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TEOREMA DE ARZELÁ-ASCOLI
Ezequiel Onedi Debortoli 1 , Milton Kist
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RESUMO: Talvez a essência de toda a matemática esteja na análise matemática. A análise
visa dar formulações rigorosas e precisas para certas idéias até então intuitivas do cálculo,
através de postulados e teoremas, comprovando sua veracidade com o desenvolvimento de demonstrações, não deixando assim margem para qualquer tipo de dúvida ou incerteza. Nesse
contexto, vários teoremas se destacam por possuirem várias aplicações importantes, e dentre
eles está o teorema de Arzelá-Ascoli, cujo escopo é investigar sob que condições uma sequência
limitada de funções admite uma subseqüência convergente. No caso, a condição necessária é
de que a seqüência seja eqüicontı́nua. O objetivo deste trabalho foi, através do conceitos da
análise matemática, obter a demonstração do referido teorema.
PALAVRAS CHAVE: análise matemática; sequências; convergência.
INTRODUÇÃO: A matemática é uma ciência que envolve fortemente o raciocı́nio lógico e
abstrato, que envolve uma incessante busca pela verdade, que vai se modificando com o passar do tempo, incorporando mais conceitos pertencentes a diversos ramos do conhecimento.
Neste emaranhado de saberes que permeiam a matemática, surgiu a Análise Matemática, que
chegou diante da necessidade de se promoverem formulações rigorosas a certas idéias até então
intuitivas. A análise procura investigar e generalizar regras e criar teoremas, comprovando sua
veracidade através de demonstrações, não dando margem para a dúvida ou a incerteza. Essas
formulações são precisas, irrefutáveis, não deixam margem para o erro ou para a dúvida. Na
Análise, alguns teoremas se destacam por sua importância na matemática e em outras áreas.
O teorema de Arzelá-Ascoli possui aplicações em diversas situações da análise real, análise funcional e em áreas afins, como por exemplo na teoria das equações diferenciais, e por isso é
amplamente usado na matemática pura e no desenvolvimento de teorias matemáticas. Além
disso, é muito amplo e interessante descrevê-lo pela riqueza de conceitos matemáticos que o
permeiam. Tal teorema tem o seguinte enunciado: “Seja K ⊂ R compacto. Toda sequência
equicontı́nua e simplesmente limitada de funções fn : K → R possui uma subsequência uniformemente convergente”(LIMA, 2000, p. 329). Para se obter tal demonstração, é necessário
o estudo de diversos conceitos matemáticos, tais como: sequências, limitação e convergência
de sequências, subsequências, séries numéricas, critérios de convergência de séries, funções
contı́nuas, funções contı́nuas em intervalos e em conjuntos compactos, convergência pontual
e convergência uniforme de funções, continuidade uniforme, até chegar-se a demonstração do
teorema acima proposto.
MATERIAL E MÉTODOS Para chegar-se ao resultado esperado nessa pesquisa, realizou-se um estudo de caráter explicativo, baseado na pesquisa bibliográfica-documental e no
aprendizado de conceitos da análise matemática. Se fez necessário o conhecimento de uma
grande quantidade de conceitos inerentes ao assunto. Então, foram feitas pesquisas na internet,
em livros e artigos de áreas afins à análise matemática, para o desenvolvimento desta pesquisa.
Primeiramente, ocorreu a apropriação de diversos conceitos relativos a análise matemática,
como séries e sequências numéricas, limitação e convergência de sequências, critérios de convergência de séries, noções topológicas na reta, compacidade de conjuntos, continuidade de
funções, sequências de séries e funções, convergência pontual e convergência uniforme de funções
e a equicontinuidade. Posteriormente, desenvolveu-se a demonstração do teorema de Arzelá1
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Acadêmico do Curso de Graduação em Matemática da UNOCHAPECÓ, [email protected]
Professor de Matemática da UNOCHAPECÓ, [email protected]
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Ascoli através dos diversos conceitos obtidos nesta pesquisa.
RESULTADOS E DISCUSSÕES: O inı́cio desta pesquisa se deu com o estudo de sequências
e subsequências, e algumas de suas propriedades e teoremas mais importantes. Todos os conceitos abortados são de fundamental importância para o decorrer da pesquisa, mas alguns
tópicos se destacam. Enfatizaremos aqui os resultados centrais, necessários para a demonstração
do teorema principal. No que se refere a sequências, temos que toda sequência convergente é
limitada, e que se uma sequência (an ) converge para um limite `, então toda subsequência (anj )
também converge para `. Desta forma, podemos perceber que: Se uma sequência (an ) possui
subsequências que convergem para limites diferentes, então a sequência não converge; Como
toda sequência convergente é limitada, segue que, se uma sequência não é limitada, também
não pode ser convergente; e que nem toda sequência limitada é convergente. No entanto o
Teorema de Bolzano-Weiertrass diz que toda sequência limitada (an ) possui ao menos uma
subsequência convergente, na parte de sequências este é um dos resultados mais importantes.
Sua demonstração se dá da seguinte forma: Seja(an ) uma sequência limitada, digamos, com
an ∈ [a, b] para todo n ∈ N. Seja assim o conjunto A = {t ∈ R; t ≤ an para uma infinidade
de ı́ndices n }. Como a ≤ an ≤ b para todo n ∈ N, temos que a ∈ A e que nenhum elemento
de A pode ser maior do que b. Assim, A é não-vazio e limitado superiormente. Desta forma,
existe c = sup A. Para todo ε > 0, existe t ∈ A com c − ε < t, logo há uma infinidade de
ı́ndices n tais que c − ε < an . Por outro lado, como c + ε ∈
/ A, existe apenas um número
finito de ı́ndices n com c + ε ≤ an . Concluı́mos então que, para uma infinidade de valores
de n, temos c − ε < an < c + ε. Segue-se então que c é o limite de uma subsequência de
(an ), o que demonstra o teorema. Assim, passando ao estudo de noções topológicas e conjuntos, percebemos que frequentemente são usados, nas definições e demonstrações, conjuntos
limitados e fechados. Esses conjuntos são de importância fundamental, por isso recebem uma
nomenclatura própria. São chamados de conjuntos compactos. Um conjunto compacto K ⊂ R
satisfaz as seguintes condições, que são são equivalentes: 1. K é limitado e fechado; 2. toda
cobertura aberta de K possui ao menos uma subcobertura finita; 3. todo subconjunto infinito
de K possui um ponto de acumulação que pertence a K; 4. toda sequência de pontos de K
possui uma subsequência convergindo para um ponto de K. Temos também outros tipos de
conjuntos, chamados enumeráveis, que satisfazem a seguinte condição: Um conjunto X se diz
enumerável quando é finito ou quando existe a bijeção f : N → X. Neste segundo caso, X
diz-se infinito enumerável e, pondo-se x1 = f (1), x2 = f (2), . . . , xn = f (n), . . . , tem-se que
X = {x1 , x2 , x3 , . . . , xn , . . . }. Cada bijeção f : N → X chama-se uma enumeração (dos elementos) de X. Partindo deste fato, tem-se outro teorema importante, que nos diz “Todo conjunto
enumerável X de números reais contém um subconjunto enumerável E, que é denso em X” Sua
demonstração se dá da seguinte forma: Dado arbitrariamente n ∈ N, pode-se exprimir a reta
[ p p+1
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como reunião enumerável de intervalos de comprimento . Basta notar que R =
[ ,
).
n
n
n
p∈Z
p p+1
Para cada n ∈ N e cada p ∈ Z, escolhamos um ponto xpn ∈ X ∩ [ ,
) se esta intersecção
n
n
for não vazia ( porque se for vazia xpn não existirá). O conjunto E dos pontos xpn assim obtidos
é enumerável. Afirmamos que E é denso em X. Com efeito, seja I um intervalo aberto con1
tendo algum ponto x ∈ X. Para n suficientemente grande, o comprimento de cada intervalo
n
p p+1
[ ,
) será menor do que a distância x ao extremo superior de I. Assim temos que existe
n
n
p p+1
p p+1
p ∈ Z tal que x ∈ [ ,
) ⊂ I. Logo x ∈ [ ,
) ∩ X = ∅. Assim, existe o ponto xpn ,
n
n
n
n
com xpn ∈ I ∩ E. Isto mostra que todo intervalo aberto I que contém um ponto x ∈ X contém
também um ponto xpn ∈ E. Logo E é denso em X. Avançando, partimos para o estudo de
funções, bem como diversas de suas propriedades. Estudamos a continuidade de funções, até
chegarmos a continuidade uniforme, cujo conceito é definido como “Dado ε > 0, existe δ > 0 tal
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que para x, y ∈ X, |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε”. As funções que satisfazem esta propriedade
denominam-se de uniformemente contı́nuas, ressaltando que o número positivo δ depende não
apenas do ε > 0 dado, mas também do ponto x no qual a continuidade de f é analisada. Nem
sempre, dado um ε > 0, pode-se encontrar um δ > 0 que sirva em todos os pontos x ∈ X
(isso mesmo f sendo contı́nua em todos os seus pontos). Vistos alguns resultados envolvendo
sequências numéricas, passaremos a considerar sequências de funções, cujos temos são funções.
Certo problemas importantes da Matemática visam a determinar funções satisfazendo certas
condições dadas. Uma das maneiras de abordar tais problemas consiste em
“...obter funções que satisfazem as condições apenas aproximadamente,
com um erro cada vez menor, e depois “passar ao limite”. É de se
esperar que a “função limite”seja a solução exata do problema. Isto nos
dá uma idéia sobre o interesse da noção de limite de uma sequência de
funções.”(LIMA, p. 287.)
Quando cada função da sequência é obtida somando-se à anterior uma função conhecida, temos
o importante caso particular de uma série de funções. Ao contrário das sequências de números
reais, para as quais existe uma única noção de limite, há várias maneiras diferentes de se definir
convergência de uma sequência de funções, como a convergência pontual e a convergência uniforme. Seja X um conjunto de números reais. De acordo com as definições gerais, uma sequência
de funções fn : X → R é uma correspondência que associa a cada número natural n uma função
fn , definida em X e tomando valores reais. Diz-se que uma sequência de funções fn : X → R converge pontualmente para a função f : X → R quando, para cada x ∈ X, a sequência de números
(f1 (x), f2 (x), f3 (x), . . . , fn (x), . . .) converge para o número f (x). Ou seja, para todo x ∈ X fixado, tem-se lim fn (x) = f (x). Em consequência disso, a convergência de (fn (x)) = (x/n)
n→∞
para zero não se dá de maneira “uniforme” para diferentes valores de x. Observando-se a representação gráfica das funções fn (x) = x/n, que são retas, temos que as retas estão tanto mais
próximas do eixo dos x quanto maior for o ı́ndice n. Mas não importa quão grande seja esse
ı́ndice, há sempre valores de x para os quais |fn (x)| supera qualquer número positivo, digamos
|fn (x)| > 1. Dito de outra maneira, os gráficos não se aproximam do eixo dos x de maneira
“uniforme em x”. Partindo deste fato vamos abordar o conceito de convergência uniforme, o
qual diz, uma sequência de funções fn : X → R converge uniformemente para uma função
f : X → R quando, para todo ε > 0 dado, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ |fn (x) − f (x)| < ε,
seja qual for x ∈ X. Geometricamente, isso significa que, dada uma função f : X → R chamaremos de raio ε( e amplitude 2ε) em torno do gráfico de f ao conjunto de pontos (x, y) do plano
tais que x ∈ X e |y −f (x)| < ε, isto é, f (x)−ε < y < f (x)+ε, sendo ε um número real positivo.
Assim como existe um critério para a convergência de números reais (de Cauchy), existe um
análogo para a convergência uniforme. Para isso, apresentamos primeiro uma definição: Uma
sequência de funções fn : X → R chama-se sequência de Cauchy quando, para qualquer ε > 0,
dado arbitrariamente, for possı́vel obter n0 ∈ N de forma que m, n > n0 ⇒ |fm (x) − fn (x)| < ε,
qualquer que seja x ∈ X. Temos ainda a equicontinuidade, onde temos que seja E um conjunto de funções f : X → R, todas com o mesmo domı́nio X ⊂ R. Dado x0 ∈ R, diremos
que o conjunto E é equicontı́nuo no ponto x0 quando, dado arbitrariamente ε > 0, existir
δ > 0 tal que se x ∈ X, com |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε, qualquer que seja f ∈ E.
O fato crucial a respeito desta definição é que, além de todas as funções f serem contı́nuas
no ponto x0 , o número δ escolhido a partir do ε dado é o mesmo para todas as funções f do
conjunto E. Surge assim outro teorema importante, “Seja K ⊂ R compacto. Todo conjunto
equicontı́nuo de funções f : K → R é uniformemente convergente”. A demonstração deste
teorema pode ser dada por: Seja E um conjunto equicontı́nuo de funções f : K → R. Se
E não fosse uniformemente equicontı́nuo, poderı́amos obter ε > 0 e, para cada n ∈ N, pon1
tos xn , yn ∈ K e uma função fn ∈ E, tais que |xn − yn | < , mas |fn (xn ) − fn (yn )| ≥ ε.
n
Passando a uma subsequência, se necessário, poderı́amos (por K ser compacto) supor que
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xn → x ∈ K e, como |yn − xn | < , terı́amos também que yn → x. Como E é equicontı́nuo
n
4
ε
. Mas
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para todo n suficientemente grande, terı́amos que |xn − x| < δ e |yn − x| < δ, de onde
ε
ε
+
= ε, o que é uma con|fn (xn ) − fn (yn )| ≤ |fn (xn ) − f (x)| + |fn (yn ) − f (x)| <
2
2
tradição. Agora mostraremos que, para conjuntos equicontı́nuos, a convergência pontual implica em convergência uniforme nas partes compactas. Outro teorema nos diz que “Se uma
sequência equicontı́nua de funções fn : X → R converge pontualmente em um subconjunto
denso D ⊂ K, então fn converge uniformemente em cada parte compacta K ⊂ X”. Para
demonstrá lo, partimos de que dado ε > 0, temos que mostrar que existe no ∈ N tal que
m, n > n0 ⇒ |fm (x) − fn (x)| < ε, ∀x ∈ K. Com efeito, temos que para todo d ∈ D existe
ε
nd ∈ N tal que m, n > nd ⇒ |fm (d) − fn (d)| < . Além disso, para todo y ∈ K, existe um inter3
ε
valo aberto Jy , de centro em y, que que x, z ∈ X ∩ Jy ⇒ |fn (x) − fn (z)| < , qualquer que seja
3
[
Jy podemos extrair uma subcobertura finita
n ∈ N. Como K é compacto, da cobertura K ⊂
no ponto x, existe δ > 0 tal que |z − x| < δ, z ∈ K, f ∈ E ⇒ |f (z) − f (x)| <
y
K ⊂ J1 ∪J2 ∪. . .∪Jp . Sendo D denso em X, em cada um dos intervalos Ji podemos escolher um
número di ∈ Ji ∩ D. Seja n0 = max{nd1 , . . . , ndp }. Então, se m, n > n0 e x ∈ K, deve existir i
tal que x ∈ Ji . Logo |fm (x) − fn (x)| ≤ |fm (x) − fm (di )| + |fm (di ) − fn (di )| + |fn (di ) − fn (x)| <
ε ε ε
+ + = ε. Portanto m, n > n0 , x ∈ K ⇒ |fm (x) − fn (x)| < ε. Assim, fn converge uniforme3 3 3
mente em K. Outro teorema importante é o de Cantor- Tychonov: ´´Seja X ⊂ R enumerável.
Toda sequência pontualmente limitada de funções fn : X → R possui uma subsequência pontualmente convergente”, que é demonstrado da seguinte forma: Seja X = {x1 , x2 , . . . }. A
sequência (fn (x1 ))n∈N1 , sendo limitada, possui uma subsequência convergente. Assim, podemos obter um subconjunto infinito N1 ⊂ N tal que existe o limite a1 = lim fn (x1 ). Também
n∈N1
é limitada a sequência (fn (x2 ))n∈N1 . Logo podemos achar um subconjunto infinito N2 ⊂ N1
tal que o limite a2 = lim fn (x2 ) existe. Prosseguindo analogamente, conseguimos, para cada
n∈N2
i ∈ N, um subconjunto infinito Ni ⊂ N, de forma que N1 ⊃ N2 ⊃ . . . ⊃ Ni ⊃ . . . e, para cada
i, existe o limite ai = lim fn (xi ). Definimos assim um subconjunto infinito N∗ ⊂ N tomando
n∈Ni
como i-nésimo elemento de N∗ o i-nésimo elemento de Ni . Desta maneira, para cada i ∈ N, a
sequência (fb (xi ))n∈N∗ é, a partir do seu i-nésimo elemento, uma subsequência de (fn (xi ))n∈Ni e,
portanto, converge. Isto prova que a subsequência (fn )n∈N∗ converge em cada ponto xi ∈ X, o
que demonstra o teorema. O foco principal deste trabalho foi obter a demonstração do Teorema
de Arzelá- Ascoli. Depois dos diversos conceitos, definições e teoremas abordados, temos agora
os subsı́dios suficientes (e necessários) para demonstrarmos o Teorema supracitado. Tal teorema
nos diz que ´´Seja K ⊂ R compacto. Toda sequência equicontı́nua e pontualmente limitada de
funções fn : K → R possui uma subsequência uniformemente convergente.” Sua demonstração,
de forma sucinta, pode ser feita através dos diversos teoremas que já foram anteriormente
demonstrados. Como K é um conjunto compacto, portanto limitado e fechado, pode-se extrair
dele um subconjunto enumerável D, que é denso em K. Além disso, tem-se, pelo Teorema de
Bolzano-Weiertrass, que este conjunto possui uma subsequência convergente. Partindo desse
fato, prova-se que a sequência é convergente, e usando o Teorema de Cantor-Tychonov, cujo
enunciado diz que sendo K um conjunto enumerável, então toda sequência pontualmente limitada de funções fn : K → R possui uma subsequência convergente. Após, usando o Teorema
que nos diz que se uma sequência equicontı́nua de funções convergente pontualmente em um
subconjunto D ⊂ K, então a sequência fn converge uniformente, demonstrando assim o Teorema de Arzelá-Ascoli.
CONCLUSÕES: O objeto de estudo central desta pesquisa foi abordar o Teorema de ArzeláAscoli. Para obter sua demonstração, foram necessários o estudo de diversos conceitos relacionados à análise matemática. Diante de todo esse processo de busca pelo conhecimento para
se obter a supracitada demonstração, percebeu-se que diversos teoremas não possuem uma
5
demonstração trivial. É necessário muito empenho, persistência, afinco, para se conseguir êxito
no detalhamento de suas comprovações. Isso deixa claro o quão importante é, no estudo da
análise matemática, a vontade de estudar por conta própria. Os conceitos e relações existentes
entre os diversos conteúdos possuem um correlacionamento lógico, mas que não são de fácil
assimilação. É necessário um constante ler/reler, fazer/refazer, e isso por muitas vezes, até se
conseguir compreender o que está sendo exposto por uma determinada idéia. Assim, fica destacado o quanto o estudo da análise matemática, apesar de ser árduo e que requer persistência,
pode desenvolver habilidades de raciocı́nio lógico e investigativo, tornando assim mais fácil a
compreensão do que muitas vezes nos é apresentado por idéias abstratas nas diversas áreas
do conhecimento. Diante de toda essa complexidade e da riqueza de conceitos existente neste
trabalho, ele serve como um auxı́lio/motivação, para os apaixonados pela matemática.
REFERÊNCIAS:
ÁVILA, Geraldo. Introdução à Análise Matemática. 2. ed. rev. São Paulo: Edgard
Blüncher, 1999.
KIST, Milton. Caderno de estudos. Florianópolis: UFSC, 1999. (Não publicado).
KUELKAMP, Nilo. Introdução à topologia geral. Florianópolis: UFSC, 1988.
LIMA, Elon Lages. Curso de Análise. Vol. 1.Rio de Janeiro: IMPA, 2000.
MELO, Severino T. Introdução à Análise Funcional São Paulo: USP, 2005.
NERI, Cassio. Curso de Análise Real. Rio de Janeiro: UFRJ, 1973.