Probabilidades
O cálculo de probabilidades teve a sua origem no estudo dos jogos de azar,
principalmente nos jogos de dados.
Quando lançamos um dado, os resultados
possíveis são sempre um dos elementos do conjunto
E={1,2,3,4,5,6}
A possibilidade de ocorrer número par, nesse lançamento, é equivalente à chance de se
obter, na face voltada para cima, um dos números do conjunto b={2,4,6}
Dizemos, então, que a possibilidade de se obter número par no lançamento de um dado
é de 3 em 6, isto é, 3/6.
A partir desse exemplo, vamos introduzir alguns conceitos importantes ao cálculo de
probabilidades.
Experimento aleatório, espaço amostral e probabilidade
A partir de um experimento aleatório, determina-se o conjunto de todos os resultados
possíveis desse experimento, que é o espaço amostral. Qualquer subconjunto desse
espaço é um evento e a sua probabilidade de ocorrência é um número definido pelo
quociente.
A probabilidade de ocorrer o evento B de um espaço amostral E é indicada por P (B) e é
definida pelo quociente:
Observações:
- O número de elementos de B é igual ao número de perspectivas favoráveis ao
evento B.
- O número de elementos de E é igual ao número de resultados possíveis do
experimento aleatório.
Os exemplos a seguir esclarecerão os conceitos de experimento aleatório, espaço
amostral e probabilidade.
Espaço amostral equiprovável
O conjunto de todos os resultados possíveis desse experimento aleatório é o seu espaço
amostral E.
Se todos esses resultados têm a mesma possibilidade de ocorrer, isto é, se a
probabilidade de ocorrer cada um desses eventos for de 1 em 6, ou seja, 1/6, então o
espaço amostral E={1,2,3,4,5 e 6} é chamado espaço amostral equiprovável.
Espaço amostral equiprovável é aquele no qual todos os seus eventos têm a mesma
probabilidade.
Exemplo:
Uma pesquisa realizada com 40 alunos de uma classe constatou o seguinte:
10 praticam natação, futebol e vôlei;
13 praticam natação e futebol;
12 praticam natação e vôlei;
15 praticam futebol e vôlei; 20 praticam natação, 24 futebol e 21 vôlei.
Determinar a probabilidade de, ao selecionar, ao acaso, um desses alunos, sair um que:
A- pratique natação;
B- pratique futebol;
C- pratique ao menos um desses esportes;
D- não pratique nenhum desses esportes.
Solução:
Você pode resolver o problema, utilizando o diagrama dos conjuntos:
N= conjunto dos alunos que praticam natação;
F= conjunto dos alunos que praticam futebol;
V= conjunto dos alunos que praticam vôlei;
A= conjunto dos alunos da classe.
Escreva o número de elementos correspondentes a cada
Uma das regiões do diagrama, começando pelo número
De elementos da interseção dos três conjuntos (10), depois
Pelo número de elementos das interseções dos conjuntos dois
a dois e, finalmente, pelo número de elementos dos conjuntos N, F e V.
O espaço amostral E é constituído por 40 alunos. Então, n(E)=40.
A- Observe, por meio do diagrama, que existem 20 alunos que particam natação.
Então, n(A)=20
Logo, P(A)= n(A) = 20 = 1 = 50%
n(E) 40 2
B- Observe, por meio do diagrama, que existem 24 alunos que praticam futebol.
Então, n(B)=24.
Logo, P(B)= n(B) = 24
n(E) 40
C- Observe, também, por meio do diagrama, que 35 alunos praticam pelo menos um
desses esportes e apenas 5 não praticam nenhum dos esportes.
Entoa, n(C)=35
Logo, P(C) =n(C) = 35 = 7
n(C) 40 8
D- Existem 40 alunos dos quais 35 praticam pelo menos um dos esportes e 5 não
praticam nenhum dos esportes.
Então, n(D)=5.
Logo, n(D) = 5 = 1
n(E) 40 8
Princípio multiplicativo da contagem
Vimos anteriormente, que podemos calcular a probabilidade P(A) de ocorrer o evento A
de um espaço amostral E, por meio da obtenção dos conjuntos E e A e, a partir da
listagem e da contagem de seus elementos, obtivemos n(E) e n(A) e calculamos P (A) =
n(A) / n(E).
Esse procedimento só se viabilizou porque foi possível listar e contar os elementos do
espaço amostral E e do evento A para obter os números n(E) e n(A).
Entretanto, se esses números forem grandes, essa contagem poderá ser muito
trabalhosa e, às vezes, impossível.