dos Professores de Matemática
13. O professor e o desenvolvimento
Equações do 2.º grau na Antiga Babilónia
com alunos do 9.º ano
Centro de Investigação em Educação,
Universidade do Minho
[email protected]
Escola Básica e Secundária de Pinheiro,
[email protected]
• Resumo:
• Palavras-Chave:
313
314
João Pedro da Ponte (Org.)
Introdução
a problemática da argumentação surge associada ao reconhecimento do papel da
reconhecimento permite realçar a importância da linguagem natural, do estreito vínculo
estudar a argumentação nesta disciplina deriva da necessidade de caracterizar os
descoberta, construção e exploração de conjeturas (Pedemonte, 2002).
uma cultura de aula em que se promove a argumentação suscita a participação dos
e discutir argumentos matemáticos implica criar condições para que os alunos
nas suas diversas dimensões, que este capítulo ilustra e discute. O segundo autor,
dos Professores de Matemática
1
argumentarem sobre as ideias matemáticas, em particular, desenvolverem a arte
de conexões com outros conhecimentos já adquiridos ou de outras áreas do saber,
A argumentação na aula de Matemática e o papel do professor
argumentação, sublinhar a sua centralidade na educação matemática e recolher um
1
315
316
João Pedro da Ponte (Org.)
Noção de argumentação. Por argumentação
o desacordo superado. O resultado deste processo, que pode ser reconstruído,
argumento
um processo interativo de saber como e quando participar nesse intercâmbio (Wood,
expressão, verbais ou não verbais, podendo, em particular, invocar desenhos,
O interesse da educação matemática pelo estudo da argumentação e,
consequentemente, o aumento de trabalhos de investigação nesta área, está
dos Professores de Matemática
Papel do professor.
que pretende que seja de discussão: questionamento, explicitação do pensamento
ao assumir a aula como uma comunidade
a saber como atuar na construção dessa comunidade em que cada um tem o seu lugar.
participar, deve dar indicações das suas expectativas em termos dessa participação
momentos de discussão e a criação de um registo quer das ideias em discussão quer
317
318
João Pedro da Ponte (Org.)
alunos que não estão a requerer atenção; ensinar e apoiar alunos particulares, mas
monitorizar a discussão de acordo com o horário da aula.
Para que o discurso
o uso de representações quer sejam orais, escritas ou com recurso a materiais. Os
uma linguagem matemática progressivamente mais elaborada deve ser garantida
tarefas
A sustentação do conhecimento
dos Professores de Matemática
Modelo de argumentação de Toulmin
O aparecimento da obra The Uses of Argument
livro Traité de l’Argumentation: La Nouvelle Rhétorique teve igual importância no
sobre argumentação no âmbito da educação matemática. Em particular, estas
obras tornaram possível caraterizar a argumentação matemática ao nível das
1). Embora, por vezes, a distinção entre dados e garantias não seja clara, as suas
termos: duas premissas e uma conclusão.
319
320
João Pedro da Ponte (Org.)
Dados
Conclusão
Garantias
Figura 1 –
Dados
Conclusão
Garantias
Condições de
refutação
Fundamento
Qualificadores
modais
Figura 2 –
passo de argumento, permitindo selecionar argumentos distintos, nomeadamente
elementos e, ao mesmo tempo, ver os seus encadeamentos.
dos Professores de Matemática
categorias de argumentos que designam por empírica, genérica, simbólica e formal,
trabalho desenvolvido por aqueles investigadores.
Tabela 1 –
Categoria
Subcategoria
Argumentos empíricos
(exemplos não representativos)
Extensão de um padrão
Esquema percetual
Entre o empírico e o genérico
(entre exemplos não representativos e exemplos
representativos)
Argumentos genéricos
(exemplos como representações)
Exaustão
Contraexemplo
Exemplos concretos
Exemplos situacionais
Argumentos simbólicos
(palavras e símbolos como representações)
Entre o simbólico e o formal
(entre símbolos representativos e não representativos)
Argumentos formais
(símbolos não representativos)
Metodologia e contexto
321
322
João Pedro da Ponte (Org.)
recolha de dados; análise dos argumentos produzidos pelos alunos e análise dos
argumentos produzidos pelos alunos em grupo e uma câmara de vídeo colocada
aos momentos de trabalho de grupo e de discussão com toda a turma, interagindo
A experiência em sala de aula
de contextos argumentativos bem como os argumentos produzidos pelos alunos ao
Na aula
Apresentamos, de seguida, alguns exemplos do trabalho desenvolvido pelos alunos
dos Professores de Matemática
Tabela 2 –
Tempo*
Tarefa
Descrição
(90
minutos)
I
II
III**
Leitura e análise da resolução do mesmo problema,
Aritmética
1
Interpretação, com recurso a material manipulável, em
termos de geometria do corta e cola, geometria intuitiva;
1
dado; sabendo que a soma da área do retângulo com a área
1
considerando que o retângulo dado tem comprimento b e
que a soma da área do retângulo com a área do quadrado
largura do retângulo inicial;
2
ax2
bx = c e ax2
bx
c = 0, tendo em consideração a
x2
x
* O tempo sugerido para a realização de cada uma destas partes constitui apenas uma indicação,
mático dos alunos.
**
323
324
João Pedro da Ponte (Org.)
conhecimento
das aulas, em particular as discussões coletivas.
Episódio 1.
Professor:
Nuno:
Professor:
Nuno: Este (apontando para a base do retângulo) era maior que
este (apontando para a altura do retângulo).
Ana:
Nuno:
base) mais pequeno era este (apontando para a altura). E não dava,
desenho) dá o perímetro.
dos Professores de Matemática
do retângulo era 40, pois, pelo enunciado, o semiperímetro do retângulo era 20. É
e erro, o discurso argumentativo detetado corresponde a uma forma complexa de
argumentação
a solução do problema.
Figura 3 –
raciocínio apresentado pelo grupo G12
2
325
326
João Pedro da Ponte (Org.)
comunidade na sala de aula,
Episódio 2.
entre o empírico e o genérico. Embora os alunos tenham
intervenções que estabeleceu na orquestração da discussão.
Professor:
Nuno: Por tentativa e erro.
Professor: Explica lá.
Nuno (virando-se para Ana): Explica tu!
Professor:
Ana:
Professor:
Ana: Aqui
tinha que
Miguel:
Professor:
Miguel:
Professor: Explica de novo, Ana.
Ana:
(apontando para o x), 10 vezes 4 dava
dos Professores de Matemática
(apontando para o x)
(apontando
para o x)
Miguel:
Ana:
menor do que 4.
Miguel: Ora, mas podia demorar muito tempo!
Ana: Pois…
Nuno:
possibilidades.
Figura 4 –
Este excerto mostra que os alunos não procederam a uma simples enumeração
dos valores de x
este grupo de alunos apresenta um contraexemplo
recorrerem, posteriormente, a um processo de carácter exaustivo.
com a construção da comunidade
327
328
João Pedro da Ponte (Org.)
x terá de ser menor do que
4. Esta conclusão será um novo dado no processo argumentativo, o que os leva a
Figura 5 –
raciocínio apresentado pelo grupo G1.
Episódio 3.
evidenciando a presença de argumentos genéricos
Diana: Já percebemos que a área do quadradinho pequenino
...
Diana:
...
dos Professores de Matemática
Diana:
(fazendo as contas)
Professor:
Diana: É a área disto tudo.
Professor:
Diana: Do quadrado
Professor:
Diana:
(apontando para o x) vai ser
Figura 6 –
Este excerto mostra que o grupo descreve aritmeticamente os argumentos pictóricos
comunidade
discurso na sala de aula
interpretação e compreensão de processos utilizados por matemáticos da antiguidade,
329
330
João Pedro da Ponte (Org.)
esteve presente na seleção das tarefas
argumentos entre o genérico e o simbólico
simbólicos
determinar uma das soluções das equações do tipo x
ax
x
ambos os membros da equação por a
Figura 7 –
Daniel, grupo G1.
registando que uma solução da equação ax
2
( (
c
b
+
a
2a
–
b
2a
x
x
dos Professores de Matemática
Figura 8 –
É de reparar que os argumentos apresentados pelos alunos para determinar esta
Episódio 4.
geral ax2 bx c
solução. A maioria dos alunos entende que existe uma relação entre esta equação
bx = c
e a equação ax2
escrevam todos os termos no primeiro membro da equação:
Ana:
ax2
bx
c = 0].
Professor:
(apontando para ax2 + bx + c = 0)
Daniel:
Professor:
Emanuel: Ele está a dizer que podemos escrever assim (apontando
para o papel).
Professor:
Emanuel escreve no quadro ax2 + bx = c
ax2 + bx + (– c) = 0
Emanuel:
c.
ax2 + bx – c = 0
331
332
João Pedro da Ponte (Org.)
Por vezes, solicita a ida de um aluno ao quadro para que todos acompanhem o
raciocínio.
Os alunos observam que a equação dada, ax2
ax
2
bx
bx = c
c
c
–
( (
2
c
b
+
a
2a
–
c
b
2a .
Depois de ser proposta aos alunos a resolução de algumas equações aplicando a
–
–b +
b
2
–
2
( (
c
b
+
a
2a
–
b
2a
4ac
2a
manipulação
algébrica, o que caracteriza o tipo de argumentos entre o simbólico e o formal.
Figura 9 –
dos Professores de Matemática
nomeadamente, as oportunidades surgidas nos diálogos para introduzir brechas
Nas produções escritas dos alunos
Aritmética
no enunciado, designaram o aritmo por x
representou por x
x o menor. Contudo, o grupo G2
Figura 10 –
podem ser representados pelas expressões x
x.
333
334
João Pedro da Ponte (Org.)
x
Figura 11 –
x
x
Figura 12 –
Figura 13 –
dos Professores de Matemática
x2
Figura 14 –
Figura 15 –
.
335
336
João Pedro da Ponte (Org.)
o raciocínio e os argumentos presentes numa resolução que não a desenvolvida
habitual, como se pode ver no excerto retirado da avaliação do grupo G4, realizada
nos momentos de discussão que ocorreram durante as aulas. A importância do seu
desses argumentos por parte dos alunos.
dos Professores de Matemática
comunidade
de discurso
(Grugnetti, 2000). Colocou os alunos a trabalhar em grupo durante a realização
das tarefas
conhecimento
acreditando sempre nas suas capacidades.
argumentos paralelos, como de novos dados ou conclusões que iam sendo inseridos
não se encontravam presentes de um modo explícito.
construtiva em discussões sobre conceitos, processos e resultados matemáticos.
para esta disciplina e proporcionando uma visão mais ampla da sua natureza. A
propício ao desenvolvimento da argumentação na sala de aula.
337
338
João Pedro da Ponte (Org.)
Referências
Anthony,
Journal of Mathematics Education, 2
Balacheff,
Is argumentation an obstacle? Invitation to a debate. (Acedido
Banegas,
Boavida,
A argumentação em Matemática: Investigando o trabalho de duas
professoras em contexto de colaboração.
Douek,
Argumentative aspects of proving of some undergraduate mathematics
students’performances.
Douek,
perspective.
Comparing argumentation and proof in a mathematics education
Doerr,
Educational Studies in Mathematics, 62,
Duval,
Questioning argumentation.
Fasanelli,
mathematics education: The ICMI study
Fauvel,
History in
History in mathematics education: An ICMI study.
Forman,
Learning
and Instruction, 8,
Gil, P. (2012). A história da Matemática no fomento de uma cultura de argumentação em
sala de aula.
Grácio,
Racionalidade argumentativa.
Grugnetti,
History in mathematics education: An ICMI study
dos Professores de Matemática
Hufferd-Ackles,
Journal for Research in Mathematics Education,
Knipping,
proving processes. ZDM Mathematics Education, 40,
Krummheuer,
Language and communication in
the mathematics classroom
Lakoma,
History in mathematics education: an ICMI
study,
Lampert,
Teaching problems and the problems of teaching.
University Press.
Ministério da Educação
Programa de Matemática do Ensino Básico. Lisboa:
National Council of Teaching Mathematics
escolar.
Princípios e normas para a Matemática
Pedemonte,
Étude didactique et cognitive des rapports de l’argumentation et
de da démonstration dans l’apprentissage des mathématiques.
Perelman,
Press Universitaire de France.
Ponte,
desenvolvimento curricular
Traité de l’argumentation: La nouvelle rhétorique.
O professor e o
Ponte,
Handbook of research on the psychology of Mathematics
Education: Past, present and future
Radford,
Using history to teach mathematics: An international perspective
Reid,
teaching.
Proof in mathematics education: Research, learning and
Rowland,
International handbook of mathematics teacher education: Knowledge and
beliefs in mathematics teaching and teaching development
339
340
João Pedro da Ponte (Org.)
Sherin,
Stein,
Mathematics Teaching in the Middle School, 3
Stein,
Mathematical Thinking and Learning, 10,
Toulmin,
The uses of argument.
Tzanakis,
History in mathematics education: The
ICMI study
Wachira,
classroom discourse. International Journal for Mathematics Teaching and Learning,
Wood,
in Mathematics Education, 30
Journal for Research