2. Pré-requisitos do 3.° Ciclo
7.° ano
Dados dois conjuntos A e B fica definida uma função 1ou aplicação2 f de A em B , quando a
cada elemento de A se associa um elemento único de B representado por f 1x2 .
Dada uma função numérica f : A " B 1função f de A e B2
Designar por contradomínio de f o conjunto das imagens por f dos elementos de A e representá-lo por: CDf ou D 'f ou f 1A2 .
Identificar o gráfico de f como o conjunto dos pares ordenados 1x , y2 com x å A e y = f 1x2 .
Gf = 51x , y2 : x å A ‹ y = f 1x26
ixado no plano um referencial cartesiano, designar por gráfico cartesiano de f o conjunto G
F
constituído pelos pontos do plano cuja ordenada é a imagem por f da abcissa.
Nota: O gráfico cartesiano pode ser designado simplesmente por gráfico de f sempre que não haja
ambiguidade, sendo y = f 1x2 a equação desse gráfico.
1 Seja f a função de A e B , sendo A = 51 , 2 , 3 , 46 , B = 52 , 3 , 4 , 6 , 7 , 86 e f 1x2 = 2x .
1.1. Identifica o domínio, o contradomínio e o conjunto de chegada da função f .
1.2. Indica o gráfico de f .
1.3. Representa o gráfico de f num referencial cartesiano.
Resolução
1.1. Df = A = 51 , 2 , 3 , 46
D 'f = f 1A2 = 5f 112 , f 122 , f 132 , f 1426 = 52 , 4 , 6 , 86
1.2. Gf = 511 , f 1122 , 12 , f 1222 , 13 , f 1322 , 14 , f 14226 = 511 , 22 , 12 , 42 , 13 , 62 , 14 , 826
1.3.
Gf = 511 , 22 , 12 , 42 , 13 , 62 , 14 , 826
y
8
6
4
2
O
52
1 2 3 4 x
NEMA10CP © Porto Editora
PR 7.1.
2. Pré-requisitos do 3.° Ciclo
2 Considera o gráfico de uma função h , de A = 5- 2 , - 1 , 0 , 1 , 26 em Z , definida por
Gh = 51- 2 , 42 , 1- 1 , 12 , 10 , 02 , 11 , 12 , 12 , 426 .
2.1. Identifica o contradomínio de h .
2.2. Indica o número de soluções da equação h 1x2 = 4 .
2.3.Determina uma expressão algébrica que defina o valor de h 1x2 para qualquer x do
domínio de h .
Resolução
2.1. D 'h = 50 , 1 , 46
2.2. Pretende-se determinar os objetos, elementos do domínio, cuja imagem é 4 .
Assim, as soluções da equação h 1x2 = 4 são 2 e - 2 . A equação tem duas soluções.
2.3. Em qualquer um dos pontos do gráfico de h , a ordenada é igual ao quadrado da abcissa.
PR 7.2.
Assim, h 1x2 = x 2 .
Dadas duas funções numéricas com um dado domínio A e conjunto de chegada Q .
Identificar a soma de funções como a função de mesmo domínio e conjunto de chegada tal que
a imagem de cada x å A é a soma das imagens e proceder de forma análoga para subtrair,
multiplicar e elevar funções a um expoente natural.
Efetuar operações com funções de domínio finito definidas por tabelas, diagramas de setas ou
gráficos cartesianos.
Designar por função linear uma função f : Q " Q para a qual existe um número racional a tal
que f 1x2 = ax , para todo o x å Q , designando esta expressão por forma canónica da função linear
e a por coeficiente de f .
Identificar uma função afim como a soma de uma função linear com uma constante e designar por
forma canónica da função afim a expressão ax + b , onde a é o coeficiente da função linear e b o
valor da constante, e designar a por coeficiente de x e b por termo independente.
3 Considera as funções f e g de domínio A = 52 , 3 , 5 , 76 , sendo f a função representada
em referencial cartesiano e g a que está representada através de uma tabela.
x
y
4
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3
O
-1
2
3
5
-2
3.1. Completa a tabela ao lado.
3.2. Indica o contradomínio da função f * g .
7
x
2
g 1x2
3
0
5
3
7
1
x
-1
2
3
5
7
f 1x2
g 1x2
f 1x2 * g 1x2
53
Unidade 5 Funções
3.4. Indica o contradomínio da função f 2 .
Resolução
3.1.
x
2
3
5
7
f 1x2
3
-1
-2
4
-1
0
3
1
-3
0
-6
4
g 1x2
f 1x2 * g 1x2
3.2. D'f * g = 5- 6 , - 3 , 0 , 46
3.3. 1f + g2 122 = f 122 + g 122 = 3 + 1- 12 = 2 ; 1f + g2 132 = f 132 + g 132 = - 1 + 0 = - 1 ;
1f + g2 152 = f 152 + g 152 = - 2 + 3 = 1 ; 1f + g2 172 = f 172 + g 172 = 4 + 1 = 5
D'f + g = 5- 1 , 1 , 2 , 56
Gf + g = 512 , 22 , 13 , - 12 , 15 , 12 , 17 , 526
3.4. f 2 122 = 1f 1222 = 32 = 9 ; f 2 132 = 1f 1322 = 1- 12 = 1 ;
2
2
2
f 2 152 = 1f 1522 = 1- 22 = 4 ; f 2 172 = 1f 1722 = 42 = 16
2
2
2
D'f = 51 , 4 , 9 , 166
2
4 Considera as funções afins f e g definidas por f 1x2 = ax + b e g 1x2 = cx + d .
Justifica que f - g é uma função afim e indica a respetiva forma canónica, relacionando o
coeficiente e o termo independente de f - g com os coeficientes e termos independentes das
funções f e g .
Resolução
Sendo f 1x2 = ax + b e g 1x2 = cx + d , tem-se:
1f - g2 1x2 = f 1x2 - g 1x2 = ax + b - 1cx + d2
1f - g2 1x2 = ax + b - cx - d = 1a - c2 x + b - d
A função f - g é uma função afim de coeficiente a - c 1diferença dos coeficientes de f e de g2
e termo independente b - d 1diferença dos termos independentes de f e de g2.
54
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3.3. Define a função f + g através do seu gráfico.
2. Pré-requisitos do 3.° Ciclo
8.° ano
PR 8.1.
No plano fixado, num referencial cartesiano, as retas não verticais que passam pela origem do
referencial são os gráficos das funções lineares.
O coeficiente de uma função linear é igual à ordenada do ponto do gráfico com abcissa igual a
1.
Dada uma função f : D " R , 1D ƒ R2 o gráfico da função definida pela expressão g 1x2 = f 1x2 + b
1sendo b um número real2 obtém-se do gráfico de f por translação de vetor definido pelo segmento de reta orientado com origem em 10 , 02 e extremidade no ponto de coordenadas 10 , b2 .
As retas não verticais são os gráficos das funções afins e, dada uma reta de equação y = ax + b ,
designar a por declive da reta e b por ordenada na origem.
Duas retas não verticais são paralelas quando 1e apenas quando2 têm o mesmo declive.
ada uma reta determinada por dois pontos A 1xA , yA2 e B 1xB , yB2 o declive da reta AB é dado por
D
yB - yA
.
xB - xA
Reconhecer que os pontos do plano de abcissa igual a c 1sendo c um dado número real2 são os
pontos da reta vertical que passa pelo ponto de coordenadas 1c , 02 e designar por equação dessa
reta a equação x = c .
5 Na figura estão representadas três retas paralelas, r , s e t , que representam graficamente
três funções, respetivamente, f , g e h .
y
r
s
t
0,6
O 1
x
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Sabe-se que:
a reta s passa pela origem do referencial e pelo ponto de coordenadas a1 ,
o ponto de coordenadas 15 , 52 pertence ao gráfico de f ;
3
b;
5
5
a reta t interseta o eixo Oy no ponto de coordenadas a0 , - b .
2
Indica a expressão algébrica para cada uma das funções f , g e h .
55
Unidade 5 Funções
A reta s é o gráfico da função linear g em que o coeficiente é igual a g 112 =
Então g 1x2 =
3
x.
5
Então, h 1x2 =
3
5
x- .
5
2
A reta t é o gráfico da função afim h em que o coeficiente é
3
.
5
5
3
e ordenada na origem - .
5
2
3
A r é o gráfico da função afim em que o coeficiente é
e passa pelo ponto de coordenadas
5
15 , 52 .
3
x + b , sendo f 152 = 5 .
5
3
*5+b=5 § 3+b=5 § b=2.
Mas, f 152 = 5 §
5
3
Então f 1x2 = x + 2 .
5
f 1x2 =
6 Num referencial ortogonal e monométrico, considera os pontos A 13 , - 12 , B 12 , 12 e C 13 , 22 .
6.1.Dos pontos dados indica dois que pertençam à mesma reta vertical e escreve uma
equação dessa reta.
6.2. Determina o declive da reta BC .
6.3. Representa a reta BC através de uma equação na forma reduzida.
6.4.Dos pontos dados é possível que dois deles definam uma reta de declive igual a zero?
Justifica.
Resolução
6.1.Os pontos A e C têm ambos abcissa 3 , então pertencem à mesma reta vertical de
equação x = 3 .
6.2.Seja m o declive da reta BC .
m=
yC - yB 2 - 1 1
=
= =1
xC - xB 3 - 2 1
6.3.A reta BC é definida por uma equação do tipo y = mx + b , sendo m o declive e b a
ordenada na origem.
Sabe-se que m = 1 , então y = x + b , sendo as coordenadas do ponto B 12 , 12 soluções
da equação.
Assim, tem-se 1 = 2 + b § b = - 1 .
Equação reduzida da reta BC : y = x - 1
6.4.Para que o declive seja zero a reta deve ser horizontal, ou seja, quaisquer pontos dessa
reta têm igual ordenada.
Neste caso, os três pontos têm ordenadas distintas. Daqui se conclui que qualquer reta
que passe por dois desses pontos tem declive diferente de zero.
56
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Resolução
2. Pré-requisitos do 3.° Ciclo
1
1
e o ponto A a , - 2b .
2
2
7.1.O ponto A pertence ao gráfico de uma função f que é linear. Determina uma equação do
gráfico de f .
7 Considera a reta r definida pela equação y = 3x +
7.2.A reta s é paralela à reta r e passa em A . Representa a reta s através de uma equação
na forma reduzida.
Resolução
7.1.Sendo f uma função linear é definida algebricamente por uma expressão do tipo
f 1x2 = ax .
1
Sabe-se que o ponto A a , - 2b pertence ao gráfico de f .
2
Então:
a
1
fa b = - 2 § = - 2 § a = - 4 .
2
2
Uma equação do gráfico de f é y = - 4x .
7.2. Se as retas r e s são paralelas, então têm igual declive.
1
Como o ponto A a , - 2b pertence à reta s , tem-se:
2
3
7
-2= +b § b=- .
2
2
A reta s é definida pela equação y = 3x -
7
.
2
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Assim, uma equação da reta s é do tipo y = 3x + b .
57
Unidade 5 Funções
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9.° ano
PR 9.1.
Interpretar graficamente soluções de equações do 2.° grau
ixado um referencial cartesiano no plano, o gráfico de uma função dada por uma expressão da
F
forma f 1x2 = ax 2 1a número real não nulo2 é uma curva designada por parábola de eixo vertical
e vértice na origem.
econhecer que o conjunto-solução da equação de 2.° grau ax 2 + bx + c = 0 é o conjunto das
R
abcissas dos pontos de interseção da parábola de equação y = ax 2 , com a reta de equação
y = - bx - c .
8 No referencial cartesiano da figura estão representados os gráficos
y
de duas funções f e g , respetivamente a parábola de vértice 10 , 02
que passa pelo ponto A 1- 1 , 22 e a reta BC , em que B 10 , 22 e
2
C a , 0b .
3
g
f
8.1. Determina uma expressão algébrica para cada uma das funções.
8.2.Determina as coordenadas dos pontos de interseção dos dois
gráficos.
B
A
O
Resolução
C
8.1. f 1x2 = ax 2 e A 1- 1 , 22 pertence ao gráfico de f .
f 1- 12 = 2 § a 1- 12 = 2 § a = 2 . Então, f 1x2 = ax 2 .
2
2
g 1x2 = mx + b e B 10 , 22 e C a , 0b pertencem ao gráfico de g .
3
g 102 = 2
b=2
b=2
b=2
• 2
§ •2
§ •2
§ e
m=-3
ga b = 0
m+b=0
m=-2
3
3
3
Então, g 1x2 = - 3x + 2 .
8.2. As abcissas dos pontos de interseção dos dois gráficos são as soluções da equação
f 1x2 = g 1x2 = 2x 2 = - 3x + 2 § 2x 2 + 3x - 2 = 0
- 3 ¿ "9 + 16
4
1
§ x = - 2›x =
2
§ x=
Coordenadas dos pontos de interseção dos dois gráficos:
58
1- 2 , f 1- 222 = 1- 2 , 82 e a 1 , f a 1 bb = a 1 , 1 b .
2
2
2 2
x