FICHA DE TRABALHO N.º 4
TURMA:11.ºA
2015/2016
(NOVEMBRO 2015)
Geometria no Plano
1. Considera, num referencial o.n., os pontos A (-2, 5), B (1, -1) e a reta r de equação
y +4x = 1.
1.1. Escreve a equação reduzida da reta s que passa em A e é perpendicular à recta r.
1.2. Escreve a equação vetorial da reta perpendicular a AB e que passa pelo ponto da reta
r, onde esta reta intersecta o eixo das ordenadas.
1.3. Determina, com uma aproximação à décima do grau, a medida do ângulo formado
pelas retas r e AB.
2. Considera, num referencial o.n., uma recta definida por 3x + y = 5 e o ponto A (3, 1).
Qual é a distância de A a r?
3. Define por uma condição a parte colorida da figura, incluindo a
fronteira. (zona entre a circunferência, recta s, eixo dos xx e eixo
dos yy).
Nota: O ponto C (3, 2) é o centro da circunferência que passa no
ponto (4, 0) e a recta s é perpendicular à recta r.
4. No referencial estão representadas duas retas.
Sabe-se que:
. A reta MQ é a mediatriz de [AB]
. M pertence à reta AB
4.1. Determina a equação reduzida da reta MQ.
4.2. Determina a área do triângulo [MPQ].
4.3. Define por uma condição a região colorida.
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5. No referencial da figura está representada uma circunferência
de centro C e raio 4 inscrita no quadrado [MNOP].
O ponto T pertence ao eixo das ordenadas e é o ponto de
tangência entre a reta NO e a circunferência.
Nota: O vértice do quadrado oposto a N é o ponto P.
5.1. Escreve uma equação da circunferência.
5.2. Determina as coordenadas do ponto T.
5.3. Determina a equação reduzida da reta NO.
5.4. Calcula o declive da reta MN.
5.5. Determina a área da região colorida.
6. No referencial o.n. da figura seguinte, a reta t é tangente à
circunferência, de centro em C, no ponto T.
6.1. Escreva a equação reduzida da reta r.
6.2. Determina uma equação da reta CT.
6.3. Calcula a ordenada do ponto C e escreve uma equação da
circunferência.
Geometria no Espaço
1. Considera a reta r definida por:
4  2x 1 y

 3z  6 .
6
4
1.1.
Indica um ponto e um vetor diretor da reta r.
1.2.
Indica as coordenadas do ponto da reta r de cota -1.
1.3.
Determina as coordenadas do ponto de interseção da reta r com o plano xOy.
1.4. Escreve a equação cartesiana da reta s que passa pelo ponto (-1, 2, 3) e é paralela
à reta r.
2. Considera as rectas r e s, definidas por:
r:
1 x
y2
z
e s: (x, y, z) = (-1, 2, 3) + k(-1, 0, 3) , k  IR
2
5
Determina, com uma aproximação à décima do grau, o ângulo das retas r e s.
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3. Escreve a equação cartesiana da reta que contém o ponto E (1, 1, 1) e é:
3.1. Paralela ao eixo Ox.
3.2. Perpendicular ao plano xOy.
3.3. Perpendicular ao plano -2x + 3z -4 = 0.
4. Considera o plano  , cuja equação cartesiana é: -2x + 3y – 5z = 2.
4.1. Indica as coordenadas de um vetor normal ao plano e de um ponto qualquer do
plano.
4.2.
Averigua se o ponto A (-1, 3, 1) pertence ao plano  .
4.3.
Determina k, de modo que o ponto B (2k – 1, 3k, -2) pertença ao plano  .
4.4.
Determina a interseção do plano  com o eixo Ox.
5. Considera os planos  : 8x – y + 2z – 5 = 0,  : kx – k2y – z + 1 = 0 e a reta
r: x 
5.1.
y  5 z
 .
2
3
Investiga qual é a posição da reta r relativamente a  .
5.2. Determina a equação cartesiana do plano perpendicular a r e que passa pelo ponto
de r com abcissa -1.
5.3.
Determina k de modo que os planos  e  sejam perpendiculares.
5.4. Mostra que para todo o k  IR, a reta s definida por x = 1  y = 2 não é paralela ao
plano  .
6. Considera o plano  de equação –x + 3z – 1 = 0.
6.1. Escreve as equações cartesianas da reta r que passa no ponto P(0, -2, 1) e é
perpendicular a  .
6.2.
Determina k de modo que a reta s, definida por:
paralela ao plano  .
6.3.
x 1 5  y

 z  2, k  0 , seja
k
3
Determina a interseção da reta t definida por x  1  y 
z2
com o plano  .
2
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7. Considera o plano  definido por 3x – 6y + 3z = 1 e a recta r de equações:
x y3

z 1
6
2
7.1.
Identifica o ponto de interseção de r com  .
7.2.
Indica a posição da recta s relativamente a  , sabendo que s é definida por:
(x, y, z) = (-1, 1, 3) + k(1, -2, 1) , k  IR.
7.3. Escreve a equação cartesiana do plano perpendicular a r e que passa pelo ponto
P(1, 0, 2).
8. Determina os valores de k  IR para os quais o plano  ,
à reta r definida por –x +4 =
y2
z.
3
kx
 y  (k 2  3) z  7, é paralelo
2
9. No referencial o.n. (O, i, j , k ) está representado um prisma em
que um dos vértices é a origem do referencial, a base [OABC]
está contida no plano xOy e o ponto F tem coordenadas
(4, 3, -2).
9.1 Calcula BG. AD
9.2. Determina, com aproximação às décimas de grau, o ângulo formado pelos vetores BG
e AD .
9.3. Determina a equação cartesiana do plano definido pela reta OB e pelo ponto F.
9.4. Calcula o valor real de p, de modo que o ponto P, de coordenadas (2p, -p+2, 4),
pertença ao plano mediador de [AB].
FIM
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