EE210 – Sistemas de Comunicação II
2ª Avaliação (PV2) – 22/04/2015 – 15h30min
Profs. Dayan A. Guimarães e Rausley A. A. de Souza
Nota T:
Nota P:
Aluno(a): __________________________________________________________ Matrícula ______________.
•
Prova sem consulta, com duração de 1h50min.
•
A interpretação é parte integrante das questões.
•
Solucione as questões de forma organizada. Boa Prova.
•
É proibido portar quaisquer aparelhos eletrônicos de comunicação e de gravação de sons e imagens, bem
como óculos escuros, protetor auricular ou quaisquer acessórios de chapelaria durante a realização
dessa avaliação. O aluno que desrespeitar essa determinação terá nota zero e será penalizado de acordo
com o Artigo 63 do Regimento do Inatel.
•
Formulário e dados:
∑ i =1 pi Ei
N
si (t ) = ∑ j =1 sijφ j (t )
M
E=
sij =
T
∫0 si (t ) φ j (t )dt
T
∫0 si (t ) sk (t )dt = si sk
si
T
2
= siT si
d ik = si − sk
M M
Pe ≤
1
 d

pi erfc  ik 
∑∑
2 i =1 k =1
 2 N0 
k ≠i
1ª questão (40 pontos)
Um sinal 4-PAM tem símbolos equiprováveis, média nula e energia média por símbolo E = 5 joules. Admitindo
que os vetores sinais da constelação são numerados em ordem crescente da esquerda para a direita, a distância
euclidiana entre os símbolos vizinhos pode ser escrita como d12 = d 23 = d 34 = 2 E3 .
a) Calcule as coordenadas dos vetores sinais (20 pontos).
Solução
E=
1
4
∑i =1 Ei ⇒ 5 = 21 ∑ i =3 Ei = 21 ( s312 + s412 ) .
4
4
2
2
= ( 2 s31 + s31 )2 = 9 s31
Pelo dado da distância Euclidiana, s41 − s31 = 2 s31 ⇒ s41
.
Então, 5 =
1
2
2
2 )
( s31
+ 9 s31
⇒ s31 = 1 ⇒ s41 = 3.
Como a média é nula, s11 = −3 e s21 = −1.
b) Liste os vetores sinais (10 pontos).
Solução
s1 = [ s11 ] = [−3], s2 = [ s21 ] = [−1], s3 = [ s31 ] = [1], s4 = [ s41 ] = [3] .
1
c) Desenhe a constelação, colocando todos os rótulos e valores (10 pontos).
Solução
s1
s2
s3
s4
−1
1
3
φ1
−3
2ª questão (60 pontos, 10 pontos cada item)
Considere a sinalização em banda base cuja constelação é mostrada na figura a seguir. Tal sinalização transporta
um feixe de dados a 1 Mbit/s e utiliza símbolos equiprováveis. O símbolo s1 representa o bit 1.
a) Proponha as formas de onda das funções base que poderiam ser utilizadas nessa sinalização.
Solução
Quaisquer duas formas de onda em banda base, ortogonais entre si e com energia unitária. Por exemplo:
b) Construa o transmissor para a sinalização em questão. Registre todos os passos.
Solução
Tomando por base a estrutura generalizada fornecida, não há conversor S/P, pois a sinalização é binária.
Então, os bits de entrada são aplicados diretamente à LUT. Esta converte os bits 0s no coeficiente −1 e os
bits 1s no coeficiente +1. Estes coeficientes multiplicam simultaneamente as duas funções base e os
resultados são somados para gerar o sinal de saída do transmissor, cuja estrutura fica assim:
c) Construa o receptor de máxima verossimilhança para a sinalização em questão em canal AWGN. Apresente
todos os passos.
Solução
Tomando por base a estrutura generalizada fornecida, há dois correlatores, pois a sinalização é
bidimensional. Cada uma das saídas desses correlatores é aplicada a um dos dois blocos de produto interno,
mas estes blocos podem ser suprimidos, pois xTs1 é apenas um valor escalonado da correlação do sinal
recebido x(t) com φ1(t) e xTs2 é um valor escalonado e negativo da correlação do sinal recebido x(t) com
φ2(t). As compensações de energia também não são necessárias, pois os símbolos tem mesma energia.
Então, basta decidir pelo símbolo correspondente ao maior entre o valor de saída do correlator da parte
2
superior e o valor de saída negativo do correlator inferior. Faz-se isto subtraindo tais sinais (o que equivale
a somar os sinais de saída dos correlatores) e decidindo em função da polaridade: positiva => bit 1,
negativa => bit 0. A estrutura do receptor então fica assim:
d) Utilizando o limitante de união, deduza a expressão para cálculo da probabilidade de erro de bit em função da
relação entre a energia média por bit e a densidade espectral de potência de ruído. Considere que a relação sinalruído é alta. Registre todos os passos utilizados na dedução.
Solução
M M
Como a relação sinal-ruído é alta, então BER ≅
k ≠i
1

Simplificando, tem-se BER ≅ erfc 
2

Eb
N0
2
2
1
 2 Eb 
 d
 1
pi erfc  ik  = ∑∑ erfc 
∑∑
.
2 i =1 k =1
 2 N 0  4 i =1 k =1
 2 N0 
k ≠i

.

e) O que se pode dizer sobre a precisão da expressão para cálculo da probabilidade de erro de bit encontrada no
item anterior? Ela é de fato aproximada ou exata? Justifique e calcule a probabilidade de erro de bit quando a
densidade espectral de potência de ruído for igual à energia média por bit.
Solução
A expressão é na verdade exata, pois cada símbolo tem somente um vizinho, já considerado na dedução.
Para Eb/N0 = 1, BER = (1/2)erfc(1) ≅ 0,079.
f) Na constelação dada, represente as regiões de decisão dos símbolos.
Solução
3ª questão (100 pontos, 17 pontos cada item)
A primeira das figuras a seguir mostra o diagrama do sistema utilizado em laboratório para análise do desempenho
do receptor de máxima verossimilhança. No gráfico de BER, várias curvas resultantes de várias execuções da
simulação são plotadas. A segunda e a terceira figuras mostram as partes internas dos blocos complex symbol
generation e decoding and demapping, respectivamente.
3
a) A tabela mostrada na primeira figura desta questão refere-se ao mapeamento adotado na LUT do bloco complex
symbol generation. Marque na constelação dada os bits representados por cada um dos símbolos. Justifique a
marcação encontrada.
Solução
O bloco S/P do VisSim/Comm converte cada par de bits no correspondente valor decimal, que em seguida
é acrescido de 1 para gerar os valores de entrada da LUT, estes associados à coluna da esquerda da tabela
dada. Os valores de entrada então selecionam o par de coordenadas de saída da LUT, os quais determinam
as posições de cada símbolo. Sendo assim, teremos:
4
b) Observe o gráfico de BER e responda, justificando, se os resultados mostrados são coerentes.
Solução
São coerentes: a BER real (obtida por simulação) está acima daquela estimada pelo limitante de união,
dada pela divisão da probabilidade de erro de símbolo por log2M = 2, pois esta última pressupõe que o
mapeamento símbolo-bit segue o código Gray, o que não ocorre na simulação em questão. Os símbolos
vizinhos correspondentes aos bits 00 e 11 são os causadores da elevação da BER acima daquela prevista
pelo limitante.
c) Determine, justificando, se os símbolos são ou não são equiprováveis, sabendo que a taxa de símbolos é de 1
símbolo/s.
Solução
Admitindo
E=
1
4
∑
4
E
i =1 i
que
=
1
4
∑
sejam
4
sT s
i =1 i i
equiprováveis,
a
energia
média
por
símbolo
seria
≅ 4,87 joules.
A potência média indicada na segunda figura é ≅ 4,86 watts. Como P = E/T = ER = 4,87×1 = 4,87 watts,
verifica-se um valor muito próximo do medido. Portanto, os símbolos são de fato equiprováveis.
d) O que aconteceria com a BER real se as coordenadas dos símbolos 3 e 4 fossem trocadas? Justifique sua
resposta.
Solução
Passaríamos a respeitar o mapeamento Gray e, portanto, a BER real seria reduzida, aproximando-se da
curva da BER obtida por meio do limitante de união.
e) Se x1 = −2, determine o valor de x2 referente ao último símbolo estimado na simulação, conforme registra a
terceira figura.
Solução
Pela figura em questão, o símbolo estimado foi o símbolo s2 = [−1 1]T. Então temos que
1
 −1  1
 −1 
x T s2 − E2 = [ −2 x2 ] ×   − × [ −1 1 ] ×   = 1,36 ⇒ x2 = 0,36 .
2
1 2
1
f) Com base no valor de x2 encontrado no item anterior, com x1 = −2, responda se a decisão tomada pelo receptor
é coerente com o que se esperava. Justifique sua resposta.
Solução
Sim, pois o vetor recebido x = [−2 0,36]T está no segundo quadrante da constelação, correspondente à
região de decisão do s2. Em outras palavras, x está mais próximo de s2 do que de qualquer dos outros
símbolos.
____________________________________________________________________________________________
5