16ª OLIMPÍADA - 2011
1ª fase
01) Para facilitar a contagem de germes de uma determinada amostra de leite, foram feitas duas
diluições, ambas em água des lada. Na primeira, misturou-se 1 cm3 de leite em 99 cm3 de água.
Depois, diluiu-se 1 cm3 dessa mistura em 9 cm3 de água con da em um segundo frasco. A razão entre
a quan dade de leite e a quan dade de água nesse segundo frasco é igual a:
a) ( ) 1/999
b) ( ) 1/989
c) ( ) 1/99
d) ( ) 1/98
e) ( ) 1/97
02) Um barril cheio, contendo uma mistura com 70% de vinho puro e 30% de suco, custa R$ 24.000,00.
O preço do litro de vinho puro é R$ 600,00 e o preço do litro do suco é R$ 200,00.A capacidade do
barril, em litros, é:
a) ( )30
b) ( ) 40
c) ( ) 50
d) ( ) 75
e) ( ) 120
03) Uma escada de 13,0 m de comprimento encontra-se com a extremidade superior apoiada na parede
v cal de um edi io e a parte inferior apoiada no piso horizontal desse mesmo edi io, a uma
distância de 5,0 m da parede.Se o topo da escada deslizar 1,0 m para baixo, o valor que mais se
aproxima de quanto a parte inferior escorregará é:
a) ( ) 1,0m
b) ( ) 1,5m
c) ( ) 2,0m
d) ( ) 2,6m
e) ( ) 2,8m
04) Deseja-se pintar duas fileiras de cinco quadrados num muro retangular de 5 metros de comprimento
por 2,2 metros de altura, conforme a figura a seguir.Os lados dos quadrados serão paralelos às
laterais do muro e as distâncias entre os quadrados e entre cada quadrado e a borda do muro serão
todas iguais. Nessas condições, a medida do lado de cada quadrado, em metros, será:
a) ( ) 0,52
b) ( ) 0,60
c) ( ) 0,64
d) ( ) 0,72
e) ( ) 0,80
05) Luiza, Maria, Antonio e Julio são irmãos. Dois deles têm a mesma altura. Sabe-se que:
•
•
•
•
Luiza é maior que Antonio
Antonio é maior do que Júlio
Maria é menor que Luiza
Julio é menor do que Maria
Qual deles tem a mesma altura?
a) ( ) Maria e Julio
c) ( ) Antonio e Luiza
b) ( ) Julio e Luiza
d) ( ) Antonio e Julio
e) ( ) Antonio e Maria
06) Quantos números entre 1 e 601 são mú plos de 3 ou mú plos de 4?
a) ( ) 100
b) ( ) 150
c) ( ) 250
d) ( ) 300
e) ( ) 430
07) O algarismo da unidade do número 1 x 3 x 5 x 79 x 97 x 113 é:
a) ( ) 1
b) ( ) 3
c) ( ) 5
d) ( ) 7
e) ( ) 9
08) Qual é a metade do número 2¹² + 3 x 2¹0 ?
a) ( ) 26 + 3 x 25
b) ( ) 26 + 3 x 210
c) ( ) 211 + 3 x 25
d) ( ) 211 x 7
e) ( ) 29 x 7
09) Para fazer um modelo de ladrilho, certo desenhista une um dos vér es de um quadrado aos pontos
médios dos lados que não contêm esse vér e, obtendo um triângulo isósceles. A razão entre a
medida da área desse triângulo e a medida da área desse quadrado é igual a:
a) ( ) 0,350
.
b) ( ) 0,375
c) ( ) 0,380
d) ( ) 0,385
e) ( )0, 395
10) O perímetro de um retângulo mede 100cm e a diagonal mede X cm. Qual é a área desse retângulo
em função de X?
a) ( ) 625 – x²
b) ( ) 625 – x²/2
c) ( ) 1250 – x²/2
d) ( ) 225 – x²/2
e) ( ) 2500 – x²/2
11) Um disco se desloca no interior de um quadrado, sempre tangenciando pelo menos um dos seus
lados. Uma volta completa do disco ao longo dos quatro lados divide o interior do quadrado em duas
regiões: a região A dos pontos que foram encobertos pela passagem do disco e a região B dos pontos
que não foram encobertos. O raio do disco mede 2 cm e o lado do quadrado mede 10 cm. Determine
a área da região B.
Resolução:
NOME:
ESCOLA:
Assinale a alterna va correta com caneta. Questões com rasuras serão desconsideradas.
A
B
C
D
E
1
X
2
3
X
X
4
5
6
X
X
X
7
8
9
X
X
X
10
X
16ª OLIMPÍADA - 2011
2ª fase
01) Uma empresa possui 1000 carros, sendo uma parte com motor a gasolina e o restante com motor
”flex” (que funciona com álcool e com gasolina). Numa determinada época, neste conjunto de 1000
carros, 36% dos carros com motor a gasolina e 36% dos carros com motor ”flex” sofrem conversão
para também funcionar com gás GNV. Sabendo-se que, após esta conversão, 556 dos 1000 carros
desta empresa são bicombu veis, qual será a quan dade de carros tricombu veis?
Resolução:
Sejam g e f as quan dades de carros inicialmente com motor a gasolina e “flex”, respec vamente.
Então temos que g + f = 1000. Após as conversões, os 556 carros bicombu veis são resultado da
soma dos carros com motor a gasolina que sofreram conversão para funcionar também com gás GNV
e dos carros com motor “flex” que não sofreram conversão. Equacionando ficamos com 0,36g + 0,64f
= 556.
Resolvemos então o sistema linear de equações:
g + f = 1000
0,36g + 0,64f = 556
Da primeira equação temos que
Sub
ndo na segunda vem
g = 1000 - f
0,36 X (1000 – f) + 0,64f = 556
360 – 0,36f + 0,64f = 556
0,28f = 196
f = 700
g = 300
Portanto, como os carros tricombu veis são resultantes dos carros com motor “flex” que sofreram
conversão, basta saber a quan dade correspondente a 36% de f.
Logo, após a conversão, 252 carros serão tricombu veis.
02) Um an go problema chinês: No alto de um bambu ve
está presa uma corda. A parte da corda
em contato com o solo mede 3 chih (uma an ga unidade de medida usada na China). Quando a
corda é es cada, sua extremidade toca o solo a uma distância de 8 chih do pé do bambu. Qual o
comprimento aproximadamente do bambu?
Resolução:
Considerando o comprimento do bambu igual a " " e u lizando a relação de Pitágoras temos:
(3 + x)² = 8² + x²
x² + 6x + 9 = 64 + x²
6x = 55
x = 9,17 chih
03) A figura abaixo mostra uma pilha de círculos iguais, com 1cm de raio, arrumados em vários andares
no interior do trapézio (não mostrado integralmente). Os círculos do primeiro andar tangenciam a
base menor do trapézio e os do ú mo andar, a base maior. Se a pilha ver 20 andares completos,
determine:
(use √3=1,73)
(a) a quan dade de círculos que foram
izados;
(b) a altura aproximada do trapézio.
Resolução:
(a) De baixo para cima, o primeiro andar tem 3 bolas; o segundo, 4; o terceiro, 5, e assim por diante.
Logo, o vigésimo termo dessa progressão aritmé ca é a
= 3 + 19 ∙ 1 = 22.
20 ∙ ( 3 + 22)
A soma 3 + 4 + 5 + ... + 22 =
=
= 250 . Foram utilizados 250 círculos .
2
(b) Observe a figura ao lado. A distância entre a linha dos centros do
primeiro e a do segundo andar é
√3
= √3
2
e o mesmo se dá entre dois andares conse vos.
2∙
A distância da base inferior do trapézio à reta dos centros do 1º andar é
1, e a distância da reta dos centros do 20º andar à base superior é
também igual a 1. Assim, a altura do trapézio é
= 1 + 19√3 + 1
=>
~
=
,
04) Considere a sequência formada por todos os naturais não nulos menores ou iguais a 201, exceto os
mú plos de 4 ou de 9. Com relação a essa sequência responda:
(a) Qual é o total de termos?
(b) Quantos termos estão compreendidos entre 20 e 60?
(c) Do total de termos, quantos são quadrados perfeitos?
Resolução:
(a) Os números de termos múl plos de 4 ou 9 existentes na sequência são:
= { 4, 8, …, 200 } => 200 = 4 + ( − 1) × 4 => = 50
= { 9, 18, …, 198 } => 198 = 9 + ( − 1) × 9 => = 22
,
= { 36, 72, …, 180 } => 180 = 36 + ( − 1) × 36 =>
= 5
2
ê
Logo, o número de termos é:
= 201 − 50 − 22 + 5 =
(b)
= { 24, 28, …, 56} => 56 = 24 + ( − 1) × 4 => = 9
= { 27, 36, …, 54} => 54 = 27 + ( − 1) × 9 => = 4
,
= { 36} =>
= 1
= { 21, 22, …, 59} => 59 = 21 + ( − 1) × 1 => = 39
Logo, o número de termos é:
= 39 − 9 − 4 + 1 =
(c)
1² = 1
2² = 4
3² = 9
4² = 16
5² = 25
6² = 36
7² = 49
8² = 64
9² = 81 13² = 169
10² = 100 14² = 196
11² = 121
12² = 144
Os termos anulados são mú plos de 4 ou 9. Portanto, os quadrados perfeitos são 5.
05) Qual é a razão entre o perímetro de um círculo e o perímetro de um quadrado que tem a mesma
área?
Resolução:
Sabemos que a área de um círculo de raio é dada por
=
e que a área de um quadrado de lado
é
= . Portanto, igualando estas duas áreas encontramos a seguinte relação:
=
= √ .
=>
Dessa forma, considerando que os perímetros desta circunferência e quadrado são, respe vamente,
= 2 e = 4 , e aplicando a relação encontrada, teremos que a razão procurada será:
2
4
=
2√
∙
√
=
√
√
√
=
.
2
06) Uma torneira enche de água um tanque em forma de paralelepípedo de dimensões 3m x 4m x 5m,
em uma hora. Uma outra torneira enche o mesmo tanque em duas horas.
(a) Quanto tempo é necessário para encher esse tanque se as duas torneiras são abertas ao mesmo
tempo?
(b) Qual deve ser a vazão (volume no tempo) de uma terceira torneira que, aberta junto com as outras
duas, enchem o mesmo tanque em apenas meia hora?
Resolução:
ã
ã
(a)
(b)
= 3 × 4 × 5 = 60
= 60 /
= 30 /
60
60
+
30
60
= 60 =>
3
2
= 60 =>
=
60
30
× 30 +
× 30 +
× 30 = 60 => 30 + 15 + 0,5 = 60 => 0,5 = 15 =>
60
60
60
07) As frações
estão localizadas na reta abaixo:
=
/
Em qual posição localiza-se a fração
?
Resolução:
Temos que o mínimo mú plo comum de 3, 4 e 5 é 60.
Transformando as frações para o denominador comum, temos que
1 20
1 15
=
,
=
3 60
4 60
1 12
=
.
5 60
Observando a reta, vemos que há 16 posições entre as frações
frações é
e
, mas a diferença entre estas
. Portanto, as frações de 60 estão representadas a cada duas posições dessa reta. Logo a
fração localiza-se na posição "a" (conforme mostra a figura abaixo).
08) Mister MM, o Mágico da Matemá
apresentou-se diante de uma platéia com 50 fichas, cada
uma contendo um número. Ele pediu a uma espectadora que ordenasse as fichas de forma que o
número de cada uma, excetuando-se a primeira e a ú ma, fosse a média aritmé ca do número da
anterior com o da posterior. Mister MM solicitou a seguir à espectadora que lhe informasse o valor
da décima sexta e da trigésima primeira ficha, obtendo como resposta 103 e 58 respec vamente.
Para delírio da platéia, Mister MM adivinhou então o valor da ú ma ficha. Determine você também
este valor.
Resolução:
= {
,
, …,
},
=
+
2
é
ã
é
.
Logo, a razão dessa P.A. é:
+ 15 => 58 = 103 + 15 => = − 3
=
E o termo
(úl ma ficha) é:
=
= 58 + 19 × ( − 3) =>
+ 19 =>
=
09) Um caminhão parte da cidade A ao meio dia e dirige-se à cidade B com velocidade constante de 40
km/h, devendo chegar às 6h da tarde desse mesmo dia. Um outro caminhão que saiu às 2h da tarde
da cidade B, dirigindo-se à cidade A com velocidade constante de 60 km/h, deverá encontrar-se com
o primeiro, nessa mesma tarde, às?
Resolução:
Sabendo que um dos caminhões parte ao meio dia da cidade A para a cidade B com velocidade
constante de 40 km/h, devendo chegar às 6h da tarde, podemos encontrar a distância entre as cidades:
= 40 ∙ 6 = 240
.
Como o outro caminhão sai da cidade B em direção à cidade A as 2h da tarde, neste momento o
, e assim a distância entre os dois, neste momento, será de
primeiro caminhão já terá percorrido 80
160
.
Então devemos ter
40 + 60 = 160
Como este tempo tem início a p
da tarde.
=>
=
160
100
=>
= 1,6
=>
= 1h36min.
das 2h da tarde, os caminhões deverão se encontrar às
10) Um recipiente (não transparente) contém só bolas verdes, outro, só bolas azuis e um outro contém
bolas verdes e azuis. Entretanto, as e quetas foram colocadas erroneamente em todos eles.
Re rando apenas uma bola de um dos recipientes, é possível corrigir o engano e recolocar cada
e queta no recipiente correto. Pergunta-se:
da a bola?
(a) De que recipiente deve ser
(b) Como devem ser colocadas as e quetas?
AZUL
VERDE
MISTO
Resolução:
a) Deve-se re rar uma bola do recipiente misto.
b) Se a bola re rada for azul, colocar a e queta azul neste recipiente, a e queta verde no
recipiente com a e queta azul e a e queta mista no an go verde.
VERDE – MISTO – AZUL
Se a bola re rada for verde, fazer procedimento análogo.
MISTO – AZUL – VERDE
go