ISBN 978-85-8015-053-7
Cadernos PDE
VOLUME I I
Versão Online
2009
O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOS
DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
Produção Didático-Pedagógica
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE LONDRINA
PDE: PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO
EDUCACIONAL
DIFICULDADES DE APRENDIZAGEM MATEMÁTICA
NO ENSINO FUNDAMENTAL.
Área
Matemática
Professora PDE
Santa Vantini
Orientador
Prof. Dr. Ulysses Sodré
2009/2010
SANTA VANTINI
REFORÇO DE MATEMÁTICA
PARA ALUNOS DA 7ª E 8ª SÉRIES
Caderno Temático apresentado ao PDE:
Programa de Desenvolvimento Educacional
Professor Orientador da IES:
Prof. Dr. Ulysses Sodré
2009/2010
2
SUMÁRIO
1 IDENTIFICAÇÃO......................................................................................................3
1.1TEMA DE ESTUDO .....................................................................................................3
1.2 TÍTULO ....................................................................................................................3
2 INTRODUÇÃO .........................................................................................................3
3 PROBLEMATIZAÇÃO ..............................................................................................4
3.1 SALA DE REFORÇO...................................................................................................5
3.2 ESTRATÉGIA DE AÇÃO ..............................................................................................6
4 CONTEÚDOS QUE APRESENTAM MAIORES DIFICULDADES ...........................6
4.1 PRODUTOS NOTÁVEIS ..............................................................................................8
4.2 RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES....................................................................36
4.3 SISTEMA DE EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU ............................................................44
4.4 EQUAÇÕES IRRACIONAIS.........................................................................................59
4.5 FATORAÇÃO ..........................................................................................................66
4.6 SISTEMA DE EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU ...........................................................82
REFERÊNCIAS.........................................................................................................90
3
1 IDENTIFICAÇÃO
Professora PDE: Santa Vantini
Área PDE: Matemática
Núcleo Regional de Ensino: Apucarana
Professor Orientador IES: Prof. Dr. Ulysses Sodré
IES vinculada: UEL – Universidade Estadual de Londrina
Escola de Implementação: Colégio Est. Prof. Izidoro Luiz Cerávolo
Público objeto da intervenção: Alunos de 7ª e 8ª Séries
1.1 TEMA DE ESTUDO
Dificuldades de aprendizagem matemática no ensino fundamental.
1.2 TÍTULO
Reforço de Matemática para alunos da 7ª e 8ª séries
2 INTRODUÇÃO
A Educação é um instrumento de humanização, cuja finalidade é tornar os
indivíduos participantes do processo da construção da civilização e responsável por
dar continuidade à história e elevar o nível da civilização atual.
Nas Diretrizes Curriculares de Matemática encontram-se leituras bem
organizadas e concisas da parte histórica da disciplina. Apresentam-se os
fundamentos
teórico-metodológicos.
Propõem-se
conteúdos
estruturantes
e
específicos de forma a trabalhar de acordo com a necessidade de cada aluno em
um atendimento individualizado, oferecendo a oportunidade para ajuda mútua.
4
O aluno necessita de um professor para o acompanhamento dos assuntos
abordados em sala de aula e de orientação no processo de crescimento, como
também ajuda para superar as suas dificuldades e a escola deve oferecer atividades
para auxiliar nessa necessidade, espaço esse que chamamos de Sala de Reforço.
Esta sala deve conter materiais didáticos para percepção visual e tátil, onde
o aluno possa aprender de forma efetiva através da discussão e resolução de uma
situação problema ligada à realidade.
Na construção do conhecimento, pode ser usada como auxílio das
tecnologias existentes e de novas tecnologias, a metodologia construtivista
contribuindo para que o aluno tenha apropriações tanto das generalizações,
linguagens como da interpretação que ela exerce nessa área.
O docente deve partir dos inter-relacionamentos e articulações entre os
conceitos de cada conteúdo específico, garantindo através das tendências:
resolução de problemas, jogos, passatempos, usar de tecnologias e história da
Matemática, o crescimento de possibilidades da aprendizagem sem causar
fragmentação na autoconfiança dos alunos.
A metodologia de ensino é uma atividade que o professor procura
estabelecer normas para diferentes situações didáticas, norteadas pelas tendências
ou correntes pedagógicas adotadas pelo professor e determinadas no Projeto
Político Pedagógico da instituição de trabalho, de modo que o aluno se aproprie dos
conhecimentos propostos.
Este recurso busca trabalhar a individualidade isolada dos meios em que a
criança está inserida utilizando uma metodologia diferenciada e materiais
específicos para o apoio do desenvolvimento cognitivo.
3 PROBLEMATIZAÇÃO
O trabalho realizado na escola em sala de aula que auxilia na aprendizagem
da Matemática, denominado “reforço escolar”, necessita de uma nova proposta, com
a realização de tarefas como a manipulação de materiais, jogos, passatempos,
vídeos, entre outros, com o objetivo de tornar a Matemática palpável, de forma
visível e dinâmica, de modo que venha a auxiliar na compreensão e na formação de
conceitos.
5
3.1 SALA DE REFORÇO
Esta sala de reforço é um ambiente preparado especialmente para
complementar o trabalho das salas de aulas procurando diminuir a complexidade
dos conteúdos da sétima e oitava séries, buscando uma metodologia adequada, fácil
e prática, exclusiva e motivadora, para que se torne prazeroso e aprenda com
dinamismo. Ampliar a área de conhecimento, permitindo uma visão globalizada,
mais profunda nos conteúdos curriculares, proporcionar um clima de confiança entre
aluno e professor, propiciar situações desafiadoras que exijam os confrontos de
idéias na elaboração de estratégias para resolver problemas.
A problematização é fundamental na metodologia de trabalho, segundo
VASCONCELOS (1999, p.147), discutindo direções e reflexões de forma
significativa, motivando os alunos a adquirir autonomia intelectual.
De acordo com VILARINHO apud Mello (1985, p.52), os métodos de ensino
apresentam três sistemas modais de ação.
Nesta sala de reforço os métodos de ensino devem ser individualizados,
socializados e sócio-individualizados. Observamos que é importante o saber
matemática para que os alunos consigam resolver problemas do cotidiano, adquirir
conceitos e habilidades matemáticas e desenvolver motivação para continuar os
seus estudos.
Sempre que no diagnóstico do aluno constar dificuldades para compreensão
da retirada dos dados, da estratégia na resolução dos problemas, será necessário o
reforço escolar com planejamento, definições de metas e escolha de alternativas
articuladas ao projeto educativo integrando ao plano pedagógico que deve ser
reorganizado de maneira a sanar dificuldades específicas de cada aluno,
considerando as áreas de desenvolvimento: sócio- afetiva cognitiva e motora.
Para descobrir as habilidades que estão faltando para que o aprendizado se
concretize, precisamos observar com atenção os erros do aluno, analisar as
produções escolares, sua situação econômica e social, partindo do incentivo familiar
na frequência do reforço escolar para que este tenha êxito.
6
3.2 ESTRATÉGIA DE AÇÃO
A estratégia de ação seguirá as seguintes etapas do cronograma, No
primeiro semestre buscaremos material didático que possa nos auxiliar nos
trabalhos dos conteúdos que apresentam maiores dificuldades. No segundo
semestre, aplicaremos a metodologia com os materiais coletados para a formação
da sala de reforço. Sendo assim, a nossa proposta consiste nas seguintes etapas:
•
Construção de materiais pedagógicos;
•
Construção de problemas aplicados, relacionados com os tópicos citados
na seção seguinte deste trabalho;
•
Construção de jogos e passatempos para motivar os alunos no estudo
dos tópicos supracitados.
4 CONTEÚDOS QUE APRESENTAM MAIORES DIFICULDADES
Diante da experiência já vivida pela professora PDE e pelos docentes com
os quais foi realizado um levantamento na sétima e oitava séries, sobre os
conteúdos que apresentam maior dificuldade de aprendizagem nestas séries.
Na sétima série os maiores problemas ocorrem nos tópicos, listados em
ordem de maior para os de menor ocorrência: produtos notáveis, sistema de
equações do primeiro grau, fatoração, monômios, polinômios, inequações,
expressões literais, construções de gráficos a partir de tabelas, leitura e
interpretação de dados em gráfico e a geometria no estudo da circunferência e
círculo.
Para os alunos da oitava série, os conteúdos que causam mais dificuldade
são: racionalização de denominadores, equações irracionais, sistemas de equações
do segundo grau, regras de três simples e compostas, relações métricas na
circunferência, operações com radicais, funções polinomiais do segundo grau,
potências e suas propriedades, polígonos inscritos e circunscritos e posições
relativas entre reta e circunferência.
Cada tópico acima mais necessitado deve ser desenvolvido como se fosse
uma aula a ser ministrada, apresentando cada um deles de forma isolada.
7
O conteúdo “Produtos notáveis” é o que apresenta maior dificuldade de
aprendizagem, normalmente desenvolvido na sétima série.
A álgebra utiliza letras e números na representação de situações
matemáticas. Alguns elementos, denominados produtos notáveis, são de extrema
importância para o desenvolvimento de operações algébricas. Eles consistem de
produtos de binômios especiais usando regras matemáticas. Os Produtos Notáveis
são conteúdos inerentes à oitava série do Ensino Fundamental e funciona como prérequisito para futuros conteúdos, por isso é indispensável a sua apresentação.
Estudamos produtos notáveis como uma forma de adquirir conhecimento para
resolver problemas envolvendo cálculos de áreas e volumes muito utilizados por
engenheiros agrônomos e outros.
Em linguagem matemática, o produto representa o resultado de uma
multiplicação, utilizando variáveis que aparecem com frequência em operações
matemáticas para representar valores das medidas atribuídas a objetos.
Para realizar as operações de multiplicação entre monômios e polinômios,
utilizamos o recurso das regras dos produtos notáveis. O termo “notável” se refere a
algo “importante”, ou aquilo que se destaca.
O cálculo da área de uma região plana envolve números naturais, que são
quadrados de outros dois números referidos como números quadrados perfeitos,
que são: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121. etc.
Quando temos problemas relacionados com medidas de áreas envolvendo
álgebra, recorremos aos recursos das propriedades dos produtos notáveis que
apresentamos abaixo. Na sequência, apresentamos uma sugestão de um trabalho
que pode ser utilizado em sala de aula para exploração do conteúdo de produtos
notáveis
8
4.1 PRODUTOS NOTÁVEIS
Série: Sétima série
Tempo de aplicação: Oito aulas de 50 minutos
Conteúdo estruturante: Números e Álgebras
Conteúdos: Monômios, Polinômios e Produtos Notáveis
Justificativa: Este conteúdo é muito utilizado por engenheiros, agrônomos e
também em fábricas de embalagens. Pode ser apresentado em sala de aula para a
sua fixação através da geometria e por meio de expressões algébricas, identificando
e envolvendo monômios, através de suas operações com o uso das regras de
produtos notáveis.
Objetivo: Utilizamos o recurso de manipulação de materiais para fixar este
conteúdo, despertando o pensamento matemático pelo uso de alguns produtos
algébricos da linguagem matemática, que resultam de uma operação matemática
denominada multiplicação com a utilização de variáveis, as quais aparecem com
frequência em cálculos de áreas e volumes.
Metodologia: Para apresentar as propriedades de produtos notáveis, é
necessário lembrar aos alunos como se calcula a área de um retângulo. Para se
calcular a área de um retângulo cujo comprimento mede a+b unidades e a altura
mede a+b unidades, devemos usar expressões algébricas polinomiais e algumas
operações algébricas, utilizando as regras de produtos notáveis, como a figura
seguinte:
9
Para obter o cálculo da área desta região retangular (quadrada) devemos
usar a fórmula do cálculo da área:
A=c.h
onde c é a medida do comprimento, h é a medida da altura e A é a área da
região
retangular. Extraindo os dados da região desenhada, obtemos, c=a+b e
h=a+b. Então, obtemos:
A = (a + b).(a + b)
Para este cálculo, utilizamos a regra (a+b).(a+b) de produtos notáveis.
Este simples problema apresenta uma questão envolvendo a propriedade do
”quadrado da soma de dois termos”
a. O quadrado da soma de dois termos
(a + b) . (a + b) = (a + b)²
De acordo com a regra de multiplicação de monômios multiplicamos todos os
termos observando as regras dos sinais
a2
a + b
a + b
a + ab
+ ab + b²
+ 2ab + b2
Aplicando a propriedade distributiva, multiplicamos todos os termos (não
esquecendo das regras dos sinais) e somamos os termos semelhantes.
Para economizar tempo e evitar multiplicação termo a termo, devemos usar
as regras dos Produtos Notáveis. Esta fórmula deve ser memorizada.
10
O Quadrado da soma de dois termos é a soma do quadrado do primeiro
termo com o dobro do primeiro pelo segundo e mais o quadrado do segundo termo,
que pode ser escrito na forma:
(a + b) . (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²
Para chegar a este resultado, os cálculos abaixo demonstram que:
(a+b)² =
(a+b)(a+b)
=
a.a + a.b + b.a + b.b
=
a² + a.b + b.a + b²
=
a² + 2 a.b + b²
Podemos aplicar o quadrado da soma para realizar cálculos mais rápidos,
até mesmo mentalmente. Vamos realizar um cálculo numérico:
45²
=
(40+5)²
=
40² + 2.40.5 + 5²
=
1600 + 400 + 25
=
2.025
A interpretação geométrica deste resultado utiliza áreas de retângulos e
pode ser observada na figura que segue.
A figura acima transcrita em álgebra significa: (a+b)² = a² + 2ab + b²
11
Outra situação que ocorre muitas vezes é quando desejamos obter:
b. O quadrado da diferença de dois termos
Do ponto de vista geométrico, temos um quadrado cujo lado tem medida a, e
que foi reduzido de uma medida b, para gerar um quadrado de lado igual a a-b.
a - b
a - b
a²- ab
_
ab + b²
2
a -2ab + b2
O Quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro
termo, menos duas vezes o primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo
termo.
(a–b)² = a² -2ab +b²
Detalhando o desenvolvimento, temos:
(a-b)² = (a-b)(a-b)
= a.a – a.b – b.a + b.b
= a² – a.b – b.a + b²
= a² – 2 a.b + b²
12
Para mostrar que 899²=808 201, usaremos o quadrado da diferença de dois
números, escrevendo 899 na forma 900–1. Daí vem:
899² = (900-1)²
= 900² - 2(900)(-1) + (-1)²
= 810 000 – 1800 + 1
= 808 201
c. O Produto da soma pela diferença de dois números
De acordo com a regra de multiplicação de monômios: multiplicamos todos
os termos observando as regras dos sinais.
a + b
a - b
a + ab
- ab –b2
a²
-b2
Para obter a forma geométrica deste produto notável (a+b).(a-b), nós
construímos um retângulo de comprimento a+b e altura a-b.
Na figura, traçamos uma linha horizontal de altura b a partir da linha superior
do retângulo e uma linha vertical à distância a da linha lateral Para obter o produto
(a+b).(a-b), primeiro devemos obter as áreas de dois retângulos R1 e R2, dentro da
13
nova figura, indicadas por:
A(R1) = a² - ab
A(R2) = +ab -b²
Marcamos a região retangular R com comprimento a+b e largura a-b. A área
de R é a soma das áreas de R1 e R2, logo:
A(R) = A(R1) + A(R2) = (a²-ab) + (ab-b²) = a² - b²
Assim:
(a + b)(a - b) = a² - b²
Para calcular a área da região R com medidas (a+b) e (a-b), basta usar as
expressões algébricas:
(a+b).(a-b) = a.a - a.b + b.a – b.b = a² - b²
Agora, mostraremos que 1000²- 999²=1999. Esta diferença pode ser escrita
como o produto da soma pela diferença. Logo:
1000²- 999² = (1000 + 999)(1000 – 999)
= 1999 (1) = 1999
d. O Cubo da soma e da diferença de dois termos
Considere um cubo em que a aresta mede a+b, como mostra a figura:
14
O volume deste cubo é dado por V= (a+b)³.
As partes em que o cubo está decomposto aparece nas quatro formas
geométricas espaciais acima. Somando estes volumes, obtemos a³ +3a²b +3ab² +b³.
3 paralelepípedos
3 paralelepípedos
Um cubo de
com arestas a, a e b,
com arestas a, b e b,
Um cubo com
aresta a.
cada um tendo
cada um tendo
aresta b.
volume a²b.
volume ab².
Volume dos três
Volume dos três
paralelepípedos=3a²b.
paralelepípedos =3ab²
Volume=a³
Volume=b³
Como o volume do todo é igual à soma dos volumes das partes, temos:
(a +b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Tal resultado pode ser obtido com a propriedade distributiva da
multiplicação.
a² +2ab + b²
a + b
a³ +2a²b +ab²
a²b +2ab² –b²
a³+3a²b +3ab² +b³
15
(a + b)3
= (a-b)²(a-b)
= (a +2ab +b²)(a +b)
= (a³ +2a²b +ab² +a²b +2ab² +b³
= a³ +3a²b +3ab² +b³
Analisemos também o cubo da diferença de dois termos.
a² - 2ab + b²
a - b
a³- 2a²b + ab²
- a²b + 2ab²– b³
a³- 3a²b + 3ab²- b³
(a-b)³ =
(a -b)² . (a –b)
=
(a -2ab +b²).(a -b)
=
(a³ -2a²b +ab² -a²b +2ab² -b³)
=
(a³ -3a²b +3ab² -b³)
Como sugestão para trabalhar tais conteúdos segue algumas atividades.
1. Composição de uma forma geométrica
Recursos Didáticos: 10 folhas de papel cartão americano colorido, 1 régua
numerada, 1 pincel atômico, 1 caixa de lápis com 12 cores, 1 tesoura e TV pendrive.
Construção do material:
•
Recortar dois quadrados, um medindo 3,4cm de cada lado e outro
quadrado medindo 1,7cm;
•
Recortar dois retângulos medindo 1,7cm de altura x 3,4cm de
comprimento, como mostra na figura:
16
Juntando os quadrados recortados no papel pode-se obter a figura que nos
permite observar e conceituar a propriedade distributiva e o conceito de produtos
notáveis.
2. Composição de formas geométricas
De uma cartolina amarela:
a. Corte um quadrado amarelo de lado igual a 5 cm;
b. Da mesma cartolina, corte um quadrado de lado igual a 3 cm;
c. Corte agora dois retângulos na cor cinza de comprimento igual a 5 cm e
largura 3 cm;
d. Depois de cortar as figuras geométricas, junte as mesmas de forma a
montar um quadrado de 8 cm x 8 cm;
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3. Quadrado da soma: Quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o
primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
4. Quadrado da diferença: o quadrado do primeiro termo, menos duas
vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
5. Produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do
primeiro termo menos o quadrado do segundo.
Depois de trabalhar com estas medidas, podemos confeccionar outros
modelos para praticar e fixar o conteúdo.
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS SOBRE O QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS.
1. Reproduzir em uma folha de papel sulfite ou EVA, as figuras seguintes.
Depois recortar e montar, com elas, um quadrado medindo 3cm de lado,
outro medindo 2cm de lado, dois retângulos medindo 3 cm de altura e 2
cm de comprimento.
Em seguida escrever a expressão matemática correspondente à informação
solicitada e construir a figura indicadas na sequência com os materiais acima.
a) a área do quadrado C;
b) a área de cada retângulo;
c) a área do quadrado D;
d) a medida de cada lado da figura construída;
e) a área da figura construída.
2. A figura abaixo representa um quadrado. As partes pintadas de azul
também são quadrados, cujas áreas estão indicadas em seus respectivos interiores.
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a) Determinar as áreas b e c.
b) Determinar a área da figura toda.
c) Determinar a medida do lado do quadrado maior.
d) Calcule (a+9)² e compare a área da figura.
3. Com o quadrado da soma, calcular mentalmente as potências 52² e 81².
4. Um jardim de quadrado teve seus lados aumentados em 6 metros.
Indicando por x a medida de cada lado do jardim antes do aumento crie
polinômio que representam:
a. A nova área desse jardim;
b. O aumento verificado na área do jardim.
5. Elaborar quatro expressões que representam o quadrado de uma soma.
Troque-as com um colega para que cada uma desenvolva as expressões do outro.
Em seguida, destroque para verificar se o outro colega acertou.
6. O produto notável (x² + 7x)² é igual a:
a. ( ) x² +14x² +49
4
b. ( ) x +14x³ +49x²
c. ( ) x² +4x³ +49x²
d. ( ) x²+14x+49
20
7) Ao aplicar o quadrado da soma, calcule mentalmente as potências:
a) 24² =
b) 52²=
c) 35² =
8) Vamos examinar o quadrado da soma de dois termos.
(x+y)² =
(3x+y)² =
(2x+3y)² =
(2x²+y²)² =
a) Efetuar os cálculos e completar a tabela:
b) Preenchendo a tabela você deve observar que os resultados obtidos têm
sempre o mesmo padrão.
Dos padrões do quadro abaixo, qual deles corresponde a (
)²?
c) Com suas palavras, escreva o padrão escolhido. Começando assim,
elevando ao quadrado uma soma de dois termos, vamos obter...
d) Já nos referimos ao padrão do quadrado de uma soma.
O padrão do quadrado de uma diferença é muito parecido.
21
Qual é o padrão para (
)²?
Responda usando esses pequenos quadrados e triângulos.
Jogo dos monômios e binômios
1
No material EVA obtemos um recurso didático de fácil manuseio colorido
que pode ser atrativo para trabalhos de fixação de conteúdo. Na sequência,
sugerimos a confecção de um dominó de monômios e binômios. Esta atividade é
composta de recortes de retângulos com medidas de 5cm x 8cm. Em uma das faces
será escrito um monômio ou binômio, seguindo as regras do jogo de dominó. Assim,
podemos trabalhar os conteúdos relacionados a monômios e binômios semelhantes.
Construindo uma nova regra com este mesmo material, poderemos trabalhar
a soma e a subtração de monômios e binômios, e tal conteúdo poderá ser estudado
usando o raciocínio através do jogo de visitando as casinhas que consiste em utilizar
as regras do jogo de labirinto. Serão colocadas dentro do mapa do labirinto abaixo,
figuras geométricas diferenciadas como mostra o exemplo abaixo com monômios e
polinômios transcritos com canetas marcadoras de textos coloridas, que serão
sobrepostas nos caminhos que serão percorridos até chegar ao lugar desejado.
Regra do Jogo: Em primeiro lugar o jogador deve lançar o dado e verificar
quantas casinhas deve pular e a casinha que cair deverá ser somada ao monômio
ou ao polinômio da casinha anterior. O segundo jogador deverá fazer o mesmo,
jogando uma vez cada um, ganhando quem tiver o polinômio de valor maior, quando
as variáveis forem substituídas por valores numéricos.
Ainda com este material e o mesmo jogo, poderão ser trabalhados os
conteúdos de subtração e multiplicação de monômios e polinômios, utilizando assim
os conceitos de produtos notáveis.
Apresentamos dois mapas do Labirinto que podem ser utilizados nos jogos.
Figuras que receberão anotações de monômios e polinômios que farão parte
do jogo.
1
EVA = Etil Vinil Acetato.
22
Jogue o dado para começar:
Na primeira jogada soma todos os monômios até a casa 11. Por exemplo:
Joga-se o dado. Se cair na face 5, deverá avançar cinco casas, sendo que a quinta
casa corresponde ao monômio 3x então deverá ser somado com a próxima casa
para gerar 3x+9x=12x, quem obtiver o coeficiente de maior valor ganha a primeira
parte, ou seja, quem obtiver o monômio de maior coeficiente.
Da casa 12 até 18 deverá ser trabalhada a subtração dos monômios. Quem
obtiver mais pontos até a casa 18, ganha a segunda parte, ou seja, que obtiver o
monômio de maior coeficiente.
Ao passar pela casa 18 zera os pontos e começa a contagem novamente
até a casinha 28, depois subtraia os monômios até a casa 31.
Da casa 47 até a casa 52 será trabalhada a subtração de polinômios.
Da casa 54 até a casa 72 será trabalhada a multiplicação de polinômios.
Ganha quem obtém o polinômio de maior coeficiente.
23
Atividade Geoplano
O orientador deste trabalho, sugeriu que trabalhássemos com o geoplano
objetivando visualizar as figuras geométricas. No Grupo de Trabalho em Rede uma
cursista do GTR, Roselaine Maria Bertoli (Apucarana), sugeriu um plano de aula
com trabalhos de fixação de conteúdos sobre o geoplano.
Por achar interessante, apresentamos o trabalho no geoplano por ela
sugerido que se utilize nas aulas para explorar o conceito de áreas e perímetros
usando as regras dos produtos notáveis. O geoplano é um modelo que permite
traduzir idéias matemáticas, num sentido mais exato, constituído por um suporte
concreto de representação mental, um recurso que leva a realizar déias abstratas.
Este instrumento é um recurso didático que se pode classificar como múltiplo
e dinâmico porque permite representar numerosas situações que possibilitam o
movimento da imagem das figuras no plano e no espaço.
24
O docente deverá levar prontos diversos geoplanos pequenos, construídos
em tábuas com preguinhos, e diversos elásticos coloridos para a sala de reforços,
conforme o modelo abaixo.
Em princípio, devemos deixar que os alunos brinquem livremente fazendo
qualquer tipo de figuras. Depois solicitamos que façam retângulos ou quadrados
para trabalhar áreas e perímetros. Quando perceber que eles já estão
compreendendo bem a parte de áreas dessas figuras, introduzir os produtos
notáveis.
Como atividade sorteará um número, que poderá ser o da própria chamada,
e solicitará que construa alguma figura de sua preferência e demonstre para os seus
colegas.
Exercícios propostos sobre o quadrado da diferença de dois termos.
1) Calcular.
a) 88²
b) 199²
2) Desenvolver:
a) (m–n)² =
b) (a² - b²)² =
c) (a² - x³)² =
d) (a² - b²)² =
e) (0,2x -1,5)² =
25
3) Relacionar a primeira coluna de acordo com a segunda.
a) (3x -2y)²
( ) 9a4 -6a² +1
b) (3a -5)
( ) 9x² -12xy +4y²
c) (3a² -1)²
( ) 25 -40a +16a²
d) (5 -4a)²
( ) 9a² - 30a +25
4) O desenvolvimento de (n³ -
1
n)² é igual a:
2
a) ( ) n² -
1
1
n² - n²
2
4
1
c) ( ) n6 -2n4 + n²
4
b) ( ) n4 -
1
1
n² + n²
2
4
1
d) ( ) n6 –n4 + n²
4
5) Que polinômio representa a área colorida de vermelha da figura?
6) Analise os desenhos abaixo e responda às questões.
a) Qual é a medida do retângulo da cor verde?
b) qual é a área do quadrado da cor laranja
26
7) Alcides fez uma mesa sob medida, de formato quadrado. Ao entregar a
mesa, percebeu que ela tinha um erro de medida, pois ocupava um espaço maior do
que deveria. Então Alcides disse: terei de reduzir a mesa em 5 cm no comprimento e
5,5m na largura
a) Quanto mede cada lado da mesa, se a mesa ocupa uma área de 4m²?
b) Que área ocupará após Alcides fazer a redução necessária?
c) Qual é a diferença entre a área que a mesa está ocupando e a área que
ela deveria ocupar?
COMO SUGESTÃO PARA TRABALHAR ESSES CONTEÚDOS SEGUE ALGUMAS ATIVIDADES.
Atividades sobre o produto da soma pela diferença de dois termos
1) Com a regra do produto da soma pela diferença de dois termos calcular:
a) (- 4 + 3) (- 4 - 3)
b) (100 + 1000) (100 - 1000)
2) Calcular:
a) (1 + 7x²).(1 - 7x²)
b) (2x + 5x ).(2x - 5x )
d) (0,3x + 0, 4y).(0,3x - 0, 4)
3
3
e) ( x + y ).( x - y )
4
4
3) A expressão matemática ( a ( ) a+
1
4
1
1
)( a + ) é igual a:
2
2
27
( ) a² -
1
4
( ) a² +
1
4
4) A medida dos lados em metros, do retângulo da figura abaixo são
expressas por 2x-3 e 2x+3
a) Que polinômio representa a área desse retângulo?
b) Qual é o valor dessa área se x = 15 metros
5) Cortando uma folha com formato de um quadrado em quatro retângulos
iguais pode-se montar a figura 2.
Determinar a área da parte hachurada.
28
6) Leia e resolva o problema.
Adão comprou uma porta para colocar em sua casa.
•
A porta tem 85 cm de largura. Qual é a área de sua superfície?
•
A qual produto notável podemos associar essa situação?
Atividades sobre o cubo da soma e da diferença de dois termos.
1) Determinar o polinômio que representa o volume do cubo abaixo.
2) Completar a atividade observando a figura abaixo decomposta
29
a) O cubo verde da primeira figura acima de aresta (......) tem volume (......)
e o do cubinho roxo sua aresta mede 3 cm então, tem volume; (......).
b) Na figura acima da cor verde, três paralelepípedos têm arestas b, b e 3.
Cada paralelepípedo tem volume (......).
c) O volume dos três paralelepípedos é igual a (......).
d) Os três paralelepípedos de cor rosa da figura acima têm arestas b, 3 e 3.
Cada paralelepípedo tem volume (......), e o volume dos três
paralelepípedos é igual a(......).
3) Calcular a diferença entre o cubo de (4a–b) e o cubo de (4a+b).
4) Desenvolver os exercícios:
a) (x+y)³=
b) (x+2)³=
c) (x+4)³=
d) (2x+1)³=
e) (1–x)³=
5) Relacione a primeira coluna de acordo com a segunda.
a) (x-y)³
( ) x³ -3x²y +3xy² -y³
b) (x-1)³
( ) 8x³ +12x² +6x +1
c) (2x-3)³
( ) x³ -3xy² +3xy² -y³
d) (2a+3)³
( ) 27a³ -54a² +36a -8
e) (3a-2)³
( ) 8x³ -36x² +54x -27
6) A expressão (2–a)³ é igual a:
( ) 8 –a³
( ) 8 -12a +6a² -a³
( ) 8 +a³
( ) 8 +12a +6a² -a³
30
Números Irracionais
Conteúdo Estruturante: Números
Conteúdo Básico: Números Irracionais
Séries: Sétimas e Oitavas
Tempo de aplicação: cinco aulas de 50 minutos
Objetivo Geral: Reconhecer e identificar a diferença entre os números
racionais e irracionais. Os números racionais não são suficientes para descrever
todos os fenômenos, assim podemos utilizar os números irracionais e realizar as
operações básicas como: adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação.
Objetivo Específico: Fazer com que o aluno reconheça as utilidades e o
uso do processo de radiciação em situações problemas. O uso dos números
racionais, normalmente é realizado em trabalhos envolvendo medições com
números de infinitas casas decimais; que expressam as medidas de diagonais de
quadrados e de retângulos, de alturas de pirâmides, representados por números
infinitos.
Recursos utilizados: Papel cartão, giz, lousa, tesoura, lápis de cor ou pincel
atômico e régua.
Conceito matemático: Números irracionais não podem ser escritos na
forma fracionária, pois possuem infinitas casas decimais não-periódicas. Por
exemplo
2 = 141421356... possui infinitas casas decimais e não é uma dízima
periódica, ou seja, não apresenta blocos de algarismos repetidos Os matemáticos
provaram que todas as raízes de números naturais que não são quadrados perfeitos
são números irracionais. Os números irracionais são subsídios servem como
ferramenta usada no cálculo envolvendo racionalização de denominadores.
Metodologia: Para se trabalhar com esse conteúdo é necessário recortar
retângulos coloridos com medidas abaixo determinada.
31
Esta atividade visa fixar conteúdos de números irracionais em Geometria.
1) Recortando retângulos com as seguintes medidas:
a) 5 cm x 8 cm;
b) 4 cm x 5,6 cm;
c) 4 cm x 2 cm;
d) 2,5 cm x 2,9 cm;
e) 1,5 cm x 2 cm.
De um papel cartão, cada aluno deve traçar uma diagonal em cada cartão e
escrever a medida correspondente ao respectivo radical que está transcrito no verso
de cada retângulo. Usando a régua, descubra qual é o valor do radical.
2) Realize as seguintes tarefas considerando apenas duas casas decimais.
a)
93 =
b)
15 =
c)
21 =
d)
50 =
3) Realizar as adições das raízes abaixo:
a)
21 + 15 =
b)
50 +
c)
93 + 15 =
93 =
32
d) 15 +
e)
21 =
93 + 15 =
4) Realize as subtrações das seguintes raízes abaixo:
a)
21 -
15 =
b)
50 -
21 =
c)
93 -
50 =
d)
50 -
15 =
5) Coloque em ordem crescente os números irracionais.
4;
2,2360;
7,0710;
6) Observe que, na sequência
21 ;
3,8729;
4, 5, 6, 7
9,5916
8 , 9 , apenas os números 4
e 9 possuem raízes quadradas exatas, logo são racionais.
Completar escrevendo uma das palavras: racional ou irracional:
a)
4 é um número...................................
b)
5 é um número.....................................
c)
6 é um número.....................................
d)
7 é um número.....................................
e)
8 é um número.....................................
f)
81 é um número....................................
g)
1000 é um número................................
h)
9
é um número....................................
10
i)
16 é um número.................................
j)
7+
4 é um número..............................
33
8) Assinale os números irracionais.
a) 0,111...
b) 1,4343...
c) 1,3418...
d) 0,472472...
e) 1,194175...
f) 8,666...
g) 2,00382...
Para fixar o conteúdo, propomos duas aulas com os Jogos que envolvem os
números irracionais. Jogos com números irracionais.
Este é um jogo que aborda os conceitos de números irracionais de uma
maneira interessante e divertida, promovendo a interação entre os alunos. Trata-se
de um jogo para dois participantes, pode ser aplicado em sala de aula para fixação
do conhecimento, em Laboratório de Ensino de Matemática ou em atividades
extracurriculares.
Material utilizado
Cartolinas nas cores: verde, vermelha, amarela e azul ou papel cartão americano ou EVA, 1 régua numerada, 1 lápis, 1 borracha e 1 pincel atômico na cor preta.
Construção
a) Para o tabuleiro acima, tome uma folha de papel cartolina americana de
cor verde clara, desenhe 8 colunas e 8 linhas.
b) De uma cartolina amarela e outra azul ou de papel cartão americano.
c) desenhe e recorte 32 quadrados com dimensões 1cm x 1cm de cada cor.
34
c) Dessas registre com um pincel atômico 32 matrizes na cor amarela e 32
na cor azul com as respectivas respostas.
Desenvolvimento da Atividade
Cada jogador, na sua vez, adquire um quadrado e se for correspondente à
matriz, sobrepõe ao tabuleiro, senão descarta até preencher o tabuleiro, ganhando
aquele que primeiro completar o tabuleiro.
O professor deverá fazer a conferência dos resultados
Objetivos: Fixar o conceito de números racionais e irracionais crescentes e
decrescentes. Estimular o cálculo mental.
Como construir outro tabuleiro
a. Tome uma folha de papel cartolina americana de cor amarela.
b. Para o tabuleiro, desenhe e recorte um retângulo de dimensões 20cm x
30cm;
c. Dividir em 4 colunas e 6 linhas, sendo a terceira linha com um contorno
mais forte e registre os números conforme mostra a tabela a seguir.
d. Recorte filas retangulares de 9cm x 6cm que são as cartas do jogo
registrando-as nos valores correspondentes como mostra as figuras de
quadradinhos coloridos logo abaixo das cartas amarelas.
35
Respostas dos números irracionais
Desenvolvimento da Atividade
a. Números de participantes: dois sentados de frente um para o outro.
b. Cada jogador, na sua vez, adquire uma ficha e se for correspondente à
raiz,
sobrepõe
ao
tabuleiro,
senão
descarta
até
preencher
o
tabuleiro,ganhando aquele que primeiro completa o tabuleiro.
Estamos propondo cinco aulas para fixar o conteúdo: racionalização de
denominadores, que visa eliminar uma raiz de denominador irracional e transformar
em
outra
fração,
equivalente,
de
denominador
racional.
Por
exemplo:
1
= 1, 732050806... este valor torna mais difícil a divisão e gera aproximação.
3
Racionalizando se torna possível o resultado decimal sendo com isso bem aceito
pelo método convencional da divisão.
36
4.2 RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
Conteúdo Estruturante: Números e Álgebras
Conteúdo Básico: Racionalização de Denominadores
Série: Oitava
Tempo de aplicação: cinco aulas
Objetivo Geral: Permitir que o aluno racionalize denominadores significa
transformar o denominador de um número irracional em um número racional, para
isso é necessário identificá-las. Trabalhando as propriedades fundamentais das
frações: Uma fração não se altera quando o numerador e o denominador são
multiplicados por um mesmo número diferente de zero.
Objetivo Específico: Trabalhar com os alunos para que eles identifiquem
qual é o fator racionalizante da radiciação e realizar os cálculos auxiliares para a
apresentação dos resultados.
Recursos Utilizados: Lousa, giz, 10 folhas de papel cartão americano
colorido, 1 régua numerada, 1 pincel atômico, 1 caixa de lápis com 12 cores.
Metodologias: Trabalhar com exercícios para tornar racional o denominador
de cada uma das expressões, observando sua equivalência.
1º caso: Racionalização de denominador das expressões que apresentam
índice do radical igual a dois, o aluno deve identificar o número pelo qual se deve
multiplicar o numerador e o denominador da expressão para tornar o denominador
racional e investigar as propriedades fundamentais das frações.
Exemplos:
a)
6
=
2
6 2
6 2 6 2
=
=
=3 2
2
2. 2
2²
Observe que o denominador (2) agora é um número racional
37
5
5. 3
15
15
=
=
=
3
3
3. 3
3²
b)
3 é o fator racionalizante.
7
c)
2 5
=
7 5
7 5 7 5 7 5
=
=
=
10
2 5. 5 2 5² 2.5
5 é o fator racionalizante.
2º caso: Quando o denominador é um radical com índice diferente de 2.
Para que o radical desapareça é necessário que este tenha um índice igual ao
expoente do radicando.
Exemplos:
a)
5
5 3 6²
5 36 5 3 36
=
=
=
3
3
6
6 3 6. 3 6²
6³
3
b)
6 ² é o fator racionalizante
7
7 5 2²
75 4 75 4
=
=
=
5
2
2³ 5 2³. 5 2² 5 25
5
2² é o fator racionalizante
Algumas multiplicações. Lembramos o produto notável: (a+b)(a–b)=a²-b²,
Exemplos:
a) (5 + 7 )(5 − 7 ) = 5² − ( 7 )² = 25 − 7 = 18
b)
( 3 − 2)( 3 + 2) = ( 3)² − 2² = 3 − 4 = −1
Observe que o resultado não apresenta radicais.
38
3º caso: O denominador é uma soma ou diferença de dois termos, sendo
pelo menos um dos termos um radical.
Exemplos:
a)
7
5− 2
=
7( 5 + 2)
( 5 − 5).( 5 + 2)
=
7( 5 + 2)
= 7( 5 + 2) = 7( 5 + 2)
( 5)² − ( 2)²
5- 2
3
Na expressão acima, realizamos a multiplicação por dois termos da
expressão e o fator racionalizante é ( 5 +
b)
2) .
4
4(5 − 2)
4(5 − 2) 4(5 − 2) 4(5 − 2)
=
=
=
=
25 − 2
23
5 + 2 (5 + 2).(5 − 2) 5² − ( 2)²
Na expressão acima, (5 -
2) é o fator racionalizante.
d) Simplificaremos a expressão abaixo.
2
7+ 2
7
7- 2 =
2.( 7 - 2) -
7.( 7 + 2)
( 7 + 2).( 7 - 2)
2 7 - 4 - 7 - 2 7 - 11
11
= 7- 2 7 + 2 7 - 4 = 7- 4 = 3
Atividades propostas sobre racionalização de denominadores
1) Responda:
a) O que significa racionalizar uma fração. Dê um exemplo.
b) Qual é o número pelo qual devemos multiplicar os dois termos da
expressão
15
para obter uma expressão que tenha no denominador um
4 3
número racional?
39
2) Efetue as multiplicações e complete:
a)
3. 3 = 3² = 3 , o fator racionalizante da expressão
b)
7. 7 = (.....), o fator racionalizante da expressão
3 é (.....)
7 é. (.....)
c) (2 5). 5 = (.....), o fator racionalizante da expressão 5 é (.....)
d) (8 7 ). 7 = (.....), o fator racionalizante da expressão 8 7 é (.....)
3) Racionalize o denominador de cada uma das seguintes expressões:
a)
3
=
2
b)
8
=
3
c)
9
=
11
d)
8
=
5
e)
5 2
=
6
f)
3 2
=
7
g)
h)
7
2 3
=
3
=
2 11
40
4) Observe o cálculo auxiliar e complete:
a) O fator racionalizante da expressão
5
8³ é
5
8² =(.....), como por
exemplo:
5
85−3 = 5 8²
b) O fator racionalizante da expressão
6
5² é (.....)
4
c) O fator racionalizante da expressão 9 é (.....
d) O fator racionalizante da expressão
3
7² é (.....)
5) Racionalize o denominador de cada expressão a seguir.
8
a)
5
34
6
3
b)
2
15
c)
3
7²
18
4
d)
6
2
e)
3
6
1
f)
4
2³
=
=
=
=
=
=
6) Efetue as multiplicações:
a) ( 8 + 5)( 8 + 5) =
b) ( 6 + 2)( 6 − 2) =
c) (2 + 3)(2 − 3) =
41
d) (4 − 2)(4 + 2) =
e) (5 + 2)(5 + 2) =
f) ( 6 − 10)( 6 + 10) =
7) Completar as frases abaixo. Se no denominador tivesse:
a)
7 − 5 você multiplicaria ambos os termos da fração por
7+ 5.
b)
8 − 2 você multiplicaria ambos os termos da fração por
8+ 2
c) 2 − 3 você multiplicaria ambos os termos da fração por ...............
d) 9 − 7 você multiplicaria ambos os termos da fração por ................
8) Racionalize o denominador de cada uma das seguintes expressões:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
5+ 3
5− 3
=
5
2 3− 2
1
24 5
=
=
8
=
3+ 7
7
3− 2
=
4
2 5 −3
=
9) Racionalizando o denominador de
( ) 4 R
( )
R²
2
R
, vamos obter:
2 R
( )
R
2
( )
R
2R
42
10) Calcular a medida do lado do quadrado cuja diagonal mede:
a) 1m
b) 6 3cm
11) Calcule a medida y no retângulo.
a) Área = 10c
b) A área da figura é igual a 60cm². Quanto mede o lado AB
12) Para chegar em sua casa, José precisa subir uma rampa, conforme o
esquema abaixo. Calcule o comprimento dessa rampa.
13) Uma torre de 40 metros de altura é sustentada por dois cabos de aço
que estão a 35 metros da base da torre, conforme mostra a figura abaixo.
43
Responda quantos metros de cabo de aço foram necessários para essa
sustentação?
14) Certa lajota é formada por 4 triângulos retângulos dos quais um dos
catetos mede 2 5cm . Qual deve ser a medida do outro cateto para que essa lajota
tenha área de 60 cm²
15) Na pirâmide quadrangular da figura, o segmento VC representa a altura
da pirâmide. Sabendo-se que VY = 15 cm e VC = 10 cm, calcular: a medida do lado
da base e o perímetro da base.
44
4.3 SISTEMA DE EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU
Introdução: Usando princípios matemáticos podemos resolver problemas
que envolvam situações de relação de números conhecidos com números
desconhecido que represente uma incógnita e possibilite fazer generalizações.
Os sistemas de equações são muito usados nas áreas de matemática,
engenharia, física, química, para resolução de problemas, e sempre aparecem em
vestibulares, exames e concursos. Os sistemas, geralmente, são resolvidos com
uma certa facilidade o que causa muitas vezes uma certa desatenção, por parte do
aluno, ele quase não tem dificuldade para encontrar a solução do sistema mas, sim
para a armação e principalmente na solução final da questão. Os sistemas são
ferramentas que mesmo funcionando necessitam de alguém que saiba o construir
com elas.
Conceito: Sistemas de equações é um recurso utilizado com a linguagem
algébrica para resolver problemas que envolvam situações cuja quantidade
procurada são números desconhecidos representados por uma letra do alfabeto que
represente uma relação entre os números conhecidos e os desconhecidos.
Além de saber armar o sistema é bom saber fazer a escolha pelo método
mais rápido de resolução, acredito que o método mais utilizado seja o de adição.
Problema: A soma de dois números é 24 e a diferença entre eles é 8. Quais
são estes números?
Solução: Para resolver problemas como este que apresenta duas incógnitas
desconhecidas, utilizamos um sistema de equações.
Utilizamos x como o primeiro número (o maior) e y o segundo número.
Pelo enunciado, a soma de dois números é 24, ou seja: x+y=24. e a
diferença entre eles é 8, isto é :x-y = 8.
A solução de um sistema de equações com duas variáveis é um par
ordenado (x, y) de números reais que satisfaz às duas equações
Observamos que o par ordenado (16,8) satisfaz às duas equações, pois
16+8=12 e 16-8=8, logo, uma solução do sistema é (16,8). Será que é única?
Vamos analisar agora alguns métodos para resolver sistemas de equações:
45
1- Método da adição: A resolução de um sistema por esse método
consiste em;
a) Multiplicar todos os termos de cada uma das equações por um número
conveniente, para que os novos coeficientes de uma das incógnitas
tenham números opostos;
b) Adicionar os primeiros membros e os segundos membros das novas
equações, obtendo uma terceira equação com uma só incógnita;
c) Resolver a terceira equação e substituir o valor obtido na sua incógnita,
em uma das equações do sistema, para obter o valor de uma incógnita,
em uma das equações do sistema, para obter da outra incógnita
d) Considere a seguinte situação: A soma das idades de Adão e Alcides é
48 anos.
Determinar a idade de cada um sabendo-se que, daqui a 8 anos, a idade de
Adão será o triplo da idade de Alcides.
Indicando por x a idade de Adão e por y a idade de Alcides, temos: x+y=48
Daqui a 8 anos, a idade de cada um será: x+8 e y+8. Como nessa época a
idade de Adão será o triplo da idade de Alcides, temos:
x+8 = 3(y+8)
ou seja:
x+8 = 3y+24
Então, podemos montar o sistema:
x + y = 48
x+8 = 3y+24
logo:
x - 3y = 24 – 8
e segue que:
x – 3y =16
Multiplicando a equação x+y=48 por 3, obtemos:
46
3x + 3y = 144
x – 3y = 16
Vamos adicionar membro a membro as equações:
3x + 3y = 144
Que pode ser escrita na forma
x – 3y = 16
Assim, 4x = 160, de onde segue que:
x = 160/4 = 40
Substituindo x=40 na equação x+y=48, obtemos:
40 + y = 48
Logo:
y = 48 –40= 8
Concluímos que Adão tem 40 anos e Alcides, 8 anos.
Exemplo com outro sistema: Neste caso, basta eliminar uma das variáveis,
através de termos opostos, recaindo numa equação do 1º grau com uma variável.
x + y = 24
x-y=8
Observamos que as duas equações possuem termos opostos (y e -y).
Com isso, basta somar membro a membro as duas equações, para obter
2x = 32
47
Assim:
x = 32/2 = 16
A seguir, basta substituir x=15 na primeira equação 16 + y = 24, para obter
y = 24 – 16 = 8
O par ordenado (x, y)=(16, 8) é a solução do sistema.
Outro exemplo:
4x+6y= 6
8 x + 12 y = 24
Observamos que as equações não possuem coeficientes opostos, e se
somarmos membro a membro, não eliminaremos qualquer variável. Para resolver
este sistema, devemos escolher uma variável para ser eliminada. Para isso,
multiplicamos a primeira equação por -2, para obter um novo sistema equivalente
-8 x – 12 y = -12
8x + 12 y = 24
Agora, somando membro a membro estas duas últimas equações, obtemos
0x + 0y = 12
Esta última equação não possui solução, logo a solução do sistema é o
conjunto vazio, isto é, S= { }
48
2. Método da substituição: Consiste em eliminar uma variável isolando o
seu valor em uma das equações do sistema, para em seguida substituí-la na outra.
Exemplo:
x + y = 24
x–y=8
Escolhemos uma variável na primeira equação, para determinar o seu valor:,
Neste caso, vamos isolar x, para obter a sua expressão:
x = 24-y
Substituímos a expressão de x na outra equação para obter a sequência de
operações:
(24-y)-y=8
Que pode ser escrita na forma
24-2y=8
Desse modo:
-2y=8-24
Simplificando a equação
2y=16
Finalmente, obtemos
y=16/2=8
Substituindo o valor obtido em uma das equações, como por exemplo,
x+8=24, obtemos x = 24-8=16. Concluímos que a solução do sistema é S = {(16,8)}.
49
Exemplo:
3x + 4y = 46
2x – y = 16
(I)
( II)
Vamos isolar a variável y da equação 2x–y=16, para obter a sua expressão:
y= -16+2x
Substituindo este valor na equação: 3x+4(-16+2x)=46, obtemos
3x-64+8x=46
De onde segue que:
11x=46+64
Garantindo que
x=110/11=10
Substituindo o valor de x=10 na equação 2x-y=16, obtemos
-y=16-2x
Multiplicando esta equação por (-1), obtemos
y=-16+2.10=4
Logo, a solução do sistema é S = {( 10,4 )}.
3. Método da comparação: Consiste em comparar as duas equações do
sistema, após isolarmos a mesma variável (x ou y) nas duas equações:
2x+4y=4
2x+2y=6
50
Como aparece 2x nas duas equações, basta tomar 2x=4-4y para obter
2x=6-2y
Comparando estas duas últimas equações, podemos escrever:
4-4y=6-2y
Assim:
-4y+2y=6-4
que pode ser simplificado em:
-2y=2
e obtemos o valor y=-1
Substituindo o valor y=-1 na equação 2x+4y=4, obtemos:
2x+4(-1)=4
Que pode ser posto na forma
2x-4=4
Assim:
2x=4+4=8
Ou seja:
x=8/2=4
Portando, o conjunto solução é S= {(4, -1)}
Observamos que independente do método, a solução é a mesma, assim
basta escolher o método que seja mais rápido e seguro.
51
Aplicações de sistemas de equações pelo método mais rápido e seguro
1. Em um depósito existem 48 extintores de incêndio, sendo de espuma
química e dióxido de carbono. Sabendo-se que a quantidade de dióxido de carbono
é o triplo da quantidade de espuma química, conclui-se que o número de extintores
de espuma química existentes nesse depósito é:
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
Resolução: Vamos observar que é melhor adotar as iniciais das palavras.
Pois se adotarmos x e y fica um pouco confuso na hora de dar a resposta.
E = números de extintores de espuma química
D = número de extintores de dióxido de carbono
E + D = 48
D = 3E
E + D = 48
- 3E + D = 0
Como queremos o valor de E, basta multiplicar a segunda equação por (-1) e
com o método de adição encontraremos o valor de E.
E + D = 48
E–D= 0
Somando membro a membro as duas últimas equações, obtemos
4E = 48
para obter:
E = 48/4 = 12
O número de extintores de espuma química é de 12 extintores.
52
2. Eu tenho o dobro da idade da minha filha. Se a diferença entre as nossas
idades é 46 anos, a minha idade é:
a) 80
anos
b) 92 anos
c) 82 anos
d) 60 anos
Resolução: M = minha idade, F = idade da minha filha. O sistema fica na forma:
M = 2F
M – F = 46
Substituindo M=2F na segunda equação, obtemos
2F-F = 46
logo
F=46
e
M=2F=2(46)=92.
Abaixo propomos cinco aulas para fixação deste conteúdo
53
SISTEMA DE EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU
Séries: Sétimas e Oitavas
Tempo de aplicação: dez aulas de 50 minutos
Conteúdo estruturante: Números e Álgebras
Conteúdo Básico: Sistema de Equações do primeiro grau
Justificativa: O estudo da equação permite solucionar problemas que
envolvam relação entre números conhecidos e números desconhecidos, usando
princípios matemáticos que possam manipular os dados até encontrar o valor do
número desconhecido que possa fazer generalizações e encontrar a solução da
equação.
Objetivo: Com o recurso de manipulação de materiais para a fixação deste
conteúdo o objetivo é despertar o pensamento matemático através do uso de alguns
princípios matemáticos para encontrar um valor que possa solucionar a questão
proposta.
Metodologia: Para trabalhar esse conteúdo utilizaremos uma maquete onde
teremos totalizado 46 rodas e13 veículos entre carros e motos estacionados.
O problema a ser proposto é que precisamos saber quantos são carros e
quantos são motos que há nesse estacionamento.
Identificaremos os carros com a letra x os carros e as motos com a letra y.
54
Assim a equação que corresponde ao problema é:
x + y = 13
4x + 2y = 46
Solução: Isolando y na primeira equação, obtemos
y= 13 –x
Substituindo esta última expressão na segunda equação, obtemos
4x + 2y = 46
Assim:
4x + 2(13 – x) = 46
De onde segue que:
4x + 26– 2x = 46
Desse modo:
2x = 46 – 26=20
Logo:
x = 10
O número de carros é x=10. Para obter o número de motos, temos que
y = 13 – x = 13 – 10 = 3
Desse modo, o número de motos é y=3
Questão objetiva: Em um restaurante há 24 mesas, todas ocupadas.
Algumas por 4 pessoas, outras por apenas 2 pessoas num total de 76 fregueses. O
número de mesas ocupadas por apenas 4 pessoas é?
a) 8
b) 10
c) 12
Solução:
D = número de mesa com 2 lugares
Q = número de mesa com 4 lugares
Montagem do sistema de equações.
D + 1Q = 24
2D + 4Q = 76
d) 14
55
Dividindo a segunda equação por 2 faz com que o sistema tome a forma
D + Q = 24
D + 2Q = 38
Subtraindo a primeira equação da segunda equação, obtemos:
Q=38-24=14
Substituindo este valor na primeira equação, obtemos
D= 20 / 2= 10
Existem 10 mesas com dois lugares.
Sugestões de Atividades para fixar o Conteúdo Relacionado com Sistemas de
Equações do Primeiro Grau
1) Usando o método de adição, resolver os sistemas abaixo e verificar a
solução obtida.
a)
b)
2) Resolver o sistema pelo método que você julgar mais conveniente,
verificando a solução encontrada.
4(x – 4) + 6y = -14
6x – 4(y – 8) = - 6
3) Calcular a área de um retângulo cujo comprimento mede 44cm e a
diferença entre a medida da base e a metade da medida da altura é de 10 cm.
4) Reuna-se com um colega e faça o que se pede: Cada um irá pensar em
um par ordenado de números reais,escrever duas equações do 1º grau, com duas
incógnitas que tenham o par imaginado como solução de cada uma das equações.
56
5) Troquem entre si os sistemas formados pelas duas equações escritas
para que o outro resolva o sistema por um dos métodos revistos. Destroquem para
que cada um de vocês faça a verificação da resposta, resolvendo o sistema pelo
outro método.
6) Um galinheiro foi construído em um terreno retangular de 80 metros
quadrados de telas de arame de área de 36 metros de perímetro.
Se eu afastar um metro do contorno do terreno quais serão as medidas de
comprimento e largura deste galinheiro?
7) Um jogador de basquete fez o seguinte acordo com o seu clube: cada vez
que ele convertesse um arremesso, receberia R$ 20,00 do clube e cada vez que ele
errasse pagaria R$ 10,00 ao clube. Ao final de uma partida em que arremessou 40
vezes, recebeu R$100,00. Pode-se afirmar que o número de arremessos
convertidos pelo jogador foi:
a) 0
b) 10
c) 20
d) 30
8) José e Alzira resolveram comparar suas seleções de “compact disc”
Descobriram que eles possuem ao todo 208 CDs e que, se Alzira tivesse 24
CDs a menos teria o triplo do número de CDs do José. É possível afirma que a
quantidade de CDs que José possuía é:
9) Um pai tem 40 anos a mais do que o filho. Determine a idade de cada um,
sabendo que daqui a 10 anos o pai terá o dobro da idade do filho.
a) 86
b) 80
c) 64
d) 46
57
10) Num escritório de advocacia trabalham dois advogados: Anderson e
Bruno e a secretária Palmira. Tais advogados sempre trabalham em causas
diferentes. A secretária coloca um grampo em cada processo de Anderson e dois
grampos em cada processo de Bruno, para diferenciá-los facilmente no arquivo.
Sabendo-se que ao todo são 156 processos, nos quais foram usados 220 grampos
podemos concluir que o número de processos de Bruno é igual a:
a) 128
b) 92
c) 80
d) 64
11) Um aluno ganha 10 pontos por exercícios que acerta e perde 6 por
exercício que erra. Ao fim de 100 exercícios, tinha 260 pontos. Quantos exercícios o
aluno acertou?
a) 70
b) 60
c) 50
d) 30
12) Uma pessoa retira R$140,00 de um banco, recebendo 20 notas algumas
de R$ 20,00 e outras de R$ 10,00. Calcule quantas notas de R$ 10,00 a pessoa
recebeu.
a) 20
b) 12
c) 8
d) 4
Bingo de Sistema de Equações do Primeiro Grau
Objetivo geral: Despertar interesse pelos ensinamentos matemáticos.
Objetivo Específico: Dominar os Sistemas de Equações
Público Alvo: Alunos a partir da oitava série
Composição do Jogo: 48 cartelas e 24 matrizes para sorteio.
Material utilizado: EVA ou cartolina americana, 1 lápis, 1 borracha, 1 régua
numerada e um pincel atômico.
Cartela com as respostas correspondentes às equações do primeiro grau
58
Construção: Recortar 48 cartelas de EVA ou cartolina medindo 7cm x 8cm,
com as respostas. Exemplo: S={(-2,1)}. Recortar quadradinhos para marcar.
Regra do jogo
•
Cada participante receberá uma cartela.
•
O professor sorteará uma matriz a cada vez, em seguida escrevendo a
Sistema de Equação na lousa.
•
O participante que tiver o resultado de sistema equação, irá marcá–la
(com uma ficha) com a finalidade de preencher a cartela.
•
O jogo termina quando um participante preencher sua cartela.
•
O professor deverá fazer a conferência dos resultados.
59
4.4 EQUAÇÕES IRRACIONAIS
Introdução: O ensino deste conteúdo é para que aluno reconheça e
identifique uma equação irracional e saiba encontrar a solução aplicando as
propriedades para a solução de um problema que envolva equação irracional.
Conceito: Denomina-se equação irracional toda equação que contem a
variável no radicando, entretanto devemos lembrar que os radicais de índice par
somente tem significado em IR quando o radicando for maior ou igual a zero. A
resolução de uma equação é feita elevando-se ambos os membros da equação ao
uma potencia conveniente, a fim de transformá-la numa equação racional para
facilitar o cálculo.
Objetivo Geral: Conduzir o processo cognitivo, levando a prática de pensar
e do raciocínio na resolução de problemas e situações problematizada da realidade
concreta ampliando o universo de suas representações mentais.
Objetivo Específico: Identificar e resolver equações irracionais
Recursos Utilizados: lousa, giz, lápis,
borracha, EVA ou cartolina
americana.
Metodologia: Para resolver uma equação irracional, usa-se como artifício
elevar os dois membros da equação a uma potência conveniente. Procedendo
dessa forma, eliminamos os radicais e obtemos uma equação racional que já
sabemos resolver.
Exemplos:
a) No conjunto R dos números reais, determinar o conjunto solução da
equação irracional
x + 2 = x- 4
60
Resolução: Para que o radical
x + 2 exista no conjunto dos números reais,
devemos ter x≥-2. Elevando ao quadrado os dois membros da equação,
obtemos:
( x + 2) 2 = ( x - 4)²
Que fornece:
x + 2 = x² - 8x + 16
Esta equação pode ser escrita na forma
x² - 9 x + 14 = 0
Resolvendo esta equação, obtemos:
∆ = b² - 4ac = (- 9)² - 4.1.14 = 25
Assim
x=
9 + 25
9+ 5
= x=
= 7
2.1
2
A outra solução é x = - 2
Ao elevar ao quadrado os dois membros da equação, obtemos uma nova
equação, que pode ter mais raízes que a equação original, e algumas dessas raízes
são denominadas raízes estranhas pois não satisfazem à equação irracional original.
Assim, devemos verificar se os valores obtidos são soluções da equação original.
Por exemplo, x=7 é uma solução da equação irracional dada, mas x=2 não é uma
solução da equação irracional original, pois substituindo este valor na equação
obtemos
2 + 2 = 2- 4
O que é falso. Assim, o conjunto solução é S={7} e x=2 é uma raiz estranha.
No conjunto R dos números reais, determinar o conjunto solução da
equação irracional x -
x+ 5= 1.
Resolução: Nesta equação, x≥-5 para que
x + 5 tenha sentido no conjunto
dos números reais. Depois, isolamos o radical em um dos membros da equação:
x-
x+ 5 = 1
61
Para obter:
x - 1=
x+ 5
Em seguida, elevamos ao quadrado os dois membros:
( x - 1)² = ( x + 5)²
Para obter:
x² - 2 x + 1 = x + 5
que pode ser escrita na forma:
x² - 3x - 4 = 0
Agora, resolvemos a equação obtida, calculando o discriminante
∆ = (- 3)² - 4.1(- 4) = 9 + 16 = 25
Utilizamos a fórmula quadrática para obter:
x=
3+
25
2
=
3+ 5
=4, x=-1
2
Por último, verificamos que x = 4 é uma solução, pois:
x-
x- 5 = 1
4-
4+ 5 = 1
4-
4+ 5 = 1
4-
9=1
4- 3 = 1
1 = 1(verdadeiro)
62
Verificamos também que x = - 1 é uma solução, pois:
x-
x+ 5 = 1
- 1-
- 1+ 5 = 1
- 1-
4=1
- 1- 2 = 1
- 3 = 1( falso)
Como -1 é uma raiz estranha, o conjunto solução é S = {4}.
3) Resolver a equação irracional
3
2+
x+ 1 = 2.
Solução: Primeiro, elevamos ao cubo ambos os membros da equação
(3 2+
x + 1)3 = 23
Para obter:
2+
x+ 1= 8
Isolando o radical, obtemos:
x + 1 = 8- 2
Elevando os dois membros ao quadrado:
( x + 1)² = 6²
Obtemos:
x + 1 = 36
De onde segue que:
x = 35
63
Verificação:
3
2+
3
35 + 1 = 2
2+
3
36 = 2
8= 2
2 = 2(verdadeira )
Resumindo: Para resolver uma equação irracional devemos:
•
Transformá-la numa equação sem radicais.
•
Resolver essa equação.
•
Verificar as raízes para eliminar as possíveis raízes estranhas.
Sugestão de atividades
1) Resolver as equações irracionais em R:
a) x + 2 = 7
b)
3
x+ 1= 5
c)
2x + 5 =
x + 10
d)
2x + 5 =
x + 10
e)
f)
3
3
3
3x - 1 =
x² - 1 =
3
2 x + 11
15
g)
x + 3= 8
h)
x- 2 + 3= 7
i) 16 x ² + 25 = 4 x + 2
x = x- 6
j)
2) Relacione a primeira coluna de acordo com a segunda:
a)
x = x- 6
V={
b)
3x + 6 - 2 = x
V = { 85 }
c)
3
5x - 8 -
3
3x + 2 = 0
4
}
V = { 21 }
64
d)
V={
x+ x= 2
e) x =
V={ 5
6- x
}
2
}
f)
3x - 8 - 1 = 0
V={
2
}
g)
3 x + 16 - x = 2
V={
1
}
h) 3 3 x - 2 = 2 5 x - 1
V={
3 }
i)
3
3x + 1 = 2
V={ 9
}
j)
x- 4 - 3= 0
V={
m)
6 + 1+ 2 x = 3
V = { - 2, 1}
3 }
3) Subtraindo 6 de um número, obtém-se o dobro da sua raiz quadrada.
Qual é esse número?
4) O dobro da raiz quadrada de um número natural diminuído de 16 é igual à
nona parte desse número. Qual é esse número?
5) Resolva a equação
a- 1-
1 + a + 2 = 0 , sendo a um número real.
Bingo das Equações Irracionais
.
Objetivo geral: Despertar interesse pelos ensinamentos matemáticos.
Objetivo Específico: Dominar as Equações Irracionais
Público Alvo: Alunos a partir da oitava série
Composição do Jogo: 48 cartelas e 24 matrizes para sorteio.
65
Material utilizado: EVA ou de cartolina americana
Construção: Recortar 48 cartelas de EVA ou cartolina americana de
dimensão 7 cm x 7 cm, e dividir em três colunas e três espaços horizontais colocar
as respostas. Exemplo: S= {(-2,1)} .Recortar quadradinhos para marcar.
Regra do jogo
a. Cada participante receberá uma cartela.
b. O professor sorteará uma matriz a cada vez, em seguida escrevendo a
Equações Irracionais na lousa.
c. O participante que tiver o resultado de sistema equação, irá marcá–la
(com uma ficha) com a finalidade de preencher a cartela.
d. O jogo termina quando um participante preencher sua cartela.
e. O professor deverá fazer a conferência dos resultado
66
4.5 FATORAÇÃO
Introdução: A aprendizagem deste conteúdo é pré-requisito para resolver
equações do segundo grau pelo método árabe, para que dominem os trabalhos que
envolvam os quadrados perfeitos, os dobros e as metades.
Conceito: Fatorar um número equivale a decompor o mesmo em um
produto de fatores. Uma fatoração completa decompõe o número em um produto de
fatores primos.
Metodologia: Um número natural pode ser decomposto em um produto de
dois ou mais fatores. Existem várias maneiras de fatorar um número natural.
Observe algumas maneiras de fatorar o número 72, por exemplo.
72 = 8 x 9
72 = 6 x 12
72 = 2 x 2 x 18
72 = 2³ x 3²
Assim como é possível fatorar um número natural, alguns polinômios
também podem ser fatorados. Existem vários casos de fatoração como:
1. Fator Comum em evidência
Quando os termos apresentam fatores comuns.
a) Considere a situação em que vamos fatorar um polinômio. Para isso,
considere a expressão abaixo.
67
A área dessa figura pode ser determinada pela soma das áreas 1, 2 e 3.
Ou seja:
área da figura = área 1 = área 2 = área 3 = ad + bd + cd
Também pode encontrar a área da figura calculando a área do retângulo de base
(a+b+c) e altura d, ou seja:
área da figura=(a + b + c) . d
Logo
(ad + bd + cd) = (a + b + c) . d
A expressão (a+b+c). d é a forma fatorada do polinômio ad+bd+cd.
Já sabemos que, pela propriedade distributiva da multiplicação é possível
desenvolver uma expressão numérica escrita na forma fatorada.
b) Recorte um retângulo em um papel americano na cor verde clara, medindo
1,6cm x 4,3cm e um quadrado na cor azul clara medindo 2,4cm x 4,3cm e junte-os
dois retângulos, como mostra figura abaixo
A = b.h
A = 9.(x+y) forma fatorada
A = 9.x+9.y forma desenvolvida
68
c) Recorte um retângulo na cor amarela medindo 1,5 cm x 4,3 cm e outro
retângulo de 1 cm x 4,3 cm na cor laranja. Junte os dois conforme a figura:
Como:
Área = (base)( altura)
Então:
A = 9 (x+y)= 9x+9y
Sendo que A=9(x+y) é a forma fatorada.
c) Outro caso que os termos apresentam fatores comuns.
Observe o polinômio p(a,y)=ax+ay. Ambos os termos apresentam o fator a,
que pode ser posto em evidência. Assim: ax+ay=a(x+y) é a forma fatorada.
Considere
a
figura
abaixo
formada
por
3
retângulos
de
alturas
respectivamente iguais a x, y e z, tendo a mesma base medindo 2 unidades. A área
desta figura pode ser dada pela soma das áreas dos três retângulos:
A=2x+2y+2z
Também podemos obter a área da figura, considerando o retângulo maior,
69
cuja altura é a soma x+y+z e a base é 2, para obter:
A=2(x+y+z)
Dois é base comum aos três retângulos
Assim, podemos escrever:
2x+2y+2z= 2(x+y+z)
Neste caso, dizemos que 2(x+y+z) é a forma fatorada da expressão
polinomial 2x+2y+2z, e, também, que colocamos em evidência o fator 2 que é
comum a todos os termos.
2. Fatoração por agrupamento
a) Considere a figura a seguir:
A expressão que representa a área dessa figura é o polinômio:
ax+ay+bx+by
Observe que não há fatores comuns a todos os termos desse polinômio,
mas é possível agrupá-los de modo que cada grupo tenha um fator comum. Nesse
caso o polinômio é fatorado por agrupamento. A área pode ser obtida por duas
aplicações do caso do fator comum em alguns polinômios especiais, como por
exemplo, o da figura acima:
Os dois primeiros termos possuem em comum o fator a, os dois últimos
70
termos possuem em comum o fator b. Colocando esses termos em evidência:
a(x+y) + b(x+y)
Esta nova expressão polinomial possui o termo (x+y) em comum, assim
colocando-o em evidência, obtemos
(x+y)(a+b)
Desse modo:
ax + ay + bx + by = (x + y).(a + b)
Nós poderíamos ter agrupado os termos da seguinte maneira:
ax + ay + bx + by = ,
(ax + bx) + (ay + by) = agrupar convenientemente os termos
x(a + b) + y(a + b) = colocar em evidência o fator comum de cada grupo
(a + b).(x + y) = colocar o fator comum (a + b) em evidência
b) Tenho 3 partes de certo papel:
Se calcularmos respectivamente os perímetros das duas figuras teremos:
p = (x + y + x + y) + (m + n + m + n) + (m + n + m + n)
então, reduzindo teremos:
p = 2x + 2y + 4m + 4n
ou seja:
p =2(x + y) +4(m + n)
que é a forma fatorada.
71
3. Fatoração por diferença de dois quadrados: Consiste em transformar
as expressões em produtos da soma pela diferença, simplesmente extraindo a raiz
quadrada de cada quadrado. Assim,
(a+b).(a–b) = a² - b²
Quando os dois termos da expressão são quadrados perfeitos, basta extrair
as raízes quadradas:
a) x² - 9 = (x+3)(x-3)
b) 49 - a² = (9+a)(9–a)
c) 4a² - 9b² = (2a+3b)(2a–3b)
4) Fatoração do trinômio quadrado perfeito: O trinômio obtido quando se
eleva um binômio ao quadrado chama-se trinômio quadrado perfeito
Considere a figura e identifique os trinômios (
)e (
)
que são quadrados perfeitos pois são obtidos quando se eleva (a+b) e (a-b) ao
quadrado, respectivamente.Vamos analisar dois casos importantes:
72
Vamos considerar o seguinte procedimento:
•
Obter a raiz quadrada do primeiro termo.
•
Obter a raiz quadrada do último termo.
•
O termo do meio deve ser o dobro do produto das raízes.
•
O resultado terá o sinal do termo do meio.
Vamos tomar o exemplo:
A raiz quadrada de
4 x ² é 2x
A raiz quadrada de
9 y² é
3y
O duplo produto de 2x por 3 y é 2.2 x.3 y = 12 xy
Assim, o termo
, pode ser escrito como um trinômio
quadrado perfeito, isto é,
=
Da mesma forma, podemos obter
4x² + 12xy + 9y² = (2x + 3y)²
Exemplos:
a)
b)
73
Fatoração de polinômios
Séries: Sétimas
Conteúdo Estruturante: Números Álgebras
Tempo de aplicação: Cinco aulas de 50 minutos
Justificativa: Para justificar o estudo da Geometria valorizamos as medidas
mais relacionadas com o dia-a-dia para informação cultural. A álgebra é um recurso
utilizado para dar mais credibilidade na solução de problemas que relacionados com
medidas de área e para facilitar o entendimento e fixar o conceito desenvolvendo
operações e as fatorações dos polinômios.
Objetivo: Para visualizar e conceituar as propriedades de resolução das
equações do segundo grau, nós aplicamos a fatoração para facilitar a
aprendizagem. Fatoração é uma forma diferenciada de escrever uma equação do
segundo grau. Quando conhecermos os fatores que multiplicados produzem um
polinômio, fatorar um polinômio equivale a fazer o caminho inverso, de modo a
chegar ao produto que gera o polinômio original.
Metodologia: Apresentamos alguns casos:
a. Fator em evidência
Colocação do fator em evidência: Analisemos as situações
Para fatorar a expressão ax+bx+cx, observamos que x aparece nas três
parcelas, assim, esta expressão pode ser escrita como:
ax+bx+cx = x(a+b+c)
O x foi colocado em “evidência’’ dizemos que x é fator comum.
Para fatorar 4xy+6ay–2my, basta colocar y em “evidência”, para obter a
expressão y(4x+6a–2m). Também podemos por 2 em “evidência” para obter
74
2y(2x+3a–m), assim, 2y é o fator comum.
Outros exemplos:
1) 7ax – 5x = x (7a–5)
2) 4mx – 4my = 4m (x-y)
3) 5a³ + 7ax – 2a²x² = a (5a² + 7x – 2ax²)
Recorte um retângulo na cor verde e na dimensão de 1,6 cm x 4,3 cm e
outro retângulo de 4,3 cm x 2,4 cm e junte-os conforme a figura:
Como:
Área = (base) ( altura)
Então:
A = 9 (x+y)= 9x+9y
Sendo que A=9(x+y) é a forma fatorada. Considere agora o mesmo
problema que antes, mas com a figura
Como A = b.h, temos os dois termos que multiplicados por x, para gerar a
forma fatorada:
A = x(4y+1) = 4xy + x = x(4y+1)
75
Sugestão de atividades
1) Fatorar as expressões (fator comum):
a) 3a + 3b =
b) ax + ay =
c) xa – ya =
d) 7y – 7 =
e) am – 7a + 5ay =
f) 5a – 5b + 5c =
g) 7x² +3yx² - 6x²a =
2) Relacionar a primeira coluna de acordo com a segunda:
a) 4x + 6y
( ) 3(3x – 4y)
b) 3m + 6
( ) 2(5a – 4)
c) 10a – 8
( ) 3 (m + 2)
d) 9x –12y
( ) 2(2x + 3y)
e) 3a + 5a²
( ) a(5x – 7y²)
3) Considere o binômio 15ax² -10a²x e responda:
a) Quais são os fatores comuns a esses dois termos?
b) Qual é a forma fatorada desse binômio?
4) Fatorando a expressão 5x² - 20x + 20, vamos obter:
( ) 5 (x – 2)
( ) 5 (5x + 2)²
5) Fatore os polinômios
a)
1
1
xy − x ² a
2
2
a a² a³
b) − + −
2 4 6
c)
m 5m² 2m³
−
+
12
6
9
d)
3
3
mx - m ² y
7
7
( )5 (x +2) (a – 2
( ) 20(5x²+x)
76
2. Fatoração por agrupamento: Aplica-se duas vezes a fatoração utilizando
o processo do fator comum. Por exemplo, vamos fatorar a expressão polinomial com
quatro termos:
ax+bx+ay+by.
Nos dois primeiros termos colocamos “x em evidência” para escrever
ax + bx = x(a+b)
Nos dois últimos termos colocamos “y em evidência” para escrever
ay+by =y (a+b)
Por último, colocamos ( a+b) em evidência, para escrever a forma final
ax+bx+ay+by = (a+b) (x+y)
Num exemplo prático, devemos pintar uma parede de 2 cores diferentes e
cuja área é dada por A=an-bn+am–bm. Assim,
Área total = an –bn+am–bm = n(a-b)+m(a-b) = (a–b)(n+m)
O último termo é a forma fatorada.
Sugestão de Atividades
1) Fatorar as seguintes expressões (por agrupamento) :
a) 5ax + bx + 5ay + by
b) 3x + 3y + ax +ay
c) 2a - 2b + ma + mb
d) ay + 3by + ax + 3bx
e) ay + 3by + ax + 3bx
77
2) Relacionar a primeira coluna de acordo com segunda:
a) 4x + ax + 4y + ay
( ) (a + x) (a – 1)
b) 3y + ay + 3m + am
( ) ( x + 1) (x² + 1)
c) ax – bx + ay – by
( ) (a + 3) (a² + 2)
d) 5ax – 5a + bx – b
( ) (x – 1) (5a + b)
e) a³ + 3a² + 2a + 6
( ) (a – b) (x + y)
f) x³ + x² + x + 1
( ) (y + m) (3 + a)
g) a² - a + ax – x
( ) (x + y) (4 + a)
3) Fatorando a expressão mx+my–ax–ay, vamos obter:
( ) (m + a) ( x – y)
( ) (x + y²) (x - y)
( ) (m – a) (x + y)
( ) (m + x) (m + a)
4) Resolver: Um professor de Matemática tem 4 filhos. Em uma de suas
aulas, ele propôs a seus alunos que descobrissem o valor da expressão ac + ad +
ac + bd; sendo que a, b, c, e d são as idades de seus filhos na ordem crescente.
Como informação complementar, o professor disse que a soma das idades dos dois
mais velhos é 48 anos e a soma das idades dos dois mais novos é 25 anos. Neste
caso, o valor numérico da expressão proposta pelo professor é igual a:
a) 93
b) 1.870
c) 2.006
d) 118
e) 4.063
b. Diferença de dois quadrados
“Quando os dois termos da expressão são quadrados perfeitos”. Para fatorar
a diferença de dois quadrados, devemos obter a raiz quadrada do primeiro termo e a
raiz quadrada do segundo termo, como por exemplo:
a²-9=(a+3) (a-3)
78
Como exercício, analisemos alguns casos:
a) a² - 81 = (a + 9)(a - 9)
b) 9x² - 16y² = (3x + 4y)(3x - 4y)
c) 4 x 6 -
1 8
1
1
y = (2 x ³ + y 4 )(2 x ³ - y 4 )
25
5
5
1) Fatorar as expressões:
a ) x 4 - 25a ² = (.......... + ..........).(.......... - ..........)
b)9 x ² - 16 y ² = (.......... - ..........).(.......... + ..........)
2) Completar as igualdades:
a) x² - y² = (x + y).(.............)
b) d² - 36 = (d + 6).(.............)
c) 9x² - 1= (3x +1).(.............)
d) x4 - 25a² = (x² + 5a).(.............)
3) Fatorar as expressões:
a) y² - 1 =
b) 4x² - 9 =
c) m² - 4a² =
d) x4 – y4 =
e) 25a²- 81=
4) Transformar as seguintes expressões em uma multiplicação.
a)
1
x² - a²
9
b)
1
25
6
4x
9 y4
c)
x10 -
d)
36 6
y
81
1
x² - 9
4
e) 5) Usar produtos notáveis para calcular o valor da expressão: 1982² 1981².
79
6) Uma folha de cartolina quadrada da figura tem 97 cm de lado. Bruno quer
diminuir o tamanho dessa folha deixando um quadrado de 87 cm de lado. Que área
Bruno vai retirar dessa folha? Resolva usando fatoração.
c.Trinômio quadrado perfeito
Como descobrir se é um trinômio quadrado perfeito?
Vamos considerar um exemplo, mostrando que 9a ² - 12a + 4 = (3a - 2)²
A raiz quadrada de
9a ² é 3(a), a raiz quadrada de 4 é 2 e o duplo produto
de 3(a) por 2 é 2.3a.2 = 12a , e como o termo do meio coincide com o termo do
trinômio, segue que o trinômio é um quadrado perfeito!
Um exemplo que não funciona é x² + 7 x + 9 , pois a raiz quadrada de
x² é
x, a raiz quadrada de 9 é 3 e o duplo produto de x por 3, é 2.x.3 = 6 x que é diferente
de 7x, assim, esta expressão não é um trinômio quadrado perfeito.
1) Efetuar, completar e responder:
a) x² + 10 x + 25 é um trinômio quadrado perfeito? (
) sim
(
x ² = ........
25 = ........
Termo do meio: 2.(.....)(.....).=(.....)
b) 4 x ² - 12ax + 9a ² é um trinômio quadrado perfeito? ( ) sim
4 x ² = ......
9a ² = ......
Termo do meio: 2.(.....)(.....).=(..........)
( ) não
) não
80
2) Fatorar os trinômios quadrados perfeitos:
a) 4a² - 12ab + 9b²
b) 9a² + 6ab + b²
c) x² + 12xy + 36y²
d) x4 + 4x² + 4
e) x² - 4xy + 4y²
3) Fatorando a expressão a2–10a+25, obtemos
( ) (a + 5)²
( ) (x - 5)²
( ) (a² - 5)²
( ) 5(a + 5)
Jogo: Bingo da fatoração
Participantes: Quatro grupos de alunos.
Material necessário: 4 cartões americano colorido ou materiais EVA , 1
lápis,1 borracha, 1 régua numerada, 1 pincel atômico. Uma cartela para cada grupo.
Cartela com as respostas correspondentes à fatoração
Construção: Recortar 4 cartelas de material EVA ou cartolina americana
colorida de dimensão 7cm x 8 cm, e colocar
as respostas correspondentes.
Exemplo: (x - 5)² . Recortar quadradinhos para marcar.
81
Regra do jogo
a) O professor escreve no quadro a fatoração, uma a uma, e cada equipe
tenta resolver o que se pede, procurando o resultado em sua cartela. Os cálculos
devem ser registrados no caderno.
b) O grupo que primeiro acertar o resultado ganha 1 ponto.
c) O grupo que primeiro localiza o resultado em sua tabela ganha 1 ponto.
d) Ganha o jogo o grupo que primeiro totalizar 10 pontos ou que ficar com
maior número de pontos após a última informação.
82
4.6 Sistema de Equações do Segundo Grau
Introdução: Após aprender sistemas de equações do primeiro grau com
duas variáveis, estudaremos a resolução de sistemas do segundo grau, isto é,
sistemas com duas equações e duas variáveis, em que uma das equações é do
segundo grau e a outra é do primeiro grau como, por exemplo:
ou
Objetivo Geral: Estudar aplicações da matemática, para o .caso de
sistemas de 2 incógnitas com 2 equações, nos problemas do dia-a-dia.
Objetivo específico: Reconhecer um sistema de equações do segundo
grau como aquele em que uma das equações é do segundo grau.Interpretar uma
situação-problema, distinguir as informações necessárias das supérfluas, planejarem
a resolução, identificar informações que necessitam ser levantadas, estimar (ou
prever) soluções possíveis, decidir sobre procedimentos de solução a serem
utilizados. Resolver sobre situações-problema por meio de equações do segundo
grau compreendendo os procedimentos envolvidos.
Tempo de aplicação: cinco aulas de 50 minutos
Série: A partir das oitavas
Conteúdo estruturante: Números e álgebras
Conteúdo básico: Equações do Segundo Grau
Metodologia: Considere a questão a seguir:
83
O perímetro de um retângulo é 64 cm e a área é 120 cm². Quais são as
dimensões desse retângulo?
Usaremos as dimensões de x e y, para as expressões do perímetro e da
área:
•
Perímetro = x + x + y + y = 2 x + 2 y
•
Área = x. y
Logo, obtemos o sistema:
dividindo os dois membros da 1ª equação por 2 obtemos
Isolando y na equação 1ª e substituindo na equação 2ª, vem:
x + y = 16
y = 16 - x
x. y = 60
x.(16 - y ) = 60
16 x - x ² = 60
x1 = 10
x2 = 6
e
84
Se x = 10cm ,vem:
x + y = 16
10 + y = 16
y = 6cm
Se x = 6cm ,vem:
x + y = 16
6 + y = 16
y = 10cm
Existe um único retângulo, não importa quais correspondem ao comprimento
e à largura, ou seja, as dimensões do retângulo são 10cm e 6cm.
A soma dos quadrados de dois números reais é 40, e a razão entre eles é 1.
Determine-os.
Resolução: Identificamos os números procurados de a e b, formamos o
sistema:
Isolamos a na segunda equação para obter a = b .Substituindo na primeira
equação, obtemos:
b² + b² = 40
Que pode ser escrita na forma
2b² = 40
Assim:
b² = 20
De onde segue que:
b= +2 5 ,
b= -2 5
85
Como a = b ,obtemos, segue que:
a= +2 5
a= - 2 5
Como não podemos ter dimensões negativas, as únicas respostas são:
a= b= + 5
Assim:
a1 = 2 5 e b1 = 2 5
a2 = - 2 5 e b2 = - 2 5
Logo, temos dois pares de números: ( 2 5 , 2 5 ) e ( - 2 5 , - 2 5 ).
Atividades propostas
1) Resolver os seguintes sistemas do segundo grau, sendo U=RxR:
a)
b)
c)
2) Resolva os seguintes sistemas do segundo grau (nestes exercícios,
devem, inicialmente preparar o sistema)
a
b)
86
c)
d)
e)
f)
3) A diferença de dois números positivos é 9/12, e o produto desses
números é 1 Qual é o maior desses números?
4) O pai disse ao filho: ”Hoje a minha idade é o quadrado da sua, mas daqui
a dez anos a minha idade excederá a sua em 30 anos”. Quais são as idades do pai
e do filho?
5) Os lados de um retângulo de área 24 m² estão na razão 2/6. Qual é o
perímetro do retângulo?
6) Calcule os valores de a e de b mostrado na figura.
87
7) A prefeitura de uma cidade deseja ampliar uma praça que tem área igual
2
a 416m . A praça manterá seu formato retangular, mas terá uma faixa de 4 metros
de largura a mais em cada lado. Dessa maneira, a área aumentará 424m2.
a) Quais são as dimensões atuais da praça? E quais serão as dimensões
após a ampliação?
b) Qual será a área da praça após a ampliação? Nessa área ampliada, a
prefeitura irá fazer um jardim de orquídeas. Qual será a área desse
jardim?
8) Crie um problema para o sistema abaixo e resolva-o.
88
Jogo-da-velha no Sistema de Equações do Segundo Grau
Em uma cartela dividir em três colunas e três espaços horizontais colocar as
respostas. Exemplo: S= {(-2,1)}. Recortar quadradinhos para marcar.
Desenhar no quadro o jogo-da-velha ou trazer expresso numa cartolina
Os alunos deverão jogar substituídos em duas grandes equipes. Os
procedimentos são os mesmos que os do jogo-da-velha tradicional: jogando
alternadamente, quem conseguir resolver corretamente três sistemas de equações
do segundo grau em linha reta ganhará o jogo.
Respostas dos sistemas de equações acima
89
Bingo do Sistema de Equações do Segundo Grau
Objetivo geral: Despertar interesse pelos ensinamentos matemáticos.
Objetivo Específico: Dominar os Sistemas Equações do Segundo Grau
Público Alvo: Alunos a partir da oitava série
Material utilizado: Construir 48 cartelas de EVA ou de cartolina americana,
1 régua numerada, 1 lápis, 1 borracha e 1pincel atômico.
Composição do Jogo: 48 cartelas e 24 matrizes para sorteio.
Respectivas respostas das equações do segundo grau
Construção: Recortar 48 cartelas de EVA ou cartolina americana de
dimensão 3 cm x 8 cm, e dividir em três colunas e três espaços horizontais colocar
as respostas, recortar quadradinhos para marcar.
Regra do jogo
1) Cada participante receberá uma cartela.
2) O professor sorteará uma matriz a cada vez, em seguida escrevendo os
Sistemas de Equações do Segundo Grau na lousa.
3) O participante que tiver o resultado de sistema equação do segundo grau
irá marcar a mesma com uma ficha para preencher a cartela.
4) O jogo termina quando um participante preencher sua cartela.
5) O professor deverá fazer a conferência dos resultados.
90
REFERÊNCIAS
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agosto 2010, às10:18h.
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Petrópolis: Vozes, 2000.
BARROSO Juliane Matsubara, Projeto Araribá. Matemática. São Paulo: Moderna,
2006
BONJORNO, José Roberto. Matemática: Fazendo a diferença, São Paulo: FTD,
2009.
BORDENAVE, Juan Díaz; PEREIRA, Adair Martins. Estratégias de Ensino
Aprendizagem. Petrópolis: Vozes, 1989.
BRASIL. Ministério da Educação e Desporto. Secretaria da Educação Fundamental.
PCN: Parâmetros Curriculares Nacionais (1ª a 8ª série). Brasília: MEC/SEF, 1997 1998.
CASTRUCCI Júnior e Benedito. A Conquista da Matemática, São Paulo: FTD,
2009.
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EDWALDO Bianchini, Matemática/Vestibular1: A melhor ajuda ao vestibulando na
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91
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MATERIAL DESENVOLVIDO PELO CENTRO DE ESTUDOS E PESQUISAS EM
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