Resolução das atividades complementares
Matemática
M11 — Trigonometria no ciclo
p. 60
1 Um atleta desloca-se à velocidade constante de 7,85 m/s numa pista circular de raio 200 m.
Determine as medidas, em radianos e em graus, do arco que ele percorre no tempo de:
p rad e 22,5°
a) 10 segundos
b) 1 minuto 3p rad e 135°
4
8
Resolução:
V 5 7,85 m/s
r 5 200 m
a) t 5 10 s
V 5 s ⇒ s 5 V ? t ⇒ s 5 7,85 ? 10 ⇒ s 5 78,5 m
t
78,5
a 5 s ⇒ a 5
⇒ a 5 0,3925
r
200
___ 180° e p ___ 180°
p
0,3925 ___ x
x ___ 22,5°
x 5 p rad
8
x 5 22,5°
b) 1 min 5 60 s
s 5 7,85 ? 60 5 471 m
a 5 471 5 2,355
200
p ___ 180° e p ___ 180°
2,355 ___ x
x ___ 135°
x 5 135°
x 5 3p rad
4
2 (UEL-PR) A medida do menor ângulo determinado pelos ponteiros de um relógio que marca
10h 20min é:
a) 170°
b) 165°
c) 160°
d) 155°
e) 150°
Resolução:
11
12
1
2
10
x
�
3
9
8
4
7
5
6
a ⇒ medida do ângulo pedido
x ⇒ medida do ângulo descrito pelo ponteiro das horas, a partir
das 10h, em 20 minutos
60 min _____ 30°
20 min _____ x
x 5
30 ? 20
 x 5 10°
60
a 5 180° 2 x ⇒ a 5 170°
O menor ângulo mede 170°.
3 (Cesesp-PE) Tomando para p a aproximação 3,14, se um arco de circunferência mede 1,57 cm e o seu
diâmetro, 8 cm, então o ângulo correspondente a este arco mede:
a) 22° 59
c) 11° 259
b) 22° 309
d) 11° 159
e) 39° 259
Resolução:
1,57
a 5
. 0,3925 rad
4
3,14 rad _____ 180°
0,3925 rad _____ x
x 5 22° 309
4 (UFAM) A medida do menor ângulo central formado pelos ponteiros de um relógio que está
marcando 10h 30 min, em graus, é:
a) 150
c) 105
b) 120
d) 135
e) 115
Resolução:
O ângulo formado pelos ponteiros das horas e minutos, respectivamente no 10 e no 6, corresponde a
120°; porém, enquanto o ponteiro de minutos desloca-se até o 6, o ponteiro das horas desloca-se até
a metade do arco formado entre o 10 e o 11, ou seja, desloca-se 15°.
Portanto, às 10h 30min os ponteiros formam um ângulo de 135° (120° 1 15°).
M
5 O polígono regular da figura está inscrito na circunferência
N
trigonométrica. Determine, em graus e em radianos, as primeiras determinações positivas dos arcos cujas extremidades são vértices do polígono:
60°
Resolução:
Q
M 5 60°, p rad
3
_____
60°
x
_____
180°
p rad
P 5 60° 1 180° 5 240°
240° _____ x
180° _____ p rad
x 5 p rad
3
x 5
N 5 60° 1 90° 5 150°
150° _____
x
_____
180°
p rad
Q 5 240° 1 90° 5 330°
330° _____ x
180° _____ p rad
x 5 11p rad
6
4p
rad
3
P
y
M
N
60°
x 5 5p rad
6
x
Q
P
6 Represente, no ciclo trigonométrico, as extremidades dos arcos cujas medidas são dadas pela
expressão:
p 1 kp, k  Z
⁄ a) x 5
3
p
kp , k  Z
⁄ b) x 5 2 1
8
2
Resolução:
a)
c) x 5 90° 1 k ? 90°, k  Z
⁄
d) x 5 2120° 1 k ? 360°, k  Z
⁄
c)
 π
A 
 3
A (90°)
B (180°)
D (360°)
 4π 
B
 3 
C (270°)
b)
d)
 3π 
B
 8 
 7π 
C
 8 
 π
A � 
 8
 11π 
D
 8 
A (�120°)
p. 69
sen x
7 (Furb-SC) Analise o ciclo trigonométrico ao lado e determine o perímetro
do retângulo MNPQ, em unidades de comprimento.
A alternativa correta é:
a) 1 1 2 3 b) 2 (1 1
c) 1 1
3 )
d) 2 1
e) 1 1
3
Resolução:
Analisando o ciclo trigonométrico, temos:
sen 60° �
sen 60° �
3
2
3
2
sen x
N
cos 60° �
M
0
�1
P
0
�1
3
3
2
1
2
Q
1
2
1
2
Q
Seus lados medem 1  3 ; logo, seu perímetro será:
P 5 1 1 3 1 1 1 3 5 2 1 2 3 5 2 (1 1 3 ) .
3
2
3
2
3
2
3
2
1
2
1
2
60°
1
cos x
Portanto, o quadrilátero tem as
seguintes medidas:
60°
1
cos x
M
P
1
2
cos 60° �
N
8 (Fuvest-SP) Qual dos números é o maior? Justifique.
sen 830°
a) sen 830° ou sen 1 195°
b) cos (2535°) ou cos 190° cos 190°
Resolução:
a) 830° 5 2 ? 360° 1 110° e 1 195° 5 3 ? 360° 1 115°
sen 830° 5 sen 110° 
o
 ⇒ sen 110° . sen 115°, porque ambos pertencem ao 2 quadrante, em
sen 1195° 5 sen 115°
que à medida que o ângulo aumenta, o seno diminui, ou seja, a função seno é decrescente.
b) 2535° 5 (21) ? 360° 2 175 . 185°
cos (2535°) 5 cos 185°
o
 ⇒ cos 190° . cos 185°, porque os ângulos pertencem ao 3 quadrante,
cos 190°

em que a função cosseno é crescente.
9 (UFAL) O valor de sen 5 está compreendido entre:
2 e 0
c) 2
2
d) 21 e 2 2
2
1 e 1
2
b) 0 e 1 2
a)
e) 22 e 21
Resolução:
Seja a a medida, em graus, correspondente a 5 rad, então:
180° _____ p rad . 3,14 rad
a _____ 5 rad
a .
5 ? 180°
 a . 286°
3,14
Veja na figura:
270° , 286° , 315°
sen 270° , sen 286° , sen 315°
21 , sen 286° , 2 2
2
2
21 , sen 5 , 2
2
y
�
�
x
2
2
�1
10 Simplifique as expressões:
a) sen (9p 2 x) 1 sen (5p 2 x) 2 sen x
b) sen (x 2 900°) 1 cos (x 2 540°)
Resolução:
a) sen (9p 2 x) 1 sen (5p 2 x)
9p 5 4 ? 2p 1 p ⇒ sen (9p 2 x) 5 sen (p 2 x) 5 sen x
5p 5 2 ? 2p 1 p ⇒ sen (5p 2 x) 5 sen (p 2 x) 5 sen x
 sen (9p 2 x) 1 sen (5p 2 x) 5 sen x 1 sen x 5 2 sen x
2sen x 2 cos x
b) sen (x 2 900°) 1 cos (x 2 540°)
900° 5 2 ? 360° 1 180°
540° 5 1 ? 360° 1 180°
sen (x 2 900°) 1 cos (x 2 540°) 5 sen (x 2 180°) 1 cos (x 2 180°) 5 2sen x 2 cos x
11 (UFPB) Qual o maior valor da constante real k, para que a equação 3 sen x 1 13 5 4k possua
solução?
5
a) 2
7
2
11
d)
2
c)
b) 3
e) 4
Resolução:
3 sen x 1 13 5 4k ⇒ sen x 5
4k 2 13
3
Lembrando que 21  sen x  1, temos:
4k 2 13
21 
 1 ⇒ 2 3  4k 2 13  3 ⇒
3
⇒ 2 3 1 13  4k  3 1 13 ⇒ 10  4k  16 ⇒
⇒ 10  k  16 ⇒ 2,5  k  4
4
4
 O maior valor da constante k é 4.
12 Determine o valor de k para que exista o arco que satisfaça a igualdade sen x 5 5k 2 2 .
k 23
Resolução:
Devemos ter: 21  sen x  1
 5k 2 2  21
 k 2 3
5k 2 2
5k 2 2
Substituindo sen x por
, vem: 21 
1 ⇒ 
k 23
k 23
 5k 2 2  1
 k 2 3
De (I), vem:
(I)
(II)
5k 2 2
5k 2 2 1 k 2 3
6k 2 5
11  0 ⇒
 0 ⇒
 0
k 23
k 23
k 23
Considerando f(k) 5 6k 2 5 e g(k) 5 k 2 3, temos:
�
f(k)
5
6
�
�
�
�
�
g(k)
�
f(k)
g(k)
(I)
3
�
5
6
{
�
3
}
k � IR | k � 5 ou k � 3
6
De (II), vem:
5k 2 2
5k 2 2 2 k 1 3
4k 1 1
21 0 ⇒
 0 ⇒
 0
k 23
k 23
k 23
Considerando h(k) 5 4k 1 1 e g(k) 5 k 2 3, temos:
�
h(k)
�
�1
4
�
�
�
�
h(k)
g(k)
(II)
{
3
�
�1
4
(I)
�
1
4
5
6
(II)
g(k)
�
A solução comum a ambas será:
3
�
(I) � (II)
3
{
}
3
�1
4
5
6
� S � k � IR | � 1 � k � 5
4
6
k � IR | � 1 � k � 3
4
}
13 (UFPel-RS) Ao estudar certo fenômeno, um pesquisador determinou, experimentalmente, que o
mesmo pode ser descrito pela função real de variável real definida por: f(x) 5 2 1 sen x.
a) Determine o domínio e a imagem dessa função.
b) Mostre seu gráfico num sistema cartesiano ortogonal.
Resolução:
f(x) 5 2 1 sen x
a) 21  sen x  1
21 1 2  sen x 1 2  1 1 2
1  sen x 1 2  3
D 5 IR
Im 5 { x  IR | 1  x  3}
b)
y
3
2
1
π
2
π
3π
2
2π
x
14 (UFRJ) Determine os valores reais de k, de modo que a equação 2 2 3 cos x 5 k 2 4 admita solução.
S 5 {k  IR | 3  k  9}
Resolução:
2 2 3 cos x 5 k 2 4 ⇒ 2 3 cos x 5 k 2 6 ⇒ cos x 5
6 2 k
3
Devemos ter: 21  cos x  1.
(II)
Substituindo: 21 
(I)
6 2k
1
3
6 2k  3
k  3
6 2k
1
3
(I)
6 2 k
3
6 2 k  23
k  9
(I)
(II) 21 
3
9
(II)
(I) � (II)
3
9
S 5 {k  IR | 3  k  9}
15 (UFRGS) Se f(x) 5 a 1 b ? sen x tem como gráfico:
Então:
a) a 5 22 e b 5 1
b) a 5 21 e b 5 2
c) a 5 1 e b 5 21
3
2
1
2π
�1
Resolução:
f(x) 5 a 1 b sen x
Observando o gráfico, notamos que:
f(0) 5 1 [ a 1 b ? sen 0 5 1, o que nos dá a 5 1.
f p 5 21  a 1 b ? sen p 5 21, o que nos dá b 5 2 2.
2
2
()
d) a 5 1 e b 5 22
e) a 5 2 e b 5 21
16 (Unesp-SP) Do solo, você observa um amigo numa roda-gigante. A altura h em metros de seu amigo
p
em relação ao solo é dada pela expressão h(t) 5 11,5 1 10 sen  (t 2 26) , em que o tempo t é dado em
 12

segundos e a medida angular em radianos.
a) Determine a altura em que seu amigo estava quando a roda começou a girar (t 5 0). 6,5 m
b) Determine as alturas mínima e máxima que seu amigo alcança e o tempo gasto em uma volta completa
(período).
hmín 5 1,5 m; hmáx 5 21,5 m; p 5 24 s
Resolução:
a) Sendo t 5 0, temos:
 2 26 p 
h(0) 5 11,5 1 10 ? sen  p (0 2 26) 5 11,5 1 10 ? sen 
5
 12

 12 
 2p 
5 11,5 1 10 ? sen  22p  5 11,5 1 10 ? sen 
5 11,5 1 10 ? 21 5 6, 5 m
2
 12 
 6 
( )
b) As alturas máxima e mínima ocorrerão quando o seno for igual, respectivamente, a 1 e a 21.
Assim:
Altura máxima: 11,5 1 10 ? 1 5 21,5 m
Altura mínima: 11,5 1 10 ? (21) 5 1,5 m
2p
5 24 s.
O tempo gasto em uma volta (período) é dado por: p 5
p
12
p. 74
17 Determine m para que p seja raiz da equação tg2 x 2 m cos2 x 1 sen2 x 5 0. 15
3
Resolução:
tg 2 x 2 m cos 2 x 1 sen 2 x 5 0
tg 2 p 2 m cos 2 p 1 sen 2 p 5 0
3
3
3
()
2
2


3) 2 m 1 1  3  5 0

2
2 
3 2m? 1 1 3 50
4
4
12 2 m 1 3 5 0 ⇒ m 5 15
(
2
18 Simplifique:
a) tg (3p 2 x) 1 tg (25p 2 x) 22 tg x
b) tg (x 1 540°) 2 tg (7p 1 x) 0
Resolução:
a) tg (3p 2 x) 1 tg (25p 2 x)
3p 5 2p 1 p ⇒ tg (3p 2 x) 5 tg (p 2 x) 5 2tg x
25p 5 (22) ? 2p 2 p 5 (23) ? 2p 1 p ⇒ tg (25p 2 x) 5 tg (p 2 x) 5 2tg x
[ tg (3p 2 x) 1 tg (25p 2 x) 5 2tg x 2 tg x 5 22 tg x
b) tg (x 1 540°) 2 tg (7p 1 x)
540° 5 1 ? 360° 1 180°
 ⇒ tg (x 1 540°) 2 tg (7p 1 x) 5 tg (x 1 180°) 2 tg (p 1 x) 5
7p 5 3 ? 2p 1 p

5 tg x 2 tg x 5 0
19 Ache o valor de m, m  IR, que torne possível a condição tg x 5 10 2 m2, com x   p , p  .
4 2 
Resolução:
{m  IR | 23 < m < 3}
tg x 5 10 2 m2; x   p , p 
 4 2 
π
2
tg
π
4
x   p , p  ⇒ tg x  1
 4 2 
Portanto:
10 2 m2  1 ⇒ 2 3  m  3
 {m  IR | 2 3  m  3}
(
)
20 Qual o domínio e o período da função f definida por f(x) 5 4 tg x 2 p ?
3
5p
D 5 x  IR | x 
1 2k p, k  Z
⁄ ; p 5 2p
3
{
Resolução:
2
)
(
}
Sendo f(x) 5 4 tg x 2 p , a condição de existência é dada por:
2
3
x 2 p  p 1 kp ⇒ 3x 2 2p  3p 1 6kp ⇒ 3x  5p 1 6kp ⇒ x  5p 1 2kp
2
3
2
3
6
6
{
}
 D 5 x  IR | x  5p 1 2kp, k  Z
⁄
3
(Período) p 5 p 5 2p
1
2
(
)
21 Qual o período da função f definida por f(x) 5 4 tg x 2 p ? p 5 3p
Resolução:
(
f(x) 5 4 tg x 2 p
3
2
tg(x): p 5 p
|k |
f(x): p 5 p 5 3p
1
3
)
3
2
22 Determine o domínio das funções:
){
( )
(
p
b) y 5 tg 3x 1
6
a) y 5 tg (5x 2 45°) {x  IR | x  27° 1 36°k}
Resolução:
a) y 5 tg (5x 2 45°)
A condição de existência é:
5x 2 45°  90° 1 k ? 180°
5x  45° 1 90° 1 k ? 180°
x  27° 1 36° ? k
D 5 {x  IR | x  27° 1 k ? 36°}
x  IR | x  p 1 kp
9
3
p
b) y 5 tg 3x 1
6
3x 1 p  p 1 k ? p
6
2
3x  2 p 1 p 1 k ? p
6
2
k ? p
p
x 
1
9
3
D 5 x  IR | x  p 1 kp
9
3
{
23 Ache a, de modo que tg a 5 a 2 2 5 a 2 3 e a   p, 3p  .
2
2
2 

Resolução:
Esquema:
}
{
}
a  IR | a , 2 1 ou a . 3
2
tg
�
a   p, 3p  ⇒ tg a . 0

2 
Logo, a 2 2 5 a 2 3 . 0 ⇒ 2a 2 2 5a 2 3 . 0
2
2
π
3π
2
a 5 21
2
2
Raízes: 2a 2 5a 2 3 5 0
a 53
�
�
1
�
2
�
3
{
}
a  IR | a , 2 1 ou a . 3
2
p. 80
24 (UFAM) Qual das expressões a seguir é idêntica a sec2 x 2 sen2 x?
a) tg2 x 1 cos2 x
sen x
b)
sec x
c) 1 2 tg2 x
e) sec x 1 cossec x
d) 1 2 sen2 x
Resolução:
1
2 (1 2 cos 2 x) 5
cos 2 x
1 2 cos 2 x
5 12 2 1 1 cos 2 x 5
1 cos 2 x 5
2
cos x
cos x
2
sen x
5
1 cos 2 x 5 tg 2 x 1 cos 2 x
cos 2 x
sec 2 x 2 sen 2 x 5
}
25 Ache o domínio das funções:
){
(
}
p
⁄
x  IR | x  p 1 kp , k  Z
a) f(x) 5 sec 5x 1
6
15
5
b) y 5 cossec (2x 1 180°) {x  IR | x  290° 1 90°k, k  Z
⁄}
Resolução:
)
(
a) f(x) 5 sec 5x 1 p
6
Devemos ter:
5x 1 p  p 1 k ? p ⇒ 5x  p 2 p 1 kp ⇒ 5x  p 1 kp ⇒ x  p 1 kp
6
2
2
6
3
15
5
D 5 x  IR | x  p 1 kp , k  Z
⁄
15
5
{
}
b) y 5 cossec (2x 1 180°)
Devemos ter:
2x 1 180°  180°k ⇒ 2x  2180° 1 180°k ⇒ x  290° 1 90°k
⁄}
D 5 {x  IR | x  290° 1 k ? 90°, k  Z
26 Ache k, de modo que cotg a 5 k2 2 7k 1 10 e a  ]270°, 360°[. {k  IR | 2 , k , 5}
Resolução:
Esquema:
0
cotg
�
a  ]270°, 360°[ ⇒ cotg a , 0
Logo, k2 2 7k 1 10 , 0
360°
270°
2
Raízes: k 2 7k 1 10 5 0
�
k 55
�
2
k 52
�
{k  IR | 2 , k , 5}
5
()
27 (Cefet-PR) Se a expressão f(x) 5 3 ? cossec (2x) 1 cos (8x), então f p é igual a:
3
a) 2
b) 0
6
e) 21
c) 1
5
d)
2
Resolução:
f(x) 5 3 ? cossec (2x) 1 cos (8x)
f p 5 3 ? cossec 2 p 1 cos 8 p 5
6
6
6
2 3
5 3 ?
2 1 5 22 1 5 3
3
2
2
2
()
( )
( )
4p
3 ? cossec p 1 cos
5
3
3
10
28 (Fuvest-SP) Se tg x 5 3 , com p , x , 3p , determine o valor de y 5 cos x 2 sen x. 2 1
4
2
5
Resolução:
tg x 5 3 ; p , x , 3p
4
2
y 5 cos x 2 sen x
sen x
tg x 5
5 3 ⇒ sen x 5 3 cos x ⇒ sen 2 x 5 9 cos 2 x
cos x
4
4
16
sen 2 x 1 cos 2 x 5 1 ⇒ 9 cos 2 x 1 cos 2 x 5 1 ⇒ cos x 5 2 4
16
5
3
4
3
sen x 5
2
52
4
5
5
 y 5 cos x 2 sen x ⇒ y 5 2 4 1 3 5 2 1
5
5
5
( )
29 (UCSal-BA) Sendo sec x 5 2 e x um arco do 1o quadrante, então o valor do sen x é:
a)
b)
3
2
1
d)
2
3
c)
3
4
e) 1
Resolução:
sec x 5
1 5 2 ⇒ cos x 5 1
cos x
2
sen 2 x 5 1 2 cos 2 x ⇒ sen 2 x 5 1 2 1 5 3  sen x 5  3
4
4
2
Como x é do 1o_ quadrante, sen x 5 3 .
2
2 tg x
quando sen x 5 2 3 e p , x , 3 p é:
2
5
2
1 2 tg x
c) 2 12 e) 2 7
5
5
12
d)
5
30 (Uniube-MG) O valor da expressão
a) 2 24 7
24
b)
7
Resolução:
sen x 5 2 3 e p , x , 3 p
5
2
sen 2 x 1 cos 2 x 5 1 ⇒ cos 2 x 5 1 2 9 5 16  cos x 5  4
25
25
5
Como p , x , 3p , cos x 5 2 4 .
2
5
23
sen x
tg x 5
5 5 5 3
cos x
24
4
5
3
2? 3
2 tg x
24
4
5
5 2 5
2
2
7
7
1 2 tg x
12 3
16
4
()
11
31 (UFSM-RS) Sabendo-se que cotg x 5 1 e 0 , x , p , pode-se afirmar que o valor de sen x é:
2
a) 1
10
c)
5
5
b) 2
5
d)
2 5
5
2
e)
5
2
Resolução:
cos x
cotg x 5
5 1 ⇒ 2 cos x 5 sen x
sen x
2
2
2
4 cos x 5 sen x ⇒ 4 (1 2 sen 2 x) 5 sen 2 x
2 5
5 sen 2 x 5 4 ⇒ sen x 5 
5
2 5
Como 0 , x , p , sen x 5
.
2
5
()
cos 4x 1 2 tg x 2 sen 2x
2
, para x 5 p ? 3
32 (UFSC) Qual o valor numérico da expressão y 5
cotg x ? cossec x 1 sec 8x
2
Resolução:
cos 4x 1 2 tg x 2 sen 2x
2
y 5
x 5 p
cotg x ? cossec x 1 sec 8x
2
p
cos 2p 1 2 tg p 2 sen p
cos 4 p 1 2 tg 2 2 sen 2 p
11 2?120
4
2
2
2
y 5
5
5
53
0 ?111
cotg p ? cossec p 1 sec 8 p
cotg p ? cossec p 1 sec 4p
2
2
2
2
2
()
33 (PUC-SP) Sabendo que cossec x 5 5 e x é do primeiro quadrante, calcule o valor da expressão
25 sen2 x 2 9 tg2 x. 0
4
Resolução:
cossec x 5 5 
4
1 5 5 ⇒ sen x 5 4
 ⇒
sen
x
4
5
p

0 , x ,

2
2
cos x 5 1 2 sen 2 x ⇒ cos 2 x 5 1 2 16 5 9 ⇒ cos x 5 3
25
25
5
4
tg x 5 5 5 4 ⇒ tg 2 x 5 16
3
3
9
5
25 sen 2 x 2 9 tg 2 x 5 25 ? 16 2 9 ? 16 5 0
25
9
12
34 (ITA-SP) Sabendo que cos u 5 2 3 e tg u , 0, calcule o valor da expressão x 5
7
Resolução:
cos u 5 2 3 ; tg u , 0 ⇒ sen u . 0 e p , u , p
7
2
sen 2 u 5 1 2 cos 2 u ⇒ sen 2 u 5 1 2 9 2 40 ⇒ sen u 5
49
49
2 10
sen u
2 10
7
tg u 5
5
52
⇒ tg 2 u 5 40
cos u
3
3
9
2
7
 2 10 
2 2
3 

2 tg u
12 10
x 5
5
5
2
31
1 2 tg u
1 2 40
9
12 10
2 tg u
.
2
31
1 2 tg u
40 ⇒ sen u 5 2 100
7
7
35 (MACK-SP) Se x e y são as medidas dos ângulos agudos de um triângulo retângulo, tais que
cos2 x 5 3 cos2 y, então a diferença y 2 x é igual a:
a) 15°
c) 45°
b) 30°
d) 60°
e) 75°
Resolução:
Sendo x e y medidas dos ângulos agudos de um triângulo retângulo, temos: sen x 5 cos y.
Logo:
cos 2 x 5 3 ? cos 2 y ⇒ cos 2 x 5 3 ? sen 2 x ⇒ 1 2 sen 2 x 5 3 sen 2 x ⇒
⇒ 1 5 3 sen 2 x 1 sen 2 x ⇒ 4 sen 2 x 5 1 ⇒ sen 2 x 5 1 ⇒
4
1
⇒ sen x 5
⇔ x 5 30°
2
Sendo y 5 90° 2 x, sabemos que y 5 60°; portanto, a diferença y 2 x 5 60° 2 30° 5 30°.
(
)
36 (UEL-PR) Para qualquer número real x, sen x 2 p é igual a:
a) 2sen x
b) 2 sen x
c) (sen x) (cos x)
d) 2 cos x
Resolução:
(
2
e) 2cos x
)
sen x 2 p 5 sen x ? cos p 2 sen p ? cos x 5 sen x ? 0 2 1 ? cos x 5 2 cos x
2
2
2
p. 86
37 (UFAM) O cosseno do arco de medida 255° é igual a:
a)
6 2
4
3
b)
6 2
4
2
c)
2 2 2
4
d)
2 1
4
6
e)
2 2
4
6
6
Resolução:
cos 255° 5 cos (180° 1 75°) 5 cos 180° ? cos 75° 2 sen 180° ? sen 75° 5
5 (21) ? cos 75° 2 0 ? sen 75° 5 2cos 75° 5 2cos (45° 1 30°) 5
5 2(cos 45° ? cos 30° 2 sen 45° ? sen 30°) 5

5 2 2 ?
 2
3 2
2
2 ? 1  5 2 6 2 2  5 2 2 6 5
 4
2
2 
4 
4
4
13
2 2
4
6
38 (UFAL) Se sen a 5 3 , sen b 5 4 , p , a , p e p , b , p, qual é o valor de sen (a 1 b)?
5
Resolução:
5
2
2
21
sen a 5 3 , sen b 5 4 , p , a , p e p , b , p
5
5 2
2
Temos: cos 2 a 5 1 2 sen 2 a 5 16
25
4
2
 cos a 5 2 e cos b 5 1 2 sen 2 b 5 9  cos b 5 2 3
5
25
5
sen (a 1 b) 5 sen a ? cos b 1 sen b ? cos a
sen (a 1 b) 5 3 ? 2 3 1 4 ? 2 4 5 2 9 2 16 5 21
5
5
5
5
25
25
( )
( )
39 (UFRN) A expressão sen (a 1 b) ? sen (a 2 b) é equivalente a:
a) cos b 2 cos a
b) sen b 2 sen a
c) cos2 b 2 cos2 a
d) sen2 b 2 sen2 a
e) sen (a2 2 b2)
Resolução:
sen (a 1 b) ? sen (a 2 b) 5 (sen a cos b 1 sen b cos a) 2 (sen a cos b 2 sen b cos a) 5
5 sen2 a cos2 b 2 sen a sen b cos a cos b 1 sen a sen b cos a cos b 2 sen2 b cos2 a 5
5 sen2 a cos2 b 2 sen2 b cos2 a 5 (1 2 cos2 a) cos2 b 2 (1 2 cos2 b) cos2 a 5
5 cos2 b 2 cos2 a ? cos2 b 2 cos2 a 1 cos2 a ? cos2 b 5 cos2 b 2 cos2 a
C
40 (UFOP-MG) Num triângulo ABC, retângulo em B, os
(2 1 3 ) e 1, respectivamente.
catetos AB e BC medem
••
Seja D um ponto de AB tal que DB 5 BC. Se a e b são,
^
^
respectivamente, as medidas de BAC e BDC, calcule tg (a 1 b).
3
••
••
A
B
Resolução:
A
�
�
D
3
tg (a 1 b) 5
(2 2 3 ) 1 1
1 2 (2 2 3 ) ? 1
tg (a 1 b) 5
22 3
5
22
tg (a 1 b) 5
1
tg a 5
B
1
2�
C
5
1
(2 1
tg a 1 tg b
1 2 tg a ? tg b
(2 2
3 ) (2 2
?
)
3)
3
5
22 3
522
1
tg b 5 1 5 1
1
(3 2 3 ) (21 2
?
(21 1 3 ) (21 2
3
14
)
3)
3
5
23 2 3 3 1
22
3 13
3
41 (Unesp-SP) Na figura, ABCD é um retângulo, BD 5 6 cm, a medida
^
D
C
^
do ângulo ABD é a 5 30°, a medida do ângulo AED é b e x 5 BE.
Determine:
3x cm2
a) a área do triângulo BDE, em função de x;
A
E
2
b) o valor de x, quando b 5 75°. 6 ( 3 2 1) cm
Resolução:
a) Considerando a medida x em centímetros, a área do triângulo BDE é dada por:
B
^
S 5 1 ? BD ? BE ? sen (DBE) ⇒ S 5 1 ? 6 ? x ? sen 30° ⇒
2
2
1
1
3x
⇒ S 5
? 6 ? x ?
⇒ S 5
cm2
2
2
2
b) Nas condições propostas, temos a figura seguinte:
D
C
Aplicando a Lei dos Senos no triângulo BDE, temos:
45°
75°
A
6
x
5
sen 105°
sen 45°
6
105°
E
30°
B
Lembrando: sen 105° 5 sen (60° 1 45°) 5 sen 60° ? cos 45° 1 sen 45° cos 60° 5
6 1 2
5 3 ? 2 1 2 ? 1 5 6 1 2 5
2
2
2
2
4
4
4
 6 1 2
6 2
6
Daí:
5 x ⇒ x
5
⇒ x 6 1 2 5 12 2 ⇒

2


4
 6 1 2
2


2
4
⇒ x 5 6 ( 3 2 1) cm
(
)
42 (UFPE) Sabendo que x 2 y 5 p rad, calcule o valor da expressão (sen x 1 sen y)2 1 (cos x 1 cos y)2.
3
Resolução:
3
x 2 y 5 p rad
3
(sen x 1 sen y)2 1 (cos x 1 cos y)2 5
5 sen 2 x 1 2 sen x sen y 1 sen 2 y 1 cos 2 x 1 2 cos x cos y 1 cos 2 y 5
5 2 1 2 (sen x sen y 1 cos x cos y) 5 2 1 2 cos (x 2 y) 5 2 1 2 cos p 5 2 1 2 ? 1 5 3
3
2
43 (UFG) Se sen u 5
a) 11
12
3 , então cos 2u vale:
6
c) 3
2
b) 1
2
d)
e) 5
6
6 2 3
6
Resolução:
cos 2u 5 cos 2 u 2 sen 2 u
cos 2u 5 1 2 2 sen 2 u


cos 2u 5 1 2 2 ?  3 
 6 
cos 2u 5 5
6
2
15
44 (Fuvest-SP) Se tg u 5 2, então o valor de
a) 2 3
c) 1
3
b) 2 1
3
d) 2
3
cos 2u
é:
1 1 sen 2u
e) 3
4
Resolução:
cos 2 u 2 sen 2 u
cos 2u
cos u 2 sen u
cos 2 u
5
5
5
1 1 sen 2u
1 1 2 sen u cos u
1 1 2 sen u cos u
cos 2 u
1 2 tg 2 u
1 2 tg 2 u
(1 1 tg u)(1 2 tg u)
1 2 tg u
122
1
5
5
5
5
5
52
2
2
2
1 1 tg u
112
3
sec u 1 2 tg u
1 1 tg u 1 2 tg u
(1 1 tg u)
2
2
45 (UFU-MG) Se a é um número do intervalo 0, p  , tal que tg 2a 5 4 , determine cos a e sen a.
Resolução:
tg 2a 5 4 a 
3
sen 2a
5 4 ⇒
cos 2a
3

2
0, p 
 2 
3
2 5
cos a 5
e sen a 5
5
5
5
sen 2a 5 4 cos 2a
3
sen 2 2a 1 cos 2 2a 5 1 ⇒ 16 cos 2 2a 1 cos 2 2a 5 1
9
2
2
16 cos 2a 1 9 cos 2a 5 9 ⇒ cos 2 2a 5 9 ⇒ cos 2a 5 3
25
5
sen 2 2a 5 1 2 cos 2 2a 5 1 2 9 5 16  sen a 5 4
25
25
5
sen 2a 5 2 sen a ? cos a 5 4
(I)

5

cos 2a 5 cos 2 a 2 sen 2 a 5 3 (II)

5
3
2
2
(II) 1 2 sen a 2 sen a 5 ⇒ 1 2 2 sen 2 a 5 3
(I) 2 sen a ? cos a 5 4 ⇒ 2 ? 5 ? cos a 5 4
5
5
5
5
5
4
sen 2 a 5 2 ⇒ sen a 5 5
cos a 5 5
⇒ cos a 5 4 ? 5
10
5
5 2 5
2 5
5
2 5
2
cos a 5
⇒ cos a 5
5
5
p. 87
46 Se sen x 1 cos x 5 1 , calcule sen 2x. Sugestão: eleve os dois membros ao quadrado. 2 8
Resolução:
3
9
sen x 1 cos x 5 1
3
2 sen x cos x 1 1 5 1
9
8
2 sen x cos x 5 2
9
sen 2x 5 2 8
9
(sen x 1 cos x)2 5 1
9
sen 2 x 1 2 sen x cos x 1 cos 2 x 5 1
9
16
47 (FGV-SP) Reduza a expressão (cos 15° 1 sen 15°)2 à expressão mais simples possível. 32
Resolução:
sen 15° 5 sen (45° 2 30°) 5 sen 45° ? cos 30° 2 sen 30° ? cos 45°
6 2 2
sen 15° 5 2 ? 3 2 1 ? 2 5
2
2
2
2
4
cos 15° 5 cos (45° 2 30°) 5 cos 45° ? cos 30° 1 sen 45° ? sen 30°
6 1 2
cos 15° 5 2 ? 3 1 2 ? 1 5
2
2
2
2
4
6 2 2
1
4
2 6
sen 15° 1 cos 15° 5
5 6
4
2
sen 15° 1 cos 15° 5
6 1
4
2
2


(sen 15° 1 cos 15°) 5  6  5 3
 2 
2
2
48 (UFMA) Se cos (2) 5 5 e 0 ,  , p , então sen  é:
6
a)
3
2
b) 1
2
2
c)
2
2
d)
3
6
e) 11
36
Resolução:
cos 2 5 1 2 2 sen 2 
5 5 1 2 2 sen 2  ⇒ 2 sen 2  5 1 2 5 5 1
6
6
6
sen 2  5 1 , 0 ,  , p
12
2
sen  5
3
6
49 Se sen a 5 4 , com 0 , a , p , calcule o valor de sen a 1 cos a . 3 5
Resolução:
5
2
2
2
5
sen a 5 4 ⇒ cos a 5  1 2 16 5  9 5  3
5
25
25
5
p
3
0 , a ,
⇒ cos a 5
2
5
sen a 1 cos a 5
2
2
5
2 1
10
1 2 cos a
1
2
8 5 1 1
10
5
1 1 cos a
5
2
4 5 1 1
5
5
2 5
5
17
12 3
5 1
2
11 3
5 5
2
5 1 2 5 5 3 5
5
5
5
2
5 1
2
8
5 5
2
50 (UFES) Sabendo que sen u 5 5 e u  2o_ quadrante, calcule tg u . 5
13
Resolução:
sen u 5 5
13
2


25 5 144 ⇒ cos u 5 2 12
2
 ⇒ cos u 5 1 2
169
169
13
u  2o_ Q ⇒ u  1o_ Q 

2
( )
( )
1 2 2 12
13
1 1 2 12
13
tg u 5
2
5
25 5 5
1
51 (Unicamp-SP) De uma praia, um topógrafo
régua
observa uma pequena escarpa sobre a qual foi
2m
colocada, na vertical, uma régua de 2 m de
comprimento. Usando seu teodolito, o topógrafo
constatou que o ângulo formado entre a reta
60°
vertical que passa pelo teodolito e o segmento de
75°
reta que une o teodolito ao topo da régua é de 60°,
escarpa
enquanto o ângulo formado entre a mesma reta
1,6 m
vertical e o segmento que une o teodolito à base da
régua é de 75°.
Sabendo que o teodolito está a uma altura de 1,6 m do nível da base da escarpa, responda às questões a seguir:
a) Qual a distância horizontal entre a reta vertical que passa pelo teodolito e a régua sobre a escarpa?
a) ( 2 3 1 3) m
b) Qual a altura da escarpa? (1,6 1 3 ) m
Resolução:
Observe a figura:
A régua
60°
2m
B
60°
O 75°
75°
15°
C
escarpa
15°
1,6 m
D
Pela figura, observamos que OC é a distância, em metros, entre a reta vertical que passa pelo
teodolito do observador e a escarpa. No triângulo retângulo OCA, temos:
• sen 60° 5 OC 5
OA
3
2
^
• Sendo OB a bissetriz interna do ângulo AOC, podemos aplicar o Teorema da Bissetriz Interna:
OC 5 CB ⇒ 3 5 CB ⇒ CB 5 3 m
OA
AB
2
2
21 3
AC
3
• tg 30° 5
⇒
5
⇒ 3 ? OC 5 6 1 3 3 ⇒ OC 5 2 3 1 3 m
OC
3
OC
Concluindo: a distância entre a vertical e a régua é OC 5 2 3 1 3 m, e a altura da escarpa é
B 5 CD 1 BC 5 1,6 1 3 m.
18
p. 94
{
}
52 Resolva a equação 42sen x 5 1 . x  IR | x 5 p 1 2kp ou x 5 5p 1 2kp, k  Z⁄
2
6
Resolução:
42sen x 5 1
2
22 sen x
2
5 221
5π
22 sen x 5 21
6
1
sen x 5
2
p
sen
5 1 ⇒ x 5 p 1 2kp
6
2
6
ou sen 5p 5 1 ⇒ x 5 5p 1 2kp
6
2
6
S 5 x  IR | x 5 p 1 2kp ou x 5 5p 1 2kp, k  Z
⁄
6
6
{
6
sen
1
1
2
1 cos
�1
�1
}
53 Se 0 < x < p, qual o conjunto solução da equação 4(cos x 1 1) cos x 5 3?
Resolução:
0<x<p
4(cos x 1 1) cos x 5 3
4 cos2 x 1 4 cos x 2 3 5 0
cos x 5 y
4y2 1 4y 2 3 5 0
y 5
24  64
24  8
5
8
8
y9 5 2 3 , 21 (não serve)
2
ou
y 5 1
2
coss x 5 y ⇒ cos x 5 1 (0  x  p)
2
cos p 5 1 ⇒ x 5 p
3
2
3
S 5
π
6
π
3
sen
{}
π
p
3
0
19
1
2
0
cos
{}
p
3
2
cos x
54 (UFG) Determine todo x, no intervalo [0, 2p], que satisfaz a equação 16cos x 5 1.
4
Resolução:
{
p , p , 3p , 5 p
3 2 2
3
2
16cos x 5 1
4 cos x
2
(24)cos x 5 (22)cos x
2 cos x 2 1 5 0 ⇒ 2 cos x 5 1
cos x 5 1
2
p
cos
5 1 ou cos 5p 5 1
3
2
3
2
p
5
p
x 5
ou
x 5
3
3
p
p
3
p
5
p
S 5
,
,
,
3 2
2
3
2
24 cos x 5 22 cos x
4 cos 2 x 5 2 cos x
4 cos 2 x 2 2 cos x 5 0
2 cos x (2 cos x 2 1)) 5 0
2 cos x 5 0 ⇒ cos x 5 0
cos p 5 0 ou cos 3p 5 0
2
2
p
3
p
x 5
ou x 5
2
2
55 Sabendo que 2 tg 2 x 1
Resolução:
{
}
1
5 1 e que x   p , p  , calcule o valor de A, sendo A 5 sen x 1 cos x.
 2

cotg x
0
1
5 1; x   p , p  ⇒ tg x , 0
 2

cotg x
1
2 tg 2 x 1
5 1 ⇒ 2 tg 2 x 1 tg x 2 1 5 0 ⇒ tg x 5 21
cotg x
sen x
Portanto,
5 21 ⇒ sen x 5 2 cos x.
cos x
Assim, A 5 sen x 1 cos x 5 2 cos x 1 cos x 5 0.
2 tg 2 x 1
56 (Faap-SP) Resolver, no intervalo 0 < x , 2p, a equação 1 2 sen x 1 cos2 x 5 0.
Resolução:
0 < x < 2p
1 2 sen x 1 cos2 x 5 0 ⇒ 1 2 sen x 1 1 2 sen2 x 5 0
sen2 x 1 sen x 2 2 5 0
sen x 5 y
y2 1 y 2 2 5 0
 y9 5 2 2 (não serve)
y 5 1
 sen x 5 1 ⇒ x 5 p
2
S 5 p
2
{}
20
{}
p
2
}
57 (Unesp-SP) Seja a expressão: f(x) 5 sen (2x) 2 cotg (x), considerando o conjunto dos reais.
3
a) Encontre o valor de f(x) para x 5 5p . b) Resolva a equação f(x) 5 0.
2
6
S 5 x  IR | x 5 p 1 kp ou x 5 p 1 kp , k  Z
⁄
Resolução:
2
4
2
a) f(x) 5 sen (2x) 2 cotg (x)
2 3
cos 5p
2
3
2 3
3
6
2
f 5p 5 sen 2 ? 5p 2
5
2
5
1 3 5
6
6
2
1
2
2
sen 5p
6
2
cos x
b) f(x) 5 0 ⇒ sen (2x) 2 cotg (x) 5 0 ⇒ 2 ? sen x ? cos x 2
50 ⇒
sen x
2 sen 2 x cos x 2 cos x
cos x(2 sen 2 x 2 1)
⇒
50 ⇒
50 ⇒
sen x
sen x
cos x (2 sen 2 x 2 1) 5 0 (I)
⇒ 
sen x  0
De (I), vem: cos x 5 0 ⇒ x 5 p 1 kp
2
ou
2 sen 2 x 2 1 5 0 ⇒ sen 2 x 5 1 ⇒ sen x 5  2 ⇒ x 5 p 1 kp
2
2
4
2
Desse modo: S 5 x  IR | x 5 p 1 kp ou x 5 p 1 kp , k  Z
⁄
2
4
2
{
( )
)
(
}
( )
( )
{
}
58 (UFPR) Resolva a equação trigonométrica sen x 1 cos x 2 1 5 0, no intervalo fechado [0, 2p].
Resolução:
sen x 1 cos x 2 1 5 0; [0, 2p]
(sen x 1 cos x)2 5 (1)2 ⇒ sen2 x 1 2 sen x cos x 1 cos2 x 5 1 ⇒ 1 1 2 sen x cos x 5 1
2 sen x cos x 5 0 ⇒ sen x cos x 5 0
sen x 5 0
ou
cos x 5 0
x 5 0 ou x 5 p (não serve)
x 5 p ou x 5 3p (não serve)
ou x 5 2p
2
2
{
{
}
S 5 0, p , 2p
2
59 (UFRJ) A equação x2 2 2x cos u 1 sen2 u 5 0 possui raízes reais iguais.
p ou 3p ou 5p ou 7p
Determine u, 0 < u < 2p. u 5
4
4
4
4
Resolução:
Como a equação do 2o grau deve apresentar raízes iguais, devemos ter discriminante nulo, ou seja,
D 5 0.
Daí: b2 2 4ac 5 0 ⇒ (22 cos u)2 2 4 ? 1 ? sen2 u 5 0 ⇒
⇒ 4 cos2 u 2 4 ? sen2 u 5 0 ⇒ 4 cos2 u 2 4 ? (1 2 cos2 u) 5 0 ⇒
⇒ 4 cos 2 u 2 4 1 4 cos 2 u 5 0 ⇒ 8 cos 2 u 5 4 ⇒ cos 2 u 5 1 ⇒ cos u 5  2 .
2
2
Os valores de u que satisfazem a igualdade acima são: p ou 3p ou 5p ou 7p .
4
4
4
4
21
}
0, p , 2p
2
60 (PUC-PR) O número de raízes reais distintas da equação 4| cos x |4 2 17| cos x |2 1 4 5 0, com
0 < x < 2p é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 0
e) 1
Resolução:
Considerando a equação do enunciado e fazendo | cos x | 5 a, teremos uma equação biquadrada na
{
}
variável a: 4a4 2 17a2 1 4 5 0. A solução dessa equação é S 5 22, 2, 21 , 1 ; porém, como
2 2
2
1
a 5 | cos x |, os valores 22, 2 e
não são convenientes. Logo, |cos x| 5 1 ⇒ cos x 5 1 ou
2
2
2
cos x 5 21 .
2
Os valores que satisfazem essas igualdades são:
Obs.: O
p , 2p , 4 p , 5 p .
gabarit
o oficia
como r
3 3
3
3
esposta l da PUC apres
e
a altern
ativa a nta
.
61 (Unesp-SP) A temperatura, em grau Celsius (°C), de uma câmara frigorífica, durante um dia
completo, da 0 hora às 24 horas, é dada aproximadamente pela função:
2 horas: 0,35 °C;
f(t) 5 cos p t 2 cos p t , 0  t  24, com t em horas. Determine:
12
6
9 horas: 20,7 °C
a) a temperatura da câmara frigorífica às 2 horas e às 9 horas ( use as aproximações 2 5 1,4 e 3 5 1,7) ;
b) em quais horários do dia a temperatura atingiu 0 °C. 0 h, 8 h, 16 h, 24 h
( )
( )
Resolução:
(
)
( )
( ) ()
( ) ( )
a) Sendo f(t) 5 cos p ? t 2 cos p ? t ,
12
6
f(2) 5 cos p ? 2 2 cos p ? 2 5 cos
12
6
f(9) 5 cos p ? 9 2 cos p ? 9 5 cos
12
6
(
(
)
)
temos:
()
( )
p 2 cos p 5 3 2 1 5 0,85 2 0,5 5 0,35 °C
6
3
2
2
3p 2 cos 3p 5 2 2 2 0 5 2 0,7 °C
4
2
2
b) Para que a temperatura seja 0 °C, devemoos ter:
cos p ? t 2 cos p ? t 5 0 ⇒ cos p ? t 5 cos p ? t ⇒
12
6
12
6
 p ? t 5 p ? t 1 2kp ⇒ 2pt 5 pt 1 24kp ⇒ t 5 24k, k  Z
⁄
6
12

⇒ ou
⇒
p
2p
? t 1 2kp ⇒ 2pt 5 2 pt 1 24kp ⇒ t 5 8k, k  Z
⁄
 ? t 5
6
12
⇒ t 5 8k, k  Z
⁄
(
)
( )
)
(
( )
Sabendo que 0 < t < 24 ⇒ 0 < 8k < 24 ⇒ 0 < k < 3; logo, k pode ser 0, 1, 2 ou 3. Daí,
t 5 0 h, t 5 8 h, t 5 16 h ou t 5 24 h.
22
62 (UFRGS) O conjunto solução da equação sen x 1 cos x 5 0 é:
{
{
}
}
{
{
}
}
a) kp 2 p ; k  Z
⁄
4
c) 2kp 1 3p ; k  Z
⁄
4
b) kp 1 p ; k  Z
⁄
4
d) 2kp 2 3p ; k  Z
⁄
4
Resolução:
sen x 1 cos x 5 0
sen x 5 2 cos x
sen x 5 2 sen p 2 x ⇒ sen x 5 sen x 2 p
2
2
)
(
(
e)
{
}
kp ; k  Z
⁄
4
)
Considerando k  Z,
⁄ temos:
x 5 x 2 p 1 2kp ⇒ 0 5 2 p 1 2kp (absurdo), ou
2
2
p
x 5 p 2 x 2
1 2kp ⇒ 2x 5 3p 1 2kp
2
2
x 5 3p 1 kp 5 kp 2 p
4
4
(
)
63 (Fuvest-SP) Determine todos os valores de x pertencentes ao intervalo [0, 2p] que satisfazem a
p , p , 3p , 5p , 7p ,
equação cos 2 2x 5 1 2 sen 2 x.
6 4
4
6
6
2
5 p 7 p 11p
,
,
4
4
6
Lembre
Resolução:
te: sen 2
x1
2
cos 2x 5 cos x 5 1
cos 2 x 2
sen 2 x
1 2 2 sen 2 x
sen 2 x 1 cos 2 x 2 2 sen 2 x
cos 2 2x 5 1 2 sen 2 x ⇒ cos 2 2x 5
⇒ cos 2 2x 5
⇒
2
2
2
cos 2 x 2 sen 2 x
cos 2x
⇒ cos 2 2x 5
⇒ cos 2 2x 5
⇒
2
2
⇒ 2 cos 2 2x 2 cos 2x 5 0 ⇒ cos 2x (2 cos 2x 2 1) 5 0 ⇒
cos 2x 5 0 ⇒ 2x 5 p 1 kp ⇒

2

⇒ ou

p
cos 2x 5 1 ⇒ 2x 5  1 2kp

2
3
Para o intervalo [0, 2p], temos: S 5 p ,
4
{
⁄
x 5 p 1 kp , k  Z
4
2
⁄
⇒ x 5  p 1 kp, k  Z
6
3 p 5 p 7 p p 5 p 7 p 11p
,
,
,
,
,
,
4
4
4
6
6
6
6
23
}
64 Sendo 0 < x < p, determine a soma das raízes da equação log2 (cos 2x) 2 log2 (sen x) 5 0.
p ou 5 p
6
6
Resolução:
0  x  p
log 2 (cos 2x) 2 log 2 (sen x) 5 0 ⇒ log 2
cos 2x
50
sen x
cos 2x
5 1 ⇒ cos 2x 2 sen x 5 0
sen x
cos 2 x 2 sen 2 x 2 sen x 5 0 ⇒ 1 2 2 sen 2 x 2 sen x 5 0
2 2 sen 2 x 2 sen x 1 1 5 0
Temos: sen x 5 y
2 2y 2 2 y 1 1 5 0
y 5
y9 5 21
1 118
24
y 5 1
2
sen x 5 21 ⇒ x 5 3p (não serve) ou sen x 5 1 ⇒ x 5 p ou x 5 5p
2
2
6
6
⁄ é:
65 (ITA-SP) O conjunto solução de (tg2 x 2 1) (1 2 cotg2 x) 5 4, x  kp , k  Z,
a)
b)
c)
{
{
{
}
}
}
p 1 kp , k  Z
⁄
3
4
d)
p 1 kp , k  Z
⁄
4
4
e)
{
{
}
}
p 1 kp , k  Z
⁄
8
4
p 1 kp , k  Z
⁄
12
4
2
Lembre
te: cos (
2x) 5
sen (2x) cos 2 x 2 sen 2
x
5 2 sen
x ? cos x
p 1 kp , k  Z
⁄
6
4
Resolução:
 sen 2 x

cos 2 x 
(tg 2 x 2 1) ? (1 2 cotg 2 x) 5 4 ⇒ 
2
1
1
2


 54 ⇒
 cos 2 x

sen 2 x 
(sen2 x 2 cos2 x ) 5 1 ⇒
 sen 2 x 2 cos 2 x   sen 2 x 2 cos 2 x 
⇒ 1 ?
?
5
1
⇒
 

4 
cos 2 x
sen 2 x
4 ? sen 2 x ? cos 2 x
2
⇒
(2cos(2x))2
2
(2 ? sen x ? cos x)
51 ⇒
cos 2 (2x)
5 1 ⇒ cotg 2 (2x) 5 1 ⇒
2
sen (2x)
cotg(2x) 5 1 ⇒ 2x 5 p 1 kp

4

⇒ cotg(2x) 5 1 ⇒ ou

3p 1 kp
cotg(2x) 5 21 ⇒ 2x 5

4
p
k
p
Logo: x 5
1
, k  Z.
⁄
8
4
24
66 (UENF-RJ) Uma população P de animais varia, aproximadamente, segundo a equação abaixo:
(t 1 3) p
6
Considere que t é o tempo medido em meses e que 1o de janeiro corresponde a t 5 0.
Determine, no período de 1o de janeiro a 1o de dezembro de um mesmo ano, os meses nos quais a população
de animais atinge:
a) um total de 750; março e novembro
b) seu número mínimo. janeiro
P 5 800 2 100 sen
Resolução:
a) P 5 750
 (t 1 3)p 
 (t 1 3) p 
750 5 800 2 100 ? sen 
⇒ 2100 ? sen 

 5 750 2 800 ⇒
6
6



 (t 1 3) p 5 p 1 2kp ⇒ t 1 3 5 1 1 12k ⇒

6
6

⇒ t 5 12kk 2 2 ⇒ k 5 1 ⇒ t 5 10 (novembro)

p
 (t 1 3)p
1 ⇒ 
⇒ sen 
5
ou

6
2


 (t 1 3) p
5p
5
1 2kp ⇒ t 1 3 5 5 1 12k ⇒

6
6


⇒ t 5 12k 1 2 ⇒ k 5 0 ⇒ t 5 2 (março)
b) A população será mínima quando o seno for máximo. Logo:
(t 1 3) p
 (t 1 3) p 
sen 
51 ⇒
5 p 1 2kp ⇒

6
6
2


⇒ t 1 3 5 3 1 12k ⇒ t 5 12k
k 5 0 ⇒ t 5 0 (janeiro)
k 5 1 ⇒ t 5 12 (janeiro)
{
67 Resolva a inequação tg x . 3 , para 0  x  2p. S 5 x  IR | p , x , p ou 4 p , x , 3 p
Resolução:
Sabendo que tg p 5
3
π
2
3
0
4π
3
2
3
2
3 , temos:
π
3
π
3
Observando o gráfico, vemos que a solução da inequ
uação é:
4p
3p
p
p
tg x . 3 ⇒
, x ,
ou
, x ,
3
2
3
2
4p
3p
S 5 x  IR | p , x , p ou
, x ,
3
2
3
2
{
3π
2
25
}
}
{
68 Sendo x  [0, 2p[, resolva: 2 tg x 2 1 , 1. x  IR | 0 , x , p ou p , x , 5 p
Resolução:
2 tg x 2 1
, 1; x  [ 0, 2p[
tg x
2 tg x 2 1 2 tg x
, 0
tg x
tg x 2 1
, 0
tg x
y 21
y 5 tg x ⇒
, 0
y
f(y) 5 y 2 1 e g(y) 5 y
tg x
�
�
�
�
0
�
f( y )
g( y )
1
�
�
}
0 � y � 1 ⇒ 0 � tg x � 1
�
0
sen
4
�
f(y)
g(y)
4
1
tg
π
4
π
1
{
5p
S 5 x  IR | 0 , x , p ou p , x ,
4
4
0
cos
}
5π
4
69 (FEI-SP) Resolva a inequação sen x 1 sen2 x 2 cos2 x  0.
Resolução:
sen x 1 sen2 x 2 cos2 x  0
Mas cos2 x 5 1 2 sen2 x, portanto:
sen x 1 sen2 x 2 1 1 sen2 x  0
2 sen2 x 1 sen x 2 1  0
�
�
�1
�
1
2
x
{
x  IR | x 5
sen x  21
ou
sen x  1
2
}
3p
5p
1 2kp ou p 1 2kp  x 
1 2kp, k  Z
⁄
2
6
6
(I)
(II)
sen x
(I) sen x  21
x 5 3p 1 2kp
5π
π
2
6
6
1
(II) sen x  1
2
2
cos x
p 1 2kp  x  5p 1 2kp
6
6
Os valores de (I) não estão implícitos na resposta de (II). Daí:
S 5 x  IR | x 5 3 p 1 2kp ou p 1 2kp  x  5 p 1 2kp, k  Z
⁄
2
6
6
{
}
26
70 Resolva a inequação 2 cos2 x 1 3 cos x 1 1 . 0, sendo x  [0, 2p[.
{
}
2p
4p
Resolução:
x  IR | 0  x ,
ou
, x , 2p
2
3
3
2 cos x 1 3 cos x 1 1 . 0; x  [0, 2p[
Fazendo cos x 5 y, tem-se: 21  y  1 (I)
2y 2 1 3y 1 1 . 0 (II)
�
�
f(y) 5 2y 2 1 3y 2 1 ⇒ raízes: y9 5 2 1 ou y  5 21
y
1
�1
�
�
2
2
2π
3
1
�1
(I)
1
�
2
�1
(II)
sen
(I) � (II)
0
1
1
�
2
1
1
�
2
cos
2 1 , y  1 ⇒ 2 1 , cos x  1
2
2
4π
3
{
S 5 x  IR | 0  x ,
}
2p
4p
ou
, x , 2p
3
3
71 (Unicamp-SP) Ache os valores de x, com 0 < x < 360°, tais que 2 cos2 x 1 5 sen x 2 4  0.
Resolução:
2 cos2 x 1 5 sen x 2 4  0; 0 < x < 360°
2(1 2 sen2 x) 1 5 sen x 2 4  0
2 sen2 x 2 5 sen x 1 2 < 0
Fazendo sen x 5 y, tem-se: 21  y  1 (I)
2y 2 2 5y 1 2  0 (II)
f(y) 5 2y 2 2 5y 1 2 ⇒ raízes: y9 5 1 ou y  5 2
2
(I)
�
�
1
2
2
�
1
�1
1
2
(II)
(I) � (II)
{x  IR | 30° < x < 150°}
1
2
1  y  1 ⇒ 1  sen x  1
2
2
2
1
S 5 {x  IR | 30° < x < 150°}
27
y