ENFORMAÇÃO
PLÁSTICA
INSTITUTO
SUPERIOR
TÉCNICO
Lisbon-Portugal
LICENCIATURA EM ENGENHARIA MECÂNICA
1
Apresentação
„
Corpo docente
„
„
„
Programa da disciplina
„
„
„
„
„
„
Avaliação por testes (26/10 e 05/01) ou por exame final
Horário de dúvidas
„
„
Métodos das linhas de escorregamento e do limite superior
Processos tecnológicos de deformação plástica na massa
Teoria da flexão em domínio plástico
Processos tecnológicos de deformação plástica de chapa
Processos tecnológicos de deformação plástica de tubos e perfis
Avaliação
„
„
Paulo Martins (Prof. Catedrático)
Beatriz Silva (Assistente)
A afixar na página da disciplina
Contactos
„
„
Secção de Tecnologia Mecânica, Pavilhão de Física, Piso 0
[email protected], [email protected]
2
1
Apresentação
„
Bibliografia
„
Rodrigues J. e Martins P., Tecnologia mecânica vol. 1 e vol. 2, Escolar Editora,
2005.
„
Martins P. e Silva B., Tecnologia mecânica vol. 1 e vol. 2, Enunciados de
Exercícios, 2006. (download a partir da página da disciplina)
3
Apresentação
Semana
(No.)
Matéria teórica
Matéria
prática
Matéria
auto-estudo
Cap. 4 Plasticidade
Cap. 6 Método da Energia Uniforme
Cap. 7 Método da Fatia Elementar
1
Apresentação
Cap. 8 Método das linhas de escorregamento
Equações de Hencky. Condições de fronteira relativas ao
campo de tensões. Descontinuidades de tensão.
Problemas
8.1/8.2/8.7
2
Cap. 8 Método das linhas de escorregamento (cont.)
Equações de Geiringer. Condições de fronteira relativas ao
campo de velocidades. Descontinuidades de velocidades.
Aplicações do método das linhas de escorregamento ao
cálculo de processos tecnológicos de deformação plástica
na massa.
Problemas
8.1/8.2/8.7
Problemas
8.4/8.5/8.6/8.8
3
Cap. 9 Método do limite superior
Teorema do limite superior. Significado físico-geométrico.
Tópicos avançados envolvendo o cálculo de temperaturas.
Problemas
9.4/9.5
Problema
9.1
4
Cap. 9 Método do limite superior (cont.)
Aplicações do método do limite superior ao cálculo de
processos tecnológicos de deformação plástica na massa.
Problemas
9.6/9.7
Problema
9.2
5
Cap. 15 Extrusão e trefilagem
Classificação dos processos de extrusão e trefilagem.
Extrusão directa e inversa, extrusão a frio e a quente.
Metodologia de concepção e projecto de peças extrudidas
e trefiladas.Cálculo de peças extrudidas e trefiladas.
Problemas
15.1/15.5/15.6
Problemas
15.4/15.7
6
Cap. 16 Laminagem
Classificação dos processos de laminagem.
Laminagem de produtos planos e não-planos, laminagem a
frio e a quente.
Metodologia de concepção e projecto de peças
laminadas.Cálculo de peças laminadas.
Problemas
16.2/16.3
Problemas
16.4/16.5/16.6
Problemas
8.4/8.5/8.6
4
2
Apresentação
Semana
(No.)
Matéria teórica
Matéria
prática
7
Cap. 13 Teoria da flexão em domínio plástico
Noção de fibra neutra. Flexão de peças direitas – tensões
e deformações.
Problemas
13.1/13.2
8
Cap. 13 Teoria da flexão em domínio plástico (cont.)
Flexão de peças curvas – tensões e deformações.
Problemas
13.3/13.4
9
Cap. 18 Quinagem
Classificação dos processos de quinagem.
Quinagem em V no ar e quinagem a fundo.
Quinagem em U.
Problema
18.1
10
Cap. 18 Quinagem (continuação)
Metodologia de concepção e projecto de peças
quinadas.Cálculo de peças quinadas.
Problema
18.2
11
Cap. 20 Perfilagem
Concepção e projecto de perfis. Cálculo de perfis.
Linhas de produção de perfis.
Problema
20.1
12
Cap. 21 Deformação plástica incremental
Fluo-torneamento cónico e cilíndrico.
Concepção e projecto de peças fluo-torneadas. Cálculo
de peças fluo-torneadas.
Problemas
21.1/21.3
Matéria
auto-estudo
Problemas
13.5/13.6
Problemas
18.3/18.4
Problemas
21.2/21.5
5
Apresentação
Semana
(No.)
Matéria teórica
13
Cap. 23 Dobragem de tubos e perfis
Tensões e deformações.
Concepção e projecto de operações de dobragem de
tubos e perfis.
Máquinas-ferramenta para dobragem de tubos e perfis.
14
Revisões
Matéria
prática
Matéria
auto-estudo
Problemas
23.1/23.2
Problema
23.3
6
3
Método das linhas de escorregamento
Introdução
O método das linhas de escorregamento é um método completo na medida em que resolve
simultaneamente os campos de tensões e de deformações (velocidades).
A denominação linhas de escorregamento é por alguns autores considerada menos
apropriada, uma vez que as linhas de escorregamento representam graficamente as direcções
dos planos em que a tensão de corte é máxima, as quais fazem ângulos de 45º relativamente
aos planos principais, significando, portanto, que as linhas de escorregamento não devem ser
confundidas com as direcções de escoamento ou movimentação do material em deformação
7
plástica (geralmente designadas por linhas de fluxo).
Método das linhas de escorregamento
Introdução – enquadramento histórico
Os fundamentos teóricos do método das linhas de escorregamento remontam aos trabalhos
publicados por Coulomb em 1773, Rankine em 1857 e Levy em 1873. Porém, o método só ficou
definitivamente estabelecido após Hencky em 1923 e Geiringer em 1930 terem apresentado as
equações que permitem resolver o campo de tensões e o campo de velocidades,
respectivamente, e Prager e seus colaboradores terem em 1951 e 1953 introduzido os
conceitos de hodógrafo e de ciclóide dos pólos.
Charles A. Coulomb
1736-1806
William Rankine
1820-1872
Richard von Mises
1883-1953
Heinrich Hencky
1885-1952
Hilda Geiringer von Mises
1893-1973
William Prager
1903-1980
8
4
Método das linhas de escorregamento
Introdução – hipóteses simplificativas
•
O material é homogéneo e isotrópico
•
O material tem um comportamento rígido
perfeitamente plástico, desprezando-se todos os
efeitos associados à componente elástica da
deformação e ao encruamento do material
•
Desprezam-se os eventuais efeitos que possam
decorrer da variação da temperatura, da
velocidade de deformação e do tempo associado
à deformação plástica dos materiais
•
A generalidade das aplicações do método das
linhas de escorregamento refere-se à solução de
problemas em condições de deformação plástica
plana.
y
dε x = −dε y
dε z = 0
dγ xy ≠ 0
dγ yz = dγ zx = 0
ε& x = −ε& y
ε& z = 0
γ& xy ≠ 0
γ& yz = γ& zx = 0
x
z
9
Método das linhas de escorregamento
Condições de deformação plástica plana
As relações para as deformações e para as velocidades de
deformação que são características da deformação plástica
plana associadas às equações constitutivas rígidoviscoplásticas de Levy-Mises permitem obter as seguintes
conclusões para o campo de tensões:
ε& x =
ε& p
σ
ε& p
x
y
σy
dε x = −dε y
dε z = 0
dγ xy ≠ 0
dγ yz = dγ zx = 0
ε& x = −ε& y
ε& z = 0
γ& xy ≠ 0
γ& yz = γ& zx = 0
τ yx
σx
τ xy
x
σz = σ2
z
1
⎡
⎤
⎢σ x − 2 (σ y + σ z )⎥
⎣
⎦
1
⎡
⎤
ε& y =
σ y − (σ z + σ x )⎥
σ ⎢⎣
2
⎦
ε& p ⎡
1
⎤
ε& z =
σ
−
σ
+
σ
(
)
z
x
y ⎥
σ ⎢⎣
2
⎦
γ& xy
3 ε& p
ε& xy =
=
τ xy
2
2 σ
y
z
.
.
τ
σ3
γ/2
ε3
σy
y
k
y
.
ε yx
τ yx
σ
O
.
ε
O
.
ε xy
τ xy
τ yz = τ zx = 0
1
σ z = σ 2 = (σ x + σ y )
2
.
εy
x
x
σ1
σz = σ2
σx
. .
.
ε
ε z = ε2 = 0
.
ε1
x
A tensão média é igual à tensão principal intermédia σm10
= σz= σ2
5
Método das linhas de escorregamento
Noção de linha de escorregamento
O conjunto de quadrículas (ou rede) definidas pelas direcções dos planos de corte máximo
denomina-se por campo de linhas de escorregamento. Estas direcções são, no caso geral,
compostas por linhas curvas ortogonais entre si, embora possam coexistir quadrículas rectas
no seio do campo de linhas de escorregamento.
y
β
β III
y
β II
σx
τ yx
α
τ xy
σx
α3
βI
σy
P
σy
α
τ yx
σy
α2
τ
σ3
x
τ xy
φ
Pólo
α1
2φ
k
P (2,II)
y
τ yx
σ
y
x
O
φ
β
σm
Convenção 1:
As linhas de escorregamento da família α
estão associadas às distorções no sentido
horário, enquanto que as linhas de
escorregamento da família β estão associadas
às distorções anti-horárias.
τ xy
Dir. principal 3
α
k
σ1
β
φ
P
x
k
σm
x
σm
k
k
σz = σ2 = σm
σx
Dir. principal 1
11
σm
Método das linhas de escorregamento
Noção de linha de escorregamento (continuação)
Em face do que foi referido anteriormente as linhas de escorregamento não sofrem qualquer
tipo de extensão (apenas distorcem), pelo que o seu comprimento se mantém inalterável.
Convenção 2:
O sentido positivo das linhas α é aquele que
coincide com o sentido positivo das linhas β,
quando a linha α rodar de um ângulo igual a
90º no sentido anti-horário.
β
90º
α
φ
+dφ
P2
P1
φ
φ
Convenção 3:
A variação do ângulo de rotação dφ entre dois
pontos genéricos situados sobre a mesma
linha, será positiva, quando ao se avançar no
sentido positivo da linha, a respectiva tangente
à linha for rodando no sentido contrário ao dos
ponteiros do relógio (válido tanto para as linhas
α, como para as linhas β ).
12
6
Método das linhas de escorregamento
Equações de Hencky
O campo de tensões nas zonas em deformação plástica em condições de deformação plana é
caracterizado a partir das seguintes equações:
Equações de equilíbrio de tensões
•
(na ausência de forças mássicas)
∂σ x ∂τ yx
+
=0
∂x
∂y
∂τ xy ∂σ y
+
=0
∂x
∂y
Transformação de Levy
Critério de plasticidade
•
(σ x − σ y )
2
+
4τ 2xy
= 4k
∂σ m
∂φ
∂φ
− 2k cos 2φ
− 2k sen 2φ
=0
∂x
∂x
∂y
∂σ m
∂φ
∂φ
+ 2k cos 2φ
− 2k sen 2φ
=0
∂y
∂y
∂x
σ x = σ m − k sen 2φ
2
dσ m
dφ
− 2k
=0
dα
dα
dσ m
dφ
+ 2k
=0
dβ
dβ
σ y = σ m + k sen 2φ
τ xy = k cos 2φ
α
+dφ
β
φ +dφ
B
φ
A
Linhas de escorregamento do tipo α
σ m − 2 k φ = C αte
dσ m − 2k dφ = 0
Linhas de escorregamento do tipo β
σ m + 2 k φ = C βte
dσ m + 2k d13φ = 0
Método das linhas de escorregamento
Equações de Hencky – significado geométrico
+dφ
β
φ +dφ
B
A
τ
Ciclóide dos pólos
α
D
φ
φ
PA
+k
Linha I
C
PB
φ+dφ
2dφ
Linhas de escorregamento do tipo α
σ
dσ m − 2k dφ = 0
O
A
B
Linha II
-k
2k d φ
Ao percorrer no plano físico uma linha α , o círculo de Mohr, no plano das tensões, desloca-se
como se rolasse sem escorregar sobre a linha I, de um ângulo igual a dφ (ângulo ao centro
2dφ ), deslocando-se o pólo sobre a circunferência de uma quantidade igual a 2kdφ, como se
estivesse fixo sobre a circunferência enquanto esta roda.
14
7
Método das linhas de escorregamento
Equações de Hencky – significado geométrico
τ
Ciclóide dos pólos
α
PA
+k
Linha I
D
φ
C
PB
φ+dφ
2dφ
+dφ
β
φ +dφ
σ
B
O
φ
A
A
B
Linha II
-k
2k d φ
σ = k ( ∆φ − sen∆φ)
τ
τP
O
τ = k cos ∆φ
∆φ/2
+k (I)
P
∆φ
σP
σ
-k (II)
k ∆φ
Ciclóide dos pólos α
2k π
15
Método das linhas de escorregamento
1º Teorema de Hencky
β
C
α
dβ
D
s
r
D'
A
A'
dφDA
B
O ângulo entre as tangentes a duas linhas de
uma família, nos pontos em que são
intersectadas por uma linha da outra família, é
constante e, consequentemente, também a
diferença das tensões será constante.
dα
dφCB
σ mC − σ mA = ( σ mC − σ mB ) + (σ mB − σ mA ) = −2k (φ C − φ B ) + 2k ( φ B − φ A )
= 2k (2φ B − φ C − φ A )
dφ BA = (φ B − φ A ) =(φ C − φ D ) = dφ CD
σ mC − σ mA = (σ mC − σ mD ) + (σ mD − σ mA ) = 2k (φ C − φ D ) − 2k (φ D − φ A )
= 2k ( −2φ D + φ C + φ A )
(analogamente para as linhas da outra família)
dφ DA = (φ D − φ A ) =(φC − φ B ) = dφ CB
16
8
Método das linhas de escorregamento
Condições de fronteira relativas ao campo de tensões
A resolução das equações de Hencky, relativas ao campo de tensões, exige que sejam
introduzidas as condições de fronteira física dos problemas.
Principais tipos de condições de fronteira:
•
Superfície livre
•
Superfície sem atrito (entre o material e a ferramenta)
•
Superfície com atrito máximo (entre o material e a ferramenta)
•
Superfície com atrito de Coulomb (entre o material e a ferramenta)
τ
Superfície livre
0
P
α
β
2k
k
0
σ
P
2k
0
2k
Pólo
Ex. Superfície livre
Material
α
β
-k
17
Método das linhas de escorregamento
Condições de fronteira relativas ao campo de tensões (continuação)
τ
α
α
k
β
P
σ3
Material
σ1
P
σ1
σ1
σ3
σ
0
Superfície sem atrito
σ3
Pólo
β
As linhas de escorregamento
deverão encontrar a superfície a 45º
-k
Ex. Superfície sem atrito (entre o material e a ferramenta)
τ
β
α
k
Pólo
Material
P
k
σm
σm
P
σm
σ3
α
k
σm
σm
σ1
σ
0
Superfície com
atrito máximo
k
k
β
-k
Ex. Superfície com atrito máximo (entre o material e a ferramenta)
Uma das linhas de escorregamento
(dependendo do sentido da
distorção provocada pelas tensões
de corte) encontra a superfície
tangencialmente, enquanto que a
linha da outra família a vai
intersectar ortogonalmente
18
9
Método das linhas de escorregamento
Condições de fronteira relativas ao campo de tensões (continuação)
τ
α
α
Material
β
k
τ=µ p
θ
q
µp µp
arctg µ
µp
P
p
σ3
F
σ1
p
P
p
µp µp
P
σ
τ
0
θ
Aa
q
Pólo
Superfície com atrito
de Coulomb
β
O ângulo θ deverá ser função da
pressão aplicada
-k
Ex. Superfície com atrito de Coulomb (entre o material e a ferramenta)
µ
=
F
P
=
τ
p
19
Método das linhas de escorregamento
Descontinuidade de tensão
Por vezes a resolução do campo de tensões exige a introdução de linhas de descontinuidade
de tensão.
τ
σt'
PA
LDT
σn
τ
PA
σt'
σn
P
τ
σt
σn
PB
σn
k
σt'
Zona A
τ
τ
σn
σt
PB
0
σ
Zona B
σt
-k
•
Os critérios de plasticidade devem continuar a ser respeitados em cada um dos semiplanos que resultam da divisão do plano físico pela linha de descontinuidade de tensão
(LDT).
•
Tanto a tensão normal que se exerce na direcção perpendicular à LDT, como a tensão
de corte têm que ser iguais nos dois semi-planos, para que a continuidade física do
material em deformação fique assegurada.
•
A tensão de corte não pode ser máxima numa LDT, pois se assim fosse essa linha seria
20
uma linha de escorregamento e os dois pólos PA e PB estariam coincidentes.
10
Método das linhas de escorregamento
Descontinuidade de tensão – significado físico
A LDT pode ser interpretada como uma lâmina elástica de espessura reduzida que no limite
se confunde com a própria linha onde o estado de tensão do semi-plano A evolui para o do
semi-plano B passando através de sucessivos estados de tensão elásticos.
τ
σ t'
PA
LDT
τ
σn
PA
σt'
P
σn
PB
σn
τ
σn
τ
σt
k
σ t'
Zona A
σt''
σt'''
σn
σt
PB
0
σ
Zona B
σt
-k
(σ − σ )
2
n
+ 4 τ 2 = 4k 2
σ t ,σ t ' = σ n ± 2 k 2 − τ 2
21
Método das linhas de escorregamento
Campos de linhas de escorregamento
Existem dois tipos de campos de linhas de escorregamento particularmente simples e que
uma vez combinados estão na base de inúmeras soluções utilizadas na análise de processos
de deformação plástica:
• Campo uniforme - consiste num conjunto de linhas de
escorregamento rectas e ortogonais entre si.
O
• Leque - constituído por um ponto singular, que não é mais
do que o centro geométrico de vários arcos de círculo
atravessados por linhas rectas que nele convergem.
Para além destes campos de linhas de escorregamento existem outros, que podem ser
bastante mais complexos, em que as linhas que os constituem apresentam raios de curvatura
variáveis de ponto para ponto.
22
11
Método das linhas de escorregamento
Exemplo de aplicação – campo de tensões
Considere a operação de indentação sem atrito em condições de
deformação plana que se encontra representada na figura (solução
de Prandtl).
C'
O
O'
A
B'
C
B
y
x
a) Determine o campo de tensões e proceda à sua representação no plano de Mohr.
b) Calcule o valor da pressão de compressão adimensionalizada com a tensão limite de
elasticidade do material p/2k.
23
Método das linhas de escorregamento
y
Equações de Geiringer
O campo de velocidades nas zonas em deformação plástica
em condições de deformação plana é caracterizado a partir
das seguintes equações:
v x = u cos φ − v sen φ
v y = u sen φ + v cos φ
β
φ
vy
• Equação da continuidade
v
(condição de incompressibilidade em
condições de deformação plástica plana)
u
∂v x ∂v y
+
=0
∂x
∂y
• Compatibilidade das deformações
(os eixos principais do tensor das tensões
e do tensor das velocidades de deformação
são coincidentes)
τ xy
σx − σy
=
ε& xy
ε& x − ε& y
x
x
vx
A
(σ
φ
ε& x + ε& y =
α
VA
∂v y
⎛ ∂v
− σ y )⎜⎜ x +
∂x
⎝ ∂y
∂v
⎞
⎛ ∂v
⎟ = 2τ xy ⎜ x − y
⎟
⎜ ∂x
∂y
⎠
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
Velocidade de deformação
ε& x =
ε& y =
ε& xy =
∂v x
∂x
∂v y
∂y
⎛ ∂v y
⎛ ∂v x ⎞
⎜
⎟ = ⎜⎜
⎝ ∂x ⎠ φ = 0 ⎝ ∂y
⎞
⎟ =0
⎟
⎠ φ =0
1 ⎛ ∂v x ∂v y ⎞
⎟
⎜
+
2 ⎜⎝ ∂y
∂x ⎟⎠
Linhas de escorregamento do tipo α
∂u
∂φ
−v
=0
∂x
∂x
Linhas de escorregamento do tipo β
∂v
∂φ
+u
=0
∂y
∂y
du − v dφ = 0
dv + u24
dφ = 0
12
Método das linhas de escorregamento
Equações de Geiringer – significado físico
Considerem-se dois pontos A e B infinitamente próximos situados sobre uma linha de
escorregamento α. Sejam u e v respectivamente as velocidades absolutas segundo as
direcções de α e β no ponto A e u+du e v+dv as velocidades absolutas no ponto B.
VB
∆V
α
VA
u+du
v+dv
β
dφ /2
φ +dφ
VAB
VA
B
∆l
v
dφ /2
VAB
u
φ
A
A linha de escorregamento α não varia de comprimento entre os pontos A e B
d ( ∆l ) ⎡
dφ
dφ ⎤ ⎡
dφ
dφ ⎤
= ⎢(u + du )cos
− (v + dv )sen ⎥ − ⎢u cos
+ v sen ⎥ = 0
dt
2
2⎦ ⎣
2
2⎦
⎣
du − v dφ = 0
25
Método das linhas de escorregamento
Condições de fronteira relativas ao campo de velocidades
A resolução das equações de Geiringer, relativas ao campo de velocidades, exige que sejam
introduzidas as condições de fronteira física dos problemas.
Principais tipos de condições de fronteira:
•
Contacto material-ferramenta
Nas zonas de contacto entre o material e as ferramentas, a
componente normal da velocidade terá de ser igual à da ferramenta.
Esta condição determina que, em termos relativos, o material só
poderá, quanto muito, deslocar-se tangencialmente à superfície de
contacto.
•
Linhas de simetria cinemática
O campo de velocidades tem que respeitar as linhas de simetria
cinemáticas do problema. Refira-se a este propósito que nem
sempre as linhas de simetria cinemáticas coincidem com as linhas
de simetria geométricas.
•
Pontos neutros
No caso particular de uma linha de simetria intersectar uma fronteira
material (ferramenta, por exemplo), a velocidade nesse ponto é nula
e corresponde a um ponto de inversão do sentido da velocidade
tangencial sobre a superfície de contacto com a fronteira.
26
13
Método das linhas de escorregamento
Descontinuidade de velocidade
Por vezes a resolução do campo de velocidades exige a introdução de linhas de
descontinuidade de velocidade (LDV).
α
v A=v B
uA
du A − v A dφ = 0
LDV
Zona A
P
u A − u B = C te.
du B − v B dφ = 0
uB
vA = vB
Zona B
Numa LDV o valor da intensidade da descontinuidade de velocidade (diferença entre os
módulos das velocidades) é constante ao longo de toda a linha de descontinuidade de
velocidade
βI
Convenção 4:
Um ponto localizado na intersecção de duas linhas de
descontinuidade de velocidade pode ter quatro representações
distintas de velocidade (no hodógrafo), consoante o quadrante em
que é considerado, sendo, por isso, a sua posição referenciada
adicionando à designação do ponto uma letra identificando o
quadrante em que este se situa. Utilizam-se as letras A, B, C e D,
respectivamente para os 1º, 2º, 3º e 4º quadrantes.
α1
A
B
P (1,I)
D
27
C
Método das linhas de escorregamento
Exemplo de aplicação – campo de velocidades
Considere a operação de indentação sem atrito em condições de
deformação plana que se encontra representada na figura (solução
de Prandtl).
Vo
O'
O
β
1,III
α
A
B
D
A
1,I
D
1,II
a) Determine o campo de velocidades e proceda à sua representação no hodógrafo.
28
14
Método das linhas de escorregamento
Auto estudo
Resolver os exercícios 8.4, 8.5, 8.6 e 8.8
Para resolver o exercício 8.8 deverá efectuar-se o download do
programa de elementos finitos I-FORM da página da disciplina e
proceder à sua instalação nas seguintes directorias:
Pre-processador – c:\i_form\pre (quando disponibilizado)
Pós-processador – c:\i_form\post
Programa de elementos finitos – c:\i_form\iform2
Os ficheiros de dados fem.dat e die.dat devem ser copiados para a
directoria do programa de elementos finitos.
τ
+k
1,I 2,I
4,I
1,II
σ
1,III
1,IV
σm 4,I
O
P4,I
P1,I
P1,IV
P1,III
P1,II
P2,I
-k
29
15