980) sobre a compreensão de conceitos matemáticos, que o
autor categoriza em Compreensão Instrumental e Compreensão Relacional.
Dito de modo resumido, na Compreensão Instrumental o aluno se limita a
realizar cálculos matemáticos que utilizem a aplicação direta de fórmulas ou
conceitos, sem uma maior reflexão sobre os mesmos. Já na Compreensão
Relacional, o aluno ao responder uma questão estabelece relações entre seus
esquemas mentais, buscando associar conceitos e obter conclusões através da
reflexão sobre os conhecimentos adquiridos. O objetivo é categorizar o nível de
compreensão dos alunos quanto aos conteúdos da avaliação. Para proceder a
análise segundo essa teoria, estabelecemos critérios de julgamento das
respostas dos alunos de acordo com os objetivos determinados para cada
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Conceitos Algébricos e Geométricos . In Anais do SIPEMAT. Recife, Programa de Pós-Graduação em EducaçãoCentro de Educação – Universidade Federal de Pernambuco, 2006, 8p.
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questão da avaliação diagnóstica. Além disso, para subsidiar esse julgamento,
entrevistamos 13 alunos, para melhor compreender seu pensamento sobre os
procedimentos e respostas encontradas nas avaliações.
3. Resultados
Os resultados a seguir são apresentados de uma forma bastante
sucinta, mas sem discutir objetivo e critérios de julgamento das questões
devido a limitação do número de páginas estabelecida para esse trabalho.
De acordo com os objetivos e os critérios estabelecidos para análise das
respostas da 1ª questão, concluímos que nenhum aluno se encontra em nível
de compreensão relacional sobre a aplicação da propriedade distributiva no
cálculo da área do retângulo. Alguns se encontrariam entre o nível de
compreensão instrumental e o relacional, pois mesmo tendo escrito
corretamente duas formas diferentes de calcular a área do retângulo, não
demonstraram segurança sobre a propriedade distributiva. Notamos ainda que
muitos alunos não explicitaram o símbolo de igualdade (=) nos seus cálculos, o
que não os classifica sequer no nível instrumental e indica a necessidade de
trabalhar as propriedades da igualdade. Cerca de 10% deixou em branco.
Para a 2ª questão julgamos que os alunos que encontraram o valor
aproximado de 28 quadradinhos, sem os questionamentos da entrevista (aprox.
8%), se encontram no nível de compreensão relacional quanto a obtenção de
uma medida aproximada da área do círculo. Já os que também chegaram a
essa resposta, mas com mediação, demonstraram que o uso de uma fórmula
faz mais sentido para eles do que uma contagem de quadradinhos;
consideramos que estão no nível de compreensão instrumental. O número de
respostas em branco nessa questão alcançou 25% dos alunos.
Na 3ª questão 32% dos alunos conseguiram encontrar o valor da
incógnita apenas no primeiro caso, enquanto 24% determinaram o valor da
incógnita nos dois casos. Entretanto, dessa porcentagem, não foram todos os
alunos que conseguiram escrever uma equação do 1° grau. Alguns escreveram
mas não resolveram a equação. Cerca 24% dos alunos realizaram cálculos
incorretos. Entre esses cálculos incorretos realizados, notamos que alguns
alunos estabeleceram uma proporção entre os segmentos em cada caso. Vinte
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por cento dos alunos deixaram essa questão sem resposta. Nesse caso em
compreensão relacional podem ser categorizados 17% dos alunos. O restante
que conseguiu encontrar o valor da incógnita nos dois casos ou apenas no
primeiro, estaria em compreensão instrumental, pois não conseguiram
transferir a relação observada entre as medidas dos segmentos no 1° caso e
no 2° caso para expressar uma relação simbólica entre os segmentos.
Na 4ª questão 37% dos alunos encontraram o valor correto para o
comprimento do retângulo e seu perímetro. Os procedimentos mais comuns
foram: (i) usar uma letra para representar a medida do comprimento do
retângulo, encontrando seu valor e calculando o valor do perímetro; (ii) dividir a
medida da área pela da altura, obter o comprimento e calcular o perímetro.
Também nessa questão nem todos esses alunos explicitaram em linguagem
simbólica a relação entre a área do retângulo, a medida da altura e a medida
do comprimento, bem como para o cálculo do perímetro. Mais uma vez, o
símbolo de igualdade (=) não foi explicitado para estabelecer as relações.
Nessa 4ª questão apenas cerca de 6% do total de alunos fizeram os
procedimentos esperados. Como demonstraram compreensão do problema e
habilidade para resolvê-lo, julgamos que estão no nível de compreensão
relacional. Quanto aos outros que também encontraram os valores corretos e
demonstraram compreensão do problema proposto, mas sem no entanto
expressar seus procedimentos matemáticos simbolicamente, classificamos o
conhecimento no nível de transição entre o instrumental e o relacional,
Na 5ª questão cerca de 10% dos alunos conseguiram escrever a fórmula
para área do trapézio corretamente, substituir os valores e calcular a medida da
base maior corretamente. Outros 16% substituíram os valores certos, mas
erraram na equação. Erros comuns: distributividade, simplificações, e
igualdade. Noutras expressões o valor da área não foi substituído. Outros 43%
não conseguiram resolver essa questão por erros desse e outros tipos. Dos
cinco alunos (10%) que realizaram os procedimentos corretos, 3 explicitaram a
unidade de medida cm na base maior. Classificamos apenas esses alunos no
nível de compreensão relacional. Os outros dois se encontrariam num nível de
transição entre o instrumental e o relacional. Em compreensão instrumental
classificamos 16%. Respostas em branco: 31%.
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Conceitos Algébricos e Geométricos . In Anais do SIPEMAT. Recife, Programa de Pós-Graduação em EducaçãoCentro de Educação – Universidade Federal de Pernambuco, 2006, 8p.
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Na 6ª questão, 16% dos alunos escreveram corretamente a sentença
matemática para área do paralelogramo, 6% para o triângulo e 2% para a área
do círculo. Eles explicitaram o símbolo de igualdade e escreveram cada
sentença na forma mais simples. A porcentagem de erros de escrita incorreta
foi: paralelogramo (29%); triângulo (29%); e círculo (47%). Os erros mais
comuns para essas sentenças escritas incorretamente foram: usar a fórmula do
paralelogramo no triângulo e vice-versa; fórmula do círculo sem π. Alguns
tentaram usar a fórmula do trapézio no paralelogramo, o que é possível porque
o paralelogramo é um trapézio de bases iguais, porém sem sucesso.
Uma outra observação é que houve respostas em que os valores foram
substituídos na fórmula, mas sem expressar a igualdade: paralelogramo (4%) e
triângulo (12%). Notamos que alguns alunos desconsideraram que havia uma
incógnita em uma das dimensões de cada figura e encontrou um valor para a
área, ou desconsiderou que a área é um valor desconhecido e encontrou um
valor para a incógnita. Respostas em branco: paralelogramo (24%); triângulo
(14%) e círculo (47%).
Categorizamos no nível de compreensão relacional os alunos que
escreveram as sentenças matemáticas corretamente. Os que não escreveram
as sentenças na forma mais simples se encontrariam no nível de transição,
pois realizaram as substituições corretamente e expressaram a igualdade. Já
os alunos que não expressaram o sinal de igualdade, mesmo que tenham
escrito na forma mais simples, estariam no nível de compreensão instrumental,
pois não compreendem a relação de dependência entre as variáveis,
confundindo a fórmula com uma expressão algébrica (sem a igualdade).
Na 7ª questão o índice de respostas corretas foi encontrado apenas no
cálculo do perímetro do hexágono regular (22%). Nenhum aluno conseguiu
determinar a área do hexágono. Na entrevista eles não souberam como
calcular essa área sem a fórmula da área do hexágono regular inscrito. Cerca
de35% dos alunos realizaram procedimentos incorretos no cálculo do perímetro
e 45% no cálculo da área do hexágono. Apenas dois alunos apresentaram um
entendimento sobre o cálculo da área do hexágono, mas ambos ao substituir o
valor da altura do triângulo, escreveram o valor
3 , e não o valor do apótema.
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Conceitos Algébricos e Geométricos . In Anais do SIPEMAT. Recife, Programa de Pós-Graduação em EducaçãoCentro de Educação – Universidade Federal de Pernambuco, 2006, 8p.
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As respostas em branco foram: 43% para o cálculo do perímetro do hexágono
e 55% para o cálculo da área.
Dos alunos entrevistados, observamos que no cálculo do perímetro do
hexágono apenas um deles justificou a medida do lado do hexágono ser igual
ao raio da circunferência. Os outros usaram essa propriedade sem segurança.
Concluímos que apenas um aluno estaria no nível de compreensão relacional,
enquanto os outros que fazem parte de 22% estariam entre os dois níveis de
compreensão. Sobre o cálculo da área do hexágono, dois alunos estariam no
nível de transição, pois compreenderam a relação entre a área do triângulo
eqüilátero e a área do hexágono. No entanto, os outros alunos não
apresentaram sequer o nível de compreensão instrumental para esse cálculo.
Mesmo na entrevista, poucos alunos perceberam que a área do hexágono
poderia ser calculada a partir da área de um dos triângulos eqüiláteros e ainda
assim não conseguiram calcular tal área.
Para a 8ª questão, cerca de 27% dos alunos encontraram a medida do
lado do hexágono e 24% calcularam o perímetro corretamente. Quanto à área
do hexágono, dois alunos calcularam corretamente esse valor, aliás os
mesmos que apresentaram uma compreensão sobre o cálculo da área do
hexágono inscrito (7ª questão), mas erraram na altura do triângulo. Os índices
de respostas incorretas e em branco para o cálculo do perímetro e da área
foram bastante expressivos: perímetro (40%); área (45%). Quanto aos itens (c)
e (d), as respostas em branco foram 69% para o item (c) e 78% para o item (d);
mesmo os dois alunos que conseguiram responder aos itens de cálculo do
perímetro e da área dos hexágonos inscrito e circunscrito, não conseguiram
compreender o que os dois itens (c) e (d) estavam querendo expressar. As
entrevistas mostraram falta de entendimento do enunciado dessas questões.
4. Algumas considerações
O resultado dessa avaliação, não obstante a análise subjetiva em face
da teoria de Skemp, indica que a maioria dos alunos testados apresentou
conhecimentos insuficientes sobre álgebra e geometria para o nível em
questão. Mesmo os alunos que tiveram contato com conteúdos geométricos,
não souberam aplicá-los ou se limitaram ao uso de fórmulas memorizadas.
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Observamos que os alunos tiveram algumas dificuldades na manipulação das
fórmulas, e estas estão ligadas à sintaxe da álgebra, com problemas de
semântica. Noutros casos os alunos não alcançaram a solução geral do
problema, começando pela falta de compreensão do enunciado, como
observado na última questão da avaliação. O resultado desse diagnóstico,
mesmo sendo uma pequena amostra do ponto de vista estatístico, confirma o
de outras pesquisas que apontam sérios problemas no ensino de matemática.
5. Referências
DIENES, Z. P. Aprendizado moderno da Matemática. Rio de Janeiro: Zahar,
1974.
FOSSA, J. A. Ensaios sobre Educação Matemática. Belém: EDUEPA, 2001.
(Série Educação - n. 2).
GIL, A. C. Como elaborar projetos de pesquisa. 3. ed. São Paulo: Atlas,
1991.
LAVILLE, C.; DIONNE, J. A construção do saber: manual de metodologia da
pesquisa em ciências humanas. Porto Alegre: Artes Médicas Sul, 1999.
MIRAS, M. SOLÉ, I. A evolução da aprendizagem e a evolução do processo de
ensino-aprendizagem.
In:
COOL,
C.;
PALACIOS,
J.;
MARCHESI,
A.
Desenvolvimento psicológico e educação: psicologia da educação.
Tradução: Angélica Mello Alves. Porto Alegre: Artes Médicas Sul, 1992. v. 2.
PIAGET, J. et al. Abstração reflexionante: relações lógico-aritméticas e
ordem das relações espaciais. Porto Alegre: Artes Médicas, 1995.
RODRIGUES NETO, F. P. Um estudo sobre aprendizagem de conceitos
algébricos
fundamentais.
1998.
Tese
(Doutorado
em
Educação)
–
Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, 1998.
SKEMP, R. R. Psicologia del Aprendizaje de las Matemáticas. Madri:
Ediciones Moratas, 1980.
ANEXO
1 – Escreva duas formas diferentes de calcular a área
do retângulo ao lado, utilizando a distributividade.
figura 1
32 –– Estabeleça
umamalha
relação
algébrica entre
os comprimentos
dos seguimentos abaixo,
Com base na
quadriculada,
determine
um valor
encontre
o
valor
de
M
em
cada
caso:
(as
medidas
estão
expressas
numa mesma
aproximado para a área do círculo ao lado:
unidade de medida de comprimento)
1°)
10
2°)
2
M
figura 2
M
3,2
M
2
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Conceitos Algébricos e Geométricos . In Anais do SIPEMAT. Recife, Programa de Pós-Graduação em EducaçãoCentro de Educação – Universidade Federal de Pernambuco, 2006, 8p.
4 – A figura 5 representa um retângulo do qual foram apagados
alguns quadradinhos unitários. Sabendo que a área desse retângulo
mede 77 u2, calcule o seu perímetro, mas você não pode completar
os quadradinhos que estão faltando.
figura 5
2
5 – A área do trapézio da figura 6 mede 66 cm . De acordo
com essa informação e as da figura 6, determine quanto mede
a base maior desse trapézio.
5,5 cm
4 cm
figura 6
6 – Para cada uma das figuras abaixo (7, 8 e 9) escreva uma sentença matemática que
expresse a área A da figura.
r
4
h
3x
figura 7
5,6
figura 8
figura 9
7 – A figura 10 mostra um hexágono regular inscrito numa
circunferência de raio r = 6 cm, sendo λ6 o lado do hexágono e a6
= 3 3 cm seu apótema ( 3 ≅ 1,73):
a) Determine o perímetro Pλ desse hexágono.
r a6
6
b) Determine a área Aλ desse hexágono.
6
λ6
figura 10
8 – A figura 11 mostra um hexágono regular circunscrito a uma circunferência de raio r = 6
2
cm. Sendo L6 a medida o lado desse hexágono, expressa pela fórmula L6 = ⋅ r ⋅ 3 :
3
a) Determine o perímetro PL desse hexágono.
6
b) Determine a área AL desse hexágono.
6
r
L6
figura 11
c) Estabeleça uma relação, utilizando a linguagem matemática, entre o valor do perímetro
do hexágono regular inscrito na circunferência (questão 7) e o perímetro do hexágono
regular circunscrito (questão 8), com o comprimento C da circunferência. Apresente uma
conclusão.
d) Agora estabeleça uma relação, utilizando a linguagem matemática, entre o valor da área
do hexágono regular inscrito na circunferência (questão 7) e a área do hexágono regular
circunscrito (questão 8), com a área Ac do círculo. Apresente uma conclusão.
8