p. 42
102 Se cos x 5 4 e 0  x  p , determine:
a) sen x 3
5
p
b) cos
2 x 3
2
5
5
2
)
(
c) tg ( 2p 2 x ) 2 3
4
d) sec (p 1 x) 2 5
4
Resolução:
cos x 5 4 ; 0  x  p
5
2
3
sen
x
c) tg (2p 2 x) 5 2tg x 5 2
5 2 5 5 23
cos x
4
4
5
1
1
d) sec (p 1 x) 5
5
5 25
cos (p 1 x)
2cos x
4
a) sen x 5 1 2 cos x 5 1 2 16 5 3
25
5
2
)
(
b) cos p 2 x 5 sen x 5 3
5
2
103 Se x 1 y 5 p e sen x 5 1 , o valor de cos y é:
2
3
c) 1
3
d) 2
3
a) 0
b) 1
e)
2 2
3
Resolução:
x 1 y 5 p ; sen x 5 1
2
3
p
y 5
2 x → cos y 5 cos p 2 x 5 sen x 5 1
2
3
2
)
(
104 Determine, em função de sen x, cos x e tg x:
(
)
a) tg p 1 x 2 1
tg x
2
b) cotg p 1 x tg x
2
(
)
Resolução:
(
)
(
)
c) sec p 1 x 2 1
sen x
2
1
d) cossec p 1 x
cos
x
2
(
)
(
)
a) tg p 1 x 5 tg p 2 (2x) 5 cotg (2x) 5 2cotg x 5 2 1
tg x
2
2
b) cotg p 1 x 5 cotg p 2 (2x) 5 tg (2x) 5 2tg x
2
2
1
c) sec p 1 x 5 sec p 2 (2x) 5 cossec (2x) 5
52 1
sen (2x)
sen x
2
2
1
d) cossec p 1 x 5 cossec p 2 (2x) 5 sec (2x) 5
5 1
cos (2x)
cos x
2
2
(
(
(
)
)
)
(
(
(
)
)
)
48
)
)
(
(
cos p 1 x
2
105 (UFOP-MG) A expressão
é equivalente a:
p
sen
2 x
2
a) tg x
c) 2tg x
b) cotg x
d) 2cotg x
e) 1
Resolução:
cos p 1 x
cos p 2 (2x)
2sen x
sen (2x)
2
2
5
5
5
5 2tg x
cos
x
cos
x
cos x
sen p 2 x
2
)
)
(
(
)
(
2 e 0  x  p , determine:
2
2
2
3p
3p
a) sen 2 1 x 2 2
b) cos 2 1 x
106 Se cos x 5
)
(
(
)
Resolução:
2 ;0  x  p
2
2
a) sen 3p 1 x 5 2cos x 5 2 2
2
2
2
b) cos 3p 1 x 5 sen x 5
2
2
cos x 5
)
)
(
(
107 Se sen x 5 2 1 e p  x  3p , determine o valor nu­mérico de:
3
2
)
(
sen (p 2 x) 1 sen (p 1 x) 1 sen p 2 x
2
A 5
. 8
9
sec (2p 2 x)
Resolução:
)
(
sen (p 2 x) 1 sen (p 1 x) 1 sen p 2 x
2
A 5
sec (2p 2 x)
sen x 1 (2sen x) 1 cos x
A 5
5 cos x 5 cos 2 x 5 1 2 sen 2 x
1
1
cos (2p 2 x)
cos x
Substituindo sen x 5 2 1 , temos: A 5 1 2 1 → A 5 8 .
3
9
9
49
2
2
108 Simplifique a expressão A 5
tg (p 1 x)
)
(
(
cossec p 2 x ? sec p 2 x
2
2
)
 cos2 x. 1
Resolução:
tg (p 1 x)
1 cos 2 x
p
p
cossec
2 x ? sec
2 x
2
2
tg x
A 5
1 cos 2 x 5 sen x ? cos x ? sen x 1 cos 2 x → A 5 1
sec x ? cossec x
cos x
A 5
)
(
)
(
)
(
14 sen (p 2 x) 2 4 cos p 2 x
2
109 Simplificando a expressão A 5
, obtemos:
5 sen (2p 2 x)
a) 0
c) 21
e) 22
b) 1
d) 2
Resolução:
)
(
14 sen (p 2 x) 2 4 cos p 2 x
2
14 sen x 2 4 sen x
A 5
5
5 10 sen x → A 5 22
5 sen (2p 2 x)
5 (2sen x)
25 sen x
(
{
)
110 Resolva a equação sen 3p 1 x 5 cos x no intervalo [0, 2p]. S 5 p , 3p
2
2
2
}
Resolução:
(
(
sen 3p
2
sen 3p
2
3p 1 x
2
2x 5 p
2
Se k 5
Se k 5
Se k 5
Se k 5
 S 5
)
1 x ) 5 sen ( p 2 x )
2
1 x 5 cos x
(
)
5 p 2 x 1 2kp ou 3p 1 x 5 p 2 p 2 x 1 2kp
2
2
2
2 3p 1 2kp → x 5 2 p 1 kp
2
2
0 → x 5 2 p  [0, 2p]
2
1 → x 5 p
2
2 → x 5 3p
2
5
3 → x 5 p  [0, 2p]
2
p , 3p
2 2
{
}
50
(não existe x)
(
)
{
}
111 Resolva a equação tg 10x 5 cotg p 2 x . S 5 x  IR | x 5 kp , k  Z⁄
Resolução:
(
tg 10x 5 cotg p 2 x
2
tg 10x 5 tg x
10x 5 x 1 kp
9x 5 kp
x 5 kp , k  Z
⁄
9
2
9
)
{
}
 S 5 x  IR | x 5 kp , k  Z
⁄
9
)
(
112 A soma das raízes da equação cos2 p 2 x 2 cos2 x 5 0 no intervalo [0, 2p] é:
2
c) 3p
d) 4p
a) p
b) 2p
e) 5p
Resolução:
cos 2 p 2 x 2 cos 2 x 5 0
2
sen 2 x 2 cos 2 x 5 0 → sen 2 x 2 (1 2 sen 2 x) 5 0 → 2 sen 2 x 5 1 →
→ sen 2 x 5 1 → sen x 5  2
2
2
As raízes são: p , 3p , 5p ou 7p .
4 4
4
4
p
3
p
5
p
7
p
soma 5
1
1
1
5 4p
4
4
4
4
)
(
(
)
{
113 Resolva a equação tg 2 x 5 3 ? cotg p 2 x no intervalo [0, 2p]. S 5 0, p, p , 4p
Resolução:
tg 2 x 5
tg 2 x 5
(
)
3 cotg p 2 x
2
3 tg x → tg 2 x 2
2
3 tg x 5 0 → tg x ( tg x 2
No intervalo [0, 2p], temos:
tg x 5 tg 0 → x 5 0 ou x 5 p
tg x 5 tg p → x 5 p ou x 5 4p
3
3
3
p
4
p
Então, S 5 0, p, ,
.
3 3
{
}
51
3
3
}
3 ) 5 0 → tg x 5 0 ou tg x 5
3
114 (Fuvest-SP) Se a é um ângulo tal que 0 , a , p e sen a 5 a, então tg (p 2 a) é igual a: 2
2
a)
2a
1 2 a2
c)
12 a
a
b)
a
1 2 a2
d)
2 1 2 a2
a
e) 2
1 1 a2
a
Resolução:
sen a 5 a → sen (p 2 a) 5 a
sen2 (p 2 a) 1 cos2 (p 2 a) 5 1 → a2 1 cos2 (p 2 a) 5 1 →
→ cos (p 2 a) 5 2 1 2 a 2 → o cosseno no segundo quadrante é negativo.
sen (p 2 a)
2a
tg (p 2 a) 5
→ tg (p 2 a) 5
cos (p 2 a))
1 2 a2
p. 46
115 Determine:
6 2
4
Resolução:
a) cos 75°
2
b) tg 165°
3 2 2
c) cotg 105°
3 22
a) cos 75° 5 cos (30° 1 45°) 5 cos 30° ? cos 45° 2 sen 30° ? sen 45° 5
5
3 ?
2
2 2 1 ?
2
2
2 5 6 2 2 5
2
4
4
b) tg 165° 5 tg (135° 1 30°) 5
6 2
4
2
tg 135° 1 tg 30°
5
1 2 tg 135° ? tg 30°
3
23 1 3
3
5
5
5
(21) ? 3
3 1 3
12
3
(23 1 3 ) ? (3 2 3 ) 6 3 2 12
5
5
5
6
(3 1 3 ) ? (3 2 3 )
21 1
c) cotg 10
05° 5 cotg (60° 1 45°) 5
5
(1 2
( 3
3 22
1 2 tg 60° ? tg 45°
1
5
5
tg (60° 1 45°)
tg 60° 1 tg 45°
3 ? 1) ? ( 3 2 1)
2 3 24
5
5
2
1 1) ? ( 3 2 1)
3 2 2
116 Usando as fórmulas de adição e subtração, prove que cos (p 1 x) 5 2cos x e sen (p 1 x) 5 2sen x.
Resolução:
cos (p 1 x) 5 cos p ? cos x 2 sen p ? sen x 5 2cos x
sen (p 1 x) 5 sen p ? cos x 1 sen x ? cos p 5 2sen x
52
117 Se x 2 y 5 30°, determine (cos x 1 cos y)2 1 (sen x 1 sen y)2. 2 1 3
Resolução:
x 2 y 5 30°
(cos x 1 cos y)2 1 (sen x 1 sen y)2 5
5 cos2 x 1 2 cos x ? cos y 1 cos2 y 1 sen2 x 1 2 sen x ? sen y 1 sen2 y 5
5 2 1 2(cos x ? cos y 1 sen x ? sen y) 5 2 1 2 cos (x 2 y) 5
(
5 2(1 1 cos 30°) 5 2 1 1
3
2
)
521
3
118 (Unifesp-SP) A expressão sen (x 2 y) ? cos y 1 cos (x 2 y) ? sen y é equivalente a:
a) sen (2x 1 y)
b) cos (2x)
c) sen x
d) sen (2x)
e) cos (2x 1 2y)
Resolução:
sen (x 2 y) ? cos y 1 cos (x 2 y) ? sen y 5 sen (x 2 y 1 y) 5 sen x
(
)
119 Determine o valor de sen p 1 x , sabendo que sen x 5 7 e 0  x  p . 3 1 21
Resolução:
(
)
(
)
6
4
2
sen p 1 x , sen x 5 7 ; 0  x  p
6
4
2
sen 2 x 1 cos 2 x 5 1 → cos 2 x 5 1 2 7 5 9 →
16
16
→ cos x 5 3 → cosseno positivo, pois 0  x  p .
4
2
sen p 1 x 5 sen p ? cos x 1 sen x ? cos p 5 1 ? 3 1 7 ?
6
6
2 4
4
6
(
)
3 1 21
→ sen p 1 x 5
8
6
53
3 →
2
8
120 Determine o valor de sen (a 1 b) ? sen (a 2 b) em função de sen a e sen b. sen2 a 2 sen2 b
Resolução:
sen (a 1 b) ? sen (a 2 b) 5
5 (sen a ? cos b 1 sen b ? cos a) ? (sen a ? cos b 2 sen b ? cos a) 5
5 sen2 a ? cos2 b 2 sen2 b ? cos2 a 5 sen2 a (1 2 sen2 b) 2 sen2 b (1 2 sen2 a) 5
5 sen2 a 2 sen2 a ? sen2 b 2 sen2 b 1 sen2 a ? sen2 b 5 sen2 a 2 sen2 b
121 Determine o valor da expressão: A 5 sen 70° ? cos 25° 2 sen 25° ? cos 70°.
Resolução:
A 5 sen 70° ? cos 25° 2 sen 25° ? cos 70° 5 sen (70° 2 25°) 5 sen 45° 5
122 Se cotg a 5 1 e cotg b 5 1 , determine tg (a 1 b). 2 7
2
Resolução:
cotg a 5 1 → tg a 5
2
cotg b 5 1 → tg b 5
5
tg a 1
tg (a 1 b) 5
1 2 tg a
9
5
1
52
cotg a
1
55
cotg b
tg b
21 5
5
5 27
? tg b
12 2? 5
9
54
2
2
2
2
{
}
123 Resolva a equação sen x 1 cos x 5 2. S 5 x  IR x 5 p 1 2kp, k  Z⁄
4
Resolução:
sen x 1 cos x 5
2 → multiplicando a equação por
2 , temos:
2
2 ? sen x 1
2
2 ? cos x 5 2 ? 2
2
2
Sabendo que 2 5 cos p 5 sen p , temos:
2
4
4
cos p ? sen x 1 sen p ? cos x 5 1
4
4
sen x 1 p 5 1
4
sen x 1 p 5 sen p → x 1 p 5 p 1 2kp → x 5 p 1 2kp, k  Z
⁄
4
2
4
2
4
 S 5 x  IR  x 5 p 1 2kp, k  Z
⁄
4
(
(
{
)
)
}
{ }
124 Resolva a equação cos x 1 3 sen x 5 1 no intervalo 0  x  2p. S 5 0, 2p
3
Resolução:
3 sen x 5 1; 0  x , 2p
Multiplicando a equação por 1 , temos:
2
1 cos x 1 3 sen x 5 1
2
2
2
Sabendo que 1 5 sen p e 3 5 cos p , temos:
2
6
2
6
sen p ? cos x 1 cos p ? sen x 5 1
6
6
2
cos x 1
(
)
(
)
sen x 1 p 5 1 → sen x 1 p 5 sen p
6
2
6
6
x 5 2kp → x 5 0
x 5 5p 2 p 1 2kp → x 5 2p
6
6
3
S 5 0, 2p
3
{ }
55
x 1 p 5 p 1 2kp
6
6
x 1 p 5 p 2 p 1 2kp
6
6
ou
(
)
(
{ }
)
125 Resolva a equação sen p 2 x 5 cos 3p 2 x 1 cos 0 no intervalo 0  x  2p. S 5 0, p
Resolução:
(
)
(
2
2
2
)
sen p 2 x 5 cos 3p 2 x 1 cos 0; 0  x , 2p
2
2
p
sen
? cos x 2 sen x ? cos p 5 cos 3p ? cos x 1 sen 3p ? sen x 1 1
2
2
2
2
cos x 2 0 5 0 2 sen x 1 1
cos x 1 sen x 5 1 → elevando os dois membros ao quadrado, temos:
sen2 x 1 2 sen x ? cos x 1 cos2 x 5 1 → 2 sen x ? cos x 5 0 → sen 2x 5 sen 0 →
→ 2x 5 0 1 2kp ou 2x 5 p 1 2kp → x 5 kp ou x 5 p 1 kp
2
Então, x 5 0 ou x 5 p .
2
p
S 5 0,
2
{ }
126 (FGV-SP) Conhecidas as relações trigonométricas cos (a 1 b) 5 cos a ? cos b 2 sen a ? sen b e
sen (a 1 b) 5 sen a ? cos b 1 sen b ? cos a,
a) obtenha, justificando, a expressão de cos 2x em função de cos x; 2 cos2 x  1
b) obtenha, justificando, a expressão da tg (a 1 b) em função de tg a e tg b. tg (a 1 b) 5
tg a 1 tg b
1 2 tg a ? tg b
Resolução:
a) cos (a 1 b) 5 cos a ? cos b 2 sen a ? sen b; sen (a 1 b) 5 sen a ? cos b 1 sen b ? cos a
cos 2x 5 cos (x 1 x) 5 cos x ? cos x 2 sen x ? sen x 5 cos2 x 2 sen2 x 5
5 cos2 x 2 (1 2 cos2 x) 5 2 cos2 x 2 1
sen (a 1 b)
sen a ? cos b 1 sen b ? cos a
5
cos (a 1 b)
cos a ? cos b 2 sen a ? sen b
Dividindo o numerador e o denominador por cos a ? cos b, temos:
sen a ? cos b 1 sen b ? cos a
sen a
sen b
cos a ? cos b
tg a 1 tg b
cos a 1 cos b
5
5
cos a ? cos b 2 sen a ? sen b
sen a ? sen b
1 2 tg a ? tg b
12
cos a ? cos b
cos a ? cos b
b) tg (a 1 b) 5
Então, tg (a 1 b) 5
tg a 1 tg b
1 2 tg a ? tg b
56
p. 48
127 Se cossec x 5 2 e p < x < p, determine sen 2x. 2 3
2
2
Resolução:
cossec x 5 2 (2o_ quadrante)
1 5 2 → sen x 5 1 → sen 2 x 1 cos 2 x 5 1 → cos 2 x 5 1 2 1 →
sen x
2
4
→ cos x 5  3 → cos x 5 2 3
(2o_ quadrante)
2
2
sen 2x 5 2 sen x ? cos x 5 2 ? 1 ? 2 3 → sen 2x 5 2 3
2
2
2
( )
128 Se sen x 2 cos x 5 a, determine sen 2x em função de a. 1 2 a2
Resolução:
sen x 2 cos x 5 a → elevando os dois membros ao quadrado, temos:
(sen x 2 cos x)2 5 a2 → sen2 x 2 2 ? sen x ? cos x 1 cos2 x 5 a2 →
→ 1 2 2 sen x ? cos x 5 a2 → 22 sen x cos x 5 a2 2 1 → 2 sen x ? cos x 5 1 2 a2
129 Se a 5 2 cos 30° ? cos 60°, determine 4a2. 3
Resolução:
a 5 2 cos 30° ? cos 60°
a 52? 3 ? 1 5 3
2
2
2
4 ? a2 5 4 ? 3 5 3
4
57
130 (FGV-SP) No intervalo [0, 2p], a equação trigonométrica sen 2x 5 sen x tem raízes cuja soma vale:
a) p
b) 2p
c) 3p
d) 4p
e) 5p
Resolução:
No intervalo [0, 2p], temos:
sen 2x 5 sen x → 2 sen x ? cos x 2 sen x 5 0 → sen x (2 cos x 2 1) 5 0 →
→ sen x 5 0 ou 2 cos x 2 1 5 0
Se sen x 5 0 → sen x 5 sen 0 → x 5 0, x 5 p, x 5 2p
Se 2 cos x 2 1 5 0 → cos x 5 1 → cos x 5 cos p → x 5 p , x 5 5p
2
3
3
3
p
5
p
soma 5 0 1 p 1 2p 1
1
5 5p
3
3
131 (Fuvest-SP) Determine todos os valores de x pertencentes ao intervalo [0, 2p] que satisfazem a equação:
cos2 2x 5 1
2 sen2 x. S 5
2
{
p , 3p , 5p , 7p , p , 5p , 7p , 11p
4 4
4
4 6 6
6
6
}
Resolução:
2
1 2 2 sen 2 x
cos 2 2x 5 1 2 sen 2 x → (1 2 2 sen 2 x ) 5
→
2
2
2
→ (1 2 2 sen 2 x ) 2 1 (1 2 2 sen 2 x ) 5 0 →
2
→ (1 2 2 sen 2 x ) (1 2 2 sen 2 x 2 1  5 0 → (1 2 2 sen 2 x ) ? 1 2 2 sen 2 x 5 0 →

2
2
→ 1 2 2 sen 2 x 5 0 → 2 sen 2 x 5 1 → sen 2 x 5 1 →
2
sen x 5  2 → x 5 p , x 5 3p , x 5 5p , x 5 7p
2
4
4
4
4
1 2 2 sen 2 x 5 0 → 2 sen 2 x 5 1 → sen 2 x 5 1 → sen x 5  1 →
2
2
4
2
p
5
p
7
p
11
p
→ x 5 ,x 5
,x 5
,x 5
6
6
6
6
p
3
p
5
p
7
p
p
5
p
7
p
S 5
,
,
,
, ,
,
, 11p
4 4
4
4 6 6
6
6
(
)
{
}
58
)
132 (Fuvest-SP) Se tg  5 2, então o valor de
1
3
2
d) 3
a) 23
b) 2
cos 2
é:
1 1 sen 2
c)
1
3
e)
3
4
Resolução:
tg  5 2 → sen  5 2 → sen  5 2 cos 
cos 
sen 2  1 cos 2  5 1 → (2 cos )2 1 cos 2  5 1 → cos 2  5 1 e sen 2  5 4
5
5
cos 2 5 cos 2  2 sen 2  5 1 2 4 5 2 3
5
5
5
sen 2 5 2 sen  ? cos  5 2 ? 2 cos  ? cos  5 4 cos 2  5 4 ? 1 5 4
5
5
3
3
2
2
cos 2
5 5 5 5 21
5
1 1 sen 2
9
3
11 4
5
5
{
}
133 Resolva a equação sen x ? cos x 5 1 . S 5 x  IR | x 5 p 1 kp, k  Z⁄
2
4
Resolução:
sen x ? cos x 5 1 → 2 sen x ? cos x 5 1 → sen 2x 5 sen p → 2x 5 p 1 2kp
2
2
2
⁄
x 5 p 1 kp, k  Z
4
S 5 x  IR | x 5 p 1 kp, k  Z
⁄
4
{
}
134 Se sen 2x 5 m, determine sen 4x. 2m 1 2 m2
Resolução:
sen 2x 5 m → sen2 2x 1 cos2 2x 5 1 → m2 1 cos2 2x 5 1 → cos 2x 5 1 2 m2
sen 4x 5 2 sen 2x ? cos 2x → sen 4x 5 2m 1 2 m2
59
135 Expresse sen 3a em função de sen a. 3 sen a 2 4 sen3 a
Resolução:
sen 3a 5 sen (2a 1 a)
sen 3a 5 sen 2a ? cos a 1 sen a ? cos 2a
sen 3a 5 2 sen a ? cos2 a 1 sen a (1 2 2 sen2 a)
sen 3a 5 2 sen a ? cos2 a 1 sen a 2 2 sen3 a
sen 3a 5 2 sen a (1 2 sen2 a) 1 sen a 2 2 sen3 a
sen 3a 5 2 sen a 2 2 sen3 a 1 sen a 2 2 sen3 a
sen 3a 5 3 sen a 2 4 sen3 a
136 (UFAL) O ângulo do vértice de um triângulo isósceles é um ângulo agudo. Se a tangente desse
ângulo é igual ao dobro do quadrado de seu seno, determine o cosseno da soma dos ângulos da base.
Resolução:
2 2
2
A
tg  5 2 sen 2  → sen  5 2 sen 2  → 1 5 2 sen  → 2 sen  ? cos  5 1 →
cos 
cos 
p
→ sen 2 5 1 → sen 2 5 sen
→ 2 5 p →  5 p
2
2
4
Se  5 p , a soma dos ângulos da base é p 2 p 5 3p , ou seja, cos 3p 5 2 2 .
4
4
4
4
2
�
B
C
137 (ITA-SP) Sendo a e b os ângulos agudos de um triângulo retângulo, e sabendo que
sen2 2b 2 2 cos 2b 5 0, então sen a é igual a:
2
2
4
2
b)
2
a)
4
8
2
4
8
d) 4
c)
e) zero
Resolução:
sen2 2b 2 2 cos 2b 5 0
(2 sen b ? cos b)2 2 2(2 cos2 b 2 1) 5 0
4 sen2 b ? cos2 b 2 4 cos2 b 1 2 5 0
4 cos2 b (sen2 b 2 1) 1 2 5 0
24 cos2 b (1 2 sen2 b) 1 2 5 0
24 cos4 b 1 2 5 0
cos 4 b 5 1 → cos b 5 4 1 5 4 1 ?
2
2
2
4
4
23 5
23
4
8
2
Sendo o triângulo retângulo, a 1 b 5 90° e sen a 5 cos b; então, sen a 5 cos b 5
60
4
8 .
2
1
138 (Unicamp-SP) Considere a equação trigonométrica sen2  2 2 cos2  1 2 sen 2 5 0.
a) Mostre que não são soluções dessa equação os valores de  para os quais cos  5 0.
b) Encontre todos os valores de cos  que são soluções da equação.  2 ou  5
2
5
Resolução:
sen 2  2 2 cos 2  1 1 sen 2 5 0
2
1
2
2
sen  2 2 cos  1
? 2 sen  ? cos  5 0
2
sen2  2 2 cos2  1 sen  ? cos  5 0
a) Se cos  5 0 → sen  5 1
Substituindo na equação: (1)2 2 2 ? 0 1 (1) ? 0 5 1. (não anula a expressão)
b) sen2  2 2 cos2  1 sen  ? cos  5 0
Dividindo a igualdade por cos2   0, temos:
tg  5 1
21  1 1 8
2
tg  2 2 1 tg  5 0 → tg  5
ou
2
tg  5 2 2
sec 2  5 1 1 tg 2  → sec 2  5 1 1 1 5 2 → cos 2  5 1 → cos  5  2
2
2
ou
sec 2  5 1 1 tg 2  → sec 2  5 1 1 4 5 5 → cos 2  5 1 → cos  5  5
5
5
Portanto, cos  5  2 ou cos  5  5 .
2
5
p. 50
139 Determine:
a) sen 67° 30
21
2
2
b) cos 67° 30 2 2
2
2
c) tg 67° 30
3 1 2 2
Resolução:
a) sen 67° 30 5 135° → sen 67° 30 5
2
b) cos 67° 30 5
c) tg 67° 30 5
1 1 cos 135° 5
2
1 1 cos 135° 5
2
1 2 cos 135° 5
2


1 2 2 2 
 2 
→ sen 67° 30 5
2


1 1 2 2 
 2 
→ cos 67° 30 5
2
21 2 5
22 2
61
(2 1
(2 2
) (
2 ) ? (2 1
22 2
2
)
2)
2 ? 21 2
21 2
2
→ tg 67° 30 5 3 1 2 2
140 Se sen x 5 4 , determine A 5 5 ? cos x 1 5 ? sen x para 0 , x , p2 . A  2
5
3
2
Resolução:
x é arco do primeiro quadrante.
sen
n x 5 4 → cos x 5
5
sen x 5
2
1 2 cos x
5
2
A 5 5 ? cos x 1
3
1 2 16
5 3
25
5
12 3
5 5
2
1 5 1
5
5
5 ? sen x 5 5 ? 3 1
2
3
5
5 ?
1 → A 5 2
5
141 Seja x um arco do 1o quadrante e cos x 5 m . Determine cos x .
2
2
21m
, m  2
2
Resolução:
x é arco do primeiro quadrante.
coss x 5
2
1 1 cos x
5
2
11 m
2 → cos x 5
2
2
21m
, m  22
2
142 Se tg x 5 1 , determine sen x. 12
2
6
37
Resolução:
2 tg x
2
1
2? 1
6
sen x 5
→ sen x 5
5 3 5 12
37
37
1 1 tg 2 x
11 1
2
36
36
62
143 Se tg x 5 1 , determine tg x. 4
2
2
3
Resolução:
2 tg x
2
2? 1
2 5 1 5 4
tg x 5
5
3
3
1 2 tg 2 x
12 1
2
4
4
144 Se sen x 5 1 , determine cos x, sabendo que x é um arco do 1o quadrante. 47
2
49
7
Resolução:
1 2 cos x
sen x 5
→ elevando ao quadrado os dois membros, temos:
2
2
1 5 1 2 cos x → 1 2 cos x 5 2 → cos x 5 47
49
2
49
49
145 Determine o conjunto verdade da equação 4 sen2 x 1 4 cos x 5 3 no intervalo [0, 2p].
2
Resolução:
4 sen 2 x 1 4 cos x 5 3
2
1 2 cos x
4 ?
1 4 cos x 5 3 → 2(1 2 cos x) 1 4 cos x 5 3 →
2
→ 2 2 2 cos x 1 4 cos x 5 3 → 2 cos x 5 1 → cos x 5 1
2
cos x 5 cos p → x 5  p → x 5 p ou x 5 5p
3
3
3
3
S 5 p , 5p
3 3
{
}
63
S 5
{
p , 5p
3 3
}
146 O valor numérico da expressão A 5 4 sen x ? cos x ? cos x, para x 5 p , é:
a) 0
b) 1
2
c) 2
d) 21
2
4
e) 22
Resolução:
A 5 4 sen x ? cos x ? cos x, para x 5 p
2
2
4
sen 2x 5 2 sen x ? cos x → sen x 5 2 sen x ? cos x
2
2
A 5 2 sen x ? cos x 5 sen 2x → A 5 sen 2 ? p 5 sen p → A 5 1
4
2
147 Determine sen x no triângulo da figura a seguir.
2
22
2
3
Resolução:
O triângulo é retângulo; então, x 1 2x 5 90° → 3x 5 90° → x 5 30°
sen 30° 5
2
12
1 2 cos 30°
5
2
Portanto, sen x 5
2
22
2
3
2
3
2
5
.
64
22
2
3
148 Se cossec x 5 5 e p , x , p, determine tg  p 2 x  . 1
3
2
3
2
Resolução:
Se cossec x 5 5 → sen x 5 3 → cos 2 x 5  1 2 sen2 x
3
5
No segundo quadrante, cos x , 0; portanto, cos x 5 2 1 2 9 5 2 4
25
5
p 2 x
1 2 cos (p 2 x)
tg
5
2
1 1 cos (p 2 x)
cos x 5 2 4 → cos (p 2 x) 5 2cos x 5 4
5
5
12 4
p 2 x
5 5 1
tg
5
2
4
3
11
5
(
)
(
)
149 Se sen2 x 2 cos2 x 5 1 , determine o valor de sen x, sabendo que x é um arco do 2o quadrante. 2 2
2
2
3
3
Resolução:
sen 2 x 2 cos 2 x 5 1
2
2
3
2
2
 1 2 cos x 
 1 1 cos x 
1 2 cos x
1 1 cos x
1
2
5 1 → 22 cos x 5 1 →

 2
 5 3 →
2
2
2
2
3
2
3
cos x 5 2 1 → sen x 5  1 2 1 5  8
3
9
9
2 2
No segundo quadrante, o seno é positivo; portanto, sen x 5
.
3
65
150 Se tg  5 sen  e cos   0, determine o valor de tg . 0
2
Resolução:
tg  5 sen ; cos   0
2
2 tg 
 5 2 tg  ? sec 
2
tg  5
5 2 sen 2 5 2 sen
2
2 
1 2 sen 
cos 
1 2 tg
2
2 tg  ? sec  2 tg  5 0 → tg  (2 sec  2 1) 5 0 → tg  5 0
 5 0 e sec  5 1 (não existe )
2
 tg  5 0
151 Determine a soma das raízes da equação sen x 5 sen x no intervalo [0, 2p]. 4p
2
Resolução:
sen x 5 sen x ; [0, 2p]
2
2 sen x ? cos x 5 sen x → sen x 2 cos x 2 1 5 0
2
2
2
2
2
sen x 5 0 ou 2 cos x 2 1 5 0
2
2
x
Se sen
5 0 → sen x 5 sen 0 → x 5 0 ou x 5 2p
2
2
x
Se 2 cos
2 1 5 0 → cos x 5 1 → cos x 5 cos p → x 5  p 1 2kp
2
2
2
2
3
2
3
2
p
2
p
2
p
4
p
x 5
1 4kp → x 5
ou x 5 2
5
3
3
3
3
soma 5 0 1 2p 1 2p 1 4p 5 4p
3
3
)
(
66
p. 53
152 Transforme cos 8x 1 cos 4x em produto. 2 cos 6x ? cos 2x
Resolução:
cos 8x 1 cos 4x 5 2 cos
8x 1 4x
8x 2 4x
? cos
5 2 cos 6x ? cos 2x
2
2
153 Simplifique a expressão: cos 50° 1 cos 10° . cotg 20°
sen 50° 2 sen 10°
Resolução:
50° 1 10°
50° 2 10°
2 cos
? cos
cos 50° 1 cos 10°
2 cos 30° ? cos 20°
2
2
5
5
5 cotg 20°
sen 50° 2 sen 10°
50° 2 10°
50° 1 10°
2 sen 20° ? cos 30°
2 sen
? cos
2
2
154 Fatorando a expressão sen2 2x 2 sen2 x, obtemos:
a) 2 sen x ? sen 3x
b) sen x ? sen 3x
c) 2 sen x ? sen 3x 2
2
3x ? sen 3x
d) 2 sen
2
2
e) 2 sen x ? cos x
2
2
Resolução:
m2n
m1n
? cos
e
2
2
m1n
m2n
sen m 1 sen n 5 2 sen
? cos
, teremos:
2
2
sen 2 2x 2 sen 2 x 5 (sen 2x 2 sen x) ? (sen 2x 1 sen x) 5
2x 2 x
2x 1 x
2x 1 x
2x 2 x
5 2 sen
? cos
? 2 sen
? cos
5
2
2
2
2
5 2 sen x ? cos 3x ? 2 sen 3x ? cos x 5 2 sen x ? cos x ? 2 sen 3x ? cos 3x 5
2
2
2
2
2
2
2
2
x
3x
5 sen 2 ?
? sen 2 ?
5 sen x ? sen 3x
2
2
Lembrando que: sen m 2 sen n 5 2 sen
(
) (
)
67
155 Transforme em produto a soma A 5 cos x 1 cos 3x 1 cos 5x 1 cos 7x. 4 cos x ? cos 2x ? cos 4x
Resolução:
A 5 cos x 1 cos 3x 1 cos 5x 1 cos 7x
3x 1 x
3x 2 x
7x 1 5x
7x 2 5x
A 5 2 cos
? cos
1 2 cos
? cos
2
2
2
2
A 5 2 cos 2x ? cos x 1 2 cos 6x ? cos x
A 5 2 cos x (cos 2x 1 cos 6x)
6x 1 2x
6x 2 2x
A 5 2 cos x 2 cos
? cos
2
2
A 5 2 cos x ? (2 cos 4x ? cos 2x)
A 5 4 cos x ? cos 2x ? cos 4x
)
(
156 Ao transformarmos em produto a soma A 5 cos 3x 2 cos x, obtemos:
a) 2 sen 2x ? sen x
b) 2 sen 2x ? cos x
c) 22 sen 2x ? cos x
d) 24 sen 2x ? sen x
e) 24 sen2 x ? cos x
Resolução:
A 5 cos 3x 2 cos x
3x 1 x
3x 2 x
5 22 sen 2x ? sen x 5 22 ? 2 sen x ? cos x ? sen x
A 5 22 sen
? sen
2
2
A 5 24 sen2 x ? cos x
157 Assinale a alternativa correta:
a) sen 40° 1 sen 20° 5 sen 60°
b) sen 40° 1 sen 20° 5 2 sen 10° ? cos 10°
c) sen 40° 1 sen 20° 5 sen 80°
d) sen 40° 1 sen 20° 5 sen 10°
e) sen 40° 1 sen 20° 5 cos 10°
Resolução:
Alternativa e
1
sen 40° 1 sen 20° 5 2 sen 30° ? cos 10° 5 2 ? ? cos 10° 5 cos 10°
2
68
158 Fatore a expressão: A 5 sen 3x 1 sen x . 2 cos x
sen 2x
Resolução:
sen 3x 1 sen x
A 5
5
sen 2x
2 sen
3x 1 x
3x 2 x
? cos
2 sen 2x ? cos x
2
2
5
5 2 cos x
sen 2x
sen 2x
159 Fatore a expressão: A 5 sen2 4x 2 sen2 2x. A 5 sen 6x ? sen 2x
Resolução:
A 5 sen2 4x 2 sen2 2x
A 5 (sen 4x 1 sen 2x) ? (sen 4x 2 sen 2x) 5 2 sen
4x 1 2x
4x 2 2x
4x 2 2x
4x 1 2x
? cos
? 2 sen
? cos
2
2
2
2
A 5 2 sen 3x ? cos x ? 2 sen x ? cos 3x
A 5 2 sen 3x ? cos 3x ? 2 sen x ? cos x
A 5 sen 2(3x) ? sen 2x 5 sen 6x ? sen 2x
A 5 sen 6x ? sen 2x
{
160 Resolva a equação sen 5x 5 sen x no intervalo [0, 2p]. S 5 0, p , p, 3p , 2p, p , 5p , 7p , 11p
Resolução:
sen 5x 5 sen x; [0, 2p]
sen 5x 2 sen x 5 0
2 sen 2x ? cos 3x 5 0
sen 2x 5 0 ou cos 3x 5 0
2
2
6
Se sen 2x 5 0 → sen 2x 5 sen 0 → 2x 5 kp → x 5 kp →
2
p
3
p
→ x 5 0, x 5 , x 5 p, x 5
, x 5 2p
2
2
Se cos 3x 5 0 → cos 3x 5 cos p → 3x 5  p 1 2kp → x 5  p 1 2kp →
2
2
6
3
p
5
p
7
p
11
p
→ x 5 ,x 5
,x 5
,x 5
6
6
6
6
S 5 0, p , p, 3p , 2p, p , 5p , 7p , 11p
2
2
6 6
6
6
{
}
69
6
6
6
}
{
}
161 Resolva a equação sen 7a 1 2 sen 3a 2 sen a 5 0. S 5 a  IR a 5 kp ou a 5 p 1 kp , k  Z⁄
3
4
2
Resolução:
sen 7a 1 2 sen 3a 2 sen a 5 0
2 sen 3a ? cos 4a 1 2 sen 3a 5 0
2 sen 3a (cos 4a 1 1) 5 0
sen 3a 5 0 ou cos 4a 1 1 5 0
⁄
Se sen 3a 5 0 → sen 3a 5 sen 0 → 3a 5 kp → a 5 kp , k  Z
3
Se cos 4a 1 1 5 0 → cos 4a 5 21 → cos 4a 5 cos p → 4a 5 p 1 2kp → a 5 p 1 kp
4
2
k
p
p
k
p
S 5 a  IR | a 5
ou a 5
1
, k  Z
⁄
3
4
2
{
}
162 O valor da expressão A 5 2 2 sen 11p ? sen 7p é:
24
a)
2 1
2
3
b)
3 2
2
2
c) 2
d)
24
2 2
2
2 2
4
3
e)
3 2
4
2
3
Resolução:
A 5 22 sen 11p ? sen 7p 5 cos p 2 cos q
24
24

11p
p 1 q 5 12
p 1q
p 2q
11
p
7
p
Fazendo
5
e
5
, temos o sistema 
2
24
2
24
p 2 q 5 7p
12

18
2p
5 p → p 5 3p
12
4
Substituindo p, temos:
p 1 q 5 11p → q 5 11p 2 3p → q 5 p
12
12
4
6
A 5 cos p 2 cos q
2 2 3
A 5 cos 3p 2 cos p 5 2 2 2 3 5 2
4
6
2
2
2
70
{
1
163 Considere a função f(x) 5 sen x ? cos x 1 2 (sen x 2 sen 5x). a) S 5 0, p , p, p , 5p , 7p
2
9 9
9
a) Resolva a equação f(x) 5 0 no intervalo [0, p].
b) O gráfico de f pode interceptar a reta de equação y 5 8 ? Explique sua resposta.
5
}
Resolução:
f(x) 5 sen x ? cos x 1 1 (sen x 2 sen 5x)
2
x 2 5x
x 1 5x
f(x) 5 sen 2x 1 1 2 sen
? cos
2
2
2
2
f(x) 5 sen 2x 2 sen 2x ? cos 3x 5 sen 2x 1 2 cos 3x
2
2
a) f(x) 5 0 → sen 2x 1 2 cos 3x 5 0 → sen 2x 5 0 ou 1 2 cos 3x 5 0
2
2
Se sen 2x 5 0 → sen 2x 5 sen 0 → 2x 5 kp → x 5 kp → x 5 0, x 5 p , x 5 p
2
2
1
1
p
p
Se
2 cos 3x 5 0 → cos 3x 5
→ cos 3x 5 cos
→ 3x 5  1 2kp
2
2
3
3
p
2k
p
p
5
p
7
p
x 5 1
→ x 5 ,x 5
,x 5
9
3
9
9
9
S 5 0, p , p, p , 5p , 7p
2
9 9
9
(
)
(
{
)
(
)
}
b) f(x) 5 sen x ? cos x (1 2 2 cos 3x ) 5 1 sen 2x (1 2 2 cos 3x )
2
A imagem da função seno é o intervalo [21, 1], e a da função 1 2 2 cos 3x é o intervalo
[21, 3]. Assim, a imagem do produto será o intervalo [23, 3], que multiplicado por
1 resultará no intervalo  3 3  .
2 ,
2
 2 2 
O valor máximo será 3 menor que 8 . Logo, o gráfico não intercepta a reta de equação y 5 8 .
2
5
5
p. 55
164 Demonstre a identidade: sen 2x ? tg x 5 2 2 2 cos2 x, sendo x  kp.
Resolução:
sen 2x ? tg x 5 2 2 2 cos2 x, sendo x  kp
Desenvolvendo o primeiro membro, temos:
sen 2x ? tg x 5 2 sen x ? cos x ? sen x 5
cos x
2
2
5 2 sen x 5 2(1 2 cos x) 5 2 2 2 cos2 x (igual ao 2o membro)
71
sec x 2 cos x
165 Mostre que cossec x 2 sen x 5 tg3 x, com sen x  0.
Resolução:
sec x 2 cos x
5 tg 3 x, com sen x  0
cossec x 2 sen x
Desenvolvendo o primeiro membro, temos:
1 2 cos 2 x
1 2 cos x
sen 2 x
2
sec x 2 cos x
cos x
5 cos x
5
5 cos2 x 5 sen x ? sen2 x 5 tg 3 x (igual ao 2o_
2
cossec x 2 sen x
1 2 sen x
cos x
1 2 sen x
cos x
cos x
membro)
sen x
sen
x
sen x
166 Demonstre a identidade: cotg x 1 tg x 5 cotg x ? sec2 x.
Resolução:
cotg x 1 tg x 5 cotg x ? sec2 x
Desenvolvendo o primeiro membro, temos:
cos 2 x 1 sen 2 x
1
cotg x 1 tg x 5 cos x 1 sen x 5
5
5 sec x ? cossec x
sen x
cos x
sen x ? cos x
sen x ? cos x
Desenvolvendo o segundo membro, temos:
1
1
cotg x ? sec 2 x 5 cos x ?
5
5 sec x ? cossec x
sen x
sen x ? cos x
cos 2 x
Os dois membros representam uma igualdade; então, a identidade se verifica.
167 Podemos dizer que a função y 5 1 1 sen x 1
a) sec x
b) 2 sec x
cos x
c) cossec x
d) 2 cossec x
cos x
é idêntica a:
1 1 sen x
e) tg x
Resolução:
1 1 sen x
1 1 2 seen x 1 sen 2 x 1 cos 2 x
2 1 2 sen x
cos x
1
5
5
5
cos x
1 1 sen x
cos x(1 1 sen x)
cos x(1 1 sen x)
2(1 1 sen x)
5
5 2 5 2 sec x
cos x(1 1 sen x)
cos x
y 5
72
168 Sejam as identidades:
I. (sen x ? cos x) ? (tg x 2 cotg x) 5 1
II. (sen x ? cos x) ? (tg x 1 cotg x) 5 1
1
III. (sen x ? cos x) ? (tg x ? cotg x) 5 cossec x ? sec x
Podemos afirmar que:
a) I e II são falsas, e III é verdadeira. d) todas são verdadeiras.
b) I é verdadeira, e II e III são falsas. e) todas são falsas.
c) I é falsa, e II e III são verdadeiras.
Resolução:
I. (Falsa); (sen x ? cos x) ? (tg x 2 cotg x) 5 (sen x ? cos x) ? sen x 2 cos x 5
cos x
sen x
2
2
5 sen x 2 cos x  1.
II. (Verdadeira); (sen x ? cos x) ? (tg x 1 cotg x) 5 (sen x ? cos x) ? sen x 1 cos x 5
cos x
sen x
5 sen2 x 1 cos2 x 5 1.


III. (Verdadeira); (sen x ? cos x) ? (tg x ? cotg x) 5 (sen x ? cos x) ?  sen x ? cos x  5
 cos x
sen x 
1
5 sen x ? cos x 5
.
cossec
x
? sec x
)
(
(
)
169 A expressão sen 2x 2 cos 2x é idêntica a:
sen x
a) sen x
b) cos x
cos x
c) tg x
d) sec x
e) cossec x
Resolução:
2
2
sen 2x 2 cos 2x 5 2 sen x ? cos x 2 2 cos x 2 1 5 2 cos x 2 2 cos x 2 1 5
sen x
cos x
cos x
cos x
sen x
5
2 cos 2 x 2 2 cos 2 x 1 1
5 1 5 sec x
cos x
cos x
73
170 A expressão (cotg x 2 sen x)2 1 (1 1 cos x)2 equivale a:
a) cotg2 x
b) cotg2 x 1 1
c) cossec2 x
2
d) cossec x 1 1
e) sec2 x
Resolução:
(cotg x 2 sen x)2 1 (1 1 cos x)2 5
5 cotg 2 x 2 2 cos x ? sen x 1 sen2 x 1 1 1 2 cos x 1 cos2 x 5
sen x
5 cotg2 x 2 2 cos x 1 2 cos x 1 sen2 x 1 cos2 x 1 1 5 cotg2 x 1 2 5
5 cossec2 x 2 1 1 2 5 cossec2 x 1 1
p. 56
171 Desenvolvendo a função y 5 sen4 x 2 cos4 x, obtemos:
a) sen 2x
b) 2sen 2x
c) tg 2x
d) cos 2x
e) 2cos 2x
Resolução:
y 5 sen4 x 2 cos4 x 5
5 (sen2 x 1 cos2 x) ? (sen2 x 2 cos2 x) 5 1 2 cos2 x 2 cos2 x 5
5 1 2 2 cos2 x 5 2cos 2x
172 Demonstre a identidade: (cossec x 2 cotg x)
2
2
1 2 cos x )
(
5
.
sen 2 x
Resolução:
(1 2 cos x)2
sen 2 x
Desenvolvendo o primeiro membro, temos:
(cossec x 2 cotg x)2 5
(ccossec x 2 cotg x)2 5
x 5 1 2 cos x
( sen x )
( sen1 x 2 cos
sen x )
2
74
2
5
(1 2 cos x)2
(igual ao 2o_ membro)
sen 2 x
173 A expressão tg (45° 1 x) ? cotg (45° 2 x) é idêntica a:
tg x
tg x
11
b)
12
a)
11
21
cos x
cos x
1 1 sen 2x
1 2 sen 2x
cos 2x
d) 1 2 cos 2x
c)
e) 1 1 sen 2x
Resolução:
tg (45° 1 x) ? cotg (45° 2 x) 5 tg (45° 1 x)) ?
5
1
5
tg (45° 2 x)
tg 45° 1 tg x
1 1 tg 45° ? tg x
1 1 tg x 1 1 tg x
(1 1 tg x)2
?
5
?
5
5
1 2 tg 45° ? tg x
tg 45° 2 tg x
1 2 tg x 1 2 tg x
(1 2 tg x)2
1
sen x
12
2
1 1 2 tg x 1 tg 2 x
sec 2 x 1 2 tg x
cos x
c
os
x
5
5
5
5
2
2
1
sen
x
1 2 2 tg x 1 tg x
sec x 2 2 tg x
22
cos x
cos 2 x
1 1 2 sen x ? cos x
1 1 sen 2x
5
5
1 2 2 sen x ? cos x
1 2 sen 2x
174 Prove que cos 4a 5 8 cos4 a 2 8 cos2 a 1 1.
Resolução:
cos 2a 5 cos2 a 2 sen2 a
cos 2a 5 cos2 a 2 (1 2 cos2 a) 5 2 cos2 a 2 1
Então:
cos 4a 5 2 cos2 2a 2 1 → cos 4a 5 2(2 cos2 a 2 1)2 2 1 →
→ cos 4a 5 2(4 cos4 a 2 4 cos2 a 1 1) 2 1 →
→ cos 4a 5 8 cos4 a 2 8 cos2 a 1 1 (igual ao 2o membro)
75
175 Mostre que
1
?
1 1 sec x
1 1 cos x
5 cotg x.
1 2 cos x
Resolução:
1
?
1 1 sec x
1 1 cos x
5 cotg x
1 2 cos x
Desenvolvendo o primeiro membro, temos:
1
?
1 1 sec x
5
5
1 1 cos x
1
5
?
1 2 cos x
1 1 sec x
(1 1 cos x)2
1 1 cos x
1
5
?
5
1 1 sec x
sen x
1 2 cos 2 x
1
?
1 1 sec x
1
11 1
cos x
(1 1 cos x) ? (1 1 cos x)
5
(1 2 cos x) ? (1 1 cos x)
?
1 1 cos x
1 1 cos x
cos x
5
?
5 cotg x (igual ao 2o_ membro)
sen x
cos x 1 1
sen x
Em questões como a 176, as alternativas verdadeiras devem ser marcadas na coluna I, e as falsas, na II.
176 (UFPE) Analise as identidades abaixo:
I – II
F 0– 0
sen2 x 1 cos2 (2x) 5 2
V 1– 1
1 1 sen4 x 5 2 sen2 x 1 cos4 x
sen 2 x
5 1 1 tg 2 x
1 1 cos 2x
F 2– 2
F 3– 3
sen x ? tg x 1 sen x 5 sec x
cotg 2 x
1 2 sen 2 x 5
1 1 cotg 2 x
V 4– 4
Resolução:
0 –­ 0 (Falsa); sen2 x 1 cos2 (2x) 5 2; para x 5 0 → 0 1 1 5 1
1 ­– 1 (Verdadeira); 1 1 sen4 x 5 2 sen2 x 1 cos4 x
1 1 (1 2 cos2 x)2 5 1 1 1 2 2 cos2 x 1 cos4 x 5 2(1 2 cos2 x) 1 cos4 x 5 2 sen2 x 1 cos4 x
sen 2 x
2 – 2 (Falsa);
5 1 1 tg 2 x
1 1 cos 2x
Se x 5 0 → 0 5 1
3 –­ 3 (Falsa); sen x ? tg x 1 sen x 5 sec x
Se x 5 0 → 0 1 0 5 1
cotg 2 x
1 1 cotg 2 x
cos 2 x
cos 2 x
sen 2 x
sen 2 x
cos 2 x 5
5
5 cos 2 x
2
2
2
cos
x
sen
x
1
cos
x
11
sen 2 x
sen 2 x
4 –­ 4 (Verdadeira); 1 2 sen 2 x 5
76
{
p. 60
S 5 x  IR p 1 2kp  x  p 1 2kp ou
3
2
177 Resolva a inequação 0 < cos x < 1 .
2
3p 1 2kp  x  5p 1 2kp, k  Z
⁄
2
3
}
Resolução:
0  cos x  1
2
π
2
π
3
1
2
cos x
0
3π
2
5π
3
{
}
S 5 x  IR p 1 2kp  x  p 1 2kp ou 3p 1 2kp  x  5p 1 2kp, k  Z
⁄
3
2
2
3
sen x  1

2

178 Quais números satisfazem e
? S 5 x  IR p 1 2kp , x , p 1 2kp, k  Z
⁄
6
3

1
cos x  2

{
}
Resolução:
sen x  1 ; cos x  1
2
2
sen x
π
3
5π
6
1
2
π
6
1
2
cos x
5π
3
Os números que satisfazem as duas inequações estão entre p e p .
6
3
 S 5 x  IR | p 1 2kp , x , p 1 2kp, k  Z
⁄
6
3
{
}
77
(
)
179 Resolva a inequação tg x 2 p 
Resolução:
(
)
tg x 2 p 
3
3
3 ,
sendo 0 , x , 2p.
3
S 5 x  IR p , x , 5p ou 3p , x , 11p
2
6
2
6
{
3
3
tg x
π
2
π
6
3
3
7π
6
3π
2
)
(
(
)
tg x 2 p  3 → tg x 2 p  tg p → p , x 2 p , p ou
3
3
3
6
6
3
2
7p , x 2 p , 3p → p 1 p , x , p 1 p ou
6
3
2
6
3
2
3
7p 1 p , x , 3p 1 p → p , x , 5p ou
6
3
2
3
2
6
3p , x , 11p
2
6
S 5 x  IR  p , x , 5p ou 3p , x , 11p
2
6
2
6
{
}
78
}
180 Quais os números que satisfazem (sen x 1 cos x)2 , 1?
{
}
⁄
S 5 x  IR p 1 kp , x , p 1 kp, k  Z
2
Resolução:
(sen x 1 cos x)2 , 1
sen2 x 1 2 sen x ? cos x 1 cos2 x , 1 → 2 sen x ? cos x , 0 → sen 2x , 0
sen x
π
p 1 2kp , 2x , 2p 1 2kp → p 1 kp , x , p 1 kp
2
p
S 5 {x  V | 1 kp , x , p 1 kp, k  B}
2
0 z 2π
181 Resolva a inequação sen x 1 cos x <
{
no intervalo [0, 2p]. S 5 x  IR 7p  x  23p
12
12
2
2
}
Resolução:
2 ; [0, 2p]
2
sen x 1 sen p 2 x  2 → transformando em produto, temos:
2
2
2 sen p ? cos x 2 p  2 → 2 ? 2 cos x 2 p  2 → 2 cos x 2 p  1 →
4
4
2
2
4
2
4
→ cos x 2 p  1 → cos x 2 p  cos p
4
2
4
3
sen x 1 cos x 
(
(
(
)
)
)
(
(
)
)
(
)
π
3
1
2
cos x
p  x 2 p  5p → 7p  x  23p
3
4
3
12
12
S 5 x  IR  7p  x  23p
12
12
{
5π
3
79
}

3
sen x  2

182 Determine os números que satisfazem e
no intervalo [0, 2p]. S 5

1
cos x  2

{}
p
3
Resolução:
sen x 
3 ; cos x  1 ; [0, 2p]
2
2
sen x
π
3
2π
3
π
3
3
2
1
2
cos x
5π
3
O único ponto em comum é p .
3
 S 5 p
3
{}
183 Determine os arcos que satisfazem a inequação sen x , 2 3 .
2
4
S 5 x  IR p 1 2kp , x , 5p 1 2kp, k  Z
⁄
3
3
{
}
Resolução:
sen x , 2 3
2
sen x
4p , x , 5p
3
3
4π
3
� 3
2
{
}
S 5 x  IR  4p 1 2kp , x , 5p 1 2kp, k  Z
⁄
3
3
5π
3
80
{
}
184 Resolva a inequação 2 cos x 2 sen2 x < cos2 x. S 5 x  IR p 1 2kp  x  5p 1 2kp, k  Z⁄
3
3
Resolução:
2 cos x 2 sen 2 x  cos 2 x
2 cos x 2 sen 2 x 2 cos 2 x  0 → 2 cos x 2 (sen 2 x 1 cos 2 x)  0 →
→ 2 cos x 2 1  0 → cos x  1
2
π
3
1
2
cos x
p  x  5p
3
3
{
}
S 5 x  IR  p 1 2kp  x  5p 1 2kp, k  Z
⁄
3
3
5π
3
185 Quais os arcos que satisfazem a inequação 2 2 , cos x , 1 situados na primeira determinação
2
positiva?
{
2
S 5 x  IR p , x , 3p ou 5p , x , 5p
3
4
4
3
Resolução:
2 2 , cos x , 1
2
2
π
3
3π
4
1
2
� 2
2
5π
4
cos x
{
S 5 x  IR p , x , 3p ou 5p , x , 5p
3
4
4
3
5π
3
81
}
}
)
(3
)
(3
186 Resolva a inequação sen p 1 x 2 sen p 2 x  0.
{
}
S 5 x  IR 0 1 2kp  x  p 1 2kp, k  Z
⁄
Resolução:
sen p 1 x 2 sen p 2 x  0
3
3
p
p
sen
? cos x 1 cos
? sen x 2 sen p ? cos x 1 cos p ? sen x  0 →
3
3
3
3
p
→ 2 cos
? sen x  0
3
Como cos p 5 1 , temos sen x  0.
3
2
)
(
(
)
sen x
π
0
{
}
S 5 x  IR 0 1 2kp  x  p 1 2kp, k  Z
⁄
82
187 Resolva a inequação 2 ? (1 2 sen2 x) 1 5 sen x 2 4 > 0.
{
}
⁄
S 5 x  IR p 1 2kp  x  5p 1 2kp, k  Z
6
6
Resolução:
2 ? (1 2 sen2 x) 1 5 sen x 2 4 > 0
2 2 2 sen2 x 1 5 sen x 2 4 > 0
2 sen2 x 2 5 sen x 1 2 > 0
zeros de f:
5  25 2 16
sen x 5
→ sen x 5 2 e sen x 5 1
4
2
1
�
1
2
�
2
�
A função seno está definida entre 21 e 1.
1
5π
6
sen x
π
6
1
2
{
}
S 5 x  IR p 1 2kp  x  5p 1 2kp, k  Z
⁄
6
6
83
188 (Fuvest-SP) Determine os valores de x no intervalo ]0, 2p[ para os quais cos x > 3 sen x 1 3 .
{
S 5 x  IR 3p  x  11p
2
6
Resolução:
cos x 
3 sen x 1
3 ; ]0, 2p [
cos x 2
3 sen x 
3
Multiplicando a equação por 1 , temos:
2
1 cos x 2
2
3 sen x 
2
3 → 1 5 cos p e
2
2
3
cos p ? cos x 2 sen p ? sen x 
3
3
(
3 5 sen p , então:
2
3
)
3 → cos
x 1 p 
2
3
3
2
π
6
3
2
cos x
�π
6
2 p 1 2kp  x 1 p  p 1 2kp → 2 p 1 2kp  x  2 p 1 2kp →
6
3
6
2
6
→ 3p 1 2kp  x  11p 1 2kp
2
6
Como x  ]0, 2p [, então: 3p  x  11p .
2
6
S 5 x  IR  3p  x  11p
2
6
{
}
84
}