Capítulo 5 - Dimensionamento: Estados Limites Últimos
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CAPÍTULO 05: Dimensionamento:
Estados Limites Últimos
Segundo a NBR 7190/97, cujas prescrições estão embasadas no Método dos
Estados Limites, para que as peças estruturais de madeira destinadas ao emprego
estrutural tenham a segurança garantida, devem ser submetidas à duas formas de
análises, isto é:
*Verificação da resistência da seção transversal devido às solicitações normais e
tangenciais;
*Verificação da estabilidade lateral devido às solicitações normais.
5.1 Solicitações normais - verificação da resistência
Considerando uma peça estrutural, as tensões normais atuantes em uma
seção transversal qualquer pode ser originada com base em vários efeitos físicos,
principalmente, em decorrência das ações axiais (paralelas às fibras) e das ações
distribuídas ao longo do vão. Em alguns casos devem ser considerados os efeitos
decorrentes de forças atuantes na direção perpendicular às fibras.
Vale registrar que, nas estruturas hiperestáticas, as ações permanentes
indiretas (recalques de apoio e variações de temperatura) provocam mudanças nos
níveis de tensões, porém, em peças de madeira estes efeitos são desconsiderados.
Portanto, a condição de segurança é dada através da relação entre a tensão
atuante e a resistência correspondente à solicitação.
5.1.1 Ações axiais
Com o respaldo da Teoria da Elasticidade, admiti-se algumas simplificações e
considera-se que, os elementos solicitados por forças axiais geram tensões
uniformemente distribuídas em toda a área da seção transversal. Entretanto, os
efeitos produzidos podem ser de diferentes naturezas, ora provocando tensões de
tração, ora provocando tensões de compressão. Tais tensões, quando estão
Capítulo 5 - Dimensionamento: Estados Limites Últimos
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inclinadas em relação às fibras da madeira com valor superior a seis graus,
considera-se a redução da resistência de acordo com a Fórmula de Hankinson,
f 
f0 f90
f0 sen   f90 cos 2 
2
.........................................(5.1)
Onde,
*f: resistência inclinada em relação às fibras da madeira;
*f0: resistência paralela às fibras da madeira;
*f90: resistência perpendicular às fibras da madeira;
*: inclinação entre a posição das fibras da madeira e o eixo longitudinal da peça.
5.1.1.1 Peças submetidas à tração paralela às fibras
A verificação da segurança estrutural para as peças de madeira solicitadas à
tração paralela às fibras estará garantida quando a tensão atuante (t0,d) for menor
ou igual a resistência de cálculo da referida solicitação (f t0,d), ou seja,
 t 0,d  ft 0,d ...................................................(5.2)
É conveniente salientar que para uma eventual inclinação com valor superior
a seis graus (arctg () = 0,10) entre a posição das fibras da madeira e o eixo
longitudinal da peça, torna-se necessário a consideração da redução da resistência.
Para tanto, emprega-se como referência a Fórmula de Hankinson, fazendo-se
então,
 t 0,d  f t,d ...................................................(5.3)
Como exemplo desta solicitação, pode-se mencionar algumas barras que
compõem as estruturas treliçadas, bem como as peças das estruturas de
contraventamento.
5.1.1.2 Peças submetidas à tração perpendicular (normal) às fibras
Conforme as prescrições indicadas na NBR 7190/97, a condição de
segurança na ruptura para as peças estruturais de madeira não devem depender
diretamente da resistência à tração perpendicular às fibras. Quando as tensões
atuantes puderem alcançar valores significativos, utilizam-se dispositivos, cujo
objetivo principal é impedir a ruptura das mesmas.
Mesmo sabendo que este efeito deve ser evitado, tal solicitação poderá
ocorrer em algumas situações, por exemplo:
Capítulo 5 - Dimensionamento: Estados Limites Últimos
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*Ligações entre peças de estruturas treliçadas.
P
FIGURA 5.1 - Ligações entre peças de estruturas treliçadas
*Regiões de apoios indiretos, ou seja, ligações entre vigas, principalmente se a viga
de apoio possuir maior rigidez.
FIGURA 65.2 - Regiões de apoios indiretos
5.1.1.3 Peças curtas submetidas à compressão paralela às fibras
De acordo com as definições apresentadas no texto da NBR 7190/97, as
peças de madeira são consideradas curtas quando o valor do índice de esbeltez ()
é menor ou igual a 40, isto é
  40 .......................................................(5.4)
Considerando,

L0
, para iMIN 
iMIN
Sendo,
*iMIN: raio de giração mínimo;
*IMIN: momento de inércia à flexão mínimo;
*A: área da seção transversal;
*L0: comprimento teórico de referência.
IMIN
.......................................(5.5)
A
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O valor do comprimento teórico de referência é concebido com base nos tipos
de vinculações (figura 5.3) em que estão submetidas as peças estruturais. Desta
maneira, a quantificação é dada da seguinte forma:
*Elemento com extremidade livre e a outra engastada - L 0  2L ;
*Elemento com ambas as extremidades articuladas - L 0  L .
Onde,
*L: comprimento efetivo de comprimento.
Para determinar os valores de "L0", considera-se os tipos de vinculações,
P
P
L
FIGURA 5.3 - Comprimentos teóricos de referência
Para elementos cujas extremidades sejam indeslocáveis a flexão, isto é,
quando se tem peça contínua com mais de dois apoios, a NBR 7190/97 não
considera qualquer acréscimo de rigidez em virtude da continuidade da mesma.
Neste caso, o mesmo documento normativo recomenda que o comprimento teórico
de referência seja igual ao comprimento efetivo da peça em questão, isto é, L 0  L .
Em situações de projeto onde as peças curtas são admitidas como solicitadas
somente por compressão axial, a condição de segurança estará verificada quando
as tensões atuantes (c0,d) não ultrapassarem a resistência de cálculo à compressão
paralela às fibras (fc0,d). Tal condição é expressa por,
 c0,d  f c0,d ...................................................(5.6)
Quando o ângulo da inclinação das fibras ultrapassar 6 (arctg () = 0,10) em
relação ao eixo longitudinal da peça, verifica-se a segurança estrutural das peças
submetidas à compressão paralela às fibras da seguinte forma,
 c0,d  f c,d ...................................................(5.7)
Capítulo 5 - Dimensionamento: Estados Limites Últimos
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Este tipo de solicitação ocorre principalmente em pilares (estruturas de
cobertura, viadutos, pontes, passarelas, etc.), barras de estruturas treliçadas, entre
outras.
5.1.1.4 Peças submetidas à compressão perpendicular (normal) às fibras
Entende-se por compressão normal, quando a direção das solicitações for
perpendicular às fibras da madeira. Portanto, a verificação da condição de
segurança para as peças de madeira submetidas a tais solicitações é garantida
através da seguinte expressão
 c 90,d  fc 90,d ...................................................(5.8)
Onde,
*c90,d: tensão atuante à compressão perpendicular às fibras da madeira.
Cabe ressaltar que a resistência à compressão perpendicular às fibras (f c90,d)
é determinada conforme a equação a seguir,
fc 90,d  0,25 n fc 0,d ..............................................(5.9)
O coeficiente "n" leva em consideração a extensão da aplicação da carga,
medida da direção paralela às fibras da peça solicitada. Os valores deste coeficiente
são expostos na tabela abaixo.
TABELA 5.1 - Valores de “n”
Extensão da carga normal às fibras,
medida paralelamente as mesmas (cm)
1
2
3
4
5
7,5
10
maior ou igual a 15
Fonte: NBR 7190/97
“n”
2,00
1,75
1,55
1,40
1,30
1,15
1,10
1,00
De acordo com os valores apresentados na tabela acima, a resistência à
compressão perpendicular às fibras será acrescida, se somente se, a extensão da
carga aplicada for inferior a 15cm e estiver afastada de pelo menos 7,5cm da
, .
extremidade da peça solicitada. Para os demais casos, adota-se  n  100
Esse tipo de verificação é comumente empregado nas regiões de apoio dos
sistemas estruturais pilar-viga, bem como nas posições de locação das barras de
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protensão transversal, caso das pontes laminadas-protendidas. Tal verificação é
válida para os casos das arruelas, tomando-se como extensão de carga a dimensão
do seu diâmetro ou lado.
5.1.2 Ações aplicadas ao longo do vão
Em
geral,
as
peças
solicitadas
por
ações
externas
aplicadas
perpendicularmente ao longo do vão, estarão sujeitas à flexão e ao cisalhamento.
Tais efeitos ocorrem na maioria dos elementos que compõem os mais variados tipos
estruturais, por exemplo, estruturas de cobertura, pontes, passarelas, assoalhos,
entre outros.
Em algumas casos, principalmente em estruturas de cobertura, é comum
aparecer o efeito simultâneo da flexão em duas direções perpendiculares entre si,
definindo-se como flexão oblíqua. Nos demais casos, ou seja, em peças fletidas em
relação a um eixo, dá-se o nome de flexão reta ou normal.
Convenientemente, neste item será abordado apenas o caso de flexão
simples (normal ou reta e oblíqua), deixando os demais estudos para uma
abordagem posterior.
5.1.2.1 Flexão simples reta (normal)
Por definição, entende-se por flexão simples reta como sendo aquela na qual
a direção das ações seja perpendicular ao eixo longitudinal da peça e o vetor
momento coincida com um dos eixos principais de inércia.
Com este tipo de carregamento aplicado ao longo do vão do elemento
estrutural, podendo ser discreto (cargas concentradas) ou contínuo (cargas
distribuídas), tem-se em uma seção transversal qualquer o aparecimento do
momento fletor. Na realidade, este esforço solicitante é a resultante das tensões
normais atuantes. Para o comportamento elasto-linear do material, considera-se
que, a tensão normal seja linearmente distribuída ao longo da altura da seção
transversal, ocasionado compressão de um lado da linha neutra e tração do outro.
Segundo
a
NBR
7190/97,
independentemente
das
propriedades
anisotrópicas da madeira, admite-se que a linha neutra contenha o centro de
gravidade da seção transversal. A partir daí, conforme a Teoria da Elasticidade, temse a coincidência com um dos eixos principais de inércia e, conseqüentemente,
perpendicular ao plano de cargas.
Capítulo 5 - Dimensionamento: Estados Limites Últimos
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Conforme o mesmo documento normativo, adotar-se-á um vão teórico igual
ao menor entre os seguintes valores:
*Distância entre os eixos dos apoios;
*Vão livre acrescido da altura da seção transversal da peça no meio do vão,
desconsiderando aumento maior que 10cm.
Para analisar a segurança estrutural de uma peça sujeita à flexão simples
reta, deverá ser verificado se as tensões normais atuantes de cálculo nas bordas
comprimidas e tracionadas não ultrapassam as resistências à compressão e tração,
respectivamente. Para tanto, os cálculos de ambas as tensões são dados pelas
expressões:
*Borda comprimida:
 c1,d  fc 0,d
..........................................(5.10)
*Borda tracionada:
 t 2,d  f t0,d
Onde,
*fc0,d e ft0,d: resistência à compressão e à tração, definidas nos itens 5.1.1.3 e
5.1.1.1, respectivamente;
*c1,d e t2,d: tensões atuantes de cálculo nas bordas mais comprimida e tracionada,
respectivamente.
As tensões atuantes são calculadas da seguinte forma:
 c1,d 
Md
y
I c1
............................................(5.11)
 t 2,d 
Md
y
I t2
Sendo,
*Md: momento fletor atuante de cálculo na seção transversal considerada;
*I: momento inércia da seção transversal em relação ao eixo principal de inércia
perpendicular ao plano de ação do momento fletor;
*yc1 e yt2: distância da linha neutra até a fibra mais comprimida e tracionada,
respectivamente.
As peças fletidas, oriundas da flexão simples reta, ocorrem principalmente em
peças dispostas horizontalmente. Como exemplo, têm-se alguns componentes das
Capítulo 5 - Dimensionamento: Estados Limites Últimos
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estruturas de telhado; dos tabuleiros de pontes, passarelas e viadutos, bem como
dos elementos estruturais de piso em geral.
5.1.2.2 Flexão simples oblíqua
A flexão simples oblíqua é definida como sendo aquela situação onde a
direção das cargas externas encontra-se perpendicular ao eixo longitudinal da peça,
porém, não coincide com nenhum dos eixos principais de inércia. Para simplificar o
cálculo,
decompõem-se
as
cargas
nas
duas
direções
principais
e,
consequentemente, determina-se dois valores de momento fletor. É fato que, desta
maneira evidencia mais explicitamente os efeitos da flexão. Para verificar a
segurança dos elementos estruturais submetidos à flexão simples oblíqua,
considera-se a contribuição das duas parcelas do momento fletor atuando nas
situações mais críticas, isto é, no pontos mais comprimido e tracionado da seção
transversal. Tal segurança é quantificada através da expressão mais rigorosa,
 Mx,d
f wd
 KM
 My,d
f wd
1
..........................................(5.12)
KM
 Mx,d
f wd

 My,d
f wd
1
Onde,
*Mx,d e My,d: tensões atuantes máximas de projeto, devidas às componentes de
flexão segundo os eixos principais "x" e "y", respectivamente;
*fwd: resistência de cálculo de tração ou de compressão, conforme a borda
verificada. Para situações onde a inclinação das fibras em relação ao eixo axial da
peça for superior a 6, utiliza-se a resistência "fwd" reduzida, de acordo com a
fórmula de Hankinson;
*KM: coeficiente de correção em função da geometria da seção transversal:
-para seções transversais retangulares - KM=0,5
-demais seções transversais - KM=1,0
Vale ressaltar que este caso de solicitação é muito comum nas terças
(componente de estruturas de cobertura).
5.1.3 Ações combinadas
Para os elementos estruturais aqui abordados, serão mencionados os efeitos
combinados da flexão reta ou oblíqua com as ações axiais, seja de compressão ou
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de tração. Da ação conjunta destas solicitações pode originar a flexo-tração reta ou
oblíqua, a flexo-compressão reta ou oblíqua, bem como a flexão composta reta ou
oblíqua. Tais efeitos podem ocorrer em algumas peças estruturais, por exemplo,
pilares de pontes, de passarelas, de viadutos e de estruturas de cobertura, bem
como em terças, caibros, entre outros.
5.1.3.1 Flexo-tração (reta ou oblíqua)
De acordo com a Teoria da Elasticidade, define-se a flexo-tração como sendo
uma solicitação combinada entre o esforço normal de tração e o momento fletor,
porém, com esforço cortante nulo. Cabe ressaltar que nesta situação pode ocorrer
flexão reta ou oblíqua.
Para as citadas solicitações, a verificação da condição de segurança é dada
pela mais rigorosa das expressões abaixo:
 Nt,d
f t 0,d

 Mx,d
f t 0,d
 KM
 My,d
f t 0,d
1
.....................................(5.13)
 Nt,d
f t 0,d
 KM
 Mx,d
f t 0,d

 My,d
f t 0,d
1
Onde,
*Nt,d: valor de cálculo da tensão normal atuante devido à força axial de tração.
5.1.3.2 Flexo-compressão (reta ou oblíqua)
A flexo-compressão é definida como sendo uma solicitação combinada entre
o esforço normal de compressão e o momento fletor, contudo, tem-se o esforço
cortante nulo. Assim como na flexo-tração, poderá ocorrer flexo-compressão reta ou
oblíqua. Os elementos estruturais submetidos aos esforços de flexo-compressão
terão sua segurança verificada de acordo com a mais crítica dentre as expressões:
2
  Nc,d 
 My,d
 Mx,d

 
 KM
1
f c0,d
f c0,d
 f c0,d 
.................................(5.14)
2
  Nc,d 
 Mx,d  My,d

  KM

1
f c0,d
f c0,d
 f c0,d 
Sendo,
*Nc,d: valor de cálculo da tensão normal atuante devido à força axial de
compressão.
Capítulo 5 - Dimensionamento: Estados Limites Últimos
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5.1.3.3 Flexão composta (reta ou oblíqua)
A definição de flexão composta é embasada nos tipos de esforços solicitantes
atuantes, isto é, esforço normal, esforço cortante e momento fletor. A condição de
segurança para peças submetidas à flexão composta reta ou oblíqua é obtida da
seguinte maneira:
*Para elementos solicitados por esforço normal de tração, emprega-se as
expressões do item 5.1.3.1;
*Para elementos solicitados por esforço normal de compressão, emprega-se as
expressões do item 5.1.3.2.
As peças que estejam solicitadas por flexo-tração, flexo-compressão e flexão
composta, onde o ângulo de inclinação das fibras for superior a seis graus (arctg ()
= 0,10), os valores das resistências "f co,d" e "fto,d", deverão ser substituídos por "f c,d"
e ft,d", respectivamente.
Segundo a NBR 7190/97, as peças solicitadas à flexão simples e composta,
cujas
seções
transversais
sejam
formadas
por
elementos
solidarizados
continuamente por pinos (pregos) e interligados por conectores metálicos (anéis
metálicos) serão consideradas peças maciças, desde que haja reduções no valor do
momento de inércia. Desta forma, o momento de inércia reduzido empregado para
peças fletidas é dado por,
Ired   r I teor .............................................(5.15)
Onde,
*Ired: momento de inércia reduzido;
*Iteor: momento de inércia teórico resultante da composição da seção transversal;
*r: coeficiente de redução.
a)Solidarização por pregos - seção "T", "I", "caixão" e “duplo T”
Para os casos apresentados na figura 5.4, têm-se os valores de “r”:
*Seções transversais tipo “T” - r=0,95;
*Seções transversais tipo “I” e “caixão”- r=0,85.
As seções transversais tipo “duplo T” não são mencionadas nas
recomendações da NBR 7190/97, porém, GESUALDO [2] sugere r=0,85.
Capítulo 5 - Dimensionamento: Estados Limites Últimos
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FIGURA 5.4 - Seções compostas por elementos solidarizados continuamente
b)Solidarização por anéis metálicos - seção retangulares e circulares
Para os casos apresentados na Figura 6.5, têm-se os valores de “r”:
*Seções transversais com dois elementos superpostos (retangulares/circulares) r=0,85;
*Seções transversais com três elementos superpostos (retangulares/circulares) r=0,70.
FIGURA 5.5 - Seções compostas por elementos interligados
c)Peças compostas com alma em treliça ou de chapa de compensado
Para o dimensionamento à flexão simples e composta, considera-se
exclusivamente a contribuição dos banzos comprimido e tracionado, sem redução
do momento de inércia. Pode-se observar que a alma das peças fletidas não
contribuem para o cálculo da rigidez, porém, suas ligações com os respectivos
banzos
(superior
e
inferior)
devem
ser
dimensionadas
ao
cisalhamento,
considerando a seção transversal maciça.
d)Peças compostas por lâminas de madeira colada
As peças de madeira laminada colada devem ser formadas por lâminas de
primeira categoria, conforme as exigências normativas, com espessuras não
Capítulo 5 - Dimensionamento: Estados Limites Últimos
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superiores a 30 milímetros, sendo dispostas com seus planos médios paralela ou
perpendicularmente ao plano das cargas. Devem ser coladas com adesivos à prova
d’água, à base de fenol-formaldeído sob pressão, em processo industrial adequado
que solidarize permanentemente o sistema estrutural. Em lâminas adjacentes com
espessuras “t”, as emendas deverão estar afastadas entre si dos seguintes valores:
*Distância não inferior a vinte e cinco vezes sua espessura;
*Distância não inferior a altura “h” da viga.
Para uma viga, cujas emendas estão contidas em um comprimento não
superior a altura “h”, considera-se como se todas estivessem na mesma seção
transversal resistente. As lâminas emendadas terão suas seções transversais
resistentes reduzidas dos seguintes valores:
*Emenda dentada (finger joints): r=0,90;
*Emenda em cunha com incliunação de 1:10: r=0,85;
*Emendas de topo: r=0.
Assim sendo, a seção transversal reduzida é dada por,
A red   r A teor .............................................(5.16)
Onde,
*Ared: seção transversal reduzida;
*Ateor: seção transversal teórica;
*r: coeficiente de redução.