Universidade Federal da Bahia
Escola Politécnica
Departamento de Construção e Estruturas
Professor:
Disciplina: ENG285 - Resistência dos Materiais I-A
Armando Sá Ribeiro Jr.
www.resmat.ufba.br
5ª LISTA DE EXERCÍCIOS
PROBLEMAS ENVOLVENDO FLEXÃO
1) A viga carregada como mostrado tem a seção transversal da figura. Determine a tensão longitudinal: (a) num
ponto a 4,5 m a contar da extremidade esquerda e 125 mm acima da superfície neutra; (b) num ponto 75 mm
abaixo da superfície neutra numa seção a 1,2 m do extremo direito
2) (a) Determine a tensão longitudinal em um ponto 100 mm abaixo da superfície neutra numa seção a 1,3 m do
extremo direito da viga carregada da figura; (b) determine a máxima tensão longitudinal numa seção a 1 m do
extremo esquerdo.
3) Uma barra de aço de 200 mm de
diâmetro é carregada e apoiada como
mostrado na figura. Determine a
máxima tensão longitudinal numa
seção a 1,5 m a partir da parede.
4) Para a viga mostrada, as tensões longitudinais admissíveis na seção sob a carga são de 42 MPa T e
70 MPa C. Determine a máxima carga admissível P.
1
5) e 6) Se o momento mostrado atua no plano vertical, determinar a tensão no: (a) ponto A; (b) ponto B.
5)
6)
7) A viga mostrada é feita de aço com tensão de
escoamento igual a 250 MPa. Determinar o maior
momento que pode ser aplicado à viga quando ela
encurva em torno do eixo z, considerando um
coeficiente de segurança de 2,5.
8) Sabendo-se que uma viga de seção transversal, como
mostrado, é encurvada em torno de um eixo horizontal e
está submetida a um momento fletor de 5,7 kN.m,
determinar a intensidade total da força atuando: (a) na
aba superior; (b) na porção sombreada da alma.
9) Duas forças verticais são aplicadas a uma viga de seção
transversal mostrada. Determinar as máximas tensões de
tração e compressão numa seção transversal na porção BC
da viga.
10) Sabendo-se que uma viga de seção
transversal mostrada é encurvada sobre um eixo
horizontal, e que está submetida a um momento
fletor de 4 kN.m, determinar a intensidade total
da força que atua na porção sombreada da viga.
11) Para a viga com seção transversal mostrada, determine a tensão longitudinal máxima entre as seções A e C,
e localize onde ela ocorre.
2
12) e 13) Para a viga com seção transversal mostrada, determine: (a) a tensão trativa máxima longitudinal na
viga e onde ela ocorre; (b) a tensão compressiva máxima na viga e onde ela ocorre.
12)
13)
PROBLEMAS ENVOLVENDO FLEXÃO DE SEÇÃO HETEROGÊNEA
14) Duas barras de latão são unidas firmemente a duas barras
de alumínio, formando a seção composta mostrada. Determinar
o maior momento fletor permissível, quando a viga é
encurvada em torno de um eixo horizontal.
Dados:
Alumínio
Latão
Módulo de elasticidade
70 GPa
105 GPa
Tensão admissível
100 MPa
160 MPa
15) Uma barra de aço e uma de alumínio são unidas
firmemente, para formar a viga composta mostrada.
O módulo de elasticidade para o alumínio é de
70 GPa e para o aço é de 200 GPa. Sabendo-se que
a viga é curvada em torno de um eixo horizontal por
um momento M = 1500 N.m, determinar a máxima
tensão no: (a) alumínio; (b) aço.
16) Uma viga de concreto é reforçada por três barras de
aço, colocadas como indicado. Os módulos de
elasticidade são de 20 GPa para o concreto e de 200 GPa
para o aço. Usando uma tensão admissível de 10 MPa
para o concreto e de 150 MPa para o aço, determinar o
maior momento fletor que pode ser aplicado à viga.
3
PROBLEMAS ENVOLVENDO CARGA EXCÊNTRICA
17) Duas forças de 10 kN são aplicadas a uma
barra de seção retangular de 20 mm x 60 mm,
como mostrado. Determinar a tensão no ponto A,
quando: (a) b = 0; (b) b = 15 mm; (c) b = 25 mm.
18) Uma pequena coluna de 120 mm x 180 mm suporta
três cargas axiais mostradas. Sabendo-se que a seção ABD
é suficientemente afastada das cargas, para que permaneça
plana, determinar a tensão no: (a) canto A; (b) canto B.
19) Sabendo-se que a tensão admissível é 90 MPa, 20) A força axial excêntrica P atua no ponto D, que está
determinar a maior força P que pode ser aplicada ao localizado a 30 mm abaixo da borda superior da barra de
elemento de máquina mostrado.
aço mostrada. Para P = 90kN, determinar: (a) a largura d
da barra para que a tensão no ponto A seja máxima; (b) o
correspondente valor da tensão no ponto A.
PROBLEMAS ENVOLVENDO FLEXÃO ASSIMÉTRICA
21) e 22) A viga com uma seção transversal mostrada está submetida a um momento fletor M aplicado no
plano a – a. Determine: (a) a intensidade da máxima tensão de flexão; (b) a orientação do eixo neutro, mostre o
resultado num esboço.
21) M = 1.200 N.m
22) M = 20 kN.m
4
23) Uma cantoneira de 200 x 200 x 24 mm é usada numa viga que
suporta um momento fletor de + 10.000 N.m aplicado no plano yx.
Os momentos de inércia obtidos em um manual de aço estrutural
são Iz = Iy = 33,3 x 106 mm4, e Iyz = + 19,5 x106 mm4. Determine:
(a) a tensão de flexão no ponto A; (b) a máxima tensão de flexão e
sua localização na seção transversal; (c) a orientação do eixo
neutro, mostre a localização num esboço.
24) Uma viga com uma seção cantoneira
está carregada com um momento fletor de
+ 20 kN.m aplicado num plano yx.
Determine: (a) a tensão de flexão no
ponto A; (b) a orientação do eixo neutro,
mostre a localização num esboço.
25), 26) e 27) O momento M é aplicado a uma viga de seção transversal mostrada, em um plano formando um
ângulo β com a vertical. Determinar: (a) a tensão no ponto A; (b) o ângulo que a linha neutra forma com o
plano horizontal.
25)
27)
26)
28) Uma carga axial P é aplicada como mostrado a curto perfil estrutural em forma de T. Determinar: (a) a
maior distância a para que a tensão máxima de compressão não exceda a 120 MPa; (b) o ponto correspondente
onde a linha neutra intercepta a linha AB.
Dados: A = 4450 mm2, Iy = 9,16 x 106 mm4, Iz = 6,00 x 106 mm4
5
PROBLEMAS ENVOLVENDO CISALHAMENTO NA FLEXÃO
29) O cortante vertical em certa seção de uma viga cuja forma
é mostrada na figura é 18 kN. Determinar: (a) a tensão
tangencial horizontal máxima, e indique onde ela ocorre dentro
da seção transversal; (b) a tensão tangencial vertical 80 mm
abaixo do topo.
30) Uma viga com 6 m de comprimento está simplesmente
apoiada em suas extremidades e tem uma seção transversal
como mostrado. A viga suporta uma carga uniformemente
distribuída de 5 kN/m em todo o seu comprimento. Determine:
(a) a tensão transversal vertical em um ponto 0,5 m a partir do
extremo direito e 100 mm abaixo da superfície do topo da viga;
(b) as tensões tangenciais máximas horizontal e vertical, e
mostre onde cada uma ocorre.
31) Uma viga com 4 m de comprimento tem a seção transversal
mostrada na figura. Ela é simplesmente apoiada nos extremos e
suporta uma carga uniformemente distribuída de 4 kN/m sobre
todo seu comprimento. Em um ponto a 500 mm da extremidade
esquerda e 40 mm abaixo da superfície neutra, determine: (a) a
tensão longitudinal (b) a tensão tangencial horizontal; (c) a
tensão tangencial vertical.
32) Para a viga mostrada, a reação esquerda é de 5,36 kN para cima. Determine: (a) a tensão longitudinal
máxima da viga; (b) a tensão tangencial horizontal máxima.
33) Uma viga T com 5 m de comprimento é simplesmente
apoiada em suas extremidades e tem a seção transversal mostrada
na figura. É especificado que a tensão longitudinal de tração não
pode exceder 12 MPa e que a tensão tangencial horizontal não
ultrapasse 0,7 MPa. Determine a carga concentrada para baixo
máxima que pode ser aplicada a 3 m da extremidade direita.
6
34) e 35) Para a viga com carregamento indicado, considerar a seção n–n e determinar: (a) a maior tensão
normal, e indicar onde ela ocorre; (b) a tensão de cisalhamento no ponto A; (c) a maior tensão de cisalhamento
e indicar onde ela ocorre
34)
35)
PROBLEMAS ENVOLVENDO COMBINAÇÃO DE CARREGAMENTO
36) a alavanca AB tem uma seção transversal retangular de
37) O eixo mecânico de um automóvel é feito
para suportar as forças e o torque mostrado.
10 x 30 mm. Sabendo-se que θ = 40º, determinar as tensões
normal e de cisalhamento nos três pontos indicados (a, b e c). Sabendo-se que o diâmetro do eixo é de 30 mm,
determinar as tensões normal de cisalhamento
no: (a) ponto H; (b) ponto K.
38) Uma mola é feita de um arame circular de raio c,
formando uma hélice de raio R. Determinar a máxima
tensão de cisalhamento produzida pelas forças P e P’,
iguais e opostas. (Sugestão: determinar inicialmente a
força cortante V e o torçor T numa seção transversal.)
39) Várias forças são aplicadas ao tubo mostrado.
Sabendo-se que o tubo tem diâmetro, interno e
externo, de 40 mm e 48 mm, respectivamente,
determinar as tensões normal e de cisalhamento no:
(a) ponto H; (b) ponto K.
7
40) e 41) Os eixos maciços são carregados como mostrado nas figuras. Determine, e mostre num esboço, as
tensões principais e a tensão tangencial máxima no ponto A da superfície do eixo.
40)
41)
42) Uma barra de aço de 50 mm de diâmetro está
carregada como mostrado na figura. Determine, e
mostre num esboço, a tensão principal máxima no
topo da superfície adjacente ao apoio.
43) O eixo circular maciço de aço está submetido aos
torques e cargas indicados. Determine, e mostre num
esboço, as tensões principais e a tensão tangencial
máxima nos pontos: (a) A; (b) B.
45) Sabendo-se que o tubo estrutural mostrado tem
uma espessura da parede uniforme de 6 mm,
determinar a tensão de cisalhamento em cada um dos
três pontos indicados (a, b e c).
44) Sabendo-se que nos pontos A e B, sobre o eixo da
figura, as tensões normal e tangencial são limitadas a
90 MPa T e 60 MPa, respectivamente. Determine o
valor máximo permissível de P.
8
RESPOSTAS AOS PROBLEMAS DA 5ª LISTA DE EXERCÍCIOS
29) a) 822 kPa no eixo neutro b) 707 kPa
30) a) 751 kPa
b) 927 kPa na superfície neutra dos apoios
31) a) 1,402 MPa T b) 0,925 MPa c) 0,925 MPa
32) a) 7,87 MPa T e C b) 0,930 MPa
33) 14,58
34) a) 143,6 MPa no topo ou na base da seção
b) 11,3 MPa c) 18,5 MPa num ponto sobre a L.N.
35) a) 140,9 MPa b) 13,01 MPa c) 17,63 MPa
36) σa = 80,85 MPa T τa = 0 σb = 4,55 MPa T
τb = 5,70 MPa σc = 71,8 MPa C τc = 0
37) H: σx = 151 MPa C σz = 0 τxz = 527 MPa
K: σx = σy = 0 τxy = 527 MPa
38)
39) H: σx = 30,5 MPa T σz = 0 τxz = 19,56 MPa
K: σx = 16,4 MPa C σy = 0 τxy = 19,56 MPa
40) σ1 = 91,7 MPa T σ2 = 10,19 MPa C σ3 = 0
τmáx = 50,9 MPa θp = 18,43º 4
41) σ1 = 299 MPa T σ2 = 3,55 MPa C σ3 = 0
τmáx = 151,2 MPa θp = 6,22º 4
42) σ1 = 75,8 MPa T σ2 = 31,5 MPa C σ3 = 0
τmáx = 53,7 MPa θp = 32,8º 4
43) a) σ1 = 23,2 MPa T σ2 = 44,0 MPa C σ3 = 0
τmáx = 33,6 MPa θp = 36,0º 3
b) σ1 = 33,1 MPa T σ2 = 29,9 MPa C σ3 = 0
τmáx = 31,5 MPa θp = 43,5º 4
44) 5199 N
45) τa = 97,1 MPa τb = 85,5 MPa τc = 30,9 MPa
1) a) 5,89 MPa T b) 2,31 MPa C
2) a) 20,3 MPa T b) 21,2 MPa C
3) 22,9 MPa T ou C
4) 25,5 kN
5) a) 61,1 MPa C b) 91,7 MPa T
6) σa = 44,1 MPa C σb = 29,3 MPa T
7) 80,9 kN.m
8) a) 37,6 kN b) 6,07 kN
9) 73,2 MPa T
102,4 MPa C
10) 39,6 kN
11) 93,8 MPa C, na parte inferior de A.
12) a) 136,2 MPa T b) 97,3 MPa C
13) a) 71,4 MPa T b) 52,5 MPa C
14) 3,08 kN.m
15) a) 66,2 MPa T b) 112,4 MPa C
16) 79,1 kN.m
17) a) 4,17 MPa C b) 8,33 MPa T c) 16,67 MPa T
18) a) 926 kPa T b) 14,81 MPa C
19) 106,1 kN
20) a) 90 mm b) 40 MPa T
21) a) 6,75 MPa b) 75,3º a partir do eixo z 4
22) a) 70,8 MPa b) 67,4º a partir do eixo z 3
23) a) 42,3 MPa T b) 55,8 MPa C
c) 75,4 a partir do eixo z 3
24) a) 69,4 MPa T b) 34,7º a partir do eixo z 3
25)
26) a) 115,2 MPa T b) 76,4 MPa C c) 79,8º 4
27) a) 29,3 MPa C b) 144 MPa C c) 41,5º 3
28) a) 49,95 mm
9