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1.1. VIBRAÇÃO DE UMA CORDA TENSA
1.138J/2.062J, PROPAGAÇÃO DE ONDAS
Outono, 2000 MIT
Notas de C. C. Mei
Capítulo 1. EXEMPLO DE PROBLEMAS DE ONDAS
Para descrever um problema em expressões matemáticas, é necessário utilizar as leis
básicas que governam os elementos do problema. Em mecânica do contínuo espaço-tempo, essas
são as leis da conservação para massa e momentum. Além disso, as leis empíricas constitutivas são
freqüentemente necessárias para relacionar certas variáveis desconhecidas; os exemplos são as
equações de estado, a lei de Hooke entre tensão e pressão etc.
Para atribuir a lei da conservação, deve-se considerar um elemento infinitesimal (um
segmento de linha, de área ou um elemento de volume), produzindo-se diretamente uma equação
diferencial. Por outro lado, deve-se considerar um controle de volume (área ou seguimento de linha)
de tamanho arbitrário de interesse médio. A lei é obtida primeiro de forma integral; então, atribui-se
uma equação diferencial utilizando-se a arbitrariedade do controle de volume. As duas abordagens
são inteiramente equivalentes.
Vamos demonstrar a abordagem diferencial.
1
Vibração transversa de uma corda tensa
Consultando a Figura 1, considere uma corda tensa esticada entre dois pontos fixos em x = 0 e x =
L. Permita que a área de corte transversal seja S. Se houver um estiramento inicial de ∆L, a tensão
inicial T deve ser
pela lei de Hooke, onde E é um módulo de Young.
Agora, observe o deslocamento lateral da corda a partir de sua posição inicial. Pela lei da
conservação de momentum transversal, a força total lateral sobre o elemento corda deve ser
equilibrada por sua inércia. Vamos deixar que o deslocamento lateral seja V (x, t) e considerar um
elemento diferencial entre x e x + dx. A força transversal efetiva, devido à diferença de tensão em
ambas as extremidades do elemento, é
2
1.1. VIBRAÇÃO DE UMA CORDA TENSA
Figura 1: Deformação de uma corda tensa
onde
Precisaremos partir do princípio de que o deslocamento é pequeno, da mesma forma que o declive:
. O valor local de senα pode então ser aproximado por
onde a expressão O(δ) significa da ordem de δ. Para qualquer função uniforme f, a expansão de
Taylor oferece
onde a derivada é avaliada em x. Assim, a tensão efetiva é
O comprimento instantâneo l(x, t) da corda de 0 a x é
E resulta em
3
1.2. VIBRAÇÃO DE UMA HASTE ELÁSTICA
que é de limitação de segunda ordem. O comprimento da corda, por conseguinte a tensão, é
essencialmente imutável em relação a O (∂V / ∂x)2, ou seja, T pode ser representado como constante
de pequeno erro correspondente. Assim, a tensão efetiva no elemento corda é bem representada por
Se a massa por unidade de comprimento da corda for ρ, a inércia do elemento é ρ(∂2V / ∂t2)dx.
Permita que a carga aplicada por unidade de comprimento seja p(x, t). A conservação de momentum
exige que
Eliminando dx e adotando o limite de dx → 0, obtemos
(1.1)
Esta equação, chamada de equação de onda, é uma equação diferencial parcial de segunda ordem.
Ela é linear no V desconhecido e não homogêneo por causa da proporção de força sobre a lateral
direita.
O deslocamento longitudinal U é importante neste problema? A conservação do momentum
na direção x exige que
Já que
a aceleração é de limitação de segunda ordem
Então,
ignorado.
por integração dupla em relação à t, e o deslocamento longitudinal pode ser
4
1.2. VIBRAÇÃO DE UMA HASTE ELÁSTICA
A equação diferencial (2.1) envolve derivadas de segunda ordem em relação à x e t. As duas
condições auxiliares são necessárias para cada variável. Por exemplo, no instante inicial, podemos
aconselhar tanto o deslocamento quanto a velocidade:
(1.2)
e
(1.3)
Essas expressões são chamadas de condições iniciais. Além disso, precisamos também especificar
as condições-limite das extremidades. Para uma corda esticada entre duas extremidades fixas,
precisamos de
(1.4)
Junto com a equação diferencial parcial, estas condições auxiliares definem o problema do valor
limite inicial. Do ponto de vista matemático, é importante estabelecer se esse problema está bem
proposto. Esta questão envolve a prova da existência, singularidade e estabilidade da solução.
Como observado neste exemplo, a expansão de Taylor é utilizada em quase todos os passos
da derivação. Sem dúvida, ela é indispensável não apenas nas equações governantes derivadas, mas
também na obtenção de soluções aproximadas das equações e na análise do conteúdo físico da
solução.
Observe que a dimensão do coeficiente T / ρ é
Agora, introduza a notação
equação (2.1) pode então ser escrita
que é uma velocidade característica do problema físico. A
(1.5)
a qual é chamada de equação de onda, onde aparece em vários contextos.
2
Vibração longitudinal de uma haste elástica
Considere uma haste elástica com área de corte transversal S (x) e módulo de Young E, conforme
mostra a Figura (2). Permita que o deslocamento longitudinal do equilíbrio seja U (x, t). A pressão
na posição x é
5
1.2. VIBRAÇÃO DE UMA HASTE ELÁSTICA
Figura 2: Deformação longitudinal de uma haste elástica
Pela lei de Hooke, a tensão em x é
Agora, a tensão efetiva sobre um elemento haste de x a x + dx é
Permita que a força longitudinal por unidade de comprimento aplicada externamente seja f (x, t). A
conservação do momentum exige que
No limite de estabilidade dx, obtemos a equação diferencial:
(2.1)
No caso especial do corte transversal uniforme, S = constante e força externa zero, U
satisfaz a equação de onda não-homogênea
(2.2)
6
1.3. FLUXO DE TRÁFEGO EM UMA RODOVIA EXPRESSA
onde
possui a dimensão de velocidade.
As condições-limite mais simples são as das extremidades fixas e livres. Se ambas as
extremidades são fixas, então,
(2.3)
Se a extremidade esquerda for fixa e a direita livre, então
(2.4)
já que a tensão é proporcional à pressão. Igualmente, as condições iniciais mais naturais são
(2.5)
onde f e g são funções prescritas de x para 0 < x < L.
Vamos mudar a abordagem integral no próximo exemplo.
3
Fluxo de tráfego em uma rodovia expressa
Um dos modelos matemáticos de fluxo de tráfego é a teoria hidrodinâmica de Lighthill e Whitham
(1958). É uma teoria simples, capaz de descrever com extraordinária fidelidade muitas
características do tráfego em auto-estradas na vida real. Considere qualquer seção de uma rodovia
expressa, sem curvas de x = a a x = b, Figura 3. Para simplificar, supomos que não exista nenhuma
saída ou entrada e todos os veículos estejam em movimento. Permita que a densidade dos carros
(número de carros por unidade de comprimento da auto-estrada) em x e t seja ρ(x, t) e o fluxo de
carros (número de carros cruzando o ponto x por unidade de tempo) seja q(x, t). Supondo que esse
número de carros dentro de uma seção arbitrária de a a b seja conservada, temos
Reescrevendo a lateral direita
obtemos
7
1.4. ONDAS NAS ARTÉRIAS
(3.31)
Visto que o intervalo de controle (a, b) é arbitrário, a integrante precisa desaparecer,
(3.32)
Este resultado pode ser argumentado pela contradição, o que é um raciocínio típico necessário para
trocar a lei integral pela lei diferencial. Suponha que a integrante seja positiva em algum lugar
dentro de, digamos, (a, b) na faixa de (a′, b′) Є (a, b) e zero em algum lugar em (a, b). Dessa forma,
a integral em (1.3.1) deve ser positiva. Mas isso é uma contradição. A premissa de que a integrante
é positiva em algum lugar é, portanto, errada. Através de um argumento semelhante, a integrante
não pode ser negativa em nenhum lugar, e deve ser zero em algum lugar em (a, b).
Figura 3: (a). A seção da rodovia expressa. (b). A relação entre a taxa de fluxo do tráfego e a
densidade do tráfego.
A equação (1.3.2) é a lei da conservação de carros. Tendo dois q e ρ desconhecidos, uma
relação constitutiva entre ρ e q é necessária e deve ser descoberta através da medição de campo.
Heuristicamente, q deve ser zero quando não existir nenhum carro na estrada e zero novamente
quando a densidade alcançar o máximo (tráfego intenso), por isso a relação entre q e ρ não deve ser
linear
(3.3)
como o esboço na Figura 1.4.b. Com esta relação, (1.3.2) torna-se
(3.4)
O resultado é uma equação diferencial parcial não-linear de primeira ordem e será utilizada para se
deduzir a variedade de fenômenos interessantes do fluxo de tráfego.
Em todos os exemplos estudados até agora a equação governante envolve apenas uma
incógnita. Agora, examinaremos um problema com várias incógnitas.
8
1.4. ONDAS NAS ARTÉRIAS
4
Propagação de ondas nas artérias
Precisamos examinar o fluxo pulsante de sangue em uma artéria, cuja parede é fina e elástica. Como
primeiro exercício, vamos supor que existe apenas uma pulsação, mas nenhum fluxo efetivo.
Devido ao gradiente de pressão no sangue, a parede da artéria precisa deformar. A força
restauradora elástica na parede possibilita a propagação das ondas.
O raio da artéria a(x, t) varia do meio constante a0 no tempo e ao longo da artéria (em x).
Permita que a área de corte transversal local seja S = π a2 e a velocidade média seja u(x, t).
Considere um volume geométrico fixo entre x e x + dx, através do qual o fluido se movimenta para
dentro e para fora. A conservação da massa exige
(4.1)
Em seguida, o momentum se equilibra. A taxa de tempo da mudança de momentum deve ser
equilibrada pelo influxo efetivo do momentum através das duas extremidades e pela força de
pressão atuando em todos os lados. A taxa da mudança de momentum é
(4.2)
A taxa efetiva do influxo de momentum é
(4.3)
A força de pressão efetiva nas duas extremidades é
enquanto que sobre a parede inclinada é
A soma de todas as forças de pressão é
(4.4)
9
1.4. ONDAS NAS ARTÉRIAS
Equilibrando o momentum pela equação (5.2) com a soma de (5.3) e (5.4) obtemos, após utilizar a
conservação da massa (5.1),
(4.5)
Figura 4: Forças sobre a parede da artéria.
Permita que a pressão fora da artéria seja constante, digamos, zero. A mudança no raio do
tubo deve ser causada pela mudança na pressão do sangue. Referindo-se à figura ??, a pressão
elástica, devido ao comprimento da circunferência, é 2πda / 2πa = da / a. Permita que h seja a
espessura da parede da artéria, supondo ser menor que a, e o módulo de Young E. A mudança na
força elástica é 2Ehda / a, que deve ser equilibrada pela mudança na força de pressão 2a dp, ou seja,
o que significa
(4.6)
A pressão aumenta junto com o raio do tubo, mas a incidência de aumento é menor em raios
maiores. Por combinação, obtemos a equação de estado
10
1.4. ONDAS NAS ARTÉRIAS
(4.7)
A equação (5.5) agora pode ser reescrita assim
(4.8)
onde C é definido por
(4.9)
e possui a dimensão da velocidade. Como resultado de (5.6), as equações (5.1) e (5.8) são um par de
equações não-lineares para as duas incógnitas, u e S.
Para amplitudes infinitesimais, podemos linearizar estas equações. Deixe a = a0 + a′ com a′
<< a0 e então (5.1) se torna, de acordo com a ordem principal,
(4.10)
A equação de momentum linear é
(4.11)
A fórmula linear de (5.6) é
(4.12)
que pode ser usada em (5.11) para se obter
(4.13)
Por fim, (5.2) e (5.8) podem ser unidas, a fim de oferecer a equação de onda:
(4.14)
11
1.6. ONDAS DE ÁGUA RASA
onde
(4.15)
Alternadamente, pode-se eliminar a para se obter uma equação para u
(4.16)
Por causa de (5.12), a pressão dinâmica é governada também por
(4.17)
Todas as incógnitas são governadas pela mesma equação devido à linearidade e ao fato de que todos
os coeficientes são constantes.
Comentários sobre linearização:
Para descobrir a exatidão da linearização, seria útil estimar primeiro as escalas de
movimento. Permita que A, T, L, U e P indiquem as escalas de a′, t, x, u e p′, respectivamente. É
natural tomar L = c0T. De (5.1) (5.5) e (5.6), obtemos as relações entre as escalas de quantidades
dinâmicas
Resulta nessa
então,
12
1.6. ONDAS DE ÁGUA RASA
Com estas escalas a proporção de uma típica expressão não-linear para uma expressão linear é
Portanto, a condição para a linearização é essa
5
Ondas de água rasa e linearização
5.1
Equações governantes não-lineares
Se a água de um lago ou ao longo da costa do mar é perturbada, as ondas podem ser produzidas na
superfície, devido à força restauradora da gravidade. Considere as leis básicas que governam o
movimento de ondas longas em águas rasas de densidade constante e pouca viscosidade. Referindose à Figura 5, permita que o eixo z seja direcionado verticalmente para cima e o plano x, y se
posicione inicialmente na superfície das águas tranqüilas, que h(x, y) indique a profundidade abaixo
do tranqüilo nível do mar e ζ(x, y, t) o deslocamento vertical da superfície livre. Tome novamente a
abordagem diferencial e considere o fluxo de fluido através de uma coluna vertical junto com a base
dxdy.
Figura 5: Um elemento coluna de fluido em mar de pouca profundidade
Primeiro, a lei da conservação de massa. A capacidade do volume aumenta na coluna
13
1.6. ONDAS DE ÁGUA RASA
deve ser equilibrada pelo fluxo efetivo do volume no interior da coluna, proveniente das quatro
laterais verticais. Em águas rasas, a escala de comprimento horizontal, caracterizada pelo
comprimento de onda λ, é muito maior do que o comprimento vertical h. A água circula
principalmente nos planos horizontais com velocidade u(x, y, t), que é essencialmente constante em
profundidade. Através das laterais verticais perpendiculares ao eixo x, a diferença entre o influxo
pela esquerda e o deflúvio pela direita é
Semelhantemente, através das laterais verticais perpendiculares ao eixo y, a diferença entre o
influxo pela frente e o deflúvio por trás é
Suprimindo expressões de ordem mais elevada em dx, dy, invocamos a conservação de massa para
obter
No limite de fuga dx, dy, temos, em fórmula vetorial
(5.1)
Esta equação é não-linear por causa do resultado de segundo grau das incógnitas u e ζ.
Agora, a lei da conservação de momentum. Em águas rasas o equilíbrio do momentum
vertical é dominado pelo gradiente de pressão e gravidade, o que significa que a distribuição da
pressão é hidrostática:
(5.2)
onde a pressão atmosférica sobre a superfície livre é ignorada. Considere agora o equilíbrio do
momentum na direção x. A força da pressão efetiva sobre as duas laterais verticais perpendiculares à
direção x é
14
1.6. ONDAS DE ÁGUA RASA
A reação hidrodinâmica do declive inferior para o fluido é
A mudança do momentum do fluido consiste em duas partes. Uma parte é devida à velocidade do
tempo da mudança de momentum na coluna de água
e a outra parte é devida ao fluxo efetivo do momentum através das quatro laterais verticais:
Equacionando a velocidade total da mudança de momentum à força de pressão efetiva sobre as
laterais e o fundo, obtemos
A lateral esquerda pode ser simplificada por
invocando continuidade (1.6.1). Então, a equação de momentum x se reduz a
(5.3)
Semelhantemente, o equilíbrio do momentum na direção y exige
(5.4)
15
1.6. ONDAS DE ÁGUA RASA
Essas duas equações podem ser resumidas na fórmula vetorial
(5.5)
As equações (6.1) e (6.5) são equações diferenciais parciais não-lineares complementadas por três
incógnitas escalares u e ζ.
Agora, as condições-limite e iniciais. Em um litoral S, não há nenhum fluxo normal,
portanto,
(5.6)
onde n significa o vetor normal unitário que aponta horizontalmente para a costa. Essa condição é
aplicável não apenas ao longo de um penhasco onde h é finito, mas também sobre o litoral onde h =
0, enquanto as ondas forem tranqüilas o bastante para não quebrarem. Neste último caso, a priori, o
ambiente do litoral é desconhecido e deve ser descoberto como parte da solução.
No instante inicial, podemos assumir que o deslocamento ζ(x, y, 0) e a velocidade vertical
de toda a superfície livre
são conhecidos. Essas condições completam a fórmula do
problema de ondas de água rasa não-lineares.
5.2
Linearização para amplitudes reduzidas
Para ondas de amplitudes reduzidas
(5.7)
onde A é a amplitude característica. A equação (1.6.1) pode ser simplificada, desprezando-se a
expressão de segundo grau
(5.8)
Estipulando a escala de tempo pelo período de onda T e a escala de comprimento horizontal pelo
comprimento de onda λ, equacionamos a ordem das magnitudes das duas expressões restantes
acima para obter
16
1.6. ONDAS DE ÁGUA RASA
ּ
Agora, vamos avaliar a importância da expressão de segundo grau u ∇u na equação de momentum,
determinando o valor da razão
Obviamente, a expressão de segundo grau que representa a inércia convectiva também pode ser
ignorada na primeira aproximação, e a equação de momentum se torna
(5.9)
Ambas as equações de continuidade (1.6.8) e de momentum agora são lineares.
Do contrário, o resultado da condição-limite sobre o litoral (1.6.6) pode ser expresso como
(5.10)
Em consonância com a aproximação linear, a priori, a posição do litoral pode ser prescrita.
As equações (6.8) e (6.9) podem ser combinadas pelo processo de diferenciação cruzada.
Primeiro, diferencie (6.8) em relação a t,
e, em seguida, pegue a divergência do resultado de (6.9) e h,
A diferença dessas duas equações proporciona
(5.11)
Para um fundo horizontal h = constante,
(5.12)
17
1.6. ONDAS DE ÁGUA RASA
é a velocidade característica do movimento de onda infinitesimal. A equação
onde
(1.6.12) é a extensão bidimensional da equação de onda. Se, além disso, todas as condições forem
uniformes na direção de y, ∂/∂y = 0, (6.12) reduz-se à fórmula conhecida
(5.13)
6
Som em fluidos
A seguir, as equações básicas que governam um fluido não-viscoso e compressível. Conservação de
massa:
(6.14)
Conservação de momentum:
(6.15)
Precisamos adicionar uma equação de estado
(6.16)
onde S significa a entropia. Quando nenhum gradiente de temperatura é aplicado externamente e o
gradiente do fluxo não é tão grande, pode-se ignorar a difusão térmica. O movimento do fluido é
então adiabática; a entropia é constante. Como resultado, p = p(ρ, S0) depende apenas da densidade.
A equação (7.14) pode ser escrita assim
(6.17)
Precisamos que signifique
(6.18)
18
1.9. ONDAS DE FLEXÃO EM UM FEIXE
de forma que
(6.19)
É fácil verificar que C possui a dimensão da velocidade.
Com base na termodinâmica, também temos
(6.20)
onde T é a temperatura e
o índice de calor específico.
Para um gás perfeito, a equação de estado é
(6.21)
onde R é o gás constante. Então, para um gás perfeito
(6.22)
Os líquidos são muito menos compressíveis. Normalmente, escreve-se a equação de estado
da seguinte forma
(6.23)
Indicando
(6.24)
como coeficiente da expansão térmica e
(6.25)
como coeficiente de compressibilidade isotérmica. Normalmente, β é pequeno e κ muito menor.
Sob condições isotérmicas é κ que se leva em conta.
19
1.9. ONDAS DE FLEXÃO EM UM FEIXE
O limite mais simples é o caso onde a densidade de fundo ρ0 e a pressão ∂0 são uniformes, o
fluido está em descanso e as perturbações dinâmicas são infinitesimalmente mínimas. Podemos
escrever
(6.26)
com ρ′ << ρ0 e p′ << p0, e linearizar as equações para
(6.27)
e
(6.28)
Tomando a rotação do segundo, obtemos
(6.29)
dessa forma, o campo de velocidade é irrotacional, se assim for inicialmente. Podemos introduzir
um ø potencial por meio de
(6.30)
Que resulta da equação de momentum
(6.31)
Usando essas, obtemos a equação de onda.
(6.32)
onde
(6.33)
20
1.9. ONDAS DE FLEXÃO EM UM FEIXE
7
Ondas de flexão em um feixe sobre uma base elástica
Referindo-se à Figura (8), primeiro descrevemos a conservação do momentum de um feixe fino.
Suponha que o feixe tenha um eixo horizontal quando não é carregado e possua propriedades de
material uniforme.
Figura 6: Desvio de um feixe
Permita que V (x) signifique o desvio ascendente do eixo do feixe. Se a espessura for pequena
comparada ao comprimento e o desvio pequeno comparado à espessura, um corte transversal plano
permanece semelhantemente plano após a deformação.
Figura 7: Forças e momentos sobre um segmento de feixe de x a x + dx
Portanto, o deslocamento longitudinal U na seção x e altura z acima do eixo é proporcional a z, e o
ângulo de inclinação ∂V / ∂x
21
1.9. ONDAS DE FLEXÃO EM UM FEIXE
Conseqüentemente, a pressão é
e a tensão longitudinal é
(9.1)
onde E é o módulo de Young. O momento total sobre o corte central z = 0, devido à distribuição da
tensão por toda a seção, é
(9.2)
onde
é o momento de inércia do corte transversal em relação ao corte central z = 0. Considere um
elemento de comprimento do feixe de x a x + dx, como o esboço na Figura (7). O equilíbrio do
momentum angular sobre o centro do elemento exige que
onde ρ é a massa e ρJ é o momento rotativo de inércia por unidade de comprimento do feixe. Para
um feixe com corte transversal retangular, J = h2 / 12, onde h é a altura do feixe. Assim,
(9.3)
Por outro lado, o equilíbrio das forças verticais exige que
onde k é uma constante elástica do apoio lateral e p(x, t) é a carga distribuída. Utilizando (6.5.3),
obtemos
22
1.9. ONDAS DE FLEXÃO EM UM FEIXE
(9.4)
que é uma equação diferencial parcial de quarta ordem, derivada primeiro por Lord Rayleigh. Se o
comprimento de onda L for maior que a altura do feixe h/Ł << 1, então a expressão que representa a
inércia rotativa é insignificante e pode ser simplificada assim
(9.5)
Agora, as condições-limite. Para um comprimento finito de feixe, cada extremidade pode ser livre,
fixa ou apoiada em uma articulação. Em uma extremidade livre, não existe torção nem cortante
(9.6)
Em uma extremidade fixa, o desvio e o declive podem desaparecer
(9.7)
Em uma extremidade articulada, tanto o desvio como a torção são zero
(9.8)
Para um feixe infinitamente longo, as condições-limite no infinito dependem da carga. Para um
carregamento transitório com duração finita, V deve desaparecer no infinito. Para carregamentos de
duração harmônica, a perturbação deve ser no máximo as ondas de saída.
23
1.9. ONDAS DE FLEXÃO EM UM FEIXE
10
Trabalho de casa No. 1
1. Uma membrana é mantida tensa sobre uma área S. A membrana possui uma densidade constante
ρ por unidade de área e está sob tensão uniforme em todas as direções. Extraia a equação
governante para o deslocamento lateral u(x, y, t) da membrana, vibrando sob carregamento
distribuído de p(x, t) por unidade de área.
2. Considere a vibração longitudinal de uma haste cilíndrica com uma das extremidades em
x = 0 fixa e a outra em x = L presa à massa M. Antes de t = 0, a haste é comprimida pelo
comprimento∈L junto com ∈ << 1. Em t = 0 a compressão é liberada. Expresse a equação
governante e todas as condições-limite e iniciais.
3. Considere a vibração de torção de uma haste cilíndrica de corte transversal circular de
raio a. Permita que θ (x, t) = deslocamento angular do corte transversal em x, dσ = elemento de área
no corte transversal e localizado na distância r do eixo, veja a figura 8. Permita que τ seja a tensão
cortante, G o módulo cortante de elasticidade e ø o deslocamento angular de uma linha
originalmente paralela ao eixo. Mostre que
(10.1)
Invoque a lei de Hooke τ = Gø e mostre que a torção total aplicada no corte transversal em x é
(10.2)
onde
(10.3)
é o momento polar de inércia do corte transversal. Permita que I seja o momento de inércia por
unidade de comprimento da haste. Mostre que
(10.4)
4. Durante um terremoto, a água de um reservatório exerce pressão hidrodinâmica sobre
uma barragem que pode vir a falhar. Formule o problema de interação entre barragem/reservatório,
com base nas idealizações a seguir. O reservatório é infinitamente longo e possui um corte
transversal retangular uniforme.
24
1.9. ONDAS DE FLEXÃO EM UM FEIXE
Figura 8: Torção de um cilindro circular
A água está presente em apenas um dos lados da barragem (x > 0) e possui a profundidade constante
h. Antes de t = 0, tudo está calmo. Depois de t = 0, a barragem é forçada a vibrar horizontalmente
de forma que
(10.5)
A superfície livre é exposta à pressão atmosférica contínua. O fundo do reservatório é rígido e não
vibra verticalmente (!!!). Despreze a gravidade, mas considere a compressibilidade da água por
causa da alta freqüência (~ O(100)Hz). Expresse todas as equações governantes, inclusive as
condições-limite em termos do potencial de velocidade ø definido por (u, v, w) = ∇ø.