LINHAS
PROPORCIONAIS
Geometria Plana
PROF. HERCULES SARTI
Mestre
Exemplo 4: apostila
Determine o perímetro do quadrilátero
ABCD, circunscritível, da figura.
Resolução:
LINHAS PROPORCIONAIS
Exemplo 4: apostila
Determine o perímetro do quadrilátero
ABCD, circunscritível, da figura.
Resolução:
AB + CD = BC + AD
LINHAS PROPORCIONAIS
Exemplo 4: apostila
Determine o perímetro do quadrilátero
ABCD, circunscritível, da figura.
Resolução:
AB + CD = BC + AD
3x + 1 + x + 1 = 2 x + 3x
LINHAS PROPORCIONAIS
Exemplo 4: apostila
Determine o perímetro do quadrilátero
ABCD, circunscritível, da figura.
Resolução:
AB + CD = BC + AD
3x + 1 + x + 1 = 2 x + 3x
4x + 2 = 5x
LINHAS PROPORCIONAIS
Exemplo 4: apostila
Determine o perímetro do quadrilátero
ABCD, circunscritível, da figura.
Resolução:
AB + CD = BC + AD
3x + 1 + x + 1 = 2 x + 3x
4x + 2 = 5x
4 x − 5 x = −2
LINHAS PROPORCIONAIS
Exemplo 4: apostila
Determine o perímetro do quadrilátero
ABCD, circunscritível, da figura.
Resolução:
AB + CD = BC + AD
3x + 1 + x + 1 = 2 x + 3x
4x + 2 = 5x
4 x − 5 x = −2
x=2
LINHAS PROPORCIONAIS
Exemplo 4: apostila
Determine o perímetro do quadrilátero
ABCD, circunscritível, da figura.
Resolução:
AB + CD = BC + AD
3x + 1 + x + 1 = 2 x + 3x
4x + 2 = 5x
4 x − 5 x = −2
x=2
AB = 7
LINHAS PROPORCIONAIS
BC = 4
CD = 3
AD = 6
Exemplo 4: apostila
Determine o perímetro do quadrilátero
ABCD, circunscritível, da figura.
Resolução:
AB + CD = BC + AD
3x + 1 + x + 1 = 2 x + 3x
4x + 2 = 5x
4 x − 5 x = −2
x=2
AB = 7
BC = 4
CD = 3
AD = 6
2p = 7 + 4 + 3 + 6 = 20
Resposta: O perímetro do quadrilátero é igual a 20.
LINHAS PROPORCIONAIS
TEOREMA DE TALES
“Se duas retas são transversais de um
feixe de retas paralelas, então a razão
entre os dois segmentos quaisquer de
uma delas é igual à razão entre os
respectivos segmentos correspondentes
da outra”.
LINHAS PROPORCIONAIS
TEOREMA DE TALES
A
B
A’
AB 2u 1
=
=
BC 4u 2
B’
C
LINHAS PROPORCIONAIS
C’
TEOREMA DE TALES
A
B
A’
AB 2u 1
=
=
BC 4u 2
B’
A' B ' 2v 1
=
=
B ' C ' 4v 2
C
LINHAS PROPORCIONAIS
C’
TEOREMA DE TALES
A
B
A’
AB 2u 1
=
=
BC 4u 2
B’
A' B ' 2v 1
=
=
B ' C ' 4v 2
C
LINHAS PROPORCIONAIS
C’
AB A' B '
=
BC B ' C '
TEOREMA DE TALES
A
B
A’
AB 2u 1
=
=
BC 4u 2
B’
A' B ' 2v 1
=
=
B ' C ' 4v 2
C
C’
AC A' C ' 6
=
= =2
AB A' B ' 3
LINHAS PROPORCIONAIS
AB A' B '
=
BC B ' C '
Teorema da Bissetriz Interna
Uma bissetriz interna de um triângulo
divide o lado oposto em segmentos
(aditivos proporcionais aos lados
adjacentes).
LINHAS PROPORCIONAIS
Teorema da Bissetriz Interna
LINHAS PROPORCIONAIS
Teorema da Bissetriz Interna
b y
=
c x
LINHAS PROPORCIONAIS
Exemplo 7
Determine o valor de x na figura, sabendo
que o segmento AP é a bissetriz do ângulo
Â.
LINHAS PROPORCIONAIS
Exemplo 7
Determine o valor de x na figura, sabendo
que o segmento AP é a bissetriz do ângulo
Â.
18
14
=
x 16 − x
LINHAS PROPORCIONAIS
Exemplo 7
Determine o valor de x na figura, sabendo
que o segmento AP é a bissetriz do ângulo
Â.
18
14
=
x 16 − x
14 x = 18 ⋅ (16 − x)
LINHAS PROPORCIONAIS
Exemplo 7
Determine o valor de x na figura, sabendo
que o segmento AP é a bissetriz do ângulo
Â.
18
14
=
x 16 − x
14 x = 18 ⋅ (16 − x)
14 x = 288 − 18 x
LINHAS PROPORCIONAIS
Exemplo 7
Determine o valor de x na figura, sabendo
que o segmento AP é a bissetriz do ângulo
Â.
18
14
=
x 16 − x
14 x = 18 ⋅ (16 − x)
14 x = 288 − 18 x
14 x + 18 x = 288
LINHAS PROPORCIONAIS
Exemplo 7
Determine o valor de x na figura, sabendo
que o segmento AP é a bissetriz do ângulo
Â.
18
14
=
x 16 − x
14 x = 18 ⋅ (16 − x)
14 x = 288 − 18 x
14 x + 18 x = 288
32x = 288 ⇒
LINHAS PROPORCIONAIS
Exemplo 7
P1
Determine o valor de x na figura, sabendo
que o segmento AP é a bissetriz do ângulo
Â.
18
14
=
x 16 − x
14 x = 18 ⋅ (16 − x)
14 x = 288 − 18 x
14 x + 18 x = 288
32x = 288 ⇒ x = 9
LINHAS PROPORCIONAIS
Teorema da Bissetriz Externa
Se a bissetriz de um ângulo externo de um
triângulo intercepta a reta que contém o
lado oposto, então ela divide este lado
oposto externamente em segmentos
(subtrativos) proporcionais aos lados
adjacentes.
LINHAS PROPORCIONAIS
Teorema da Bissetriz Externa
LINHAS PROPORCIONAIS
Teorema da Bissetriz Externa
b x
=
c y
LINHAS PROPORCIONAIS
Exercício E55
Os lados de um triângulo medem 5cm, 6
cm e 7 cm. Em quanto é preciso prolongar
o lado menor para que ele encontre a
bissetriz do ângulo externo oposto?
Resolução:
LINHAS PROPORCIONAIS
Exercício E55
Resolução:
LINHAS PROPORCIONAIS
Exercício E55
Resolução:
LINHAS PROPORCIONAIS
Exercício E55
Resolução:
6 x
=
1 5
LINHAS PROPORCIONAIS
Exercício E55
Resolução:
6 x
=
1 5
LINHAS PROPORCIONAIS
x = 30cm
Semelhança de Triângulos
Dois triângulos são semelhantes se, e
somente se, possuem os três ângulos
ordenadamente congruentes e os lados
homólogos proporcionais.
LINHAS PROPORCIONAIS
Semelhança de Triângulos
 Aˆ = Mˆ

∆ABC ~ ∆MNP ⇔  Bˆ = Nˆ
ˆ ˆ
C = P
LINHAS PROPORCIONAIS
AB BC AC
=
=
=k
MN NP MP
Teorema Fundamental
Se uma reta é paralela a um dos lados de
um triângulo e intercepta os outros dois
lados em pontos distintos, então o
triângulo que ela determina é semelhante
ao primeiro.
LINHAS PROPORCIONAIS
Teorema Fundamental
DE // BC ⇔ ∆ ABC ~ ∆ ADE
LINHAS PROPORCIONAIS
1º caso de Semelhança (ângulo-ângulo)
Se dois triângulos possuem dois ângulos
ordenadamente congruentes, então eles
são semelhantes.
Aˆ ≡ Mˆ 
 ⇒ ∆ABC ~ ∆MNP
Bˆ ≡ Nˆ 
LINHAS PROPORCIONAIS
2º caso de Semelhança (lado-ângulo-lado)
Se dois lados de um triângulo são
proporcionais aos homólogos de outro
triângulo e os ângulos compreendidos são
congruentes, então os triângulos são
semelhantes.
LINHAS PROPORCIONAIS
2º caso de Semelhança (lado-ângulo-lado)

Aˆ ≡ Mˆ

AB
AC  ⇒ ∆ABC ~ ∆MNP
=

MN MP 
LINHAS PROPORCIONAIS
3º caso de Semelhança (lado-lado-lado)
Se dois triângulos têm os lados homólogos
proporcionais, então eles são semelhantes.
AB
AC BC 
=
=
 ⇒ ∆ABC ~ ∆MNP
MN MP NP 
LINHAS PROPORCIONAIS
Exercício E62
Na figura abaixo, consideremos os
quadrados de lados 9, 6 e x. Determine o
perímetro do quadrado de lado x.
LINHAS PROPORCIONAIS
Exercício E62 - resolução
LINHAS PROPORCIONAIS
Exercício E62 - resolução
6-x
3
x
6
LINHAS PROPORCIONAIS
Exercício E62 - resolução
6-x
3
x
6
3
6
=
6− x x
LINHAS PROPORCIONAIS
Exercício E62 - resolução
6-x
3
x
6
3
6
=
6− x x
3 x = 36 − 6 x
LINHAS PROPORCIONAIS
Exercício E62 - resolução
6-x
3
x
6
3
6
=
6− x x
3 x = 36 − 6 x
9 x = 36
LINHAS PROPORCIONAIS
Exercício E62 - resolução
6-x
3
x
6
3
6
=
6− x x
3 x = 36 − 6 x
9 x = 36
x=4
LINHAS PROPORCIONAIS
Exercício E63
A figura mostra um quadrado inscrito num
triângulo de base 20 cm e altura 12 cm.
Calcule o lado desse quadrado.
LINHAS PROPORCIONAIS
Exercício E63
A figura mostra um quadrado inscrito num
triângulo de base 20 cm e altura 12 cm.
Calcule o lado desse quadrado.
12 – x
x
LINHAS PROPORCIONAIS
Exercício E63
A figura mostra um quadrado inscrito num
triângulo de base 20 cm e altura 12 cm.
Calcule o lado desse quadrado.
12 – x
x
LINHAS PROPORCIONAIS
20
12
=
x 12 − x
Exercício E63
A figura mostra um quadrado inscrito num
triângulo de base 20 cm e altura 12 cm.
Calcule o lado desse quadrado.
12 – x
x
20
12
=
x 12 − x
12 x = 240 − 20 x
LINHAS PROPORCIONAIS
Exercício E63
A figura mostra um quadrado inscrito num
triângulo de base 20 cm e altura 12 cm.
Calcule o lado desse quadrado.
12 – x
x
20
12
=
x 12 − x
12 x = 240 − 20 x
32 x = 240
LINHAS PROPORCIONAIS
Exercício E63
P2
A figura mostra um quadrado inscrito num
triângulo de base 20 cm e altura 12 cm.
Calcule o lado desse quadrado.
12 – x
x
20
12
=
x 12 − x
12 x = 240 − 20 x
32 x = 240
x = 7,5
LINHAS PROPORCIONAIS
Potência de Ponto
1º caso: P é interno à circunferência.
Se duas cordas de uma circunferência se
interceptam, então o produto das medidas
das duas partes de uma é igual ao produto
das medidas das duas partes da outra.
PA PD
=
PC PB
PA ⋅ PB = PC ⋅ PD
LINHAS PROPORCIONAIS
Potência de Ponto
2º caso: P é externo à circunferência.
Se por um ponto (P) exterior a uma
circunferência conduzimos dois segmentos
secantes (PA e PC), então o produto da
medida do primeiro (PA) pela de sua parte
exterior (PB) é igual ao produto da medida
do segundo (PC) pela de sua parte exterior
(PD).
LINHAS PROPORCIONAIS
Potência de Ponto
PA PD
=
⇒ PA ⋅ PB = PC ⋅ PD
PC PB
LINHAS PROPORCIONAIS
Exemplo 9
Na figura, calcule as medidas das cordas
BD e CE.
LINHAS PROPORCIONAIS
Exemplo 9
Na figura, calcule as medidas das cordas
BD e CE.
AB ⋅ AD = AC ⋅ AE
LINHAS PROPORCIONAIS
Exemplo 9
Na figura, calcule as medidas das cordas
BD e CE.
AB ⋅ AD = AC ⋅ AE
3 x ⋅ ( x + 1) = ( 4 x − 1) ⋅ x
LINHAS PROPORCIONAIS
Exemplo 9
Na figura, calcule as medidas das cordas
BD e CE.
AB ⋅ AD = AC ⋅ AE
3 x ⋅ ( x + 1) = ( 4 x − 1) ⋅ x
3x 2 + 3x = 4 x 2 − x
LINHAS PROPORCIONAIS
Exemplo 9
Na figura, calcule as medidas das cordas
BD e CE.
AB ⋅ AD = AC ⋅ AE
3 x ⋅ ( x + 1) = ( 4 x − 1) ⋅ x
3x 2 + 3x = 4 x 2 − x
x2 − 4x = 0
LINHAS PROPORCIONAIS
Exemplo 9
Na figura, calcule as medidas das cordas
BD e CE.
AB ⋅ AD = AC ⋅ AE
3 x ⋅ ( x + 1) = ( 4 x − 1) ⋅ x
3x 2 + 3x = 4 x 2 − x
x2 − 4x = 0
x = 0 (não serve)
ou x = 4
LINHAS PROPORCIONAIS
Exemplo 9
Na figura, calcule as medidas das cordas
BD e CE.
AB ⋅ AD = AC ⋅ AE
3 x ⋅ ( x + 1) = ( 4 x − 1) ⋅ x
3x 2 + 3x = 4 x 2 − x
x2 − 4x = 0
x = 0 (não serve)
ou x = 4
BD = 3x + x + 1
BD = 12 + 4 + 1 = 17
LINHAS PROPORCIONAIS
Exemplo 9
P3
Na figura, calcule as medidas das cordas
BD e CE.
AB ⋅ AD = AC ⋅ AE
3 x ⋅ ( x + 1) = ( 4 x − 1) ⋅ x
3x 2 + 3x = 4 x 2 − x
x2 − 4x = 0
x = 0 (não serve)
ou x = 4
BD = 3x + x + 1
BD = 12 + 4 + 1 = 17
LINHAS PROPORCIONAIS
CE = 4x – 1 + x
CE = 16 – 1 + 4 = 19
Exercício E74
Na figura, T é o ponto de tangência. Sendo
PA = 4, determine o valor de x.
LINHAS PROPORCIONAIS
Exercício E74
Na figura, T é o ponto de tangência. Sendo
PA = 4, determine o valor de x.
PT ⋅ PT = PA ⋅ PB
LINHAS PROPORCIONAIS
Exercício E74
Na figura, T é o ponto de tangência. Sendo
PA = 4, determine o valor de x.
PT ⋅ PT = PA ⋅ PB
x ⋅ x = 4×9
LINHAS PROPORCIONAIS
Exercício E74
Na figura, T é o ponto de tangência. Sendo
PA = 4, determine o valor de x.
PT ⋅ PT = PA ⋅ PB
x ⋅ x = 4×9
2
x = 36
LINHAS PROPORCIONAIS
Exercício E74
PF
Na figura, T é o ponto de tangência. Sendo
PA = 4, determine o valor de x.
PT ⋅ PT = PA ⋅ PB
x ⋅ x = 4×9
2
x = 36
x=6
LINHAS PROPORCIONAIS