Matemática Discreta 2011.1 - Polinômios
Somas
1. Calcule S = 1 · 3 + 2 · 5 + 3 · 7 + 4 · 9 + · · · + 100 · 201.
2. Determine o valor da soma 1 · 3 + 2 · 4 + 3 · 5 + · · · + 99 · 101.
3. Determine o valor das somas seguintes:
(a) 1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + 3 · 4 · 5 + · · · + 98 · 99 · 100.
Solução: A soma é igual a
3! 4!
100!
3
4
100
+ + ··· +
= 3! ×
+
+ ...
3
3
3
0! 1!
97!
101
3 × 2 × 101 × 100 × 99 × 98
= 3!
=
= 24 497 550
4
4×3×2
Usamos a propriedade da soma das colunas do triângulo de Pascal.
(b) 1 · 3 + 2 · 5 + 3 · 7 + · · · + 50 · 101.
4. Some p(5) + p(6) + · · · + p(100), onde p(x) = 3 + 2x − x2 .
Números binomiais
5. Demonstre que
n
n−1
p
=n
.
p
p−1
6. Demonstre que
n
n
n
n
n−1
n n
−
+
+ · · · + (−1)
+ (−1)
= 0.
0
1
2
n−1
n
Dica: Use a Fórmula do Binômio.
7. Utilize o resultado do exercı́cio anterior e a propriedade da soma dos elementos das
linhas para concluir que
n
n
n
n
n
n
+
+
+ ··· =
+
+
+ · · · = 2n−1 .
0
2
4
1
3
5
isto é, na n-ésima linha, a soma dos elementos nas colunas pares dá 2n−1 , e a soma
dos elementos nas colunas ı́mpares também.
Polinmios
Matemática Discreta 2011.1
8. Comparando os coeficientes de x, x2 , etc na identidade
(1 + x)m (1 + x)n = (1 + x)m+n ,
mostre que
m
n
m+n
+
=
1
1
1
m
m n
n
m+n
+
+
=
2
1
1
2
2
e em geral
m
m
n
m
n
m
n
n
m+n
+
+
+ ··· +
+
=
k
k−1
1
k−2
2
1
k−1
k
k
9. Quantas soluções possui a equação
x + y + z = 21,
sendo x, y, z números ı́mpares positivos? (Dê uma resposta numérica explı́cita.)
Solução: Como x, y, z são ı́mpares e positivos, temos x = 2x0 − 1, y = 2y 0 − 1,
z = 2z 0 −1 com x0 , y 0 , z 0 inteiros positivos. A equação se torna 2x0 +2y 0 +2z 0 −3 =
21, isto é, x0 + y 0 + z 0 = 12.
Contar o número de soluções inteiras positivas desta equação é equivalente a
contar o número de maneiras de dispor 2 “barrinhas” nas lacunas abaixo
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
(12 bolas)
de modo que as duas barrinhas não estejam na mesma lacuna. (Aı́ x0 será o
número de bolas até a 1a barrinha, y 0 será o número de bolas entre a 1a e a 2a
barrinhas, e z 0 o número de bolas da 2a barrinha até o final.) Como há 11 lacunas,
o número de soluções é
11
11 × 10
=
= 55
2
2
10. (a) Escreva uma expressão que conta o número de soluções da equação a + b + c +
d + e = 21, se quisermos que as cinco incógnitas sejam inteiros maiores ou iguais
a 1.
(b) Mesma pergunta, só que agora a incógnita a tem que ser um inteiro maior ou
igual a 2, e as outras continuam inteiros maiores ou iguais a 1.
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Matemática Discreta 2011.1
Polinmios
11. Quantas soluções possui a desigualdade
x + y + z ≤ 10,
sendo x, y, z inteiros não-negativos? (Dê uma resposta numérica explı́cita.)
Solução: Dá no mesmo contar o número de soluções de x + y + z + w = 10,
onde as variáveis são inteiros ≥ 0. Para cairmos em um problema já estudado,
colocamos x0 = x − 1, . . . , w0 = w − 1, onde x, y, z inteiros ≥ 1. Substituindo e
simplificando, a equação fica x0 + y 0 + z 0 + w0 = 14.
Contar o número de soluções inteiras positivas desta equação é equivalente a
contar o número de maneiras de dispor 3 “barrinhas” nas lacunas abaixo
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
(14 bolas)
de modo que tenha no máximo 1 barrinha em cada lacuna. (Aı́ x0 será o número
de bolas até a 1a barrinha, y 0 será o número de bolas entre a 1a e a 2a barrinhas,
etc.) Como há 13 lacunas, o número de soluções é
13
13 × 12 × 11
= 286
=
3×2
3
Polinômios
12. Seja P (X) o polinômio do tipo a · x3 + b · x2 + c · x + d, tal que P (2) = 1, P (4) = 3,
P (5) = 2 e P (7) = 1. Calcule P (3).
13. Determine o coeficiente de x15 y 10 na expansão de (2x5 + y 2 /2)8 . (Dê uma resposta
numérica explı́cita.)
Solução: Pela fórmula do binômio,
y2
2x +
2
5
8
2 8−k
8 X
8
y
5 k
=
(2x )
k
2
k=0
O termo envolvendo x15 y 10 aparece quando k = 3, e vale
2 5 3
y
8
8 2 15 10
5 3
x y
(2x )
=
2
3 25
3
O coeficiente procurado é
1 8
1
8×7×6
= 2×
= 14 .
2
2 3
2
3×2×1
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Polinmios
Matemática Discreta 2011.1
14. Determine o coeficiente de x15 no polinômio
(1 + x + x2 + x3 + · · · + x100 )5 .
12
1
4
15. Determine o coeficiente de x no desenvolvimento de 2x −
.
x
3 3
1
1
2
6
16. Determine o coeficiente de x no desenvolvimento de 2x − 2 · x −
.
x
2x
13
17. Sejam k1 , k2 , . . . , km números inteiros e n = k1 +k2 +· · ·+km . Definimos o multinômio
de k1 , k2 , . . . , km por
n
n!
.
=
k1 ! · k2 ! · · · km !
k1 , k2 , . . . km
Mostre por indução sobre m a fórmula do multinômio ∀m > 0:
X
n
n
· xk11 · xk22 · · · xkmm .
(x1 + x2 + · · · + xm ) =
k1 , k2 , . . . km
{k1 ,...,km tais que k1 +···+km =n}
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