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MEMÓRIA DE PRÁTICA E PRÁTICA DE MEMÓRIA
Maria Silvia Braga Rios1
GHEMAT – UNIBAN-SP
[email protected]
Kátia Cristina Camargo2
GHEMAT – UNIBAN-SP
[email protected]
Manhúcia Perelberg Liberman3
GHEMAT
[email protected]
Palavra chave – Geometria; GRUEMA; Movimento da Matemática Moderna; Memória;
Práticas Pedagógicas
Introdução
Esta investigação está inserida no Projeto Temático A Matemática Moderna nas
Escolas do Brasil e de Portugal: estudos históricos comparativos, desenvolvido pelo
Grupo de Pesquisa da História da Educação Matemática (GHEMAT)4; no subprojeto
Movimento da Matemática Moderna e a Geometria Escolar no Brasil. Tem por objetivo
investigar como os vários Grupos de Estudos, existentes na época, se apropriaram do
ideário do Movimento da Matemática Moderna - MMM em relação ao ensino de
geometria, nas décadas de 60 e 70, e quais destas idéias foram efetivamente
incorporadas às práticas pedagógicas.
O presente trabalho está organizado em três momentos. O primeiro momento
pretende investigar como a geometria é apresentada na coleção - Curso Moderno de
Matemática para o Ensino de 1º grau, livros didáticos do Curso Ginasial, que foram
produzidos pelo Grupo de Ensino de Matemática Atualizada – GRUEMA, de São Paulo
e Rio de Janeiro.
Em um segundo momento na coleção de livros didáticos produzidos pelo projeto
Processo entre a Exposição e a Descoberta (PROED), da Bahia5. Contudo ainda não foi
possível realizar essa etapa.
E finalmente, o destaque desse trabalho é o relato e análise das Memórias e das
Práticas de ensino da Professora Manhúcia Perelberg Liberman uma das autoras dos
livros do GRUEMA.
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Gênese do Movimento da Matemática Moderna
Durante toda a década de 50, tanto na Europa como nos Estados Unidos,
numerosas iniciativas e realizações tiveram a preocupação e a intenção de modificar os
currículos do ensino da Matemática “visando à atualização dos temas matemáticos
ensinados, bem como à introdução de novas reorganizações curriculares e de novos
métodos de ensino.” (MATOS (1988); MOON (1986); NACOME (1975) apud
GUIMARÃES, 2007, p.21).
Em 1959, a Organização Européia de Cooperação Econômica (OECE) realizou
pesquisa sobre a situação do ensino nas escolas secundárias dos países membros, para
alunos na faixa etária dos onze aos dezoito anos. No mesmo ano, os resultados desta
pesquisa foram discutidos no Cercle Culturel de Royaumont, em Asnières-sur-Oise,
França. Este Seminário de Royaumont, segundo alguns pesquisadores foi o início do
Movimento da Matemática Moderna pelo caráter reformador das propostas apresentadas
e pelo grande número de países representados.
As propostas de mudança eram justificadas porque se pretendia considerar a
disciplina Matemática sob dois pontos de vista: “o ensino geral” e “a formação dos
alunos muito dotados (brillament doués)” (OECE apud GUIMARÃES 2007, p. 29). O
ensino da Matemática deveria ser proposto de tal forma que alcançasse os seguintes
objetivos: a) formativo com a finalidade de desenvolver as capacidades mentais e
intelectuais; b) preparação dos alunos para prosseguir os estudos e c) instrumental com
a finalidade do aluno, ao final do curso, poder se inserir na vida profissional.
A proposta de reforma delineada em Royaumont teve seu detalhamento em
1960, em Dubrovnik, onde foi elaborado um Programa Moderno de Matemática para o
ensino secundário, no qual as influências das idéias estruturalistas da Matemática e da
Psicologia são evidentes. Na Matemática, a influência da concepção estruturalista
ocorreu por meio das idéias do grupo Bourbaki6. No que se refere à geometria,
destacamos a participação de Jean Dieudonné7, reputado membro e um dos líderes do
grupo Bourbaki. Na concepção dos Bourbakis destacavam-se três idéias: a unidade da
Matemática, o método axiomático e o conceito de estrutura matemática.
Jean Piaget que afirmava haver uma correspondência entre as estruturas
matemáticas, propostas pelo grupo Bourbaki e as estruturas operatórias da inteligência,
recomendava que, devido a esse fato, a psicologia deveria ser a base da didática da
Matemática: “se o edifício da Matemática assenta sobre estruturas que por sua vez
correspondem às estruturas da inteligência, é sobre a organização progressiva destas
estruturas operatórias que é necessário basear a didática da Matemática.” (PIAGET
apud GUIMARÃES 2007, p. 23)
Considerando as idéias do grupo Bourbaki e de Jean Piaget, a proposta da
Matemática Moderna apresentada em Royaumont teve ênfase tanto na mudança dos
conteúdos matemáticos a serem ensinados, quanto aos métodos de ensino. Neste
trabalho nos ateremos essencialmente às propostas específicas para o ensino da
geometria.
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Mudanças propostas para o conteúdo matemático
Na proposta da Matemática Moderna a Álgebra foi considerada o elemento
unificador da matemática, sendo supervalorizada. Também tiveram destaque a
orientação axiomática, a linguagem e a simbologia matemática, a adoção da Geometria
vetorial e a desvalorização da Geometria de Euclides. Jean Dieudonné fez a célebre
afirmação: “Se eu quisesse resumir numa frase todo o programa que tenho em mente,
fá-lo-ia com o slogan: Abaixo Euclides!” (DIEUDONNÉ apud GUIMARÃES, 2007,
p.35). Esta afirmação critica o ensino da Geometria que se praticava, isto é a Geometria
dos triângulos.
Dieudonné não pretendia desvalorizar o ensino da Geometria no secundário, pois
considerava o seu ensino importante para a formação e o desenvolvimento, nos alunos,
da intuição do espaço. O que ele pretendia era chamar a atenção para os métodos
utilizados para ensinar a Geometria de Euclides, pois as noções fundamentais como
ponto, reta, ângulo e outras, eram apresentadas apelando-se para a intuição e a utilização
da noção de triângulo era a base da geometria, enquanto Dieudonné considerava a noção
de vetor mais útil e fecunda:
As minhas críticas visam, portanto, não a finalidade, mas os métodos
do ensino da Geometria; afirmo, sobretudo que seria muito melhor
basear este ensino, não em noções e resultados artificiais que, na
maior parte das aplicações não têm nenhuma utilidade, mas em noções
fundamentais que dominam e esclarecem todas as questões onde a
Geometria intervém. No momento em que, por exemplo, a noção de
vector tem uma importância capital em toda a ciência moderna, a
noção de triângulo é artificial e não tem praticamente nenhuma
aplicação”. (OECE apud GUIMARÃES, 2007 p.35, itálicos no
original).
Se se introduz os métodos dedutivos no ensino da Álgebra, torna-se
possível que este conhecimento sirva o ensino da Geometria. A
igualdade de triângulos perde, por conseguinte, a sua importância e as
noções das isometrias (...) tornam-se primordiais”. (OECE apud
GUIMARÃES, 2007, p. 36).
As idéias de Dieudonné não foram aceitas por todos os participantes do
Seminário de Royaumont, o que gerou vários debates, sendo inclusive alguns em favor
da manutenção de alguns aspectos da Geometria euclidiana: por razões históricas, por
sua importância nas aplicações científicas, e na vida cotidiana, ou por considerarem que
muitos conceitos necessitam do suporte de uma representação geométrica.
Em Royaumont as orientações e propostas para o conteúdo e organização
curricular para o ensino da geometria tiveram como foco: a Geometria das
transformações em substituição à geometria euclidiana baseada nos triângulos; a
Geometria vetorial que corresponderia à algebrização da Geometria. Recomendava,
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ainda, que fossem ensinadas o mais cedo possível as relações, entre a Geometria e a
Álgebra, principalmente a Álgebra Linear e vetorial. A linguagem e as noções que
generalizam a Matemática, mesmo no ensino experimental, deveriam ter caráter
preponderante.
O programa elaborado em Dubrovnik em relação à Geometria distancia-se da
abordagem tradicional da Geometria euclidiana e propõe uma abordagem algébrica:
O programa proposto para o ciclo marca um abandono do curso
tradicional em Geometria (...). Hoje em dia, a Geometria engloba todos
os aspectos do espaço, tratados quer do ponto de vista do número
(Álgebra), quer como conjunto de pontos, de rectas, etc.. Os métodos de
síntese de Euclides serão conseqüentemente reforçados pelas técnicas
que têm em conta o poder da Álgebra.” (OECE apud GUIMARÃES,
2007, p. 37)
Para concluir foi proposto para os alunos do ensino secundário, de 11 a 15 anos,
o estudo das transformações geométricas com a introdução das noções de vetor, ângulo
e simetria, seguindo-se o estudo de outras transformações. Para os alunos de 16 a 18
anos prossegue o estudo mais aprofundado das transformações e grupos de
transformações e da Geometria afim, podendo assim passar para o estudo axiomático
até chegar aos espaços métrico euclidiano, afim e vetorial.
Mudanças propostas para a Metodologia
As orientações metodológicas para o ato de ensinar, isto é, para o papel do
professor, do aluno e as atividades de aprendizagem, também foram objeto de
discussões em Royaumont. Visou-se a valorização da compreensão em oposição à
mecanização e à repetição de exercícios. Buscou-se também a valorização da
aprendizagem por descoberta, da intuição e do rigor matemático. Nesse sentido
recomendou-se que o estudo da geometria devia-se iniciar com o estudo de objetos
concretos e trabalhos manipulativos como dobragem, corte e colagem;
...a introduzir o programa de Geometria do 1º ciclo, os autores
apresentam como um dos três princípios importantes que orientam esse
programa o seguinte enunciado: “um modelo material (dando lugar à
observação e à experiência) é a base a partir da qual se pode
desenvolver a abstração matemática. (OECE apud GUIMARÃES,
2007, p.40).
Segundo essas orientações o processo de aprendizagem a partir da observação e
da experiência permitiria a compreensão e a valorização do papel do aluno, e os
professores deveriam deixar seus alunos descobrirem por si só através da manipulação
de objetos concretos as noções da geometria, para isso as tarefas propostas não
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deveriam resumir-se a exercícios ou problemas de aplicação direta dos conhecimentos
adquiridos, mas em tarefas que:
...façam apelo ao interesse do aluno, ao seu gosto, ao seu desejo de
investigação e que desenvolvam as [suas] faculdades de análise e de
invenção..... ‘O ensino da Geometria dedutiva nas escolas secundárias
deve ser baseado numa experiência prévia satisfatória da Geometria
intuitiva ou física’.” (OECE apud GUIMARÃES, 2007, p. 41)
O rigor pretendido no ensino da geometria se deve ao fato do ensino da
Geometria de Euclides, não definir rigorosamente as noções básicas (ponto, reta,
ângulo...), bem como não ter um conjunto completo de axiomas, ainda que para os
alunos de 11 a 15 anos o estudo axiomático rigoroso não seria possível. “Todo
tratamento axiomático deverá permanecer implícito e não formal”, para o ensino da
geometria das transformações para alunos desta faixa etária. Quanto à Geometria
vetorial, o seu tratamento axiomático implícito implica que o professor “em nenhum
momento deve deixar de apresentar a Matemática sob uma forma axiomática.” (OECE
apud GUIMARÃES, 2007, p.42)
Livros didáticos do GRUEMA
O presente trabalho tem por objetivo investigar como a geometria é apresentada
na Coleção Curso Moderno de Matemática para o Ensino de 1º grau, livros didáticos do
Curso Ginasial, que foram produzidos, a partir de 1972, pelo Grupo de Ensino de
Matemática Atualizada – GRUEMA, formado pelas professoras Lucília Bechara
Sanchez8, Manhúcia P. Liberman, Anna Averbuch9, Franca Cohen Gotlieb10 , com
supervisão e revisão de L.H. Jacy Monteiro11.
A investigação desses livros e a atuação dessas professoras na época do
Movimento da Matemática Moderna fazem parte da História Cultural, que pode ser
entendida como o estudo dos processos com os quais se constrói um sentido, uma vez
que as representações podem ser pensadas como “esquemas intelectuais (...) que criam
as figuras graças às quais o presente pode adquirir sentido, o outro tornar-se inteligível e
o espaço ser decifrado.” (CHARTIER, 1990, p. 17)
A análise dos livros didáticos como fonte de pesquisa, permitirá verificarmos
quais conteúdos de geometria pretendia-se ensinar na época do MMM, pois segundo
Chervel:
o ensino dispensado pelos professores é grosso modo, idêntico, para a
mesma disciplina e para o mesmo nível. Todos os manuais ou quase
todos dizem então a mesma coisa, ou quase isso. Os conceitos
ensinados, a terminologia adotada, a coleção de rubricas e capítulos, a
organização do corpus de conhecimento, mesmo os exemplos utilizados
ou os tipos de exercícios praticados são idênticos, com variações
aproximadas”.(CHERVEL, 1990, p 203).
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Acreditamos que através das memórias e das práticas de ensino da Professora
Manhúcia P. Liberman relatadas em entrevista possibilitarão, pesquisar a cultura escolar
como objeto histórico, pois a professora Manhúcia poderá relatar, em tempos passados,
como foi sua rotina escolar, os exercícios aplicados, sua forma de conduzir a aula.
Segundo Júlia tem-se que:
a cultura escolar não pode ser estudada sem o exame preciso das
relações conflituosas ou pacíficas que ela mantém, a cada período de
sua história, com o conjunto das culturas que lhe são contemporâneas.
(JULIA, 2001, p.10).
Em São Paulo no começo da década de 70, Lucília Bechara Sanchez e Manhúcia
P. Liberman, ambas licenciadas em Matemática e engajadas na divulgação do
Movimento Matemática da Moderna, participavam do Grupo de Estudo do Ensino da
Matemática – GEEM. As duas já eram autoras consagradas de livros didáticos de 1ª a 4ª
série: Curso Moderno de Matemática para a Escola Elementar que segundo as autoras,
apresentava uma nova proposta metodológica atendendo às diferenças dos alunos.
A reforma do ensino protagonizada nesta época estabeleceu que a escola
fundamental passaria para oito anos, esta reforma levou as autoras a unirem-se a Anna
Averbuch e Franca Cohen Gotlieb, do Rio de Janeiro, a fim de completarem a coleção
de livros didáticos, então produziram os livros de 5ª a 8ª série: Curso Moderno de
Matemática para o ensino de primeiro grau, contaram, com a supervisão e revisão de
L.H. Jacy Monteiro, a fim de que a linguagem fosse adequada ao nível dos alunos, mas
sem sacrificar a precisão dos conceitos, para que os alunos não fossem forçados, mais
tarde, a destruir para construir. Formaram assim o Grupo de Ensino de Matemática
Atualizada – GRUEMA.
Considera-se relevante investigar como as idéias do MMM foram tratadas nos
livros do GRUEMA e como foram incorporados pelos professores, pois:
Sabemos que muitas das discussões teóricas realizadas por
especialistas de uma determinada área não chegam a serem
incorporadas pelos professores em suas práticas pedagógicas.
(SILVA, apud LEME da SILVA, 2007, p.5).
Ao analisar os livros didáticos do GRUEMA, observamos que foram elaborados
sem texto explicativo ou informativo do conteúdo que ia ser estudado. Os exercícios
eram do tipo estudo dirigido e os alunos resolviam as atividades no próprio livro. A
resolução das atividades, eram elaboradas em uma seqüência de etapas que permitia a
participação ativa dos alunos na construção do conhecimento.
Eu tinha um direcionamento para o aluno, achava muito
importante o que o aluno faz... nós estávamos abolindo aquela
frase “ O professor disse ...”, se o professor disse, estava dito... se
você não entendia era problema seu, então foi na época que a
gente começou a valorizar o que o aluno dizia, não só o que o
professor dizia, eu sei que não é fácil... esta frase que ficou até a
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década de 60... e o que eu acho importante é como ensinar... nada
se ensina, só se propicia situações de aprendizagem.
(LIBERMAM, 2008, informação verbal).
Segundo as autoras foram utilizadas várias estratégias: Exercícios Preliminares
situações concretas conhecidas dos alunos, onde a partir do conhecimento prévio do
aluno, esperava-se que chegasse às conclusões e generalizações apresentadas sob a
denominação De um modo geral; as particularidades eram apresentadas no Observe
que; os Exercícios de Aplicação visavam o aprofundamento das conclusões, ou seja, a
metodologia utilizada nos livros didáticos incentivava a descoberta, e atendia às
diferenças individuais dos alunos.
A grande inovação nos livros didáticos foi a História em Quadrinhos por meio
da qual as informações importantes eram ditas por duas crianças conversando:
Como a gente ia escrever... alguma coisa a gente tinha que
escrever, teórica ... a gente não sabia como escrever ... o
professor Jacy, que era nosso guru, não deixava escrever errado,
obviamente..., como escrever para os alunos entenderem? Sem
ferir a coisa em si do aluno, e a seriedade matemática, então o
jeito foi o que? Fazer a história em quadrinho, então a gente
falava pela linguagem da criança. (LIBERMAM, 2008,
informação verbal).
Fig. 1 Gruema 7º série , pg. 147
Na coleção do GRUEMA existia o livro do professor que trazia todos os
exercícios resolvidos, sugestões de encaminhamento das atividades, além de conter
provas resolvidas, que poderiam ser aplicadas aos alunos a cada bimestre.
Preparação da Aula
A professora e autora Manhúcia Perelberg Liberman participa ativamente das
reuniões do GHEMAT12. Foi convidada pela Profª Drª Maria Célia Leme da Silva para
elaborar com as mestrandas Maria Silvia Braga Rios e Kátia Cristina Camargo uma
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aula, mais próximo possível, das aulas que a professora Manhúcia ministrava no
Instituto Estadual de Educação Professor Alberto Levy, com apoio do livro do
GRUEMA.
Para elaboração desta aula, Maria Silvia Braga Rios, Kátia Cristina Camargo e a
professora Liberman reuniram-se uma vez para a escolha do conceito que seria
trabalhado na aula. Foi escolhido o conceito das transformações geométricas, tendo a
Simetria como ponto de partida para a congruência de triângulos, por ser este um dos
conteúdos propostos pela Matemática Moderna.
No segundo encontro elaboraram alguns questionamentos sobre como a
professora Liberman utilizava o livro e como ela ministrava as aulas, com o objetivo de
que a mesma resgatasse a sua prática por meio da prática da memória. Houve nestes
encontros uma preocupação em recorrer à memória, pois nem sempre podemos garantir
que estas lembranças foram exatamente como ela nos conta, pois a memória com o
passar do tempo sofre várias influências.
Uma das preocupações, em trazer à memória das práticas nestas reuniões é
porque, nos parece que nem sempre os conteúdos e a metodologia abordados nos livros
didáticos são efetivamente trabalhados em sala de aula. E cada professor na sua prática
transmite um pouco de si, do seu entendimento pessoal.
O último encontro foi para selecionar fotos e documentos que seriam
apresentados na aula. Neste processo, a professora Manhúcia lembrou de várias
passagens da sua prática como professora, tanto de crianças como nos cursos de
formação de professores, dos congressos que participou, dos cursos que fez.
A aula aconteceu no dia 19 de maio de 2008, no Centro de Documentação do
GHEMAT com aproximadamente 20 pessoas no papel de alunos para realização da
atividade programada. Os “alunos” eram todos pesquisadores do GHEMAT, entre os
quais: alunos de iniciação científica, mestrandos, doutorandos e doutores das
instituições UNIBAN, PUC-SP e UNISANTANA.
A atividade escolhida foi Simetria e Congruência dos Triângulos selecionadas
do livro didático do GRUEMA da 7ª série, Companhia Editora Nacional, 2ª edição,
impresso em 1976. Os exercícios selecionados constam das páginas 143 a 194.
A proposta desta atividade teve por objetivo simular uma situação de
sensibilização, a fim de que a professora Manhúcia, no contexto de uma sala de aula
pudesse trazer à memória a sua prática, que com o passar do tempo, talvez estivesse
adormecida.
Esta aula foi filmada e fará parte do documentário que o GHEMAT pretende
realizar sobre o Movimento da Matemática Moderna.
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Aula com a Profª Manhúcia Perelberg Liberman
A professora Manhúcia durante aproximadamente uma hora relembrou sua
trajetória acadêmica e profissional.
A professora Manhúcia fez o curso ginasial de cinco anos, no Instituto Lafaitte,
formando-se em 1942. Neste ano foi permitido aos alunos que tivessem terminado o 5ª
ano ginasial prestar os exames para a faculdade. Manhúcia prestou os exames e entrou
na Faculdade Nacional de Filosofia Ciências e Letras da Universidade do Brasil. Sem o
curso científico. Ela estudou nas férias “eu só fui uma menina estudiosa... porque eu não
tinha outra coisa para fazer ... então você faz alguma coisa útil.” (LIBERMAM, 2008,
informação verbal).
No segundo ano, Manhúcia percebeu que estava com dificuldade para
acompanhar o curso, por sugestão do professor Plínio Sussekind da Rocha, trancou a
matrícula. Passou a estudar para recuperar os dois anos do científico, que não tinha
feito, em apenas seis meses. No ano seguinte voltou ao curso onde conheceu Anna
Averbuch e Franca Cohen, concluíram o curso em 1946.
Obteve o bacharelado em Matemática, pois naquela época era necessário fazer
primeiro o bacharelado para depois fazer a licenciatura: “Primeiro a gente aprendia
matemática, depois fazia licenciatura para ser professor”.(LIBERMAN, 2008,
informação verbal).
A professora Manhúcia conta que sempre quis ser professora, quando criança
brincava de ser professora das bonecas; quando passou a dar aulas percebeu que a aula
tinha que ser diferente, não podia ser igual às aulas que ela tivera “a minha paixão por
ensinar era muito grande... tinha que dar aula de modo que os alunos participassem efetivamente
e não apenas ouvindo”. (LIBERMAN, 2008, informação verbal).
A professora ao ver a foto da capa da revista Atualidades Pedagógicas, 1960,
onde publicou um artigo sobre o Geoplano, lembra quando teve que dar uma aula de
geometria, onde utilizava barbante. Um aluno a ajudou a inventar o Geoplano, diferente
do Geoplano magnético que conhecemos hoje. Manhúcia explica como era o Geoplano:
uma folha de Duratex furadinha e as aulas de geometria eram dadas
com arames que se encaixavam nos buraquinhos... eles tinham que
descobrir experimentalmente ... o trabalho de descobrir , de não dar o
negocio pronto, de fazer o aluno crescer junto com o que estava
aprendendo, descobrir o que estava fazendo, foi muito fácil enquadrar
junto com toda a geometria das transformações, que ela na minha
opinião, hoje, só mudava um pouco a linguagem. (LIBERMAN,
2008, informação verbal).
Em 1961 participou do curso “Especialização em Matemática para Professores
Secundários”, organizado pelo Professor Osvaldo Sangiorgi13, na Universidade
10
Mackenzie, onde Manhúcia conheceu Lucília Bechara. Neste curso foi apresentada à
proposta de reformulação do ensino da matemática; meses depois foi criado o GEEM,
que promoveu vários outros cursos com professores estrangeiros como os professores
Varga14 e Golan15. A professora Manhúcia comenta que:
Depois que Osvaldo Sangiorgi criou o GEEM conseguimos ter
uma série de cursos com professores de fora... um dos primeiros
cursos... foi para professores do estado que ficavam liberados do
ponto.... naquele tempo a gente queria fazer um curso, era
dispensado das aulas... o nosso valor de professor era muito,
mas muito maior do que hoje... que vocês recuperem o valor que
o professor tinha. (LIBERMAN, 2008, informação verbal).
A professora Manhúcia participava das reuniões do GEEM, que aconteciam aos
sábados na Universidade Mackenzie. Fazia também os cursos promovidos pelo GEEM,
como o curso “Princípio e Métodos da Nova Pedagogia” ministrado pela professora
francesa Lucienne Felix16, em 1962, e vários cursos com o professor Zoldan Dienes17,
que teve muita influência na elaboração dos livros do GRUEMA:
Fiz muitos cursos com professor Dienes,... na minha
opinião.....revolucionou o sentido da didática da matemática...o
trabalho dele com blocos lógicos... um trabalho que conseguia
entender o espaço vetoriais... mas eu aprendi muito com
ele.....um detalhe de aula que é importante, ele (Dienes) deu uma
aula no colégio Dante Alighieri... eu estava lá... quando cheguei
para um aluno e fui tentar explicar, levei uma bronca e a bronca
vale ainda hoje, deixa o aluno fazer sozinho, não se antecipe,
todo o GRUEMA tem todas estas idéias que eu aprendi, que eu
estudei e que eu pude tentar passar... não sei se é difícil (os
livros do GRUEMA), eu não acho que é difícil, a linguagem
dele é uma linguagem séria. (LIBERMAN, 2008, informação
verbal).
Entre 1963 e 1965 a professora Manhúcia ministrou vários cursos no GEEM,
tanto para professores do ensino primário, como para professores do ensino secundário,
entre eles curso de geometria e de múltiplos e divisores. Nessa mesma época escreveu
com Renate Watanabe18 o capítulo “Introdução à Geometria Plana” para o livro:
Matemática Moderna, 1965 – série do Professor.
Em 1966 participou do V Congresso Brasileiro do Ensino da Matemática, não
apresentou trabalho, mas as palestras internacionais de Marshall Stone19 e o trabalho de
George Papy20 tiveram grande influência na sua prática profissional.
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Já que era memória eu estou trazendo todos os fatos da minha
memória e a influência da prática e o quanto ela influiu e influi
até hoje. ((LIBERMAN, 2008, informação verbal).
A aula de Simetria
Não sei se é difícil (o livro do GRUEMA), eu não acho que é
difícil ... a linguagem dele, é uma linguagem séria e vocês vão
ter então a oportunidade de trabalhar com o livro, como, por
favor, trabalhar com o livro, memória...então vocês vão ter que
se reportar a um ano que vocês não eram nem nascidos, mas
tentar... a memória de vocês quando tinham doze anos,... que
aprendiam os tais teoremas. (LIBERMAN, 2008, informação
verbal).
A professora Manhúcia pediu que nos sentássemos em grupos de quatro ou
cinco pessoas, porque era deste modo que costumava dar suas aulas. Sem que
pedíssemos os grupos foram formados por afinidade, ou seja, houve dois grupos de
mestrando e doutorandos e dois grupos de iniciação científica. A duração da atividade
foi de uma hora e meia.
Os alunos receberam uma apostila (alguns exercícios anexo I) com as atividades,
régua, esquadro, compasso, lápis de cor, papel de seda, instrumentos que seriam
necessários para realizar as atividades.
A professora circulou pelos grupos para orientando e questionando as
conclusões que os alunos faziam aos moldes de sua prática na década de 70. Foi pedido
aos alunos, apesar de sabermos que era difícil, que realizassem a tarefa com visão de um
aluno da 7ª série, não como professor, ou graduandos.
Nós mestrandas também circulamos pelos grupos para observando a realização
das tarefas, a fim de registrarmos as discussões, questionamentos e conclusões.
Roda de Conversa
O tempo estipulado não foi suficiente para o término da atividade, pois estava
programada uma roda de conversa com os pesquisadores, a fim de que os “alunos”
pudessem expressar suas opiniões a respeito da atividade, bem como fazer perguntas
diretamente para a professora Manhúcia.
A professora Manhúcia pediu aos “alunos” que fizessem perguntas a respeito da
atividade como alunos de treze anos fariam.
Um dos participantes perguntou: o aluno com dificuldade de vocabulário, como
poderia resolver as atividades, pois apareciam palavras como superposição e
sobreposição. A professora respondeu “nas minhas aulas, durante a realização das
atividades os alunos tinham liberdade para perguntar”. (LIBERMAN, 2008, informação
verbal).
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Houve um “aluno” curioso em saber como a professora Manhúcia explicaria
para os alunos, dessa faixa etária, o conceito de tangente e secante, a professora
relembra sua prática:
Em algum momento anterior provavelmente eu já tinha trabalhado este
conceito, por exemplo: existe um ditado muito comum que fala
“Fulano saiu pela tangente”, à partir daí iniciaria a explicação. As
crianças aprendiam estes conceitos nos primeiros anos da escola,
através de atividades concretas, por exemplo: ao ensinar o que significa
mudar de direção eu pedia aos alunos que andassem encostados à
parede, e que quando ele mexesse o corpo significava que ele estaria
mudando de direção então deveria bater palmas. Quando eu queria que
o aluno (criança) soubesse o que era mudança de direção, desenhava
uma curva no chão e pedia para o aluno andar em cima e bater palmas,
quando mudasse de direção; ele notava, então que sempre mudava de
direção, e tinha que bater palmas continuamente. Para um aluno maior
você poderia dar este exemplo e concluir que para cada ponto da curva
existe uma tangente.(LIBERMAN, 2008, informação verbal).
Havia uma curiosidade geral em saber como surgiu a idéia de fazer os livros com as
atividades, que permitiam ao aluno construir sozinho um novo conhecimento, uma
inovação para a época. E qual a participação do Jacy Monteiro?
Por causa da editora, como o livro era novo, a editora queria ter um
campo nos dois estados. Então foi me perguntado se eu conhecia
alguém no Rio que pudesse trabalhar conosco, indiquei as minhas
amigas de faculdade, a Ana e a Franca. (LIBERMAN, 2008,
informação verbal).
Eu, Lucilia e Ana Franchi já tínhamos toda uma vivência com o
primário, uma experiência de como a criança pensa. Íamos pelo
caminho heurístico, pelo caminho de como se faz e a posição do Jacy
era de Matemático, de não deixar ter erros.(ibidem)
Um dos pesquisadores do Movimento da Matemática Moderna comentou que o
livro do GRUEMA se aproximava, da metodologia proposta no ideário do movimento,
onde o aluno é levado a experimentar, a descobrir, a construir conceitos, ele é
convidado a fazer. Foi pedido à professora Manhúcia que falasse das influências, da
prática, das experiências do GEEM, que ela trouxe para fazer esse aporte.
Não adianta o professor saber muita matemática se ele não souber
ensinar... deixando o aluno experimentar, descobrir. Se isso você diz
que é do ideário da matemática moderna, então é, mas eu não sabia.
Mas fiquei impressionada com o ideário da Matemática Moderna, não
sei, onde vocês leram sobre isso? (LIBERMAN, 2008, informação
verbal).
Mas o que quero dizer é que curso de metodologia, no GEEM, não
tinha. A metodologia estava intrínseca na abordagem, então acho que a
gente ficava influenciada pela abordagem, por isso escrevíamos os
livros assim.( ibidem)
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Conclusão
Ao observarmos os “alunos” realizando as atividades, nos pareceu que os alunos
da iniciação científica, graduandos, não conheciam efetivamente o Movimento da
Matemática Moderna. A metodologia dos livros do GRUEMA, em conseqüência da
atividade proposta, permitia que os “alunos” experimentassem e descobrissem um novo
conceito, mas para tanto era necessário ter alguma habilidade no uso do compasso,
transferidor, habilidades essas, que os alunos da graduação não possuíam.
Os mestrandos e doutorandos, que já pesquisam o Movimento da Matemática
Moderna, concordaram que a atividade proposta estava de acordo com o ideário que
observamos nos textos referenciados sobre o Seminário de Royaumont. Quando um dos
pesquisadores comentou esse fato, a professora Manhúcia disse não recordar de ter
usado o ideário, pois sempre em suas aulas o aluno era levado às descobertas. Isto
acontecia pela influência dos cursos que fez com o professor Dienes, e outro; pelo
estudo de Piaget, dos cursos que ministrou no GEEM, e principalmente da sua vivência
como professora, estavam impregnados do ideário da Matemática Moderna, não
explicitamente, mas no reconhecimento de que o aluno é que constrói o seu. O professor
é o mediador entre o livro didático e o aluno.
Esta primeira experiência do GHEMAT, pôde revelar memórias que estavam
adormecidas. A preparação da atividade, a aula em si, e a roda de conversa trouxeram
fontes que contribuirão para a investigação do ensino de Geometria em tempo do
Movimento da Matemática Moderna.
______________________________________________________________________
ANEXO I
GRUPO I – EXERCÌCIOS PRELIMINARES
1-a) Trace 2 circunferências secantes de raios
diferentes e centros A e B.
Chame de P e P’ as intersecções dessas duas
circunferências.
b) Qual o simétrico de P em relação à reta
AB? ..........................................................
c) Complete com = ou ≠
m(AP) ..........m(A’P’)
m(BP) ..........m(B’P’)
m(AP) ..........m(BP)
d) Assinale um ponto X na reta t e responda:
m(XP) = m(X’P’)? .................................
14
Anote:
Todo ponto de t é eqüidistante de P e P’
2- a) Determine a medida dos ângulos dos
triângulos ABC e RST.
m(ABC) =................................
m(BCA) = ...............................
m(CAB) = ...............................
m(SRT) = ...............................
m(STR) = ...............................
m(TSR) = ..............................
b) Tente desenhar um triângulo cujos ângulos
tenham as mesmas medidas do triângulo ABC,
porém as medidas dos lados sejam diferentes.
Conseguiu?
d) Tente desenhar um triângulo cujos lados
tenham as mesmas medidas do triângulo ABC,
porém as medidas dos ângulos sejam diferentes.
Conseguiu?
Fig. 1- Gruema -7º série, pg. 147
GRUPO II – EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO
1- ABC é um triangulo isósceles; as possibilidades
de dizer isto em linguagem matemática são:
a) AB ≅ BC ou
b) ................................................ ou
c) ................................................
2- ABC é um triângulo eqüilátero; posso dizer isto
em linguagem matemática:
....................................................................
3- ABC é um triangulo isósceles com
AB ≅ AC.
a)Desenhe o triângulo ABC.
b)Assinale M, ponto Médio de BC.
c)Como dizer que M é ponto médio de BC em
linguagem matemática?
..........................................................................
Fig. 2 – Gruema - 7º série, pg. 148
15
4- Na figura o ∆ ABC é isósceles, com AB≅CB e M é ponto médio de AC. Complete, a partir
disso o quadro.
Afirmações
Justificativas
1. AB ≅
3. BM ≅
Triângulo isósceles
(por hipótese)
Ponto médio de AC
(por hipótese)
Segmentos coincidentes
4. ∆ ABM ≅
Caso LLL
5. ∠BAC ≅
Elementos correspondentes em
triângulos congruentes
2. AM ≅
6. ∠AMB ≅
7.m(∠AMB = m(∠CMB) =
Você demonstrou os teoremas:
Os ângulos de base de triângulos isósceles são congruentes.
Fig. 3 – Gruema - 7º série, pg. 153
Notas
1
Mestranda do programa de Educação Matemática da UNIBAN – SP, sob orientação de Maria Célia
Leme da Silva.
2
Mestranda do programa de Educação Matemática da UNIBAN – SP, sob orientação de Maria Célia
Leme da Silva.
3
Pesquisadora do GHEMAT, escritora de livros didáticos de Matemática e professora aposentada da
Rede Pública Estadual.
4
Grupo de pesquisa que tem por objetivo produzir a história da Educação Matemática utilizando o
referencial teórico dos historiadores, coordenado pelo Profº Drº Wagner Valente.
5
Autores são Martha Maria de Souza Dantas, Eliana Costa Nogueira, Neide Clotilde de Pinho e Souza,
Eunice da Conceição Guimarães e Omar Catunda.
6
Grupo de matemáticos franceses que elaboraram um tratado que pretendia integrar de modo coerente e
rigoroso os principais eixos da Matemática.
7
Jean Dieudonné (1906- 1992) juntamente com Jean Delsarte, André Weil e Alexandre Grothendieck,
matemáticos pertencentes à liderança do grupo Bourbaki, vieram para São Paulo, contratados pela
Faculdade de Filosofia Ciencias e Letras da Universidade de São Paulo.
8
Lucília Bechara Mestre em Metodologia de Ensino, doutora em Administração Escolar, sócia Fundadora
do GEEM e da Sciedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM)
9
Anna Averbuch (1928-2004) Licenciada e Bacharel em Matemática pela UFRJ, professora da
Universidade Santa Ursula (RJ), sócia fundadora do GRUPO de Estudos e Pesquisa em Educação
Matemática –GEPEM
10
Franca Cohen Gotlieb Licenciada e Bacharel em Matemática pela UFRJ, , professora da Universidade
Santa Ursula (RJ), sócia fundadora do GRUPO de Estudos e Pesquisa em Educação Matemática GEPEM.
11
Jacy Monteiro ( 1921-1975) professora da universidade de São Paulo, Aluno de Dieudonné, membro do
GEEM.
12
GHEMAT-Grupo de pesquisa que tem por objetivo produzir a história da Educação Matemática
utilizando o referencial teórico dos historiadores, coordenado pelo Profº Drº Wagner Valente.
13
Osvaldo Sangiorgi Professor Dr de Matemática, Professor Emérito da Faculdade de Comunicação –
USP- Autor de livro didático, fundador do GEEM.
14
Thomas Varga matemático húngaro.
15
Claude Golan matemático canadense.
16
16
Lucienne Félix matemática francesa.
Zoldan Dienes matemático húngaro.
18
Renate Watanabe professora catedrática da Universidade Mackenzi , fundadora do GEEM autora de
livro didático
19
Marshall Stone matemático Americano
20
George Papy matemático belga, autor de livro didático.
17
_______________________________________________________________________
Referências Bibliográficas
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pensamento de educadores matemáticos nos anos 60. Dissertação (Mestrado em Educação),
Faculdade de Educação, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 1989.
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GRUEMA. Curso Moderno de matemática para o Ensino do 1ºgrau. 7ª série. São Paulo:
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GUIMARÃES, H. M. Por uma Matemática nova nas Escolas Secundárias – Perspectivas e
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LEME da SILVA, M. C. (coord.). Movimento da Matemática Moderna e a Geometria
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LIBERMAN, M. P. Entrevista concedida à Maria Silvia B. Rios e Kátia C. Camargo em 03 de
maio de 2008.
LIBERMAN, M. P. Documentário: Memória de Prática e Prática de Memória realizado no
GHEMAT em 19 de maio de 2008.