PROFº. LUIS HENRIQUE – MATEMÁTICA
Geometria Analítica
A Geometria Analítica, famosa
G.A., ou conhecida como Geometria
Cartesiana, é o estudo dos elementos
geométricos no plano cartesiano.
PLANO CARTESIANO
O
sistema
cartesiano
de
coordenada, ou plano cartesiano, foi
criado por René Descartes, e consiste em
dois eixos perpendiculares (em ângulo
reto), sendo um na horizontal e outro na
vertical. Esse sistema serve para a
localização de pontos num determinado
espaço.
Observe que:
-
primeiro quadrante, temos x>0 e y>0.
segundo quadrante, temos x<0 e y>0.
terceiro quadrante, temos x<0 e y<0.
quarto quadrante, temos x>0 e y<0.
Bissetriz dos quadrantes
Todos os pontos que pertencem às
bissetrizes dos quadrantes ímpares (1º e
3º) apresentam abcissa e ordenada iguais.
Exemplo (2,2), (-3,-3).
Já os pontos nas bissetrizes dos
quadrantes pares (2º e 4º) possuem
abcissa oposta a ordenada.
Exemplo (-2,2), (-3,3).
Observe que os pontos possuem
coordenadas, chamadas de par ordenado.
O primeiro valor é a localização do ponto
em relação ao eixo x (denominado
abcissa). O segundo valor do par
ordenado, se refere a localização em
relação ao eixo y, o eixo das ordenadas.
Dizemos que o sistema tem
origem no ponto (0,0), ponto este no
cruzamento das duas retas.
Quadrantes do sistema
O sistema é composto de quatro
quadrantes (1º, 2º, 3º e 4º quadrantes).
ESTUDO DO PONTO NO PLANO
CARTESIANO
Distância entre dois pontos.
Quando possuímos dois pontos no
plano
cartesiano,
pontos
A
e
B,
conseguimos calcular a distância (dAB)
entre esses dois pontos. Observe a figura:
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Condição de alinhamento
Podemos verificar se três pontos
estão alinhados, ou seja, se A(x1,y1),
B(x2,y2), C(x3,y3) pertencem a mesma
reta, se a determinante da matriz formada
pelas coordenadas dos pontos for nula.
𝐱𝐱 𝟏𝟏
𝐃𝐃 = �𝐱𝐱 𝟐𝟐
𝐱𝐱 𝟑𝟑
Observe
que
o
ponto
A
possuí
coordenadas (x1,y1) e o ponto B
coordenadas
(x2,y2).
No
triângulo
retângulo formado, aplicamos o teorema
de Pitágoras. Logo:
𝐲𝐲𝟏𝟏
𝐲𝐲𝟐𝟐
𝐲𝐲𝟑𝟑
𝟏𝟏
𝟏𝟏� = 𝟎𝟎
𝟏𝟏
Peça para o professor verificar se os
pontos A(2,4), B(4,8), C(3,6) e copie a
resolução no espaço abaixo.
𝐝𝐝𝐀𝐀𝐀𝐀 𝟐𝟐 = (𝐱𝐱 𝟐𝟐 − 𝐱𝐱 𝟏𝟏 )𝟐𝟐 + (𝐲𝐲𝟐𝟐 − 𝐲𝐲𝟏𝟏 )𝟐𝟐
𝐝𝐝𝐀𝐀𝐀𝐀 = �(𝐱𝐱 𝟐𝟐 − 𝐱𝐱 𝟏𝟏 )𝟐𝟐 + (𝐲𝐲𝟐𝟐 − 𝐲𝐲𝟏𝟏 )𝟐𝟐
Peça
para
o
seu
lindo
professor
determinar a distância dos pontos A(2,8),
B(6,5) e copie a resolução no espaço
abaixo.
ESTUDO DO TRIÂNGULO NO PLANO
CARTESIANO
Podemos estudar os triângulos no
sistema cartesiano. Dados três pontos não
colineares (ou seja, não alinhados)
podemos formar um triângulo.
Ponto médio
Seja A(x1,y1) e B(x2,y2). Se
queremos encontrar o ponto médio
M(xM,yM) entre dois pontos dados, basta
somar as coordenadas e dividir por dois.
Logo
as
coordenadas
de
M
são
(
𝑥𝑥1 +𝑥𝑥2 𝑦𝑦1 +𝑦𝑦2
2
,
2
).
Peça
para
o
seu
lindo
professor
determinar o ponto médio dos pontos
A(2,8), B(6,4) e copie a resolução no
espaço abaixo.
Podemos então fazer
nesses triângulos.
alguns
estudos
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Baricentro
Em geometria plana, estudamos
que os triângulos possuem um ponto
chamado de baricentro, que é o ponto de
encontro das medianas de um triângulo.
Na física, esse baricentro é chamado de
ponto de massa. (Pergunte ao seu
professor gato o que é isso na física).
Seja o triângulo de vértices
A(x1,y1),
B(x2,y2),
C(x3,y3).
Para
determinar o baricentro desse triângulo,
denominado de ponto G(xG,yG), basta
somar as coordenadas e dividir por três.
Logo
G=
(
𝑥𝑥1 +𝑥𝑥2 +𝑥𝑥3 𝑦𝑦1 +𝑦𝑦2 +𝑦𝑦3
3
,
3
Área do triângulo.
).
ESTUDO DA RETA NO PLANO
CARTESIANO
As retas num plano cartesiano são
representadas por uma equação, que
determinamos como equação geral da
reta.
ax+by+c=0
Onde a, b e c são números reais, a e b
são diferentes de zero, x e y são
coordenadas de um ponto genérico que
pertence da reta.
(Pergunte ao teacher como obtemos uma
equação da reta)
Seja o triângulo de vértices
A(x1,y1),
B(x2,y2),
C(x3,y3).
Para
determinar a área desse triângulo, basta
pegar a determinante da condição de
alinhamento e dividir por dois, ou seja:
𝟏𝟏 𝐱𝐱 𝟏𝟏
𝑨𝑨𝒕𝒕 = . �𝐱𝐱 𝟐𝟐
𝟐𝟐 𝐱𝐱
𝟑𝟑
𝐲𝐲𝟏𝟏
𝐲𝐲𝟐𝟐
𝐱𝐱 𝟑𝟑
𝟏𝟏
𝟏𝟏�
𝟏𝟏
(observe que temos duas barrinhas
na determinante, estamos falando do
módulo)
Observe que se a determinante der zero,
então a área será de zero. Claro, se a
determinante for zero, os pontos estão
alinhados, logo não existe triângulo.
Com exemplo, copie abaixo a resolução da
seguinte questão: Verifique se os pontos
A(2,5), B(2,8), C(6,5) formam um
triângulo. Se sim, calcule o baricentro e a
área.
Podemos representar uma reta pela sua
equação reduzida.
y=mx+n
Onde m é denominado como coeficiente
angular e n o coeficiente linear da reta.
Definiremos m = tg 𝛼𝛼 , onde 𝛼𝛼 será a
inclinação da reta em relação ao eixo x.
(Da onde
abaixo)
vem
essa
equação?
Copie
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Estudo do coeficiente angular
Exemplificando tudo:
Determine a equação geral da reta e a
equação reduzida que passa pelos pontos
A(1,2) e B(-2,3)
Podemos determinar o valor do coeficiente
angular da reta que passa pelos pontos
A(xA,yA), B(xB,yB).
Logo
y −y
m = tg α = xB −xA
B
A
Estudo da reta, sabendo um ponto e o
coeficiente angular
Vimos que podemos escrever a
equação reta sabendo dois pontos dados.
Mas e se for nos dado somente um ponto
e o coeficiente angular?
Podemos encontrar da mesma
maneira a equação da reta. Observe:
Seja um ponto dado A(x0,y0) e o
coeficiente angular m dado. Sabemos que
m=
y−yo
x−xo
,
onde x e y são pontos
genéricos. Logo, temos que
y − yo = m(x − xo )
(Macete: YoYo Mixoxo)
Determine a equação geral e reduzida da
reta que passa pelo ponto A(1,2) e possui
coeficiente angular m= -1/3.
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MÚSICA: GA é muito fácil
Paródia da música “Sinto falta de
você” De Victor e Léo
(Profº João Bez)
2) No triângulo ABC, A(1,1) é um dos
vértices, G(3,3) é o baricentro e M(3,1) é
o ponto médio do lado AB. Determine as
coordenadas de B e C.
Parecia muito fácil achar a equação da
reta
Mas quando passa por dois pontos a
galera se aperta
Você faz a matriz diferente com o X e o Y
na frente
Acha o determinante e iguala a zero
E ainda falta dizer quando temos só um
ponto e o coeficiente
Você monta um sistema e resolve o
problema ou usa o macete
3) (UFRGS) A distância entre os pontos
A(-2,y) e B(6,7) é 10. O valor de y é:
a) -1
b) 0
c) 1 ou 13
d) -1 ou 10
e) 2 ou 12
Refrão: Yoyo Mixoxo
4) (UFSC) Dados os pontos A(-1,-1),
B(5,-7) e C(x,2), determine o valor de x
sabendo que o ponto C é equidistante dos
pontos A e B.
Para determinar então a equação da
reta:
5) A área, em unidades de área, do
quadrilátero de vértices A(0,0), B(3,1),
C(5,3), D(0,3) é:
•
•
•
Sistema de equação;
Determinantes;
Yoyo Mixoxo
CONDIÇÕES DE PARALELISMO E
PERPENDICULARIDADE
Paralelismo
Duas ou mais retas serão paralelas
se o coeficiente angular das duas for igual.
Ou seja, se a reta r tiver coeficiente
angular mr e a reta s tiver coeficiente
angular ms , as duas serão paralelas se
mr=ms.
a) 9,5
b) 19
c) 15
d) 7,5
e) 11,5
6) (PUC-RJ) Os pontos (0,8), (3,1) e (1,y)
do plano são colineares. O valor de y é
igual a:
a) 5
b) 6
c) 17/3
d) 11/2
e) 5/3
7) Determine os coeficientes angular e
linear da reta que passa pelos pontos (1,1) e (2,3).
Perpendicularidade
Duas retas serão perpendiculares
se o produto dos coeficientes angulares
das duas for igual a -1. Ou seja, se a reta
r tiver coeficiente angular mr e a reta s
tiver coeficiente angular ms , as duas
serão perpendiculares se mr . ms = -1
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
1) Um ponto A pertence a bissetriz dos
quadrantes ímpares e equidista de B(-2,1) e C(7,2). Determine as coordenadas
desse ponto A.
8)A área do triângulo formado pela reta
2x+3y-12=0 e os eixos coordenados é:
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 24
9)
(UFSC)
A
área
do
triângulo
determinado pelas retas de equações:
x+y-6=0, x-1=0 e y=x, em unidades de
área, é:
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10) (UFSC) Sejam as retas r, que passa
pelos pontos P1(1,0) e P2(2,-2), e s, dada
pela equação 2y-x+1=0. Determine a
soma
dos
números
associados
às
afirmativas verdadeiras.
III. O conjunto domínio e imagem da
função inversa f-1(x) são respectivamente
01.
02.
04.
08.
16.
32.
IV. Se f-1(x) é uma função inversa de
f(x), pode-se dizer que f-1(2)=0
r e s são coincidentes.
O coeficiente angular de r é -2.
O coeficiente linear de s é -1.
r intersecção com s é {(1,0)}
O ponto P(3,-4) pertence a reta r.
r e s são perpendiculares.
11) (UFSC) São dados, num sistema de
coordenadas
cartesianas,
os
pontos
A(4,1), B(1,1), C(4,5) e a reta r
representada pela equação x+y-2=0.
Determine
a
soma
dos
números
associados
à(s)
preposição(ões)
verdadeira(s).
01. O ponto médio do lado BC é o ponto M
de coordenadas (5/2,3).
02. A distância do ponto C à origem do
sistema de coordenadas é de 6 unidades.
04. A equação da reta que passa pelos
pontos A e B é y-1=0.
08. A reta s de equação -5x+5y-13=0 e a
reta r são perpendiculares.
16. O ponto A pertence a reta r.
12) (Fazu-MG) A reta que passa pelo
ponto (-1,1) e cuja inclinação é de 5 tem
equação dada por:
D = {x ∈ R / 0 ≤ x ≤ 4}e
Im = {y ∈ R /− 3 ≤ x ≤ 3}.
Assinale a alternativa correta.
a) Apenas I e IV são verdadeiras.
b) Apenas II, III e IV são verdadeiras.
c) Apenas a afirmação III é verdadeira.
d) Todas as afirmações são verdadeiras.
GABARITO
1) A(2,2)
2) B(5,1); C(3,7)
3) C
4) 8
5) A
6) C
13) B
7) CA= 4 CL=-5
8) D
9) 4
10) 58
11) 13
12) D
DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
Seja um ponto P(xp,yp) e uma reta
r: ax+by+c=0. Para calcularmos a
distância entre o ponto P e a reta r vamos
utilizar a fórmula:
a) 5x+y+4=0
b) 5x-y-6=0
c) 5x-y=0
d) 5x-y+6=0
e) 5x+y-6=0
13) (Acafe) O gráfico de uma função f(x)
é o segmento de reta que une os pontos
A(-3,4) e B (3, 0).
Assim, analise as afirmações a seguir.
I. A distância entre o segmento de reta
AB o ponto C (-2, -1) é (7√13)/13 u.c.
II. A área compreendida entre o segmento
de reta AB e o eixo das abscissas é 12
u.a.
𝒅𝒅𝑷𝑷𝑷𝑷 = �
𝒂𝒂𝒙𝒙𝒑𝒑 + 𝒃𝒃𝒚𝒚𝒑𝒑 + 𝒄𝒄
�
√𝒂𝒂𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝟐𝟐
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Exemplificando:
Determine a distância do ponto P(-2,4) a
reta r: 4x-y-5=0
CIRCUNFERÊNCIAS
Observe a figura acima. Seja
C(a,b) o centro da circunferência, r o raio
da circunferência e P(x,y) um ponto que
pertence a circunferência. Aplicando o
teorema de Pitágoras, temos
(𝐱𝐱 − 𝐚𝐚)𝟐𝟐 + (𝐲𝐲 − 𝐛𝐛)𝟐𝟐 = 𝐫𝐫²
Dizemos que essa é a equação reduzida
da circunferência.
Se desenvolvermos a equação acima,
temos:
𝐱𝐱² + 𝐲𝐲² − 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝐚𝐚𝟐𝟐 + 𝐛𝐛𝟐𝟐 − 𝐫𝐫 𝟐𝟐 = 𝟎𝟎
Essa é a equação geral da circunferência.
Exemplificando:
Determine a equação da circunferência
com centro C(2,1) e raio 4.
Exemplificando mais uma vez:
Sabendo que x²+y²+4x-8y+15=0 é uma
equação de uma circunferência, determine
as coordenadas do centro e do raio.
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
1) (PUC) O ponto A(2,-5) é o vértice de
um quadrado em que um dos lados tem
como suporte a reta x-2y-7=0. O
perímetro do quadrado é:
a) 20
b) 5
c) 2√5
d) 16√5
e) 4√5
2) (UFSC) A área de um quadrado de lado
AB na reta r: x+y+1=0 e lado CD na reta
s: x+y+3=0 é:
a) √2
b) 2
c) 2√2
d) 4
e) 1
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3) (UFSC) A medida da altura do trapézio
cujos vértices são os pontos A(1,1),
B(6,1), C(2,3) e D(4,3) é:
c) A reta r é tangente a circunferência c.
d) A equação r representa uma reta cujo
coeficiente angular é 2,5.
4) (Fatec-SP) Sejam 3x-4y+10=0 e 6x8y+15=0 as equações das retas suportes
da base de um trapézio. Determine a
altura desse trapézio.
5) (UDESC) Para que a equação x²+y²4x+8y+k=0
represente
uma
circunferência, devemos ter:
a) k<20
b) k>13
c) k<12
c) k>12
d) k<10
6) (Acafe-SC) A equação da circunferência
que passa pelo ponto P(0,3), cujo centro é
o ponto de intersecção da reta x+y-6=0
com a bissetriz dos quadrantes ímpares,
é:
7) (Acafe-SC) A circunferência de equação
x²+y²+6x-4y-q=0 tem raio igual a 4. O
valor de q é:
a) 2
b) -3
c) 3
d) -2
e) -1
8) (UFRGS) O eixo das abcissas determina
na circunferência x²+y²-6x+4y-7=0 uma
corda de comprimento:
a) 2√5
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
9) (Acafe) Analise as alternativas a seguir
considerando as equações c: x² + y² = 4
e r: 3x + 4y = 10.
Todas estão corretas, exceto a:
a) A distância entre a reta r e o centro da
circunferência c é 2 u.c.
b)
A
equação
c
representa
uma
circunferência cujo centro é a origem do
plano cartesiano.
GABARITO
1)
2)
3)
4)
9)
E
B
02
1/2
D
5)
6)
7)
8)
A
x²+y²-6x-6y+9=0
C
E