PROVA DE MATEMÁTICA UEMA 2ª FASE – 2011 RESOLVIDA -PROF.: ARI
CURSO AVANÇOS
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01.: (UEMA – 2011) Um operário recebe R$ 25,00 por hora extra trabalhada. No final
do mês de setembro de 2010, ele trabalhou 4h 15 min além das horas regulares.
Calcule a quantia recebida pelas horas extras trabalhadas.
RESPOSTA ESPERADA:
►O operário recebe R$ 25,00 por cada hora de trabalho. Logo: Em 4 horas ele receberá R$ 100,00
►15 min corresponde a um quarto de hora. Logo, em 15 minutos receberá 25: 4 = R$ 6,25.
► Em 4 h 15 min ele receberá R$ 100,00 + R$ 6,25 = R$ 106,25
A quantia recebida foi de R$ 106,25
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02.: (UEMA – 2011) Um arquiteto foi contratado para fazer a decoração do muro da
frente de uma residência. Após a análise do problema, decidiu que para essa
decoração deveria dispor em filas paralelas pedras quadradas de 10 cm de lado, de
modo que que cada fila contivesse duas pedras a mais que a anterior. Calcule o
número de pedras necessárias para esse trabalho, sabendo-se que a 1ª fila deverá
iniciar com 6 pedras e a última deverá ter 40 pedras.
RESPOSTA ESPERADA:
P.A.( 6, 8, 10,12, 14, ... , 40)
a1 = 6, r = 10 – 8 = 2, an = 40 e n = ?
an = a1 + (n -1). R
40 = 6 + ( n – 1).2
40 – 6 = 2n – 2
34 + 2 = 2n
2n = 36
n = 18
Sn = ( a
an ).n
2
(
S18 = 6 40). 18
2
46
.
18
S18 =
2
Sn = 46.9
1
Sn = 414
O número de pedras é 414
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03.: (UEMA – 2011) O número N de bactérias em uma cultura, após T horas, é dado
por N = 1000 . (100,159 T). Determine a quantidade de horas necessárias para que o
número de bactérias seja igual a 3000. (Use logaritmo decimal de 3 igual a 0,477).
RESPOSTA ESPERADA:
0,157 T
N = 1000 . (10
)
0,157 T
3000 = 1000 . (10
)
0,157 T
3 = 10
Aplicando log aos dois membros da equação, temos:
0,157 T
log (10
) = log 3
0,159T. log 10 = 0,477
0,159T = 0,477
T = 0,477
0,159
T = 3 horas
O número de horas necessário é de 3 horas
Seja Perseverante.Tenha Esforço, Dedicação, AVANÇOS e Vitória
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04.: (UEMA – 2011) Calcule as soluções da equação (senx)3.cosx – senx.(cosx)3 = ¼.
-sen(2x). cos(2x) = 1
RESPOSTA ESPERADA:
2
sen(4x) = – 1
2
3
3
(senx) .cosx – senx.(cosx) = 1
4
sen(4x) = sen 3
2
2
senx.cosx.(sen x – cos x)= 1
2
3
4x =
+ 2k
2
x = 3 + 2k , k Z
8
4
3
k
x=
+
, k Z
8
2
4
senx.cosx.[-(cos x –sen x)] = 1
2
2
4
1
- senx.cosx.(cos x –sen x) =
4
2
2
Multiplicando por 2 ambos os membros,
temos:
- (2).senx.cosx.(cos x –sen x) = 1 .(2)
2
2
4
S
-2.senx.cosx.(cos x – sen x) = 1
2
2
x
2
3
8
k
,k Z
2
Multiplicando por 2 ambos os membros,
temos:
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05.: (UEMA – 2011) Com auxílio das câmeras de uma rede de televisão, verificou-se
que a bola de uma partida de futebol descreveu uma parábola perfeita, após a
cobrança de um tiro de meta por um dos goleiros em campo. A bola voltou ao
gramado a uma distância de 60 m de seu ponto de partida e, na metade dessa
distância, atingiu a sua altura máxima igual a 20 m. Pra um sistema de eixos
cartesianos ortogonais, com origem no ponto do campo onde a bola foi chutada
inicialmente pelo goleiro, eixo horizontal (0x) junto ao gramado e eixo vertical (0y),
na origem e, ainda, considerando essas informações:
a) elabore a ilustração dessa situação;
b) determine a equação da parábola descrita pela bola.
RESPOSTA ESPERADA:
y
a)
yv
20 cm
(0,0)
V
xv
x
30 cm
OBS.: O termo c = 0, pois a parábola passa pelo ponto (0,0)
b
2a
b) xv=
(b 2
2
30 =
b
2a
b = - 60a
yv=
4a
4ac)
4a
20
b – 4ac = -80ª
2
(-60a) – 4a.0 = -80a
2
3600a + 80a =0
2
360a + 8a = 0
a(360a + 8) = 0
a = 0 ( não convém)
a=
8
360
1
45
1
b = -60.ab = - 60.
45
b= 4
3
Logo:
Y = ax2 + bx + c
y
1 2
x
45
4
x
3
A equação da parábola
é:
y
1 2
x
45
Seja Perseverante.Tenha Esforço, Dedicação, AVANÇOS e Vitória
4
x
3
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06.: (UEMA – 2011) Seja P(x) um polinômio do 4º grau divisível por (x – 1) e por
(x + 3). Determine esse polinômio P(x), sabendo que (2 + i) é raiz desse polinômio.
RESPOSTA ESPERADA:
Se um polinômio admite a raiz z = a + bi (b 0) de multiplicidade 1, então
admite também como raiz o conjugado de z = a + bi (b 0). Logo:
P(x) = (x – r1). (x – r2). (x – r3).( x – r4)
P(x) = (x – 1). (x + 3). [ x – (2 + i)].[x – (2 – i)]
2
P(x) = (x + 2x – 3). [x – 2 + i].[x – 2 + i ]
2
P(x) = (x + 2x – 3) [ x – 2 - i].[x – 2 + i ]
2
2 2
P(x) = (x + 2x – 3). [(x – 2) - i ]
2
2
P(x) = (x + 2x – 3).[x – 4x + 4 +1]
2
2
P(x) = (x + 2x – 3).(x – 4x + 5)
4
3
2
P(x) = x – 2x – 6x + 22x – 15
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07.: (UEMA – 2011) A fazenda Novo Horizonte deseja construir um silo de
armazenagem de grãos com a forma de um tronco de cone, com as seguintes
medidas: raio da base maior 6m, raio da base menor 3m e altura do cone que deu
origem a esse tronco 10m. Considerando essas informações:
a) faça a ilustração gráfica deste silo;
b) calcule o volume deste silo, em metros cúbicos, considerando = 3,14
RESPOSTA ESPERADA:
a)
5m
r 3m
R
b) h
H
h 3
10 6
6m
r
R
h=5m
VT
VT
VT
VT
VT
h
[R
R 2 R.r r 2 ]
3
5
[ 6 2 6.3 32 ]
3
5
[36 18 9 ]
3
5 .63
3
105 m 2
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08.: (UEMA – 2011) Considere a cônica definida pela equação cartesiana
16x² - 25y² - 400 = 0 e em seguida resolva os itens solicitados.
a) identifique essa cônica, determine seus vértices e seus focos.
b) determine as ordenadas dos pontos do gráfico dessa cônica de
abscissas x = 41 e x = – 41 (use 41 = 6,4).
c) esboce o gráfico dessa cônica.
RESPOSTA ESPERADA:
2
2
a) 16x – 25y = 400
Dividindo ambos os membros por 400, temos:
16x 2 25 y 2
400 400
x2 y2
1
25 16
a
25 5
b
16
2
2
c
c2
c
F1
V1
400
400
EQUAÇÃO da HIPÉRBOLE
4
2
a b
52 42
41
41, 0 e F2 41, 0
5, 0 e V2 5, 0
2
b) 16 41 – 25 41
2
16. 41 – 25.y = 400
2
– 25y = 400 – 656
2
– 25y = – 256
2
25y = 256
y2
y
2
= 400
256
25
16
5
c)
F2 (
F2 ( 41, 0)
41, 0)
V1
V2
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