UNIVERSIDADE NOVE DE JULHO
UNINOVE
Material de apoio
Matemática Financeira
Curso: Ciências Contábeis
Elaboração: Prof. Paulo Sergio Pereira da Silva
São Paulo, 2012
Matemática Financeira
- Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva
2
ÍNDICE
APRESENTAÇÃO..............................................................................................................................................................................................03
FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA...............................................................................................04
INTRODUÇÃO........................................................................................................................................................................................04
REGRA DE TRÊS SIMPLES............................................................................................................................................................04
PORCENTAGEM...................................................................................................................................................................................05
JUROS.......................................................................................................................................................................................................................09
JUROS SIMPLES....................................................................................................................................................................................11
DESCONTOS .SIMPLES.................................................................................................................................................................................19
JUROS COMPOSTOS.......................................................................................................................................................................................23
DESCONTOS COMPOSTOS...........................................................................................................................................................................28
OPERAÇÕES COM TAXAS DE JUROS..............................................................................................................................................30
SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS.......................................................................................................................................38
POSTECIPADA.........................................................................................................................................................................................38
ANTECIPADA..............................................................................................................................................................................................43
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO................................................................................................................................................................49
SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO-SFA./PRICE...................................................................................................52
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE-SAC.......................................................................................................61
EXERCICIOS SUPLEMENTARES...............................................................................................................................................................64
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................................................................................................................72
ANEXO 1 - PEQUENO MANUAL HP 12C.....................................................................................73
Todos os direitos reservado e protegidos pela Lei
9.610 de 19/02/98. Nenhuma parte desta
apostila, sem autorização prévia por escrito do
autor, poderá ser reproduzida ou transmitida
sejam quais forem o meios empregados:
eletrônicos, mecânicos, fotográficos, gravação
ou quaisquer outros.
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APRESENTAÇÃO
Caro(a) aluno(a),
Ao longo de nossa vida acadêmica, são grandes as novidades e os desafios que se colocam
diante de nós. As relações entre professores e alunos são mediadas por linguagens e regras
específicas, diferentes daquelas que aprendemos a decifrar e a empregar em nossa vida escolar e
profissional. Esse universo desconhecido desperta, a um só tempo, curiosidade e temor. A final será
que conseguiremos dominar todas essa novidades e sobreviver a elas?
Esse material foi elaborado com o intuito de lhe apresentar algumas dessas normas e
linguagens e, assim, ajudá-lo a desvendar parte desse universo desconhecido. Espero, com as dicas
que seguem, oferecer-lhe algumas ferramentas úteis para o seu desenvolvimento profissional e a
acadêmico. Não pretendo fazer com que você domine todo esse instrumental logo de saída., longe
disso. Você só aprenderá tudo o que aqui está contido à medida que for empregando cada uma das
ferramentas. No início lhe parecerão complexas, com o passar do tempo você aprenderá a
decodificá-las e a utilizá-las corretamente, de modo que elas passarão a fazer parte tanto do seu
vocabulário quanto de seu repertório de práticas.
O objetivo deste material é preparar o discente para a vida acadêmica, despertando-lhe o
desejo de aprimorar seus conhecimentos, de conhecer, pesquisar e investigar os mais diferentes
aspectos da realidade em que vive ou que venha a participar socialmente. Este material tem como
objetivo principal mostrar, de forma clara, por meio de exemplos práticos, os conceito da
matemática financeira e suas aplicações, e utiliza para isso uma metodologia objetiva e de fácil
compreensão.
Vale salientar que este material faz parte de um conjunto de textos, baseados em livros, e
apostilas, que foram e continuam sendo aprimorados com o tempo, pelo autor. Este material serve
como complemento para o aluno a fim de facilitar a sua compreensão, dessa forma, não substitui,
em hipótese alguma, a pesquisa em livros específicos.
O autor,
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FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA
INTRODUÇÃO
A matemática financeira tem como objetivo principal estudar o valor do dinheiro em função
do tempo. Este conceito, aparentemente simples, tem vários detalhes quanto à forma de estudo do
valor do dinheiro tempo. Vejamos alguns conceitos para melhor compreendermos o objetivo da
matemática financeira.
 Risco: quando estamos concedendo crédito, estamos mesmo é analisando o risco contido nas
operações de crédito. Os conceitos de matemática financeira serão importantes para medir o risco
envolvido em várias operações de créditos.
 Prejuízo (ou despesa): Em qualquer operação financeira, normalmente, ocorre o pagamento de
juros, taxas, impostos, etc., caracterizando-se para alguns como prejuízo e para outros como
pagamento de despesas financeiras. A matemática financeira irá mostrar quanto se pagou de
despesa ou medir o tamanho do prejuízo em uma operação financeira.
 Lucro (ou receita): Da mesma forma que alguém ou uma instituição paga juros e caracteriza-o
como prejuízo ou despesa, quem recebe pode classificar estes juros como lucro ou receita ou
simplesmente como a remuneração do capital emprestado. A matemática financeira nos ajuda a
calcular este juro ou receita, bem como a remuneração do capital emprestado.
REGRA DE TRÊS
Chamamos de regra de três simples os problemas nos quais figuram uma grandeza que é
direta ou inversamente proporcional a uma ou mais grandezas.

A regra de três simples trabalha com apenas duas grandezas.
Exemplos:
1) Comprei 6 m de tecidos por R$ 15,00. Quanto gastaria se tivesse comprado 8m?
Resolução: (grandezas diretamente proporcionais)
Neste problema figuram duas grandezas: comprimento e preço do tecido.
Chamamos de x o valor que desejamos conhecer.
Então dispomos em duas colunas:
Comprimento(m) Preço(R$)
6
15
8
x
Em seguida, colocamos uma seta vertical na coluna onde se encontra x, com a ponta voltada para
ele. Se as grandezas forem diretamente proporcionais, como no nosso exemplo, colocaremos uma
segunda seta vertical de mesmo sentido na coluna dos outros dados. Assim:
6
8
15
x
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Armamos à proporção formada pelas razões que construímos, seguindo as setas:
6 = 15
8
x
e determinamos o valor de x:
x = 8 . 15  x = 120
6
6
 x = 20
Logo, o preço procurado é: R$ 20,00
2) Se seis operários fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 20 operários fariam a mesma
obra?
Resolução: (grandezas inversamente proporcionais)
Então dispomos em duas colunas:
Operários Dias
6
10
20
x
A coluna que contém x é assinalada como no problema anterior e a outra coluna é assinalada com
uma segunda seta vertical, de sentido contrário. Assim:
6
20
10
x
Em seguida, invertemos os valores da coluna do numero de operários (por ser uma grandeza
inversamente proporcional à de número de dias):
20
6
Daí:
10
x
20 = 10
6
x
e determinamos o valor de x:
x = 6 . 10  x = 60
20
20
Logo, serão necessários: 3 dias.
 x= 3
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PERCENTAGEM (%)
Em nosso dia-a-dia é comum observarmos expressões como as relacionadas abaixo:
“Desconto de até 30% na grande liquidação de verão.”
“Os jovens perfazem um total de 50% da população brasileira.”
“A inflação registrada em dezembro foi de 1,93%.”
“O rendimento da caderneta de poupança foi de 1,99% em maio.”
Todas essas expressões envolvem uma razão especial chamada percentagem.
Percentagem é o valor que representa a quantidade tomada de outra, proporcionalmente a uma
taxa.
Taxa é o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100.
Principal é o valor da grandeza da qual se calcula a porcentagem.
No entanto, o principal, a percentagem e a taxa são elementos do cálculo percentual.
Representando:
O principal por P;
A porcentagem por p;
A taxa por i;
p
i
Temos, genericamente:

P 100
3) Qual é a comissão de 10% sobre R$ 800,00?
Resolução:
Neste caso teremos que:
p
10
800
100
100p = 800 . 10
100p = 8000
p = 8000/100
p = 80
Logo, a comissão é de R$ 80,00
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EXERCICIOS
REGRA DE TRÊS
1) Ao comprar 2 kg de pães paguei R$ 12,50. Quanto pagaria se tivesse comprado 6 kg?
R. R$ 37,50
2) Comprei 5 m de corda por R$ 4,00. Quanto pagarei por 14 m? R. R$ 11,20
3) Um operário recebe R$ 836,00 por 20 dias de trabalho. Quanto receberá por 35 dias?
R. R$ 1463,00
4) Uma roda dá 80 voltas em 20 minutos. Quantas voltas dará em 28 minutos? R. 112 voltas
5) Uma fábrica engarrafa 3000 refrigerantes em 6 horas. Quantas horas levará para engarrafar 4000
refrigerantes? R. 8 horas
6) Com 12 operários podemos construir um muro em 4 dias. Quantos dias levarão 8 operários para
fazer o mesmo muro? R. 6 dias
7) Um empreiteiro calculou terminar uma obra em 32 dias, empregando 15 operários. Tendo
conseguido apenas 12 operários, em quantos dias terminará o mesmo trabalho? R. 40 dias
8) Para se obterem 28 kg de farinha, são necessários 40 kg de trigo. Quantos quilogramas do mesmo
trigo são necessários para se obterem 7 kg de farinha? R. 10 kg
9) Trinta operários constroem uma casa em 120 dias. Em quantos dias 40 operários construiriam
essa casa? R. 90 dias
10) Um ônibus, a uma velocidade media de 60km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto levará,
aumentando a velocidade média para 80 km/h? R. 3 horas
11) Trabalhando 5 horas por dia um operário pode fazer um trabalho em 24 dias. Em quantos dias,
nas mesmas condições, poderia fazê-lo, trabalhando 6 horas por dia? R. 20 dias
12) Cinco máquinas impressoras, trabalhando simultaneamente executam um determinado serviço
em 5 horas. Em quanto tempo o mesmo serviço seria executado se forem utilizadas apenas três
máquinas impressoras? R. 8,33 horas ou 8 horas e 20 minutos
PORCENTAGEM
13) Calcule as porcentagens:
a) 8% de R$ 700,00
b) 5% de R$ 4.000,00
c) 12% de R$ 5.000,00
d) 1,2% de R$ 40,00
R p = 56
R. p = 200
R. p = 600
R. p = 0,48
14) Qual a taxa percentual que:
a) 125 representa de 250?
R. i = 50%
b) 112 representa de 320?
R. i = 35%
c) 28 representa de 80?
R. i = 35%
d) 352 representa de 1800?
R. i = 19,55%
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15) Francisco resolveu comprar um pacote de viagem que custava R$ 4.200,00, já incluídos R$
120,00 correspondentes a taxas de embarque em aeroportos. Na agência de viagens, foi informado
de que, se fizesse o pagamento à vista, teria um desconto de 10%, exceto no valor referente ás taxas
de embarque, sobre o qual não haveria nenhum desconto. Decidiu, pois, pagar o pacote de viagem á
vista. Então é CORRETO afirmar que Francisco pagou por esse pacote de viagem: (R. c)
a) R$ 3.672,00
b) R$ 3.780,00
c) R$ 3.792,00
d) R$ 3.900,00
16) De 4000 funcionários, 120 faltaram ao serviço. Qual a taxa percentual dos funcionários
ausentes? R. i = 3%
17) Para a venda de uma geladeira, o cartaz anuncia:
R$ 367,20 x 4
ou
R$ 1.080,00 à vista
Pergunta-se: Quem comprar a prazo, pagará a mais quantos por cento? R. 36%
18) Represente a taxa de porcentagem do ingrediente sabão do desinfetante PINHO CHEIRO:
R. 7%
DESINFETANTE PINHO CHEIRO
Água
47g
Álcool
12g
Sabão
7g
Óleo pinho
34g
TOTAL
100g
19) Numa pesquisa sobre a preferência de cores, foram entrevistadas 50 pessoas e o resultado
obtido foi o seguinte:
PREFERENCIA
NÚMERO DE PESSOAS
Azul
11
Branco
9
Preto
1
Verde
10
Amarelo
14
Vermelho
5
Pergunta-se: Qual a taxa percentual de cada cor pesquisada ?
R. 22%; 18%; 2%; 20%; 28%; 10%.
20) De 800 estudantes, 40 faltaram na escola num dia normal de aula. Qual a taxa percentual dos
estudantes ausentes? R. i = 5%
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JUROS (J)
É a remuneração obtida a partir do capital de terceiros. Esta remuneração pode ocorrer a
partir de dois pontos de vista:
-
de quem paga: nesse caso, o juro pode ser chamado de despesa financeira, custo, prejuízo,
etc.
de quem recebe: podemos entender como sendo rendimento, receita financeira, ganho, etc.
Podemos concluir que os juros só existem se houver um capital empregado, seja este capital próprio
ou de terceiros.
Capital (C) ou Valor Presente (PV) ou Principal (P)
É o recurso financeiro transacionado na data focal zero de uma determinada operação
financeira. Podemos entender como data focal zero a data de inicio da operação financeira ou
simplesmente podemos dizer que é o valor aplicado como base para cálculo dos juros.
Taxa (i)
É o coeficiente obtido da relação dos juros (J) com o capital (C), que pode ser representado
em forma percentual ou unitária. Os conceitos e tipos de taxas são bastante variados, como por
exemplo:
- taxa de inflação;
- taxa real de juros;
- taxa acumulada;
- taxa unitária;
- taxa percentual;
- taxa over;
- taxa equivalente;
- taxa nominal, entre outras.
Prazo ou Tempo ou Períodos (n)
É o tempo necessário que um certo capital (C), aplicado a uma taxa (i), necessita para
produzir um montante (M). Neste caso, o período pode ser inteiro ou fracionário, vejamos um
exemplo:
- período inteiro:1 dia; 1 mês comercial (30 dias), 1 ano comercial (360 dias), etc.
- período fracionário:3,5 meses, 15,8 dias, 5 anos e dois meses, etc.
Podemos também considerar como um período inteiro os períodos do tipo: um período de 15 dias,
um período de 30 dias, etc., ou seja, a forma de entendimento dos períodos vai depender de como
estão sendo tratados nos problemas.
Montante (M) ou Valor Futuro (FV) ou Soma ( S)
É a quantidade monetária acumulada resultante de uma operação comercial ou financeira
após um determinado período de tempo, ou seja, é soma do capital (C) com os juros (J).
Assim temos:
M=C +J
Partindo da fórmula acima, temos que:
J=M–C
e
C=M-J
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Exemplo 01:
Uma aplicação obteve um rendimento líquido de R$ 78,25 durante um determinado tempo, qual foi
o valor resgatado, sabendo-se que a importância aplicada foi de R$ 1.568,78 ?
Solução algébrica:
J = 78,25
C= 1.568,78
M=C+J
M = 1,568,78 + 78,25
M = R$ 1.647,03
M=?
Solução pela HP-12C
1568,78
78,25
ENTER
+
R$ 1.647,03
Exemplo 02:
Qual o valor dos juros resultante de uma operação em que foi investido um capital de R$ 1.250,18 e
que gerou um montante de R$ 1.380,75 ?
Solução algébrica:
C = 1250,18
M= 1380,75
J=M-C
J = 1380,75 – 1250,18
J = R$ 130,57
J= ?
Solução pela HP-12C
1380,75
ENTER
1250,18
-
R$ 130,57
Exemplo 03:
Qual o valor do investimento que gerou um resgate de R$ 1500,00, sabendo-se que o rendimento
deste investimento foi de R$ 378,25 ?
Solução algébrica:
M= 1500,00
J=378,25
C=M-J
C = 1500,00 – 378,25
C = R$ 1.121,75
Solução pela HP-12C
C= ?
1500
ENTER
378,25
R$ 1.121,75
Regimes de Capitalização
São os métodos pelos quais os capitais são remunerados. Os regimes utilizados em
Matemática Financeira são SIMPLES e COMPOSTOS ou linear e exponencial, respectivamente.
Exemplo 04:
Seja um capital de R$ 1000,00, aplicado a uma taxa de 10% a.m. durante 3 meses. Qual o valor
acumulado no final de cada período pelos regimes de capitalização simples ?
Solução algébrica: 01
Regime de Capitalização Simples
n
Capital aplicado(R$)
Juros de cada período
Montante
1
1000 . 0,1= 100
1000 + 100 = 1100,00
1000,00
2
1000,00
1000 . 0,1 =100
1100 + 100 = 1200,00
3
1000,00
1000 . 0,1 =100
1200 + 100 = 1300,00
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JUROS SIMPLES
Podemos entender juros simples como sendo o sistema de capitalização linear. O regime de
juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor do capital inicial, ou
seja, sobre os juros gerados, a cada período, não incidirão novos juros.
Sendo assim, teremos a fórmula dos juros simples:
J= PV . i . n
Colocando o PV em evidência, teremos:
PV = J
i.n
Colocando o n em evidência, teremos:
n= J
PV.i
Colocando o i em evidência, teremos:
i= J
PV.n
ou
i = FV - 1
PV
Exemplo 05:
Determine o juro obtido com um capital de R$ 1250,00 durante 5 meses com a taxa de 5,5% ao
mês.
Solução algébrica:
Solução pela HP-12C
J = 1250 . 0,055 . 5
J = R$ 343,75
1250,00
0,055
5
ENTER
X
X
R$ 343,75
Exemplo 06:
Qual foi o capital que gerou rendimento de R$ 342,96 durante 11 meses, a uma taxa de 2,5% ao
mês ?
Solução pela HP-12C R$ 1.121,75
Solução algébrica:
J= 342,96
342,96
ENTER
PV = 342,96
0,025 . 11
0,025
ENTER
PV = 342,96 = R$ 1.247,13
0,275
11
X ÷
R$ 1.247,13
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Exemplo 07:
Pedro pagou ao Banco ECCOS S/A a importância de R$ 2,14 de juros por um dia de atraso sobre
uma prestação de R$ 537,17. Qual o foi a taxa mensal de juros aplicada pelo banco ?
Solução algébrica:
i = 2,14
537,17 . 1
i = 2,14 = 0,003984....
537,17
i = 0,003984 . 100
i = 0,3984% ao dia
imensal = 0,3984 . 30
imensal = 11,95%
Solução pela HP-12C
2,14
ENTER
537,17
1
100
ENTER
X

X
30
X
11,95% ao mês
Exemplo 08:
Durante quanto tempo foi aplicado um capital de R$ 967,74 que gerou rendimentos de R$ 226,45
com uma taxa de 1,5% ao mês ?
Solução algébrica:
n = ? PV = R$ 967,74
i = 1,5% ao mês
J= R$ 226,45
Solução pela HP-12C
n = 226,45
= 226,45
967,74 . 0,015
14,52
ENTER
226,45
n =15,6 meses ou 15 meses e 18 dias
967,74
0,015
OBSEVAÇÃO:
ENTER
X

15,60meses
- A parte inteira 15 representa os 15 meses.
-A parte decimal do número 15,6, ou seja, 0,6, representa os 18 dias. Neste caso, para calcularmos
os dias, basta multiplicar a parte decimal por 30 ( 0,6 . 30 = 18).
Exemplo 09:
André emprestou R$ 15,00 de Almir. Após 6 meses Almir resolveu cobrar sua dívida. André
efetuou um pagamento de R$ 23,75 a Almir. Qual foi a taxa de juros acumulados nesta operação?
Qual foi a taxa mensal de juros?
Solução algébrica:
Solução pela HP-12C
PV = 15,00
FV = 23,75
i(ac) =
23,75
- 1 . 100
ENTER
15
N = 6 meses
15
i(ac) = ?
%
23,75
imensal = ?
i(ac) = { 1,5833 – 1 } . 100
i(ac) = 0,5833 . 100
i(ac) = 58,33% a. p. ou ao semestre
imensal = 58,33 / 6
imensal = 9,72% ao mês
58,33 a . p.
6

9,72% ao mês
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Montante (M) ou Valor Futuro (FV)
Antes de apresentar a fórmula do montante ou valor futuro, devemos lembrar dos conceitos inicias,
onde tenhamos que:
FV = PV + J
e
J = PV . i . n
Assim teremos:
FV = PV ( 1 + i . n)
Exemplo 10:
Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 84.975,59 aplicados em um CDB pós-fixado de 90
dias, a uma taxa de 1,45% ao mês?
Solução algébrica:
n = 90 dias ou (3meses)
PV = R$ 84.975,59
FV = 84.975,59(1 + 0,0145 . 3)
FV = 84.975,59(1 + 0,0435)
FV = 84.975,59(1,0435)
FV = R$ 88.672,03
i = 1,45% ao mês
FV= ?
Solução pela HP-12C
84975,59
ENTER
1,45
%
3
X
+
R$ 88.672,03
Capital (C) ou Valor Presente (PV)
A Fórmula do Capital ou Valor Presente pode ser deduzida a partir da fórmula do Montante
ou Valor Futuro (FV).
Assim teremos: FV = PV(1 + i . n)
Colocando PV em evidência:
PV =
FV
(1 + i . n)
Exemplo 11:
Determine o valor da aplicação cujo valor de resgate bruto foi de R$ 84.248,00 por um período de
3 meses, sabendo-se que a taxa da aplicação foi de 1,77% ao mês.
Solução pela HP-12C
Solução algébrica:
PV =
PV =
84.248,00
(1 + 0,0177 . 3)
84.248,00
(1 + 0,0531 )
PV = R$ 80.000,00
= 84.248,00
1,0531
84248
ENTER
1
ENTER
0,0177
ENTER
3
X
+
x
R$ 80.000,00

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14
EXERCÍCIOS
1) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 5000,00, pelo prazo de 5 meses,
sabendo-se que a taxa cobrada é de 3,5 % ao mês ? R. J = R$ 875,00
2) Um capital de R$ 12.250,25, aplicado durante 9 meses, rende juros de R$ 2.756,31. Determine a
taxa correspondente. R. i = 2,5%
3) Uma aplicação de R$ 13.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de R$ 1.147,25.
Pergunta-se: Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação? R. ianual = 17,655%
4) Sabe-se que os juros de R$ 7.800,00 foram obtidos com uma aplicação de R$ 9.750,00 à taxa de
5% ao trimestre, pede-se que calcule o prazo. R. n = 16 trim
5) Qual o capital que aplicado, à taxa de 2,8% ao mês, rende juros de R$ 950,00 em 360 dias?
R. PV = R$ 2827,38
6) Qual é o juro obtido através da aplicação de capital de R$ 2500,00 a 7% a.a. durante 3 anos ?
R. J = R$ 525,00
7) Determinar o valor futuro da aplicação de um capital de R$ 7.565,01, pelo prazo de 12 meses, à
taxa de 2,5% ao mês. R. FV = R$ 9834,51
8) Um financiamento de R$ 21.749,41 é liquidado por R$ 27.612,29 no final de 141 dias. Calcular a
taxa mensal de juros. R. i = 5,73555 a m.
9) Um capital de R$ 5.000,00 rendeu R$ 1.200,00 em 180 dias. Qual é a taxa simples anual ganha?
R. i = 48% aa
10) Qual o valor do investimento que gerou um resgate de R$ 370,00, sabendo-se que o rendimento
deste investimento foi de R$ 148,50 ? R. PV = R$ 221,50
11) João pagou a uma financeira a importância de R$ 10,30 de juros por 2 dias de atraso sobre uma
prestação de R$ 732,10. Qual foi a taxa mensal de juros aplicada pela financeira?
R. i = 21,1% am.
12) Qual o capital que aplicado à taxa simples de 20% ao mês em 3 meses monta R$ 8.000,00 ?
R. PV = R$ 5000,00
13) Determine o juro obtido com um capital de R$ 1250,00 durante 5 meses com a taxa de 5,5% ao
mês. R. J = R$ 343,75
14) Um capital de R$ R$ 5.000,00 foi aplicado a juros simples, durante 3 anos, à taxa de 12% a.a.
Determine o juro obtido. R. J = R$ 1800,00
15) Um Capital de R$ R$ 7.000,00 é aplicado à juros simples, durante 1 ano e meio, à taxa de 8%
a.s. Obtenha os Juros e o Montante. R. J = R$ 1680,00; FV = R$ 8680,00
16) Qual o capital que rende juros simples de R$ 3.000,00 no prazo de 5 meses, se a taxa for de 2%
a.m.? R. PV = R$ 30000,00
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15
17) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$150.000,00, pelo prazo de 18
meses, sabendo-se que a taxa de juros simples cobrada é de 4% ao mês? R. J = R$ 108000,00
18) Qual o capital emprestado, que em 18 meses, produziu os juros de R$ 108.000,00, à taxa de
juros simples de 4% ao mês? R. PV = R$ 150000,00
19) Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 280.000,00, durante 15 meses, à
taxa de juros simples de 3% ao mês? R. FV = R$ 406000,00
20) Qual o capital investido, para que possa resgatar R$ 23.600,00, no prazo de 6 meses, à taxa de
juros simples de 3% ao mês? R. PV = R$ 20000,00
21) Que tempo de aplicação foi necessário, para que R$ 20.000,00, se transforme à taxa de 3% ao
mês, em R$ 23.600,00? R. n = 6 meses
22) (EPCAR) O preço à vista de uma mercadoria é de R$ 130,00. O comprador pode pagar 20% de
entrada no ato da compra e o restante em uma única parcela de R$ 128,96, vencível em 3 meses.
Admitindo-se o regime de juros simples comerciais, a taxa de juros anual cobrada na venda a prazo
é de: R. (b)
a) 94%
b) 96%
c) 98%
d) 100%
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16
Cálculo dos juros simples para períodos não inteiros – Taxas equivalentes
Em algumas situações, o período de aplicação ou empréstimo não coincide com o período da
taxa de juros. Nesses casos é necessário se trabalhar com a taxa equivalente .
Taxas Equivalentes são aquelas que, quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo período
de tempo, produzem o mesmo juro ou rendimento.
Exemplo 12:
Um banco oferece uma taxa de 28% ao ano pelo regime de juros simples. Quanto ganharia de
rendimento um investidor que aplicasse R$ 15.000,00 durante 92 dias ?
Solução algébrica:
PV = 15.000,00
Opção1: transformando a taxa
i = 28% ao ano
J
=
15000
. 0,28 . 92
n = 92 dias
360
J=?
J = 15000 . 0,000778 . 92
J = R$ 1.073,33
Opção2: transformando o prazo
J = 15000 . 0,28 . 92
360
J = 15000 . 0,28 . 0,255556
J = R$ 1.073,33
Opção3: transformando o produto
J = 15000 . 0,28 . 92 = 386.400,00
360
360
J = R$ 1.073,33
Solução pela HP – 12C
15000
ENTER
0,28
X
92
X
360

R$ 1.073,33
Juros Exato e Comercial
Quando falamos em juro exato, estamos na verdade, nos referindo aos dias do calendário,
ou seja, devemos considerar a quantidade de dias existente em cada mês. Como, por exemplo:
Janeiro (31 dias), fevereiro (28 ou 29 dias). Desta forma, um ano pode ter 365 ou 366 dias.
No caso do juro comercial devemos considerar sempre um Mês de 30 dias, e, sendo assim,
um ano comercial vai ter sempre 360 dias.
Exemplo 13:
Uma prestação no valor de R$ 14.500,00 venceu em 01/02/03 sendo quitada em 15/03/03, com a
taxa de 48% ao ano. Pede-se:
a) Determinar os juros exato
b) Determinar os juros comercial
Solução algébrica:
PV = R$ 14.500
i = 48% ao ano
a) Jexato =
14500 . 0,48 . 42
365
= R$ 800,88
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17
b) Jcomercial = 14500 . 0,48 . 42 = R$ 812,00
360
Solução pela HP-12C
14500
ENTER
0,48
42
X
+
X
365

R$ 800,88
14500
ENTER
0,48
42
X
x
X
360

R$ 812,00
E X E R C Í C I O S - JUROS PERIODO NÃO INTEIRO/TAXA EQUIVALENTE e
JUROS EXATO E COMERCIAL
Considerar o ano comercial (360 dias)
1) Calcular o rendimento de R$ 12.000,00 aplicados durante 8 meses e 3 dias à taxa de juros
simples de 40% ao ano. Efetuar os cálculos considerando o ano comercial (360 dias) e o ano exato
(365 dias). R. Jcom = R$ 3240,00 e Jex = R$ 3195,61
2) Uma prestação no valor de R$ 6.332,00 venceu em 01/04/00 sendo quitada em 17/05 do mesmo
ano com a taxa de 25% ao ano. Determine os juros exato e comercial.
R. Jex = R$ 199,50 e Jcom = R$ 202,27
3) Calcule as taxas equivalentes a 40% ao ano para:
a) 7 dias; R. 0,77%
b) 29 dias; R. 3,22%
c) 1 mês; R. 3,33%
d) 32 dias; R. 3,56%
e) 1 trimestre; R. aprox. 10%
f) 45 dias; R. 5%
g) 1 semestre; R. aprox. 20%
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18
4) Calcular o valor dos juros de uma aplicação de R$ 21.150,00, feita de 3,64% ao mês, pelo prazo
de 32 dias. R. J = R$ 821,18
5) Calcular o rendimento de R$ 23.000,00 aplicados por 14 dias à taxa simples de 2,5% ao mês.
R. J = R$ 268,33
6) Determinar a taxa simples para 22 dias de aplicação, equivalente à taxa de 3,05% ao mês.
R. i22dias = 2,24%
7) Calcule a taxa mensal proporcional a:
a) 9% ao trimestre
R.
a) 3% ao mês;
b)24% ao semestre
b) 4% ao mês;
c) 0,04% ao dia
c) 1,2% ao mês;
d)30% ao ano.
d) 2,5% ao mês
8) Um capital de R$2.400,00 é aplicado durante 10 meses, à taxa de 25% ao ano. Determine o juro
obtido. R$ 500,00
9) Calcule o juro correspondente a um capital de R$18.500, aplicado durante 2 anos, 4 meses e 10
dias, à taxa de 36% ao ano. R.
R$ 15.725,00
10) Uma aplicação de valor inicial de R$ 4.000,00 foi feita por um período de 72 dias, pelo regime
de juros simples, sob a taxa de 9% ao mês. Podemos afirmar que o valor do Juro Exato e o valor do
Montante final são:
R. (c)
a) R$
b) R$
c) R$
d) R$
e) R$
946,67
946,67
864,00
946,67
360,00
e
e
e
e
e
R$ 4946,67
R$ 4864,00
R$ 4864,00
R$ 8644,00
R$ 4864,00
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19
DESCONTOS
É a denominação dada a um abatimento que se faz quando um título de crédito é resgatado
antes de seu vencimento. É uma operação tradicional no mercado financeiro e no setor comercial,
em que o portador de títulos de crédito, tais como letras de câmbio, notas promissórias etc., pode
levantar fundos em um banco descontando o título antes do vencimento. O Banco naturalmente,
libera uma quantia menor do que o valor inscrito no título, dito nominal. Podemos classificar os
tipos de descontos como Simples (método linear) e Composto (método exponencial).
Desconto Racional ou Real Simples - “ desconto por dentro”
É a parcela a ser deduzida do título, calculada a juros simples sobre o valor atual ( ou valor
de resgate) do papel. O valor do desconto é a diferença entre o valor futuro ((VN) valor nominal ou
de resgate) e o valor atual ((VL) valor líquido liberado na data do desconto) calculado a juros
simples.
Vamos aplicar as seguintes fórmulas:
Para calcular o desconto racional simples:
DRS = VN – VL
O desconto racional simples (DRS) pode também ser encontrado diretamente pela seguinte
fórmula:
DRS = VN . i . n
(1+i.n)
Para calcular o valor líquido:
VL = VN - DRS
.
O Valor Líquido (VL) também pode ser encontrado pela seguinte fórmula:
VL =
VN
(1+i.n)
.
Exemplo 01:
Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à taxa
de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto racional simples e o valor líquido?
Solução algébrica:
Dados: VN = R$ 25.000,00; n = 2 meses;
i = 2,5% ao mês; DRS = ?
DRS = 25000,00 . 0,025 . 2
( 1 + 0,025 . 2 )
DRS = 1250
1,05
Solução pela HP-12C
25000 ENTER
0,025 X 2 X
1
ENTER
0,025 ENTER
2
X + 
CHS
25000,00 +
R$ 23.809,52
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20
DRS = R$ 1190,48
VL = VN - DRS
VL = 25000 – 1190,48
VL = R$ 23.809,52
Desconto Bancário ou Comercial - “ desconto por fora ”
É a parcela a ser deduzida do título, calculada a juros simples sobre o valor nominal (ou
valor de face) do papel. Na prática o que é utilizado é o desconto por fora. O valor do desconto é
obtido multiplicando-se o valor nominal do título pela taxa de desconto fornecida pelo banco pelo
prazo a decorrer até o vencimento do título.
Vamos expressar esta situação através da seguinte fórmula:
DBS = VN . i . n
e
VL = VN – DBS
OBS.: CASO A DÍVIDA SEJA PRORROGADA: VL = VN + DBS
Exemplo 02:
Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à taxa
de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto comercial (bancário) e o valor líquido?
Solução algébrica:
Dados: VN = R$ 25.000,00; n = 2 meses;
i = 2,5% ao mês; DBS = ?
DBS = 25000,00 . 0,025 . 2
DBS = R$ 1250,00
VL = 25000 – 1250,00
VL = R$ 23.750,00
Solução pela HP-12C
25000 ENTER
0,025 X 2 X
CHS
25000 +
R$ 23.750,00
Exemplo 03:
Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00 é descontada em um banco 2 meses antes do seu
vencimento, à taxa de desconto de 2,5% ao mês. Sabendo-se que o banco cobra 1% a título de
despesas administrativas e que o IOF (Imposto Sobre Operações Financeiras) é 0,0041% ao dia
sobre o valor do título, obter o valor recebido pelo portador do título. Uma outra alternativa seria
tomar um empréstimo com a taxa líquida de 2,8% ao mês. Qual a melhor opção?
Solução algébrica:
Dados: VN = R$ 25.000,00; n = 2 meses;
id = 2,5% ao mês; iadm= 1%; iIOF = 0,0041%;
i = 2,8% ao mês(empréstimo)
VL = ? DBS = ? DIOF = ? Dadm = ?
ONDE:
D = despesas
DIOF = despesas com IOF
Dadm = despesas administrativas
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21
VL = VN – DBS – DIOF – Dadm
DBS = VN . id . n
DBS = 25000 . 0,025 . 2 = R$ 1250,00
Dadm = 25000 . 0,01 = R$ 250,00
DIOF = 25000 . 0,000041 . 60 = R$ 61,50
VL = 25000 – 1250 – 250 – 61,50
VL= R$ 23.438,50
Se considerarmos que o PV seja R$ 23.438,50 e FV = 25.000,00, então teremos que a taxa desta
operação será:
i = FV - PV
FV . n
i = 25000 – 23.438,50 = 1561,50 = 3,12 % ao mês
25.000(2)
50.000
A operação de empréstimo com a taxa de 2,8% ao mês, neste caso, será melhor opção.
Operações com um conjunto de títulos
Estudaremos nos próximos itens as situações em que haja mais de um título ou borderô de
títulos ou duplicatas.
Exemplo 04:
Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas abaixo, para serem descontadas num banco à taxa
de desconto bancário de 3% ao mês. Qual o valor líquido recebido pela empresa ?
Duplicata Valor(R$) Prazo(vencimento)
A
2.500,00
25 dias
B
3.500,00
57 dias
C
6.500,00
72 dias
Neste exemplo, vamos aplicar inicialmente a metodologia de cálculo para um único título.
Solução algébrica:
a)Duplicata A:
DBS = 2500 . 0,03 . 25 = R$ 62,50
30
b)Duplicata B:
DBS = 3500 . 0,03 . 57 = R$ 199,50
30
c)Duplicata C:
DBS = 6500 . 0,03 . 72 = R$ 468,00
30
Valor líquido = 12500 - 62,50 – 199,50 – 468,00 = R$ 11.770,00
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22
EXERCÍCIOS
1) Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 3.000,00, com vencimento para
90 dias, à taxa de 2,5% ao mês ? R. DBS = R$ 225,00
2) Qual a taxa mensal de desconto comercial simples utilizada numa operação a 120 dias cujo valor
nominal é de R$ 1000,00 e cujo valor líquido é de R$ 880,00 ? R. i = 3%
3) Calcular o valor líquido de um conjunto de duplicatas descontadas a 2,4% ao mês, conforme o
borderô a seguir:
a) 6.000
b) 3.500
c) 2.500
15 dias
25 dias
45 dias
R. VL = R$ 11.768,00
4) Uma duplicata de R$ 32.000,00, com 90 dias a decorrer até o vencimento, foi descontada por um
banco à taxa de 2,70% ao mês. Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao cliente.
R. VL = R$ 29408,00
5) Achar o valor líquido do borderô de cobrança a baixo, á taxa de desconto bancário é de 2% ao
mês. R. VL = R$ 4461,11
Duplicatas
Valor (R$)
Prazo (vencimento)
X
800,00
13 dias
Y
1350,00
29 dias
Z
2430,00
53 dias
6) Um título com valor nominal de R$ 110.000,00 foi resgatado 2 meses antes do seu vencimento,
sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples à taxa de 60% ao mês. Neste caso, de
quanto foi o valor pago pelo título? R. VL = R$ 98.214,29
7) Um título com valor nominal de R$ 3.836,00 foi resgatado 4 meses antes do seu vencimento,
tendo sido concedido um DRS à taxa de 10% ao mês. De quanto foi o valor pago pelo título?
R. VL = R$ 2.740,00
8) Um título com valor nominal de R$ 7.420,00 foi resgatado 2 meses antes do seu vencimento,
sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples à taxa de 20% ao mês. Neste caso, de
quanto foi o valor pago pelo título? R. VL = R$ 5.300,00
9) Uma pessoa pretende saldar uma dívida cujo o valor nominal é de R$ 2.040,00, 4 meses antes de
seu vencimento. Qual o valor que deverá pagar pelo título, se a taxa racional simples usada no
mercado é de 5% ao mês? R. VL = R$ 1.700,00
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23
10) João deve a um banco R$ 190.000,00 de um título, que vencem daqui a 30 dias. Por não dispor
de numerário suficiente, propõe a prorrogação da dívida por mais 90 dias. Admitindo-se a data focal
atual (zero) e que o banco adote a taxa de desconto comercial simples de 72% ao ano, o valor do
novo título será de: R. VL = R$ 235.600,00
11) Em uma operação de resgate de um título, a vencer em 4 meses, a taxa anual empregada dever
ser de 18% ao ano. Se o desconto comercial simples é de R$ 180,00, qual o valor nominal do título?
R. VN = R$ 3.000,00
12) O DCS de um título 4 meses antes do seu vencimento é de R$ 800,00. Considerando uma taxa
de 5% ao mês, obtenha o valor nominal. R. VN = R$ 4.000,00
13) Você possui uma duplicata cujo o valor de face é de R$ 150,00. essa duplicata foi descontada 3
meses antes do vencimento, obtendo um DBS de R$ 9,50. Qual à taxa de desconto? R. i = 2,1%
14) Determinar quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata, no valor de R$ 9800,00,
que sofreu um DCS de R$ 448,50, à taxa de 18% ao ano. R. n = 92 dias
15) Um título de R$ 2000,00 será descontado a 12% ao mês, 2 meses antes do vencimento.
Determinar o valor atual (ou valor de resgate), considerando:
a) Desconto simples bancário. R. R$ 1.520,00
b) Desconto simples racional. R. R$ 1612,90
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24
JUROS COMPOSTOS
Podemos entender os juros compostos como sendo o que popularmente chamamos de juros
sobre juros.
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e, portanto, o mais útil
para cálculos de problemas do dia-a-dia. Matematicamente, o cálculo a juros compostos é
conhecido por cálculo exponencial de juros.
FÓRMULAS:
Para calcular o Montante:
FV = PV( 1 + i )n
Montante para taxa em meses consecutivos – ( Obs.: n sempre igual a 1)
FV = PV( 1 + i )n . ( 1 + i )n . ( 1 + i )n .....
Para calcular o Capital:
PV =
FV
( 1 + i )n
Para calcular a Taxa em período quebrado:
FV
i=
QQ/QT
PV
-1
. 100
Onde: QQ = Quanto eu Quero ( o prazo da taxa a ser calculada)
QT = Quanto eu Tenho ( o prazo da operação que foi informado)
Taxa acumulada:
iac = FV - 1
PV
Para calcular o prazo :
n =
Onde: LN = Logaritmo neperiano
LN (FV/ PV)
LN(1 + i)
Para calcular os juros :
J = PV[(1 + i )n – 1]
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25
Exemplo 01:
Calcular o montante de um capital de R$ 5.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 5 meses.
Solução algébrica:
Solução pela HP-12C
5
FV = 5000(1 + 0,04)
FV = 5000(1,04)5
FV = 5000(1,2166529)
FV = R$ 6.083,26
CHS
5000
4
PV
i
5
n
FV
V
R$ 6.083,26
Exemplo 02:
Qual o capital que, em 6 anos à taxa de juros compostos de 15% ao ano, monta R$ 14.000 ?
Solução algébrica:
PV =
FV
(1+ i)n
PV = 14000
2,31306
Solução pela HP-12C
= 14000
(1,15)6
= R$ 6.052,59
CHS
14000
FV
i
15
n
6
PV
V
R$ 6.052,59
Exemplo 03:
A loja “Leve Tudo” financia a venda de uma máquina no valor de R$ 10.210,72, sem entrada, para
pagamento em uma única prestação de R$ 14.520,68 no final de 276 dias. Qual a taxa mensal
cobrada pela loja ?
Dados:
i=?
PV = R$ 10.210,72
FV = R$ 14.520,68
n = 276 dias
Solução pela HP-12C
Solução algébrica:
i=
14.520,68
10.210,72
30/276
- 1 . 100
10210,72
CHS
14520,68
FV
V
276
30
0,108696...
i = {(1,422101...)
i = {0,039018...} . 100
i = 3,90% ao mês
– 1} . 100
i
PV
ENTER

n
3,90% ao mês
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26
Exemplo 04:
Em que prazo um empréstimo de R$ 24.278,43 pode ser liquidado em um único pagamento de R$
41.524,33, sabendo-se que a taxa contratada é de 3% ao mês ?
Dados:
n=?
i = 3% ao mês
PV = R$ 24.278,43
FV = R$ 41.524,33
Solução algébrica:
Solução1 pela HP-12C
Solução 2 pela HP-12C
6
f
CHS
FV
41524,33
LN 41.524,33
ENTER
41524,33
24278,43
PV
24278,43
n=
g
24278,43
LN
LN ( 1 + 0,03)

3
i
n = LN(1,710338)
g
1,03
LN
LN(1,03)

n = 0,536691...
n
19 meses
0,029559...
18,156731.. meses
n = 18,156731... meses
Exemplo 05:
Calcular os juros de uma aplicação de capital de R$ 1000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa de 10%
ao mês.
Dados:
Solução pela HP-12C
PV = R$ 1.000,00?
i = 10% ao mês
CHS
PV
1000
n = 5 meses
J=?
i
10
Solução algébrica:
J= 1000[(1 + 0,10)5 – 1]
J= 1000[(1,10)5 – 1]
J= 1000[1,61051 – 1]
J= 1000[0,61051 ]
J= R$ 610,51
n
5
FV
RCL
1.610,51
PV
+
R$ 610,51
Cálculo dos Juros Compostos para Períodos não Inteiros
As operações de juros compostos para períodos não inteiros podem ser facilitadas se
adotarmos a convenção do prazo para dias, vejamos a seguir:
1 ano exato = 365 ou 366 dias;
1 ano = 360 dias;
1 semestre = 180 dias;
1 trimestre = 90 dias;
1 mês comercial = 30 dias;
1 mês exato = 29 ou 31 dias;
1 quinzena = 15 dias.
Quando deparamos com este tipo de situação devemos considerar o prazo
n = QQ (Quanto eu Quero) , sempre considerando o prazo em dias.
QT (Quanto eu Tenho)
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27
Sendo assim, teremos a seguinte fórmula do Valor Futuro(FV):
FV = PV (1 + i )QQ/QT
Exemplo 06:
Determinar o montante de uma aplicação de R$ 13.500,00, negociada a uma taxa de 25% ao ano,
para um período de 92 dias pelo regime de juros compostos.
Dados:
PV = R$ 13.500,00
OBS.: neste caso a taxa está ao ano e o prazo está em dias.
i =25% ao ano
As perguntas:
n = 92 dias
Qual é o prazo que eu Quero?
FV = ?
Qual é o prazo que eu Tenho ?
Solução algébrica:
FV = 13500(1 + 0,25)92/360
FV = 13500(1,25)0,255556
FV = 13500(1,058683)
FV = R$ 14.292,22
Solução pela HP-12C
13500
ENTER
1
ENTER
0,25
+
92
ENTER
360

yx
X
R$ 14.292,22
EXERCÍCIOS
1) Calcular o valor futuro ou montante de uma aplicação financeira de R$ 15.000,00, admitindo-se
uma taxa de 2,5% ao mês para um período de 17 meses. R. FV = R$ 22824,27
2) Calcular o capital aplicado pelo prazo de 6 meses a uma taxa de 1,85% ao mês, cujo valor
resgatado foi de R$ 98.562,25. R.PV = 88296,69
3) Durante quanto tempo uma aplicação de R$ 26.564,85 produziu um montante de R$ 45.562,45
com uma taxa de 0,98% ao mês ? R. n = 55,32 aprox. 56
4) Qual a taxa mensal de juros necessária para um capital R$ 2.500,00 produzir um montante de R$
4.489,64 durante um ano? R. i = 5% am.
5) Determinar os juros obtidos através de uma aplicação de R$ 580,22 com uma taxa de 4,5% ao
mês durante 7 meses. R. J = R$ 209,38
6) Determinar o valor de um investimento que foi realizado pelo regime de juros compostos, com
uma taxa de 2,8% ao mês, produzindo um montante de R$ 2.500,00 ao final de 25 meses.
R. PV = R$ 1253,46
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28
7) Quanto rende um capital de R$ 4.000,00 aplicado por 10 meses a juros efetivos de 2% a.m. ?
R. J = R$ 875,97
8) Determinar o montante de uma aplicação de R$ 10.600,00, negociada a uma taxa de 25% ao ano,
para um período de 119 dias pelo regime de juros compostos. R. FV = R$ 11411,43
9) Determinar o capital que, aplicado por 7 meses a juros efetivos de 4% ao mês, rende R$
10.000,00. R. PV = R$ 31652,40
10) Em que prazo um empréstimo de R$ 55.000,00 pode ser quitado por meio de um único
pagamento de R$ 110.624,80 se a taxa de juros compostos cobrada for de 15% ao ano?
R. n = 5 anos
11) Tenho R$ 10.000,00 e aplico em uma caderneta de poupança 23% do valor, a uma taxa de 2,5%
ao mês a juros compostos durante 4 bimestres. Qual o valor do resgate no final do período?
R. FV = R$ 2802,32
12) André pretende aplicar R$ 30.000,00. Ele fez uma análise em três bancos diferentes. Veja a
tabela abaixo com as condições oferecidas por cada banco.
BANCO
X
Y
Z
2% ao mês
2% ao trim
2,5% ao mês
Taxa
2 bimestre
2 trimestre
3,5 meses
Prazo
a) Calcule o montante referente as condições oferecidas por cada banco
R. FVx = R$ 32.472,96;
b) Qual é a melhor opção?
FVy = R$ 31.212,00
e
FVz = R$ 32.742,07
13) A loja MIX Ltda. vende um etrodoméstico por R$ 180,00 a unidade, sendo o pagamento feito
em 2 meses após a compra. Para pagamento à vista, o preço é de R$ 165,00. Qual a taxa mensal de
juros cobrada no financiamento? R. i = 4,44% a.m
14) Em 3 meses consecutivos, um fundo rendeu, respectivamente, 1,2%, 1,5% e 1,8%. Se o capital
aplicado no início do primeiro mês foi de R$ 10.000,00, determine:
a) o Montante no final do terceiro mês; R. FV = R$ 10.456,69
b) a taxa de rentabilidade acumulada deste fundo no trimestre. R. iac = 4,56%
15) O quadro abaixo indica, em reais, as quantias que dois investidores A e B dispunham e as
respectivas taxas a que estas quantias foram aplicadas a juros compostos.
Investidor
A
B
Capital
100 000
100 000
Taxa
100% ao ano
60% ao semestre
Depois de um ano, a soma, em reais, dos montantes desses dois investidores será: R. (b)
a) 480.000
b) 456.000
c) 440.000
d) 336.000
e) 420.000
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29
DESCONTOS COMPOSTOS
Desconto Racional Composto
O desconto composto é aquele que a taxa de desconto incide sobre o montante (M), (FV) ou
(VN). Utilizaremos todas as metodologias anteriores para os cálculos do desconto composto.
DRC = VN – VL
VL =
VN
(1 + i)n
.…
Exemplo 01:
Determinar o desconto racional composto de um título de valor nominal de R$ 5000,00 considerando
uma taxa de juros compostos de 3,5% ao mês, sendo descontado 3 meses antes do seu vencimento.
Dados:
Solução pela HP-12C
VN = 5000; i = 3,5% ao mês; n = 3 meses;
DRC ?; VL = ?
5000 FV
3,5
i
Solução algébrica:
3
n
VL = 5000
.……
PV
4509,71
(1 + 0,035)3
5000 +
VL = 5000
= 5000__ = R$ 4509,71 .…= …
R$ 490,29
(1,035)3
1,10872
DRC = 5000 – 4509,71 = R$ 490,29
Desconto Bancário ou Comercial ( para descontos compostos)
O Desconto Bancário Composto praticamente só existe na teoria, já que o que é utilizado
em nosso país é o desconto bancário simples. Considere um título de Valor Nominal (VN), com
vencimento em um período (n), e um Valor Líquido (VL), que produz um Valor Futuro (FV) igual a
VN, quando aplicado por (n) períodos a uma taxa composta de descontos (id) por período. Vamos
verificar:
Onde: DBC = Desconto Bancário Composto
DBC = VN – VL
VL = VN (1 - i)n
Exemplo 02:
Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00, 60 dias para o seu vencimento, é descontada a uma taxa
de 2,5% ao mês, de acordo com o conceito de desconto composto. Calcular o valor líquido
creditado na conta e o valor do desconto bancário concedido.
Solução algébrica:
Solução pela HP-12C
Dados: VN = R$ 25.000,00; n = 60dias (2 meses);
i = 2,5% ao mês; VL = ? DBC = ?
25000
ENTER
VL = 25000(1- 0,025)2
1
ENTER
VL = 25000(0,975)2
0,025
VL = 25000 (0,950625)
2
Yx X
VL = R$ 23765,63
23.765,63
DBC = 25000 – 23765,63 = R$ 1.234,38
CHS 25000 +
R$ 1.234,38
FV
23795,35
25000 R$ 1204,64
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30
EXERCÍCIOS
1) Um título no valor nominal de R$ 59.895,00 foi pago 3 meses antes do vencimento. Se a taxa
mensal de desconto racional composto era 10%, de quanto era o valor líquido deste título?
R. VL = R$ 45.000,00
2) Determinar o desconto racional composto de um título de valor nominal de R$ 3.000,00
considerando uma taxa de juros compostos de 1,8% ao mês, sendo descontado 4 meses antes do seu
vencimento. R. DRC = R$ 206,62
3) Uma duplicata de R$ 17.000,00, 90 dias para o seu vencimento, é descontada a uma taxa de 1,5%
ao mês, de acordo com o conceito de desconto composto. Calcular o Valor Líquido creditado na
conta e o valor do Desconto Racional concedido.
R. VL = R$ 16.257,46 e DRC = R$ 742,64
4) Determine o valor do DRC de um título de valor nominal de R$ 6.200,00, descontado 5 meses
antes do vencimento, sendo à taxa de 3% ao mês. R. DRC = R$ 851,82
5) Calcule o DRC obtido em um título de valor nominal R$ 3.800,00, resgatado 8 meses antes do
vencimento, sendo à taxa de desconto de 30% ao ano. R. DRC = 681,17
6) Um título no valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 90 dias antes do vencimento à uma
taxa de 1,5% ao mês. Qual o valor líquido e o DRC? R. VL = R$ 23.907,89 e DRC = R$ 1.092,11
7) Uma nota promissória de R$ 5.000,00 foi descontada comercialmente 60 dias antes do
vencimento à taxa de juros de 3% ao mês. Calcular o valor líquido recebido e o DRC.
R. VL = R$ 4. 712,98
e
DRC = R$ 287,02
8) Uma pessoa quer liquidar, 3 meses antes do vencimento, uma dívida representada por um título
cujo valor nominal é de R$ 1.000,00. sabendo-se que o banco credor utiliza uma taxa de desconto
composto de 3% ao mês, ache o valor líquido e o desconto racional. R. VL=R$ 915,14 e DRC= R$ 84,86
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31
OPERAÇÕES COM TAXAS DE JUROS
Conforme o Banco Central do Brasil S. A. , as taxas de juros de cada instituição financeira
representam médias geométricas ponderadas pelas concessões observadas nos últimos cinco dias
úteis, período esse apresentado no ranking de cada modalidade de operação de crédito.
A taxa de juros total representa o custo da operação para o cliente, sendo obtida pela soma
da taxa média e dos encargos fiscais e operacionais.
Taxas Equivalentes a Juros Compostos
Duas taxas são consideradas equivalentes, a juros compostos, quando aplicadas a um mesmo
capital, por um período de tempo equivalente e gerem o mesmo rendimento.
ieq = ( 1 + ic)QQ/QT - 1
. 100
Onde:
ieq = taxa equivalente
ic = taxa conhecida
QQ = Quanto eu Quero
QT = Quanto eu Tenho
Exemplo 01:
Calcular a equivalência entre as taxas:
Taxa Conhecida
a) 79,5856% ao ano
b) 28,59% ao trimestre
c) 2,5% ao mês
d) 0,5 ao dia
e) 25% (ano comercial)
Solução algébrica:
a)
ieq = { ( 1 + ic)QQ/QT - 1 } . 100
ieq = { ( 1 + 0,7958)30/360 - 1 } . 100
ieq = { ( 1 + 0,7958)0,083333 - 1 } . 100
ieq = { 1,049997 - 1 } . 100
ieq = { 0,049997 } . 100
ieq = 5% ao mês
Solução algébrica:
b)
Solução
algébrica:
ieq = { ( 1 + 0,2859)180/90 - 1 } . 100
ieq = { ( 1 + 0,2859)2 - 1 } . 100
ieq = { 1,653539 - 1 } . 100
ieq = { 0,653539 } . 100
ieq = 65,35% ao semestre
Taxa equivalente para:
1 mês
1 semestre
105 dias
1 ano
1 ano exato ( base 365 dias)
1,7958
30
1
Solução pela HP-12C - a)
ENTER
ENTER
-
360

Yx
100
X
x
5% ao mês
Solução algébrica
c)
ieq = { ( 1 + 0,025)105/30 - 1 } . 100
ieq = { ( 1, 025)3,5 - 1 } . 100
ieq = { 1,090269 - 1 } . 100
ieq = { 0,090269 } . 100
ieq = 9,03 %ao período
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Solução algébrica
d)
ieq = { ( 1 + 0,005)360/1 - 1 } . 100
ieq = { ( 1,005)360 - 1 } . 100
ieq = { 6,022575 - 1 } . 100
ieq = { 5,022575 } . 100
ieq = 502,265% ao ano
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32
Solução algébrica
e)
ieq = { ( 1 + 0,25)365/360 - 1 } . 100
ieq = { ( 1, 25)1,013889 - 1 } . 100
ieq = { 1,253880 - 1 } . 100
ieq = { 0,253880 } . 100
ieq = 25,39% ao período
Taxa Real, Taxa Aparente e Taxa de Inflação
Denominamos taxa aparente (i) aquela que vigora nas operações correntes (financeiras e
comerciais).
Quando não há inflação (I), a taxa aparente (i) é igual à taxa real (R); porém, quando há
inflação (I), a taxa aparente (i) é formada por dois componentes:
- Um correspondente ao “juro real” e outro correspondente a inflação.
Sendo:
C: capital inicial
Daí,
R: taxa real de juros
I: taxa de inflação
(1 + i) = (1 + R) . (1 + I)
i: taxa aparente
Exemplo 01:
Qual a taxa aparente, correspondente a um ganho real de 9% ao ano se a taxa de inflação do período
for 11,9% ?
Resolução:
Resolução pela HP 12C:
i=?
R = 9%ao ano
I = 11,9%
1,09 ENTER
1,119 X
(1 + i) = (1 + R) . (1 + I)
1
(1 + i) = (1 + 0,09) . (1 + 0,119)
100
X 22
(1 + i) = (1,09) . (1,119)
(1 + i) = 1,22
i = 1,22 - 1
i = 0,22 . 100
→
i = 22% ao ano
Exemplo 02:
Qual a taxa real, correspondente a uma taxa aparente de 22% ao ano se a inflação do período for
11,9% ?
Resolução:
Resolução pela HP 12C:
i = 22% ao ano
R=?
I = 11,9%
1,22
CHS FV
(1 + i) = (1 + R) . (1 + I)
1,119
PV
(1 + 0,22) = (1 + R) . (1+ 0,119)
1
n
(1,22) = (1+ R) . (1,119)
i
9
1,22 = (1 + R)
1,119
1,09 = (1 + R)
1,09 – 1 = R
0,09 = R
R = 0,09 . 100 → R = 9% ao ano
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33
Exemplo 03:
Qual a taxa de inflação, correspondente a uma taxa aparente de 22% ao ano se o rendimento real for
no período 9% ?
Resolução:
I=?
R = 9%ao ano
i = 22% ao ano
Resolução pela HP 12C:
1,22 CHS FV
(1 + i) = (1 + R) . (1 + I)
1,09 PV
(1 + 0,22) = (1 + 0,09) . (1+ I)
1
n
(1,22) = (1,09) . (1 + I)
i
11,9
1,22 = (1 + I)
1,09
1,119 = (1 + I)
1,119 – 1 = I
0,119 = I
I = 0,119 . 100 → I = 11,9% ao ano
Taxa Acumulada de juros com Taxas Variáveis
É normalmente utilizada em situações de correções de contratos como, por exemplo,
atualização de aluguéis, saldo devedor da casa própria e contratos em geral.
A composição das taxas pode ocorrer de duas formas, com taxas positiva ou negativas,
nesse caso podemos exemplificar as taxa positiva como do tipo 4%; 2% e 15% e a taxas negativa
como do tipo -2%; -3,5% e -1,7%, etc.
Matematicamente, o fator de acumulação de uma taxa positiva pode ser representada (1+ i) e a taxa
negativa (1 –i). assim teremos a seguinte fórmula genérica:
iac = [(1+ i1) . (1+ i2) . (1+ i3).... (1+ in )– 1] . 100
Exemplo 04
Calcular a taxa acumulada de juros à seguinte sequencia de taxas: 5%, 3%, -1,5%, -2% E 6,5%.
Resolução:
iac = [(1+ 0,05) (1+ 0,03) (1-0,015) (1-0,02) (1+0,065)-1] . 100
Resolução pela HP 12C:
iac = [(1,05) (1,03) (0,985) (0,98) (1,065)-1] . 100
1,05 ENTER
iac = [1,1118...- 1] . 100
1,03 X
iac = 11,18% ao período
1
ENTER 0,015 - X
1
ENTER 0,02 - X
1,065 X
1
- 100 X
11,18%
Taxa Média de Juros
Imagine o conjunto de taxas (4%; 2% e 15%) neste exemplo, 3 é a quantidade de
elementos deste conjunto de taxas. Temos a seguinte fórmula genérica:
ime ={[(1+ i1) . (1+ i2) . (1+ i3).... (1+ in )]1/n - 1} . 100
onde n = número de taxas analisadas
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34
Exemplo 05
Com base nos dados a seguir calcular a taxa média.
Dados: IGP-M/FGV (Jan/2001) = 0,62%
IGP-M/FGV (Fev/2001) = 0,23%
IGP-M/FGV (Mar/2001) = 0,56%
IGP-M/FGV (Abr/2001) = 1,00%
IGP-M/FGV (Mai/2001) = 0,86%
Resolução:
im = {[(1+ 0,0062)(1+ 0,0023)(1+ 0,0056)(1+ 0,01)(1+ 0,0086)]1/5 – 1} . 100
im ={[(1,0062)(1,0023)(1,0056)(1,01)(1,0086)]1/5 – 1} . 100
im = {[1,033113...]0,2– 1} . 100
Resolução pela HP 12C:
im = {0,006536} . 100
1,0062 ENTER
im = 0,6536%ao mês
1,0023 X
1,0056 X
1,01 X
1,0086 X
5
1/X YX
1
- 100 X
0,65% ao mês
EXERCICIOS
1) Determinar a taxa:
a) anual equivalente a 2% ao mês R. 26,82%
b) mensal equivalente a 60,103% ao ano R. 3,99%
c) anual equivalente a 0,1612% ao dia R. 78,57%
d) trimestral equivalente a 39, 46 % a 1 semestre R. 18,09%
2) Calcule a taxa aparente anual que deva cobrar uma financeira para que ganhe 8% ao ano de juros
reais quando a inflação for de 5% ao ano. R. i = 13,40%aa
3) A taxa de juros para aplicações de curtos e médios prazos, em um banco é 40% ao ano. Que
remuneração real recebe o cliente, se a inflação for de 38% ao ano? R. R = 1,45%aa
4) Que taxa de inflação anual deve ocorrer para que um aplicador ganhe 12% ao ano de juros reais,
caso a taxa aparente seja de 25% ao ano ? R.I = 11,60%aa
5) Por um capital aplicado de R$ 6000,00, aplicado por dois anos, o investidor recebeu R$ 5.
179,35 de juros. Qual a taxa aparente ganha se a inflação for de 30% ao ano e o juro real for de 5%
ao ano ? R. i = 36,5%aa
6) Emprestam um dinheiro a 4,36% ao ano. Se a inflação foi de 1% no período, qual a taxa real da
operação? R. R = 3,32%aa
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35
7) Um gerente empresta um dinheiro à taxa de 8%. A inflação do mês foi de 0,80%. Quanto foi a
taxa real? R. R = 7,14%
8) Uma determinada revista de informações financeiras apresentou a seguintes taxas de CDIs:
Fev. = 2,11%; Mar. = 2,18%; Abr. = 1,69%; Mai. = 1,63%; Jun. = 1,60%; Jul. = 1,69% para o
ano de 1998. Pergunta-se:
a) Qual a taxa média no período?
R. 1,82% ao mês
b) Qual a taxa acumulada no período? R. 11,41% ao período
9) Calcular a taxa acumulada e a média das taxas 5%, 2%, 1%, -3,5% e 4%.
R. iac = 8,56% ao período;
im = 1,66% ao mês.
10) Com base na tabela a seguir, calcular a variação do IGP-M (FGV) acumulada durante os meses
de junho/2000 a setembro/2000.
R. iac = 6,1% ao período
Junho/2000
Julho/2000
Agosto2000
Setembro/2000
0,85%
1,57%
2,39%
1,16%
11) Indique qual o valor mais próximo da taxa equivalente à taxa nominal de 36% ao ano com
capitalização mensal. Utilize o conceito de juros compostos.
R. (a)
a) 2,595% ao mês
b) 19,405% ao semestre
c) 18% ao semestre
d) 9,703% ao trimestre
e) 6,825% ao bimestre
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36
SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS
São aquelas em que os pagamentos ou recebimentos são constantes e ocorrem em intervalos
iguais. Para classificar estes conceitos, vamos interpretar as palavras.



Séries – número de coisas ou eventos, semelhantes ou relacionados, dispostos ou
ocorrendo em sucessão espacial ou temporal.
Uniformes – que tem uma só forma; igual, idêntico; muito semelhantes.
Pagamentos – cumprimento efetivo da obrigação exigível.
Classificação das séries de pagamentos
a) Quanto ao tempo
 Temporária - quando tem um número limitado de pagamentos;
 Infinita – quando tem um número infinito de pagamentos.
b) Quanto à constância ou periodicidade
 Periódicas – quando os pagamentos ocorrem em intervalos de tempos iguais;
 Não periódicas – quando os pagamentos ocorrem em intervalos de tempo variáveis.
c) Quanto ao valor dos pagamentos
 Fixos ou Uniformes – quando todos os pagamentos são iguais;
 Variáveis – quando os valores dos pagamentos variam.
d) Quanto ao vencimento do primeiro pagamento
 Imediata – quando o primeiro pagamento ocorre exatamente no primeiro período da
série;
 Diferida – quando o primeiro pagamento não ocorre no primeiro período da série, ou
seja, ocorrerá em períodos seguintes.
e) Quanto ao momento dos pagamentos
 Antecipadas – quando o primeiro pagamento ocorre no momento “0”(zero) da série de
pagamentos;
 Postecipadas – quando os pagamentos ocorrem no final dos períodos.
Série Uniforme de Pagamento POSTECIPADA
São aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1; este sistema é também
chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada(0 + n).
Sendo informados uma taxa(i), um prazo(n) e o valor de um pagamento ou prestação (PMT)
será possível calcular o valor presente(PV) de uma série de pagamentos postecipada através da
seguinte fórmula:
PV = PMT
(1 + i)n - 1
(1 + i)n . i
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37
EXEMPLO 01:
Calcular o valor de um financiamento a ser quitado através de seis pagamentos mensais de R$
1500,00, vencendo a primeira parcela a 30 dias da liberação dos recursos, sendo de 3,5% ao mês a
taxa de juros negociada na operação.
Dados: PV = ?
n = 6 meses
i = 3,5% ao mês
PMT = R$ 1500,00
Resolução algébrica:
PV = PMT
PV = 1500
PV = 1500
PV = 1500
(1 + i)n - 1
(1 + i)n . i
(1 + 0,035)6 - 1
(1 + 0,035)6 . 0,035
(1,035)6 - 1
(1,035)6 . 0,035
1,229255 - 1
1,229255 . 0,035
Resolução pela HP-12C
f
REG
1500
CHS PMT
6
n
3,5
i
PV 7992,83
0,229255
PV = 1500
0,043024
PV = 1500[5,328553]
PV = R$ 7992,83
Dado o Valor Presente(PV), Achar a Prestação (PMT)
Sendo informados uma taxa(i), um prazo(n) e o valor presente(PV) de uma série de
pagamentos postecipada, será possível calcular o valor das prestações (PMT) através da seguinte
fórmula:
PMT = PV
(1 + i)n . i
(1 + i)n - 1
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38
EXEMPLO 02:
Um produto é comercializado à vista por R$ 500,00. Qual deve ser o valor da prestação se o
comprador resolver financiar em cinco prestações mensais iguais e sem entrada, considerando que a
taxa de juros cobrada pelo comerciante seja de 5% ao mês?
Dados: PV = 500
n = 5 meses
i = 5% ao mês
PMT = ?
Resolução algébrica:
PMT = 500
PMT = 500
PMT = 500
Resolução pela HP-12C
f
REG
500
CHS PV
5
n
5
i
PMT 115,49
(1 + 0,05)5 . 0,05
(1 + 0,05)5 - 1
(1,05)5 . 0,05
(1,05)5 - 1
1,276282 . 0,05
1,276282 - 1
0,063814
PMT = 500
0,276282
PMT = 500[0,230975]
PMT = R$ 115,49
Dado o Valor Futuro(FV), Achar a Prestação (PMT)
Sendo informados uma taxa(i), um prazo(n) e o valor futuro(FV) de uma série de
pagamentos postecipada, será possível calcular o valor das prestações (PMT) através da seguinte
fórmula:
PMT = FV
i
(1 + i)n - 1
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39
EXEMPLO 03:
Determinar o valor dos depósitos mensais que, quando aplicado a uma taxa de 4% ao mês durante 7
meses, produz um montante de R$ 5000,00, pelo regime de juros compostos.
Dados: FV = 5000
n = 7 meses
i = 4% ao mês
PMT = ?
Resolução algébrica:
Resolução pela HP-12C
0,04
f
REG
PMT = 5000
5000
FV
(1 + 0,04)7 - 1
7
n
4
i
PMT 633,05
0,04
PMT = 5000
PMT = 5000
(1,04)7 - 1
0,04
1,315932 - 1
0,04
PMT = 5000
0,315932
PMT = 5000[0,126610]
PMT = R$ 633,05
Dado o Valor Presente(PV), Calcular o Prazo (n)
Sendo informados uma taxa(i), o valor presente(PV) e um pagamento ou prestação(PMT)
em uma série uniforme de pagamentos postecipada, será possível calcular o número de pagamentos
ou prazo(n), através da seguinte fórmula:
LN 1 n=-
PV
PMT
LN(1+ i)
.i
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40
EXEMPLO 04:
Um produto é comercializado à vista por R$ 1750,00. Uma outra alternativa seria financiar este
produto a uma taxa de 3% ao mês. Gerando uma prestação de R$ 175,81; considerando que o
comprador escolha a segunda alternativa, determinar a quantidade de prestações deste
financiamento.
Dados: PV = 1750
n=?
i = 3% ao mês
PMT = 175,81
Resolução algébrica:
LN 1 n=-
1750
175,81
Resolução pela HP-12C
f
REG
1750
PV
3
i
175,81 CHS PMT
n
12
. 0,03
LN(1+ 0,03)
n=-
n=-
n=-
n=-
n=-
LN [1 – (9,953928) . 0,03 ]
LN(1,03)
LN [1 – (0,298618) ]
LN(1,03)
LN[0,701382 ]
LN(1,03)
-0,354702
0,02956
- 12
 n = 12meses
Dado o Valor Futuro(FV), Calcular o Prazo (n)
Sendo informados uma taxa(i), um valor futuro(FV) e a prestação(PMT) em uma série
uniforme de pagamentos postecipada, será possível calcular o número de pagamentos ou prazo(n),
através da seguinte fórmula:
LN
n=-
FV . i
PMT
+1
LN(1 + i)
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41
EXEMPLO 05:
Um poupador deposita R$ 150,00 por mês em uma caderneta de poupança; após um determinado
tempo observou-se que o saldo da conta era de R$ 30.032,62. Considerando uma taxa média de
poupança de 0,08% ao mês, determine a quantidade de depósito efetuado por este poupador.
Dados: FV = 30.032,62
i = 0,08% ao mês
PMT = 150,00
n=?
Resolução algébrica:
Resolução pela HP-12C
f
REG
30032,62 . 0,0008
30032,62
CHS FV
LN
+1
150
PMT
150
0,08
i
n
186
meses
n=LN(1+ 0,0008)
LN
n=-
n=-
n=-
n=-
24,026096
150
+1
LN(1,0008)
LN[ 0,160174 + 1]
LN(1,0008)
LN[ 1,160174 ]
LN(1,0008)
0,148570
0,000800
 n = 185,712500  n = 186 meses
Dada a prestação (PMT), calcular o Valor Futuro (FV)
Sendo informados uma taxa (i), um prazo (n) e o valor do pagamento ou prestação (PMT)
de uma série uniforme de pagamentos postecipados, será possível calcular o valor futuro (FV),
através da seguinte fórmula:
FV = PMT
(1 + i )n - 1
i
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42
EXEMPLO 06:
Uma pessoa realiza depósitos mensais no valor de R$ 100,00 em uma caderneta de poupança;
considerando uma taxa de 0,8% ao mês, e um prazo de trinta anos, qual será o valor acumulado
após este período?
Dados: PMT = 100,00
n = 30 anos ou 360 meses i =0,8% ao mês FV = ?
Resolução pela HP-12C
f
REG
100
CHS PMT
0,8
i
360
n
FV 207.641,32
Resolução algébrica:
FV = 100 (1 + 0,008)360 - 1
0,008
FV =100
(1,008)360 - 1
0,008
FV = 100 17,611306 - 1
0,008
FV = 100
16,611306
0,008
 FV = 100 (2076,4132)  FV = R$ 207.641,32
EXERCÍCIOS
1) Determinar o valor futuro de um investimento mensal de R$ 1000,00, durante 5 meses, à taxa de
5% ao mês. R. FV = R$ 5.525,63
2) Determine o valor do investimento necessário para garantir um recebimento anual de R$
10.000,00, no final de cada um dos próximos 8 anos, sabendo-se que esse investimento é
remunerado com uma taxa de 10% ao ano, no regime de juros compostos. R. PV = R$ 53.349,24
3) Determinar o valor das prestações mensais de um financiamento realizado com a taxa efetiva de
2,5% ao mês, sabendo-se que o valor presente é de R$ 1000,00 e que o prazo é de 4 meses.
R. PMT = R$ 265,82
4) Um automóvel custa à vista o valor de R$ 14.480,00, e pode ser financiado em 48 parcelas
mensais e iguais, com a taxa de 1,8% ao mês. Determinar o valor das prestações.
R. PMT = R$ 453,06
5) No exercício anterior, considere uma entrada de 20% e uma taxa de 1,5% ao mês para recalcular
o valor da prestação. R. PMT = R$ 340,28
6) Uma pessoa deposita em uma financeira, no final de cada mês, durante 5 meses, a quantia de $
100.000,00. Calcule o Montante da renda, sabendo que a financeira paga juros compostos de 2% ao
mês, capitalizados mensalmente. R. FV = R$ 520.404,02
7) Qual o período financeiro necessário, para se aplicar $ 500,00 anualmente e se resgatar o
montante da renda de $12. 099,00, se a financiadora me oferecer 25% ao ano de rendimento?
R. n = 8,78 aprox. 9anos
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43
8) Quanto se deverá depositar mensalmente para que, ao fim de 5 anos, não se processando
nenhuma retirada, se tenha $ 50.000,00? Considerar que a instituição paga 2,5% ao mês sobre o
saldo credor. R. PMT = R$ 367,66
9) Um bem cujo preço à vista é de $ 4.000 será pago em oito prestações mensais iguais pagas ao
fim de cada mês. Considerando que o juro composto cobrado é de 5% ao mês, calcular o valor das
prestações. R. PMT = R$ 618,89
10) A juros nominais de 36% ao ano capitalizado mensalmente, determinar o tempo necessário para
liquidar um financiamento de $ 842,36 por meio de prestações mensais postecipadas de $ 120.
R. n = 7,99 aproxima. 8 meses
11) Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada mês, durante 2 anos, a quantia de R$
200,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juros compostos de 2% ao
mês. R. FV = R$ 6.084,00
12) Quanto devo aplicar mensalmente, durante 3 anos, para que possa resgatar R$ 35.457,00 no
final dos 36 meses, sabendo que a aplicação proporciona um rendimento de 1,5% ao mês?
R. PMT = R$ 750,00
13) Deposito em uma instituição financeira, no fim de cada mês, a importância de R$ 800, 00, a
0,5% ao mês. Quanto terei no fim de 1 ano? R. FV = R$ 9.868,44
14) Uma pessoa deposita R$ 680,00 no final de cada mês. Sabendo que seu ganho é de 1,5% ao
mês, quanto possuirá em 2,5 anos? R. FV = R$ 25.526,30
15) Quanto se deve aplicar mensalmente, durante 20 meses, à taxa de 2,5% ao mês, para que se
tenha R$ 60.000,00 no final do vigésimo mês, dentro do conceito de renda postecipada ?
R. PMT = R$ 2.349,00
16) Determine o número de aplicações bimestrais e iguais a R$ 900,00, necessárias para se ter um
montante de R$ 11.863,00, considerando-se uma taxa de 6% ao bimestre. R. n = 10 prestações
17) O vendedor da loja oferece um sistema de som em oito parcelas mensais, iguais e seguidas de
R$ 1.000,00. sabendo-se que a primeira prestação vencerá um mês depois da compra. Calcule o
valor do capital desse financiamento considerando a taxa de 3,5% ao mês. R. PV = R$ 6.873,95
18) O financiamento de R$ 8.000,00 será devolvido em parcelas mensais, iguais seguidas de R$
1.800,00, vencendo a primeira parcela um mês depois do recebimento do dinheiro. Considerando a
taxa de juro de 4% ao mês, calcule o número de capitais desse financiamento.
R. n = 4,99 ou 5 prestações
19) O financiamento será devolvido em 12 prestações mensais iguais e seguido de R$ 550,00, sendo
o pagamento da primeira prestação realizado no final do primeiro mês depois do recebimento do
dinheiro. Calcule o valor do financiamento considerando a taxa de juro de 2,85% ao mês.
R. PV = R$ 5.524,04
20) Calcule o valor financiado sabendo que o devedor pagará dez parcelas mensais de R$ 1.200,00
num plano de amortização postecipado com taxa de juro de 3,65% ao mês. R. PV = R$ 9.904,90
.
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44
Série Uniforme de Pagamento ANTECIPADA
As séries uniformes de pagamentos antecipados são aqueles em que o primeiro pagamento
ocorre na data focal 0 (zero). Este tipo de sistema de pagamento é também chamado de sistema de
pagamento com entrada (1 + n).
Dada à prestação (PMT), calcular o valor presente (PV)
Sendo informados a taxa (i), um prazo (n) e valor da prestação (PMT) será possível
calcular o valor presente (PV) de uma série de pagamento antecipada através da seguinte fórmula:
PV = PMT
(1 + i)n –1
(1 + i )n-1 . i
EXEMPLO 01:
Uma mercadoria é comercializada em 4 (quatro) pagamentos de R$ 185,00; sabendo-se que a taxa
de financiamento é de 5% ao mês, e um dos pagamentos foi considerado como entrada, determine o
preço à vista desta mercadoria.
Resolução algébrica:
Dados: n = 4
PMT = R$185,00 i=5%am
PV= ?
PV = 185
(1 + 0,05)4 –1
(1 + 0,05 )4-1 . 0,05
PV = 185
PV = 185
PV = 185
(1 ,05)4 –1
(1,05 )3 . 0,05
1,215506 –1
1,157625 . 0,05
0,215506
0,057881
PV = 185[ 3,723248 ]
PV = R$ 688,80
OBS. : PARA SÉRIE UNIFORME
ANTECIPADA,
ANTES
DE
FAZER A RESOLUÇÃO PELA
HP12-C
PRESSIONAR AS
TECLAS: g BEG
Resolução pela HP-12C
f
REG
g
BEG
185 CHS PMT
5
i
4
n
P V 688,80
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45
Dado o valor presente (PV), calcular a prestação (PMT)
Sendo informados uma taxa (i), um prazo (n) e o valor presente (PV) será possível calcular
o valor dos pagamentos ou recebimentos (PMT) de uma série de pagamento antecipada através da
seguinte fórmula:
PMT = PV
(1 + i)n-1 . i
(1 + i )n - 1
EXEMPLO 02:
Um automóvel que custava à vista R$ 17.800,00 pode ser financiado em 36 pagamentos iguais;
sabendo-se que a taxa de financiamento é de 1,99% ao mês, calcule o valor da prestação mensal
deste financiamento.
Resolução algébrica:
Dados: n = 36meses
PMT =? i = 1,99%am
PV= R$ 17.800,00
PMT = 17800
PMT = 17800
(1 + 0,0199)36-1 . 0,0199
Resolução pela HP-12C
f
REG
g
BEG
17800 CHS PV
1,99
i
36
n
P MT 683,62
36
(1 + 0,0199 ) - 1
(1,993039)35 . 0,0199
PMT = 17800
PMT = 17800
(1,0199 )36 - 1
0,039661
2,032700 - 1
0,039661
1,032700
PMT = 17800[ 0,038405 ]
PMT = R$ 683,62
Dado o valor presente(PV), calcular o prazo(n)
Sendo informados uma taxa (i), a prestação (PMT) e o valor presente (PV) será possível
calcular o prazo (n) em uma série de pagamento antecipada através da seguinte fórmula:
n=-
PV . i
ln 1 PMT. (1 + i)
ln(1 + i)
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46
EXEMPLO 03:
Um produto custa à vista R$ 1500,00, e foi adquirido a prazo, com uma prestação mensal de R$
170,72, sendo que a primeira será paga no ato da compra. Sabendo-se que a taxa de juros contratada
foi de 3% ao mês, qual a quantidade de prestações deste financiamento?
Resolução algébrica:
Dados: n = ?
PMT =R$ 170,72
i = 3%am
PV= R$ 1.500,00
1500 . 0,03
n=-
ln 1 170,72 . (1 + 0,03)
ln(1 +0,03)
n=-
ln 1 -
45
170,72 . (1,03)
ln(1,03)
n=-
45
ln 1 -
175,84
0,029559
n=-
n=-
ln [1 - 0,255972 ]
0,029559
ln [ 0,744028 ]
0,029559
n= -
- 0,295596
0,029559
n = - { - 10,000275 }
n = 10 meses
Resolução pela HP-12C
f
REG
g
BEG
1500
PV
3
i
170,72 CHS PMT
n 10 meses
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47
Dada à prestação (PMT), calcular o valor futuro (FV)
Sendo informados uma taxa (i), a prestação (PMT) e o prazo (n), será possível calcular o
valor futuro (FV) em uma série uniforme de pagamento antecipada através da seguinte fórmula:
FV = PMT
(1 + i)n - 1
i
. (1+ i )
EXEMPLO 04:
Um poupador necessita acumular nos próximos 5 anos a importância de R$ 37.500,00, e acredita
que, se na data de hoje abrir uma caderneta de poupança no Banco Popular S/A, com depósitos
mensais de R$ 500,00, ele terá o valor de que precisa. Considerando que a poupança paga, em
média, uma taxa de 0,8% ao mês, pergunta-se: o poupador vai conseguir acumular o valor que
precisa?
Resolução algébrica:
Dados: n = 5 anos(60meses)
PMT =R$ 500,00?
i = 0,8%am
FV= ?
FV =
FV =
500
500
FV =
500
FV =
500
(1 + 0,008)60 - 1
0,008
(1,008)60 - 1
0,008
1,612991 - 1
0,008
0,612991
0,008
. (1 + 0,008)
. (1,008)
. (1,008)
. ( 1,008)
FV = 500[ 76,623867 ] . (1,008)
FV = 38.311,93 . (1,008)
FV = R$ 38.618, 43 (ainda sobrará dinheiro)
Resolução pela HP-12C
f
REG
g
BEG
500
CHS PMT
0,8
i
60
n
FV
38.618,43
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48
Dado o valor futuro (FV), calcular a prestação (PMT)
Sendo informados uma taxa (i), o valor futuro (FV) e o prazo (n), será possível calcular o
valor da prestação (PMT) em uma série uniforme de pagamento antecipada através da seguinte
fórmula:
PMT =
FV . i
[(1 + i)n – 1] . ( 1 + i)
EXEMPLO 05:
Considere o poupador do exemplo anterior, que se depositar R$ 500,00 na data de hoje, para
resgatar no final de 5 anos a importância de R$ 37.500,00, deverá resgatar um pouco mais.
Considerando a mesma taxa, ou seja, 0,8% ao mês, de quanto deverá ser o valor de cada depósito
para que o poupador consiga acumular exatamente o valor de R$ 37.500,00?
Resolução algébrica:
Dados: n = 5 anos (60 meses)
PMT= ?
i = 0,8%
FV = R$ 37.500,00
PMT =
PMT =
PMT =
PMT =
PMT =
37.500,00 . 0,008
[(1 + 0,008)60 – 1] . ( 1 + 0,008)
300
[(1,008)60 – 1] . (1,008)
300
[1,612991 – 1] . (1,008)
300
[0,612991] . (1,008)
300
0,617895
→ PMT = R$ 485,52
Resolução pela HP-12C
f
REG
g
BEG
37500 CHS FV
0,8
i
60
n
PMT
485,52
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49
E XERCICIOS
1) Uma pessoa deposita em uma financeira no início de cada mês, durante 5 meses,a quantia de R$
100.000,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juros compostos de
2% ao mês, capitalizados mensalmente. R. FV = R$ 530.812,09
2) Qual o montante da renda, para aplicações mensais de R$ 120,00 cada, a taxa de juros
compostos de 3% ao mês, durante o período financeiro de 6 meses, sendo que o primeiro depósito
foi exigido no ato da abertura do contrato? R. FV = R$ 799,49
3) Um terreno é vendido em 4 prestações mensais iguais de R$ 150.000,00 cada uma, sendo a
primeira dada como entrada. Se a taxa do financiamento for 14% ao mês, qual o preço à vista?
R. PV= R$ 498.244,80
4) Uma geladeira é vendida em 5 prestações mensais de R$ 8000,00 cada uma, sendo a primeira
dada como entrada. Qual o preço à vista, se a taxa de juros do financiamento for de 9% ao mês?
R. PV = R$ 33.917,75
5) Um automóvel usado é vendido à vista por R$ 300.000,00, mas pode ser vendido a prazo em 12
prestações mensais iguais(antes de serem corrigidas monetariamente), sendo a primeira no ato da
compra. Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é 2% ao mês, obter o valor de cada
prestação antes de serem corrigidos. R. PMT = R$ 27.811,08
6) Uma mercadoria custa R$ 106.589,53 a vista, podendo ser vendida em 6 prestações mensais, à
taxa de 5% ao mês, sendo a primeira paga no ato da compra. Qual será o valor de cada prestação?
R. PMT = R$ 20.000,00
7) Uma mercadoria custa R$ 106.589,53 a vista, podendo ser vendida em prestações mensais de R$
20.000,00, à taxa de 5% ao mês, sendo a primeira paga no ato da compra. Quantas prestações
deverão ser pagas? R. n = 6 meses
8) Em quantos meses uma pessoa consegue liquidar um empréstimo de R$ 1.895.395,00 pagando
prestações mensais antecipadas de R$ 500.000,00 a juros efetivos de 10% ao mês?
R. n = 5 meses
9) Quanto deverá ser depositado no início de cada período para obter um montante de R$
305.200,00 no final de 30 períodos a uma taxa de 5% ao mês? R. PMT = R$ 4.374,95
10) Calcule o montante de uma renda trimestral antecipada de 8 termos iguais a R$ 7.000,00, sendo
de 2,5% ao trimestre a taxa de juros compostos. R. FV = R$ 62.681,63
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50
11) Uma pessoa deseja depositar bimestralmente uma mesma importância numa instituição
financeira, à taxa de 1,5% ao bimestre, capitalizados bimestralmente, de modo que com 8 depósitos
antecipados constitua o montante de R$ 150.000,00. Calcule a importância. R. PMT = R$ 17.524,73
12) Uma máquina é vendida em 12 prestações mensais de $ 307. A juros efetivos de 10% ao mês, e
um dos pagamentos foi considerado como entrada. Qual deveria ser seu valor à vista?
R. PV = $ 2300,98
13) Um computador custa à vista $2500, 00, e foi adquirido a prazo, com uma prestação mensal de
$168, 30, sendo que a 1a será paga no ato da compra. Sabendo-se que a taxa de juros contratado foi
de 3% ao mês, qual a quantidade de prestações deste financiamento? R. n = 20 meses
14) A compra de um conjunto de móveis será paga em 8 prestações de R$ 1.000,00, sendo a
primeira no ato da compra. Calcule o valor dessa compra considerando a taxa de juro de 3,5% ao
mês. R. PV = R$ 7.114,54
15) O financiamento de R$ 8.000,00 será devolvido em parcelas mensais, iguais e seguido de, no
máximo, R$ 1.800,00, vencendo a primeira parcela no ato do recebimento do dinheiro.
Considerando a taxa de juro de 4% ao mês, calcule o número de capitais desse financiamento.
R. n = 4,77 ou 5 meses
16) São financiados R$ 1.000,00 com a taxa de juro de 2,3% ao mês. Calcule o valor das quatro
prestações mensais, iguais e seguidas, sabendo que a primeira prestação vencerá no ato de assinar o
contrato. R. PMT = R$ 258,59
17) Calcule o montante de uma renda bimestral antecipada de 4 termos iguais a R$ 6.500,00, sendo
de 1,5% ao bimestre. R. FV = R$ 26.989,73
18) A compra de roupas no valor de R$ 1.725,00 será financiada em seis prestações mensais iguais
e antecipadas. Calcule o valor das prestações considerando a taxa de financiamento de 3% ao mês.
R. PMT = R$ 309,16
19) Calcule o valor do financiado em 12 parcelas antecipadas mensais, seguidas e iguais a R$
256,00, considerando a taxa de juro de 3,35% ao mês. R. PV = R$ 2.579,40
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51
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTO
Estudaremos as metodologias de sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos,
e ainda, a metodologia para calcular as prestações não uniformes, ou seja, as prestações que mudam
a cada período do empréstimo ou financiamento.

Empréstimo: recurso financeiro que, em tese, não necessita ser justificado quanto à
sua finalidade, como por exemplo: cheque especial e CDC (Crédito Direto ao
Consumidor), entre outros.

Financiamento: recurso financeiro que tem a necessidade de ser justificado quanto à
sua finalidade, por exemplo: compra de automóvel, imóvel e crediário, entre outros.
No financiamento, existe sempre a aquisição de um bem ou serviço atrelado à liberação dos
recursos financeiros financiados, enquanto no empréstimo exige-se apenas uma garantia de
devolução dos recursos financeiros emprestados.
Considere as seguintes nomenclaturas que usaremos para desenvolver as tabelas ou planilhas
de amortização.

Saldo Devedor : é o valor nominal do empréstimo ou financiamento, ou
simplesmente Valor Presente (PV) na data focal 0 (zero), que é diminuído da parcela
de amortização a cada período (n).

Amortização: parcela que é deduzida do saldo devedor a cada pagamento.

Juros compensatórios: é o valor calculado a partir do saldo devedor e
posteriormente somado à parcela de amortização.

Prestação: é o pagamento efetuado a cada período (n), composto da parcela de
amortização mais juros compensatórios.
Sistema Francês de Amortização (SFA) - (Tabela PRICE)
Neste sistema, o financiamento (PV) é pago em prestações (PMT) iguais, constituídas de
duas parcelas de amortização e juros compensatórios (J), que variam inversamente, ou seja,
enquanto as parcelas de amortização diminuem ao longo do tempo, os juros aumentam.
Este sistema é considerado o sistema de amortização mais utilizado pelas instituições
financeiras e pelo comércio em geral, conhecido também com Sistema Price e tem como principais
características:



a prestação é constante durante todo o período do financiamento;
a parcela de amortização aumenta a cada período (n), ou seja, os pagamentos são
periódicos, constantes e sucessivos;
os juros compensatórios diminuem a cada período (n).
OBS.: Seu cálculo, pela HP12C é feito na mesma forma da série de pagamentos uniformes
postecipados.
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52
Exemplo 01:
Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 10% ao mês, para ser pago em 5
pagamentos mensais, sem prazo de carência, calculado pelo Sistema Francês de Amortização
(SFA). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento.
Resolução algébrica
Dados: PV = R$ 10.000,00
n = 5 meses
i = 10% ao mês
a) cálculo do valor da prestação do financiamento
PMT = PV
PMT =10.000
PMT =10000
PMT =10000
PMT =10000
(1 + i)n . i
(1 + i)n - 1
(1 + 0,1)5 . 0,1
(1 + 0,1)5 - 1
(1,1)5 . 0,1
(1,1)5 - 1
1,610510 . 0,1
1,610510 - 1
0,1610551
0,610510
PMT = 10000[0,263797]
PMT = R$ 2.637,97
b) Cálculo dos juros (J)
J = PV . i . n
Juros para o 1o período: J1 = 10.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.000,00
Juros para o 2o período: J2 = 8.362,03 . 0,1 . 1 = R$ 836,20
Juros para o 3o período: J3 = 6.560,26 . 0,1 . 1 = R$ 656,03
Juros para o 4o período: J4 = 4.578,32 . 0,1 . 1 = R$ 457,83
Juros para o 5o período: J5 = 2.398,18 . 0,1 . 1 = R$ 239,82
PMT = ?
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c) cálculo da parcela de amortização (PAn)
PAn = PMT - J
Parcela de amortização para o 1o período: PA =
Parcela de amortização para o 2o período: PA =
Parcela de amortização para o 3o período: PA =
Parcela de amortização para o 4o período: PA =
Parcela de amortização para o 5o período: PA =
2.637,97
2.637,97
2.637,97
2.637,97
2.637,97
- 1.000,00 = R$ 1.637,97
- 836,20 = R$ 1.801,77
- 656,03 = R$ 1.981,94
- 457,83 = R$ 2.180,14
- 239,82 = R$ 2.398,15
d) cálculo do saldo devedor (SD)
SDn = SD(anterior) - PAn
SD1 = 10.000,00
SD2 = 8.362,03
SD3 = 6.560,26
SD4 = 4.578,32
SD5 = 2.398,18
N
0
1
2
3
4
5
-
1.637,97
1.801,77
1.981,84
2.180,14
2.398,15
=
=
=
=
=
R$ 8.362,03
R$ 6.560,26
R$ 4.578,32
R$ 2.398,18
R$
0,03
Assim teremos nossa planilha de financiamento
Saldo Devedor (SDn)
Amortização (PAn)
Juros (J)
Prestação (PMT)
10.000,00
8.362,03
6.560,26
4.578,32
2.398,18
0,03

0,00
1.637,97
1.801,77
1.981,94
2.180,14
2.398,15
9.999,97
0,00
1.000,00
836,20
656,03
457,83
239,82
3.189,88
OBS.:A diferença de 0,03 é devido ao arredondamento.
f [REG]
10000 CHS
Resolução pela HP-12C
PV
10 i
5 n
PMT
2637,97
1 f
[AMORT] 1000,00 X
Y 1637,97 RCL PV – 8362,03
1 f
[AMORT]
836,20 X
Y 1801,77 RCL PV – 6560,26
1 f
[AMORT]
656,03 X
Y 1981,94 RCL PV – 4578,32
1 f
[AMORT]
457,83 X
Y 2180,14 RCL PV – 2398,18
1 f
[AMORT]
239,82 X
Y 2398,15 RCL PV
– 0,03
0,00
2.637,97
2.637,97
2.637,97
2.637,97
2.637,97
13.189,85
53
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54
Sistema Francês (carência + juros compensatórios)
Neste caso, não haverá a parcela de amortização durante o período da carência, apenas o
pagamento dos juros compensatórios.
Exemplo 2:
Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 10% ao mês, para ser pago em 5
pagamentos mensais, com 2 meses de carência, calculado pelo Sistema Francês de Amortização
(SFA). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento.
Resolução algébrica
Dados: PV = R$ 10.000,00 n = 5 meses
c = 2 meses
i = 10% ao mês
a) cálculo do valor da prestação do financiamento
PMT = PV
PMT =10.000
PMT =10000
PMT =10000
PMT =10000
(1 + i)n . i
(1 + i)n - 1
(1 + 0,1)5 . 0,1
(1 + 0,1)5 - 1
(1,1)5 . 0,1
(1,1)5 - 1
1,610510 . 0,1
1,610510 - 1
0,1610551
0,610510
PMT = 10000[0,263797]
PMT = R$ 2.637,97
b) Cálculo dos juros compensatórios
J = PV . i . n
Juros para o 1o período: J1 = 10.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.000,00
PMT = ?
Matemática Financeira
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Juros para o 2o período: J2 = 10.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.000,00
Os demais serão exatamente iguais ao exemplo anterior.
Juros para o 3o período: J3 = 10.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.000,00
Juros para o 4o período: J4 = 8.362,03 . 0,1 . 1 = R$ 836,20
Juros para o 5o período: J5 = 6.560,26 . 0,1 . 1 = R$ 656,03
Juros para o 6o período: J6 = 4.578,32 . 0,1 . 1 = R$ 457,83
Juros para o 7o período: J7 = 2.398,18 . 0,1 . 1 = R$ 239,82
c) cálculo da parcela de amortização (PAn)
PAn = PMT - J
Parcela de amortização para o 1o período: PA =
Parcela de amortização para o 2o período: PA =
Parcela de amortização para o 3o período: PA =
Parcela de amortização para o 4o período: PA =
Parcela de amortização para o 5o período: PA =
Parcela de amortização para o 6o período: PA =
Parcela de amortização para o 7o período: PA =
0,00
0,00
2.637,97
2.637,97
2.637,97
2.637,97
2.637,97
0,00 = R$
0,00
0,00 = R$
0,00
- 1.000,00 = R$ 1.637,97
- 836,20 = R$ 1.801,77
- 656,03 = R$ 1.981,94
- 457,83 = R$ 2.180,14
- 239,82 = R$ 2.398,15
d) cálculo do saldo devedor (SD)
SDn = SD(anterior) - PAn
SD1 = 10.000,00
SD2 = 10.000,00
SD3 = 10.000,00
SD4 = 8.362,03
SD5 = 6.560,26
SD6 = 4.578,32
SD7 = 2.398,18
N
0
1
2
3
4
5
6
7
-
0,00
0,00
1.637,97
1.801,77
1.981,84
2.180,14
2.398,15
=
=
=
=
=
=
=
R$ 10.000,00
R$ 10.000,00
R$ 8.362,03
R$ 6.560,26
R$ 4.578,32
R$ 2.398,18
R$
0,03
Assim teremos nossa planilha de financiamento
Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT)
10.000,00
10.000,00
10.000,00
8.362,03
6.560,26
4.578,32
2.398,18
0,03

0,00
0,00
0,00
1.637,97
1.801,77
1.981,94
2.180,14
2.398,15
9.999,97
0,00
1.000,00
1.000,00
1.000,00
836,20
656,03
457,83
239,82
5.189,88
0,00
1.000,00
1.000,00
2.637,97
2.637,97
2.637,97
2.637,97
2.637,97
15.189,85
55
Matemática Financeira
- Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva
56
Resolução pela HP-12C
f
[REG]
10000 ENTER
10000 CHS
X
Y 10
10000
CHS
% 1000
PV
10 i
% 1000
PV
10 i
5 n
PMT
2637,97
5 n
PMT
2637,97
1 f
[AMORT] 1000,00 X
Y 1637,97
RCL PV – 8362,03
1 f
[AMORT]
836,20 X
Y 1801,77
RCL PV – 6560,26
1 f
[AMORT]
656,03 X
Y 1981,94
RCL PV – 4578,32
1 f
[AMORT]
457,83 X
Y 2180,14
RCL PV – 2398,18
1 f
[AMORT]
239,82 X
Y 2398,15
RCL PV
– 0,03
Sistema Francês (carência + saldo devedor corrigido)
Neste caso, não se paga juros compensatórios, na verdade os juros serão acrescidos ao saldo
devedor com base no regime de capitalização composta, e na seqüência, calcula-se a prestação com
base no conceito de uma série uniforme de pagamento postecipado.
Exemplo 3:
Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 10% ao mês, para ser pago em 5
pagamentos mensais, com 2 meses de carência; porém, não haverá o respectivo pagamento de juros
durante o período da carência, devendo, portanto, ser incorporado ao saldo devedor, calculado pelo
Sistema Francês de Amortização (SFA). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento.
Resolução algébrica
a) atualização do saldo devedor durante o período de carência
período 1:
SD = 10000 . 1,1 = R$ 11.000,00
Período 2:
SD = 11.000 . 1,1 = R$ 12.100,00
Dados: PV = R$ 12.100,00 n = 5 meses
b) cálculo do valor da prestação
PMT = PV
(1 + i)n . i
(1 + i)n - 1
c = 2 meses
i = 10% ao mês
PMT = ?
Matemática Financeira
PMT =12.100
PMT =12100
PMT =12100
PMT =12100
- Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva
(1 + 0,1)5 . 0,1
(1 + 0,1)5 - 1
(1,1)5 . 0,1
(1,1)5 - 1
1,610510 . 0,1
1,610510 - 1
0,1610551
0,610510
PMT = 12100[0,263797]
PMT = R$ 3.191,95
c) Cálculo dos juros compensatórios
J = PV . i . n
Juros para o 1o período: J1 = 0,00
Juros para o 2o período: J2 = 0,00
Os demais serão exatamente iguais ao exemplo anterior.
Juros para o 3o período: J3 = 12.100,00 . 0,1 . 1
Juros para o 4o período: J4 = 10.118,05 . 0,1 . 1
Juros para o 5o período: J5 = 7.937,91 . 0,1 . 1
Juros para o 6o período: J6 = 5.539,75 . 0,1 . 1
Juros para o 7o período: J7 = 2.901,77 . 0,1 . 1
= R$ 1.210,00
= R$ 1.011,81
= R$ 793,79
= R$ 553,98
= R$ 290,18
d) cálculo da parcela de amortização (PAn)
PAn = PMT - J
Parcela de amortização para o 1o período: PA =
Parcela de amortização para o 2o período: PA =
Parcela de amortização para o 3o período: PA =
Parcela de amortização para o 4o período: PA =
Parcela de amortização para o 5o período: PA =
Parcela de amortização para o 6o período: PA =
Parcela de amortização para o 7o período: PA =
0,00
0,00
3.191,95
3.191,95
3.191,95
3.191,95
3.191,95
0,00 = R$
0,00
0,00 = R$
0,00
- 1.210,00 = R$ 1.981,95
- 1.011,81 = R$ 2.180,14
- 793,79 = R$ 2.398,16
- 553,98 = R$ 2.637,97
- 290,18 = R$ 2.901,77
57
Matemática Financeira
- Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva
e) cálculo do saldo devedor (SD)
SDn = SD(anterior) - PAn
SD1 = 11.000,00
SD2 = 12.100,00
SD3 = 12.100,00
SD4 = 10.118,05
SD5 = 7.937,91
SD6 = 5.539,75
SD7 = 2.901,78
N
-
0,00
0,00
1.981,95
2.180,14
2.398,16
2.637,97
2.901,77
=
=
=
=
=
=
=
R$ 11.000,00
R$ 12.100,00
R$ 10.118.05
R$ 7.937,91
R$ 5.539,75
R$ 2.901,78
R$
0,01
Assim teremos nossa planilha de financiamento
Saldo Devedor (SDn)
Amortização (PAn)
Juros (J)
Prestação (PMT)
0
1
2
3
4
5
6
7
10.000,00
11.000,00
12.100,00
10.118,05
7.937,91
5.539,75
2.901,78
0,01

f
[REG]
10000 ENTER
CHS
PV
0,00
0,00
0,00
1.981,95
2.180,14
2.398,16
2.637,97
2.901,77
12.099,99
0,00
0,00
0,00
1.210,00
1.011,81
793,79
553,98
290,18
3.859,76
Resolução pela HP-12C
1,1 X 1,1 X 12100
10 i
5 n
PMT
3.191,95
1 f
[AMORT]
1210,00 X
Y 1981,94 RCL PV – 10.118,05
1 f
[AMORT]
1011,80 X
Y 2180,14 RCL PV – 7937,90
1 f
[AMORT]
793,79 X
Y 2398.15 RCL PV – 5539,74
1 f
[AMORT]
553,97 X
Y 2637,97 RCL PV – 2901,77
1 f
[AMORT]
290,17 X
Y 2901,77 RCL PV
– 0,00
0,00
0,00
0,00
3.191,95
3.191,95
3.191,95
3.191,95
3.191,95
15.959,75
58
Matemática Financeira
- Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva
59
Exemplo 4:
Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 12% ao ano, para ser pago em 7
pagamentos mensais sem prazo de carência, calculado pelo Sistema Price de Amortização. Pede-se:
Elaborar a planilha de financiamento.
Resolução algébrica
Dados: PV = R$ 10.000,00 n = 7 meses
i = 12% ao ano (12/12 = 1% ao mês)
a) cálculo do valor da prestação
PMT = PV
PMT =10.000
PMT =10000
PMT =10000
PMT =10000
(1 + i)n . i
(1 + i)n - 1
(1 + 0,01)7 . 0,01
(1 + 0,01)7 - 1
(1,01)7 . 0,01
(1,01)7 - 1
1,072135 . 0,01
1,072135 - 1
0,010721
0,072135
PMT = 10000[0,148628]
PMT = R$ 1.486,28
b) Cálculo dos juros
J = PV . i . n
Juros para o 1o período: J1 = 10.000 . 0,01 = 100,00
c) cálculo da parcela de amortização (PAn)
PAn = PMT - J
PMT = ?
Matemática Financeira
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Parcela de amortização para o 1o período: PA = 1.486,28 - 100,00 = R$ 1.386,28
d) cálculo do saldo devedor (SD)
SDn = SD(anterior) - PAn
SD1 = 10.000,00 -
N
0
1
2
3
4
5
6
7
1.386,28 = R$ 8.613,72
Assim teremos nossa planilha de financiamento
Saldo Devedor (SDn)
Amortização (PAn)
Juros (J)
Prestação (PMT)
10.000,00
8.613,72
7.213,58
5.799,44
4.371,15
2.928,58
1.471,59
0,03

f
[REG]
10000 CHS PV
0,00
1.386,28
1.400,14
1.414,14
1.428,29
1.442,57
1.456,99
1.471,56
9.999,97
0,00
100,00
86,14
72,14
57,99
43,71
29,29
14,72
403,99
Resolução pela HP-12C
1 i
7 n
PMT
1.486,28
1 f
[AMORT]
100,00 X
Y 1386,28 RCL PV – 8.613,72
1 f
[AMORT]
86,14 X
Y 1400,14 RCL PV – 7213,58
1 f
[AMORT]
72,14 X
Y 1414,14 RCL PV – 5799,44
1 f
[AMORT]
57,99 X
Y 1428,29 RCL PV – 4371,15
1 f
[AMORT]
43,71 X
Y 1442,57 RCL PV – 2928,58
1 f
[AMORT]
29,29 X
Y 1456,99 RCL PV – 1471,59
1 f
[AMORT]
14,72 X
Y 1471,56 RCL PV
– 0,03
0,00
1.486,28
1.486,28
1.486,28
1.486,28
1.486,28
1.486,28
1.486,28
10.403,96
60
Matemática Financeira
EXERCÍCIOS
- Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva
61
(SFA- Tabela Price)
1) Um empréstimo de $ 200.000 será pago pela Tabela Price em quatro prestações mensais
postecipadas. A juros efetivos de 10% ao mês. Construir a planilha de amortização.
N
0
1
2
3
4
Saldo Devedor (SDn)
Amortização (PAn)
Juros (J)
Prestação (PMT)
------------------------
2) Para o exercício anterior, considerando agora um período de carência de 2 meses em que serão
pagos unicamente os juros devidos, construir a planilha de amortização.
n
Saldo Devedor (SDn)
Amortização (PAn)
Juros (J)
Prestação (PMT)
0
1
2
3
4
5
6
---------------------------
3) Para o exercício 01, considerando agora um período de carência de 2 meses em que os juros são
capitalizados e incorporados ao capital (principal), construir a planilha de amortização.
n
Saldo Devedor (SDn)
Amortização (PAn)
Juros (J)
Prestação (PMT)
0
1
2
3
4
5
6
---------------------------
4) Um empréstimo de $ 200.000 será pago em três prestações mensais iguais consecutivas.
Considerando uma taxa de juros nominal de 180% ao ano com capitalização mensal, construir a
tabela de amortização.
n
Saldo Devedor (SDn)
Amortização (PAn)
Juros (J)
Prestação (PMT)
0
1
2
3
------------------------
Matemática Financeira
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62
5) Montar a planilha de amortização de um empréstimo com as seguintes características: valor do
empréstimo de $ 1.000.000; reembolso pela Tabela Price em cinco pagamentos trimestrais com
carência de dois trimestres; juros nominais de 28% ao ano capitalizado trimestralmente; e os juros
serão capitalizados e incorporados ao capital durante o período de carência.
n
0
1
2
3
4
5
6
7
Saldo Devedor (SDn)
---------------------------
Amortização (PAn)
Juros (J)
Prestação (PMT)
Matemática Financeira
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63
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)
É um sistema onde a principal característica é a da Amortização Constante. Conhecido como
Método Hamburguês, sendo utilizado em financiamentos de DFH e Financiamentos de empresas
por parte de entidades governamentais, a amortização é igual ao valor do empréstimo dividido pelo
número de prestações.
- As prestações são uniformemente decrescentes, diminuindo sempre de um determinado
fator que é constante.
- O valor dos juros é decrescente .
- Os pagamentos são periódicos e sucessivos.
Exemplo 01:
Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 10% ao mês, para ser pago em 5
pagamentos mensais, sem prazo de carência, calculado pelo Sistema de Amortização Constante
(SAC). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento.
Resolução algébrica
Dados: PV = R$ 10.000,00
n = 5 meses
i = 10% ao mês
a) Cálculo da parcela de amortização(PAn)
PAn =
PV ou SD
n
PAn = 10.000 = R$ 2.000,00
5
b) Cálculo dos juros (J)
J = PV . i . n
Juros para o 1o período: J1 = 10.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.000,00
Juros para o 2o período: J2 = 8.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 800,00
Juros para o 3o período: J3 = 6.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 600,00
Juros para o 4o período: J4 = 4.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 400,00
Juros para o 5o período: J5 = 2.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 200,00
c) Cálculo do saldo devedor (SD)
SDn = SD(anterior) - PAn
SD1 = 10.000,00
SD2 = 8.000,00
SD3 = 6.000,00
SD4 = 4.000,00
SD5 = 2.000,00
-
2.000,00
2.000,00
2.000,00
2.000,00
2.000,00
=
=
=
=
=
R$ 8.000,00
R$ 6.000,00
R$ 4.000,00
R$ 2.000,00
R$
0,00
PMT = ?
Matemática Financeira
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64
d) Cálculo da prestação (PMTn)
PMTn = PAn + Jn
PMT1 = 2.000,00 + 1.000,00 = R$ 3.000,00
PMT2 = 2.000,00 + 800,00 = R$ 2.800,00
PMT3 = 2.000,00 +
PMT4 = 2.000,00 +
PMT5 = 2.000,00 +
n
0
1
2
3
4
5
600,00 = R$ 2.600,00
400,00 = R$ 2.400,00
200,00 = R$ 2.200,00
Assim teremos nossa planilha de financiamento
Saldo Devedor (SDn)
Amortização (PAn)
Juros (J)
Prestação (PMT)
10.000,00
8.000,00
6.000,00
4.000,00
2.000,00
0,00

0,00
2.000,00
2.000,00
2.000,00
2.000,00
2.000,00
10.000,00
0,00
1.000,00
800,00
600,00
400,00
200,00
3.000,00
0,00
3.000,00
2.800,00
2.600,00
2.400,00
2.200,00
13.000,00
E X E R C I C I O S ( SAC)
1) Emprestei de uma financiadora “X”, o valor de $ 32.000, para ser amortizado em 10 meses, à
taxa de juros 1,25% ao mês. Quanto pagarei ao mês?
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Saldo Devedor (SDn)
Amortização (PAn)
Juros (J)
Prestação (PMT)

2) Uma composição de dívida de $ 8.000.000, a ser paga em quatro prestações anuais, com taxa de
juros de 36% ao ano. Para elaborar a planilha de pagamentos sugerimos os seguintes
procedimentos:
a) calcular a amortização;
b) calcular a parcela de juros;
c) calcular o valor das prestações;
d) apurar o saldo devedor do período.
Matemática Financeira
n
Saldo Devedor (SDn)
Amortização (PAn)
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Juros (J)
65
Prestação (PMT)
0
1
2
3
4

3) Uma operação no valor de R$ 70.000,00 foi contratada para ser paga em 4 prestações anuais,
com taxa de juros de 17% ao ano. Então como ficará a planilha de pagamento?
n
Saldo Devedor (SDn)
Amortização (PAn)
Juros (J)
Prestação (PMT)
0
1
2
3
4

4) Emprestei de uma financiadora o valor de $ 25.000 à taxa de juros de 2% ao ano para ser
amortizada em 10 meses pelo SAC. Qual o valor da 3a prestação?
n
Saldo Devedor (SDn)
Amortização (PAn)
Juros (J)
Prestação (PMT)
0
1
2
3

5) Um cliente propôs pagar o saldo devedor de um empréstimo de R$ 120.000,00 em 4 parcelas,
mas sugeriu que as prestações fossem decrescentes. Assim o ideal seria pelo SAC. Qual o valor da
amortização?
R. R$ 30.000
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EXERCICIOS
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66
SUPLEMENTARES
PORCENTAGEM E RACIOCÍNIO LÓGICO
1) Se a empresa “W4W” vende três produtos: K, T e R. Supondo que ao longo de 4 meses os produtos apresentam o
item de custo de acordo com a distribuição a seguir:
Produto
Custo ( R$)
K
20.000,00
T
80.000,00
R
70.000,00
Pergunta-se: De quantos por cento foi a mais o custo do produto T em relação ao produto R ? (R. C)
a) 21,69%
b) 21,56%
c) 14,28%
d) 16,09%
e) 12,05%
2) Dada a distribuição de freqüência referente as taxa e aos valores dos produtos:
10|-------30
30|------50
50|------70
70|-------90
4%
2,5%
1,5%
2,5%
Supondo que em suas vendas a prazo, era cobrado de seus clientes uma taxa mensal conforme o valor da mercadoria
vendida. De acordo com a distribuição acima, qual a taxa média percentual que a “W4W” está cobrando ? (R. E)
a) 3,02% ao mês
b) 2,92% ao mês
c) 2,33% ao mês.
d) 1,77% ao mês
e) 2,63% ao mês
3) Um vendedor tem 3% de comissão nos negócios que faz. Qual o valor da sua comissão numa venda de R$
3.600,00? (R. R$ 108)
4) No departamento de contabilidade de uma empresa 26% dos funcionários são mulheres. Quantos funcionários
possui a empresa, se elas são em número de 182? (R. 700)
5) Uma pessoa devia R$ 20.000,00 e pagou R$ 7.400,00. Quantos por cento da dívida foram pagos? (R. R$ 37%)
6) Em São Paulo colhem-se 1.268.000,00 sacas de café. Se 25% desta produção destinam-se ao consumo interno, qual
a quantidade de sacas para este consumo? (R. 317.000sacas)
7) Em quanto por cento aumentou a população de uma cidade que era de 67.200 habitantes e agora é de 92.400
habitantes? (R. R$ 37,5%)
9 Em uma partida de futebol, um dos times obteve os seguintes resultados quanto aos chutes a gol:
- bolas chutadas fora:10;
- bolas defendidas pelo goleiro adversário:6;
- bolas na trave:2;
- gols:2.
a) Qual a percentagem dos gols em relação às bolas chutadas a gol? (R. 10%)
b) Qual a percentagem das bolas chutadas fora?(R. 50%)
c) Qual a percentagem das bolas defendidas pelo goleiro adversário?(R. 30%)
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67
JURO SIMPLES
1) Qual o capital aplicado por uma empresa que produziu R$ 300,00 a 20%a .t. durante 9 meses a juro simples?
(R. PV =R$ 500,00)
2) Calcular os juros simples produzidos por uma aplicação feita por uma empresa de R$ 36.000,00 à taxa de 15% aa . ,
durante 3 anos.
(R. J = R$ 16200,00)
3) Determine o tempo em que uma empresa aplicando o capital R$ 12.000,00 rendeu de juros R$ 240,00 à taxa de 0,2%
a m. (R. n = 10 meses)
4) Tomou-se emprestada a importância de R$ 1.200,00, pelo prazo de 2 anos, à taxa de 30% ao ano.Qual será o valor
do juro a ser pago pelo regime de capitalização simples? (R. R$ 720,00)
5) Aplicou-se a importância de R$ 3.000,00 pelo prazo de 3 meses, à taxa de 1,2% ao mês pelo sistema de
capitalização simples. Qual o valor do juro a receber? (R. R$ 108,00)
6) Calcule o juro a ser pago por um empréstimo de R$ 9.200,00 à taxa de 5% ao trimestre, durante 3 trimestre pelo
regime de capitalização simples.(R. R$ 1.380,00)
7) Um capital de R$ 56.800,00 foi empregado, à taxa de 0,75% ao mês, durante 2,5 meses. Calcule o juro produzido
pelo regime de capitalização simples. (R. R$ 1.065,00)
8) Um capital de R$ 2.400,00 é aplicado durante 10 meses, à taxa de 25% ao ano. Determine o juro obtido.
(R. R$ 500,00)
9) Calcule o juro correspondente a um capital de R$ 18.500,00 aplicado durante 2 anos, 4 meses e 10 dias, à taxa de
36% ao ano pelo regime de capitalização simples. (R. R$ 15.725,00)
10) Calcule o juro simples resultante de uma aplicação de R$ 32.500,00 à taxa de 18% ao ano, durante 3 meses.
(R. R$ 1.462,50)
11) Calcule o juro de um capital de R$ 5.000,00 em regime de juro simples, durante 2 anos e 4 meses, à taxa de 24%
ao ano. (R. R$ 2.800,00)
12) Um empréstimo de R$ 8.500,00 foi realizado em 20/07 e pago em 25/11 do mesmo ano. Sabendo que a taxa foi de
45% ao ano, qual o juro total a ser pago pelo regime de juro simples? (R. R$ 1.360,00)
13) Que quantia deve ser aplicada durante 3 meses, à taxa de 1,5% ao mês, para obtermos R$ 441,00 de juro?
(R. R$ 9.800,00)
14) Qual o valor principal que, aplicado a juro simples durante 1 ano e 6 meses, à taxa de 1,2% ao mês, rendeu R$
19.008,00? (R. R$ 88.000,00)
15)A que taxa foi empregado a juro simples o capital de R$ 12.000,00 que, no prazo de 2 anos, rendeu R$ 8.400,00 de
juro? (R. 35% aa)
16) Uma aplicação de R$ 8.000,00 pelo prazo de 6 meses, obteve um rendimento de R$ 1.680,00. Qual a taxa anual
correspondente? (R. 42% aa)
17) Determine o período financeiro relativo à aplicação do capital de R$ 12.800,00 que, à taxa de 1% ao mês, rendeu
R$ 896,00 ao ser aplicado pelo regime de juro simples. (R. 7meses)
18) Durante quanto tempo devemos aplicar R$ 4.800,00 à taxa de 36% ao ano, para obtermos R$ 2.376,00 de juro
através da capitalização simples? (R. 1,375anos ou 1 ano 4 meses e 15 dias)
19) Um capital de R$ 10.500,00 rendeu R$ 1.225,00 de juro. Sabendo que a taxa de juro simples contratada foi de
42% ao ano e que a aplicação foi feita no dia 20/01/88 qual o tempo de vencimento? (R. 0,278ano ou 100dias)
20) Qual o capital a ser aplicado no período de 05/06 a 30/11 do mesmo ano, à taxa de 36% ao ano, para render um
juro de R$ 5.696,00 pelo regime simples de capitalização? (R. R$ 32.000,00)
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68
21) A que taxa de juro simples foi aplicado um capital de R$ 6.000,00 que, durante 6 meses, rendeu R$ 1.320,00 de
juro? (R. 3,66%ao mês)
22) Durante quanto tempo foram aplicados R$ 19.680,00 que à taxa de 33,6% ao ano, renderam R$ 9.368,00 de juro?
(R. 1ano e 5 meses)
23) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00 à taxa de 2,5% ao mês, durante 2 anos. (R. R$ 8.000,00)
24) Uma pessoa aplicou R$ 90.000,00 no mercado financeiro e, após 5 anos, recebeu o montante de R$ 180.000,00.
Qual foi a taxa anual cobrada pelo regime de capitalização simples? (R. 20%)
25) Um capital foi aplicado a juro simples à uma taxa de 45% ao ano. Efetuou-se o resgate no valor de R$ 107.800,00
após 3 anos. Qual o valor do capital inicial? (R. R$ 45.872,34)
26) Qual o prazo para que uma aplicação de R$ 200.000, 00 a 2,5% ao mês, renda um montante de R$ 240.000,00
pelo regime de juro simples? (R. 8 meses)
27) Por quanto tempo deve ser aplicado o capital de R$ 8.000,00 à taxa de juro simples de 16% ao ano, para obtermos
um montante de R$ 8.320,00 ? (R. 0,25ano ou 3 meses)
28) Uma pessoa consegue um empréstimo de R$ 86.400,00 e promete pagar ao credor, após 10 meses a quantia de R$
116.640,00. Determine a taxa de juro simples anual. (R. 42%aa)
29) Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 28.000,00 a juro simples durante 15 meses, à taxa de
3% ao mês ? (R. R$ 40.600,00)
30) Qual é o tempo em que um capital de R$ 96.480,00 a 25% ao ano, rende R$ 79.395,00 de juro, aplicado a juro
simples? (R. 3,3 ano)
TAXA EQUIVALENTE A JURO SIMPLES
1) Calcular a taxa anual equivalente a:
a) 6% ao mês;
R. 72%
b) 10% ao bimestre.
R. 60%
2) Calcular a taxa de juros semestral proporcional a:
a) 60% ao ano;
R. 30%
b) 9% ao trimestre. R. 18%
JURO EXATO e COMERCIAL 1) Uma divida no valor de R$ 15.000,00 foi quitada 74 dias antes do vencimento, com a a taxa de 36% ao ano.
Determine;
a) O juro exato;
R. R$ 1.094,79
b) O juro bancário. R. R$ 1.110,00
2) Calcular os juros de R$ 18.000,00 aplicados durante 5 meses ( de 30 dias) e 14 dias a taxa de juros simples de 32%
ao ano. Efetuar os cálculos para os anos comercial e exato. R. Jcom = R$ 2.624,00 e Jex = R$ 2.588,05
DESCONTO SIMPLES
1) Seja um título de valor nominal de $ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 3 meses antes de seu
vencimento. Sendo de 42% ao ano à taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular:
a) O Desconto Racional Simples; R. $ 380,10
b) O Valor descontado desta operação. R. $ 3.619,90
2) Calcular o valor atual de um conjunto de duplicatas descontadas num banco a 1,3% ao mês, conforme o borderô a
seguir:
DUPLICATAS
VALOR($)
PRAZO (VENCIMENTO)
C
4.500,00
12 dias
E
2.800,00
27 dias
B
1.900,00
51 dias
TOTAL.................
9.200,00
..................................
R. DBSc = $ 23,40
DBSe = $ 32,76
DBSb = $ 41,99
VA = $ 9.101,85
Matemática Financeira
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69
3) Seja um título de valor nominal de $ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 3 meses antes de seu
vencimento. Sendo de 42% ao ano a taxa de desconto adotada, pede-se calcular o desconto comercial e o valor
líquido desta operação. R. DBS = $ 420,00 e VL = $ 3.580,00
4) Um título no valor nominal de R$ 4.500,00 é descontado 90 dias antes de seu vencimento, à taxa de juros simples
de 3,4% ao mês. Qual é o desconto racional? (R. e)
a) R$ 500,79
b) R$ 200,43
c) R$509,00
d) R$308,00
e) R$ 416,51
5) Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 23.000,00, com vencimento para 120 dias, à taxa de
2,4%a m?(R. a)
a) R$ 2.208,00
b) R$ 2.356,00
c) R$ 5.167,00
d) R$ 3.000,00
e) R$ 1.500,00
6) Um título de R$ 6.000 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título,
determine:
a) o valor do desconto comercial simples; (R. R$ 189,00)
b) o valor atual (líquido) . (R. R$ 5.811,00)
7) Determine o valor do desconto racional simples e o valor atual de um título de R$ 50.000, disponível dentro de 40
dias, à taxa de 3% ao mês. (R. R$ 1.923,08 e 48.076,92)
8)Determine o desconto racional simples de uma promissória de R$ 3.000, à taxa de 40% ao ano, resgatada 75 dias
antes do vencimento. (R. R$ 230,77)
JURO COMPOSTO
1) Se uma pessoa deseja obter $ 27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá ela depositar hoje numa alternativa de
poupança que rende 1,7% de juros compostos ao mês? (R. $ 22.463,70)
2) Qual o valor de resgate de uma aplicação de $ 12.000,00 em um título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros
composta de 3,5% ao mês? (R. $ 15.801, 70)
3) Uma aplicação de $ 22.000,00 efetuada em certa data produz, à taxa composta de juros de 2,4% ao mês, um
montante de $ 26.596,40 em certa data futura. Calcular o prazo da operação. (R. 8 meses)
4) Determinar o juro pago de um empréstimo de $ 88.000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa composta de 4,5% ao mês.
(R. $ 21.664,02)
5) Calcule o montante de R$ 20.000 a juros compostos de 3,5% ao mês, durante 35 meses. (R. R$ 66.671,80)
6) Calcule o montante de R$ 5.000, a juros compostos de 2,25% ao mês, no fim de 4 meses. (R. R$ 5.465,41)
7) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.200, por um prazo de 8 meses, no regime de juro composto, à taxa de
1,5% ao mês. (R. R$ 9.237,23)
8) Calcule o montante do capital de R$ 75.000, colocado a juros compostos à taxa de 1,5% ao mês, no fim de 6
meses. (R. R$ 82.008,22)
9) Qual o montante produzido por R$ 12.000, em regime de juros compostos, à taxa de 2% ao mês durante 40 meses?
(R. R$ 26.496,47)
10) Calcule o capital inicial aplicado a juros compostos que, no prazo de 5 meses, a 3% ao mês, produziu o montante de
R$ 4.058,00. (R. R$ 3.500,46)
11) Sabendo que um capital inicial, em regime de juro composto, à taxa de 2,5% ao mês, durante 4 meses, rendeu
um montante de R$ 79.475, calcule esse capital. (R. R$ 72.000,42)
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70
12) Uma loja financia um bem de consumo durável, no valor de R$ 3.200, sem entrada, para pagamento em uma
única prestação de R$ 4.049 no final de 6 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja pelo regime de juro composto?
(R. 4%)
13) Calcule o montante produzido por R$ 2.000, aplicados em regime de juro composto a 5% ao mês, durante 2 meses.
(R. R$ 2.205)
14) Uma pessoa toma R$ 3.000 emprestado, a juro de 3% ao mês, pelo prazo de 10 meses, com capitalização composta.
Qual o montante a ser devolvido? (R. R$ 4.031,74)
15) Determine em que prazo um empréstimo de R$ 11.000 pode ser quitado em um único pagamento de R$ 22.125,
sabendo que a taxa contratada é de 15% ao semestre em regime de juro composto. (R. 5 semestre ou 2 anos e 6 meses)
16) Uma pessoa recebe uma proposta de investir, hoje uma quantia de R$ 12.000 para receber R$ 16.127 daqui a 10
meses. Qual a taxa de rentabilidade mensal do investimento proposto no regime de juro composto? (R. 3% )
17) O capital de R$ 8.700, colocado a juros compostos à taxa de 3,5% ao mês, elevou-se no fim de certo tempo a R$
11.456. Calcule esse tempo. (R. 8meses)
18) Qual será o montante de R$ 3.000, a juros compostos de 47% ao ano, em 4 anos e 3 meses? (R. R$ 15.424,81)
19) Empreguei um capital de R$ 25.000, em regime de juros compostos, à taxa de 35% ao ano, durante 2 anos e 6
meses. Quanto recebi? (R. R$ 52.938,84)
20) Qual o montante de um capital de R$ 5.000, no fim de 2 anos, com juros de 24% ao ano capitalizados
trimestralmente pelo regime de capitalização composta? (R. R$ 7.969,24)
21) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.000, à taxa de 3% ao mês, num prazo de 14 meses pelo regime de
juro composto. (R. R$ 12.101,71)
22) Determine o juro de uma aplicação de R$ 20.000, a 4,5% ao mês, capitalizado mensalmente durante 8 meses a juro
composto. (R. R$ 8.442,01)
23) Qual o montante produzido pelo capital de R$ 6.800, em regime de juro composto, aplicado durante 4 meses, à taxa
de 3,8% ao mês? (R. R$ 7.894,02)
24) Calcule o montante de R$ 8.500, a juros compostos de 2,5% ao mês, durante 40 meses. (R. R$ 22.823,04)
25) Determine o capital aplicado a juros compostos de 3,5% ao mês, sabendo que após 8 meses somou-se um montante
de R$ 19.752. (R. R$ 15.000)
26) Em que prazo uma aplicação de R$ 100.000 produzirá um montante de R$ 146.853, à taxa de 3% ao mês a juros
compostos? (R. 13 meses)
27)O capital de R$ 12.000, colocado a juros compostos capitalizados mensalmente durante um período de 8 meses,
elevou-se no final desse prazo a R$ 15.559. Calcule a taxa de juro. (R.3,29% ao mês)
28) O capital de R$ 18.000 foi aplicado a juros compostos por 2 anos a 20% ao ano, capitalizados trimestralmente.
Qual o montante? (R. R$ 26.594,19)
29) Durante quanto tempo R$ 25.000 produzem R$ 14.846 de juro, a 24% ao ano, capitalizado trimestralmente a juros
compostos? (R. 2,42anos)
DESCONTO COMPOSTO
1) Um título de valor nominal de $ 35.000,00 é negociado mediante uma operação de desconto bancário composto 3
meses antes de seu vencimento. A taxa de desconto adotada atinge 5% ao mês. Pede-se:
a) O valor atual; R. $ 30.008,12
b) O desconto. R. $ 4.991,88
2) Determinar o valor atual e desconto racional composto de um título de valor nominal $ 3.500,00 adotando uma
taxa de juros de composto de 2,8% ao mês, sendo descontado 4 meses antes do seu vencimento.R. VL = $ 3.133,97
e DRC = $ 366,03
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71
3) Determine o valor atual de um título de R$ 800, saldado 4 meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto
racional composto de 2% ao mês. (R. R$ 739,07)
4) Calcule o valor atual de um título de valor nominal de R$ 1.120, com vencimento para 2 anos e 6 meses, à taxa de
36% ao ano, capitalizado semestralmente pelo regime de desconto bancário composto. (R. R$ 415,22)
5) Qual o desconto bancário composto que um título de R$ 5.000 sofre ao ser descontado 3 meses antes do seu
vencimento, à taxa de 2,5% ao mês? (R. R$ 365,71)
6) Um título de valor nominal de R$ 15.000,00 foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento, tendo sido contratado
à taxa de 30% ao ano, capitalizados mensalmente. Qual foi o desconto comercial composto concedido? (R. R$
1.907,10)
7) Em uma operação de desconto comercial composto, o portador do título recebeu R$ 36.954 como valor líquido.
Sabendo que a antecipação foi de 4 meses e a taxa de juro mensal de 2%. Qual o valor nominal? (R. R$ 40.064,26)
8) Desejamos resgatar um título, cujo valor nominal é de 7.000, faltando ainda 3 meses para o seu vencimento. Calcule
o valor atual, sabendo que a taxa de desconto bancário composto é de 3,5% ao mês. (R. R$ 6.290,42)
9) Calcule o valor atual de um título de R$ 40.000, resgatado 1 ano e 4 meses antes do seu vencimento, sendo a taxa de
desconto comercial composto de 24% ao ano. (R. R$ 28.951,90.)
TAXA EQUIVALENTE A JURO COMPOSTO – TAXAS: REAL, APARENTE E DE INFLAÇÃO
1) Quais as taxas de juro composto mensal e trimestral equivalentes a 25% ao ano? (R. 1,87%am e 5,73% at)
2) Que taxa de inflação anual deve ocorrer para que um aplicador ganhe 9% ao ano de juros reais, caso a taxa aparente
seja de 18% ao ano? (R. I = 8,25% aa)
3) Qual a taxa real de um empréstimo contratado a uma taxa aparente de 12%, considerando uma inflação para o mesmo
período de 8% ? (R. R = 3,70%)
4) Qual a taxa aparente ganha se a Inflação for de 18% ao ano e o juro real for de 3,5% ao ano? (R. i = 22,13%)
SÉRIES UNIFORME DE PAGAMENTOS : POSTECIPADA e ANTECIPADA
1) Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada mês, durante 5 meses, a quantia de R$ 100,00. Calcule o
montante da renda, sabendo que essa financeira paga juros compostos de 2% ao mês, capitalizados mensalmente.
(R. FV = R$ 520,40)
2) Com o objetivo de formar um montante para compra de equipamentos, no final de cada mês uma empresa aplica $
2.000,00. Quanto a empresa terá acumulado no final de sua sexta aplicação anual, sabendo-se que a taxa de juro é de
12% ao ano? (R. FV = $ 16.230,37)
3) Uma empresa necessita contratar um empréstimo de liquidez para equilibrar seu caixa de curto prazo. Após analisar
seu fluxo de caixa, verificou que sua capacidade de pagamento é de seis parcelas mensais postecipadas de $ 3.000,00.
Sabendo-se que a taxa de juro para essa modalidade de empréstimo é de 2,59% ao mês, determinar a valor do capital
que a empresa pode tomar emprestado. (R. PV = $ 16.474,75)
4) Qual a importância constante a ser depositada em um banco, ao final de cada ano, à taxa de 6% ao ano, capitalizados
anualmente, de tal modo que, ao fazer o décimo depósito, forme um montante de R$ 400.000,00?
(R. PMT = R$ 30.347,18)
5) Calcule o depósito anual capaz de, em 6 anos, dar um montante de R$ 200.000,00 à taxa de 25% ao ano.
(R. PMT = R$ 17.763,89)
6) Quantas prestações mensais de R$ 500,00 devem ser colocadas, à taxa de 2% ao mês, a fim de se construir o
montante de R$ 6.706,00? (R. n = 12 prestações mensais)
7) Qual é o preço a vista de uma mercadoria cuja prestação é de $ 200, 00, sem entrada se a taxa é de 2,5% am. em 18
meses. (R. PV= $ 2.870,67)
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72
8) Calcular a prestação referente a uma mercadoria, cujo preço a vista é de $ 10.000,00 caso ocorra a seguinte hipótese
sobre a taxa e respectivo prazo: taxa de juros 2,5% ao mês e prazo de 12 meses postecipado? (R. PMT = $ 974,87)
9) Em quantas prestações mensais de $ 1.004,62 sem entrada será pago um título de um clube de campo, se seu valor a
vista for de $ 10.000,00 e a taxa contratada for de 3% am? (R. n = 12 meses)
10) Uma empresa negociou uma dívida de $ 10.000,00 junto a um banco, solicitando pagá-la em parcelas mensais
postecipadas de $ 1.800,00. Sabendo-se que a taxa de juro para essa modalidade de empréstimo é de 2,24% ao mês,
quantas parcelas serão necessárias para quitar o débito? (R. n = 6)
11) No início de cada mês uma empresa aplica $ 2.000,00 de sua sobra de caixa. Calcular o valor futuro formado ao
final da sua sexta e última aplicação, sabendo que a taxa de juro é de 1,5% ao mês. (R. FV = $ 12.645,98)
12) Quanto se deverá depositar mensalmente para que, ao fim de 5 anos, não se processando nenhuma retirada, se
tenha $ 50.000,00? Considerar que a instituição paga 2,5% ao mês sobre o saldo credor. (R. PMT = $ 367,67)
13) Uma pessoa tomou emprestada a quantia de $ 1.200,00 e vai devolvê-la em 15 prestações mensais iguais, a
primeira a vencer um mês após a data do empréstimo. Se os juros são compostos, à taxa de 10% ao mês, determinar o
valor de cada uma das prestações. (R. PMT = $ 157,76)
14) Um equipamento custa a vista $ 12.766,56, uma empresa que adquirir a prazo, com prestação mensal de $
1.000,00, sendo que a primeira será pago no ato da compra. Sabendo-se que a taxa de juro cobrada será de 2% ao mês,
qual a quantidade de parcelas? (R. n = 14,54 aprox. 15)
15) Um banco está negociando uma cessão de crédito, composta de cinco recebimentos mensais de $ 3.000,00 com o
primeiro vencendo na data da operação. Calcular o capital que o banco deve pagar ao cedente, sabendo-se que a taxa
de juro é de 1,4% ao mês. (R. PV = $ 14.591,47)
16) Se um poupador aplicar R$ 250,00 mensais a partir de hoje durante 3 anos, a uma taxa de 1,2% ao mês, quanto
terá acumulado no final do prazo determinado? (R. FV = R$ 11.308,66)
17) O preço a vista de um equipamento é de $ 16.000,00, pode ser pago em seis parcelas mensais iguais, com a
primeira vencendo na data da assinatura do contrato. Se a taxa de juro é de 2,5% ao mês, qual o valor das parcelas?
(R. PMT = $ 2.833,95)
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO: SFA/PRICE e SAC
1) Montar a planilha de amortização pelo SFA, de uma dívida de $ 1.200,00 a ser paga em 4 parcelas mensais
consecutivas, à taxa de 3% ao mês com 2 meses de carência.
N
0
1
2
3
4
5
6
SD
1200,00
1200,00
1200,00
PAN
------------
JUROS
--------36,00
36,00
PMT
-------36,00
36,00
TOTAL
2) Uma financeira empresta o valor de $15.000,00, com taxa de 16% ao ano, para ser pago em 5 pagamentos mensais
sem prazo de carência, calculado pelo Sistema Price de Amortização. Elabore a planilha de financiamento.
N
0
1
2
3
4
5
SD
15.000,00
TOTAL
PAN
-----
JUROS
------
PMT
-----
Matemática Financeira
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73
3) Um banco empresta a uma empresa R$ 180.000,00 pelo prazo de 5 anos, à taxa de 8% ao ano. Sabendo que
será adotado o SFA, construa a planilha de amortização.
N
0
1
2
3
4
5
SD
180.000,00
PAN
-----
JUROS
-----
PMT
-----
TOTAL
4) Uma financeira emprestou R$ 80.000,00, sem prazo de carência. Sendo a taxa de juro cobrada de 12% ao ano
devendo a liquidação ser feita em 8 anos, construa a planilha de amortização pelo SFA.
N
SD
PAN
JUROS
PMT
0
80.000,00
------------1
2
3
4
5
6
7
8
TOTAL
5) Uma financeira faz um empréstimo de R$ 1000.000,00, para ser pago pelo SAC em 4 prestações anuais, à taxa de
15% ao ano. Monte a planilha de amortização.
N
0
1
2
3
4
SD
100.000,00
PAN
-----
JUROS
-----
PMT
-----
TOTAL
6) Um empréstimo de R$ 200.000,00 será saldado em 8 prestações semestrais pelo SAC, tendo sido contratada a taxa
de juro de 10% ao semestre. Confeccione a planilha de amortização.
N
0
1
2
3
4
5
6
7
8
SD
200.000,00
PAN
-----
JUROS
-----
PMT
-----
TOTAL
7) Um financiamento de R$ 30.000,00 deverá ser amortizado em 6 meses com taxa de juros de
1,5% ao mês. Faça a planilha de amortização pedida abaixo, sabendo que o empréstimo foi no dia
01/06/2008 com pagamento da primeira parcela em 01/07/2008.
a) Pelo Sistema Francês de Amortização – Tabela Price.
b) Pelo Sistema de Amortização Constante.
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74
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ASSAF, Neto Alexandre – Matemática Financeira e suas Aplicações – 5a ed. – São Paulo:
Atlas, 2000.
ATHIAS, Washington Franco, José Maria Gomes – Matemática Financeira – 3a ed. – São
Paulo: Atlas,2002.
BRANCO, Anísio Costa Castelo – Matemática Financeira Aplicada: Método Algébrico, HP12C, Microsoft Excel – São Paulo: Pioneira Thomson Learning.
CRESPO, Antonio Arnot – Matemática Comercial e Financeira fácil – 13ª edição – São Paulo:
Saraiva, 2002.
FARO, Clovis de – Matemática Financeira – São Paulo : Atlas, 1982.
HAZZAN, Samuel , José Nicolau Pompeo– Matemática Financeira – 4a ed. – São Paulo: Atual,
1993.
SÁ, Ilydio Pereira de – Curso Básico de Matemática Comercial e Financeira- R. de Janeiro: Editora
Ciência Moderna Ltda., 2008.
SAMANEZ, Carlos Patrício – Matemática Financeira: Aplicações à Análise de Investimentos – 3a
ed. – São Paulo : Prentice Hall, 2002.
SILVA, Daniel Jorge e Valter dos Santos Fernandes – Matemática para o Ensino Médio- São
Paulo: IBEP, 2000
VIEIRA Sobrinho, José Dutra – Matemática Financeira – 7a ed. – São Paulo: Atlas, 2000.
Matemática Financeira
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MATEMÁTICA FINANCEIRA - GRADE: 1º SEMESTRE/ 2012
CURSO: CIÊNCIAS CONTÁBEIS - 3º Semestre
Carga Horária Semanal 04 – Carga Horária Semestral 68 horas
O aluno poderá ter no máximo 25% de faltas durante o semestre
EMENTA
Principais fundamentos. Conceitos básicos de Juros Simples. Estudo dos juros compostos, taxas equivalentes
das rendas, dos coeficientes, de financiamentos, dos sistemas de amortização e análise de investimento.
OBJETIVO
Ao final do curso, o aluno deverá estar apto a resolver problemas da vida prática: identificar os problemas e
resolvê-los com as ferramentas do cálculo (fórmulas), prático calculadora HP-12C , utilizando o raciocínio
matemático e aplicando os conceitos matemáticos na economia e em outras disciplinas, possibilitando maior
acuidade nos processos decisórios e na análise dos resultados dos diversos nichos de negócios financeiros no
âmbito das Ciências Contábeis.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Conteúdo
Apresentação do Conteúdo: Fundamentos básicos de Matemática Financeira, Conceito: Valor Presente
(Capital), Juro, Valor Futuro (Montante), Taxa;
Juros Simples: Taxas, Juro Exato e Juro Comercial;
Desconto Simples;
Juros Compostos:
Taxas (nominal, equivalente, efetiva, média, acumulada, real, aparente e de inflação);
Desconto Composto;
Seqüência de Pagamentos Uniforme: Capitalização e Amortização (antecipada e postecipada)
Empréstimos: Sistema Francês – Price, SAC,
METODOLOGIA DE ENSINO
A metodologia de ensino consiste em aulas expositivas, durante as quais são apresentados e discutidos os
conceitos, exercícios e suas aplicações principalmente na área econômica, busca-se a participação contínua do
corpo discente, visando dinamizar as aulas práticas e consolidar os conceitos, além de permitir avaliar o grau
da aprendizagem e absorção do discente em relação ao conteúdo ministrado.
SISTEMA DE AVALIAÇÃO:
São tres avaliações valendo de Zero à 10,0
As avaliações A1, A2, A3, prova escrita sem consulta e individual.
* Data aplicação das provas:
A1 – de 16 a 20.04
A2 – de 21 a 25.05
A3 – de 11 a 15.06
Será eliminada a menor nota entre A1 , A2 e A3
ATENÇÃO !!!!!!!!!
 Avaliação substutiva será aplicada mediante concessão do regime domiciliar deferido e
expedido pela Secretaria;
BIBLIOGRAFIA BÁSICA
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas aplicações. 11ª Ed. São Paulo: Editora Atlas, 2009.
CASTELO BRANCO, Anísio Costa. Matemática Financeira aplicada. São Paulo: Editora Thomson/Pioneira,
2008.
HAZAN, Samuel; POMPEU, José Nicolau. Matemática Financeira. 5ª Ed. São Paulo: Editora Saraiva, 2005.
Bibliografia Complementar:
BAUER, Udibert Reinoldo. Matemática Financeira Fundamental. São Paulo: Editora Atlas, 2003.
MATHIAS, Washington Franco; GOMES, Maria José. Matemática Financeira. 6ª Ed. São Paulo: Editora
Atlas, 2009.
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira. São Paulo: Editora Atlas, 2001.
75
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76
ANEXO
PEQUENO MANUAL HP 12C
Esta é uma calculadora HP-12C. A partir de agora você irá utilizá-la para realizar todos os seus
cálculos, então, vamos verificar qual é a função de cada tecla?
Linha financeira
Teclas comuns em
calculadoras científicas
Teclas especiais
Ligar
e
desligar
Acesso
função
amarela
Acesso
função
azul
Acesso
à
memória
entrada
I) Teclas Principais: entenda-se por teclas principais aquelas cujos signos estão nos
corpos das teclas ou flags, em branco.
1) ON: liga/desliga e sai do programa, mas mantêm a memória permanente.
2) Para mudar de ponto para virgula e vice-versa: segue
.
. junto com o ON e solte primeiro o ON e
depois o
3)f
a) pressionando essa tecla quando quiser acessar as funções escritas em dourado;
b) aumentar ou diminuir o número de casas decimais a trabalhar. Suponhamos que você quer
trabalhar com 3 casas decimais, pressione f e depois 3 e todos os números aparecerão no formato
00,000. À medida em que reduzimos o número de casas decimais, o valor que aparece no visor
será automaticamente arredondado, usando a seguinte convenção:
Se o número seguinte for:
 0 a 4, mantém-se
 5 a 9, arredonda-se
.
c) usar notação exponencial. Pressione f e
d) para retirar a notação exponencial. Pressione f e qualquer número.
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77
4) g: pressione esta tecla quando quiser usar as funções escritas em azul.
5) ENTER: colocar o número mostrado na tela (visor).
6) CHS: muda o sinal do número ou expoente atual.
7) EEX: depois de pressionar essa tecla, o próximo número ele considera como um expoente de
base 10.
8) CLX: limpa a tela (visor).
9) f / CLX: limpará todos os registros
10) f / FIN: limpa a memória dos financiadores
11) f / PRGM: limpa as memórias de programação.
12) f / REG: limpa toda a memória financeira e da função STO
13) f /  : limpa as funções estatísticas
14) + -   : são operações aritméticas.
15) STO : esta teclas seguida de um número armazena na memória o valor desejado para posterior
utilização. Vamos dizer que você esta fazendo uma conta e quer guardar o resultado, ao invés de
escrever num pedaço de papel você digita STO 2 e arquiva na memória o valor, só não pode
esquecer com que número armazenou determinado valor.
16) RCL: seguido por um número recupera da memória e apresenta na tela o valor armazenado
naquele registro.
17) %: usado nos cálculos de porcentagem. Só que ele também armazena o resultado em uma seção
da memória que vamos chamar de registro Y.
18)  %: Compara a diferença percentual entre o valor armazenado no registro Y e o valor
mostrado no visor.
19) i: armazena e calcula os juros.
20) n: armazena e calcula a quantidade de períodos.
21) PV: armazena e calcula o valor presente.
22) PMT: armazena e calcula os pagamentos (prestações).
23) FV: armazena e calcula o valor futuro.
24) g / BEG: “Begin” significa início do período, ou seja, quando a prestação é antecipada, ela é paga
no início do período.
25) g / END: quando as prestações forem postecipadas.
26) yx: eleva o número registrador y pelo registrador x.
27) 1/x: divide 1 pelo número mostrado no visor.
28) x< > y: troca o conteúdo dos registradores x e y entre si.
29) R  : baixa o conteúdo registrado anterior no visor.
30) SST: mostra o número da linha e o conteúdo do programa. Se utilizado em modo de
programação.
31) f / PRGM: mostra o número e o conteúdo de todas as linhas, uma por vez. No modo (RUN)
executa as instruções, mostra o resultado e move para a próxima linha.
32) g / CF0 :Significa fluxo de caixa do momento zero (fluxo de caixa inicial)
33) g / CFj : Fluxo de caixa nos períodos seguintes
34) g / Nj : Repete fluxos iguais e consecutivos
35) f / IRR :Taxa interna de retorno (ou TIR)
36) f / NPV: Valor presente líquido
II) Cálculos aritméticos simples:
Para realizar os cálculos, os números devem ser informados na ordem. Após a introdução do
primeiro número, pressione a tecla ENTER e, em seguida, o segundo número e a operação a ser
realizada (   x ou : ); a resposta aparecerá no visor.
Matemática Financeira
Exemplo: 15 + 27 = 42
Teremos: 15
ENTER
Resultado: 72
27
+
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72
III) Cálculos em cadeia:
Toda vez que o resultado de um cálculo estiver no visor e se desejar armazená-lo para efetuar outro
cálculo em seguida, não será necessário pressionar Enter , pois o resultado será armazenado
automaticamente. Isto ocorre porque a HP-12C possui quatro registradores, os quais são usados para
armazenamento de números durante os cálculos. Esses registradores (conhecidos por memórias de
pilha operacional) são designados por X, Y, Z e T.
Exemplos:
a) 1 + 2 + 3 + 4 = 10
Demonstração Gráfica dos Registradores da Pilha Operacional
X
1,
1,00
2,
2,00
3,
3,00
4,
7,00
9,00
10,00
Digitar 1
ENTER
Digitar 2
ENTER
Digitar 3
ENTER
Digitar 4
+
+
+
Y
Z
1,00
1,00
2,00
2,00
3,00
3,00
2,00
1,00
1,00
1,00
1,00
2,00
2,00
1,00
T
1,00
1,00


18
  3,00
24

15

3






b) 
Teclado
18 ENTER
Visor
18,00
24 ENTER
24,00
15 ENTER
15,00
3
+
18,00

6,00


3,00
Lembre-se:
A regra matemática diz que, primeiro, devemos resolver a multiplicação e a divisão, depois a soma
e a subtração, respeitando parênteses, colchetes e chaves.
Vamos exercitar?
Calcule:
a)
b)
( 7.500 + 230
) 2.220
(4.621 – 2.730)
(6.230 + 1.723)
7500 ENTER 230 + 2220 / 3,48
4621 ENTER 2730 - 6230 ENTER 1723 + / 0,24
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79
IV) Funções:
1) Memórias de Armazenamento:
a) STO: armazena na memória.
b) RCL: recupera da memória
- A HP-12C possui 20 memórias para armazenamento de valores, que vão de 0 a 9 e de  0 a 
9.
- Para armazenar um valor, deve-se digitá-lo e, em seguida, pressionar a tecla STO seguida do
número da memória desejada.
- Para recuperar a informação contida na memória é necessário pressionar a tecla RCL seguida do
número da memória.
Exemplo:
Armazenar o número 15 na memória 0.
Digitar: 15 STO 0 o número continua no visor, porém já está armazenado. Quando você for
utilizar o número armazenado basta pressionar RCL 0 , que ele retornará ao visor, podendo ser
utilizado para qualquer cálculo.
2) Como extrair % de um número?
10% de 1000 é?
1000 enter 10%
resposta:100
3) Como calcular a variação porcentual?
a) 500 enter 800  %
resposta: 60%
b) No pregão de ontem, as ações da Cia. X S.A. subiram de R$ 5,37 para R$ 5,90. Qual foi a variação
percentual?
5,37 ENTER 5,90 % = 9,87%
4) Como extrair o porcentual total ?
Vamos supor que você tenha:
200,00 de despesas gerais;
90,00 de despesas com alimentação;
41,00 de despesas com farmácia.
Digite 200 enter 90 + 41 + aparecerá o total de 331,00
200 tecle %T = 60,42% (despesas gerais)
CLX
90 tecle %T = 27,19% (despesas com alimentação)
CLX
41 tecle %T = 12,39% (despesas com farmácia)
5) Funções calendário
A)Temos dois modos de operação: um modo brasileiro e outro americano.
a) modo brasileiro: g 4(D.MY) aparecerá no visor direito D.MY(dia, mês e ano)
b) modo americano: g 5(M.DY) aparecerá no visor direito M.DY(mês, dia e ano)
B) Operando intervalos de datas  DYS: Quantos dias há entre 21/02/2000 e 27/12/2000?
21.012000 ENTER 27.122000 g  DYS
Resposta: 341 dias
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80
C) Função Data Futuro: permite você calcular o futuro das datas, com os dias da semana: Quando
vencerá uma duplicata comprada em 60 dias em 14/03/2006?
14.032006 ENTER 60 g DATE
Resposta: vencerá em 13/05/2006 (6 = sábado)
D) Função Data Passado: permite você calcular o passado das datas, com os dias da semana: No
exemplo anterior vimos que o vencimento foi no dia 13.05.2006. Se a compra fosse feita com
pagamento em 45 dias, qual a data da compra?
13.052006 ENTER 45 CHS g DATE
Resposta: a compra foi feita em 29.032006 (3 = quarta- feira)
6) Função Potência
Para calcular o resultado de um número elevado a um expoente qualquer, introduza a base, em seguida,
digite o expoente e pressione a tecla yx .
Exemplos:
a) 45 = 1.024
Na calculadora: 4 ENTER 5 yx  1.024
30
360
b) 25
= 1,31
Na calculadora: 25 ENTER 30 ENTER 360 
c) 3 –5 = 0,0041
Na calculadora: 3 ENTER 5 CHS yx = 0,0041
Yx
 1,31
7) Função Fluxo de Caixa
A capacidade da HP-12C no fluxo de caixa é de 20 memórias, isto significa dizer que somente
podemos calcular fluxos limitados a 20 valores informados nas funções CF0 e CFj , pois, quando temos
valores iguais na seqüência, podemos utilizar a função Nj que não conta como memória.
Outro detalhe importante é que, como nem sempre utilizamos todas as memórias disponíveis, é
necessário que antes de iniciar os cálculos sejam zeradas as memórias f CLX .
a) Valor Presente Líquido (NPV)
O valor presente líquido (VPL) é uma técnica de análise de fluxos de caixa que consiste em calcular o
valor presente de uma série de pagamentos (ou recebimentos) iguais ou diferentes, a uma taxa
conhecida.
V) Juros Simples e Juros Compostos
1) Conceitos:
a) Capital ou Principal (C ou PV): entende-se por capital, sob ponto de vista da matemática
financeira, como qualquer valor expresso em moeda e disponível em determinada época.
b) Juro (J): é a remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido como sendo o aluguel
pago pelo uso do dinheiro.
c) Prazo(n): é o intervalo de tempo existente entre cada aplicação.
d) Taxa de juro (i): é a razão entre o juro recebido ou pago no fim de um período de tempo e o
capital inicial emprestado.
e) Valor futuro (FV): é o valor total a ser pago ou recebido, é a soma do capital com o juro.
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81
f) Juro simples é aquele calculado unicamente sobre o capital inicial.
g) Juro composto: é aquele que em cada período financeiro, a partir do segundo é calculado sobre o
montante relativo ao período anterior. Assim, o juro produzido no fim de cada período é somado ao
capital que o produziu, passando os dois capital e juro a render no período seguinte.
2) Calculo de juro simples
a) Fórmula do juro simples: J= PV.i.n
b) Fórmula do montante a juro simples: FV= PV(1+i.n)
Exemplo: Marcelo fez um empréstimo no banco, no valor de R$ 1.000,00. Sabendo-se que a taxa de
juros simples é de 4,5% ao mês, quanto pagará de juros no final de 4 meses e qual o montante a ser
pago?
Dados:
PV= 1.000,00
n = 4 meses
i= 4,5% a.m. = 0,045
Resolução: FV= PV(1+i.n)
FV= 1000(1+0,045 . 4)
FV= 1.180,00
HP 12C:
limpe os financiadores
f
FIN
Digite
1000
CHS
PV
O prazo tem que estar em dias
4
ENTER
30 x n
A taxa deve estar em ano
4,5
ENTER
12 x i
O valor do juro aparecerá
f
INT
180,00
Aparecerá o valor do montante
+
1180,00
3) Juro bancário e juro exato
a) Juro bancário e comercial considera-se o ano com 360 dias e o mês com 30 dias
b) Juro exato considera-se a quantidade exata de dias , sendo assim o ano tem 365 dias e quando for
bissexto 366.
Exemplo: Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 120.000,00 a taxa de 30% ao ano, no
período de 20/05/2004 a 15/09/2004. Utilizando os processos de juros simples.
Dados:
PV= 120.000,00
i = 30% ao ano = 0,3
n= 20/05/2004 à 15/09/2004
HP12C:
calculo de período
20.052004
ENTER
15.092004
g  DYS
= 118 dias exatos
x><y
=115 dias comerciais
juro bancario
120.000
CHS
PV
30 i
118 n
f
INT
11.800
juro exato
f
INT
R
x><y
11.638,35
4) Método Hamburguês
É utilizado para calculo de juros em qualquer tipo de conta corrente sujeita a juros.
Exemplo: No extrato abaixo sua conta ficou negativa por um determinado tempo e a taxa de juros
cobrada foi de 50% ao ano, qual o total de juros a ser debitado em sua conta corrente?
Matemática Financeira
Saldo Negativo
1.250,00
530,00
dias
6
8
HP 12C
f
1250
REG
ENTER
530
RCL 6
CHS
50 i
f
ENTER
11740
PV
1n
INT
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6
8


+
=1
+
=2
82
16,30(juro a ser debitado)
5) Juros compostos
a) Fórmula do montante a juros compostos: FV= PV(1+i)n
Exemplo: Qual o valor futuro para uma aplicação de R$ 5.000,00 aplicado durante 5 meses, a taxa
de juros compostos de 12% ao mês?
Dados:
PV= 5000
n = 5 meses
i = 12% ao mês = 0,12
Resolução: FV= PV(1+i)n
FV= 5000(1+0,12)5
FV= 5000 (1,12)5
FV= 5000 . 1,762
FV= 8.811,71
HP 12C:
5000
CHS
PV
12 i
5n
FV
8.811,71
6) Equivalência de taxas a juros compostos
Duas taxas são equivalente quando são expressas em períodos distintos, mas produzem o mesmo
montante, quando aplicadas pelo mesmo período de tempo, para um mesmo capital inicial.
a) Formula: iq= {[1+it]Q/T- 1 }. 100
Onde: iq= taxa equivalente que queremos
Q= prazo no qual queremos a taxa equivalente
it= taxa que temos
T= prazo no qual temos a taxa dada
Exemplo: Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao mês.
Dados:
it= 2% = 0,02
Q= 12 meses
iq = ?
T= 1 mês
Resolução: iq= {[1+it]Q/T- 1 }. 100
iq={[1+0,02]12/1- 1}.100
iq={[1,02]12-1}.100
iq= {1,2682 – 1}.100
iq= 0,2682 .100
iq= 26,82% a. a.
HP 12C:
2
ENTER
100
1
+

12
ENTER
1
yx
=
1,26824

1
100 x
=
26,82
Matemática Financeira
Programação para este cálculo:
F
P/R
F
100
1

RCL
FV

100
x
F
- Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva
PRGM
+
yx
P/R
RCL
RCL
1
83
i
PV
-
Para que este programa seja utilizado, lembre-se:
 coloque a taxa que você tem no i;
 o tempo da taxa que você colocou na tecla i em FV;
 o tempo que você deseja ver a nova taxa em PV;
 agora é só pressionar R/S
7) Taxa Nominal e Efetiva a Juros compostos
A taxa nominal anual = a taxa efetiva mensal x 12
A taxa nominal mensal= a taxa efetiva diária x 30
Exemplo 1 : Desta forma, se temos uma taxa de 125% nominal ao ano com capitalização mensal, e
quisermos calcular a taxa efetiva ao ano, temos que calcular primeiro a taxa efetiva por período de
capitalização mensal.
Portanto: 125%a.a.  12=10,43%a.m.(taxa efetiva mensal)
Agora iremos calcular a taxa efetiva ao ano fazendo a equivalência de taxa.
HP 12C:
10,43 ENTER
100
1
+

x
12
ENTER
1
y
= 3,288

1
100 x
= 228,89%a.a
Exemplo 2 : Se quisermos a taxa efetiva de 58%a.a., com capitalização mensal e precisarmos
calcular a nominal ao ano.
Calcule primeiro a taxa efetiva mensal fazendo a equivalência de taxa.
HP 12C:
58
ENTER
100
1
+

x
1
ENTER
12
y
= 1,03885

1
100 x
= 3,885%a.m
Portanto: 3,885%a.m. x 12 = 46,63%a.a.
VI) Para conferir se a calculadora esta funcionando perfeitamente
1) Com a calculadora desligada, aperte as teclas ON e  juntas, soltando primeiro o ON aparecerá
alguns traços. Aperte todas as teclas da direita para esquerda e de cima para baixo, o enter deverá
ser apertado duas vezes. Quando chegar na ultima tecla (+) o visor apresentará o valor 12.
2) Com a calculadora desligada aperte as teclas ON e x juntas, soltando primeiro o ON a
calculadora começara piscar e todas as funções ficaram acesas no visor.