Raciocínio Lógico e Matemático
Prof. Luciana Tavares
RACIOCÍNIO
LÓGICO
E
MATEMÁTICO
Prof. Luciana Tavares
2014
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Raciocínio Lógico e Matemático
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INTRODUÇÃO:
O que é lógica:
Lógica, originalmente, é a ciência formal que estuda as leis necessárias à construção
de um raciocínio perfeito.
Lógica no dia-a-dia:
Quando falamos, estamos pensando. Quando escrevemos, estamos pensando.
Quando pensamos, a lógica nos acompanha. A lógica é importante nas nossas vidas, pois
quando queremos pensar, falar, escrever corretamente, devemos ordenar nosso
pensamento, ou seja, utilizar lógica.
Desde o início dos tempos, o ser humano tem procurado criar máquinas que o auxiliem
em seus trabalhos, diminuindo esforços e economizando tempo, a isso chamamos
tecnologia. Uma das principais máquinas criadas foi o computador, pois podem executar
diversas atividades, porém dependem do homem fornecer as instruções (as ordens) para
executar as atividades. A finalidade de um computador é receber, manipular e armazenar
dados através de programas, gerando informações. Dados são fenômenos fornecidos sem
significado, que através do processamento do computador, são transformados em
resultados com significados, ou seja, informações.
Sequência Lógica:
Todo ser humano antes de realizar uma atividade tende a pensar antes como vai
realizá-la. Estes pensamentos podem ser descritos como uma sequência de instruções, que
devem ser seguidas para se cumprir uma determinada tarefa. Então, Sequência Lógica são
passos executados até atingir um objetivo ou solução de um problema.
Ordem sequencial lógica:
Se quisermos fazer uma omelete com bacon, precisaremos colocar em prática uma
série de instruções: fritar o bacon, quebrar os ovos, bater, etc... É evidente que essas
instruções têm que ser executadas em uma ordem adequada – não se pode bater os ovos e
depois quebrá-los. Dessa maneira, uma instrução tomada em separado não tem muito
sentido. Para obtermos o resultado, precisamos colocar em prática o conjunto de todas as
instruções, na ordem correta.
Algoritmo:
Algoritmo é uma sequência de instruções organizadas de forma lógica e estruturada
(sem desvios), expressas em linguagem natural (português estruturado), que tem por
finalidade resolver um problema ou descrever uma tarefa. Outras definições:
“Um conjunto finito de regras que provê uma sequência de operações para resolver
um tipo de problema específico” [KNUTH]
“Sequência ordenada, e não ambígua, de passos que levam à solução de um dado
problema” [TREMBLAY]
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Exemplos de Algoritmo:
- As operações matemáticas (adição, multiplicação, divisão, subtração, radiciação e
potência de números reais).
Qual o valor da expressão numérica:
{4 + [(4 x 5 - 19) - (10 - 32) + 113] - (28:2 - 10) - 1}
- Manual de instalação de certo aparelho eletrônico.
- Chupar uma bala:
Pegar a bala. Retirar o papel. Colocar a bala na boca. Chupar a bala. Jogar o papel no
lixo.
- Receita de Bolo:
Bolo de chocolate
Ingredientes:
4 xícaras (chá) de farinha de trigo 2 xícaras (chá) de açúcar cristal 2 xícaras (chá) de
achocolatado 2 colheres (sopa) de fermento em pó 1 pitada de sal 3 ovos 2 xícaras (chá) de
água morna 1 xícara (chá) de óleo Óleo para untar Farinha de trigo para polvilhar Mas,
somente os ingredientes são suficientes para preparar o bolo de chocolate? Pode preparar
de qualquer maneira?
Modo de preparo :
Numa vasilha, misture 4 xícaras (chá) de farinha de trigo ,2 xícaras(chá) de açúcar cristal, 2
xícaras(chá) de achocolatado, 2 colheres(sopa) de fermento em pó e1 pitada de sal. Junte 3
ovos, 2 xícaras(chá) de água morna e 1 xícara(chá) de óleo. Misture bem. Unte uma forma
retangular com óleo e polvilhe farinha de trigo e despeje amassa. Asse em temperatura
média (de170Ca180C) por 30 minutos
-Escovar os dentes pela manhã:
Pegar a escova e o creme dental. Colocar creme dental na escova. Escovar os dentes.
Enxaguar a boca com água.
VAMOS PENSAR:
Você está viajando e fura um pneu de seu carro. Encosta-o e para. Será que você é capaz
de descrever todos os passos, desde a parada do carro até o pneu trocado?
É sua vez!
1 - Descreva com detalhes a sequência lógica para trocar uma lâmpada. O algoritmo deve
verificar se a lâmpada está ligada antes de efetuar a troca.
2 - Faça um algoritmo para somar dois números e multiplicar o resultado pelo primeiro
número.
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Pensamento lógico no dia-a-dia :
Todos nós usamos a lógica no dia a dia, às vezes sem nos darmos conta disso.
Exemplos:
1- Seu pai lhe diz: se você tirar 10 em Física e Matemática, lhe darei um presente. Você
sabe que não basta tirar 10 apenas em Física ou apenas em Matemática. Para ganhar o
presente, é necessário tirar 10 nas duas disciplinas. Se por outro lado ele dissesse: se você
tirar 10 em Física ou Matemática, lhe darei um presente; aí bastaria tirar 10 em uma das
matérias.
2- Quando chove, não é preciso molhar o jardim. Hoje choveu. Logo, não é preciso regar as
plantas do jardim.
3- O homem é um animal mamífero. O macaco é um animal mamífero. Logo, o homem e o
macaco pertencem ao mesmo grupo de animais.
4- Dois Vizinhos é uma cidade do estado do Paraná. Francisco Lima nasceu em Dois
Vizinhos. Portanto, Francisco Lima é Paranaense.
5- Se hoje é segunda-feira então, amanhã é terça-feira.
Testando seu raciocínio lógico:
1)
Assinale
a
alternativa
que
não
faz
a) Writer
b) Excel
c) Mouse
d) Paint
2) Qual a palavra que não faz parte do grupo?
a) Livro
b) Revista
c) Jornal
d) Enciclopédia
parte
do
conjunto
e) Movie Maker
e) Carne
3) Qual é o próximo número da sequência?
a) 12, 13, 15, 18, 22, 27, 33, _____
b) 4, 11, 17, 22, 26, 29, 31, _____
c) 33, 30, 28, 25, 23, 20, 18, _____
d) 5, 11, 19, 29, 41, _____
e) 1, 3, 9, 27, 81, 243, _____
f) 1024, 512, 256, 128, 64, _____
g) 1, 1, 2, 2, 4, 4, 8, 8, _____
h) 3, 7, 15, 31, 63, _____
i) 2, 6, 18, 54, 162, _____
j) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ______
4
dado:
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4)
O jogo-da-velha é um jogo popular, originado na
Inglaterra. O nome "velha" surgiu do fato de esse jogo ser
praticado, à época em que foi criado, por senhoras idosas
que tinham dificuldades de visão e não conseguiam mais
bordar. Esse jogo consiste na disputa de dois adversários
que, em um tabuleiro 3 × 3 devem conseguir alinhar
verticalmente, horizontalmente ou na diagonal, 3 peças de
formato idêntico. Cada jogador, após escolher o formato da
peça com a qual irá jogar, coloca uma peça por vez, em
qualquer casa do tabuleiro e passa a vez para o adversário.
Vence o primeiro que alinhar 3 peças.
No tabuleiro representado na figura estão registradas as jogadas de dois adversários em um
dado momento. Observe que uma das peças tem formato de círculo e a outra tem a forma
de um xis. Considere as regras do jogo-da-velha e o fato de que, neste momento, é a vez do
jogador que utiliza os círculos. Para garantir a vitória na sua próxima jogada, esse jogador
pode posicionar a peça no tabuleiro de:
a) uma só maneira.
b) duas maneiras distintas.
c) três maneiras distintas.
d) quatro maneiras distintas.
e) cinco maneiras distintas.
5) O carro amarelo anda mais rapidamente do que o vermelho e este mais rapidamente que
o azul. Qual o carro que está se movimentando com maior velocidade?
a) O amarelo
b) O azul
c) O vermelho
d) O vermelho e o azul
e) Impossível responder
6) Cinco moças estão sentadas na primeira fila da sala de aula: são Maria, Mariana, Marina,
Marisa e Matilde. Marisa está numa extremidade e Marina na oura. Mariana senta-se ao
lado de Marina e Matilde, ao lado de Marisa.
a) Quantas estão entre Marina e Marisa?
b) Quem está no meio?
c) Quem está entre Matilde e Mariana?
d) Quem está entre Marina e Maria?
e) Quantas estão entre Marisa e Marina?
7) Três irmãs, Ana, Bete e Carla dividiram entre si alguns selos. Ana recebeu metade e
mais um. Do restante, Bete recebeu um mais que a metade e os outros três ficaram para
Carla. Quantos selos tinham elas, antes da divisão?
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8) Numa cidade existe uma pessoa X que sempre mente terças, quintas e sábados e é
completamente sincera o resto dos dias da semana. Felipe chega um certo dia na cidade e
mantém o seguinte diálogo com a pessoa X:
- Felipe: Que dia é hoje?
- X: Sábado.
- Felipe: Que dia será amanhã?
- X: Quarta-feira.
Em que dia da semana foi mantido este diálogo?
9) Raquel, Júlia, Rita, Carolina, Fernando, Paulo, Gustavo e Antônio divertem-se em uma
festa.
Sabe-se que
- essas pessoas formam quatro casais;
e
- Carolina não é esposa de Paulo.
Em um dado momento, observa-se que a mulher de Fernando está dançando com o marido
de Raquel, enquanto Fernando, Carolina, Antônio, Paulo e Rita estão sentados,
conversando.
Então, é correto afirmar que a esposa de Antônio é
a) Carolina.
b) Júlia.
c) Raquel.
d) Rita.
10) Um barco está parado no mar e em sua popa há uma escada de cordas com vários
degraus, quatro dos quais estão mergulhados na água. Sabendo-se que a distância entre
cada degrau é de 16,8cm e que a maré sobe à razão de 10,3cm por hora, quantos degraus
ficarão submersos depois de três horas?
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CONCEITOS BÁSICOS:
Proposição:
É todo o enunciado com palavras e/ou símbolos que representam um pensamento de
sentido completo. Toda proposição é uma representação lógica que afirma ou nega.
Segundo Quine, toda proposição é uma frase mas nem toda frase é uma proposição;
uma frase é uma proposição apenas quando admite um dos dois valores lógicos: Falso ou
Verdadeiro.
Veja:
1. “Quantos anos tens?”
(uma frase interrogativa: não exprime uma proposição)
2. “Estude todos os dias!”
(uma frase onde se dá um conselho: não exprime uma proposição)
3. “Quero tirar nota máxima em Filosofia!”
(uma frase que exprime um desejo: não exprime uma proposição)
4. “Juro que amanhã trago o livro.”
(uma frase que exprime uma promessa: não exprime uma proposição)
5. “Deus existe.”
(uma frase declarativa: exprime uma proposição)
6. “O Homem não é livre.”
(uma frase declarativa: exprime uma proposição)
Portanto, não exprimem proposições as frases que exprimem perguntas, ordens,
conselhos, desejos e Promessas.
11) Das frases abaixo quais são proposições?
a) Pare!
b) Quer uma xícara de café?
c) O numero 712 é ímpar.
d) Eu não estou bem certo se esta cor me agrada.
e) A lua é o único satélite do planeta Terra.
f) A cidade de Curitiba é a capital do estado do Paraná.
g) Raiz quadrada de dois é um número irracional.
h) O homem é um invertebrado.
i) Que dia é hoje?
j) 23 é um número primo.
k) Quantos irmãos você tem?
l) Paulo estuda lógica.
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No caso das proposições, a lógica matemática tem como base dois princípios:
Princípio da não-contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao
mesmo tempo.
Princípio do terceiro excluído: toda proposição ou é falsa ou é verdadeira, não existe
uma terceira opção.
Valores lógicos das proposições:
É a classificação da proposição em Verdadeira ou Falsa, pelos princípios da nãocontradição e do terceiro excluído.
12) Determine o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:
a) O número 17 é primo. ( )
b) Florianópolis é a capital do Rio Grande do Sul. ( )
c) Tiradentes morreu afogado. ( )
d) (3 + 5)2 = 32 + 52. ( )
e)
-1 < -7. ( )
f) Todo número divisível por 5 termina por 5. ( )
g) O mouse e o teclado são periféricos de entrada. ( )
h) Toda ave voa. ( )
i) O sol gira em torno da Terra. ( )
Tipos de Proposição:
Simples ou Atômicas - é a proposição que não contém nenhuma outra proposição como
parte integrante de si mesma. As proposições simples são geralmente designadas por letras
minúsculas p, q, r, s ..., chamadas letras proposicionais.
Observação: Pode ser usada qualquer letra do alfabeto minúsculo para representar uma
proposição simples.
Exemplos:
p: Carlos é dedicado.
q: Mário é engenheiro.
r: Maria é morena.
s: A noite está fria.
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Composta ou Molecular - é a proposição formada pela combinação de duas ou mais
proposições. São habitualmente designadas por letras maiúsculas P, Q, R, S ..., também
denominadas letras proposicionais.
Exemplos:
P: Walter é engenheiro E Pedro é estudante;
Q: Mauro é dedicado OU Pedro é trabalhador;
R: SE Flávio é estudioso ENTÃO será aprovado.
Observação: As proposições compostas são também denominadas fórmulas proposicionais
ou apenas fórmulas. Quando interessa destacar que uma proposição composta P é formada
pela combinação de proposições simples, escreve-se: P ( p, q, r ...).
Conectivos:
São palavras que se usam para formar novas proposições a partir de outras. Quando
combinamos proposições, estamos fazendo uma “operação” sendo que os conectivos são
os “operadores”.
Em Lógica Simbólica os chamamos de “operadores lógicos” que são representados
cada um por um símbolo.
Veja a tabela abaixo:
OPERAÇÃO
Conjunção
Disjunção
Negação
Condicional
Bicondicional
CONECTIVO
SÍMBOLO
E
Ou
Não
∧
∨
¬ ou ∼
se... então...
→
se... e somente se...
↔
Exemplos:
P : 6 é par E 8 é cubo perfeito.
Q : NÃO vai chover.
R : SE Mauro é médico, ENTÃO sabe biologia.
S : O triângulo ABC é isósceles OU equilátero.
T : O triângulo ABC é equilátero SE E SOMENTE SE todos os lados tem a mesma
medida.
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13) Classifique as proposições em Simples ou Compostas e nas Compostas indique qual o
conectivo presente.
a) Mariana estuda lógica
b) Paulo estuda lógica e raciocina bem.
c) Marcelo raciocina bem ou deixa-se enganar.
d) Não teremos futebol hoje.
e) Um quadrado tem todos os lados de mesma medida.
f) Se Marcos estuda lógica então raciocina bem.
g) Se Ana estudar lógica, então raciocina bem e é convincente.
h) Leo é convincente se e só se raciocina bem.
Observe:
p : O número 2 é primo.
q : O número 7 é impar.
a : O número 7 é primo.
r : Todo número par é múltiplo de 2.
s : O número 3 é par.
A partir destas proposições podemos gerar, utilizando conectivos, outras proposições
compostas:
W: O número 2 é primo e o número 7 é impar. (W: p Ʌ q)
Y: O número 3 é par ou o número 7 é primo.
(Y: s ν a)
D: Se o número 7 é primo então ele é impar. (D: a→q)
K: O número 3 é par se e somente se for múltiplo de 2. (K: s↔r)
V: Se o número 7 é primo então ele não é múltiplo de 2. (V: a → ~ r)
É sua vez!
14) Sejam as proposições p: Mateus é dedicado e q: Carlos é feliz. Traduzir para
linguagem corrente as seguintes proposições:
a) p ν ~q
b) ~p → q
c) q ↔ ~p
15) Sejam as proposições p: O livro é interessante e q: O livro é de lógica. Traduzir para
linguagem corrente as seguintes proposições:
a) ~p
b) p ν q
c) p  ~q
d) ~(p ν q)
e) q ↔ ~p
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16) Traduzir para a linguagem simbólica, considerando
p = Josefa é rica, q = Josefa é feliz, r = Josefa é estudante.
a) Josefa é rica ou infeliz.
b) Se Josefa é estudante e rica então é estudante e feliz.
c) Josefa é pobre, mas feliz.
d) Josefa é pobre e infeliz.
e) Josefa é pobre ou rica, mas é infeliz.
f) Se Josefa é pobre então é feliz.
g) Josefa é rica se e somente se não for pobre.
h) Se Josefa é estudante então é rica se e somente se é feliz.
i) Josefa é pobre, infeliz, estudante ou rica.
j) Josefa estuda, mas é feliz se e somente não for pobre.
Sejam as proposições p e q, traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições:
17) p: Está frio e q: Está Chovendo.
a) ~p
b) p ^ q
c) p v q
h) p  ~q
i) p ^ ~q  p
18) p: Pedro é rico e q: Eduardo é feliz.
a) q  p
b) p v ~q
c) q  ~p
d) q  p
e) p  ~q
f) p v ~q
g) ~p ^ ~q
d) ~p  q
e) ~~p
f) ~p ^ q  p
19) p: Claudio fala inglês e q: Claudio fala alemão.
a) q v p
b) p ^ q
c) p ^ ~q
d) ~p ^ ~q
e) ~~p
f) ~(~p ^ ~q)
Sejam as proposições p e q, traduzir para a linguagem simbólica as seguintes
proposições:
20) p: Marcos é alto e q: Marcos é elegante.
a) Marcos é alto e elegante
b) Não é verdade que Marcos é baixo ou elegante
c) Marcos não é nem alto e nem elegante
d) Marcos é alto ou é baixo e elegante
e) É falso que Marcos é baixo ou que não é elegante
21) p: Suely é rica e q: Suely é feliz.
a) Suely é pobre, mas feliz
b) Suely é rica ou infeliz
c) Suely é pobre e infeliz
d) Suely é pobre ou rica, mas infeliz
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22) p: Carlos fala francês e q: Carlos fala inglês e r: Carlos fala alemão.
a) Carlos fala francês ou inglês, mas não fala alemão
b) Carlos fala francês e inglês, ou não fala francês e alemão
c) É falso que Carlos fala francês mas que não fala alemão
d) É falso que Carlos fala inglês ou alemão mas que não fala francês
23) Troque os conectivos por seus símbolos adequadamente:
a) x = 0 ou x > 0
b) x  0 e y  0
c) x > 1 ou x + y > 0
d) (x + y = 0 e z > 0) ou z = 0
e) x = 0 e (y + z > x ou z = 0)
f) Se x > 0 então y = 2
g) Se x + y = 2 então z > 0
h) x = 1 ou z = 2 então y > 1
i) Se z > 5 então x  1 e x  2
j) Se x  y então x + z > 5 e y + z < 5
k) Se x + y > z e z = 1 então x + y > 1
l) Se x < 2 então x = 1 ou x = 0
m) Se y = 4 e se x < y então x < 5
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Lembrando:
Proposição: É toda sentença declarativa que poderá ser classificada em Verdadeiro ou
Falso
Ex.:
p: A Terra é maior que a Lua.
q: 2 + 5 < 3
Valor Lógico:
Baseando-se nas proposições anteriores temos que: VL(p) = V
Observe:
VL(q) = F
p: X é maior que a Lua. (NÃO É PROPOSIÇÃO)
Sentença aberta: é aquela que vem com uma variável, um elemento desconhecido e,
portanto não podemos garantir que seja Verdadeiro ou Falso.
Mas:
A sentença p seria uma proposição se ocorresse: p: X é maior que a Lua, X = Ronaldo
Classificação das proposições lógicas:
Proposição simples – São representadas de forma única.
Ex: O cachorro é um mamífero
Proposição composta – São formadas por um conjunto de proposições simples,
(duas ou mais proposições simples ligadas por “conectivos lógicos”).
Operação
Conectivo Estrutura Lógica Exemplos
Negação
~
Não p
A bicicleta não é azul
Conjunção
^
peq
Thiago é médico e João é
Engenheiro
Disjunção
Inclusiva
v
p ou q
Thiago é médico ou João é
Engenheiro
Disjunção
Exclusiva
v
Ou p ou q
Ou Thiago é Médico ou João é
Engenheiro
Condicional
→
Se p então q
Se Thiago é Médico então João
é Engenheiro
Bicondicional
↔
p se e somente se q Thiago é médico se e somente
se João é Médico
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Podemos ver que atribuir um valor lógico para uma proposição simples é fácil, mas e
para uma proposição composta?
A TABELA-VERDADE
Da mesma forma que as proposições simples podem ser verdadeiras ou falsas, as
proposições compostas podem também ser verdadeiras ou falsas.
A tabela-verdade é usada para determinar o valor lógico de uma proposição composta,
sendo que os valores das proposições simples já são conhecidos. Pois o valor lógico da
proposição composta depende do valor lógico da proposição simples.
A seguir vamos compreender como se constrói essas tabelas-verdade partindo da
árvore das possibilidades dos valores lógicos das preposições simples, e mais adiante
veremos como determinar o valor lógico de uma proposição composta.
Proposição composta do tipo P(p, q)
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Proposição composta do tipo P(p, q, r)
NÚMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE:
Cada proposição simples tem dois valores V ou F, que se excluem. Para n simples
distintas, há tantas possibilidades quantos são os arranjos com repetição de 2 (V e F)
elementos n a n.
Segue-se que o número de linhas da tabela verdade é 2n.
Assim, para duas proposições são 22 = 4 linhas.
Para 3 proposições são 23 = 8;
...
Conectivo de conjunção ("e" - representado por Ʌ)
p: Maria tem um gato
A proposição composta p^q será:
q: José tem um cachorro
Maria tem um gato e José tem um cachorro
Então, p^q somente é verdadeira se ambas as proposições são
verdadeiras.
Se ambas, ou uma delas é falsa, a proposição será falsa.
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Assim, pode-se expressar a tabela verdade de conjunção como:
p Q
pɅq
V V
V
V F
F
F V
F
F F
F
Exemplo:
p: O Brasil está na Europa
VL(p) = F
Como:
Então:
q: A Argentina está na América do Sul
e VL(q) = V
VL(p^q) = F
É sua vez!
24) Conforme a tabela verdade responda:
a) Sendo
r: São Jorge D`Oeste pertence ao Paraná
s: Paraná pertence ao Brasil
Qual o valor lógico de (r^s)?
b)
Sendo o: A semana tem oito dias
s: Todos os meses tem 30 dias
Qual o valor lógico de (o^s)?
c)
Sendo m: Num triângulo retângulo a soma dos ângulos internos é igual ao
ângulo reto
n: Por um ponto passam infinitas retas
Qual o valor lógico de (m^n)?
d)
Sendo a: Os cavalos são mamíferos
b: Todas as aves voam
Qual o valor lógico de (a^b)?
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Conectivo de disjunção ( "ou" - representado por v)
Neste caso, devemos antes analisar o conectivo "ou".
Ele pode ser "inclusivo" (considera os dois casos) ou "exclusivo" (considera apenas
um dos casos)
Exemplo:
R: Paulo é professor ou administrador
S: Maria é jovem ou idosa
No primeiro caso, o "ou" é inclusivo, pois pelo menos uma das proposições é
verdadeira, podendo ser ambas.
No caso da segunda, o "ou" é exclusivo, pois somente uma das proposições poderá ser
verdadeira.
Assim, pode-se expressar a tabela-verdade da disjunção "inclusiva" como:
Exemplo:
Como
Então:
p
q
pνq
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
p: Paris é a capital do Brasil
VL(p) = F
VL(p v q) = V
q: 9 - 6 = 3
VL(q) = V
Paris é a capital do Brasil ou 9 - 6 = 3
Da mesma forma, pode-se expressar a tabela-verdade da disjunção "exclusiva"
como:
Exemplo:
Como
Então:
p
q
pνq
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
p: Brasília é a capital do Brasil
VL(p) = V
VL(p v q) = F
q: 9 - 6 = 3
VL(q) = V
Ou Brasília é a capital do Brasil ou 9 – 6 = 3
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25)
Conforme a tabela verdade responda:
a) Sendo
r: Dois Vizinhos pertence ao Paraná
s: Paraná pertence ao Brasil
Qual o valor lógico de (rνs)?
b) Sendo
o: A semana tem oito dias
s: Todos os meses tem 30 dias
Qual o valor lógico de (oνs)?
c)
Sendo m: Num triângulo retângulo a soma dos ângulos internos é igual ao
ângulo reto
n: Por um ponto passam infinitas retas
Qual o valor lógico de (mνn)?
d)
Sendo a: Os cavalos são mamíferos
b: Todas as aves voam
Qual o valor lógico de (aνb)?
e) Sendo
r: São Jorge D`Oeste pertence ao Paraná
s: Paraná pertence ao Brasil
Qual o valor lógico de (rνs)?
f) Sendo
o: A semana tem oito dias
s: Todos os meses tem 30 dias
Qual o valor lógico de (oνs)?
g) Sendo
reto
m: Num triângulo retângulo a soma dos ângulos internos é igual ao ângulo
n: Por um ponto passam infinitas retas
Qual o valor lógico de (mνn)?
h) Sendo
a: Os cavalos são mamíferos
b: Todas as aves voam
Qual o valor lógico de (a νb)?
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Conectivo Condicional ( "se... então" - representado por → )
Numa proposição condicional que se encontra entre o "se" e o "então" é chamado de
antecedente (ou implicante) e o que segue ao "então" é chamado de consequente (ou
implicado).
Uma proposição condicional afirma que o seu antecedente implica o seu consequente.
Não afirma ser o antecedente verdadeiro, mas se o for, o consequente também será.
Também não afirma que o consequente é verdadeiro, mas somente que é verdadeiro se o
antecedente o for.
Exemplo:
Como:
Então:
p
q
p →q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
p: Raiz cúbica de 27 é igual a 9
VL(p) = F
q: Cabral descobriu o Brasil
VL(q) = V
VL(p→q) = V
É sua vez!
26) Conforme a tabela verdade responda:
a) Sendo
r: São Jorge D`Oeste pertence ao Paraná
s: Paraná pertence ao Brasil
Qual o valor lógico de (r→s)?
b)
Sendo o: A semana tem oito dias
s: Todos os meses tem 30 dias
Qual o valor lógico de (o→s)?
c)
Sendo m: Num triângulo retângulo a soma dos ângulos internos é igual ao
ângulo reto
n: Por um ponto passam infinitas retas
Qual o valor lógico de (m→n)?
d)
Sendo a: Os cavalos são mamíferos
b: Todas as aves voam
Qual o valor lógico de (a→b)?
19
Raciocínio Lógico e Matemático
Prof. Luciana Tavares
Conectivo Bicondicional( "se, e somente se..." - representado por ↔)
A bicondicional é verdadeira se, e somente se seus componentes são ou ambos
verdadeiros ou ambos falsos
p
q
p↔q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
Exemplo: p: o quadrado tem lados de tamanhos diferentes
ímpar
Como:
VL(p) = F
Então:
q: 14 é um número
VL(q) = F
VL(p↔q) = V
É sua vez!
27) Conforme a tabela verdade responda:
a) Sendo r: São Jorge D`Oeste pertence ao Paraná
s: Paraná pertence ao Brasil
Qual o valor lógico de (r↔s)?
b)
Sendo o: A semana tem oito dias
s: Todos os meses tem 30 dias
Qual o valor lógico de (o↔s)?
c)
Sendo m: Num triângulo retângulo a soma dos ângulos internos é igual ao
ângulo reto
n: Por um ponto passam infinitas retas
Qual o valor lógico de (m↔n)?
d)
Sendo a: Os cavalos são mamíferos
b: Todas as aves voam
Qual o valor lógico de (a↔b)?
Conectivo de negação( representado por ~ )
Dada uma proposição: "A água é mais leve que o ar" sua negação acontece se
dizemos:
É falso que a água é mais leve que o ar ou ainda A água não é mais leve que o ar.
20
Raciocínio Lógico e Matemático
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Pode-se resumir tal fato com a tabela abaixo:
p
~p
V
F
F
V
Ordem de precedência dos conectivos:
A precedência é o critério que especifica a ordem de avaliação dos conectivos ou
operadores lógicos de uma expressão qualquer. A lógica matemática prioriza as operações
de acordo com a ordem listadas abaixo.
Primeiro: ~
Terceiro: →
Segundo: ^ e v
Quarto: ↔
Observação: Parênteses podem ser utilizados para determinar uma forma específica de
avaliação de uma proposição:
p→q↔s^r
é bicondicional
Para convertê-la numa condicional deve-se usar parênteses: p → (q ↔ s ^ r)
Exemplos:
a) Construir a tabela verdade da proposição: ~ ( p ^ ~q )
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
b) Construir a tabela verdade de:
p q
pvq
~q
p^ ~q
~(p ^ ~q)
~(p v q) ^ ~(q ↔p)
~(p v q)
p↔q
V V
V F
F V
F F
21
~(p↔q)
~(p v q)^~(q↔p)
Raciocínio Lógico e Matemático
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c) Construir a tabela verdade da proposição: p v~r → q^ ~r
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r ~r p v ~r
V
F
V
F
V
F
V
F
q ^ ~r
p v ~r → q ^ ~r
É sua vez!
VAMOS PRATICAR
28) Sendo duas proposições a e b, complete a tabela:
a
b
V
V
F
F
V
F
V
F
~a
aɅb
aνb
a →b
a↔b
29) Construa a tabela verdade para (p ^ q) → r:
30) No exercício anterior, considerando:
Qual o valor verdade de (p Ʌ q) → r ?
VL(p)=V
VL(q) = V
VL(r) = F
31) Se a proposição t é verdadeira e a proposição r é falsa, então a proposição r→ (~t) é
falsa?
32) Se as proposições p e q são verdadeiras e a proposição r é falsa, então a proposição
(p ∧ r) → (~q) é verdadeira?
33) Sabendo-se que os valores lógicos das proposições "p", "q" e "r" são, respectivamente,
V,F e V, determine o valor lógico da proposição: [(p↔q)→ p] v (p →r)
22
Raciocínio Lógico e Matemático
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34) Considere as sentenças abaixo:
I - Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam.
II - Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde.
III - Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido.
IV - Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então
fumar deve ser proibido.
p
r
t
Fumar deve ser proibido
Fumar não faz bem à saúde
Muitos europeus fumam
Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue
Correto ou Errado os itens seguintes.
a)
A sentença I pode ser corretamente representada por p ∧ (~t)
b)
A sentença II pode ser corretamente representada por (~p) ∧ (~r)
c)
A sentença III pode ser corretamente representada por r → p
d)
A sentença IV pode ser corretamente representada por ( r ∧ (~t)) → p
PROBLEMA RESOLVIDO COM TABELA VERDADE
Três amigos resolveram ir ao cinema ver um filme, mas naquele horário só
tinha a opção “Tudo é uma questão de lógica”.
Então surgiu uma discussão, pois alguns afirmavam já ter assistido ao filme:
* Tuca: Se Joca não assistiu, então Kika também não assistiu.
* Joca: Tuca não assistiu o filme, mas Kika assistiu.
* Kika: Eu assisti o filme ou Joca não assistiu.
Sejam as proposições:
p: Tuca assistiu o filme.
q: Joca assistiu o filme.
r: Kika assistiu o filme.
Usando a tabela-verdade, responda:
Se todos assistiram o filme, quem está mentindo?
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Raciocínio Lógico e Matemático
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TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO E CONTINGÊNCIA
Tautologias ou Proposições
Logicamente Verdadeiras
Tautológicas
ou
Proposições
É toda proposição composta cuja a última coluna da sua tabela-verdade encerra
somente a letra V (verdade).
Em outros termos, é toda proposição composta P(p, q, r, …) cujo valor lógico é sempre
V (verdade), quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples componentes
p, q, r, …
É imediato que as proposições p  p e p  p são tautológicas (Princípio de
Identidade para as proposições).
Exemplos:
a) A proposição: ~(p ^ ~p) (Princípio da não contradição) é tautologia,
conforme mostra a sua tabela-verdade:
p
V
F
~p
F
V
p^ ~p ~(p ^ ~q)
F
V
F
V
Portanto, dizer que uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa
é sempre verdadeiro.
b) A proposição: p v ~p (Princípio do terceiro excluído) é tautologia,
conforme se vê pela sua tabela-verdade:
p
V
F
~p p v ~p
F
V
V
V
Portanto, dizer que uma proposição ou é verdadeira ou é falsa é sempre verdadeiro.
c) A proposição: p v ~(p ^ q) é tautologia, conforme mostra a sua tabelaverdade:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p^q
V
F
F
F
~(p ^ q) p v ~(p ^ q)
F
V
V
V
V
V
V
V
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Raciocínio Lógico e Matemático
Prof. Luciana Tavares
É sua vez!
35) A proposição p ^ q  (p  q) é tautología?
p
q
p q
p^q
p ^ q  (p  q)
36) A proposição p v (q ^ ~q)  p é tautología?
p
q
~q
p ^ ~q p v (q ^ ~q)
p v (q ^ ~q)  p
36) A proposição p ^ r  ~q v r é tautología?
P
Q
r
~q
p^r
~q v r
p ^ r  ~q v r
37) Considerando as proposições verdadeiras:
p: Pedro é bonito
q: O céu é azul
Qual das frases abaixo é uma tautología?
a) Se Pedro é bonito, então Pedro é bonito e o céu é azul.
b) Se Pedro é bonito, então Pedro é bonito ou o céu não é azul.
c) Se Pedro não é bonito ou o céu é azul, então o céu não é azul.
d) Se Pedro é bonito ou o céu é azul, então Pedro é bonito e o céu é azul.
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Raciocínio Lógico e Matemático
Contradições ou
Logicamente Falsas
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Proposições
Contraválidas
ou
Proposições
É toda proposição composta cuja a última coluna da sua tabela-verdade encerra
somente a letra F (falsidade).
Em outros termos, é toda proposição composta P (p, q, r,…) cujo valor lógico é sempre
F (falsidade), quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples componentes
p, q, r, …
Como a tautologia é sempre verdadeira (V), a negação de uma tautologia é sempre
falsa (F), ou seja, é uma contradição, e vice-versa.
Exemplos:
a) A proposição: p ^ ~p é uma contradição, conforme mostra a sua tabela-verdade:
p
V
F
~p p ^ ~p
F
F
V
F
Portanto, dizer que uma proposição pode ser simultaneamente verdadeira e falsa é
sempre falso.
b) A proposição: p  ~p é uma contradição, conforme se vê pela sua tabelaverdade:
p
V
F
~p p  ~p
F
F
V
F
É sua vez!
38) A proposição (p ^ q) ^ ~(p v q) é uma contradição:
P
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p^q
pv q
26
~(p v q)
(p ^ q) ^ ~(p v q)
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39) A proposição ~p ^ (p ^ ~q) é uma contradição?
P
V
V
F
F
q
V
F
V
F
Contingências
Indeterminadas
ou
~p
p ^ ~q
~p ^ (p ^ ~q)
Proposições
Contigentes
ou
Proposições
É toda proposição composta cuja a última coluna da sua tabela-verdade figuram as
letras V e F cada uma pelo menos uma vez.
Em outros termos, é toda proposição composta P (p, q, r,…) que não é tautologia e
nem contradição.
Exemplos:
a) A proposição p  ~p é uma contigência, conforme mostra a sua tabela-verdade:
p
V
F
~p p  ~p
F
F
V
V
b) A proposição p v q  p é uma contingência, conforme mostra a sua tabelaverdade:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pvq
V
V
V
F
pvqp
V
V
F
V
VAMOS PRATICAR
40) Determine quais das proposições seguintes são tautologia, contradição ou contingência:
a) p  [p  (q  ~p)]
27
Raciocínio Lógico e Matemático
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b) (p  q)  [(p  r)  (q  r)]
c) ~{(p  q)  [(p  q)  r]}
41) Supondo verdadeiras as três proposições seguintes:
a
a→b
~ ( b  c)
Qual o valor lógico de b e de c?
Problemas resolvidos com tabela verdade:
1- Considerando as proposições:
p: O João ficou dispensado do exame de Filosofia
q: O João ficou dispensado do exame de Matemática.
r: O João ficou dispensado do exame de Lógica
Verifique se o João dispensou alguma disciplina, sabendo que é verdadeira a seguinte
proposição:
~ (~ p → ~ q)  ~ r
2- Considere as fórmulas:
I - (p v q) → p
II - (p ^ q) → p
III - (p ^ q) → ~(p V q)
É(São) tautologia(s) a(s) fórmula(s):
a) I somente.
b) II somente.
c) III somente.
d) I e III, somente.
e) I, II e III.
3- Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, independentemente da
verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é:
a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo
b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo
c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo
d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo
e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo
28
Raciocínio Lógico e Matemático
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SILOGISMO
É uma forma de raciocínio dedutivo que, partindo-se de certas informações, infere-se
em uma determinada conclusão. Por exemplo, temos as proposições:
p: Todos os homens são bons.
q: Carlos é um homem.
Podemos a partir destas duas proposições obter uma conclusão: Carlos é bom.
“Todo homem é
mortal.
“Todo gato mia.
“Todas as baleias são
mamíferos.
Ora, meu amigo é um
Sócrates é homem.
Logo, Sócrates é
mortal.”
Alguns animais são
baleias.
gato.
Logo, meu amigo mia.”
Logo, alguns animais são
mamíferos.”
IMPLICAÇÃO E EQUIVALÊNCIA LÓGICAS
Implicação:
Sejam P(p, q, r, ...) e Q(p, q, r...) duas proposições.
Definição: Uma proposição P implica na proposição Q se e somente se a tabela
verdade de P  Q for uma tautologia.
Para indicar que a proposição P implica na proposição Q usa-se P
Propriedades:
P1 – Reflexiva. Isto é P  P.
P2 – Transitividade. Isto é P  Q e Q  S então P  S.
A transitividade pode ser estendida a qualquer série de proposições:
P  R e R  S e S  ... X então P  X.
29
 Q.
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VAMOS PRATICAR
42) Em uma pequena comunidade sabe-se que: “Nenhum filósofo é rico” e que
“alguns professores são ricos”. Assim pode-se afirmar, corretamente, que nesta
comunidade:
a) Alguns filósofos são professores.
b) Alguns professores são filósofos.
c) Nenhum filósofo é professor.
d) Alguns professores não são filósofos.
e) Nenhum professor é filósofo.
43) Se “Alguns professores são matemáticos” e “todos matemáticos são alegres”.
Então necessariamente:
a)
b)
c)
d)
e)
Toda pessoa alegre é matemático
Todo matemático é professor
Algum professor é uma pessoa alegre
Nenhuma pessoa alegre é professor
Nenhum professor não é alegre
44) Utilizando tabelas-verdade, verifique se existem as relações de implicação lógica
seguintes:
a)
pqqp
b)
~( p  q )  ~p  ~q
c)
p  q  r  ~q  r  ~p
Equivalência:
Definição: Uma proposição P é logicamente equivalente a outra proposição Q se e
somente se a tabela verdade de P  Q for uma tautologia.
Para indicar que a proposição P é equivalente à proposição Q usa-se P
Exemplo:
(p → q) ⇔ (~q → ~p)
30
 Q.
Raciocínio Lógico e Matemático
Prof. Luciana Tavares
Quais destas proposições são equivalentes?
1- p  q
2- q  p
3- ~p  ~q
4- ~q  ~p
a)
b)
c)
d)
Apenas 1 e 2
Apenas 2 e 4
2 e 3, 1 e 4
1 e 3, 1 e 4
VAMOS PRATICAR
1- André é inocente ou Beto é inocente. Se Beto é inocente, então Caio é culpado. Caio é
inocente se e somente se Dênis é culpado. Ora, Dênis é culpado.
Logo:
a) Caio e Beto são inocentes
b) Caio e Dênis são culpados
c) André e Caio são inocentes
d) André e Dênis são culpados
e) André e Beto são inocentes
2- Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo. Ora, não velejo. Assim,
a) estudo e fumo.
b) não fumo e surfo.
c) não velejo e não fumo.
d) estudo e não fumo.
e) fumo e surfo.
3- Construa a tabela-verdade da proposição composta:
a)
[(p ⋁ q) → (~p)] → (p ⋀ q)
b)
{[(p → q) ⋀ ( ~p → ~r)] ⋀ r } → (~p ⋀ q)
31