Carlos de Lamare Bastian Pinto
Modelagem de Opções Reais com Processos de Reversão
à Média em Tempo Discreto: Uma Aplicação na Indústria
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0612037/CA
Brasileira de Etanol
Tese de Doutorado
Tese apresentada ao Programa de Pós-Graduação em
Administração de Empresas da PUC-Rio como
requisito parcial para obtenção do título de Doutor em
Administração de Empresas.
Orientador: Luiz Eduardo Teixeira Brandão
Rio de Janeiro
Dezembro de 2009
Carlos de Lamare Bastian Pinto
Modelagem de Opções Reais com Processos de Reversão
à Média em Tempo Discreto: Uma Aplicação na Indústria
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0612037/CA
Brasileira de Etanol
Tese apresentada ao Programa de Pós-Graduação em
Administração de Empresas da PUC-Rio como requisito
parcial para obtenção do título de Doutor em
Administração de Empresas da PUC-Rio. Aprovada pela
Comissão Examinadora abaixo assinada.
Prof. Luiz Eduardo Teixeira Brandão
Orientador
Departamento de Administração – PUC-Rio
Prof. Antonio Carlos Figueiredo Pinto
Departamento de Administração – PUC-Rio
Prof. Walter Lee Ness, Jr.
Departamento de Administração – PUC-Rio
Prof. Roberto Marcos da Silva Montezano
IBMEC
Prof. Diógenes Manoel Leiva Martin
Universidade Presbiteriana Mackenzie PPGA- CCSA
Prof. Nizar Messari
Vice-Decano de Pós-Graduação do CCS
Rio de Janeiro, 18 de Dezembro de 2009
Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total
ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do
autor e do orientador.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0612037/CA
Carlos de Lamare Bastian Pinto
Graduado em Engenharia Mecânica pela Pontifícia
Universidade Católica do Rio de Janeiro (1982), MBA em
Gestão de Negócios pelo Ibmec Rio de Janeiro (2001) e
Mestrado Profissionalizante em Administração pelo Ibmec
Rio de Janeiro (2004), com foco em Avaliação de Empresas
e Projetos pela Metodologia de Opções Reais.
Profissionalmente possui experiência em Análise
Econômica e Financeira de Empresas, Orçamento de
Capital (valuation), Business Plan e Desenvolvimento e
Modelagem Estratégica de Novos Negócios. Atuou por 20
anos em diversas áreas tais como: TI, Sistemas de Apoio à
Gestão, Logística, Energia, Petroquímica, Oil&Gas, etc.
tanto como Consultor Independente, assim como
empregado direto em empresas como Vale do Rio Doce.
Ficha Catalográfica
Pinto, Carlos de Lamare Bastian
Modelagem de opções reais com processos de
reversão à média em tempo discreto: uma aplicação na
indústria brasileira de etanol / Carlos de Lamare Bastian
Pinto ; orientador: Luiz Eduardo Teixeira Brandão. – 2009.
164 f. : il. (color.) ; 30 cm
Tese (Doutorado em Administração)–Pontifícia
Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro,
2009.
Inclui bibliografia
1. Administração – Teses. 2. Opções reais. 3.
Processos estocásticos. 4. Reversão à média. 5. Árvore
binomial. 6. Árvore bi-variável. 7. Processos estocásticos
de dois fatores. 8. Bio-combustíveis. 9. Indústria de etanol.
I. Brandão, Luiz Eduardo Teixeira. II. Pontifícia
Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de
Administração. III. Título.
CDD 658
A meus filhos Luiz e Bernardo.
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Agradecimentos
Ao meu orientador, professor Luiz Eduardo Teixeira Brandão, pelo permanente
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incentivo e estimulo desde o início deste trabalho.
Aos professores do IAG, em especial Antônio Carlos Figueiredo, Leonardo Lima
Gomes, Jorge Ferreira e Walter Ness, pelo apoio nestes anos de doutorado.
Aos professores Roberto Marcos da Silva Montezano e Diógenes Manoel Leiva
Martin, pelos comentários e contribuições na defesa.
Ao professor Marco Antônio Guimarães Dias pelas aulas ministradas e pela
inspiração.
Às minhas colegas de doutorado, que hoje são minhas grandes amigas, Graziela
Fortunado e Marta Dalbem, pelo convívio nestes anos de estudo.
Aos funcionários do IAG, em especial Teresa Campos por sempre estar disposta
em ajudar nos assuntos administrativos.
À PUC-Rio, pelo auxílio e pelo ambiente acadêmico.
À minha querida família, meus filhos Luiz e Bernardo, minha esposa Frederika e
meus pais Luiz e Célia, sem o amor dos quais nunca teria chegado tão longe.
E, acima de tudo, a Deus por estar presente em todo instante da minha vida.
Resumo
Bastian Pinto, Carlos de Lamare; Brandão, Luiz Eduardo Teixeira.
Modelagem de Opções Reais com Processos de Reversão à Média em
Tempo Discreto: Uma Aplicação na Indústria Brasileira de Etanol. Rio
de Janeiro, Tese de Doutorado, p. 164 – Departamento de Administração,
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro
A presente tese trata da modelagem por Reversão à Média de incertezas
estocásticas, e sua aplicação em opções reais. A utilização de processos
estocásticos que não o caminho aleatório, ou Movimento Geométrico Browniano
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(MGB), geralmente não permitem a utilização de soluções analíticas fechadas
para avaliar ativos contingenciais e então são usadas abordagens numéricas
discretas. A tese está dividida em três capítulos que cobrem o tema. No primeiro
após uma discussão sobre a validação do processo a ser usado são apresentados os
modelos mais conhecidos para Movimentos de Reversão à Média (MRM): quatro
de fator único, entre eles um aritmético e três geométricos, e mais um de dois
fatores. Para todos são mostrados ou desenvolvidos, os processos de discretização,
a expressão do valor esperado assim como a estimação de parâmetros a partir de
séries históricas. A relevância desse último ponto é devida ao fato que geralmente
somente séries históricas são conhecidas para as variáveis incertas nas aplicações
de opções reais. O capítulo apresenta ainda o levantamento de parâmetros para os
principais modelos apresentados no caso de séries históricas de preços reais de
açúcar e etanol pagos ao produtor no Estado de São Paulo. O segundo capítulo
trata da modelagem por árvore binomial como método numérico discreto para
aproximação de processos de reversão à média. Esta aproximação permite a
avaliação de ativos contingentes escritos sobre uma variável cujo valor tenha esse
comportamento estocástico. Essa abordagem clássica é usada em inúmeros
trabalhos e tem origem na metodologia desenvolvida por Cox, Ross e Rubinstein
(1979), a qual só é aplicável a variáveis que tenham um comportamento
aproximado por um MGB, excluindo toda uma gama de ativos cujo
comportamento é mais bem aproximado por um processo auto regressivo. São
demonstradas duas formas de aproximação binomial para reversão à média.
Também é mostrado como compor em uma árvore bi-variável, dois processos
estocásticos independentes sendo que pelo menos um segue um MRM, e o outro
um MGB ou outro MRM. Neste capítulo as abordagens desenvolvidas são usadas
para avaliar uma opção de expansão de uma usina somente de açúcar, para
produzir também etanol. O terceiro capítulo usa os resultados dos dois primeiros
para avaliar a opção de alternância de produção existente nas usinas flexíveis de
processamento de cana de açúcar. Estas podem alternar a produção entre açúcar
ou etanol, e esta flexibilidade tem valor substancial para a usina. O capítulo avalia
esta opção real usando a abordagem por árvore bi-variável combinando dois
processos de Reversão à Média correlacionados para os preços dos dois produtos
passíveis de serem produzidos. Esta modelagem é então comparada aos resultados
de uma avaliação por simulação, os quais confirmam a convergência dos dois
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métodos. Também é analisada a sensibilidade do valor da opção real de
alternância à correlação dos dois processos estocásticos. Finalmente a tese conclui
com um resumo geral sobre a importância da escolha correta do processo
estocástico que modela as incertezas envolvidas na avaliação por opções reais e
sugere futuras linhas de pesquisa, tal como a parametrização de processos com
saltos.
Palavras Chave
Opções Reais; Processos Estocásticos; Reversão à Média; Árvore Binomial;
Árvore bi-variável; Processos Estocásticos de Dois Fatores; Bio-Combustíveis;
Indústria de Etanol.
Abstract
Bastian Pinto, Carlos de Lamare; Brandão, Luiz Eduardo Teixeira
(Advisor). Real Options Modeling with Mean Reversion Processes in
Discrete-Time: An Application in the Brazilian Ethanol Industry. Rio
de Janeiro, Doctoral Dissertation, p. 164 – Departamento de Administração
de Empresas, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro
This dissertation covers the theme of stochastic uncertainties modeling with
mean reversion, and its applications in real options valuation. The use of alternate
stochastic processes other than random walk, or Geometric Brownian Motion
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(GBM), usually does not have analytical closed solutions for valuing contingent
claims and therefore numerical approaches must be used. The dissertation is
divided in three main chapters that cover this theme. In the first of these, after a
discussion on the validity of stochastic process, the most widely known Mean
Reversion Models (MRM) are presented: four single factor processes, one
arithmetic and three geometric, and a two factor process. For all of these we show
or develop the discrete process, the expression for the expected value and
estimation of parameters from historical data. This last point is fundamental since
generally only historical data is available for uncertainties involved in most real
options applications. The chapter also estimates parameters of the main models
presented for data from prices of ethanol and sugar paid to producers in the State
of São Paulo. The second of these chapters deals with lattice modeling as a
discrete method for approaching mean reversion processes. This approach allows
the valuation of contingent claims written on a variable whose value follows this
stochastic behavior. Lattice modeling is already a classic approach used in
countless papers and originates from the methodology developed by Cox, Ross
and Rubinstein (1979). But this latter method only fits variables showing an MGB
dynamic, excluding the whole range of assets for which an autoregressive process
is a better description of their price behavior. Two mean reversion lattice models
are then explained. Also shown is an approach allowing the composition of a bivariate lattice with two independent yet correlated stochastic processes, of which
one is a MRM and the other either an MGB or another MRM. These approaches
are then used to value an expansion option available to a sugar producing plant to
also produce ethanol. The third chapter uses the methodologies developed in the
first two to value the switch option embedded in Brazilian sugarcane flexible
plants. These can switch production from one output to another (ethanol and
sugar) and this flexibility has significant value. The chapter values this real option
using the bi-variate lattice approach, combining two correlated MRMs for both
prices of the possible output products. This modeling is then compared to the
results of a simulation method, which confirms the convergence of both results.
We also analyze the sensibility of the option switch value to the correlation of
both stochastic processes. Finally the dissertation concludes on the importance of
the correct choice of the stochastic process when modeling the uncertainties
involved in real options valuation, and suggests further research in the same line,
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such as parameterization of jump processes.
Keywords
Real Options; Stochastic Processes; Mean Reversion; Binomial Lattice; BiVariate Lattice; Two Factor Stochastic Processes; Bio-fuels; Brazilian SugarEthanol industry.
Sumário
1 Introdução
18
1.1. Modelagem de Processos Estocásticos por Reversão À Média
19
1.2. Modelagem de Opções Reais por Árvores Binomiais
20
1.3. Aplicação de Opções Reais na Indústria Brasileira de Etanol
21
1.4. Organização da Tese
22
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2 Processos Estocásticos de Reversão à Média para Aplicação em
Opções Reais
24
Resumo
24
2.1. Introdução
24
2.2. Processos Estocásticos e seu Uso em Aplicações de Opções
Reais
26
2.3. Determinação da Validade do Processo Estocástico
29
2.4. Modelos de Reversão à Média de Fator Único
32
2.4.1. Modelo Aritmético de Ornstein-Uhlenbeck
32
2.4.1.1. Média e Variância
33
2.4.1.2. Discretização do Modelo
33
2.4.1.3. Estimação de Parâmetros
34
2.4.1.4. Simulação Neutra ao Risco
36
2.4.2. Modelos Geométricos de Reversão à Média
37
2.4.2.1. O Modelo de Dixit & Pindyck (1994)
37
2.4.2.1.1. Média e Variância
38
2.4.2.1.2. Discretização do Modelo
40
2.4.2.1.3. Estimação de Parâmetros
40
2.4.2.1.4. Simulação Neutra ao Risco
42
2.4.2.2. O Modelo 1 de Schwartz (1997)
43
2.4.2.2.1. Média e Variância
43
2.4.2.2.2. Discretização do Modelo
45
2.4.2.2.3. Estimação de Parâmetros
46
2.4.2.2.4. Simulação Neutra ao Risco
47
2.4.2.3. O Modelo Dias/Marlim (1999)
48
2.4.2.3.1. Média e Variância
49
2.4.2.3.2. Discretização do Modelo
49
2.4.2.3.3. Estimação de Parâmetros
50
2.4.2.3.4. Simulação Neutra ao Risco
52
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2.4.3. Discussão acerca das limitações dos Modelos apresentados de
Reversão à Média de Fator Único
52
2.5. Modelos de dois Fatores com Reversão à Média
54
2.5.1. O modelo de dois fatores de Schwartz e Smith (2000)
57
2.5.1.1. Equação diferencial do modelo
59
2.5.1.2. Média e Variância
59
2.5.1.3. Discretização do modelo
60
2.5.1.4. Estimação de Parâmetros
62
2.5.1.4.1. Derivação dos valores iniciais dos dois fatores do processo
63
2.5.1.4.2. Primeiro caso: considera-se que σy = 0
63
2.5.1.4.3. Segundo caso: o processo MAB é conhecido
65
2.5.1.4.4. Terceiro caso: Caso geral, apenas St é observado
66
2.5.1.5. Simulação Neutra ao Risco
68
2.6. Resultados da modelagem de preços de açúcar e etanol com os
modelos descritos
69
2.6.1. Dados utilizados
69
2.6.2. Determinação da Validade do Processo Estocástico
71
2.6.3. Resultados
73
2.7. Conclusões e sugestões
79
2.8. Referências Bibliográficas
80
3 Árvores Binomiais para Aproximação de Movimento de Reversão à
Média, para uso em Opções Reais
83
Resumo
83
3.1. Introdução: árvores binomiais recombinantes para avaliação de
opções reais
83
3.2. Aproximação binomial para movimento de reversão à média
85
3.2.1. Modelo de reversão à média censurado de Nelson e
Ramaswamy (1990)
87
3.2.2. Aproximação binomial para modelo não censurado de reversão
à média
89
3.2.3. Convergência dos dois modelos de árvore binomial para
reversão à média
92
3.3. Modelos de árvore bi-variável com reversão à média
98
3.3.1. Modelo bi-variável composto de um MGB e um MRM
99
3.3.2. Modelo bi-variável composto de dois processos MRM
103
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3.4. Avaliação de opção de expansão de usina refinadora de açúcar
em destilaria flexível de etanol
105
3.4.1. Metodologia de avaliação da opção real de expansão
106
3.4.2. Modelagem e resultados
109
3.5. Conclusões
112
3.6. Referências bibliográficas
112
Anexo 3.1 Derivação dos valores de subida e descida e probabilidade
de subida no modelo binomial para MRM não censurado
115
Anexo 3.2 Derivação do modelo censurado de Nelson e Ramaswamy
(1990) para reversão à média
118
4 Flexibilidade como fonte de valor na produção de combustíveis
alternativos: o caso do etanol brasileiro
119
Resumo
119
4.1. Introdução
119
4.2. A indústria Brasileira de Etanol e Açúcar
121
4.3. Modelagem estocástica dos preços de etanol e açúcar
123
4.3.1. Aproximação binomial para processos de reversão à média
128
4.3.2. Transformação em um processo neutro a risco
130
4.3.3. Modelagem discreta bi-variável de processo de reversão à
média
130
4.4. Metodologia de avaliação de opção de alternância
134
4.4.1. Estimação dos parâmetros dos processos estocásticos
134
4.4.2. Metodologia do modelo de avaliação da opção
137
4.6. Resultados
141
4.6.1. Resultados do modelo de árvore bi-variável
141
4.6.2. Comparação com resultados de modelo de simulação
142
4.6.3. Comparação com resultados assumindo a modelagem dos
preços por MGB
143
4.6.4. Sensibilidade do resultado à correlação entre os processos de
preços
145
4.7. Conclusões
146
4.8. Referências bibliográficas
147
Anexo 4.1: Transformação do processo estocástico para o ln (Preço) 150
Anexo 4.2: Ajustamento da media de longo prazo para um processo
neutro a risco
151
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Anexo 4.3: Estimação de parâmetros em modelo de reversão à
média
153
5 Conclusões e Recomendações para Futuras Pesquisas
155
6 Referências Bibliográficas Consolidadas
159
Lista de figuras
Figura 2.1. Plotagem modelo Schwartz e Smith, com x0 > 0
61
Figura 2.2. Plotagem modelo Schwartz e Smith, com x0 < 0
61
Figura 2.3. Preços etanol e açúcar CEPEA
70
Figura 2.4. Preços etanol e açúcar deflacionados pelo IGP-DI CEPEA
70
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Figura 2.5. razão da variância Rk para diferentes valores de lag k –
etanol e açúcar
72
Figura 2.6. Variância verificada e estimada para Etanol nominal
77
Figura 2.7. Variância verificada e estimada para Açúcar nominal
78
Figura 3.1. Nó binomial
90
Figura 3.2. Nó binomial do processo OU
91
Figura 3.3. Árvores binomiais modelos censurado e não censurado,
com S0 = 75
94
Figura 3.4. Exemplo de árvore MRM com os dois modelos com S0 =
25
97
Figura 3.5. Nó da ramificação bi-variável
99
Figura 3.6. Nó bi-variável censurado de um MAB seguido de um
MRM
101
Figura 3.7. Nó bi-variável censurado de dois MRMs
104
Figura 3.8. Fluxos de Caixa Mensais e Razão dos Fluxos de Caixa
Etanol/Açúcar
107
Figura 3.9. Árvores da variável RE/A para processos MGB e MRM
110
Figura 3.10. Árvores da variável RE/A para processo conjunto MGB
e MRM
111
Figura 4.1. Razão da Variância para diferentes valores de retardo
127
Figura 4.2. Nó de ramificação binomial
128
Figura 4.3. Nó da árvore bi-variável
131
Figura 4.4. Sequência do nó marginal-condicional para duas
commodities
Figura 4.5. Série de preços de etanol e açúcar deflacionados por
133
IGP-DI
135
Figura 4.6. Regressão para determinação dos parâmetros do
processo estocástico do etanol
136
Figura 4.7. Regressão para determinação dos parâmetros do
processo estocástico do açúcar
136
Figura 4.8. Árvore de processo neutro à risco para açúcar
140
Figura 4.9. Árvore de processo neutro à risco para etanol
140
Figura 4.10. Projeções de preços de açúcar (ajustada ao risco)
144
Figura 4.11. Projeções de preços de etanol (ajustada ao risco)
144
Figura 4.12. Valor da opção de alternância em função da
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correlação
146
Lista de tabelas
Tabela 2.1. Processos estotásticos mais usuais
28
Tabela 2.2. Valores críticos assintóticos de teste t de Raiz Unitária.
Sem tendência temporal
29
Tabela 2.3. Valores críticos assintóticos de teste t de Raiz Unitária.
Com tendência temporal
30
Tabela 2.4. Modelagem como MGB e como MRM
74
Tabela 2.5. Modelagem como reversão à média com drift (caso 1 Schwartz & Smith)
75
Tabela 2.6. Modelagem como reversão à média com IGP-DI (caso 2
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- Schwartz & Smith)
75
Tabela 2.7. Modelagem como reversão à média e MAB (caso 3 Schwartz & Smith)
76
Tabela 2.8. Sensibilidade da volatilidade σx, a correlação ρxy entre os
fatores x e y
78
Tabela 3.1. Sensibilidade para os dois modelos em erro % (∆%) de
E[x] e σ2[x]
95
Tabela 4.1. Resultados da regressão para preços deflacionados de
etanol e açúcar.
137
Tabela 4.2. Parâmetros estocásticos para etanol e açúcar
137
Tabela 4.3. Valor presente dos fluxos de caixa operacionais dos
casos base determinísticos
139
Tabela 4.4. Comparação dos resultados por reverão à média vrs
MGB
145
Lista de Siglas e Abreviaturas
CALL – Opção de Compra
CAPM – Capital Asset Princing Model
D&P – Dixit & Pindyck
FCL – Fluxo de Caixa Livre
IGP-DI – Índice Geral de Preços – Disponibilidade Interna
MAB – Movimento Aritmético Browniano
MGB – Movimento Geométrico Browniano
MRM – Movimento de Reversão à Média
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OU – Ornstein Uhlenbeck
PIB – Produto Interno Bruto
TOR – Teoria das Opções Reais
VPL – Valor Presente Líquido
1
Introdução
A tradicional metodologia de avaliação de empresas e projetos que consiste
em descontar o Fluxo de Caixa Lívre (FCL) projetado a uma taxa que englobe seu
risco, constitui-se num paradigma bem aceito pelos acadêmicos e analistas de
avaliação. Atualmente são reconhecidas as limitações da metodologia de Valor
Presente Líquido (VPL), principalmente porque ela não consegue avaliar a
flexibilidade gerencial presente em diversos projetos. A ferramenta mais adequada
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para quantificar as flexibilidades gerenciais e estratégicas embutidas tanto nos
projetos corporativos quanto no valor das empresas, é a avaliação pela Teoria de
Opções Reais (TOR), a qual avalia com maior precisão a capacidade da gestão em
adaptar-se a novas informações.
A Teoria de Opções Reais (TOR) vem ganhando força como pode ser
acompanhado pelas publicações e artigos em journals acadêmicos em número
crescente tanto no exterior quanto no Brasil. Desde a tese de doutorado pioneira
de Tourinho (1979), inúmeros autores tais como Paddock, Siegel, e Smith (1988),
Trigeorgis (1993), Kulatilaka (1993), Kemna (1993), Roll (1994), Ross (1995),
Amram (2000), discorrem sobre a importância e complementaridade da
abordagem pela TOR com relação à avaliação tradicional por fluxo de caixa livre
descontado. As teses de doutorado inclusive no Brasil têm crescido em número
como atestam Gomes (2002), Brandão (2002), Dias (2005), Rocha (2006), Batista
(2007) e Kerr (2008) entre muitos outros. Essa produção de teses envolvendo
opções reais listada no portal da CAPES1, passou de 2 em 2002 para 6 em 2008, o
que atesta a crescente produção científica nessa área de pesquisa.
Dixit e Pindyck (1994) citam que são necessárias três condições básicas
para que um ativo ou projeto possa ser avaliado pela Teoria de Opções Reais: seu
valor futuro é incerto, o investimento uma vez realizado é pelo menos
parcialmente irreversível, e existe por parte da gestão flexibilidade quanto à
capacidade de agir, alterando o caminho de valor do projeto no futuro na medida
1
http://servicos.capes.gov.br/capesdw/
19
em que as incertezas são resolvidas. A incerteza, que está presente em inúmeros
projetos é uma das principais fontes de riscos, privados (diversificáveis) e
públicos (não diversificáveis), de qualquer projeto ou ativo como mostram
Brandão e Dyer (2009). A origem desta incerteza está nas variáveis do projeto que
possuem valor futuro pelo menos parcialmente aleatório. Uma forma de tratar tais
incertezas é através de modelagem por processos estocásticos. Estes podem ser
definidos como variáveis que evoluem discretamente ou continuamente no tempo
de forma imprevisível ou, no mínimo, parcialmente aleatória, ou estocástica.
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1.1.
Modelagem de Processos Estocásticos por Reversão À Média
A correta modelagem do comportamento estocástico da variável incerta é
fundamental para a avaliação das opções reais porventura existentes num projeto.
Devem ser consideradas questões como: características econômicas, tempo de
vida do ativo ou projeto, as dificuldades na parametrização do modelo estocástico
escolhido, a aplicabilidade deste nas soluções dos modelos usados para valoração,
entre outros fatores. Dixit e Pindyck (1994) apontam para o fato que se o tempo
de vida do ativo ou projeto for relativamente curto, a questão relativa ao tipo de
processo estocástico a ser considerado é de menor relevância, permitindo a
escolha em função da facilidade de modelagem ou obtenção de parâmetros. Isto
porque em períodos curtos de tempo, segundo esses autores, processos como os de
preços são dominados prioritariamente por choques estocásticos, ou seja, desvios
de curto prazo. Nesse caso a busca de um processo estocástico mais adequado ao
comportamento de preços pode ser considerada uma tarefa de alto custo frente aos
benefícios a serem obtidos. Por outro lado à medida que o período de tempo se
alonga o processo passa a ser mais dependente de componente que determina a
tendência deste processo. Então quando a vida do ativo for longa, a busca por um
processo que seja mais fidedigno ao desempenho do ativo será crucial na
determinação do seu valor, podendo, no entanto, existir um preço a ser pago pela
dificuldade na estimação de parâmetros e na determinação de soluções para
valoração do ativo. Frequentemente o processo estocástico denominado
Movimento Geométrico Browniano (MGB) é escolhido para a modelagem da
20
incerteza estocástica associada a uma opção, sem grandes considerações quanto a
adequação desta escolha. Diversos autores (LUND, 1993, METCALF e HASSET,
1995, SMITH e MCCARDLE, 1998, entre muitos outros) contestam essa
simplificação e lembram que os processos auto-regressivos, ou Movimentos de
Reversão à Média (MRM), podem descrever melhor diversas variáveis que
tendem a um nível de equilíbrio de longo prazo. Portanto a escolha e
parametrização correta de movimentos de reversão à média é de grande
importância para a avaliação pela teoria de opções reais.
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1.2.
Modelagem de Opções Reais por Árvores Binomiais
Opções reais geralmente têm prazos ou maturidades bastantes mais longos
que opções financeiras, podendo até ser perpétuas; o que justifica um esforço
maior na correta estimação e parametrização do processo estocástico modelado.
Também é freqüente considerar que as opções reais têm possibilidade de exercício
anterior ao eventual vencimento do prazo da opção, sendo assim classificadas
como opções americanas (AMRAM e KULATILAKA, 1999). Apesar de mais
realista, essa modelagem dificulta a avaliação da opção real, porque o exercício
antecipado não permite usar soluções fechadas como a de Black, Sholes e Merton
(1973). As soluções então devem ser por métodos numéricos, como diferenças
finitas (KERR, 2008) ou árvores de decisão (COPELAND e ANTIKAROV, 2003,
BRANDÃO, HAHN e DYER, 2005, ARNOLD, CRACK e SCHWARTZ, 2007).
Ainda assim a escolha do processo estocástico deverá gerar dificuldades se não
for um MGB, apesar de soluções já terem sido mostradas por Kerr (2008) e
Bastian-Pinto e Brandão (2007). Outra alternativa são os processos de simulação
por mínimos quadrados ordinários como fazem Grant, Vora e Weeks (1997),
Longstaff e Schwartz (2001), e Fu, Laprise e Madan (2001), ou por determinação
da curva de gatilho (IBÁÑEZ, e ZAPATERO, 2004, e CASTRO, BAIDYA e
AIUBE, 2007). As metodologias de simulação são muito versáteis, porém
frequentemente requerem programação própria principalmente no caso de se estar
em presença de diversas opções concorrentes (HAHN e DYER, 2008).
21
A aproximação binomial recombinante, ou lattice, é robusta, versátil e
talvez uma das metodologias mais utilizadas para discretização de processos
estocásticos desde que Cox, Ross e Rubinstein (1979) apresentaram seu modelo
que generaliza o resultado de Black, Sholes e Merton (1973). No entanto este se
aplica exclusivamente a processos de possam ser reproduzidos por um MGB.
Portanto a aproximação de outros processos estocásticos, tal como o Movimento
de Reversão à Média, por um processo binomial recombinante é de grande valia
para a avaliação pela Teoria de Opções Reais.
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1.3.
Aplicação de Opções Reais na Indústria Brasileira de Etanol
Em função da recente volatilidade dos preços do petróleo e do aumento
projetado da demanda de energia no futuro, as fontes alternativas de energia
renovável têm se mostrado cada vez mais atraentes e viáveis. Algumas dessas
alternativas, das quais uma já se encontra em ampla aceitação no Brasil, é o uso
do etanol de cana de açúcar como combustível automotivo. No entanto ainda
pairam dúvidas sobre os bio-combustíveis como fontes alternativas de energia não
somente quanto a sua viabilidade financeira, mas também quanto à capacidade
sustentável destes em se tornarem fatia importante da matriz energética brasileira
(UNTAD, 2005, ÚNICA, 2008). As incertezas às quais a indústria de biocombustíveis no Brasil está sujeita, quando associadas às flexibilidades gerenciais
também presentes nessa indústria, configuram-se como verdadeiras carteiras de
projetos com Opções Reais, as quais podem elevar significativamente o valor das
avaliações financeiras dos bio-combustíveis no Brasil. Essas flexibilidades
gerenciais, tais como a possibilidade de conversão da produção entre açúcar ou
etanol a partir de um mesmo produto, a cana de açúcar, são de fato exercidas pela
gestão. No entanto essas opções reais são avaliadas somente de forma intuitiva
pela própria indústria ou pelas áreas de avaliação de instituições financeiras.
Portanto fica clara a necessidade existente e o benefício que pode gerar a correta
avaliação, pela metodologia de Opções Reais, das flexibilidades gerenciais
existentes na indústria de bio-combustíveis brasileira.
22
1.4.
Organização da Tese
Da contextualização acima exposta sobressaem três temas principais de
pesquisa que serão tratados aqui: a escolha, modelagem e parametrização dos
processos de reversão à média de fator único ou de dois fatores, para aplicação em
opções reais; a modelagem por árvore binomial dos modelos de reversão à média
desenvolvidos; e a aplicação destes na indústria brasileira de etanol. Esta tese de
doutorado está organizada em três capítulos centrais, estes em formato de artigos
completos e independentes, mas que cobrem a cada um dos temas de pesquisa
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formulados nessa introdução.
O primeiro capítulo, de numeração 2, trata dos principais modelos
estocásticos de reversão à média, de fator único e de dois fatores. São
desenvolvidas as expressões de valor esperado, variância, simulação ajustada e
neutra ao risco, assim como levantamento de parâmetros a partir de séries
históricas, para todos os modelos tratados. Também é feita uma discussão sobre
validação de uso de um processo de reversão à média e é sugerido um modelo,
conhecido como de Schwartz e Smith (2000) composto de reversão à média e de
movimento geométrico browniano. São ainda levantados os parâmetros para
séries de etanol e açúcar para modelagem dos processos descritos.
O segundo capítulo, de numeração 3, propõe dois modelos binomiais para
aproximação de processos de reversão à média, e também a composição de um
deles com outro, seja um MGB ou um MRM, numa árvore bi-variável. A
composição de um MGB com um MRM nessa aproximação bi-variável permite
modelar de forma discreta o modelo de Schwartz e Smith (2000), e esta é aplicada
na avaliação de uma opção hipotética de expansão de uma usina de açúcar em
planta flexível de etanol.
Finalmente o terceiro capítulo, de numeração 4, avalia a opção de conversão
entre produção de açúcar e etanol disponível às usinas flexíveis de processamento
de cana de açúcar no Brasil, e mostra que esta flexibilidade confere valor
substancial ao negócio. Para tal são usadas abordagens desenvolvidas nos
capítulos precedentes, na qual os preços de etanol e açúcar são diretamente
23
modelados numa
árvore
bi-variável
de
dois
MRMs
independentes e
correlacionados. Também é feita uma comparação dos resultados com a mesma
abordagem usando modelagens por MGB e os resultados mostram que esta
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sobrevaloriza de forma significativa o valor da opção real.
2
Processos Estocásticos de Reversão à Média para
Aplicação em Opções Reais
Resumo
Este capítulo analisa alguns métodos usados na determinação da validade de
diferentes processos estocásticos para modelar uma variável incerta e verificar se
esta pode ter seu comportamento descrito por um caminho aleatório ou se os
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modelos de reversão à média descrevem melhor seu comportamento. São
analisados os principais modelos de reversão à média passiveis de serem usados
em avaliação por opções reais, sejam estes de fator único, aritmético e geométrico,
ou de dois fatores. Para cada modelo analisado é demonstrada ou desenvolvida
uma abordagem para determinar os parâmetros necessários à sua modelagem,
sempre a partir de séries temporais existentes de valores da variável que se
pretende modelar. Dessa forma é possível utilizar diversos modelos estocásticos
em aplicações de opções reais, não se restringir a modelagem por movimento
geométrico browniano. As abordagens desenvolvidas são então aplicadas a séries
temporais de preços spot de etanol e açúcar no mercado brasileiro. Em seguida, os
parâmetros de cada modelo desenvolvido são levantados e comparados,
mostrando que para preços deflacionados os modelos auto-regressivos são mais
adequados, enquanto que nas séries nominais o processo de caminho aleatório é
mais apropriado. Também é mostrado que ambos processos podem ser integrados
num modelo de dois fatores, mais complexo, porém que melhor descreve o
comportamento dessas variáveis.
2.1.
Introdução
As incertezas responsáveis pela volatilidade dos projetos geralmente são
modeladas como um Movimento Geométrico Browniano (MGB) para fins de
avaliação pela teoria das opções reais. Isso simplifica sua modelagem e também
25
permite que a estimação dos parâmetros necessários para essa modelagem seja
feita a partir de séries temporais de valores da variável incerta. Mas em
determinado tipos de variáveis incertas, essa simplificação excessiva que pode
levar a erros de superestimação do valor das opções reais, gerando uma decisão de
investimento não ótima.
Os modelos estocásticos de reversão à média de fator único, como os de
Dixit e Pindyck (1994) e Schwartz (1997) ou de dois ou mais fatores, como os de
Gibson e Schwartz (1990), ainda Schwartz (1997), Baker, Mayfield e Parsons
(1998) e Schwartz e Smith (2000) podem aproximar de forma mais realista o
comportamento de diversas variáveis incertas. Por outro lado além de serem
muitos, os modelos de reversão à média, principalmente os geométricos, têm a
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estimação de parâmetros mais complicada que no caso do MGB. Muitos destes
modelos foram desenvolvidos para descrever o comportamento de commodities
que dispõe de contratos futuros negociados em bolsas de mercadorias. Quando é
este o caso, a estimação dos parâmetros pode ser feita por ferramentas como filtro
de Kalman ou o filtro de partículas (AIUBE, BAYDIA e TITO, 2006). Quando
não se dispõe de preços futuros, ou quando estes não têm liquidez, ou mesmo
quando a variável incerta não é um preço de mercadoria, essas ferramentas não
fornecem estimativas precisa (SCHWARTZ e SMITH, 2000, p. 902) e é
necessário recorrer a estimações econométricas para obter os parâmetros
necessários dos modelos de reversão à média.
Este capítulo se propõe a analisar os métodos geralmente usados para
avaliar se uma variável pode ter seu comportamento descrito por um MGB ou se
os modelos de reversão à média descrevem melhor seu comportamento, e propor
uma abordagem complementar. Também serão explicados os principais modelos
de reversão à média passiveis de serem usados em avaliação por opções reais.
Para cada um destes será mostrado como estimar os parâmetros que o compõe à
partir de série histórica, assim como proceder à modelagem de sua simulação,
tanto real quanto neutra ao risco, necessária para o cálculo do valor de opções
reais. Finalmente serão usadas séries de preços spot de açúcar e etanol para
estimar os parâmetros de cada modelo descrito. Os resultados mostram que os
processos de reversão à média se aplicam com muita precisão às séries de preços
deflacionadas, mas no caso de preços nominais o modelo de dois fatores, que
26
considera parte do processo como um MGB e parte como uma reversão à média, é
mais adequado apesar de sua maior complexidade.
O capítulo está estruturado da seguinte forma. Após esta introdução, é
explicado o comportamento das variáveis estocásticas usadas em opções reais. Na
seção 2.3 é proposta uma metodologia de determinação de validade do processo,
seja MGB ou de reversão à média. Na seção 2.4 são descritos os processos de
reversão à média de um fator assim como a estimação de parâmetros para estes, e
na 2.5 um processo de dois fatores. Os resultados da aplicação desses modelos a
séries de preços de etanol e açúcar são mostrados na seção 2.6 e conclusões e
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sugestões de outras pesquisas na seção 2.7.
2.2.
Processos Estocásticos e seu Uso em Aplicações de Opções Reais
Para que opções reais tenham valor são necessárias três condições com
relação ao valor do ativo subjacente: incerteza do seu valor futuro,
irreversibilidade, pelo menos parcial em relação ao investimento uma vez este
realizado e flexibilidade quanto à capacidade da gestão em agir, alterando o
caminho futuro do valor do projeto em resposta a resolução das incertezas (DIXIT
e PINDYCK, 1994).
Quanto à incerteza, esta está presente na grande maioria dos projetos e é a
principal fonte de riscos, tanto privados quanto públicos, associados ao projeto. A
origem desta são as variáveis que compõe o projeto e cujo valor futuro é
geralmente apenas estimado por uma projeção determinística. Essas variáveis
incertas podem ser de diversas origens e tipos: preço de uma commodity,
quantidade de um mercado (como quantidade de veículos trafegando, demanda
futura por um serviço, etc.), fatia a ser capturada desse mercado, incerteza
tecnológica, etc. A correta modelagem do comportamento futuro dessas incertezas
é de fundamental importância para a avaliação das opções reais porventura
existentes. Negligenciar esse aspecto da modelagem numa avaliação por opções
reais pode levar a resultados enganosos, seja super-dimensionando ou
negligenciando o seu real valor.
27
Frequentemente é usado o Movimento Geométrico Browniano (MGB)
como o fazem Paddock, Siegel, e Smith (1988), como modelo estocástico para
modelar as variáveis incertas de um projeto, sem maiores questionamentos quanto
a sua validade para as incertezas mapeadas. Este é fácil de modelar e, a rigor, é
um ótimo processo estocástico para modelagem de preços de ações, commodities
financeiras como ouro, índices de mercado como Ibovespa, e ativos financeiros
em geral, mas também para demanda de novos produtos, terrenos, etc.
Muitas vezes, no entanto, a incerteza a ser modelada não segue um processo
estocástico similar a um MGB (LUND, 1993), e é frequentemente o caso quando
é proporcional a preços que dependem de nível de equilíbrio de longo prazo,
como é o caso de commodities não financeiras (AL-HARTHY, 2007, GEMAN,
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2005, PINDYCK, 2001, 1999, METCALF e HASSET, 1995, SMITH e
MCCARDLE, 1998, BRENNAM e SCHWARTZ, 1985, BHATTACHARYA,
1978). Alguns autores como Lo e MacKinlay (1988) afirmam que mesmo preços
de ações não são corretamente descritos por um MGB. Nesse caso, geralmente um
Modelo de Reversão à Média (MRM) é considerado o mais adequado. A lógica
por trás de um MRM vem da microeconomia: quando os preços estão deprimidos
(ou abaixo de sua média de longo prazo), a demanda desse produto tende a
aumentar, ao passo que sua produção tende a diminuir. Isso é devido ao fato que o
consumo de uma commodity com preço baixo aumenta enquanto os baixos
retornos para as empresas produtoras as levarão a postergar investimentos e fechar
unidades menos eficientes, reduzindo assim a disponibilidade do produto. O
oposto acorrerá se os preços estiverem altos (ou acima da média de longo prazo).
No entanto a reversão pura de fator único pode ser demais previsível e,
dependendo da variável modelada, poderia até ser uma escolha de modelagem
pior que o MGB. Em determinados casos seria mais realista então combinar um
processo de MRM com um MGB modelando o nível de equilíbrio, ou então
adicionar um processo de saltos. Dias (2008) classifica os processos estocásticos
para modelagem de preços de petróleo em três categorias mostradas na Tabela
2.1.
28
Tabela 2.1. Processos estotásticos mais usuais
Tipo de Modelo Estocástico
Nome do Modelo
Referências
Modelo Imprevisível
Movimento Geométrico
Browniano (MGB)
Paddock, Siegel e Smith
(1988)
Modelo Previsível
Reversão à Média Pura
(MRM)
Dixit e Pindyck (1994),
Schwartz (1997, modelo 1)
Modelo de dois ou três
fatores, e de reversão para
nível incerto de longo
prazo
Gibson e Schwartz (1990),
Schwartz (1997, modelos 2 &
3), Baker, Mayfield e Parsons
(1998), Schwartz e Smith
(2000)
Reversão à média com
saltos
Dias e Rocha (1999, 2001),
Aiube, Baidya e Tito (2006)
Modelos mais Realistas
Fonte: Dias (2008)2
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Os processos de reversão à média geralmente utilizados são baseados em
modelos desenvolvidos para descrever o comportamento de commodities e alguns
destes usam o conceito da taxa de conveniência (GIBSON e SCHWARTZ, 1990,
SCHWARTZ, 1997, CASASSUS e COLLIN-DUFRESNE, 2005) para descrever
esse comportamento como expõe Pindyck (2001). Para isso precisam de séries
temporais de preços de contratos futuros da commodity modelada, os parâmetros
do modelo (ou a calibragem deste) são então levantados com a técnica de filtro de
Kalman ou até de filtro de partículas (AIUBE, BAIDYA e TITO, 2006). No
entanto as commodities que dispõe de séries de preços futuros com liquidez
suficiente para corretamente aplicar essa técnica são relativamente poucas, como
preços de petróleo, gás natural nos Estados Unidos, e alguns produtos negociados
em bolsas de mercadorias. Além desse ponto muitas commodities não dispõem de
séries de preços spot e é então usado o primeiro contrato futuro como proxy do
preço spot.
Nas aplicações de opções reais frequentemente as variáveis incertas não são
somente preços de commodities transacionados em bolsas de mercadorias, mas
variáveis do próprio projeto e até preços de produtos dos quais não se dispõe de
séries de preços futuro. O que se pode observar dessas variáveis são valores
históricos dos quais se tem séries temporais.
2
http://www.puc-rio.br/marco.ind/stochast.html
29
2.3.
Determinação da Validade do Processo Estocástico
Para se determinar qual modelo pode ser utilizado na modelagem de uma
variável estocástica podemos, num primeiro passo, testar a validade do modelo
MGB a partir de uma série temporal desta. Como o MGB é um caso de um
processo chamado de raiz unitária, ou seja, uma série temporal altamente
persistente na qual o valor corrente é igual ao valor do período anterior mais uma
perturbação fracamente dependente, essa série pode ser testada para a presença de
raiz unitária, através de uma regressão linear por mínimos quadrados e aplicandoPUC-Rio - Certificação Digital Nº 0612037/CA
se um teste de Dickey-Fuller. Isto é, fazendo a regressão sobre a equação:
xt = a + b xt −1 + ε t , e verificando-se a hipótese nula de que b=1, em qual caso a
série terá uma raiz unitária e segue um caminho aleatório. Em outras palavras, ela
pode ser modelada por um MGB. A forma mais usual é de reescrever essa
equação, subtraindo-se xt-1 de ambos os lados como na equação (2.1):
xt − xt −1 = a + (b − 1) xt −1 + ε t
(2.1)
A seguir verifica-se a hipótese nula de que (b-1) = 0, o que equivale a b=1.
Como o estimador por mínimos quadrados possui viés para zero, o teste t padrão
não pode ser utilizado, e precisaremos usar as estatísticas de valores dos testes de
Raiz Unitária (Dickey-Fuller). Estas são tabeladas e conhecidas, e podem ser
vistas na Tabela 2.2.
Tabela 2.2. Valores críticos assintóticos de teste t de Raiz Unitária. Sem
tendência temporal
Nível de Significância
Valores Críticos
1%
2,5%
5%
10%
-3,43
-3,12
-2,86
-2,57
Fonte: Wooldridge, 2000, p. 580
Para séries com evidente tendência temporal, a equação (2.2) precisa ser
modificada na seguinte forma, para levar em consideração essa tendência:
xt − xt −1 = a + (b − 1) xt −1 + ct + ε t
(2.2)
30
Nesse caso os valores críticos do teste mudam, uma vez que ao retirar a
tendência de uma série com raiz unitária, esta passa a ter características de um
processo I(0). Portanto é necessário também usar uma magnitude maior para as
estatísticas t de forma a rejeitar a presença de raiz unitária. Nesse caso usa-se um
teste expandido de Dickey-Fuller cujos valores estão na Tabela 2.3.
Tabela 2.3. Valores críticos assintóticos de teste t de Raiz Unitária. Com
tendência temporal
2.4.Nível de Significância
2.9.Valores Críticos
2.5.1%
2.6.2,5%
2.7.5%
2.8.10%
2.10.-3,96
2.11.-3,66
2.12.-3,41
2.13.-3,12
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Fonte: Wooldridge, 2000, p. 583
É importante resaltar que é muito difícil rejeitar a hipótese nula de Raiz
Unitária, ou seja, que a série segue um caminho aleatório (MGB). Dixit e Pindyck
(1994) e Pindyck (1999) conseguem comprovar que os preços de petróleo não
seguem um MGB, mas apenas para uma série de 120 anos. Ao analisar séries mais
curtas, de 30 e 40 anos, estes autores não conseguem rejeitar a hipótese nula.
Outra informação também é obtida dessa regressão: a H1, é que b < 1 (b > 1
não é geralmente considerado, pois significaria que a série tem comportamento
explosivo (WOOLDRIDGE, 2000). Ainda que não rejeitando a H0, quando
obtemos valores de b<1, podemos assegurar que temos indícios de reversão à
média. Veremos abaixo que inclusive esse valor de b é proporcional ao parâmetro
conhecido como “velocidade de reversão” da série, e que no caso de b =1, essa
velocidade seria nula. A não rejeição de um caminho aleatório (MGB), ainda pode
permitir a existência de algum nível de auto-regressão (reversão à média) na
variável estudada. Portanto, como sugerem Dixit e Pindyck, a escolha do processo
estocástico poderá depender tanto de considerações estatísticas quanto teóricas,
por exemplo intuição com relação aos mecanismos de equilíbrio do ativo
modelado (DIXIT e PINDYCK, 1994, DIAS, 2008).
Como alternativa Pindyck (1999) sugere que a verificação de até qual nível
os choques de preços são permanentes pode ser mais informativo do que a
pesquisa sobre raiz unitária na investigação de caminho aleatório ou reversão à
média. Num processo auto-regressivo, os choques de preço tendem a dissipar-se
31
sob a permanente força de reversão, enquanto que caso de um MGB os choques
de preço tendem a ser permanentes. Para testar essa condição, Pindyck utiliza um
teste de razão de variância que mede o nível para o qual a variância de uma série
cresce com o “retardo” ou lag do teste. O teste da razão da variância pode ser
descrito pela equação (2.3).
Rk =
1 Var ( Pt + k − Pt )
k Var ( Pt +1 − Pt )
(2.3)
O termo Var (.) na formula representa a variância das séries de diferenças
entre preços, com retardo (lag) de k períodos, nas séries de preços P. No caso de
um MGB, à medida que a variância cresce linearmente com k, a razão Rk deveria
convergir para 1 quando k cresce. Na presença de reversão à média, por outro
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lado, a variância é delimitada a um certo nível com o crescimento de k. Ou seja,
para valores altos do retardo k, ou lag, a razão da variância Rk deveria cair
indicando que os choques de preço não são permanentes e que os preços revertem
para algum nível de equilíbrio. Lo e MacKinlay (1988) também usam um teste
semelhante para comprovar que preços de ações também não seguem um MGB.
Enquanto os processos estocásticos aritméticos e geométricos brownianos
(MAB, MGB) têm cada um, um único modelo estocástico, os processos
regressivos conhecidos como Movimentos de Reversão à Média (MRM) são
inúmeros, variando em grau de complexidade. Os mais simples são,
evidentemente, os de fator único, que possuem somente uma fonte de incerteza. O
capítulo analisa quatro desses modelos: o conhecido como processo de OrnsteinUhlenbeck, sendo este um MRM aritmético, e os modelos geométricos
conhecidos como modelos de Pindyck (1994), modelo 1 de Schwartz (1997) e de
Dias/Marlim (1999). A seguir são analisados três modelos de dois fatores sendo
que um deste, o modelo de Schwartz e Smith (2000) é analisado em maior
profundidade.
32
2.4.
Modelos de Reversão à Média de Fator Único
Serão discutidos e apresentados quatro modelos de reversão à média de um
fator: um aritmético (modelo de Ornstein Uhlenbeck) e outros três geométricos
(modelo de Pindyck, modelo 1 de Schwartz, e modelo de Dias/Marlim). Apenas o
primeiro é de fato referenciado na literatura por esses nomes, e outros foram assim
chamados neste capítulo referenciando seus autores, apesar de frequentemente
serem assim denominados. Os modelos estocásticos geométricos diferem-se dos
aritméticos, não somente por não retornarem valores negativos, mas também por
terem seus retornos proporcionais ao valor da variável.
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Para cada modelo discutido é apresentado seu valor esperado e variância, ou
no caso dos geométricos, a variância do logaritmo de sua variável, sua
discretização real e neutra ao risco para efeito de uso em simulação, e a estimação
de parâmetros a partir de séries históricas empíricas.
2.4.1.
Modelo Aritmético de Ornstein-Uhlenbeck
A forma mais simples de reversão à média (MRM) é o processo de fator
único conhecido por processo de Ornstein-Uhlenbeck (OU), também chamado de
MRM Aritmético, e definido pela equação (2.4):
dx = η ( x − x ) dt + σ dz
(2.4)
onde:
x é a variável estocástica,
x é a média de longo prazo da variável estocástica, ou seja o nível de
equilíbrio de longo prazo desta,
η é a velocidade de reversão, ou a medida de intensidade com a qual os
choques estocásticos são dissipados pelo efeito de reversão à média,
σ é a volatilidade do processo, ou a medida de intensidade das perturbações
estocásticas da variável,
dz é o processo padrão de Weiner, com distribuição normal: dz = ε dt , e:
ε ~ N(0,1), e
33
dt o incremento de tempo do processo.
2.4.1.1.
Média e Variância
As expressões da Média e da Variância de um processo estocástico são
importantes para efeito de seu uso em avaliação, e elas traduzem o
comportamento da variável, por uma ótica financeira, do Retorno Esperado
(Média) e do Risco (Variância).
O processo de Ornstein-Uhlenbeck (Dixit & Pindyck, 1994) definido em
(2.4), tem o valor esperado e a variância conhecidos e dados por Dixit e Pindyck
(1994, p. 76-77). Estes são
(2.5)
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E ( xt ) = x + ( x 0 − x ).e −η ( t − t0 )
e:
var( xt ) =
σ2
1 − e−2η (t −t ) )
(
2η
(2.6)
0
2.4.1.2.
Discretização do Modelo
Para podermos simular o processo em questão, precisamos da equação
tempo discreto deste. Esta é obtida somando a parcela determinística da media
(2.5) com a estocástica (2.6), a qual é então multiplicada pela distribuição normal
com média 0:
(
)
xt = xt −1e−η∆t + x 1 − e−η∆t + σ
1 − e−2η∆t
N ( 0,1)
2η
(2.7)
Podemos proceder assim, pois xt possui distribuição normal. Essa
discretização é exata e independe do tamanho de ∆t (KLOEDEN e PLATEN,
1992, p. 118).
34
2.4.1.3.
Estimação de Parâmetros
Para determinar os valores dos parâmetros para o MRM Aritmético (OU),
escrevemos esse processo a partir da equação (2.5) em termos do intervalo
temporal discreto ∆t:
xt = x + ( xt −1 − x )e−η∆t
xt = x (1 − e−η∆t ) + e−η∆t xt −1
(2.8)
xt − xt −1 = x (1 − e −η ∆t ) + ( e −η ∆t − 1) xt −1
A equação (2.7) é a expressão para tempo contínuo do processo auto-
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regressivo
de
primeira
ordem
da
seguinte
expressão
xt − xt −1 = x (1 − e −η ∆t ) + ( e −η ∆t − 1) xt −1 + ε t
onde o erro ε é normalmente distribuído com media 0 e variância σ ε2 .
Se escrevermos a equação (2.8) na forma:
(
) (
)
xt − xt −1 = x 1 − e−η∆t + e−η∆t − 1 xt −1
14243 1424
3
a
b −1
Ou, considerando o erro da série:
xt − xt −1 = a + (b − 1) xt −1 + ε t ,
(2.9)
então podemos estimar os parâmetros do processo em questão fazendo uma
regressão linear sobre as séries xt. Vale notar que a equação (2.9) é igual a (2.1),
portanto estaremos procedendo à mesma regressão executada para fim de testar a
Raiz Unitária da série em questão. A partir dos estimadores obtidos da regressão
podemos calcular os parâmetros a partir das equações (2.8) e (2.9).
A partir destas temos b − 1 = e −η∆t − 1 e
η = − ln( b ) / ∆ t
(2.10)
Também temos: a = x (1− e−η∆t ) , e com (2.10)
x =−
a
(b −1)
(2.11)
35
O parâmetro de volatilidade σ pode ser determinado a partir da variância σ ε2
2
dos erros da regressão, a qual é dada pela expressão σ ε =
σ2
1 − e−2η∆t ) , derivada
(
2η
da equação (2.6).
Reescrevendo esta utilizando a relação b 2 = e −2η ∆t e (2.9), obtemos
σ ε2 = −σ 2 ∆t
σ = σε
1 − b2
2ln b ,
ou
2 ln b
(b − 1) ∆t
2
(2.12)
onde σ ε é o erro padrão da regressão.
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Podemos notar que o parâmetro de velocidade de reversão, η, obtido pela
regressão na equação (2.10), é inversamente proporcional à chamada “meia vida”
do processo. Esta é o tempo no qual o valor esperado da variável auto-regressiva
diminui a distância até seu nível de equilíbrio, pela metade, de onde o nome “meia
vida” (SCHWARTZ e SMITH, 2000). A meia vida em anos correspondente a um
valor b, de uma série xt seria calculada assim:
T1/ 2 = −
ln 2
∆t
ln b
Para se ter uma idéia de ordem de grandeza, para uma série de preços
semanais (∆t = 1/52) um valor de b = 0,99 (que dificilmente rejeitaria a hipótese
nula de raiz unitária num teste de Dickey Fuller), daria uma meia vida T1/2 de 1,33
anos, que pode ser considerada baixa, com um valor anual de η = 0,523,
considerado alto. Dias (2005) considera que a meia vida de preços de petróleo seja
superior a três anos. Portanto podemos agora entender com mais clareza porque a
não rejeição da H0 de Raiz Unitária, não significa que não haja indícios de
reversão à média numa série xt. A estimação da meia vida do processo,
inversamente proporcional ao logaritmo natural da velocidade de reversão, é um
indicador mais consistente da presença de auto-reversão. Portanto valores de
b < 1, mesmo que muito próximos de 1, já são indícios suficientes de autoregressão
36
2.4.1.4.
Simulação Neutra ao Risco
Hull (1999, p. 244) considera a avaliação neutra ao risco a ferramenta mais
importante na análise de derivativos. Isso significa que para o apreçamento de
derivativos, opções e opções reais, é necessária a forma neutra ao risco do
processo estocástico usado na modelagem da incerteza, pois num mundo neutro a
risco utiliza-se a taxa livre de risco como fator de desconto do processo. Portanto
é necessário que se possa derivar a sua forma neutra ao risco. No caso de um o
MRM (OU), da mesma forma que com o MGB, este é convertido em neutro ao
risco alterando-se o parâmetro de crescimento (drift) (DIXIT, PINDYCK, 1994).
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Sendo:
µ - a taxa de desconto ajustada ao risco
α - a taxa de crescimento do processo (drift)
δ - a taxa de dividendos do processo, ou no caso de commodity: taxa de
conveniência, e
r - a taxa livre de risco
No caso de um processo ajustado ao risco (ou processo real), temos:
µ = α + δ ou α = µ − δ . Na forma neutral ao risco, o crescimento α do processo
é substituído por: r − δ . Como no caso de reversão à média o crescimento real é
α = η ( x − x ) , e, contrariamente ao caso do MGB, a taxa de dividendos não é
constante, mas é uma função de x: δ = µ − α = µ − η ( x − x )
Com essa expressão obtemos o crescimento neutro a risco para o processo
de reversão à média:
r − δ = r − µ +η ( x − x)
r − δ = η ( x − x) − (µ − r)
( µ − r )  − x 

r − δ = η  x −


η  

Podemos notar que: (µ − r) é o prêmio de risco. Comparando ambos os
crescimentos (ajustado ao risco, ou real, e neutro ao risco) podemos ver que a
passagem do processo real para o neutro ao risco, envolve a subtração do prêmio
de risco normalizado ( µ − r ) η da média de longo prazo x . Ou seja, no processo
37
neutro ao risco os valores revertem para um nível inferior aquele do processo real,
e a diferença entre estes é o prêmio de risco normalizado.
Dessa forma obtemos uma equação ajustada para a simulação neutral ao
risco de x ( t ) . A expressão em tempo contínuo desta é:

µ −r 
dx = η   x −
− x  dt + σ dz
η  

Na forma neutral ao risco, o processo x(t) é simulado (válido também para
∆t grande) pela equação em tempo discreto (2.13).

µ −r
1 − e−2η∆t
−η∆t
σ
xt = xt −1e−η∆t +  x −
e
N ( 0,1)
1
−
+
2η
η 

(
)
(2.13)
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O termo ( µ − r ) η , o prêmio de risco normalizado, é a diferença entre esta
e a simulação real.
2.4.2.
Modelos Geométricos de Reversão à Média
Como já explicitado, a principal limitação envolvendo o Movimento de
Reversão à Média Aritmético (OU), ou mesmo outros processos aritméticos como
o MAB, é que este pode produzir valores negativos para x(t) os quais apesar de
serem aceitáveis para algumas variáveis (tais como taxas de retorno ou taxas de
conveniência de commodities) de uma forma geral são um problema quanto
estamos considerando uma vasta gama de variáveis incertas, tais como preços de
commodities por exemplo, mais não se restringindo a estes.
2.4.2.1.
O Modelo de Dixit & Pindyck (1994)
O modelo de Dixit & Pindyck é definido como um MRM geométrico de
fator único, no qual aparece uma variável P adicional em cada termo do lado
direito da equação (2.14), do processo de OU. É conhecido como modelo de Dixit
38
& Pindyck (D&P) (DIXIT e PINDYCK, 1994, p. 161), e a sua forma matemática
está na equação (2.14).
(2.14)
dP = η ( P − P ) Pdt + σ Pdz
Por essa expressão tem-se um processo geométrico, no qual o incremento de
valor da variável (dP) passa a ser proporcional ao nível da variável em si (P).
2.4.2.1.1.
Média e Variância
Inicialmente devemos escrever o MRM Aritmético correspondente, para, a
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partir das expressões de valor esperado e variância deste, podermos determinar
valor esperado, discretização, real e neutra ao risco, e parâmetros do processo
geométrico. Para isso definimos uma variável x = ln P com:
dx = η * ( x − x ) dt + σ *dz ∗
A vantagem de utilizar o logaritmo natural dos preços P é que é geralmente
assumido que as commodities possuem uma distribuição log-normal de preços (o
que fica garantido por ter dz* uma distribuição normal) e também porque se
x=lnP então P=exp(x) e este não pode ser negativo.
Aplicando o lema de Itô:
 ∂x ∂x
1 ∂2 x 2 2 
∂x
dx =  + η ( P − P ) P +
σ P  dt + σ Pdz
2
2 ∂P
∂P
 ∂t ∂P

∂x
=0,
∂t
∂x 1
= ,
∂P P
∂2x
1
=− 2
∂P 2
P
1
1 1 2 2
1

dx =  0 + η ( P − P ) P −
σ P  dt + σ Pdz
2
P
2
P
P




σ2
dx = η  P −
− P  dt + σ dz ou
2η


dx = η

P 
σ 2  ln P
P
−
− ln P  dt + σ dz


ln P 
2η  P

*
Temos então: η = η

σ 2  ln P
P
, σ* =σ , e x =P −

2η  P
ln P

39
Podemos observar que o modelo de D&P tem a desvantagem de que a
transformação pelo lema de Itô retorna valores de η* e x dependentes do nível de
preços P. Esta limitação faz com que esse modelo não seja prático em aplicações
reais, pois o cálculo tanto do valor esperado quanto do processo discreto se
tornam significativamente mais complexos.
Dias (2008) sugere que esta limitação pode ser contornada em termos
práticos considerando um valor médio para P. Se for assumido P como sendo
essa média (a própria media de longo prazo para a qual o processo deve reverter),
e considerando que P(t) possui distribuição log-normal, o que requer que a metade
da variância seja adicionada para a passagem de E(x) para E(P), utilizando as
equações (3) e (5) do processo OU, temos então:

σ 2  ln P 
σ 2 ln P 
x
=
P
−
=
ln
P
−
Seja, então η = η P ln P e



 (os quais
2η  P 
2η P 

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*
são assumidos constantes), então:



σ 2 ln P  
P
E ( xt ) =  ln P −
(t − t 0 )  
  1 − exp  −η
2η P  
 ln P




P
+ ln P exp  −η
(t − t 0 ) 
 ln P

var( xt ) =


σ 2 ln P 
P
(t − t0 )  
1 − exp  −2η
2η P 
ln P


(2.15)
(2.16)
e , pela propriedade da log-normalidade (SCHWARTZ e SMITH, 2000,
SCHWARTZ, 1997):

var ( xt ) 
E ( Pt ) = exp  E ( xt ) +

2 

Chamando de A =
P
, obtemos a partir de (2.15)
ln P

σ2 
E ( xt ) =  ln P −
 (1 − exp ( −η A(t − t0 ) ) ) + ln P exp ( −η A(t − t0 ) )
2η A 

Como temos, de (2.16):
var ln ( Pt )  = var( xt ) =
Assim:
σ2
1 − exp ( −2η A(t − t0 ) ) 
2η A 
40

σ2 
E ( Pt ) = exp  ln P −
 (1 − exp [ −η A(t − t0 )]) +
2η A 

ln P exp ( −η A(t − t0 ) ) +

σ2
1 − exp ( −2η A(t − t0 ) )  
4η A

(2.17)
2.4.2.1.2.
Discretização do Modelo
Como temos: Pt=exp(xt) e xt
tem distribuição normal, podemos obter
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diretamente Pt à partir das expressões de E(xt) e Var(xt):


σ2 
1 − e−2η A∆t
−η A∆t
−η A∆t
σ
Pt = exp  ln P −
1
−
e
+
ln
P
e
+
N ( 0,1) 
)
(
t −1
2η A 
2η A


(2.18)
2.4.2.1.3.
Estimação de Parâmetros
De forma similar ao modelo aritmético de OU, podemos escrever a equação
(2.5) da variável x, com os parâmetros obtidos pelo lema de Ito, a partir do
modelo de D & P:
∗
xt − xt −1 = x (1 − e −η ∆t ) + (e −η
∗
∆t
− 1) xt −1

σ2 
Substituindo xt = ln St , η * = η A e x =  ln P −
 e re-arrumando:
2η A 

(
)(
) (
)
ln ( Pt Pt −1 ) = 1 − e−η A∆t ln P − σ 2 2η A + e−η A∆t − 1 ln Pt −1
14444
4244444
3 14243
a
ln ( Pt Pt −1 ) = a + (b − 1)ln Pt −1
(2.19)
b −1
(2.20)
Da mesma forma que com o modelo OU, podemos estimar os parâmetros do
processo por uma simples regressão linear sobre as séries de preços Pt . Dos
resultados da regressão, obtemos os parâmetros requeridos a partir das equações
(2.19) e (2.20).
Da equação (2.19) temos b − 1 = e −η A∆t − 1 e
η A = − ln ( b ) ∆t
41
ou:
η = − ln ( b ) A∆t
(2.21)
Como com o modelo OU, o parâmetro de volatilidade σ pode ser
determinado a partir da variância σ ε2 dos erros ε da regressão, a qual é dada pela
2
expressão σ ε =
σ2
1 − e−2η A∆t ) , derivada da equação (2.6), ou re-escrevendo esta
(
2η A
utilizando a relação b 2 = e −2η A∆t e (2.21) obtemos
σ ε2 = −σ 2 ∆t
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σ = σε
1 − b2
,
2 ln b
ou:
2ln b
(b 2 − 1) ∆t
(2.22)
Pode ser observado que o parâmetro de volatilidade é independente de
A = P ln P , e somente uma função de resultados da regressão.
Das equações (2.19) e (2.20), a =  ln P − σ 2 2η A  (1 − e −η A∆t ) . Com a
relação já obtida 1 − b = 1 − e −η A∆t , temos:
a
σ2
= ln P −
2η A
(1 − b )
e:
 a
σ2 
P = exp 
+

 (1 − b ) 2η A 
(2.23)
Aqui também pode ser observado então que o nível de reversão de longo
prazo depende tanto da volatilidade do processo quanto de sua velocidade de
reversão. Mas ainda temos o valor de P dependente de A o qual é também uma
função de
P ( A = P ln P ). Como queremos determinar os parâmetros
diretamente das estimações da regressão, substituímos o valor de ηA de (2.21):
 a
σ 2 ∆t 
P = exp 
+

 (1 − b ) 2 ( − ln b ) 
e de σ a partir de (2.22):
 a
2∆t ln b
P = exp 
+ σε 2
2∆t ( − ln b ) b 2 − 1
 (1 − b )
(
Finalmente:
)



42
 a
σε 2 

P = exp 
+
2
 (1 − b ) 1 − b 
(
)
Ou:

σ 2 
P = exp  a + ε 
(1 + b ) 


(1 − b )

(2.24)
É interessante notar que esse nível de média de longo prazo já não é mais
dependente de A, e é somente uma função dos resultados obtidos da regressão. Ou
seja, ao pressupormos que A é constante, ou que Pt / lnPt tem variação
insignificante, podemos calcular uma média de longo prazo para o modelo de D &
P independente do nível de P.
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Essa expressão permite agora calcular valor de A =
P
, e de η por (2.21).
ln P
2.4.2.1.4.
Simulação Neutra ao Risco
Como P (t ) = e x (t ) , de forma a obter a equação de simulação neutral ao risco para
o modelo MRM geométrico de D&P precisamos subtrair do logaritmo da média
de longo prazo ( x = ln P − σ 2 2η A ), o prêmio de risco normalizado do processo
(ver equação (2.13)) que no caso do modelo de D & P é: ( µ − r ) η A , na equação
(2.30).

σ2 µ −r 

−η A∆t
Pt = exp ln Pt −1e −η A∆t +  ln P −
−
)
 (1 − e
2
A
A
η
η




1 − e −2η A∆t
+σ
N ( 0,1) 
2η A

(2.25)
Na forma neutra ao risco, o processo Pt pode ser simulado pela equação em tempo
discreto (2.25).
Mas para os resultados de parâmetros, média e discretização, tanto real
quanto neutra ao risco, obtidos acima para o modelo de D&P, é importante
43
lembrar que partimos de uma suposição de que os valores assumidos por P têm
baixa variação, de tal forma que
substituído por A =
P
possa ser considerado constante, e
ln P
P
. Essa restrição do modelo de D&P faz com que essa
ln P
abordagem nem sempre seja válida e dependerá do valor de σ.
2.4.2.2.
O Modelo 1 de Schwartz (1997)
Schwartz (1997) propõe um modelo de MRM geométrico similar ao de
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Dixit & Pinkyck, mostrado pela Equação (2.26):
dS = η [α − ln S ] Sdt + σ Sdz
(2.26)
Geralmente é considerado que α = ln ( S ) (DIAS, 2008), pois o modelo se
torna intuitivo com essa consideração. Embora isso possa parecer evidente,
Schwartz (1997) não faz essa premissa e deduz diretamente o valor de α a partir
de séries de preços futuros usando a técnica de filtro de Kalman. Neste estudo
vamos considerar que α = ln ( S ) e, portanto, a equação (2.26) ficará:
dS = η  ln S − ln S  Sdt + σ Sdz
(2.27)
A diferença para o modelo de D&P está na componente de reversão do drift
a qual é função de lnS e não mais de S (para diferenciar os resultados com o
modelo de Schwartz daqueles obtidos com o de D&P, denominamos aqui a
variável estocástica log-normalmente distribuída de: S, em vez de: P). Da mesma
forma que com o modelo de D&P, tem-se um processo geométrico, no qual o
incremento de valor da variável (dS) passa a ser proporcional ao nível da variável
estocástica (S).
2.4.2.2.1.
Média e Variância
Da mesma forma que com o modelo de D&P se assumirmos que x = ln S ,
pelo lema de Ito teremos o processo estocástico de dx:
44
 ∂x ∂x
1 ∂2 x 2 2 
∂x
dx =  + η ( ln S − ln S ) S +
σ S  dt + σ Sdz
2
2 ∂S
∂S
 ∂t ∂S

∂x
∂x 1
=0,
= ,
∂t
∂S S
∂2 x
1
=− 2 ,
2
∂S
S
1
1 1 2 2
1

dx =  0 + η ( ln S − ln S ) S −
σ S  dt + σ Sdz
2
S
2S
S



σ2 
dx = η ( ln S − ln S ) −  dt + σ dz
2



σ2 
dx = η  ln S −
 − ln S  dt + σ dz
2η 


(2.28)
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σ2
Como x = ln S e x = ln S −
, podemos ver que a Equação (2.28) é o
2η
mesmo modelo aritmético de fator único da Equação (2.4), ou seja o modelo de
Ornstein Uhlenbeck. Novamente a vantagem de se utilizar o logaritmo natural dos
preços x = ln S é porque geralmente é assumido que os preços de commodities
têm distribuição log-normal, o que é conveniente porque se x = ln S , então S não
pode ser negativo. Neste modelo a vantagem sobre o de D&P é que x não
depende do nível de preços S.
Substituindo em (2.5) e (2.6) os resultados obtidos acima:

σ2 
−η t − t
−η t − t
E [ xt ] = ln  St0  e ( 0 ) + ln ( S ) −  1 − e ( 0 ) ,
2η 

(
var ln ( St ) = var [ xt ] =
σ2
−2η t −t
1− e ( )
2η
(
o
)
e:
)
Novamente, pela propriedade de log-normalidade do processo de St
podemos escrever:

var ( xt ) 
E ( St ) = exp  E ( xt ) +
,
2 

portanto:


σ2
−η t − t
−η t − t
E [ St ] = exp ln St0 e ( 0 ) + ln ( S ) −  1 − e ( 0 )
2
η



( )
(
)

σ2
−2η t − t
+
1− e ( ) 
4η

(
0
)
(2.29)
45
2.4.2.2.2.
Discretização do Modelo
Como temos de (2.5) e (2.6):
xt = xt −1e−η∆t + x (1 − e−η∆t ) +
σ2
1 − e−2η∆t ) N ( 0,1) , e
(
2η
x (t ) = ln [ S (t )] ou S ( t ) = e x ( t ) , e x = ln S −
σ2
2η
Então:
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
σ2
1 − e −2η∆t
xt = ln [ St −1 ] e −η∆t + ln ( S ) −  (1 − e−η∆t ) + σ
N ( 0,1) , e:
2η 
2η



σ2
St = exp ln [ St −1 ] e −η∆t + ln ( S ) −  1 − e−η∆t +
2η 


(
)

1 − e−2η∆t
N ( 0,1) 
σ
2η

(2.30)
A equação de simulação do modelo de Schwartz é dada por (2.30) a qual
fornece uma discretização exata, permitindo o uso de valores altos de ∆t. Para
simular amostras aleatórias de caminhos basta simular valores de N(0,1).
Da equação (2.29) podemos ver que quando T = t − t0 → ∞

σ2 σ2 
E [ ST →∞ ] → exp   ln ( S ) −  +

2η  4η 


 σ2 
σ2
E [ ST →∞ ] → exp ln ( S ) −  = S exp  − 
4η 

 4η 
(2.31)
Portanto o valor esperado de S ( t ) não converge para S como era de se
esperar, mas para S exp  − σ 2 4η  , o que se constitui numa limitação do modelo
de Schwartz.
46
2.4.2.2.3.
Estimação de Parâmetros
De forma similar ao modelo OU, podemos escrever a equação (8) da
variável x:
xt − xt −1 = x (1 − e −η ∆t ) + ( e −η ∆t − 1) xt −1
Substituindo xt = ln St e x = ln S − σ 2 2η e re-arrumando:
ln ( St St −1 ) = (1 − e−η∆t )( ln S − σ 2 2η ) + ( e−η∆t −1) ln St −1
1444424444
3 1424
3
(2.32)
b−1
a
ln ( St St −1 ) = a + (b − 1) ln St −1
(2.33)
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Como com o modelo OU, podemos estimar os parâmetros do processo por
uma simples regressão linear sobre as séries de preços St. Dos resultados da
regressão, obtemos os parâmetros requeridos a partir das equações (2.32) e (2.33).
Da equação (2.32) temos b − 1 = e −η∆t − 1 e
η = − ln( b ) / ∆ t
(similar a (2.10))
(2.34)
Como com o modelo OU, o parâmetro de volatilidade σ pode ser
2
determinado a partir da variância σε dos erros ε da regressão, a qual é dada pela
2
expressão σ ε =
σ2
(1− e−2η∆t ) , derivada da equação (2.6), ou reescrevendo esta
2η
utilizando a relação b 2 = e −2η ∆t e (2.9), obtemos:
σ = σε
2 ln b
(b − 1) ∆t
2
(similar a (2.12))
(2.35)
Essas expressões de η e σ são similares aquelas do modelo OU, como
esperado. A diferença para com aquele modelo estará na media de longo prazo S .
Das equações (2.32) e (2.33), a =  ln S − σ 2 2η  (1 − e −η∆t ) . Com a relação
já obtida 1 − b = 1 − e −η∆t temos:
a
= ln S − σ 2 2η 
1
−
b
( )
e:
 a
σ2
S = exp 
+

 (1 − b ) 2η 
(2.36)
47
Podemos ver então que o nível de reversão de longo prazo depende tanto da
volatilidade do processo quanto de sua velocidade de reversão. Como queremos
determinar os parâmetros diretamente das estimações da regressão, substituímos o
valor de η de (2.34):
 a
σ 2 ∆t 
S = exp 
+

 (1 − b ) 2 ( − ln b ) 
e de σ de (2.35):
 a
2∆t ln b
+ σε 2
S = exp 
2∆t ( − ln b ) b2 − 1
 (1 − b )
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(
)



Finalmente:
 a
σε 2 

S = exp 
+
 (1 − b ) 1 − b2 
Ou:
2

σε 
S = exp   a +

(1 + b ) 
 
(
)

(2.37)
(1 − b )

2.4.2.2.4.
Simulação Neutra ao Risco
Como S (t ) = e x ( t ) , de forma a ter o obter a equação de simulação neutral ao risco
para o modelo MRM geométrico de Schwartz precisamos subtrair o prêmio de
risco normalizado ( µ − r ) η (ver equação (2.13)) da média de longo prazo
x = ln ( S ) − σ 2 2η na equação (2.30).

σ2 µ −r

−η∆t
St = exp ln [ St −1 ] e −η∆t + ln ( S ) −
−
 1− e
2
η
η



(
+σ
)

1 − e −2η∆t
N ( 0,1) 
2η

(2.38)
Aqui novamente o termo ( µ − r ) η é a única diferença comparando-se com a
equação de simulação real (2.30), ou seja, ajustada ao risco.
48
2.4.2.3.
O Modelo Dias/Marlim (1999)
O principal problema do modelo de Schwartz é o fato de que seu valor
esperado E  P ( t )  não convergir para P conforme seria de se esperar, mas para
P exp  − σ 2 4η  , apesar de P ser o resultado obtido da regressão linear sobre a
série
de
preços
Pt .
Esse
resultado
controverso,
apesar
de
correto
matematicamente, pode suscitar confusão e levantar dúvidas sobre a robustez do
modelo. Além disso, é possível que a média de longo prazo da variável que se
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deseja modelar seja um dado já determinado por outros métodos ou gerências, por
exemplo, e o modelo estocástico deva se adequar a essa premissa.
Dias (1999, 2005) propõe um modelo de reversão à media geométrico com
as seguintes características diferenciadas do modelo de Schwartz descrito do item
anterior.
•
Em primeiro lugar o modelo define a média de equilíbrio de longo prazo
do preço de uma commodity como uma referência de grande importância
e, portanto, que este preço P tem uma distribuição log-normal e segue um
processo de geométrico de reversão a uma média P cujo valor é definido
pela equação:
(2.39)
P = exp( x )
•
Em segundo lugar o modelo assume que os preços tem um valor esperado,
ou seja uma média por simulação, de
{
}
E  P ( t )  = exp E  x ( t )  .
(2.40)
49
2.4.2.3.1.
Média e Variância
Isso implica que a relação entre as variáveis xt e Pt, faz com que se obtenha
o seguinte valor esperado em simulação no instante t:
{
E [ P ] = exp { x
(
E [ Pt ] = exp xt −1e−η∆t + x 1 − e−η∆t
(
e−η∆t + ln S 1 − e −η∆t
t −1
t
)}
ou
)}
(2.41)
o que é mais simples do que a equação (2.29) do modelo de Schwartz.
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e
var [ P(T )] = E  P2 (T ) − E [ P(T )]
2
2.4.2.3.2.
Discretização do Modelo
Mas a transformação direta: P ( t ) = exp  x ( t )  , como no modelo de
Schwartz, não é mais válida porque o exponencial de uma distribuição normal irá
adicionar metade da variância à média. Para se chegar à expressão
( E  P (t ) = exp {E  x (t )}) , essa metade da variância é compensada utilizandose a equação (2.42):
{
}
P ( t ) = exp x ( t ) − var  x ( t )  2
(2.42)
onde var  x ( t )  é uma função determinística do tempo, dada pela equação
(2.6).
Então
xt = ln ( P )t + (1 − e−2ηt )
σ2
4η
Apesar de não termos uma expressão de dP , é
fácil
simular
as
amostragens reais de P(t) pelo modelo geométrico de reversão à média de
Dias/Marlim. Basta simular x ( t ) como na discretização por Schwartz, mas
usando x = ln ( P ) , e então calcular var  x ( t )  com a equação (2.6), e usar a
equação (2.42) dada acima para calcular os valores simulados de P ( t ) . Cabe notar
que o termo de correção de convexidade calculado a partir de (2.6) é uma função
50
de t, e não de ∆ t . Portanto a simulação pode ser feita em dois tempos: primeiro
calcular os valores de x ( t ) , depois os de P ( t ) . As equações para isso são:
1 − e−2η∆t
N ( 0,1)
2η
xt = xt −1e−η∆t + ln ( P ) (1 − e−η∆t ) + σ
e
(2.43)

σ2
Pt = exp  xt − (1 − e−2ηt ) 
4η 

(2.44)
Uma outra alternativa é a forma direta de cálculo:
{
(
)
Pt = exp ln ( Pt −1 ) e −η∆t + ln ( P ) 1 − e −η∆t −
2
(1 − e ) σ4η + σ
−2ηt

1 − e −2η∆t
N ( 0,1) 
2η

(2.45)
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mas como esta requer que seja somado e depois subtraído o termo da
variância, pode se tornar mais complexo de programar e mais sujeito a erros.
2.4.2.3.3.
Estimação de Parâmetros
Também aqui podemos escrever a equação (8) da variável x:
xt − xt −1 = x (1 − e −η ∆t ) + ( e −η∆t − 1) xt −1
Como o que temos são as séries de preços Pt , e não xt , precisamos essa
equação para as séries de preços. Pela definição do modelo, temos x = ln P e da
equação (2.42) xt = ln ( Pt ) + var ( xt ) 2 . Então:
ln ( Pt Pt −1 ) +
var ( xt ) − var ( xt −1 )
2
(1 − e ) ( ln P ) + ( e
−η∆t
=
−η∆t

var ( xt −1 ) 
− 1  ln Pt −1 +
,
2


)
ou:

var ( xt −1 ) var ( xt ) 
−η∆t
ln ( Pt Pt −1 ) = 1 − e −η∆t ln P +  e −η∆t
−
− 1 ln Pt −1
+ e
2
2


(
)
(
)
(2.46)
Utilizando a equação (2.6) var( xt ) =
termo da variância, temos:
σ2
1 − e−2ηt ) e chamando de: B(t), o
(
2η
51
B ( t ) = e −η∆t
2
var ( xt −1 )
2
−
var ( xt )
2
B (t ) =
σ
e −η∆t (1 − e −2η ( t −∆t ) ) − 1 + e −2ηt
4η
B (t ) =
σ 2 −η∆t −2ηt +η∆t
e
−e
− 1 + e −2η t )
(
4η
(
)
ou:
B (t ) =
σ 2 −2ηt
e (1 − eη∆t ) + e−η∆t − 1
4η
(
)
que não é constante, mas uma função de t. Substituindo em (2.46)
(
)
(
)
ln ( Pt Pt −1 ) = 1 − e−η∆t ln P + B ( t ) + e−η∆t − 1 ln Pt −1
144424443 1424
3
(2.47)
b −1
a
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Como a não é constante, mas uma função de t, não podemos rodar diretamente a
regressão linear para estimar diretamente os valores dos parâmetros como feito no
modelo de Schwartz. No entanto é fácil verificar numericamente que na expressão
de B(t), o termo e −2η t (1 − eη∆t ) vai rapidamente para 0 na medida que t cresce.
Nesse caso podemos aproximar o valor de B(t) por (σ 2 4η )( e −η∆t − 1) , o qual é
constante. Substituindo na equação (2.47) acima:

σ2 
−η∆t
ln ( Pt Pt −1 ) = 1 − e−η∆t  ln P −
 + e − 1 ln Pt −1
η
4
1
4
24
3

14442444
4
3
b −1
(
)
(
)
a
(2.48)
Rodando a regressão sobre os valores de Pt obtemos os seguintes
resultados:
η = − log ( b ) ∆t
σ = σε
2 ln b
(b − 1) ∆t
2
 a
σ2
P = exp 
+

 (1 − b ) 4η 
(similar a (2.10)
e (2.34))
(similar a (2.12) e (2.35)),
e
(2.49)
Este é a mesma expressão que temos para a média de longo prazo para a
qual o modelo de Schwartz converge. A equação (2.49) também pode ser escrita
da seguinte forma:
52
 a
σ ε 2 2 ln(b)∆t 

P = exp 
−
 (1 − b ) 4ln(b) b2 − 1 ∆t 
(

σε 2 
P = exp  a +

2 ( b + 1) 

)

(1 − b )
(2.50)

2.4.2.3.4.
Simulação Neutra ao Risco
Como fizemos no modelo de Schwartz, para termos a equação de simulação
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neutra ao risco, precisamos subtrair o prêmio de risco normalizado ( µ − r ) η (ver
equação (2.13)) da média de longo prazo a qual é P = exp ( x ) . As equações de
simulação neutra ao risco são:

µ −r
1 − e−2η∆t
−η∆t
σ
x%t = x%t −1e−η∆t + ln ( P ) −
e
N ( 0,1)
1
−
+
η 
2η

(2.51)
2

−2η t σ 
%
Pt = exp  xt − 1 − e

4η 

(2.52)
(
(
)
)
Aqui novamente o termo ( µ − r ) η é o prêmio de risco normalizado e a
única diferença comparando-se com a equação de simulação real.
2.4.3.
Discussão acerca das limitações dos Modelos apresentados de
Reversão à Média de Fator Único
Como mencionado anteriormente, a principal limitação dos processos
aritméticos, entre eles o de reversão à média, está em que estes podem retornar
valores negativos da variável e, portanto, estarem limitados a um número restrito
de variáveis. Além desta limitação esta a de que os retornos da variável assim
modelada são independentes no nível de valor desta. Mas mesmo variáveis que
podem ter retornos negativos, como taxas de inflação, de variação de PIB, taxa de
conveniência de commodities não financeiras, frequentemente apresentam
53
oscilações proporcionais aos seus níveis de valor. Os processos estocásticos
geométricos de reversão à média contornam estas limitações dos processos
aritméticos, como o de Ornstein-Uhlenbeck. No entanto devido à crescente
complexidade na modelagem e parametrização destes surgem novas limitações
específicas de cada modelo.
Foram analisados três modelos geométricos de reversão à média. Destes, o
modelo geométrico de D&P parece mais intuitivo, pois lida com valores de P e P
em vez de logaritmos destes, como no caso dos modelos de Schwartz ou
Dias/Marlim. Mas ele possui a limitação de ter o valor de seus parâmetros
dependentes do nível de P.
Como vimos acima, Dias (2008) sugere que essa limitação não é crítica em
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termos práticos, pois estes parâmetros (η∗ e x*) poderiam ser estimados
considerando um valor médio para P . No entanto, o modelo de D&P ainda
apresenta outra limitação: caso a unidade de P não seja um valor sem unidade
dimensional (como uma taxa de retorno ou uma taxa de conveniência, as quais são
dadas em %), então dP não fará sentido. Por exemplo, se P for um preço $, ou
uma medida de tráfego, como veículos/ano, então dP seria $2 ou (veículos/ano)2 ,
o que não tem significado físico ou econômico. Isso é devido à expressão
matemática da parte determinística do modelo, e como visto para as variáveis
acima mencionadas, o modelo não faz sentido. Portanto a aplicação do modelo de
D&P é limitada a um tipo específico de variáveis.
Quando comparamos o modelo de Schwartz ao de Dias/Marlim, o primeiro
parece mais robusto, pois é baseado numa equação diferencial a qual permite a
dedução de seus parâmetros aplicando o lema de Ito à equação, enquanto o
modelo de Dias/Marlim se baseia diretamente na determinação do modelo (tal
como x = ln P e E [ Pt ] = exp [ xt ] ). No entanto este modelo também aparenta ser
mais intuitivo por um critério de especificação de parâmetros, visto que converge
para uma média de longo prazo especificada, ao contrario do modelo de Schwartz.
Ainda quando simulando este último modelo com o valor de P estimado pela
equação (2.37), e o de Dias/Marlim usando o valor de equilíbrio de longo prazo
P a partir da equação (2.50), ambos usando a mesma série de valores históricis,
obtemos os mesmos valores para tiragens e para valores esperados. Isso é devido
ao fato de que o valor de P quando estimado para o modelo Dias/Marlim pela
54
equação (2.50) é o mesmo para o qual o valor esperado do modelo de Schwartz
converge (equação (2.31)).
Quanto ao modelo de Schwartz, Dias (2008) sugere ainda que uma forma de
lidar com sua limitação relativa à média de longo prazo obtida da regressão de
séries de preços é considerar o valor da verdadeira média para a qual o modelo
converge, como a média real S ∗ . Portanto de (2.31):
 σ2 
 a
σ2 
S ∗ = S exp  −  = exp 
+ 
 4η 
 1 − b 4η 
E fazendo os ajustes necessários nas equações de simulação real (2.30):
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
σ2

St = exp ln [ St −1 ] e −η∆t + ln ( S ∗ ) −  (1 − e −η∆t ) +
4η 



1 − e −2η∆t
σ
N ( 0,1) 
2η

(2.53)
e neutra a risco (2.38):


σ2 µ −r
−η∆t
St = exp ln [ St −1 ] e −η∆t + ln S ∗ −
−
 1− e
η 
4η


( )
(
)

1 − e −2η∆t
+σ
N ( 0,1) 
2η

(2.54)
O modelo de Schwartz aplica-se melhor a modelos teóricos especificados a
partir de equações diferenciais, enquanto o de Dias/Marlim tem uma equação de
simulação mais adequada a modelos onde o nível de equilíbrio é uma referência
importante e frequentemente especificada de forma exógena. Portanto ambos os
modelos são bastante similares e cada um tem suas próprias vantagens.
2.5.
Modelos de dois Fatores com Reversão à Média
No capítulo anterior tratamos de modelos de fator único, ou de apenas uma
incerteza estocástica. Esses modelos podem ser considerados relativamente
simples (DIAS, 2008), portanto alguns autores sugerem o uso, em avaliação por
opções reais assim como em derivativos, de modelos mais complexos os quais
55
consideram mais do que apenas uma incerteza estocástica, ou fatores. Os
principais modelos de processos estocásticos de dois fatores (duas fontes de
incerteza estocásticas) com reversão à média são o de Gibson e Schwartz (1990),
e modelo 2 de Schwartz (1997) e o de Schwartz e Smith (2000). Estes três
modelos podem ser descritos como a evolução do mesmo modelo em que cada
versão representa a sofisticação do anterior e este pode ser modelado na nova
versão. Schwartz e Smith (2000) inclusive fornecem uma tabela com a
correspondência entre os parâmetros desse modelo e o modelo 2 de Schwartz
(1997) assim como uma seção comparando seus resultados aos de Gibson e
Schwartz (1990), para as mesmas séries temporais. Todos os três modelos exigem
a existência de séries de preços futuros para sua calibragem, ou estimação de
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parâmetros, o que nos faz recair no mesmo problema de modelos de um fator,
dependentes destes.
O modelo de Gibson e Schwartz (1990) consiste das seguintes equações:
dS / S = µ dt + σ S dz S
d δ = η (α − δ ) dt + σ δ dzδ
Onde S é o preço spot de uma commodity e δ sua taxa de conveniência
instantânea (o fluxo de benefícios líquidos, que são gerados ao detentor físico de
uma commodity). Esses autores então assumem que S segue um MGB (com drift µ
volatilidade σS) e δ uma reversão à média aritmética (OU, com média α,
velocidade de reversão η e volatilidade σδ). Esta última variável pode de fato
assumir valores negativos, portanto a escolha desse processo é coerente. Eles
então usam a equação fundamental que liga os preços futuros F ao preço spot S:
F ( S ,τ ) = Se( r −δ )τ
(2.55)
Onde:
r – taxa de juros livre de risco,
߬ = (T- t) – tempo entre a maturidade do contrato futuro T, e t atual.
O modelo 2 de Schwartz (1997) que representa uma sofisticação deste
acima consiste das seguintes equações:
dS / S = ( µ − δ ) dt + σ S dzS
d δ = η (α − δ ) dt + σ δ dzδ
56
com:
dz S dzδ = ρ Sδ dt
Onde ρSδ é a correlação entre os retornos das variáveis, ou fatores, S e δ.
Aqui também é assumido que S segue um MGB e δ uma reversão à média
aritmética (OU). O modelo 2 de Schwartz não faz diretamente uso da relação
entre preços futuros e spot porque ele modela diretamente o preço spot S com a
taxa de conveniência dentro da equação do preço (uma variável nested na outra).
No entanto a própria definição da taxa líquida de conveniência supõe a existência
de preços futuros, e Schwartz utiliza estes para estimar os parâmetros do modelo
usando a técnica de filtro de Kalman, como no seu modelo 1.
Schwartz (1997) também propõe um modelo (3) de três fatores, semelhante
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ao modelo 2, mas no qual substitui o drift ߤ na equação do preço S, por: r (a taxa
de juros), e modela este como uma reversão à média aritmética (OU). Ainda supõe
que os três incrementos de Wiener do modelo são correlacionados dois a dois.
Mas nos próprios resultados Schwartz ressalta que estes não representam grande
melhoria frente ao modelo 2, principalmente em face a maior complexidade e
maior intensidade computacional do modelo 3. Por este motivo não iremos
analisar neste capítulo o modelo 3 de Schwartz.
O terceiro modelo de dois fatores analisado é o de Schwartz e Smith (2000),
o qual além de ser o mais recente e englobar os outros dois, também tem
características que o tornam mais interessante para a modelagem e aplicações de
opções reais. Entre outras, ele não faz uso do conceito de taxa de conveniência na
sua formulação.
A taxa de conveniência é um conceito amplamente aceito e descrito como: o
fluxo de benefícios, líquidos de custo de estocagem, que são gerados ao detentor
físico de uma commodity, mas não ao detentor de um contrato futuro ou para
entrega futura (CASASSUS, et al, 2005, BRENNAN e SCHWARTZ, 1995, COX,
INGERSOLL e ROSS, 1985 a, b) e são comparáveis a um fluxo de dividendos por
uma ótica financeira. A evidência empírica da existência da taxa de conveniência
vem da equação (2.55) que liga os preços futuros entre si e ao preço spot e que
permite então a estimação desta a partir de séries de preços futuros. No entanto os
próprios Schwartz e Smith (2000) ressaltam que além de não ser observada a taxa
57
de conveniência é um conceito de entendimento difícil e que a proposta de um
modelo que não seja dependente dela tem vantagens:
“While many find the notion of convenience yield elusive, the idea of
stochastically evolving short-term deviations and equilibrium prices seems more
natural and intuitive” (SCHWARTZ e SMITH, 2000, p. 894).
2.5.1.
O modelo de dois fatores de Schwartz e Smith (2000)
O modelo de Schwartz e Smith (2000) considera que o preço spot S possui
dois fatores distintos: 1) o primeiro é o nível de equilíbrio deste preço o qual
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assume-se evolui seguindo um MGB com drift refletindo, por exemplo,
expectativas de exaustão de reservas, melhorias tecnológicas na exploração de
uma commodity, inflação, evolução do PIB, até incertezas políticas e regulatórias.
2) o segundo são os desvios de curto prazo cuja variação o modelo assume que
seguem uma reversão à média aritmética (OU) para um nível zero. Estes desvios,
definidos como a diferença entre o preço spot e o nível de equilíbrio, podem
refletir, por exemplo, mudanças de curto prazo na oferta devido a variações
climáticas, ou interrupções de suprimento, etc. Estes também são atenuados em
geral pela capacidade dos players de ajustar estoques em resposta a mudanças das
condições mercadológicas e, portanto caracterizando um comportamento de
reversão à média. Apesar de não observados esses dois fatores retratam a
percepção natural de que os preços têm dinâmicas diferentes no curto e no longo
prazo, o que torna o modelo útil para a aplicação em opções reais. Os autores
usam a técnica de filtro de Kalman para determinar os parâmetros do processo,
mas é possível estimar estes, com algumas restrições, a partir de uma série
temporal de valores da variável St, conforme será mostrado nesta seção.
Esse modelo aplica-se muito bem a diversos casos de opções reais, pois
cada diferente opção é mais sensível a um tipo de comportamento estocástico. Por
exemplo, opções estratégicas, como de expansão, escalonamento ou postergação
de investimentos ou abandono, são dependentes de patamares de atividade
econômica e, portanto do comportamento de longo prazo das variáveis incertas
das quais dependem. A característica de caminho aleatório destas, quando
58
presente, permite modelar com mais precisão essas opções reais do que o
comportamento dos modelos estocásticos auto-regressivos. Já opções operacionais
tais como capacidade de alternância de suprimento ou produção (BASTIANPINTO e BRANDÃO, 2007), adaptação de nível de atividade, otimização
dinâmica de dispêndios e produção (FORTUNATO, 2009), redução ou
interrupção temporária de produção, entre outras, são relacionadas a condições
temporárias de atividade econômica e, portanto, do comportamento de mais curto
prazo das variáveis incertas das quais dependem. Neste caso a característica de
reversão a um nível de longo prazo quando associada às variáveis incertas que
influem no projeto, é mais significativa para essas categorias de opções reais e,
portanto mais importante de modelar.
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As equações que descrevem o modelo são estas:
Seja a variável incerta St tal que: St = exp(st), ou: st = ln(St), e:
st = xt + yt,
(2.56)
onde:
dx = -ηxdt + σxdzx
(2.57)
xt segue um processo de Ornstein Uhlembeck, sendo um caso particular
deste:
dx = -η( x -x)dt + σxdzx, com: x = 0
e temos de (2.7): xt = xt −1e−η∆t + ε t ;
e:
dy = αdt + σydzy
(2.58)
yt,segue um Movimento Aritmético Browniano (MAB), e portanto:
yt = yt −1 + α∆t + ε t
ainda com:
dzxdzy = ρxydt
Então temos x, y e s, normalmente distribuídos. É interessante notar que
nesse caso S terá uma distribuição log-normal e será o resultado de um processo
MGB: exp(yt), multiplicado por uma reversão à média geométrica: exp(xt), do tipo
Schwartz (modelo 1):
S = exp(x+y) = exp(x) exp(y)
59
2.5.1.1.
Equação diferencial do modelo
Aplicando o lema de Itô em (2.56) com (2.57) e (2.58), obtemos:
ds = (α-ηx)dt + σxdzx+ σxdzx
Como: St = exp(st), então, aplicando novamente o lema de Itô:
dS =

∂S ∂S
∂S
1  ∂2S
∂2S
∂2S
+
dx +
dy +  2 dx 2 + 2 dy 2 + 2
dxdy 
∂t ∂x
∂y
2  ∂x
∂y
∂x∂y

∂S
∂S ∂ 2 S ∂ 2 S ∂ 2 S
= exp( x) exp( y) =
=
=
=
=S,
∂x
∂y ∂x2 ∂y 2 ∂x∂y
e:
∂S
= 0,
∂t
então:
1
dS
= dx + dy + dx 2 + dy 2 + 2dxdy
S
2
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(
)
2
2
dx 2 = ( −η xdt ) + 2 ( −η xdt )(σ x dz x ) + (σ x dz x ) = σ x2 dt
e:
2
2
dy 2 = (α dt ) + 2 (α dt ) (σ y dz y ) + (σ y dz y ) = σ y2 dt
ainda:
dxdy = −η x µ dt 2 + ( −η xσ y ) dtdz y + ασ x dtdz x + σ xσ y dz x dz y = σ xσ y ρ xy dt
obtemos então a equação diferencial que descreve o modelo:

σ x2 + σ y2
dS 
=  (α − η x ) +
+ ρ xyσ xσ y  dt + σ x dz x + σ y dz y
2
S 

(2.59)
2.5.1.2.
Média e Variância
Os autores fornecem as seguintes equações, às quais chegam pela matriz de
covariância dos dois fatores:
(
Var ln ( St )  = 1 − e
−2ηt
ρ σσ
σ x2
) 2η + σ y2t + 2 (1 − e−2ηt ) xy ηx y
Podemos verificar que, quando t ∞ , então:
Var  ln ( St →∞ )  →
ρ xyσ xσ y
σ x2
+2
+ σ y2 t
{
2η
η
1442443
const
const
(2.60)
60
Este resultado acima será importante para a estimação de parâmetros do
modelo. Como xt e yt ambos tem distribuição normal podemos escrever:
E  ln ( S t )  = x0 e −η t + y 0 + α t
e pela propriedade de log-normalidade:
1


E [ St ] = exp  E ln ( St )  + Var ln ( St )  
2


2
 −ηt
σ y2
−2ηt σ x
E [ St ] = exp  x0e + y0 + α t + 1 − e
+
t+

4η 2

(
)
ρ σσ 
(1 − e−2ηt ) xy ηx y 

(2.61)
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Também podemos verificar que quando t ∞ , então:



σ y2  
σ x2 ρ xyσ xσ y 
E [ St →∞ ] → exp  y0 +
+
+ α +
t 
4η42444
2  
η 3 
 144
1424
3 

const
const


2.5.1.3.
Discretização do modelo
Para discretizar o modelo começa-se com os valores de y0 e x0, e simula-se
independentemente as séries:
xt = xt −1e −η∆t + σ x
1 − e −2η∆t
N x ( 0,1) , e:
2η
yt = yt −1 + α∆t + σ y ∆t N y ( 0,1) , e finalmente:
St = exp ( xt + yt )
Sendo que N x ( 0,1) e N y ( 0,1) devem ser simulados levando em conta a
correlação ρxy entre os processos.
Os valores iniciais da simulação, y0 e x0, não são os mesmos levantados na
estimação de parâmetros do modelo na seção 2.5.1.4, mas os valores obtidos no
final da série de dados disponíveis: yn e xn.
Nas Figura 2.1 e Figura 2.2, podem ser vistos duas plotagens do modelo de
Schwartz e Smith (2000), para os valores de parâmetros listados abaixo delas.
61
Figura 2.1. Plotagem modelo Schwartz e Smith, com x0 > 0
50
Modelo Schwartz & Smith
45
40
35
30
25
20
15
10
5
Preço equilíbrio: exp(y)
Preço spot: exp(x+y)
Faixa 65% cert equilíbrio
Faixa 65% cert Spot
10 anos
T:
S0 :
30
α : 4,0%
x0 :
0,4
y0 :
3,0
σ y : 15%
η:
0,5
240
220
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
Parâmetros usados :
∆t : 1/24
σ x : 18%
ρ xy
0,2
Figura 2.2. Plotagem modelo Schwartz e Smith, com x0 < 0
50
Modelo Schwartz & Smith
45
40
35
30
25
20
15
10
5
Preço equilíbrio: exp(y)
Preço spot: exp(x+y)
Faixa 65% cert equilíbrio
Faixa 65% cert Spot
Parâmetros usados :
T:
10 anos
S0 :
10
α : 4,0%
x0 :
-0,7
y0 :
3,0
σ y : 15%
η:
0,5
∆t : 1/24
σ x : 18%
ρ xy
0,2
240
220
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
-
0
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-
62
2.5.1.4.
Estimação de Parâmetros
Esta é sem dúvida a maior dificuldade do modelo, pois temos dois fatores
não observados (a tendência de longo prazo yt, e os desvios de curto prazo xt) os
quais precisam ser separados e ter seus parâmetros estimados individualmente.
Para isso é feita inicialmente uma análise de dois casos particulares, que em muito
simplificam essa “separação” e depois a estimação do caso geral o qual irá utilizar
os resultados dos casos particulares em sua solução.
São necessários de serem estimados:
•
x0 - ln (logaritmo neperiano, ou natural) do valor inicial do desvio de curto
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prazo da variável: st = ln(St);
•
σx - parâmetro da volatilidade do processo de desvio de curto prazo xt da
variável st (o qual segue uma reversão à média aritmética, processo de
Ornstein-Uhlembeck);
•
η - parâmetro da velocidade de reversão à média do processo de desvio de
curto prazo da variável st;
•
y0 - ln (logaritmo neperiano) do valor inicial da tendência de longo prazo da
variável st;
•
σy - parâmetro da volatilidade da tendência de longo prazo yt da variável st (o
qual segue um movimento aritmético Browniano);
•
α - parâmetro de crescimento da tendência de longo prazo yt da variável st;
•
ρxy - parâmetro de correlação entre as variações da tendência de curto prazo xt
e do desvio de longo prazo yt da variável st.
Pela definição do processo:
st = xt + yt = xt −1e−η∆t + yt −1 + α∆t + ε t
(
)
(
)
s t = s t −1 + x t −1 e −η ∆ t − 1 + α ∆ t + ε t
st − st −1 = xt −1 e −η∆ t − 1 + α ∆ t + ε t
(2.62)
63
2.5.1.4.1.
Derivação dos valores iniciais dos dois fatores do processo
Para derivar y0 e x0, inicialmente consideramos: y0 = 0 e calculamos a série
xt. Isso é feito considerando que:
yt= α t + y0,
e:
xt=st - yt
∗
∗
Estima-se a seguinte regressão linear: xt − xt −1 = a + b xt −1 + ε t . Como
estamos considerando que xt segue um processo de Ornstein-Uhlembeck,
podemos escrever: xt − xt −1 = x (1 − e −η∆t ) + ( e−η∆t − 1) xt −1 + ε t
14243 1424
3
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a*
b*
Através de métodos numéricos pode-se procurar o valor de y0 que retorna o
estimador a* mais próximo de 0 (por exemplo, usando a função de Excel:
“INTERCEPÇÃO” para encontrar o estimador a*, e com o recurso “Atingir
Meta”, aproximar o valor de y0 que retorna a* mais próximo de 0). Com este
obtemos então também: x0 que será o valor inicial de xt para que a série tenha uma
média de longo prazo: x = 0 .
2.5.1.4.2.
Primeiro caso: considera-se que σy = 0
Nesse caso o processo de st é uma reversão á média com tendência
temporal: α∆t . Ou uma reversão à média com drift.
Para uma amostra suficientemente grande n, de forma que
∑
n
1
xt n ≈ 0 ,
obtemos o parâmetro de crescimento α, ou drift¸ diretamente da série st como se
estivéssemos considerando unicamente um MAB:
α=
1 n
∑ ( st − st −1 )
n∆t 1
(2.63)
Com y0 e x0 definidos, obtemos a série yt e podemos escrever a equação
(2.62) como:
64
(
)
st − st −1 = ( st −1 − yt −1 ) e−η∆t − 1 + α
∆t + ε t
{
1424
3
a
(2.64)
( b −1)
Podemos então rodar uma nova regressão linear sobre as séries st – st-1 e st-1
– yt-1:
st − st −1 = ( st −1 − yt −1 )( b − 1) + a + ε t
(2.65)
da qual obteremos os estimadores: a, b e σ ε2 (este último sendo o erro
padrão da regressão). A partir destes, pela própria equação (2.64) obtermos:
η =−
ln ( b )
∆t
(similar a (2.10))
e como: σy = 0 (e portanto ρxy = 0) de (2.60):
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σ ε2 = (1 − e−2η∆t )
σ x = σε
σ x2
2η
2ln ( b )
(b
2
(similar a (2.12))
− 1) ∆t
O processo obtido é determinado pela equação diferencial (2.66):
α σ 2

dS
= η  + x − x  dt + σ x dz x
S
 η 2η

(2.66)
com:
dx = −η xdt + σ x dz x
var ln ( St )  = (1 − e−2ηt )
σ x2
,
2η
quando t ∞ , então:
σ x2
var ln ( St →∞ )  →
2η
(semelhante ao modelo 1 de Schwartz, 1997)

σ2 
E [ St ] = exp  x0 e −η t + y0 + α t + 1 − e −2η t x 
4η 

(
)




σ x2
+α
Quando t ∞ , então: E [ St ] → exp  y0 +
{ t
4η const 
 1424
3
 const

65
2.5.1.4.3.
Segundo caso: o processo MAB é conhecido
Frequentemente uma variável é resultante de suas próprias oscilações em
torno de outra variável exógena (ou sua variação) como é o caso de preços
dependentes de inflação (valores nominais), níveis de mercado dependentes de
variações do PIB, etc. Nesses casos o processo exógeno é observado (índice de
inflação, PIB, etc.) e pode ser diretamente medido assim como seus parâmetros se
considerarmos que ele evolui conforme um MGB (ou seu ln, como um MAB).
Portanto observando Yt temos: yt = ln(Yt), e: α, σy.
Os valores de y0 e x0 podem ser estimados como no Caso 1 acima, e também
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de (2.64) obtemos os outros parâmetros necessários rodando a mesma regressão
linear (2.65):
η =−
ln ( b )
∆t
(similar a (2.10))
e de (2.60):
σ ε2 = (1 − e−2η∆t )
ρ xyσ xσ y
σ x2
+ σ y2 ∆t + 2 (1 − e−2η∆t )
η
2η
Re-arrumando (com: b2 = e-2η∆t),:
0=
b2 − 1
b2 − 1
∆tσ x2 + 2
∆t ρ xyσ yσ x + σ y2 ∆t − σ ε2
2 ln ( b )
ln ( b )
(2.67)
Trata-se de um polinômio de 2º grau em σx.
i)
σx =
Se considerarmos: ρxy = 0 , nesse caso:
2 (σ ε2 − σ y2 ∆t )
(b
2
− 1) ∆t
ln ( b )
(2.68)
Essa consideração é muito plausível se estivermos considerando um
processo exógeno (yt) independente e não correlacionado às variações de curto
prazo (xt) da variável de interesse.
ii)
Se considerarmos: ρxy ≠ 0 , mas conhecido: a correlação ρxy pode
ser estimada com as séries yt e xt, pois caso tenhamos st e yt
66
podemos calcular a série histórica xt. Nesse caso ρxy é o fator de
correlação entre as series: xt - xt-1, e yt - yt-1.
Nesse caso (2.67) tem duas raízes. Chamando:
θ=
(b
2
− 1)
ln ( b )
∆t ,
Assim (2.67):
0 = σ x2 + 4 ρ xyσ yσ x + 2
(σ
2
y
∆t − σ ε2
)
θ
como: 0 < b < 1 (como visto na seção 3, pois: b > 1 significaria que a série
tem comportamento explosivo (WOOLDRIDGE, 2000), então: θ > 0.
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σ x = −2 ρ xyσ y ±
(2ρ
xy
σy)
2
(σ
−2
2
y
∆t − σ ε2 )
θ
e como: (σ y2 ∆ t − σ ε2 ) < 0 , sempre existirão duas raízes para (2.67), das quais
uma é sempre positiva e a outra negativa, pois o termo da raiz quadrada é superior
em valor absoluto ao que o precede. O parâmetro da volatilidade de x (σx) será a
raiz positiva de (2.67):
σ x = −2 ρ xyσ y +
(2ρ
xy
σy)
2
(σ
−2
2
y
∆t − σ ε2 )
θ
(2.69)
Podemos verificar que (2.68) é um caso particular de (2.69) para ρxy = 0, e
(2.12) é um caso particular de (2.68) para σy = 0.
2.5.1.4.4.
Terceiro caso: Caso geral, apenas St é observado
Nesse caso teríamos infinitas soluções possíveis para diferenciar os dois
fatores xt e yt do processo st. Portanto precisamos alguma característica de
diferenciação dos dois fatores do processo que permita a separação destes. Como
sabemos uma das principais diferenças entre os dois processos (reversão à média e
MGB) é que a variância deste último cresce de forma proporcional a t enquanto
no primeiro ela é limitada a um valor máximo na medida em que t ∞.
Analisando a equação (2.60), conforme citado, nota-se que, quando t ∞ , então:
67
Var ( st →∞ ) →
ρ xyσ xσ y
σ x2
+2
+ σ y2 t
{
2
η
η
1442443
(2.70)
const
const
Isso ocorre porque os termos em: (1 − e −2η t ) , na equação (2.60) tendem
rapidamente para 1 na medida em que t cresce. Vimos na seção 2.3, ao procurar
determinar a validade do processo estocástico de uma série temporal, que a razão
da variância, calculada pela equação (2.3), deve tender a estabilizar num valor
específico, inferior a 1, caso haja presença de reversão à média. O atraso, ou lag, k
usado na razão da variância após o qual ocorre essa estabilização é aquele tempo
T no qual a variância deixa de crescer pelo efeito da reversão à média e passa a
crescer somente em função da presença de caminho aleatório. No caso da série
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não apresentar nenhuma característica de caminho aleatório (ou de MGB) então a
razão da variância deveria cair a 0. Schwartz e Smith (2000) demonstram esse
efeito na variância de seus resultados. Podemos usar esse “tempo” T com a
equação (2.70) para estimar σy : estimamos o fator de inclinação da equação linear
(2.70) para Var  s ( t )  por métodos numéricos (isso pode ser feito, por exemplo,
com a função: “INCLINAÇÃO” do Excel) a partir do tempo T no qual a razão da
variância demonstra comportamento estabilizado, até n, último valor da série
temporal St. Obtém-se então σy, calculando a raiz quadrada dos valores médios da
inclinação de Var  s ( t )  entre T, e n.
Para o parâmetro de crescimento, ou drift α, de yt é usada a mesma
abordagem dos casos 1 e 2 acima, porque o modelo considera que a média do
fator de reversão xt é 0. Portanto com a equação (2.63) obtém-se o segundo
parâmetro do fator de caminho aleatório do modelo. Com estes estimados,
estamos de volta no caso 2 visto acima: o processo MAB é conhecido. Em
principio poderíamos aplicar o mesmo procedimento acima para estimar os
parâmetros restantes do fator de reversão à média.
Mas neste ponto será necessário fazer alguma suposição sobre o parâmetro
de correlação ρxy entre os dois fatores, sendo esta uma das limitações de
metodologia proposta. Contrariamente ao caso 2, quando ρxy ≠ 0 e podia-se
estimar uma amostra de xt para calcular ρxy, agora não temos uma série yt para
derivar xt. Neste caso precisaremos fazer alguma suposição sobre o valor da
68
correlação dos dois fatores do processo. Geralmente é razoável supor que ρxy = 0 ,
e assim utilizar os resultados das equações (2.10) e (2.68). Ou mesmo assumindo
ρ xy ≠ 0 , fazer uma análise de sensibilidade de σx aos valores de ρxy com a
equação (2.69).
Na seção 6 são mostrados resultados da aplicação dessa abordagem a séries
temporais de preços de duas commodities (açúcar e etanol) e é feita essa análise de
sensibilidade.
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2.5.1.5.
Simulação Neutra ao Risco
A simulação neutra ao risco do processo de Schwartz e Smith envolve
também os prêmios de risco dos dois fatores do processo. Chamando estes de:
λx : prêmio de risco do fator de curto prazo do processo, e
λy : prêmio de risco do fator de longo prazo do processo;
as equações de simulação dadas na seção 2.5.1.3, passam a ser:
λ 
1 − e−2η∆t
xt = xt −1e−η∆t −  x  1 − e −η∆t + σ
N x ( 0,1)
2η
η 
(
)
e:
yt = y t −1 + (α − λ y ) ∆ t + σ y ∆ t N y ( 0,1)
ainda com:
St = exp ( xt + yt )
e sendo que N x ( 0,1) e N y ( 0,1) devem ser simulados levando em conta a
correlação ρxy entre os processos.
Neste caso confrontamo-nos com o mesmo problema de separação dos dois
fatores do processo, agora quanto ao seu prêmio de risco. Como estamos supondo
que não se dispõe de preços futuros, principalmente em diferentes vencimentos o
que permitiria diferenciar pela técnica do filtro de Kalman, a separação do prêmio
de risco em seus dois fatores só poderá ser feita a partir de suposições sobre os
diferentes fatores considerados no processo.
Uma dessas alternativas, que fica aparente quando se está supondo que o
fator de longo prazo, ou MAB yt, configura-se no caso 1 (seção 2.5.1.4.2) ou caso
69
2 (seção 2.5.1.4.3), como se esse fator fosse o índice de inflação ou o PIB da
economia, é que o prêmio de risco deste é nulo: λy = 0 . Então teríamos todo o
prêmio de risco do processo: µ − r , atribuído a: λx .
2.6.
Resultados da modelagem de preços de açúcar e etanol com os
modelos descritos
2.6.1.
Dados utilizados
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Como teste empírico das abordagens mostradas nas seções anteriores, foram
usadas séries de preços da indústria sucro-alcooleira brasileira. Estas estão
disponíveis on-line no CEPEA3 (Centro de Estudos Avançados em Economia
Aplicada, da Escola Superior de Agricultura). Eles são resultado de levantamento
diário no caso do açúcar e semanal no caso do etanol, realizado por técnicos num
convênio entre a CEPEA, a ÚNICA (União da Agroindústria Canavieira de São
Paulo) e a ORPLANA (Organização dos Plantadores de Cana do Estado de SP).
Para os preços de álcool, foi usada uma média entre álcool hidratado (30%) e
anidro (70%). Ambos são produzidos nas usinas e essa proporção corresponde à
média histórica da demanda destas (Gonçalves et al., 2006). Ambas foram
convertidas em séries de médias mensais de maio de 1998 a agosto de 2009. O
escopo de tempo pode ser considerado relativamente curto (pouco mais de onze
anos), no entanto as séries de preços de etanol só estão disponíveis a partir dessa
data inicial. A razão para isso está em que os preços até então sofriam forte
influência do governo. Além de o mercado de etanol ser muito reduzido
anteriormente ao início da série. Foi usada também a série mensal do IGP-DI
(Índice Geral de Preços – Disponibilidade Interna, da Fundação Getúlio Vargas),
como deflator para se obter as séries de preços em valores atuais (deflacionadas,
valor atual de agosto de 2009). Apesar de ter sido usado para isso o IGP-DI como
indicie de inflação, por ser composto de vários outros índices, qualquer outro
(IPCA, ICC, etc.) poderia ser usado e no escopo de prazo analisado, não deveria
3
<http://www.cepea.esalq.usp.br >
70
apresentar muita diferença final. Os preços históricos (ou nominais) e
deflacionados (valores de agosto de 2009) podem ser vistos nas Figura 2.3 e
Figura 2.4.
Figura 2.3. Preços etanol e açúcar CEPEA
70
Média mensal de preços
Etanol R$/litro
1,4
60
1,2
50
1,0
40
0,8
30
20
0,4
Etanol
Açúcar
mai-09
nov-08
mai-08
nov-07
mai-07
nov-06
mai-06
nov-05
mai-05
nov-04
mai-04
nov-03
mai-03
nov-02
mai-02
nov-01
mai-01
nov-00
mai-00
nov-99
0
mai-99
0,0
nov-98
10
mai-98
0,2
Figura 2.4. Preços etanol e açúcar deflacionados pelo IGP-DI, Base:
AGO 2009 - CEPEA
70
Média mensal de preços deflacionados (IGP-DI)
Etanol R$/litro
1,4
60
1,2
50
1,0
40
0,8
30
0,6
20
0,4
Etanol deflacionado
Açúcar deflacionado
0,2
10
mai-09
nov-08
mai-08
nov-07
mai-07
nov-06
mai-06
nov-05
mai-05
nov-04
mai-04
nov-03
mai-03
nov-02
mai-02
nov-01
mai-01
nov-00
mai-00
nov-99
mai-99
0
nov-98
0,0
mai-98
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0,6
71
Pode-se observar que as séries de preços nominais apresentam crescimento
ao longo do período e aparentam ter variância crescente, enquanto as
deflacionadas (trazidas a valores de Agosto 2009 pela variação do IGP-DI,
apresentam comportamento de reversão à média.
2.6.2.
Determinação da Validade do Processo Estocástico
Foi num primeiro momento realizado um teste de raiz unitária em todas as
séries, para verificar a adequabilidade se uma modelagem como um MGB. Os
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resultados foram os seguintes:
Para as séries de preços nominais, ou seja os valores históricos que
apresentam clara tendência temporal, deve ser usada a versão expandida do teste
de Dickey-Fuller. Esta foi realizada no software EViews e os resultados da
estatística-t encontrados foram:
Preços de Etanol :
-2,28382
Preços de Açúcar:
-2,13979
Em ambos os casos a presença de raiz unitária não é rejeitada em nenhum
nível de significância, indicando, portanto a adequabilidade do MGB para a
modelagem dessas séries.
No caso das séries deflacionadas é usada a versão padrão do teste, sem
tendência temporal. Esta análise também foi realizada no software EViews, que
retornou os seguintes resultados da estatística-t:
Preços de Etanol deflacionados:
-3,01202
Preços de Açúcar deflacionados:
-2,21346
Podemos observar que no caso do açúcar a presença de raiz unitária
continua não sendo rejeitada, mas que o valor da estatística t começa a aproximarse do valor crítico de 10% do teste padrão: -2,578, indicando que possivelmente
em algum nível próximo (como 15%) já haveria rejeição. Quanto ao preço
deflacionado do etanol este é claramente rejeitado a um nível de significância de
5%, e já próximo ao de 2,5%. Aparentemente obtemos resultados contraditórios, e
72
podemos inferir que as sereis apresentam comportamentos de ambos os modelos:
caminho aleatório (MGB) e auto regressão (MRM).
Conforme a abordagem descrita na seção 2.3, foi então estimada a razão da
variância para as quatro séries de preços (nominais e deflacionadas). A plotagem
destas está na Figura 2.5. Da mesma forma que com as séries analisadas por
Pindyck (1999), as razões Rk inicialmente crescem com o retardo (Lag) k, o que é
consistente com ambos os processos: MGB e reversão à média (neste último caso
a variância cresce inicialmente e se estabiliza ao atingir um patamar superior),
mas então começam a cair, estabilizando-se num nível de 0,18 para o etanol e 0,30
para o açúcar, para valores de k por volta de 38 meses.
Figura 2.5. Razão da variância Rk para diferentes valores de lag k –
1,8
Preços Açúcar deflac.
1,6
Preços Etanol deflac.
Preços Etanol
1,4
Razão da Variância
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etanol e açúcar
Preços Açúcar
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0
10
20
30
40
50
Lag k
Esse padrão ocorre tanto para as series de preços nominais quanto
deflacionadas. Mais relevante é o baixo valor no qual a razão da variância das
quatro séries de preços (duas nominais e as mesmas deflacionadas) se estabilizam,
o que permite pré-supor a presença de reversão à média para todas as séries.
Portanto serão levantados para essas quatro séries os parâmetros
considerando que estes se comportam conforme três diferentes processos:
•
MGB ou caminho aleatório,
73
Reversão à média geométrica conforme o modelo 1 de Schwartz
•
descrito na seção 2.4.2.2,
Composto parcialmente de um MGB e de uma reversão à média
•
geométrica, conforme o modelo de Schwartz e Smith (seção 2.5.1).
2.6.3.
Resultados
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Inicialmente as séries de preços foram tratadas como se tivessem um
comportamento segundo um MGB. Para levantar os parâmetros destas, sendo
estes o drift α, e volatilidade σ, foi calculada a série do log-retorno de cada preço:
o parâmetro de volatilidade sendo o desvio padrão dessas séries e o drift a média
da mesma série, a qual é acrescentada metade da variância encontrada. Isso foi
feito para as quatro séries de preços: históricos e deflacionados. Como para se
obter essas últimas, os preços nominais de etanol e açúcar foram deflacionados
usando o IGP-DI, a série desse índice também foi tratada como um MGB e seus
parâmetros levantados. Apesar de ter sido usado para isso o IGP-DI como indicie
de inflação, por ser composto de vários outros índices, qualquer outro (IPCA,
ICC, etc.) poderia ser usado e no escopo de prazo analisado (Maio 1998 a Agosto
2009), não deveria apresentar muita diferença final.
Num segundo passo as mesmas séries de preços foram tratadas como se
comportando como reversões à média geométricas segundo o modelo 1 de
Schwartz, e os parâmetros correspondentes estimados pelo procedimento
desenvolvido na seção 2.4.2.2.3. Os resultados de ambas as estimações estão na
Tabela 2.4.
74
Tabela 2.4. Modelagem como MGB e como MRM
Parâmetros
MGB
α
8,75%
IGP - DI
13,62%
Etanol nominal
15,38%
Açúcar nominal
4,71%
Etanol deflacionado
6,43%
Açúcar deflacionado
*: média de longo prazo da variável
MRM (Schwartz 1)
σ
3,28%
35,10%
35,70%
34,49%
34,99%
η
0,525
0,422
1,265
0,946
σ
35,68%
36,34%
35,82%
35,82%
S *
0,80
38,44
0,95
40,50
Os parâmetros em todas as tabelas de resultados estão em valores anuais
(taxas de crescimento, volatilidade, variância, velocidade de reversão à média). Os
valores de preços (médias de longo prazo, e valores iniciais) estão em R$/litro
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para etanol e R$/50 kg para açúcar.
Nota-se que as volatilidades em geral diminuem levemente nas séries
deflacionadas, e as velocidades de reversão aumentam significativamente. Nestes
casos de modelos de um fator, o MGB parece mais adequado às séries nominais
ou de preços históricos enquanto a reversão à média geométrica descreve melhor
o comportamento nas séries deflacionadas. Esse comportamento permite
pressupor que as séries nominais apresentam componentes de reversão à média
como também de caminho aleatório, o que já havia sido sugerido pelo resultado
da análise da razão da variância em todas as séries.
Então passamos a modelar as séries de preços nominais segundo o modelo
de Schwartz e Smith (2000). Inicialmente apenas as séries nominais foram
modeladas por essa abordagem, pois como elas apresentam tendência temporal
(drift) bem aparente, se adéquam melhor a um processo que modela
separadamente as tendências de longo e curto prazo.
Num primeiro momento foi considerado que as séries nominais comportamse como reversão à média geométrica com tendência temporal determinística. Os
parâmetros desse modelo foram levantados segundo a abordagem desenvolvida
para o caso 1, na seção 2.5.1.4.2. Os resultados obtidos estão listados na Tabela
2.5.
75
Tabela 2.5. Modelagem como reversão à média com drift (caso 1 Schwartz & Smith)
Parâmetros
MAB (yt)
α
Preço
Reversão à Média (xt)
σy
y0
σx
η
Inicial*
x0
S0
Etanol nominal
7,46%
0,00%
-0,0694
1,0054
36,11%
-0,1774
0,781
Açúcar nominal
9,01%
0,00%
3,736
0,8441
36,61%
0,0221
42,85
* O preço inicial para simulação, é igual do último valor da série modelada, e é obtido aqui, pelos
parâmetros levantados: S0 = exp(x0+y0).
Os valores de drift α encontrados neste modelo não podem ser diretamente
comparados aos dos MGB da Tabela 2.4, pois correspondem ao MAB do modelo
de Schwartz e Smith. Para igualar estes precisamos diminuir daqueles do MGB a
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metade da variância encontrada.
Quando comparando os parâmetros de reversão à média obtidos neste caso 1
com aqueles do modelo 1 de Schwartz percebe-se um pequeno aumento da
volatilidade neste caso, em função de estarmos considerando a tendência temporal
como determinística, e portanto incorporando a volatilidade da inflação na do
processo de reversão à média. Nota-se também uma redução nos valores das
velocidades de reversão, o que também pode ser atribuído ao efeito de retirada da
tendência temporal no processo de reversão à média.
Como o caso 1 está incorporando a incerteza da inflação na volatilidade da
reversão à média, foram levantados os parâmetros seguindo agora a abordagem
desenvolvida para o caso 2, na seção 2.5.1.4.3, considerando então que o ln do
índice IGP-DI segue um comportamento conforme um MAB e que estes
parâmetros são conhecidos. Os resultados estão na Tabela 2.6.
Tabela 2.6. Modelagem como reversão à média com IGP-DI (caso 2 Schwartz & Smith)
Parâmetros
ln(IGP-DI) - MAB (yt)
Etanol nominal
Açúcar nominal
Preço
Reversão à Média (xt)
Inicial
α
σy
y0
η
σx
x0
ρxy
S0
8,70%
8,70%
3,29%
3,29%
-0,0973
3,634
1,2981
0,9504
35,73%
35,87%
-0,1496
0,1241
0,1402
0,2126
0,781
42,85
O drift α do ln do IGP-DI é levemente inferior ao caso do MGB: dele se
subtrai a metade da variância encontrada. A volatilidade dos processos de
76
reversão à média agora diminuiu pela “retirada” da volatilidade da inflação,
quando comparada ao caso 1, mas as velocidade de reversão pouco se alteram.
Nesta abordagem é possível calcular o parâmetro de correlação entre os fatores do
processo assim modelado, porque obtemos as séries yt (ln do IGP-DI) e xt. Os
resultados obtidos neste caso para os parâmetros de reversão à média das séries
deflacionadas, são muito próximos da modelagem como reversão à média
geométrica do modelo 1 de Schwartz (Tabela 2.4) o que permite validar aquele
primeiro modelo para estas séries de dados. Isso é devido à baixa volatilidade do
fator de longo prazo, neste caso a inflação pelo IGP-DI. Mas pode-se observar que
nos parâmetros levantados pelo caso 1 (Tabela 2.5) que os drifts α de cada série
(etanol e açúcar) são levemente diferentes um do outro,
indicando
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comportamentos de longo prazo distintos entre si e da inflação também. Para o
setor sucro-alcooleiro, altamente dependente destas variáveis, a incorreta
modelagem de uma tendência de longo prazo pode levar a resultados e tomadas de
decisão errôneas.
Então foram levantados os mesmos parâmetros agora para as séries
deflacionadas também, sem fazer nenhuma restrição ao fator de longo prazo (ou
MAB) presente no processo, somente considerando que o fator de correlação dos
dois fatores é nulo (ρxy = 0). Isso é feito pela abordagem do caso 3, descrito na
seção2.5.1.4.4. Para estimar o valor do primeiro parâmetros segundo a média da
inclinação da curva da variância foi considerado um T superior a: 50. Os
resultados estão na Tabela 2.7.
Tabela 2.7. Modelagem como reversão à média e MAB (caso 3 Schwartz & Smith)
Parâmetros
MAB (yt)
Etanol nominal
Açúcar nominal
Etanol deflacionado
Açúcar deflacionado
Reversão à Média (xt)
α
σy
y0
7,46%
9,01%
-1,24%
0,31%
9,04%
5,82%
8,26%
3,74%
-0,0677
3,758
-1,0389
2,787
η
1,011
0,839
1,280
0,918
σx
x0
35,00%
35,67%
34,74%
35,19%
-0,1791
-0,0004
0,7920
0,9707
Como comentários a estes valores, podemos ver não somente que a
volatilidade dos fatores de reversão à média diminui relativamente ao caso 1, ou
seja, a volatilidade da inflação deixou de estar incorporada nesta, mas também e
77
principalmente que o fator de longo prazo (yt) dos processos possui volatilidade
significativa, tanto para as séries nominais quanto para as deflacionadas. Isso
indica que a tendência de longo prazo dessas variáveis possui dinâmica própria a
qual deve ser considerada e não somente associada ao comportamento
inflacionário. Também é de interesse notar que o valor inicial do desvio de curto
prazo, x0, tem sinal trocado entre as séries de preços nominais e as deflacionadas.
Para ilustrar a aproximação do processo real, plotamos nas Figura 2.6 e
Figura 2.7 as variâncias em função de t (Var (t)) dos processos de preços nominais
de etanol e açúcar, destacando a série usada para estimar σy (Var (t >T)) conforme
descrito na seção 2.5.1.4.4, e o resultado da variância segundo as equações (2.60)
e (2.70) ou seja em função dos parâmetros estimados para descrever o processo.
0,18
Etanol nominal
0,16
0,14
0,12
0,10
0,08
Var(t)
0,06
Var (t>T)
0,04
Var estimada
0,02
Var linear
0,00
1
6
11
16
21
26
31
36
41
46
51
56
61
66
71
76
81
86
91
96
101
106
111
116
121
126
131
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Figura 2.6. Variância verificada e estimada para Etanol nominal
t
78
Figura 2.7. Variância verificada e estimada para Açúcar nominal
0,25
Açúcar nominal
0,20
0,15
Var(t)
0,10
Var (t>T)
0,05
Var estimada
Var linear
1
7
13
19
25
31
37
43
49
55
61
67
73
79
85
91
97
103
109
115
121
127
133
0,00
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t
Na abordagem usada, o único dos parâmetros levantados que é dependente
do fator de correlação entre os fatores é a volatilidade do fator de reversão à média
σx. Conforme sugerido, foi calculada a sensibilidade desse parâmetro ao fator de
correlação ρxy . Os resultados podem ser vistos na Tabela 2.8.
Tabela 2.8. Sensibilidade da volatilidade σx, a correlação ρxy entre os
fatores x e y
ρxy
σx
Etanol nominal
Açúcar nominal
Etanol deflacionado
Açúcar deflacionado
-1,00
-0,75
-0,50
-0,25
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
45,2%
42,0%
44,0%
39,1%
42,4%
40,3%
41,5%
38,1%
39,8%
38,7%
39,1%
37,1%
37,3%
37,2%
36,9%
36,1%
35,0%
35,7%
34,7%
35,2%
32,8%
34,2%
32,7%
34,3%
30,8%
32,9%
30,9%
33,4%
28,9%
31,6%
29,1%
32,5%
27,1%
30,3%
27,4%
31,6%
Pode ser observada a alta sensibilidade de σx ao fator de correlação dos dois
fatores. No caso do preço histórico de etanol esta vai de 27% (ρxy = 1) para mais
45% (ρxy = -1). Neste caso a abordagem usada não permite encontrar o valor da
correlação e, portanto, constitui-se numa limitação dessa modelagem, conforme
explicado na seção 2.5.1.4.4.
Mas como pode ser observado na Tabela 2.6 onde se obtêm os valores de
correlação entre o comportamento de curto prazo da variável e aquele da inflação,
79
esta correlação deve ser baixa, portanto os valores extremos da Tabela 2.8
dificilmente ocorreriam em um caso real.
2.7.
Conclusões e sugestões
Neste capítulo foi visto que variáveis estocásticas usadas em opções reais
não precisam ser sempre modeladas por um MGB, e que é possível determinar se
estas incorporam elementos de reversão à média e ainda estimar os parâmetros
destes processos a partir de séries temporais. O processo estocástico usado na
modelagem de variáveis estocásticas pode influir significativamente no valor das
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opções reais como mostra Kerr (2008). Foi visto que uma variável pode também
ser a composição de um processo de caminho aleatório e de uma reversão à média
e que esta pode ser modelada incluindo esses dois processos, mas a principal
dificuldade está na correta estimação dos parâmetros desse modelo.
Nos exemplos mostrados de séries de preços de açúcar e etanol levantados
junto à indústria sucro-alcooleira do Brasil, foi visto que estes podem ser
modelados segundo um processo de reversão à média geométrico com maior
precisão desde que deflacionados. No entanto as séries históricas apresentam
elementos de caminho um aleatório muito próximo a inflação, mas não
exatamente iguais. Portanto a modelagem pelo modelo composto de Schwartz e
Smith é mais precisa e nesse caso permitirá a separação das duas tendências, ou
fatores do processo. No entanto somente a série temporal desses preços não
permite levantar com precisão todos os parâmetros do processo, como a
correlação entre os fatores do processo e a separação entre os prêmios de risco
destes fatores.
Como sugestões para futuros trabalhos na mesma linha de pesquisa, ou seja
a modelagem de processo estocásticos de fator único e multi-fatores para uso em
opções reais e a calibragem destes, podemos citar as seguintes:
O desenvolvimento e pesquisa de uma abordagem para determinação dos
parâmetros do modelo de Schwartz e Smith (2000) levantando estes de forma
integrada, seja por um processo de otimização ou econométrico, sem precisar
separar os dois fatores como feito neste trabalho.
80
Incluir processos com saltos de Poisson num modelo de dois fatores, em
conjunto com caminho aleatório e ou reversão à média, semelhante ao utilizado
por Dias e Rocha (1999), e desenvolver abordagem para determinação dos
parâmetros necessários, a partir de séries temporais, na mesma forma
desenvolvida neste trabalho. A inclusão de processos com saltos nessa abordagem
completaria este trabalho e se torna muito interessante na modelagem de opções
reais. No entanto pesquisa nessa linha deverá encontrar dificuldades
principalmente na parametrização correta dos processos isoladamente, em função
da dificuldade em separar processos contínuos como a reversão à média de
descontinuidades como são os saltos de Poison, a partir de uma única série
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temporal de valores.
2.8.
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3
Árvores Binomiais para Aproximação de Movimento de
Reversão à Média, para uso em Opções Reais
Resumo
Neste capítulo são propostos dois modelos de árvore binomial recombinante
para reversão à média e uso em avaliação por opções reais. A relevância dessa
abordagem decorre do fato de que as árvores binomiais são uma das metodologias
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mais utilizadas no apreçamento das opções tanto financeiras como reais, devido a
sua facilidade de uso, versatilidade e precisão. No entanto a abordagem clássica
desenvolvida por Cox, Ross e Rubinstein (1979) somente se aplica a processos
modelados por Movimentos Geométricos Brownianos, limitando-se a variáveis
que demonstrem ter esse comportamento.
Os modelos aqui desenvolvidos, apesar de mais intensivos em programação
do que o modelo binomial de Cox et. al. (1979), são fundamentalmente mais
simples que as abordagens concorrentes, tais como árvores trinomiais ou
processos por simulação para opções americanas, mas ainda robustos o suficiente
para serem combinados em modelos bi-variável, inclusive com outro MGB ou
outra reversão à média. O capítulo ainda apresenta os resultados da aplicação
destes modelos a avaliação de uma opção real hipotética.
3.1.
Introdução: árvores binomiais recombinantes para avaliação de
opções reais
A complexidade matemática associada com a teoria das opções reais vem do
fato desta requerer uma solução probabilística para a decisão ótima de
investimento da firma, não somente no momento presente, mas também em todas
as instâncias de tempo até a maturidade da opção. A solução desse problema de
otimização dinâmica, como descrita por Dixit e Pindyck (1994), está em modelar
a incerteza do ativo subjacente como um processo estocástico, sendo o valor da
84
decisão ótima de investimento obtido pela solução de uma equação diferencial
com as condições de contorno apropriadas. Frequentemente, no entanto, a equação
diferencial decorrente do processo e a decisão ótima não tem solução analítica ou
não reflete a real complexidade das condições de contorno do problema. Nesse
caso pode ser usada uma aproximação discreta do processo estocástico subjacente,
de forma a obter uma solução que seja computacionalmente eficiente para o
problema de avaliação dinâmica envolvido.
A modelagem discreta por árvore binomial recombinante desenvolvida por
Cox, Ross e Rubinstein (1979) para avaliar opções reais encontra ampla aceitação
por generalizar o modelo de Black, Scholes e Merton (1973) devido à sua
simplicidade de uso, flexibilidade e propriedade de convergir de forma fraca para
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um Movimento Geométrico Browniano (MGB) quando o passo no tempo (∆t)
diminui. Além disso, contrariamente ao modelo de Black, Scholes e Merton, essa
abordagem permite obter aproximações para a solução de opções do tipo
Americanas de exercício antecipado. Árvores binomiais são ferramentas precisas,
notavelmente robustas, e intuitivamente atraentes para avaliação de opções. A
abordagem de Cox, et al (1979), na qual os nós das ramificações se recombinam
devido ao fato que o movimento de subida (u) é o inverso do de descida (d), faz
com que em cada passo N, obtenha-se somente N+1 nós, e não 2N como no caso
de não haver re-combinação. A árvore binomial recombinante (ou lattice – treliça,
como é comumente chamada) tem uma implementação simples e prática, podendo
ser feita em planilhas de cálculo do tipo Excel, ou mesmo em programas de árvore
de decisão. Na abordagem desenvolvida por Brandão, Hahn e Dyer (2005), por
exemplo, os payoffs em cada ramificação correspondem aos fluxos de caixa de
cada estado da opção.
Muitas vezes, no entanto, a incerteza a ser modelada não segue um processo
estocástico similar a um MGB, o que ocorre quando os fluxos de caixa de um
projeto dependem de preços que são função de uma média de longo prazo, como é
o caso de commodities não financeiras. Diversos autores, como Bessimbinder,
Coughenour, Sequin e Smoller (1995), Schwartz (1997, 1988), Laughton e Jacoby
(1993) entre outros, sugerem que esse tipo de variável realmente tem um
comportamento auto-regressivo e apontam para o fato de que ao utilizar um
modelo estocástico de difusão do tipo de um MGB, pode-se estar aumentando de
forma significativa a incerteza relacionada e, por conseguinte o valor da opção.
85
Este trabalho está organizado da seguinte forma. Após esta introdução, na
seção 3.2, serão apresentadas duas aproximações binomiais para processos de
reversão à média: o processo censurado de Nelson e Ramaswami (1990) e um
modelo não censurado, além de uma discussão acerca da precisão de ambas as
abordagens. Na seção 3.3 estes modelos são utilisados para modelar duas árvores
binomiais bi-variáveis, primeiro para discretizar o modelo proposto por Schwartz
e Smith (2000) composto de um processo MGB com um MRM, e o segundo para
dois processos de MRM. Na seção 3.4 os modelos apresentados são usados para
avaliar uma opção real hipotética, e comparados entre si. A seção 3.5 conclui e
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apresenta sugestões de melhorias futuras para as abordagens aqui desenvolvidas.
3.2.
Aproximação binomial para movimento de reversão à média
O MRM é um processo de Markov no qual o sentido e a intensidade do
desvio são dependentes do preço corrente que deve reverter a uma média de
equilíbrio de mercado que é assumida como sendo o preço médio de longo prazo.
A lógica por trás de um movimento de reversão à média (MRM) vem da microeconomia: quando os preços estão deprimidos (ou abaixo de sua média de longo
prazo), a demanda por esse produto tende a aumentar ao passo que sua produção
tende a diminuir. Isso é devido ao fato que o consumo de uma commodity com
preço baixo aumenta enquanto os baixos retornos para as empresas produtoras as
levarão a postergar investimentos e fechar unidades menos eficientes, reduzindo
assim a disponibilidade do produto. O oposto acorrerá se os preços estiverem altos
(ou acima da média de longo prazo). Estudos empíricos (Pindyck & Rubinfeld,
1991) demonstraram que com preços de petróleo, por exemplo, a lógica da microeconomia indica que o processo estocástico inclui um componente MRM. No
entanto testes econométricos somente rejeitam o MGB para séries extremamente
longas.
A aproximação por árvores binomiais para modelos de reversão à média
(MRM) é menos conhecida do que a modelagem clássica de MGB de Cox, et al
(1979). Por esta razão a simulação de Monte Carlo ou árvores discretas trinomiais
e multi-nomiais (Hull, 1999) são geralmente usadas para modelar um MRM.
86
Por outro lado árvores trinomiais, tais como sugeridas por Tseng e Lin
(2007), Clewlow e Strickland (1999), Hull e White (1994ª, 1994b) e Hull (1999),
são de difícil implementação, pois suas ramificações são dependentes de trajetória
e as probabilidades ao longo destas condicionais aos passos anteriores,
envolvendo programação complicada e grande intensidade computacional. A
maior dificuldade do uso de árvores trinomiais está em programar modelos
genéricos, que possam assumir diversos valores de parâmetros, permitindo a
aplicação a uma ampla gama de projetos e casos específicos.
Métodos de simulação de Monte Carlos, desde a abordagem de Longstaff e
Schwartz (2001) são capazes de acomodar praticamente qualquer processo
estocástico, inclusive a combinação de vários processos, eliminado com a
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chamada “maldição da dimensionalidade e da modelagem”. Mas apesar de sua
ampla gama de aplicações, estes modelos são computacionalmente intensivos,
requerendo programação própria para a implementação principalmente no caso de
se estar em presença de diversas opções concorrentes, como é frequentemente o
caso em aplicações envolvendo opções reais.
Neste capítulo são propostas duas aproximações binomiais tentativas para
MRM, a primeira baseada num modelo genérico desenvolvido por Nelson e
Ramaswamy (1990) que implica em censurar as probabilidades ao longo da
árvore, e a outra sem essa restrição de censura das probabilidades. Ambas
fornecem resultados suficientemente precisos para a utilização em aplicações de
opções reais, além de serem suficientemente robustas para utilização em modelos
de dois fatores discretizados por árvores bi-variável. Também ambas supõem que
o comportamento estocástico da variável modelada é homoscedástico, mas
algumas adaptações podem modelar também comportamentos heteroscedásticos.
A forma mais simples de MRM é o processo de fator único de OrnsteinUhlenbeck, também chamado de MRM Aritmético, o qual é definido pela
Equação (3.1):
dxt = η ( x − xt ) dt + σ dzt
(3.1)
onde xt é o ln (logaritmo neperiano) da variável modelada St, η a velocidade
de reversão a média, x a média de longo prazo para a qual xt reverte, σ a
volatilidade do processo e dz um processo de Wiener. O ln da variável é utilizado,
pois no caso de commodities é geralmente assumido que os preços destas são
87
distribuídos segundo uma log-normal. Isto é conveniente porque sendo x=ln(S),
então S não pode ser negativo. Nesse caso estamos assumindo que St tem um
comportamento de Ornstein-Uhlenbeck geométrico, com St = exp(xt). No caso em
que não se queira esse comportamento log-normal, usa-se diretamente a variável
xt. Assim O valor esperado e variância do processo de Ornstein-Uhlenbeck, são
dados por Dixit e Pindyck (1994):
E [ xt ] = x + ( x0 − x ) e −η t
Var [ xt ] =
(3.2)
σ2
1 − e−2ηt )
(
2η
(3.3)
Podemos observar que, se t ∞ , então Var[xt] σ2/2η, e não para infinito,
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como é o caso com um MGB.
3.2.1.
Modelo de reversão à média censurado de Nelson e Ramaswamy
(1990)
Nelson e Ramaswamy (1990) propuseram uma metodologia que pode ser
utilizada sob uma ampla gama de condições, e como será mostrado mais à frente,
é apropriada ao processo de Ornstein-Uhlenbeck. Seu modelo é uma sequência
binomial simples de n períodos de duração ∆t, com um horizonte de tempo T: T =
n ∆t, que permite então que uma árvore binomial recombinante possa então ser
construída.
A forma geral de equação diferencial para um processo estocástico é dada
por:
dx = µ(x,t)dt + σ(x,t)dz, e o modelo proposto é dado pelas seguintes
equações:
xt+ ≡ x + ∆ t σ ( x , t )
(movimento de subida)
xt− ≡ x − ∆ t σ ( x , t )
(movimento de descida)
pt ≡ 1 2 + 1 2 ∆t
1-pt
α ( x, t )
σ ( x, t )
(probabilidade de subida)
(probabilidade de descida)
(3.4)
88
No entanto, nesse modelo, a probabilidade pt pode assumir valores negativos ou
superiores a 1. Os autores sugerem censurar esses valores de pt (e portanto de: 1pt), para a faixa de 0 a 1 da seguinte forma:



p≡


1 1 α ( x, t )
+
∆t
2 2 σ ( x, t )
0
se p ≥ 0 e pt ≤ 1
se pt <0 , pt e& censurado
se pt >1 , pt e& censurado
1
Esse modelo é bastante abrangente e se aplica bem ao processo de reverão à
média, como mostrado a seguir.
Comparando esta equação com a (3.1) temos:
α ( x, t ) = η ( x − xt ) , e
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σ ( x, t ) = σ
Mas podemos obter valores negativos ou superiores a 1 nos seguintes casos:
Se ( x − xt ) ∆t > σ , então pxt > 1
Se ( x − xt ) ∆t < −σ , então pxt < 0
Nesses casos o valor de pt precisa ser censurado conforme o esquema
mostrado abaixo:



p≡


1 η ( x − x ) ∆t
+
2
2σ
0
1
se p ≥ 0 e pt ≤ 1
se pt <0 , pt e& censurado
se pt >1 , pt e& censurado
Essas condições podem ser explicitadas pela fórmula (3.5):

 1 1 η ( x − xt )

pxt = max  0, min  1, +
∆t  


σ
 2 2


(3.5)
e ainda:
∆ x + = σ ∆t ;
∆x − = −σ ∆t
Como xt é o ln do preço S, então ∆ S + = eσ
(3.6)
∆t
e ∆ S − = e −σ
∆t
. Essas são as
expressões já conhecidas usadas na árvore recombinante do MGB. O resultado é
então uma árvore binomial recombinante similar àquela obtida pelo MGB de Cox
et al. (1979). O cálculo das probabilidades, e a censura destas, produzirão um
modelo que converge de forma fraca para um MRM, como demonstrado por Hahn
(2005). É importante notar que em cada nó da árvore de preços obtida, a
89
probabilidade de um movimento ascendente (pt) irá depender de xt, gerando,
segundo a equação (3.5), uma segunda árvore de probabilidades de subida pxt, e
uma outra correspondente de probabilidades de descida.
Uma vez montada a árvore binomial, para descontar esta à taxa de desconto
sem risco, como se requer em cálculos de opções, é necessário levar em conta o
prêmio de risco do processo xt (DIXIT e PINDYCK, 1994): λx . Na sua forma
neutra ao risco a equação (3.1) fica:
dxt = η ( x − λx η ) − xt  dt + σ dzt
(3.6)
O ajuste para transformar um MRM em neutro a risco se dá na sua média de
longo prazo x , penalizando esta pelo prêmio de risco normalizado do processo:
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x − λx η ( DIXIT e PINDYCK, 1994, BASTIAN-PINTO e BRANDÃO, 2007).
Para a árvore binomial censurada neutra ao risco, o ajuste se dá então na equação
(3.5):

 1 1 η ( x − λx η ) − x 

pxt = max  0, min 1, +
∆t  
 2 2


σ



(3.7)
3.2.2.
Aproximação binomial para modelo não censurado de reversão à
média
A abordagem para desenvolver um modelo binomial, parte do princípio de
igualar o 1º e 2º momentos (valor esperado e variância) de um processo
estocástico, com o resultado da árvore binomial.
O problema está em encontrar uma sequência binomial que convirja para
uma equação diferencial estocástica (EDE) na forma:
dxt = α ( x, t ) dt + σ ( x, t ) dz
Onde α ( x, t ) e σ ( x, t ) são respectivamente as funções taxa de crescimento
(drift) e volatilidade contínuas e instantâneas e dz é um incremento de Weiner
padrão. As condições para que uma sequência binomial de xt convirja para a EDE
t
t
0
0
acima é que xt = x0 + ∫ α ( xs , s )ds + ∫ σ ( xs , s )dz , exista em 0 < t < ∞ , e que
90
x∆±t ( x , t ) − x , α ∆ t ( x , t ) − α ( x , t ) , e σ ∆2t ( x , t ) − σ 2 ( x , t ) → 0 , quando ∆ t → 0
(HAHN, 2005).
Usando a discretização: ∆t = t – t0 podemos escrever as equações (3.2) e
(3.3) assim:
E [ xt ] = x + ( xt −1 − x ) e −η∆t
(3.8)
σ2
Var [ xt ] =
1 − e−2η∆t )
(
2η
(3.9)
Para um processo binomial de um período de um preço S, temos a Figura
3.1:
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Figura 3.1. Nó binomial
p
S∆t+=S0 u
1-p
S∆t-=S0 d
So
Neste modelo usamos a abordagem de Hull e White (1994ª, 1994b) descrita
em Clewlow e Strickland (1999) e em Hull (1999), com seu modelo de árvore
trinomial para reversão à média. Primeiramente definimos uma árvore aditiva, que
modela um processo aritmético de Ornstein Uhlenbeck de média de longo prazo
igual à zero: x ∗ = 0 , e valor inicial também igual a zero: x0∗ = 0 . Nesta árvore os
nós terão os valores xt∗ . Aos valores dos nós de cada período desta árvore são
adicionados os valores esperados determinísticos da modelagem de Ornstein
Uhlenbeck, a partir da equação (3.8) usando a média real de longo prazo do
processo: x , e o valor inicial real deste: x0. E então usa-se esta árvore de valores
de xt para obter a árvore de um processo de preço St com distribuição log-normal,
definida por: S t = e x .
t
Chamando de:
ln(u) = U, e:
ln(d) = D
Como estamos considerando xt = ln (St), para estudar a dinâmica do efeito
do nó binomial podemos considerar S0 como um valor unitário, ou seja: S0 = 1 de
tal forma que as relações de grandeza no processo binomial permaneçam
91
inalteradas. Como temos: xo∗ = x ∗ = 0 podemos escrever a relação binomial para o
processo, agora aritmético, x0∗ (Figura 3.2):
Figura 3.2. Nó binomial do processo OU
p
x*∆t+ = ln(S0 u) = ln(S0) + ln(u) = U
1-p
x*∆t- = ln(S0 d) = ln(S0) + ln(d) = D
x*0
(3.10)
Para aproximar esse processo binomial com as equações (3.8) e (3.9) do
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processo de Ornstein-Uhlbenbeck obtemos as seguintes relações:
x ∗+ = x ∗ + σ ∆ t
(3.11)
x ∗− = x ∗ − σ ∆t
(3.12)
1 1
pxt = +
2 2
η ( − xt∗ ) ∆t
η ( −x
2
∗
t
)
2
∆t + σ
(3.13)
2
O desenvolvimento e demonstração das equações (3.11), (3.12) e (3.13) acima,
encontra-se no Anexo 3.1. Com estas podemos modelar a árvore binomial
recombinante aditiva de média 0, e valor inicial também 0, para movimentos de
reversão à média (MRM) aritméticos de xt∗ . Como em Clewlow e Strickland
(1999) e em Hull (1999), a estes valores de nós deverão então ser adicionados os
valores esperados obtidos com a equação (3.8), considerando agora xo e x (ambos
não mais iguais a 0, mas com os valores dos parâmetros reais do processo MRM).
O valor de x após i movimentos de subida, e j movimentos de descida:
t =(i + j)∆t
x( i , j ) = x + ( x0 − x ) e−η ( i + j )∆t + ( i − j ) σ ∆t , ou:
14
4244
3
x∗
(
)
x( i , j ) = x 1 − e −η (i + j )∆t + x0 e −η ( i + j )∆t + ( i − j ) σ ∆t
14
4244
3
(3.14)
x∗
A árvore binomial recombinante não censurada para o movimento de
reversão à média geométrico, definida por: S t = e x , é obtida diretamente
t
transformando os valores de x(i,j) em S(i,j) . Obtém-se assim a árvore binomial
recombinante de reversão à média multiplicativa. A relação entre o modelo não
92
censurado e aquele censurado de Nelson e Ramaswami pode ser acompanhada no
Anexo 3.2.
Neste modelo não censurado, o ajuste para neutralidade ao risco se dá na
equação de valor esperado do processo, alterando o valor de x dado pela equação
(3.14) para:
(
)
x( i , j ) = ( x − λx η ) 1 − e −η ( i + j )∆t + x0 e −η ( i + j )∆t + ( i − j ) σ ∆t
14
4244
3
x
(3.15)
∗
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3.2.3.
Convergência dos dois modelos de árvore binomial para reversão à
média
Para se verificar a precisão dos dois modelos mostrados acima (censurado e
não censurado) serão mostrados resultados da modelagem pelos dois modelos
binomiais de um processo de reversão à média geométrico segundo o modelo 1 de
Schwartz (1997) definido pela EDE (3.16) abaixo.


σ2
dS = η  x + − ln [ S ]  Sdt + σ Sdz
2η


(3.16)
Com:
xt = ln ( St ) , e
dx = η ( x − x ) dt + σ dz
Para essa modelagem é necessário se ter especificados os valores das
seguintes variáveis:
So – valor inicial (em t = 0) da variável estocástica St
x0 = ln(So)
x – valor da média de longo prazo para a qual xt = ln ( St ) converge
η – parâmetro de velocidade de reversão à média do processo (3.16)
σ – parâmetro de volatilidade do processo (3.16)
∆t – valor intervalo de discretização de tempo
É importante ressaltar que o modelo 1 de Schwartz definido por (3.16),
converge a longo prazo para um valor S ∗ = exp ( x + σ 2 4η ) (SCHWARTZ,
1997). Os modelos binomiais geométricos desenvolvidos, com St = exp ( xt ) ,
93
convergem
para
um
(
S ∗ = exp x + σ 2 2η
)
valor
S = exp ( x ) .
Portanto
se
considerarmos
a média de longo prazo que intuitivamente transformaria o
processo definido por (3.16), em:
(
)
dS = η ln  S ∗  − ln [ S ] Sdt + σ Sdz
Nesse caso teríamos: S = S ∗ exp ( − σ 2 4η )
Na Figura 3.3, foram plotados dois exemplos de árvore binomial dos
modelos censurado e não censurado, para valores: σ = 0,2 , η = 1,2 e S = 50 , S0 =
75, com ∆t = 1/4.
Fica aparente que a precisão dos modelos será função dos parâmetros: η, σ,
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So, S e ∆t. Comparamos o valor esperado (a média) e a variância dos processos
com o das expressões analíticas destes, dadas pelas equações (3.2) e (3.3). Para
obter a estimativa da precisão dos modelos para a média e a variância, estas foram
estimadas dos modelos da seguinte forma:
Para o valor esperado num determinado passo n (significando um tempo T =
n∆t) foi feito o seguinte calculo:
E [ xn ] =
i = n +1
∑ qx
i i ,n
i =1
Onde xi,n e qi,n são o valor do nó i no passo n e sua correspondente
probabilidade acumulada de ocorrência. Esta última é calculada a partir dos
valores acumulados da probabilidade de subida pi,t (e da de descida 1- pi,t) por
uma árvore binomial correspondente a de valores xi,t. Da mesma foram a variância
no passo n:
Var [ xn ] =
i = n +1
∑ q (x
i
i =1
i ,n
− E [ xn ] )
2
94
Figura 3.3. Árvores binomiais modelos censurado e não censurado, com
S0 = 75
100
90
80
70
60
50
40
30
MRM censurado
10
3,25
3,50
3,75
3,25
3,50
3,75
2,75
2,75
3,00
2,50
2,50
3,00
2,25
2,25
2,00
1,75
1,50
1,25
1,00
0,75
0,50
0,25
0,00
0
Anos
100
90
80
70
60
50
40
30
MRM não
censurado
20
10
2,00
1,75
1,50
1,25
1,00
0,75
0,50
0,25
0,00
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20
Anos
Legenda:
σ :
Intervalo 95% confiança:
Valor esperado analítico:
Nós censurados (prob = 0 ):
η
20%
S0 :
75
1,2
0,25
Valor esperado árvore:
S :
50
:
Δt :
95
Como temos cinco variáveis para medir a sensibilidade da precisão, serão
mostrados somente os resultados mais significativos, e comentadas sensibilidades
encontradas.
Considerando σ = 0,2, η = 0,8 e S = 50 , foi feita uma análise sobre a
sensibilidade a ∆t, em passos inferiores a um ano (∆t < 1). Foram considerados
valores de S0 inferiores e superiores à média de longo prazo S , sendo S0 = 25 e
100, ou seja a metade e o dobro da média de longo prazo.
Os resultados estão na Tabela 3.1.
Tabela 3.1. Sensibilidade para os dois modelos em erro % (∆%) de
E[x] e σ2[x]
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∆t = 1 / 2
Modelos:
Censurado
Passo n
∆% E[x]
∆% σ [x]
∆% E[x]
∆% σ [x]
2
Não
2
∆t = 1 / 4
Modelos:
Passo n
∆% E[x]
Censurado
∆% σ2[x]
∆% E[x]
Não
censurado ∆% σ2[x]
∆t = 1 / 8
Modelos:
Passo n
∆% E[x]
Censurado
∆% σ2[x]
Não
∆% E[x]
censurado ∆% σ2[x]
S 0 = 100
1
2
3
4
6
8
12
2,0%
2,3% 1,5% 0,5% 0,1% 0,2% 0,1%
45,3% 20,3% 9,1% 7,1% 4,0% 3,4% 3,2%
0,0%
0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%
45,3% 26,0% 17,6% 18,3% 14,6% 14,7% 14,8%
S 0 = 100
1
2
3
4
0,6%
0,7% 0,3% 0,1%
21,3% 16,2% 12,2% 9,1%
0,0%
0,0% 0,0% 0,0%
21,3% 16,8% 14,5% 12,1%
6
0,2%
4,8%
0,0%
9,5%
8
0,3%
2,5%
0,0%
8,1%
12
0,2%
0,6%
0,0%
7,2%
S 0 = 100
1
2
0,1%
0,1%
10,3%
9,2%
0,0%
0,0%
10,3%
9,3%
6
0,3%
5,6%
0,0%
6,8%
8
0,3%
4,3%
0,0%
5,8%
12
0,3%
2,4%
0,0%
4,7%
3
0,2%
8,2%
0,0%
8,7%
4
0,2%
7,2%
0,0%
7,9%
96
(continuação)
∆t = 1 / 2
Modelos:
Passo n
∆% E[x]
Censurado
∆% σ2[x]
Não
∆% E[x]
censurado ∆% σ2[x]
∆t = 1 / 4
Modelos:
Passo n
∆% E[x]
Censurado
∆% σ2[x]
Não
∆% E[x]
censurado ∆% σ2[x]
∆t = 1 / 8
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Modelos:
Passo n
∆% E[x]
Censurado
∆% σ2[x]
Não
∆% E[x]
censurado ∆% σ2[x]
S0 = 25
1
2
3
4
6
8
12
2,5%
2,7% 1,6% 0,6% 0,1% 0,2% 0,1%
45,3% 20,3% 9,1% 7,1% 4,0% 3,4% 3,2%
0,0%
0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%
45,3% 26,0% 17,6% 18,3% 14,6% 14,7% 14,8%
S0 = 25
1
2
3
4
0,8%
0,8% 0,4% 0,1%
21,3% 16,2% 12,2% 9,1%
0,0%
0,0% 0,0% 0,0%
21,3% 16,8% 14,5% 12,1%
6
0,2%
4,8%
0,0%
9,5%
8
0,3%
2,5%
0,0%
8,1%
12
0,3%
0,6%
0,0%
7,2%
S0 = 25
1
2
0,1%
0,2%
10,3%
9,2%
0,0%
0,0%
10,3%
9,3%
6
0,3%
5,6%
0,0%
6,8%
8
0,4%
4,3%
0,0%
5,8%
12
0,4%
2,4%
0,0%
4,7%
3
0,2%
8,2%
0,0%
8,7%
4
0,3%
7,2%
0,0%
7,9%
Dos resultados acima podemos concluir que a diminuição do intervalo ∆t
aumenta a precisão dos dois modelos quanto à variância, mas somente do valor
esperado do modelo censurado. A posição do valor inicial (acima ou abaixo da
média de longo prazo) também é importante para o modelo censurado, mas não
influi no valor esperado do não censurado.
Além dessas relações, foi constatado que a precisão dos dois modelos é
praticamente independente do parâmetro de volatilidade, mas no modelo
censurado, diminui rapidamente na medida em que este passa para cima de um
patamar. Este valor depende da relação tanto de grandeza quanto de posição do
valor inicial e da média de longo prazo. A razão para isso pode ser observada na
Figura 3.4, onde aparece a limitação do modelo censurado quanto ao valor
esperado nos passos iniciais, quando a distancia entre S0 e S é significativa, e a
velocidade de reaproximação η alta: a curva de valor esperado do modelo
censurado pode ser restrita pelo cone da sua árvore binomial distanciando esta da
curva real do valor esperado. Esse fenómeno não ocorre no modelo não
censurado, pela própria característica de sua construção.
97
Figura 3.4. Exemplo de árvore MRM com os dois modelos com S0 = 25
100
90
MRM censurado
80
70
60
50
40
30
20
3,25
3,50
3,75
3,25
3,50
3,75
2,75
2,75
3,00
2,50
2,50
3,00
2,25
2,25
2,00
1,75
1,50
1,25
1,00
0,75
0,50
0,25
0,00
0
Anos
100
MRM não
censurado
90
80
70
60
50
40
30
20
10
2,00
1,75
1,50
1,25
1,00
0,75
0,50
0,25
0,00
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10
Anos
Legenda:
Intervalo 95% confiança:
Valor esperado analítico:
Nós censurados (prob = 0 ):
σ :
20%
S0 :
25
1,2
0,25
Valor esperado árvore:
S :
50
η:
Δt :
Em função do acima exposto o modelo não censurado parece mais robusto
que o censurado de Nelson e Ramaswami (1990), apesar deste último apresentar
menores desvios no valor obtido da variância de sua árvore.
98
3.3.
Modelos de árvore bi-variável com reversão à média
O uso de processos estocásticos de dois fatores tem ampla utilização, apesar
de aumentar significativamente a complexidade das soluções para aplicações
baseadas nele. O conceito de árvore bi-variável foi introduzido por Boyle (1988) e
posteriormente discutido por Copeland e Antikarov (2003), os quais propuseram
um modelo de árvore “quadrinomial” com duas incertezas correlacionadas, cada
uma seguindo um MGB.
Hahn (2005) usa um modelo envolvendo dois fatores do preço de petróleo
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(oscilações de curto prazo e tendência de longo prazo) para calcular o valor de
uma opção de abandono de um poço de petróleo. Bastian-Pinto e Brandão (2007)
modelam a opção de conversão em usinas de açúcar e etanol modelando os preços
desses dois produtos como incertezas independentes e correlacionadas. Também
Brandão e Dyer (2009) modelam os riscos privado e de mercado de um projeto
por dois processos MGB distintos, porém correlacionados. Todas essas aplicações
envolvem o uso de árvores de decisão binomiais e bi-variáveis.
Na árvore bi-variável as variáveis x e y, seguem processos estocásticos
independentes e correlacionados. Para se construir uma árvore bi-variável, as
probabilidades conjuntas de subida de cada uma das quatro ramificações de saída
do nó precisam ser determinadas. Estas probabilidades representam as quatro
possíveis combinações de subida e descida das duas variáveis, com os primeiro e
segundo caracteres subscritos de cada probabilidade p denotando a direção do
movimento para as variáveis x e y, respectivamente, como mostrado na Figura 3.5.
99
Figura 3.5. Nó da ramificação bi-variável
x+∆x, y +∆y
puu
pud
x,y
pdu
pdd
x+∆x, y -∆y
x-∆x, y +∆y
x-∆x, y -∆y
∆t
Para este processo bi-variável, seguindo a convenção mostrada na Figura
3.5, e conforme demonstrado por Hahn (2005) e Brandão e Dyer (2009), podemos
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determinar as probabilidades conjuntas para x e y como nas equações (3.17).

 puu


 pud


p
 du


 pdd

onde
=
=
=
=
∆x∆y + ∆yν x ∆t + ∆xν y ∆t + ρ xyσ xσ y ∆t
4 ∆x ∆y
∆x∆y + ∆yν x ∆t − ∆xν y ∆t − ρ xyσ xσ x ∆t
4∆x∆y
∆x∆x − ∆yν x ∆t + ∆xν y ∆t − ρ xyσ xσ y ∆t
(3.17)
4 ∆ x∆ y
∆x∆y − ∆yν x ∆t − ∆xν y ∆t + ρ xyσ xσ y ∆t
4∆x∆y
p uu + p ud + p du + p dd = 1
(HAHN
e
DYER,
2008).
Essas
probabilidades também dependem da taxa de crescimento (drift) de cada
processoν x , ν y , assim como da correlação ρxy entre os incrementos destes.
3.3.1.
Modelo bi-variável composto de um MGB e um MRM
Schwartz e Smith (2000) modelam um processo estocástico de dois fatores,
um de longo prazo – modelado como um MGB, e outro de curto prazo –
modelado como um MRM, correlacionados entre sí. O modelo é assim definido:
Seja a variável incerta St tal que: St = exp(st), ou: st = ln(St), e:
st = xt + yt,
(3.18)
onde:
dx = -ηxdt + σxdzx
(3.19)
100
xt segue um processo de Ornstein Uhlembeck com: x = 0.
e:
(3.20)
dy = αdt + σydzy
yt,segue um Movimento Aritmético Browniano (MAB), e portanto:
ainda com:
dzxdzy = ρxydt
Então temos x, y e s, normalmente distribuídos. St terá uma distribuição lognormal e será o resultado de um processo MGB: exp(yt), multiplicado por uma
reversão à média geométrica: exp(xt).
S = exp(x+y) = exp(x) exp(y)
Hahn (2005) modela o modelo de Schwartz e Smith numa árvore bi-
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variável. O fator y é modelado conforme uma árvore binomial de Cox et al
(1979), e o fator x segundo o modelo binomial de reversão à média de Nelson e
Ramaswami. O modelo não censurado descrito na seção 3.2.2, não pode ser
diretamente aplicado a esse processo bi-variável porque as equações (3.17)
requerem que a probabilidade de subida do modelo binomial seja na forma de
Nelson e Ramaswami como no conjunto de equações (3.4) (BRANDÃO e DYER,
2009). As probabilidades do processo não censurado não estão nesse formato (ver
equação (3.13)), portanto é necessária a utilização do modelo censurado pois é o
único dos dois que se adéqua a composição bi-variável. Mas um nó com quatro
ramificações de saída, como na Figura 3.5, não pode ser diretamente censurado
quando necessário como requer o modelo de reversão à média. Hahn (2005)
resolve esse problema aplicando a regra de Bayes para decompor as
probabilidades conjuntas no produto das probabilidades marginal e condicional.
Para obter as probabilidades condicionais, as probabilidades conjuntas são
divididas pela probabilidade marginal para y:

1 1 ν y ∆t
 pu = +
2 2 ∆y


 p = 1 − 1 ν y ∆t
 d 2 2 ∆y
(3.21)
Conforme:
p ( xt ∩ yt ) = p ( xt | yt ) p ( yt )
( regra de Bayes )
101
Portanto dividindo as probabilidades das equações (3.17), pelas equações
correspondentes (3.21), leva às seguintes probabilidades condicionais para x:

∆x ( ∆y + ν y ∆t ) + ∆t ( ∆yν x + ρ xyσ xσ y )
 pu|u =
2 ∆y ( ∆ x + ν x ∆ t )


∆x ( ∆y −ν y ∆t ) + ∆t ( ∆yν x − ρ xyσ xσ y )

p
=
d
|
u

2 ∆y ( ∆x + ν x ∆t )


∆x ( ∆y + ν y ∆t ) − ∆t ( ∆yν x + ρ xyσ xσ y )

 pu|d =
2 ∆ y ( ∆x + ν x ∆t )


∆x ( ∆y −ν y ∆t ) − ∆t ( ∆yν x − ρ xyσ xσ y )
p =
 d |d
2 ∆y ( ∆x + ν x ∆ t )
(3.22)
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Figura 3.6. Nó bi-variável censurado de um MAB seguido de um MRM
pu
y
pd
pu|u
x+∆x
pd|u
x-∆x
pu|d
x+∆x
pd|d
x-∆x
x
y +∆y
Censurar estas
probabilidades condicionais
na medida do necessário
y - ∆y
x
MGB
MRM
∆t
Nesta formulação teremos:
p u |u + p d |u = 1
e
p u |d + p d |d = 1 .
Estas
probabilidades permitem que o nó de quatro ramificações com probabilidades
conjuntas possa ser separado numa sequência (Figura 3.6) na qual as
probabilidades condicionais da variável x podem ser novamente censuradas na
forma da equação (3.5). Usando para a modelagem do processo de reversão à
média xt as relações do processo binomial censurado das equações (3.5) e (3.6)
com o processo dado pela equação (2.56), para o MAB yt os resultados das
equações (3.21) com o processo da equação (2.58) temos:
102
∆x = σ x ∆t
ν x = η ( − xt )
∆y = σ y ∆t
νy =α
Para descontar essa árvore bi-variável à taxa de desconto sem risco, como
ser requer em cálculos de opções, é necessário levar em conta os prêmios de risco
dos dois fatores do processo St (BRANDÃO e DYER, 2009): λx , e λy . Estes irão
penalizar os drifts dos dois fatores do processo da seguinte forma:
ν x∗ = η ( − λx η − xt )
ν ∗y = α − λ y
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Portanto as equações (3.22) ficarão:

1 σ xσ y + σ y
 pu|u =
2



1 σ xσ y + σ y
 pd |u =
2



1 σ xσ y − σ y
 pu|d =
2


1 σ xσ y − σ y

p
=
d
|
d

2

∆tη ( − λx η − xt ) + σ y ∆t (α − λ y ) + ρ xyσ xσ y
σ xσ y + σ y ∆t (α − λ y )
∆tη ( − λx η − xt ) − σ y ∆t (α − λ y ) − ρ xyσ xσ y
σ xσ y + σ y ∆t (α − λ y )
∆tη ( − λx η − xt ) + σ y ∆t (α − λ y ) − ρ xyσ xσ y
(3.23)
σ xσ y + σ y ∆t (α − λ y )
∆tη ( − λx η − xt ) − σ y ∆t (α − λ y ) + ρ xyσ xσ y
σ xσ y + σ y ∆t (α − λ y )
Estas podem ser diretamente censuradas na mesma forma que a equação
(3.5) sendo depois multiplicadas pelas probabilidades marginais de subida e
descida do processo MAB (yt) as quais ficam assim, já na forma neutra ao risco:

1 1 (α − λ y ) ∆ t
 pu = +
2 2
σy



1 1 (α − λ y ) ∆ t
 pd = −
σy
2 2

No modelo de Schwartz e Smith (2000) xt e yt compõe-se da seguinte forma:
st = xt + yt,, e: St = exp(st). Portanto são dois fatores diferentes de um mesmo
processo, como as oscilações de curto prazo e a tendência de longo prazo do preço
de uma commodity. Mas outras composições de xt e yt também podem ser
modeladas como em Brandão e Dyer (2009) onde os dois fatores referem-se aos
riscos privados e de mercado de um projeto.
103
3.3.2.
Modelo bi-variável composto de dois processos MRM
A abordagem bi-variável para o modelo de Schwartz e Smith (2000)
descrita na seção 3.3.1 é facilmente modificável para modelar uma árvore bivariável combinando dois processos MRM, ambos segundo o modelo censurado
de Nelson e Ramaswami. Essa abordagem é usada por Bastian-Pinto e Brandão
(2007) e por Hahn e Dyer (2008). No lugar do processo MAB da equação (2.58),
teremos outro MRM, portanto os processos x e y terão a seguinte forma:
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dx = η x ( x − x ) dt + σ x dz x
dy = η y ( y − y ) dt + σ y dz y
ainda com:
dzxdzy = ρxydt
Neste modelo teremos: xt = ln(Sx) , com: x = ln ( S x ) , e: yt = ln(Sy), com:
y = ln ( S y ) . Sx e Sy podem ser dois processos inteiramente independentes,
correlacionados, os quais compõem a decisão envolvida na opção existente. Os
movimentos de subida e descida, assim como os drifts já considerando os prêmios
de risco λx , e λ y serão estes:
∆x = σ x ∆t
ν x∗ = η x ( x − λx η x − xt )
∆y = σ y ∆t
(
ν ∗y = η y y − λ y η y − yt
)
As probabilidades condicionais (3.23), neste modelo, já neutro a risco
ficarão:
104

1 σ xσ y + σ y
 pu|u =
2



1 σ xσ y + σ y
 pd |u =
2



1 σ xσ y − σ y
p
=
 u |d
2


1 σ xσ y − σ y

 pd |d = 2

∆tη x ( x − λx η x − xt ) + σ y ∆tη y ( y − λ y η y − yt ) + ρ xyσ xσ y
σ xσ y + σ y ∆tη y ( y − λ y η y − yt )
∆tη x ( x − λx η − xt ) − σ y ∆tη y ( y − λ y η y − yt ) − ρ xyσ xσ y
σ xσ y + σ y ∆tη y ( y − λ y η y − yt )
∆tη x ( x − λx η − xt ) + σ y ∆tη y ( y − λ y η y − yt ) − ρ xyσ xσ y
(3.24)
σ xσ y + σ y ∆tη y ( y − λ y η y − y )
∆tη x ( x − λx η − xt ) − σ y ∆tη y ( y − λ y η y − yt ) + ρ xyσ xσ y
σ xσ y + σ y ∆tη y ( y − λ y η y − yt )
Novamente, estas podem ser diretamente censuradas se foram acima de 1 ou
inferiores a 0. As probabilidades marginais de subida e descida do processo yt
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ficam assim:

1 1 η y ( y − λ y η y − yt ) ∆t
 pu = +
2 2
σy



1 1 η y ( y − λ y η y − yt ) ∆ t
 pd = −
σy
2 2

Mas neste modelo essas probabilidades marginais de y também devem ser
censuradas conforme a Figura 3.7, porque modelam um processo MRM segundo a
abordagem de Nelson e Ramaswami.
Figura 3.7. Nó bi-variável censurado de dois MRMs
pu
y
pd
pu|u
x+∆x
pd|u
x-∆x
pu|d
x+∆x
pd|d
x-∆x
x
y +∆y
Censurar estas
probabilidades condicionais
e marginais na medida do
necessário
y - ∆y
x
MRM
MRM
∆t
105
3.4.
Avaliação de opção de expansão de usina refinadora de açúcar em
destilaria flexível de etanol
O setor de bio-combustíveis, especialmente o brasileiro, é conhecido por
dispor de diversas flexibilidades gerenciais que devem ser avaliadas como opções
reais, como mostram Brandão, Penedo e Bastian-Pinto (2009), Bastian-Pinto e
Brandão (2007) e Goncalves, Neto e Brasil (2006), entre outros autores. Neste
capítulo avaliamos uma opção real disponível para as usinas refinadoras de açúcar
que já produzem essa commodity, de passarem a produzir etanol a partir do
mesmo produto de origem, a cana de açúcar. Para isso precisam pagar o preço de
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exercício dessa opção, que neste caso é o custo de implantação da usina de etanol.
O investimento nas usinas de processamento de cana de açúcar é precedido de
investimentos vultosos no preparo dos canaviais, os quais demoram até três anos
para atingirem o nível de produção nominal de cana. Os investimentos industriais
na usina refinadora de açúcar, são substancialmente maiores que aqueles relativos
a uma usina produtora de etanol. A usina processadora de cana pode ser
unicamente refinadora de açúcar, destiladora de etanol, ou flexível, capaz de
produzir qualquer mix destas duas commodities.
Para avaliar a opção de expansão da usina de açúcar em usina flexível,
consideramos os possíveis fluxos de caixa do modelo: o da produção de açúcar, a
qual também produz obrigatoriamente uma parcela de etanol e o da produção de
etanol puro, ambos a partir da mesma capacidade processadora de cana de açúcar.
Como o investimento industrial da usina produtora de açúcar é superior ao
da usina de etanol, é coerente considerar que uma usina de açúcar já em operação
considere o investimento na capacidade de produção de etanol como uma opção
real. Neste caso seria uma call sobre valor presente dos fluxos de caixa da
produção de etanol, subtraídos dos fluxos de caixa da produção de açúcar, quando
esta diferença for positiva.
106
3.4.1.
Metodologia de avaliação da opção real de expansão
Os fluxos de caixa da refinadora de açúcar (com etanol como subproduto) e
da destilaria de etanol são proporcionais aos preços dessas duas commodities
pagos aos produtores. Essas séries de preço estão disponíveis online no site do
CEPEA (2008). Ambas as séries nominais foram convertidas para médias mensais
(também nominais) no período de maio de 1998 a setembro de 2009. Para o etanol
a série usada é uma média entre álcool anidro (70%), e hidratado (30%), ambos
produzidos nas usinas, aproximadamente nessas proporções (GONÇAVES ET
AL, 2006 EPE, 2008). Para cada tonelada de cana processada, a refinadora de
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açúcar produzirá 107 kg de açúcar e mais 12 litros de etanol enquanto a
destiladora de etanol produzirá 80 litros da mesma tonelada de cana. Os tributos
diretos são da ordem de 16% para o açúcar e 4% para o etanol, mas a produção de
açúcar envolve custos variáveis significativamente superiores aos de etanol, entre
outras razões pelo maior consumo de energia desse processo. Foi considerada uma
usina típica de porte grande com capacidade de processamento de 2,6 milhões de
toneladas de cana de açúcar anual. Para esse porte os custos variáveis da produção
de açúcar foram considerados de 4 R$ milhões/ano acima da produção de etanol.
Alíquota de imposto de renda é de 34% (já considerando a CSSL) e o
investimento necessário na expansão é de 83.200 R$ mil, já capitalizado de forma
a considerar que precisará de 1,5 anos de antecedência ao fluxo de caixa que
poderá gerar.
A variável incerta modelada para a avaliação da opção real é a razão dos
Fluxos de Caixa Livres (já considerando todos os impostos, custos variáveis e
efeito da depreciação de investimentos) dos dois modos de produção, ou seja:
RE
A
=
Fluxo de caixa livre produção etanol
Fluxo de caixa livre produção açúcar
Essa abordagem permite reduzir as incertezas de duas para apenas uma
variável estocástica, retratando a incerteza associada à opção real a ser avaliada.
Poderia ter sido escolhida também a diferença entre os fluxos de caixa
mencionados a qual serviria da mesma forma para avaliar o comportamento da
incerteza sobre o retorno do investimento na capacidade de produção de etanol.
Mas ao utilizar a diferença entre os fluxos de caixa poderíamos valores negativos
107
dessa variável sempre que o fluxo de caixa livre resultante da produção de açúcar
resultasse em valor superior ao de etanol. Seria então necessário modelar essa
incerteza por um processo aritmético que permitisse retornar valores negativos.
No entanto o objetivo desta avaliação é demonstrar a aplicação dos processos de
árvores binomiais de uma e duas variáveis na avaliação de um caso prático de
opções reais. Os modelos desenvolvidos nas seções 3.2 e 3.3 deste trabalho se
adéquam com mais clareza a processos geométricos e aos parâmetros levantados
para essa classe de processos. Os parâmetros de processos aritméticos devem ser
especificados na mesma unidade da variável estocástica. Neste caso foi utilizado a
variável RE/A acima mencionada: razão entre o fluxo de caixa da produção de
etanol e do fluxo de caixa históricos (reais) da produção de açúcar, cujo
valores históricos dos fluxos de caixa usados para calcular essa razão. Os fluxos
de caixa foram estimados a partir das séries de preços reais de açúcar e etanol
disponíveis.
Figura 3.8. Fluxos de Caixa Mensais e Razão dos Fluxos de Caixa
Etanol/Açúcar
14
1,5
1,4
12
1,3
10
1,2
1,1
8
RE/A
R$ millhões
6
1,0
0,9
0,8
4
0,7
2
FC Etanol
FC Açúcar
-
0,6
fev/08
nov/08
mai/07
ago/06
fev/05
nov/05
mai/04
ago/03
fev/02
nov/02
mai/01
ago/00
fev/99
nov/99
mai/98
f ev/08
nov/08
mai/07
ago/06
f ev/05
nov/05
mai/04
ago/03
f ev/02
nov/02
mai/01
ago/00
f ev/99
nov/99
0,5
mai/98
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comportamento histórico pode ser acompanhado na Figura 3.8, assim como os
A opção analisada é calculada da seguinte forma: assumimos um prazo de
exercício de 5 anos, em períodos semestrais (∆t = 0,5), após o qual é considerada
perpetuidade sem crescimento do fluxo de caixa mais alto (etanol ou açúcar). Essa
consideração supõe que a opção tem vencimento em 5 anos, o que é uma
limitação do exemplo. No entanto é bastante razoável supor que após esse período
o valor presente da opção seria bastante menor do que durante o período
108
considerado. Em cada nó da árvore binomial modelada se tem o múltiplo RE/A :
caso seja inferior a 1, indica que o fluxo de caixa da produção de açúcar é superior
ao da opção de produzir etanol a partir da mesma quantidade de cana de açúcar
processada. Caso seja superior a 1, então o fluxo de caixa da produção de etanol
será equivalente ao do açúcar, multiplicado por essa razão RE/A. O próprio fluxo de
caixa da produção de açúcar tem apresentado ao longo da série levantada um
crescimento nominal de 8,83% em termos anuais, ou 4,32% semestral. Esse fato
pode ser observado na Figura 3.8. O valor do fluxo de caixa semestral inicial de
açúcar é de 32,804 milhões de R$, e o valor da variável estocástica RE/A : 0,80082,
indicando que o início da projeção o fluxo de caixa livre da produção de etanol é
inferior ao equivalente de açúcar. Esse valor é um dos mais baixos de toda a série
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analisada e seria um inibidor do investimento na expansão para produção de
etanol. No entanto, a alta volatilidade da variável RE/A certamente deverá atribuir
valor a opção de expansão.
Num primeiro passo é construída uma primeira árvore binomial de valores
de RE/A segundo o processo estocástico escolhido para modelar esta variável, com
10 passos semestrais. A partir desta é calculada uma segunda árvore binomial,
desta vez de valores presentes do projeto de expansão, a partir do fim do período
de 5 anos (10 passos semestrais) onde se calcula o valor presente naquele nó da
produção de etanol a partir de seus fluxos de caixa em perpetuidade. Este é obtido
multiplicando o fluxo de caixa determinístico da produção de açúcar nesse
período, pela razão RE/A nesse nó correspondente da primeira árvore (de valores de
RE/A). No passo anterior calcula-se o valor presente em cada nó multiplicando os
valores dos nós subseqüentes por suas probabilidades neutras a risco, descontando
a taxa livre de risco e adicionando o fluxo de caixa (calculado acima) nesse nó.
Procede-se assim até o período inicial.
Passa-se ao passo anterior (passo 9), onde se calcula o valor do nó da
seguinte forma: o máximo entre o valor dos passos posteriores, ponderados pelas
probabilidades neutras ao risco e descontados pela taxa livre de risco somado ao
fluxo de caixa nesse período (este é calculado multiplicando-se o fluxo de caixa
do açúcar neste período multiplicado pelo valor de RE/A nesse nó) e subtraído do
custo da expansão, ou somente o valor presente dos próximos nós calculado da
mesma forma. Procede-se assim até o passo 0 onde se obtém o valor presente da
opção de expansão.
109
Para obter o valor da opção de expansão, sobre a árvore acima se calcula em
cada nó o valor máximo entre o exercício da opção nesse nó: valor presente da
expansão já calculado subtraído do custo da expansão, o valor presente da
produção de açúcar, e o valor da continuação: valor presente dos nós subseqüentes
ponderados pelas suas probabilidades neutras ao risco e descontados a taxa livre
de risco. Novamente procede-se assim até o início da árvore onde se obtêm o
valor da empresa com a opção de expansão.
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3.4.2.
Modelagem e resultados
São utilizadas três abordagens por árvores binomiais para modelar a
incerteza da razão RE/A. Inicialmente esta é modelada como um MGB. Os
parâmetros (todos em bases anuais) foram levantados para a série de RE/A
calculada a partir dos fluxos de caixa históricos (reais) e mostrada na Figura 3.8.
Para o modelo MGB estes foram: volatilidade: σR = 39,54%, taxa de crescimento
(drift) αR = 3,96%. O primeiro é o desvio padrão dos log-retornos da série, o
segundo a média desses mesmos log-retornos aumentada da metade da variância
encontrada.
Depois a variável RE/A é modelada como uma reversão à média geométrica,
usando a abordagem desenvolvida na seção 3.2.2, ou seja por árvore binomial de
reversão à média não censurada. Os parâmetros também foram levantados a partir
da série disponível usando a abordagem de Bastian-Pinto e Brandão (2007). Estes
foram: a velocidade de reversão, η = 1,51; parâmetro de volatilidade: σR = 35,81%
e média de longo prazo: R = 1,0323.
Ambas as abordagens usaram os seguintes parâmetros em bases anuais e
nominais: taxa de desconto ajustada ao risco: k
=
20%; taxa livre de risco: rf =
8%; prêmio de risco da variável RE/A = 10,25%. Com essas taxas de desconto e os
valores dos fluxos de caixa da usina produtora somente de açúcar obtém-se um
valor presente para esta de R$ 493,382 milhões. O drift do processo MGB neutro
ao risco: αRnr = -1,04%, e a média do processo MRM ajustada para o processo
110
neutro ao risco: R nr = 1,0211. As árvores binomiais modelando a variável RE/A
por esses dois processos podem ser vistas na Figura 3.9.
Figura 3.9. Árvores da variável RE/A para processos MGB e MRM
3,5
3,5
3,0
3,0
2,5
2,5
2,0
2,0
1,5
1,5
1,0
1,0
0,5
0,5
0,0
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
Anos
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0612037/CA
MRM
não censurado
MGB
5,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
Anos
Os resultados do cálculo do valor da opção de expansão por essas duas
árvores binomiais são os seguintes:
Considerando que a variável estocástica tem um comportamento seguindo
um Movimento Geométrico Browniano mostrado na primeira árvore da Figura
3.9, com os parâmetros levantados acima, o valor da opção de expansão obtido no
passo inicial da árvore subtraído do valor presente dos fluxos de caixa da
produção de açúcar, é R$ 16,607 milhões, ou 3,4% do valor da usina sem
flexibilidade.
Considerando agora que a variável estocástica tem um comportamento
seguindo um Movimento de Reversão à Média mostrado na segunda árvore da
Figura 3.9, com os parâmetros também levantados acima, o valor da opção de
expansão obtido da mesma forma é R$ 88,165 milhões, ou 17,4% do valor da
usina sem flexibilidade. Fica aparente que a opção de expansão tem valor bastante
superior ao caso MGB quando a variável estocástica é modelada como um MRM.
Isso é explicado pelo drift neutro a risco negativo (αRnr = -1,04%) estimado para o
MGB, enquanto que a média de longo prazo neutra ao risco no MRM é ainda
superior a 1 ( R nr = 1,0211).
A mesma opção de expansão também foi modelada considerando que a
variável estocástica segue um processo segundo o modelo de Schwartz e Smith
(2000) portanto com características de caminho aleatório e de reversão à média.
111
Os parâmetros do processo correspondente mostrado na Figura 3.7, foram
levantados segundo a abordagem descrita na seção 2.5.1.4.4. Estes são:
α:
-1,6%
ηx :
1,030
σy :
5,0%
σx :
36,0%
ρxy :
0,150
Foi considerado o mesmo prêmio de risco usado nas modelagens anteriores,
e este foi inteiramente atribuído ao fator de curto prazo do processo (MRM),
através da média do processo. As duas árvores independentes de MGB e de MRM
dos dois fatores do processo podem ser vistas na Figura 3.10. Pode ser observada
a baixa volatilidade encontrada no fator de longo prazo que segue um MGB.
Figura 3.10. Árvores da variável RE/A para processo conjunto MGB e
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MRM
3,5
2,0
1,8
MGB
3,0
1,6
2,5
1,4
1,2
MRM censurado
2,0
1,0
1,5
0,8
0,6
1,0
0,4
0,5
0,2
-
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
Anos
5,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
Anos
Esta modelagem, mais complexa, considera as diferentes características do
processo e o valor da opção de expansão obtido no passo inicial da árvore é R$
33,291 milhões, ou 6,7% do valor da usina sem flexibilidade. Nota-se que este
valor se situa entre os dois achados anteriormente com as diferentes modelagens, e
portanto confirma que o valor da opção tem forte influência do processo
estocástico escolhido na modelagem.
Este exemplo de cálculo de uma opção real hipotética, apesar de baseado em
dados reais, tem como finalidade demonstrar a aplicabilidade das metodologias de
árvores binomiais desenvolvidas neste capítulo, e expor o quanto diferentes
modelagens podem afetar o valor de uma opção real. Mas é um caso simplificado
que não considera restrições reais existentes em usinas, como contratos de
fornecimento e limitações logísticas.
112
3.5.
Conclusões
Neste capítulo foi mostrado que a abordagem por árvores binomiais
recombinantes (lattices ou treliças) não precisa ser restrita a modelagem de ativos
contingentes escritos somente sobre variáveis cujo comportamento estocástico
seja semelhante a um MGB. Foram propostas duas formas de aproximação
binomial para reversão à média, uma censurada e outra não censurada, que
aproximam um MRM geométrico permitindo a avaliação de opções americanas
sobre ativos que tenham esse tipo de comportamento. Foi mostrado que a
abordagem por árvore censurada pode ser composta num modelo bi-variável seja
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com um MGB ou com outro MRM permitindo utilizar não somente o modelo de
dois fatores conhecido como modelo de Schwartz e Smith (2000), mas também
processos dependentes de
duas variáveis estocásticas independentes e
correlacionadas. A abordagem por árvores binomiais é uma ferramenta precisa,
notavelmente robusta, e intuitivamente atraente para a avaliação de opções, e ao
propor uma aproximação para MRM este capítulo da tese expande a aplicação
dessa metodologia a opções americanas que geralmente são tratadas por métodos
muito mais intensivos em programação como árvores trinomiais ou métodos de
simulação por mínimos quadrados ordinários.
3.6.
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115
Anexo 3.1
Derivação dos valores de subida e descida e probabilidade de subida
no modelo binomial para MRM não censurado
Ao escrevermos o termo e−η∆t como uma série de Taylor, temos:
∞
e−η∆t = ∑
( −η∆t )
n!
n =0
n
= 1 + ( −η∆t ) +
( −η∆t )
2!
2
+
( −η∆t )
3
+ ...
3!
(3.25)
A aproximação binomial pressupõe a utilização de intervalos de tempo
curtos. Dessa forma podemos considerar os termos ∆t cuja potência for superior
ou igual a dois, como convergindo para 0. Então podemos aproximar:
e −η∆t ≈ 1 − η ∆t
(3.26)
Com esta relação podemos escrever as equações (3.8) e (3.9):
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E [ xt ] ≈ x + ( x0 − x )(1 − η∆t ) = x0 + ( x − x0 )η∆t
Var [ xt ] ≈
(3.27)
σ2
(1 −1+ 2η∆t ) = σ 2∆t
2η
(3.28)
Com: ∆t = t – t0, da relação do processo binomial (3.10), obtém-se:
E [ xt ] = pU + (1 − p ) D
(3.29)
Também temos:
2
Var [ xt ] = E  xt2  + E [ xt ]
(3.30)
Da equação com o processo binomial (3.10):
Var [ xt ] = pU 2 (1 − p ) D 2 − ( pU + (1 − p ) D )
2
Expandindo:
2
Var [ xt ] = pU 2 + (1 − p ) D 2 − p 2U 2 − (1 − p ) D 2 − 2 p (1 − p ) UD
Var [ xt ] = pU 2 + D 2 − pD 2 − p 2U 2 − D 2 − p 2 D 2 + 2 pD 2 − 2 pUD + 2 p 2UD
Var [ xt ] = pU 2 − p 2U 2 − p 2 D 2 + pD 2 − 2 pUD + 2 p 2UD
(
)
(
Var [ xt ] = p U 2 + D 2 − 2UD − p 2 U 2 + D 2 − 2UD
Var [ xt ] = p (1 − p )(U − D )
)
2
(3.31)
Com as relações e obtidas do processo binomial (3.10), e as aproximações
do processo aritmético de reversão à média e , podemos fazer:
(3.27) ≡ (3.29), e
(3.28) ≡ (3.31)
116
Da primeira relação, e considerando: xo∗ = x ∗ = 0 , como já explicado,
obtemos :
( − xt∗ )η ∆t ≡ pU + (1 − p ) D
E da segunda:
σ 2 ∆ t ≡ p (1 − p )(U − D )
2
Temos assim duas equações com três incógnitas: p, U e D. Para reduzir o
número de incógnitas, fazemos a consideração que tornará a árvore binomial
recombinante: D = - U. Dessa forma as equações acima ficam:
η (− xt∗ ) ∆t ≡ ( 2 p − 1) U
(3.32)
σ 2 ∆t ≡ 4 p (1 − p ) U 2
(3.33)
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Com: (3.32)2 + (3.33):
2
η 2 ( − xt∗ ) ∆t 2 + σ 2 ∆t = U 2
Substituindo em (3.32)2:
2
2
(
2
η 2 ( − xt∗ ) ∆t 2 = ( 2 p − 1) η 2 ( − xt∗ ) ∆t 2 + σ 2 ∆t
η ( − xt∗ ) ∆t
2 p −1 =
2
)
(3.34)
η 2 ( − xt∗ ) ∆t 2 + σ 2 ∆t
1 1
pxt = +
2 2
η ( − xt∗ ) ∆t
2
η 2 ( − xt∗ ) ∆t + σ 2
(3.35)
Obtém-se uma expressão para p, em função dos parâmetros do processo (η,
σ), do intervalo de discretização ∆t, mas ainda do valor de xt∗ . É fácil verificar que
a expressão de p sempre estará entre 0 e 1, portanto não havendo a necessidade de
censurar esta, como no modelo de Nelson e Ramaswamy (1990). Chamando:
α ( xt∗ ) = − xt∗η ∆ t


α
p = 0, 5  1 +

α 2 +σ 2 

Para que: p > 1, então é preciso que: α > α 2 + σ 2 , o que não é possível,
independentemente do sinal de θ .
117
Para que: p < 0, é preciso que: −α > α 2 + σ 2 , o que também não é
possível. Neste modelo não é necessário censurar o valor da probabilidade como
no modelo de Nelson e Ramaswamy (1990), mas ainda depende-se de uma árvore
de probabilidades de subida: p(i,j) a qual é dependente dos valores de x(∗i , j ) . Os
índices i e j indicam a quantidade de movimentos de subida (i) e de descida (j) que
a trajetória levando ao ponto x(∗i , j ) sofreu desde o ponto de partida: x0∗ = 0 .
Para derivar a magnitude dos movimentos de subida e descida, de (3.32)
temos:
U=
− xt∗η∆t
( 2 p −1)
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Com (3.34):
2
U=
η (− xt∗ )∆t η 2 ( − xt∗ ) ∆t 2 + σ 2 ∆t
η ( − xt∗ ) ∆t
(
U = η 2 − xt∗
)
2
∆t 2 + σ 2 ∆t = − D
2
No entanto o termo η 2 ( − xt∗ ) ∆t 2 impede a árvore de ser recombinante,
porque, mesmo usando U = - D, ele é função de xt e, portanto não permite que o
cálculo a partir de um nó superior iguale aquele a partir de um nó inferior. Mas
podemos considerar que ∆t2 0, na medida em que escolhermos intervalos de
tempo ∆t pequenos. Então usaremos:
U = − D ≡ σ ∆t
Portanto obtemos para o modelo não censurado de reversão á média, de
média 0 e valor inicial 0:
x ∗+ = x ∗ + σ ∆t
x ∗− = x ∗ − σ ∆t
1 1
pxt = +
2 2
η ( − xt∗ ) ∆t
2
η 2 ( − xt∗ ) ∆t + σ 2
118
Anexo 3.2
Derivação do modelo censurado de Nelson e Ramaswamy (1990)
para reversão à média
Para chegar ao modelo censurado de Nelson e Ramaswamy (1990), a partir
da equação (3.35), em primeiro lugar precisamos considerar que para este outro
modelo o valor da média de longo prazo é a média real x :
p=
1 1
1
+
2 2 η 2 ( x − x ) 2 ∆t 2 + σ 2 ∆t
t
2
η 2 ( x − xt ) ∆t 2
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p=
1 1
+
2 2
1
1+
σ2
2
η 2 ( x − xt ) ∆t
Considerando que se está escolhendo valores de ∆t pequenos, o termo
σ2
2
η 2 ( x − xt ) ∆t
passa a ser grande frente a 1 e simplificamos a equação acima
retirando o 1 da raiz no denominador:
1 η ( x − xt ) ∆t
p≡ +
2
2σ
Comparando esta equação com a (3.4) temos:
α ( x, t ) = η ( x − xt ) , e
σ ( x, t ) = σ
Mas em função da simplificação feita acima podemos obter valores
negativos ou superiores a 1:
Se ( x − xt ) ∆t > σ , então pxt > 1
Se ( x − xt ) ∆t < −σ , então pxt < 0
Nesses casos o valor de pt precisa ser censurado conforme o esquema
mostrado abaixo:



p≡


1 η ( x − x ) ∆t
+
2
2σ
0
1
se p ≥ 0 e pt ≤ 1
se pt <0 , pt e& censurado
se pt >1 , pt e& censurado
Essas condições são aquelas já explicitadas pela fórmula (3.5).
4
Flexibilidade como fonte de valor na produção de
combustíveis alternativos: o caso do etanol brasileiro
Resumo
Geralmente existe um alto grau de flexibilidade gerencial associado à
produção de combustíveis alternativos, em função da capacidade de se alternar a
fonte de insumos ou o produto final, respondendo às condições de mercado. Neste
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capítulo é considerado o caso específico do etanol e tentamos quantificar o valor
incremental oriundo da flexibilidade de sua produção a partir da cana de açúcar
brasileira. Isso é realizado modelando conjuntamente os processos estocásticos
das duas commodities relevantes: açúcar (uma commodity alimentícia) e etanol
(uma commodity energética) em tempo discreto numa árvore recombinante bivariável. Essa abordagem permitiu avaliar a opção de alternância de produtos de
saída, respondendo a sinalização de preços das duas commodities.
No lugar do geralmente aplicado Movimento Geométrico Browniano, foi
utilizado um processo de Reversão à Média, mais adequado para preços de
commodities. Os parâmetros do processo foram obtidos a partir de um
procedimento baseado em regressão linear sobre séries de preços históricos de
etanol e açúcar pagos ao produtor no período de 1998 à 2008. Os resultados
demonstram que a opção de flexibilidade de produção possui valor significativo,
inclusive quando os preços são modelando por reversão à média, fato que gera
implicações tanto para produtores quanto para tomadores de decisão, como
potencias investidores do setor.
4.1.
Introdução
Com a previsão de exaustão das reservas mundiais em longo prazo e a
crescente demanda de energia prevista para os próximos anos, as fontes
renováveis de energia tem despertado crescente interesse mundial. Uma dessas
120
alternativas que já atingiu ampla aceitação no Brasil é o uso de etanol à base de
cana de açúcar como combustível automotivo. O desenvolvimento desse mercado
iniciou-se nos anos 1980, impulsionado pelo programa governamental
“Proálcool” que incluía subsídios à produção e a uma adição mandatória de 20%
de etanol à gasolina. Após duas décadas e alguns reveses, os subsídios estatais
foram retirados e a capacidade de produção aumentou drasticamente. Pelo lado
dos consumidores, a maioria dos novos veículos automotores atualmente vendidos
são do tipo “flex-fuel” podendo consumir qualquer mistura, ou mix”, de gasolina e
etanol. Como resultado disso o Brasil atualmente é o segundo maior usuário de
bio-combustívies, com o etanol superando a marca de 45% do total consumido
por veículos leves (UNCTAD, 2008; UNICA, 2008).
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A principal fonte de etanol brasileiro é a cana de açúcar, que anteriormente
era quase exclusivamente destinada à produção de açúcar, outra commodity na
qual o Brasil é um player de liderança. Atualmente o etanol está rapidamente
ganhando o status de commodity no mercado mundial. Segundo a Renewable
Fuels Association (RFA, 2007), os maiores produtores de etanol em 2005 eram os
Estados Unidos da América com 4.265 milhões de galões, o Brasil com 4.227
milhões de galões, a China com 1.004 milhões de galões e a Índia com 449
milhões de galões.
A indústria brasileira de produção de etanol é beneficiada pelo custo de
produção diferenciado do etanol de cana de açúcar em relação ao de milho,
principal insumo da produção americana a qual é altamente dependente de
subsídios governamentais, Nos últimos anos vários produtores brasileiros têm
investido em usinas flexíveis que podem produzir açúcar ou etanol, pois a cana de
açúcar pode ser transformada em açúcar por um processo que produz uma
pequena quantidade de etanol como subproduto, ou processada numa destilaria
para produção exclusivamente de etanol. Apesar do investimento em usinas
flexíveis ser superior às dedicadas, aparentemente o valor potencial da opção de
alternância é considerado ainda que intuitivamente pelos processadores, visto que
a maioria das usinas em implantação atualmente no Brasil são do tipo flexíveis
(açúcar/etanol).
Para avaliar a opção de alternância disponível para as usinas flexíveis, os
preços das duas commodities devem ser modelados conjuntamente utilizando um
processo que possa capturar a correlação existente entre as variações de preços de
121
cada uma. Abordagens baseadas em árvore binomial bi-variável recombinante
desenvolvida por Boyle (1988) para modelar dois processos de preços seguindo
Movimentos Geométricos Brownianos (MGB) tem sido utilizados para avaliar
esses tipos de opções, mas como apontado por Schwartz (1997) e outros, os
preços de commodities são melhor modelados por processos de reversão à média,
e será mostrado neste trabalho que isso se aplica ao caso do etanol e açúcar
também.
O objetivo principal deste capítulo é o de aplicar uma metodologia em
tempo discreto de árvore binomial recombinante para modelar processos
estocásticos de reversão à média de forma a quantificar o valor incremental
oriundo do processo flexível de produção. O capítulo começa na sessão 4.2 com
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uma descrição dos processos de produção no Brasil. Na sessão 4.3 é delineada
uma metodologia de modelagem por reversão à média com árvore recombinante
bi-variável de preços estocásticos de commodities e na sessão 4.4 esta é aplicada
para avaliação da opção de alternância com a parametrização do modelo a partir
de dados empíricos. Na sessão 4.6 são apresentados os resultados do modelo e
estes são comparados tanto a resultados de um modelo de simulação quanto aos
resultados obtidos com uma modelagem por MGB dos preços das duas
commodities. Na sessão 4.7 são apresentadas as conclusões com um resumo dos
resultados e suas implicações.
4.2.
A indústria Brasileira de Etanol e Açúcar
A produção brasileira de etanol se dá hoje em dia sem nenhum subsídio
governamental, e o etanol brasileiro a base de cana de açúcar se tornou por ampla
margem o bio-combustível mais competitivo no mundo (GOLDEMBERG, 2007).
Aproximadamente 5,8 milhões de hectares (ha) são atualmente utilizados no
cultivo da cana de açúcar no país, dos quais aproximadamente 2,9 milhões são
destinados a produção de etanol (SZWARC, 2006), apesar de este último número
ser em certa medida variável devido à flexibilidade existente de alternância entre a
produção de etanol e açúcar.
122
Os produtores de etanol-açúcar no Brasil são responsáveis pelo
processamento da cana de açúcar e transformação nesses dois produtos. Eles são
empreendimentos tanto agrícola quanto industriais, o que inclui desde a escolha
das variedades de cana de açúcar mais apropriadas, o plantio e colheita na época
apropriada, o processamento da cana e a estocagem do produto final. O
investimento industrial pode ser feito considerando diretamente uma usina flexível
(capaz de produzir açúcar, etanol ou ambos) ou uma planta de produto único, a
qual pode ser posteriormente adaptada para a produção do produto complementar.
As usinas de processamento de cana de açúcar são muito eficientes
energeticamente porque a enorme sobra de resíduos de bagaço e palha permite
que estes sejam utilizados como combustível nas caldeiras geradoras de vapor de
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eletricidade para o processo. Essas caldeiras frequentemente também são usadas
em co-geração de energia elétrica que é vendida às empresas distribuidoras. Em
função disso a razão de eficiência energética (energia produzida dividida por
energia consumida) da produção de etanol é de 8,3, muitas vezes superior às
razões obtidas na produção de etanol a partir de outras matérias-primas
(SZWARC, 2006).
Uma usina de açúcar relativamente eficiente pode produzir 107 kg de açúcar
a partir de cada tonelada de cana processada, da qual também é produzida
obrigatoriamente uma quantidade de melaço que é convertido em 12 litros de
etanol. A mesma tonelada de cana se processada numa planta de etanol irá
produzir 80 litros de etanol, o que representa um aumento de 14% em comparação
com a produtividade da década de 1980 (EPE, UNICA, 2008). Portanto o balanço
de massa no processamento de uma tonelada de cana é:
1ton
cana
de
açúcar
=
107
kg
açúcar
+
= 80 litros de etanol
12
litros
de
etanol
(4.1)
Com essa paridade definida, e dada a sinalização de preços das duas
commodities passíveis de serem produzidas, os processadores pode decidir qual
“mix” de produtos irão escolher a cada colheita. Uma vez que o investimento na
usina flexível tenha sido realizado, os custos de alternância da produção são
mínimos, mas eles podem ser computados no processo de tomada de decisão.
123
4.3.
Modelagem estocástica dos preços de etanol e açúcar
A aproximação por árvore binomial recombinante desenvolvida por Cox et
al. (1979) para modelagem de processos estocásticos de um ativo subjacente e a
avaliação de opções contingentes, encontrou inúmeras aplicações, pois ela
generaliza o modelo de Black-Sholes-Merton (1973) e resolve algumas das
restrições deste último. É de fácil implementação, flexível em seu uso, depende
apenas de um número limitado de parâmetros e converge fracamente para um
MGB quando os intervalos de tempo diminuem. No entanto em diversas situações
o ativo subjacente não segue um processo estocástico similar a um MGB. Um
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exemplo comum dessa situação é o preço spot de diversas commodities, os quais
provavelmente deverão ter um comportamento similar a um movimento de
reversão à média.
Processos de reversão à media são um tipo de processo de Markov, no qual
o sinal e a intensidade do drift depende do valor atual da variável, e este reverte
para um nível de equilíbrio de longo prazo, que tipicamente é uma média de longo
prazo. A forma mais simples de processo de reversão à média é o modelo de fator
único de Ornstein-Uhlenbeck, também chamado de reversão à média Aritmética,
descrito pela equação (4.2):
dYt = η (Y − Yt )dt + σdz t
(4.2)
Para modelar o preço de uma commodity, na equação (4.2) Yt é o ln
(logaritmo neperiano ou natural) do preço, η é o coeficiente de velocidade de
reversão, Y é o ln da média de longo prazo, σ é a volatilidade do processo e dz é o
processo de Weiner padrão. O logaritmo do preço é geralmente utilizado pois é
assumido que os preços de uma commodity são distribuídos segundo uma lognormal4. Isso é conveniente pois se Y = ln(y), então y não pode ser negativo e
também faz com que as projeções de preços sejam modeladas baseadas no
processo estocástico dos retornos destes. O valor esperado e variância do processo
de Ornstein-Uhlbenbeck5 são dados pelas equações (4.3) e (4.4):
E[Yt ] = Y + (Y0 − Y )e −ηT
4
5
Ver Anexo 4.1.
O processo de Ornstein-Uhlenbeck é uma versão contínua de um processo AR(1)
(4.3)
124
Var [Yt ] =
σ2
(1 − e −2ηT )
2η
Essas expressões mostram que quando T → ∞ , então Var [Yt ] →
(4.4)
σ2
, e não
2η
para: ∞ como no caso do MGB. Variações de processos de reversão à média
incluem o Modelo Geométrico de Reversão à Média (DIXIT e PINDYCK, 1994),
descrito por: dYt Yt = η (Y − Yt )dt + σdzt , e um modelo similar proposto por
Bhattacharya (1978), dado por: dYt = η (Y − Yt )dt + σYt dzt , entre diversos outros.
Dias (2005) faz um levantamento de vários desses diferentes processos e suas
aplicações na modelagem de preços de petróleo.
A aplicabilidade dos diversos processos estocásticos a determinados tipos de
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problemas é um tema complicado. O MGB pode ser apropriado e seu uso possível
para modelar casos como séries de preços por períodos não muito longos. Os
processos puros de reversão à média de fator único (como o processo de OrnsteinUhlenbeck) com um nível de equilíbrio de longo prazo fixo deveria ser mais
apropriado em geral, mas também pode ser por demais simplista em certos casos.
Nesse caso a melhor abordagem seria a combinação de um modelo de reversão à
média com um MGB para o preço de equilíbrio, como proposto por Schwartz e
Smith (2000), apesar de modelos como esse serem significativamente mais
difíceis de implementar para efeito de avaliação.
Como sugerem Dixit & Pindyck (1994), de forma a selecionar um processo
estocástico adequado para a modelagem de preços de commodity ou qualquer
outra variável, a melhor abordagem é apoiar-se tanto em considerações teóricas,
tais como mecanismos de equilíbrio, quanto em testes estatísticos. A lógica por
trás de um processo de reversão à média vem da microeconomia: quando os
preços estão baixos (ou abaixo de seu nível de equilíbrio de longo prazo) a
demanda pelo produto tende a aumentar enquanto sua produção tende a reduzir. A
razão para isso é que o consumo de uma commodity com preços baixos
tipicamente aumenta, enquanto que os retornos menores para as firmas produtoras
as levará a postergar investimentos e diminuir a produção, reduzindo assim a
disponibilidade da commodity. O oposto acontecerá se os preços estiverem altos
(ou acima de sua média de longo prazo). Estudos empíricos como o de Pindyck e
125
Rubinfeld (1991) mostram que os preços de diversas commodities seguem
processos de reversão à média.
O teste estatístico mais comum para determinar qual processo, o MGB ou a
reversão à média, é mais apropriado é o teste de raiz unitária (DICKEY &
FULLER, 1981). Por exemplo, Pindyck (1999) aplicou uma versão do teste de
raiz unitária de Dickey-Fuller para avaliar diversas séries de petróleo, carvão e gás
natural.
Nessa
abordagem,
o
modelo
de
séries
temporais
xt − xt −1 = a + (b − 1)xt −1 + ε t leva a um teste de hipóteses com Ho: (b-1) = 0, ou
Ho: b = 1. Essa hipótese nula postula que existe uma raiz unitária, em qual caso a
série não é estacionária. Caso a hipótese nula seja rejeitada, então passa a haver
amparo a reivindicação de reversão à média na série temporal.
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Foi aplicado o teste de Dickey-Fuller sobre séries temporais de médias
mensais de preços de açúcar e etanol pago aos produtores no Estado de São Paulo
(CEPEA, 2007). Foi utilizado o teste em sua forma padrão, não expandida, pois
das duas séries já foi retirada a tendência temporal, deflacionando estas pelo IGPDI, e foram obtidos as seguintes estatísticas-t para os testes de hipóteses:
Preços de Etanol deflacionados:
- 2,613
Preços de Açúcar deflacionados:
- 2,144
Estes valores podem então ser comparados aos valores críticos do teste
(WOOLDRIDGE, 2000):
Valores Críticos da estatística-t para teste-t de Raiz Unitária (sem
tendência temporal):
Nível de Significância
Valores Críticos
1%
2,5%
5%
10%
-3,43
-3,12
-2,86
-2,57
O valor-t para a série de preços do etanol leva a rejeição de presença de uma
raiz unitária ao nível de 10%, mas não ao nível de 5%, enquanto o valor-t para a
série de preços de açúcar não rejeita a presença de raiz unitária em nenhum nível
de significância mostrado acima, apesar de poder ser inferido que isso poderá
ocorrer em níveis um pouco mais altos (por ex. talvez 20%). Também vale a pena
observar que o valor obtido em ambas as séries para o coeficiente b (Etanol: b =
0.895, e Açúcar: b = 0.928) são inferiores a um, o que sugere a presença de algum
nível de reversão à média.
126
Além de amparar a reivindicação de reversão à média, esses resultados
ilustram um problema freqüente com o teste de raiz unitária: dificilmente é
possível refutar a adequabilidade do MGB em modelar uma série temporal com
um alto grau de certeza (como 90% ou mais alto). De todas as séries temporais
testadas nos trabalhos empíricos citados acima (PINDYCK, 1999), somente uma
série extremamente longa de preços de petróleo (96 anos de médias anuais) indica
de forma determinante não haver raiz unitária, rejeitando assim o MGB para essa
série. Para séries de prazos mais curtos testadas no mesmo estudo, a presença de
raiz unitária não pode ser rejeitada, mesmo que graficamente estas claramente
aparentam exibir comportamento de reversão à média, pelos comentários do
próprio autor. Para estas Pindyck assinala que a incapacidade em rejeitar a
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presença de uma raiz unitária não prova necessariamente que a série em questão
tenha um comportamento de caminho aleatório, mas deixa a questão em aberto
acerca de qual processo é mais adequado a sua modelagem. Portanto,
incapacidade de rejeitar a presença da hipótese de caminho aleatório não
necessariamente obsta a existência de auto-regressão (reversão à média) na
variável de interesse.
Como alternativa Pindyck sugere que a verificação de até que ponto os
choques de preços são permanentes pode ser mais informativo do que a pesquisa
sobre raiz unitária na investigação de caminho aleatório ou reversão à média. Num
processo auto-regressivo, os choques de preço tendem a dissipar-se sob a
permanente força de reversão, ao contrario do caso de um MGB onde os choques
de preço são permanentes. Para testar essa condição, Pindyck utiliza um teste de
razão de variância o qual mede o nível para o qual a variância de uma série cresce
com o “retardo” do teste. O teste da razão da variância pode ser descrito pela
equação (4.4).
Rk =
1 Var (Pt + k − Pt )
k Var (Pt +1 − Pt )
(4.4)
O termo Var(.) na fórmula representa a variância das séries de diferenças
entre preços, com retardo de k períodos, nas séries de preços P. No caso de um
MGB, à medida em que a variância cresce linearmente com k, a razão Rk deveria
convergir para 1 quando k cresce. Na presença de reversão à média, por outro
lado, a variância é delimitada a um determinado nível à medida que k cresce. Ou
seja, a razão da variância Rk deveria cair para valores altos do retardo (k),
127
indicando que os choques de preço não são permanentes e que os preços tem
reversão a um valor de equilíbrio.
Foi aplicado o teste da razão da variância descrito acima às séries de preços
deflacionados de etanol e açúcar com os resultados mostrados na Figura 4.1
abaixo, tanto para ambos preços quanto para o ln (logaritmo neperiano) destes. Da
mesma forma que com as séries analisadas por Pindyck, as razões Rk inicialmente
crescem com o retardo k, o que é consistente com ambos processos: MGB e
reversão à média. Neste caso a variância cresce inicialmente e atinge um patamar
superior, mas então começam a cair, estabilizando-se num nível de 0,25 para o
etanol e 0,29 para o açúcar.
Esse padrão ocorre tanto para as séries de preços quanto para o ln destas.
de crescimento de ambas séries de preços (5% para o etanol e 3,4% para o açúcar,
quando parametrizadas para o MGB). Mas mais importante é o baixo valor para a
razão da variância dos dois preços, o que permite pré-supor um processo de
reversão à média para ambas as séries.
Figura 4.1. Razão da Variância para diferentes valores de retardo
1,6
ln Preço Etanol
ln Preço Açúcar
Preço Etanol
Preço Açúcar
1,4
1,2
Razão da variância
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Esses valores baixos para as razões da variância são consistentes com a baixa taxa
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0
5
10
15
20
Retardo
25
30
35
40
Relativamente ao MGB, a reversão à média é mais complexa de modelar por
árvores binomiais recombinantes com nós de eventos probabilísticos binomiais.
Por esta razão os métodos empregando simulação de Monte Carlo e árvores
128
trinomiais (Hull, 1999) foram desenvolvidas para modelar processos de reversão à
média. Infelizmente ambos os métodos tem desvantagens no uso para avaliação: a
abordagem por simulação é computacionalmente intensiva, especialmente para
problemas com opções concorrentes, e as árvores trinomiais são difíceis de
implementar pois envolvem metodologias para especificar a validação do
processo de ramificação das probabilidades e dos intervalos de tempo para
garantir a convergência do processo estocástico.
4.3.1.
Aproximação binomial para processos de reversão à média
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Na análise numérica de opções, as árvores binomiais recombinantes são
frequentemente usadas para aproximação do processo estocástico em tempo
contínuo subjacente. Como mostrado na Figura 4.2, em cada nó de uma árvore
binomial a variável Y poderá mover-se para cima ou para baixo por um
incremento ∆Y num incremento de tempo específico ∆t. A probabilidade das
ramificações (p e 1-p) assim como o incremento são obtidas igualando a média e a
variância do nó binomial com aquelas do processo estocástico contínuo,
garantindo assim a convergência quando ∆t → 0 .
Figura 4.2. Nó de ramificação binomial
p
Y + = Y + ∆Y
1-p
Y − = Y − ∆Y
Y
∆t
Nelson e Ramaswamy (1990) desenvolveram uma abordagem geral para
aproximações em tempo discreto de processos estocásticos a qual se aplica aos
processos de Ornstein-Uhlenbeck. Eles propuseram um sequência binomial
simples de n períodos, de duração ∆ t com um horizonte de tempo T = n ∆ t a qual
129
modela o formato da equação diferencial estocástica dY = µ(Y , t )dt + σ (Y , t )dz ,
assim:
Yt + ≡ Y + ∆tσ (Y , t )

Yt − ≡ Y − ∆ tσ (Y , t )


µ (Y , t )
 pt ≡ 1 2 + 1 2 ∆ t
σ (Y , t )

1-p
 t
valor na subida
valor na descida
(4.5)
probabilidade de subida
probabilidade de descida
Usando os parâmetros de Ornstein-Uhlenbeck da equação (4.2) nas
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equações (4.5) obtemos:
Yt + ≡ Y + ∆tσ
 −
Yt ≡ Y − ∆tσ


η (Y − Yt )
 pt ≡ 1 2 + 1 2 ∆t
σ

1-pt
valor na subida
valor na descida
probabilidade de subida
(4.6)
probabilidade de descida
Como o valor resultante das probabilidades não pode ser negativo ou maior
do que 1, é necessário censurar os valores de pt para a faixa de 0 a 1, como
mostrado na equação (4.7).
1 2 + 1 2η (Y − Yt ) ∆t σ

pt = 
0

1

0 ≤ qt ≤ 1
qt ≤ 0
qt ≥ 1
(4.7)
Podemos sumarizar (4.7) na seguinte fórmula:


η (Y − Yt )  
  .
p t = max  0, min 1, 1 2 + 1 2 ∆t

σ



(4.8)
Na ramificação da árvore binomial recombinante, os incrementos de valor
+
nos eventos de subida e descida são: ∆Y = σ ∆t
−
e ∆Y = −σ ∆t ,
respectivamente. Se considerarmos que Y é o ln do preço y, então os incrementos
são: ∆y + = e σ
∆t
e ∆ y − = e −σ
∆t
. Estes são as formas já familiares usadas na
árvore binomial de MGB (COX et al., 1979). As probabilidades calculadas e a
censura destas produz um modelo que converge fracamente para um processo de
130
reversão à média como demonstrado por Nelson e Ramaswamy (1990). É
importante notar que a cada nó da árvore, a probabilidade de subida irá alterar-se
dependendo do valor de Yt conforme a equação (4.8), que é o que permite a
modelagem do comportamento de reversão à média.
4.3.2.
Transformação em um processo neutro a risco
Há duas formas de descontar fluxos de caixa para efeitos de avaliação: 1)
usando diretamente a taxa ajustada ao risco, e 2) usando uma medida de
probabilidade de Martingale com a taxa livre de risco. Esta segunda abordagem é
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frequentemente usada para avaliar opções porque é difícil de determinar a taxa
ajustada ao risco apropriada, quando temos opções reais.
Na abordagem pela probabilidade de Martingale, a taxa de crescimento
(drift) do processo estocástico do ativo subjacente é ajustada para que os retornos
futuros possam ser descontados à taxa livre de risco. Por exemplo, quando usamos
um processo estocástico de MGB modelado de forma discreta, as probabilidades
de subida e descida na árvore binomial são calculadas usando a taxa de desconto
livre de risco (COX et al., 1979). Com um processo de reversão à média, o ajuste
necessário também é feito nos cálculos das probabilidades. Para isso é substituído
Y′=Y −
π
no lugar de Y na equação (9), onde Y ′ é a média de longo prazo
η
ajustada ao risco, Y é média de longo prazo não-ajustada, π é o premio de risco
do projeto, η é o coeficiente de velocidade de reversão à média (DIXIT e
PINDYCK, 1994, SCHWARTZ, 1997). Uma discussão mais detalhada da forma
de ajuste ao risco encontra-se no Anexo 4.2.
4.3.3.
Modelagem discreta bi-variável de processo de reversão à média
A abordagem binomial usada neste capítulo é baseada numa árvore
binomial bi-variável que combina duas variáveis incertas. O conceito de árvore bi-
131
variável foi introduzido por Boyle (1988) e posteriormente discutido por
Copeland e Antikarov (2003), os quais propuseram um modelo de árvore
“quadrinomial” com duas incertezas correlacionadas, cada uma seguindo um
MGB. Para se construir uma árvore bi-variável, as probabilidades conjuntas de
cada uma das quatro ramificações de saída do nó precisam ser determinadas
(Figura 4.3). Estas probabilidades representam as quatro possíveis combinações
de subida e descida das duas variáveis, com os primeiro e segundo caracteres
subscritos em cada p denotando a direção do movimento para as variáveis X e Y,
respectivamente. Para se avaliar uma opção em qualquer período n nessa árvore,
primeiro calculamos os quatro retornos (payoffs), os quais são contingentes aos
respectivos valores de X e Y nos quatro nós subseqüentes no tempo n+∆t,
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multiplicados pelas suas respectivas probabilidades neutras ao risco, e
descontadas até o período n usando a taxa livre de risco.
Figura 4.3. Nó da árvore bi-variável
X + ∆X , Y + ∆Y
puu
pud
X + ∆X , Y − ∆Y
pdu
X − ∆X , Y + ∆Y
X ,Y
pdd
X − ∆X , Y − ∆Y
∆t
Decorre então que a modelagem por árvore bi-variável é aplicável a opções
de alternância. Gonçalves et al. (2006) analisam a opção de alternância de
produção que detém um usina flexível de açúcar e etanol, e modelam as incertezas
subjacentes usando dois processos MGB distintos. Mas como lembram Schwartz
(1998), Laughton e Jacoby (1993), e outros autores, se os preços de commodities
são realmente reversíveis à média, então o modelo lognormal de difusão
geométrica Browniana pode estar significativamente superestimando a incerteza
do fluxo de caixa resultante de um projeto, e o respectivo valor das opções reais
envolvidas. Nesse caso a abordagem quadrinomial de Copeland e Antikarov não
deveria ser utilizada diretamente na modelagem de duas variáveis auto-reversíveis
132
de um fator, pois as probabilidades em cada nó devem mudar ao longo da árvore.
Kulatilaka (1993) propõe uma abordagem para avaliar uma opção de alternância
na qual duas variáveis de entrada são modeladas como um único processo de
preço relativo. No entanto essa abordagem é limitada a casos de funções de valor
relativamente simples as quais podem ser descritas em termos da própria variável.
Para avaliar as opção de alternância precisamos modelar conjuntamente o ln
dos dois preços das commodities, X = ln(x) e Y = ln(y) , cada uma seguindo um
processo estocástico diferente de reversão à média na forma da equação (4.2).
Para estes dois processos, seguindo a convenção mostrada na Figura 4.3, podemos
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determinar as probabilidades para X e Y como:

 puu


 pud


p
 du

p
 dd
=
∆ X ∆Y + ∆Yν X ∆t + ∆ Xν Y ∆t + ρσ X σ Y ∆t
4 ∆ X ∆Y
=
∆ X ∆Y + ∆Yν X ∆t − ∆ Xν Y ∆t − ρσ X σ Y ∆t
4 ∆ X ∆Y
∆ ∆ − ∆Yν X ∆t + ∆ Xν Y ∆t − ρσ X σ Y ∆t
= X Y
4∆ X ∆ Y
=
(4.9)
∆ X ∆Y − ∆Yν X ∆t − ∆ Xν Y ∆t + ρσ X σ Y ∆t
4 ∆ X ∆Y
onde ∆ X = σ X ∆t , ∆ Y = σ Y ∆t , e puu + pud + pdu + pdd = 1 (HAHN e
DYER, 2008). Essa probabilidades também dependem da taxa de crescimento
(drift) de cada processo, ν X = η x (X − X t ) − 1 2 σ x2 e ν Y = η y (Y − Yt ) − 1 2 σ y2 ,
assim como da correlação ρ entre os incrementos dos dois processos.
Infelizmente um nó com quatro ramificações de saída não pode ser
diretamente censurado quando necessário, como requer o modelo de reversão à
média. Hahn e Dyer (2008) resolvem esse problema aplicando a regra de Bayes
para decompor as probabilidades conjuntas no produto das probabilidades
marginal e condicional. Para obter as probabilidades condicionais, as
probabilidades conjuntas são divididas pela probabilidade marginal para X,
133
1 1 ν X ∆t

 pu = 2 + 2 ∆

X

ν
1
1
X ∆t
p = −
d

2 2 ∆X
(4.10)
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o que leva às seguintes probabilidades condicionais para Y:

∆ X ( ∆Y + ∆tν Y ) + ∆t ( ∆Yν X + ρσ X σ Y )
 pu|u =
2∆Y ( ∆ X + ∆tν X )


∆ ( ∆ − ∆tν Y ) + ∆t ( ∆Yν X − ρσ X σ Y )
 pd |u = X Y
2∆Y ( ∆ X + ∆tν X )


 p = ∆ X ( ∆ Y + ∆tν Y ) − ∆t ( ∆Yν X + ρσ X σ Y )
 u |d
2∆ Y ( ∆ X + ∆tν X )


∆ X ( ∆Y − ∆tν Y ) − ∆t ( ∆Yν X − ρσ X σ Y )
 pd | d =
2∆Y ( ∆ X + ∆tν X )

Nesta
formulação
teremos:
pu|u + pd|u = 1
(4.11)
e
pu|d + p d |d = 1 .
Estas
probabilidades permitem que o nó de quatro ramificações com probabilidades
conjuntas possa ser separado numa sequência (Figura 4.4) na qual novamente
todas as probabilidades podem ser novamente censuradas na forma da equação
(4.8).
Figura 4.4. Sequência do nó marginal-condicional para duas
commodities
Commodity X
pu
X
pd
Commodity Y
Y
X+∆X
Censurar probabilidades
na medida necessária
X-∆X
Pu|u
Y+∆Y
Pd|u
Y-∆Y
Pu|d
Y+∆Y
Pd|d
Y-∆Y
Y
134
4.4.
Metodologia de avaliação de opção de alternância
Nesta seção avaliamos o valor incremental oriundo da flexibilidade
disponível para os processadores de cana de açúcar de converter sua produção de
etanol para açúcar e vice-versa em qualquer momento desejado.
4.4.1.
Estimação dos parâmetros dos processos estocásticos
Dados baseados no levantamento diário dos preços de açúcar e etanol
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diretamente pago aos processadores foi obtido do CEPEA (2008) e estão
disponíveis online. Para o etanol a série usada é uma média entre álcool anidro 70%, e hidratado - 30%, ambos produzidos nas usinas, aproximadamente nessas
proporções. Apesar de terem sido utilizados somente preços pagos no Estado de
São Paulo, estes são representativos do caso geral no Brasil pois esse Estado
produz 64% do total do país, e estas séries são amplamente usadas em pesquisas
sobre o setor de açúcar e etanol (EPE, 2008). Os preços são em R$, e para etanol
estão em litros (R$/l), enquanto que para açúcar estão em sacas de 50 kg (R$/saca
50Kg), que é padrão no setor.
Ambas as séries foram coletadas de maio de 1998 a dezembro de 2008 em
bases mensais, resultando em 128 períodos de dados (quase 11 anos), e foram
deflacionadas pelo IGP-DI da FGV, também em bases mensais. Na Figura 4.5
estas séries estão plotadas conjuntamente em escalas diferentes para comparação
visual. Os preços estão em Reais (R$) de Dezembro de 2008.
135
Figura 4.5. Série de preços de etanol e açúcar deflacionados por IGP-DI
1,4
60
1,2
50
1,0
0,8
30
0,6
Açúcar R$/50 kg
Etanol R$/litro
40
20
0,4
Etanol
Açúcar
10
0,2
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0,0
0
mai-98
mai-99
mai-00
mai-01
mai-02
mai-03
mai-04
mai-05
mai-06
mai-07
mai-08
Fonte: CEPEA (2008), UNICA (2008).
Os parâmetros do modelo foram estimados usando um procedimento
baseado na metodologia delineada por Dixit e Pindyck (1994) a qual permite a
estimação de todos os parâmetros de uma série temporal discreta6. A partir dessas
séries foi possível calcular os parâmetros necessários para os processos de
reversão à media usados no modelo. Para ambas séries, uma regressão linear
simples foi estimada com ln ( Pt ) − ln ( Pt −1 ) como a variável dependente e ln ( Pt −1 )
como a variável independente. A equação resultante de regressão é portanto:
ln ( P Pt −1 t ) = β 0 + β1 ln ( Pt −1 ) + ε . Os coeficientes de velocidade de reversão η são
obtidos dos estimadores da regressão assim: η =
média
de
longo
prazo
são
dados
por
− ln ( β1 + 1)
∆t
σ = σε
, e a volatilidade e
2 ln ( β1 + 1)
2
∆t ( β1 + 1) − 1


e
 β σ2
2
P = exp  − 0 +
 , respectivamente, onde σ ε é a variância dos erros da
 β1 2η 
6
Ver Anexo 4.3 para detalhes sobre o procedimento de estimação dos parâmetros
136
regressão. As retas plotadas de regressão e suas equações correspondentes para as
séries de dados usadas podem ser vistas nas Figura 4.6 e Figura 4.7.
Figura 4.6. Regressão para determinação dos parâmetros do processo
estocástico do etanol
0,4
0,3
Etanol
ln(Pt)-ln(Pt-1 )
0,2
0,1
0,0
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
-0,1
0,0
0,2
0,4
-0,2
y = -0,1047x - 0,0233
R² = 0,0518
-0,3
-0,5
ln(Pt-1 )
Figura 4.7. Regressão para determinação dos parâmetros do processo
estocástico do açúcar
0,4
y = -0,0723x + 0,2495
R² = 0,0355
0,3
0,2
ln(Pt)-ln(Pt-1)
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-0,4
0,1
2,8
3
3,2
3,4
3,6
3,8
4
4,2
(0,1)
(0,2)
Açúcar
(0,3)
ln(Pt-1 )
Os resultados das regressões para ambas séries de preços deflacionados
estão listadas na Tabela 4.1, e os parâmetros dos processos estocásticos estimados
pelas regressões está na Tabela 4.2. Vale assinalar que ambas commodities
encontram-se atualmente (Dezembro de 2008) abaixo de suas médias de preço de
longo prazo.
137
Tabela 4.1. Resultados da regressão para preços deflacionados de etanol
e açúcar.
β0
β1
R2
Erro Padão
Estatística-T
Açúcar
Etanol
0,250
-0,072
0,035
0,034
-2,127
-0,023
-0,105
0,052
0,040
-2,618
Tabela 4.2. Parâmetros estocásticos para etanol e açúcar
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Preço Inicial
Média de Longo Prazo
Volatilidade (σ)
Velocidade de reversão (η)
Açúcar
26,96 R$ / Saca 50 kg
33,86 R$ / Saca 50 kg
Etanol
0,712 R$ / litro
0,841 R$ / litro
Ano
34,58%
0, 901
Ano
34,24%
1, 327
A interdependência dos dois processos estocásticos das séries de preços foi
modelada pelos incrementos correlacionados na mesma forma que Gibson e
Schwartz (1990), Schwartz (1997), Schwartz e Smith (2000), Tseng e Lin (2007)
entre outros. Obtém-se assim um processo na forma mostrada pela equação (4.2)
para cada commodity, onde os incrementos aleatórios no termo da variância,
dzetanol e dzaçúcar são processos padrão de Wiener e são correlacionados da seguinte
forma: dzetanol dzaçúcar = ρdt , onde ρ é um parâmetro constante de correlação. Este
é calculado estimando a correlação dos log-retornos das séries utilizadas e cujo
valor é de ρ = 0.557. Os processos deverão variar a partir de seus valores
esperados a cada incremento de tempo, de acordo com suas volatilidades
individuais e incrementos aleatórios, mas os incrementos estarão ligados de forma
que quando um varia para cima ou para baixo, o outro processo tenderá a seguir
este na medida especificada pelo parâmetro de correlação.
4.4.2.
Metodologia do modelo de avaliação da opção
O modelo utilizado mede o valor presente de fluxos de caixa gerados pelo
processamento de 2.600.000 toneladas de cana de açúcar anuais, seja em etanol ou
em açúcar, com algum etanol como sub-produto (Gonçalves, 2006). Isso equivale
138
a uma usina razoavelmente grande, com aproximadamente 1% do processamento
brasileiro de cana de açúcar. O horizonte de tempo usado é de cinco anos, em
períodos semestrais (T=5, n = 10, ∆t = 0.5). O prêmio de risco do projeto ( π ) é de
6% e foi estimado pelo prêmio de risco deflacionado das companhias do setor
sucro-alcooleiro listadas na bolsa de valores de São Paulo (Bovespa) usando o
CAPM (Capital Asset Pricing Model), considerando uma empresa não
alavancada. É coincidentemente muito próximo da atual taxa livre de risco
deflacionada (real) brasileira de 6% (Selic), baseada nos títulos do Governo
Brasileiro, assim como em trabalhos semelhantes (Dias, 2005, Gonçalves, 2006).
Com estes parâmetros, as médias de longo prazo ajustada ao risco são:
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x′ = e

π
X− 
η

y′ = e

π
Y − 
η

=e
=e
6% 

 ln(0.8409) −

1.327 

6% 

 ln(33.86) −

0.9008 

= 0.8037 R$/ / litro para Etanol
(4.12)
= 31.675 R$/50 kg para Açúcar
(4.13)
Os valores dos fluxos de caixa operacionais foram calculados da seguinte
forma:
1) Para o processamento de cana em etanol somente, o preço projetado de
etanol (R$/litro) é multiplicado por 80 (litros por tonelada de cana de
açúcar) e depois por 0,96 (4% de taxas sobre receita). Esse resultado,
menos 29,67 R$/ton (custo variável) é multiplicado por 2.600 (toneladas
de cana processadas anualmente/1.000). O resultado final é obtido
subtraindo os custos de R$ (1.000) 28,726, e multiplicando por 81% para
refletir o imposto de renda.
2) Para o processamento de cana em açúcar, o preço do açúcar (em R$/saca
50Kg) é multiplicado por 2,14 (107 kg de açúcar de uma tonelada de cana
processada, em sacas de 50 kg) e então por 0,84 (16% de taxas sobre a
receita), mais 12 (litros de etanol como subproduto por tonelada de cana)
multiplicado pelo preço do etanol (R$/litro), e por 0,96 (4% de taxas sobre
receita). Esse resultado, menos 31,94 R$/ton (custo variável), é então
multiplicado por 2.600 (toneladas de cana processadas anualmente/1.000).
O resultado final é novamente obtido subtraindo os custos de R$ (1.000)
28,726, e multiplicando por 81% para refletir o imposto de renda.
139
3) Para uma usina flexível, o valor máximo destes dois fluxos de caixa é
escolhido. A razão para tal é que mesmo com a flexibilidade de escolha de
qualquer mix entre os dois produtos, a solução de canto é sempre a ótima
em função da relação linear entre os fluxos de caixa e o preço das
commodities.
Os custos variáveis e fixos consideram tanto os industriais quanto os
agrícolas, e este último é o mesmo para ambos processos (Gonçalves et al., 2006).
Esses algoritmos estão sumarizados nas equações (4.14) e (4.15).
(
= ( ( 2,14P
)
CFEt = ( 80 PEt [1 − 4%]) − 29,67  2.600 − 28.726 (1 − 19% )
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CFAç
Aç
[1 −16%] + 12PEt [1 − 4%]) 2.600 − 31,94
( −28.726) ) (1 − 19%)
(4.14)
(4.15)
Os casos determinísticos usando essas equações e os valores esperados para
os dois preços das commodities estão listados na Tabela 4.3.
Tabela 4.3. Valor presente dos fluxos de caixa operacionais dos casos
base determinísticos
4.5.Modelo de Processo Estocástico:
Casos base:
MRM
(R$ 1.000)
Etanol puro
176.584
Açúcar (etanol como sub-prod.)
209.716
Para modelar a variabilidade do valor do projeto, árvores binomiais para
ambas as commodities foram construídas usando a abordagem descrita na Seção
4.3.1, com os resultados mostrados nas Figura 4.8 e Figura 4.9. Os “nós” com
círculos vermelhos nas figuras representam aqueles cujos valores são alcançados
com probabilidade igual à zero. Portanto as árvores são efetivamente “podadas”
nas partes superior e inferior.
140
Figura 4.8. Árvore de processo neutro à risco para açúcar
Nós censurados
(probabilidade = 0)
Média longo prazo
Valor esperado ávore
90% limite confiança
Preço Açúcar (R$ /50 kg)
100
80
91,5
71,7
60
56,1
44,0
40
34,4
31,7
27,0
20
21,1
16,5
12,9
10,1
7,9
6,2
4,9
1
T0
2
1
T1
2
1
T2
2
1
T3
3,8
2
3,0
1
T4
2,3
2
T5
Figura 4.9. Árvore de processo neutro à risco para etanol
Nós censurados
(probabilidade = 0)
Média longo prazo
Valor esperado ávore
90% limite confiança
2,0
Preço Etanol (R$ / Litro)
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0
2,39
1,88
1,5
1,47
1,16
1,0
0,91
0,80
0,71
0,56
0,5
0,44
0,34
0,27
0,21
0,17
0,13
0,0
1
T0
2
T1
1
2
T2
1
2
T3
1
0,10
2
T4
0,08 0,06
1
2
T5
Ambas árvores são então conjuntamente modeladas conforme a correlação
das duas commodities usando a abordagem descrita na seção 4.3.3. As
probabilidades marginais de um movimento para cima ou para baixo são
141
dependentes do ln do preço em cada nó, conforme a equação (4.8). Como os
incrementos de movimento dos preços foram separados em passos marginal e
condicional, conforme a Figura 4.4, as probabilidades condicionais são geradas
usando as expressões dadas pelas equações (4.11). Apesar da intensidade
computacional dessa abordagem, ele é razoavelmente fácil de ser implementada
numa planilha de Excel.
Na árvore resultante bi-variável, começando um período antes do final (no
período 9 dos 10 modelados), é modelada a decisão ótima de produzir etanol ou
açúcar com algum etanol como sub-produto em cada período, trabalhando para
traz recursivamente até o período 0. Em cada nó, calcula-se o valor da soma,
descontado à taxa livre de risco, dos quatro nós subseqüentes na árvore bi
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variável, ponderados pelas probabilidades conjuntas, as quais são por sua vez o
produto da multiplicação da probabilidade marginal do etanol (o qual foi
escolhido como a primeira variável) pela probabilidade condicional para o açúcar
em cada nó, e somando ainda o valor do fluxo de caixa ótimo no nó considerado.
Chega-se no período 0 com o valor presente do fluxo de caixa gerado pelo
processamento de 2.600 toneladas anuais de cana de açúcar durante cinco anos,
com a opção de escolha semestral entre as duas formas possíveis de produção.
4.6.
Resultados
4.6.1.
Resultados do modelo de árvore bi-variável
Usando o modelo descrito na seção anterior, obtemos o resultado de
224.592 R$ (mil) como valor presente do fluxo de caixa operacional da usina
flexível que processa 2.600.000 de toneladas de cana de açúcar anual por cinco
anos. Este valor pode ser comparado a 176.143 R$ (mil) para uma usina somente
de etanol e 188.526 R$ (mil) de uma usina produtora de açúcar (e etanol como
142
sub-produto), conforme mostrado na Tabela 3. Esses resultados representam um
incremento de 27,5% e 19,1% em valor presente, respectivamente, com relação às
plantas não-flexíveis. Portanto o valor da opção de alternância é 19,1% (produção
flexível comparada com o caso base de maior valor) relativamente ao caso sem
flexibilidade, e um valor incremental absoluto da opção de alternância de 36.066
R$ (mil). É interessante notar que mesmo com a usina de açúcar tendo um valor
presente maior que a de etanol, o mix médio de produção do país foi de 51%
etanol e 49% de açúcar em 2005, com a fração de etanol em crescimento (EPE,
2008). Isto é provavelmente devido ao potencial de crescimento do etanol.
Segundo estimativas da indústria (ÚNICA, 2008), é esperado que a produção de
açúcar cresça quase 3% anualmente entre 2009 e 2020, enquanto a de etanol
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deverá crescer a um ritmo de 9,7% anual. No entanto não é possível prever, ex
ante, para qualquer período de tempo específico, qual das duas possibilidades de
produção não-flexível será mais rentável. Portanto fica claro que intuitivamente os
processadores têm noção do valor da flexibilidade, e por isso investem em usinas
flexíveis que lhes permite capitalizar-se em qualquer um dos dois produtos. Essa é
uma realidade na prática pois aproximadamente 64% das capacidade processadora
de cana de açúcar no Brasil é fornecida por usinas flexíveis (EPE, 2008).
4.6.2.
Comparação com resultados de modelo de simulação
Poderia ter sido utilizada qualquer uma de três abordagens descritas
anteriormente como forma de solução do problema apresentado: a árvore bivariável utilizada, a simulação de Monte Carlo, ou o método de diferenças finitas.
Foi escolhido o método de árvore bi-variável como abordagem primária do
problema porque: 1) é o computacionalmente mais eficiente dos três citados, 2) é
a proposta mais direta de modelagem da correlação entre os dois processos
estocásticos, e 3) é o mais robusto dentre os três com relação a possíveis
alterações nas suposições feitas.
No entanto podemos verificar os resultados obtidos reconstruindo o
problema de avaliação como um conjunto de opções Européias, pois a opção de
alternância de processamento de cana de açúcar pode ser exercido em cada
143
período sem custos (após os custos iniciais de investimento na usina flexível
terem sido realizados) e porque a opção é também independente de todas as
decisões tomadas antes ou após um ponto qualquer. Com esta abordagem o valor
obtido por uma simulação com 100.000 iterações usando um software @RISK®
foi de 231.115 R$ (mil) para a planta flexível o que é 2,9% superior ao resultado
da metodologia da árvore bi-variável. Essa diferença pequena é devida ao
incremento discreto na árvore bi-variável de ∆t = 0,5, e que deveria desaparecer
na medida em que ∆t tende para 0.
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4.6.3.
Comparação com resultados assumindo a modelagem dos preços
por MGB
Conforme já mencionado, o processo de difusão por MGB é muito simples
e direto de implementar e modelar, mas sua deficiência é que eventualmente pode
não ser adequado para o caso de preços de commodities. Foi mostrado que para as
duas commodities analisadas neste capítulo, o processo de reversão à média
proporciona um ajuste adequado, enquanto o MGB pode não ser tão apropriado.
Para ilustrar as diferenças entre os dois processos nas Figura 4.10 e Figura 4.11
são mostradas as projeções de valor esperado dos preços de açúcar e etanol
respectivamente, tão bem quanto o intervalo de confiança de 90% em torno do
valor esperado, tanto para a projeção por reversão à média quanto para MGB. Os
parâmetros de volatilidade para o processo por MGB para ambas commodities foi
estimado calculando o desvio padrão do log-retorno das séries de preços,
enquanto o parâmetro de crescimento (drift) é obtido adicionando meia variância à
média das séries de log-retorno.
144
Figura 4.10. Projeções de preços de açúcar (ajustada ao risco)
Preço Açúcar (R$/50 Kg)
50
40
30
20
MRM
90% interv. Conf.
GBM
90% interv. Conf.
10
0
0
1
1
T1
2
1
T2
2
1
T3
2
1
T4
2
T5
Figura 4.11. Projeções de preços de etanol (ajustada ao risco)
1,4
Preço Etanol (R$/litro)
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T0
2
1,2
1,0
0,8
0,6
MRM
90% interv. Conf.
MGB
90% interv. Conf.
0,4
0,2
0,0
0
T0
1
2
T1
1
2
T2
1
2
1
T3
2
T4
1
2
T5
Para comparar os resultados da avaliação, o mesmo caso foi modelado
assumindo que os preços seguem um MGB, com os resultados das avaliações
determinísticas e o valor da opção mostradas na Tabela 4.4.
145
Tabela 4.4. Comparação dos resultados por reverão à média vrs MGB
MRM
(R$ 1.000)
MGB
(R$ 1.000)
∆%
Etanol puro
176.143
210.336
19,4%
Açúcar (etanol como sub-prod.)
188.526
212.234
12,6%
Planta Flexível
224.592
358.046
59,4%
Modelo de Processo Estocástico:
Casos base
Com Opção
Valor % da Opção
comparada aos casos
base
Valor da Opção
36.066
145.812
Etanol puro
27,51%
70,23%
Açúcar (etanol como sub-prod.)
19,13%
68,70%
A árvore bi-variável para dois MGBs é mais simples de implementar
seguindo a abordagem de Copeland e Antikarov (2001); mas os casos base
(determinísticos) da Tabela 4.4 mostram diferenças de 19,4% e 12,6%,
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respectivamente para cada projeto, com relação a projeção por reversão à média.
Além disso, o valor da usina flexível obtido por essa forma de processo
estocástico (MGB) é 358.046 R$ (mil) e o da opção 145.812 R$ (mil). Estes são
70,2% e 68,7% acima dos casos base de etanol e açúcar, respectivamente, e 59,%
acima do caso da usina flexível com reversão à média, o que indica que o MGB
neste caso pode estar significativamente superestimando o valor da opção de
alternância. A razão para isso está na variância do MGB, que cresce
proporcionalmente a t, contrariamente ao caso da variância delimitada do processo
de reversão à média.
4.6.4.
Sensibilidade do resultado à correlação entre os processos de
preços
Em função da alta correlação entre as duas variáveis incertas (preços de
açúcar e etanol) a sensibilidade da opção a este parâmetro também foi investigada.
Os resultados podem ser vistos na Figura 4.12, onde são plotados os valores da
opção de alternância versus a correlação entre os dois processos de preço. A
Figura 4.12 mostra que o valor da opção cresce rapidamente na medida que
diminui a correlação, atingindo um valor re 55.271 R$ (mil) (30,24% acima do
caso base de açúcar) quando não há correlação (ρ = 0) utilizando a árvore bivariável.
146
Figura 4.12. Valor da opção de alternância em função da correlação
Varlor da Opção (R$ MM)
100
80
60
40
20
caso base
0
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-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
Correlação, ρ
0,4
0,6
0,8
1,0
4.7.
Conclusões
O etanol é atualmente considerado um dos mais promissores combustíveis
automotivos do futuro. O caso econômico do etanol melhorou significativamente
nos últimos anos e este também é visto como sendo mais ambientalmente
amigável do que os combustíveis a base de hidrocarbonetos tais como gasolina e
diesel, visto que é de origem renovável. Além disso, como seu processo de
produção é relativamente intensivo em mão de obra, é percebido favoravelmente
em países em desenvolvimento com altas taxas de desemprego.
O etanol é
atualmente um recurso tecnologicamente e economicamente viável com potencial
para substituir um porção significativa do uso mundial de combustíveis fosseis.
Neste capítulo foram modelados os preços de etanol e açúcar como
processos de reversão à média utilizando uma abordagem de estimação dos
parâmetros dos processos a partir de séries empíricas de dados de mercado, e foi
implementado um método computacionalmente eficiente, mas preciso e flexível
para a modelagem do valor da opção associada a produção flexível de açúcar e
147
etanol. Os resultados obtidos demonstram que os processadores de cana de açúcar
de fato derivam valor adicional da produção flexível, mesmo sob hipótese de
reversão à média dos preços, e beneficiam-se de uma proteção (hedge) natural no
mercado de açúcar, uma commodity madura. Esta é uma consideração importante
para investidores potenciais no mercado mundial de etanol, ainda em formação.
Também é fundamental para os tomadores de decisão de políticas setoriais
considerando o nível com o qual a produção de etanol deveria ser apoiada por
subsídios governamentais em países em desenvolvimento.
Também foi mostrado que, apesar do MGB ser mais simples de implementar
como uma árvore discreta bi-variável comparativamente a um processo de
reversão à média, a modelagem de preços por MGB retorna valores
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significativamente mais altos com relação ao caso da modelagem por reversão à
média, a qual retrata mais fielmente a evolução de preços para açúcar e etanol.
Finalmente foi investigada a sensibilidade do valor da opção de alternância à
correlação entre os processos dos preços de etanol e açúcar, e como esperado, foi
encontrado que o valor cresce na medida que os preços se comportam de maneira
independente um do outro e que este valor continua crescendo mesmo com
valores negativos de correlação. Essa consideração implica que o efeito da
correlação pode ser tornar uma dinâmica importante, caso os preços dos dois
produtos venham a se dissociar um do outro na medida em que o mercado de
etanol continuar a se desenvolver.
4.8.
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150
Anexo 4.1:
Transformação do processo estocástico para o ln (Preço)
Dado que S segue o seguinte processo de reversão à média:
dS = η  ln ( S ) − ln ( S )  Sdt + σ Sdz ,
onde S é a media de longo prazo, podemos aplicar o lema de Itô’s com Y = ln(S):
dY =
1 ∂ 2Y 2 ∂Y
∂Y
dS +
dS +
2
2 ∂S
∂S
∂t
2
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1 ∂Y
∂Y 1 ∂ Y
2
2 2
=− 2 ,
Substituindo em
= ,
= 0 e dS = S σ dt temos
2
S
∂S S ∂S
∂t
1 S 2σ 2
1
dY = −
dt + η ln ( S ) − ln ( S )  Sdt + σ Sdz , ou
2
2 S
S
(
)


σ2 
dY = η  ln ( S ) −
 − ln ( S )  dt + σ dz
2η 


que é o processo seguido por Y = ln(S), com os mesmos parâmetros.
Comparando os processos de Y e S, obtém-se a relação entre Y e S :
Y = ln ( S ) −
σ2
2η
Este é um resultado importante para a estimação dos parâmetros do
processo estocástico do ln(Preço) a partir de dados de séries históricas empíricas.
151
Anexo 4.2:
Ajustamento da media de longo prazo para um processo neutro a
risco
Uma técnica padrão na avaliação de investimentos relacionados a
commodities é a de utilizar um prêmio de risco na forma de um ajuste na taxa de
crescimento (drift) do processo estocástico do preço da commodity. Se o processo
em questão puder ser ajustado de tal forma que o drift corresponda a uma medida
de probabilidade neutra ao risco, então todos os fluxos de caixa podem ser
descontados a taxa livre de risco7. Essa abordagem encontra justificativa ao
assumirmos que a variável de estado é precificada segundo o modelo de
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precificação intertemporal desenvolvido por Merton (1973) e Cox, Ingersoll e
Ross (1985).
No caso de um processo ajustado ao risco, a taxa de desconto ajustada ao
risco é µ = α + δ , onde µ é a taxa ajustada a risco, α é o drift do processo e δ é a
taxa de dividendos do processo. Portanto o drift do processo ajustado a risco pode
ser expresso por α = µ − δ . Com um processo neutro a risco, o drift α do processo
é subtituido por r − δ, onde r é a taxa livre de risco.
Se considerarmos o caso particular do processo de fator único de OrnsteinUhlenbeck, dado por:
dYt = η (Y − Yt )dt + σdzt ,
então o drift do processo é α = η (Y − Y ) . Nota-se que contrariamente ao
MGB, a taxa de dividendos não é constate, sendo uma função de Y. Ou seja, a taxa
(
)
de dividendos é δ = µ − α , ou δ = µ − η Y − Y .
Com essa expressão podemos escrever o drift do processo neutro a risco
para o processo de reversão à média como:
r − δ = r − µ − η (Y − Y ) .
Rearranjando os termos obtemos:
r − δ = η(Y − Y ) − (µ − r ) ou
7
Uma demonstração minuciosa da estrutura de avaliação neutral a risco pode ser vista em
Duffy (1992).
152

( µ − r )  − Y  .
r − δ = η  Y −


η 


Finalmente, usando a relação π = µ − r , o drift neutro a risco fica:

π
r − δ = η  Y −
η



 − Y  , ou


r − δ = η {Y − Y } − π
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Vale notar que π = µ − r é o prêmio de risco. Comparando ambas taxas de
crescimento (drift ajustado a risco e neutro a risco) fica claro que a conversão para
um processo neutro
a risco pode ser feita subtraindo o prêmio de risco
normalizado ( µ − r ) η , ou π η , da média de longo prazo Y . Em outras palavras,
no processo neutro a risco os preços convergem para um nível menor do que a
verdadeira média de longo prazo, e essa diferença é o prêmio de risco
normalizado.
Portanto, seguindo a convenção utilizada por Schwartz (1995, 1997), podese ajustar o drift do processo subtraindo deste o prêmio de risco π . Portanto a
forma neutra a risco do processo de um fator de Ornstein-Uhlenbeck é:
dYt = (η (Y − Yt ) − π )dt + σdz ,
que também pode ser escrita como:


π
dYt = η   Y −  − Yt dt + σdz
η


Esta é a base para as expressões usadas nas médias de longo prazo ajustadas
ao risco do capítulo.
153
Anexo 4.3:
Estimação de parâmetros em modelo de reversão à média
A forma mais simples de modelo de reversão à média é o processo de fator
único de Ornstein-Uhlenbeck, cuja equação diferencial é a Eq. (2), com o valor
esperado e variância dado pelas Eq. (3) e (4), respectivamente. Para determinar os
valores dos parâmetros do processo, a partir de uma série temporal Yt, começamos
escrevendo a Eq. (3) para um intervalo de tempo discreto ∆t:
(
(e
)
− 1)
Yt = Y + (Yt −1 − Y ) e−η∆t = Y 1 − e−η∆t + Yt −1e−η∆t , ou
(
)
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Yt − Yt −1 = Y 1 − e−η∆t + Yt −1
−η∆t
Substituindo Yt = ln [ St ] e Y = ln ( S ) −
(
σ2
e rearranjando obtêm-se8:
2η
)
(
ln ( S t S t −1 ) =  ln ( S ) − σ 2 2η  1 − e −η ∆t + ln ( S t −1 ) e −η∆t − 1
)
(i)
Re-arrumando essa equação na forma:
ln ( St S t −1 ) = β 0 + β1 ln ( St −1 ) ,
(ii)
podemos estimar os parâmetros do processo através
de uma simples
regressão linear nas séries de preços St. Dos estimadores obtidos da regressão,
podemos obter os parâmetros necessários com as fórmulas abaixo, desenvolvidas
por Dixit e Pindyck (1994) e modificadas por Dias (2008).
−η∆t
− 1 , ou
Das Eq. (i) e (ii), obtêm-se β1 = e
η = − ln ( β1 + 1) ∆t
(iii)
O parâmetro de volatilidade σ é obtido da expressão da variância dos erros
obtidos da regressão, σ ε2 , e da Eq. (4). Igualando ambos, tem-se:
σ ε2 =
σ2
1 − e−2η∆t )
(
2η
2
Depois re-escrevendo ( β1 + 1) = e−2η∆t e com a Eq. (iii), obtêm-se
2
2
σ ε = −σ ∆t
8
1 − ( β1 + 1)
2
2 ln ( β1 + 1)
,
ou
Ver Anexo 4.1 para a relação entre Y e
S
.
154
σ = σε
2 ln ( β1 + 1)
(iv)
( β1 + 1)2 − 1 ∆t


Finalmente das Eq. (i) e (ii), β 0 =  ln ( S ) − σ 2 2η  (1 − e −η∆t ) .
−η∆t
Com a relação −β1 = 1 − e , , tem-se:
−
β0 
= ln ( S ) − σ 2 2η  , ou
β1
 β σ2
S = exp  − 0 +

 β1 2η 
Também pode-se substituir o valor de η a partir de Eq. (iii), e reescrever
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essa como:
 β

σ 2 ∆t
S = exp  − 0 +
,
 β1 2 ( − ln [ β1 + 1]) 
ainda, usando o valor de σ de Eq. (iv):

2∆t ln [ β1 + 1]
β
S = exp  − 0 + σ ε 2
2
 β1
2∆t ( − ln [ β1 + 1]) [ β1 + 1] − 1

(
)

,


dessa forma obtêm-se uma expressão somente em termos dos resultados da
regressão:
 β

σε 2
0
S = exp  − +
2
 β1 1 − ( β 1 + 1) 
5
Conclusões e Recomendações para Futuras Pesquisas
Nesta tese foram apresentadas diversas metodologias de modelagem de
incertezas por processos de reversão à média e mostrada sua aplicação à Indústria
brasileira de etano.
O capítulo 2 abordou a modelagem dos processos estocásticos mais
conhecidos de reversão à média, os quais contrariamente ao movimento
geométrico browniano, são diversos. Inicialmente o capítulo tratou da
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determinação da validade do processo estocástico, de forma a determinar se este
pode ser modelado por um MGB ou se um MRM descreve melhor o
comportamento da variável. Essa verificação é normalmente feita por um teste de
raiz unitária como forma de determinar se o comportamento da série de valores
conforme um MGB é rejeitado estatisticamente. No entanto diversos trabalhos
apontam para o fato que é extremamente difícil rejeitar a presença de uma raiz
unitária, mesmo quando a série de valores apresenta claros indícios de reversão à
um nível de equilíbrio em longo prazo. É sugerido então a abordagem proposta
por Pindyck de razão da variância, a qual mede até que ponto os choques
estocásticos numa série são permanentes ou tendem a se dissipar pelo efeito da
reversão à média. Conclui-se que uma série pode apresentar comportamentos
parciais de cada modelo estocástico, caminho aleatório e auto-regressivo e,
portanto deve-se levar em conta tanto considerações teóricas quanto estatísticas na
escolha do processo estocástico.
A seguir o capítulo 2 aborda a modelagem de vários processos de reversão à
média: o Ornstein Uhlenbeck , aritmético de fator único, e os de Dixit & Pindyck ,
Schwartz e Dias/Marlim geométricos de um fator único. Para todos estes são
desenvolvidas ou mostradas (quando já existentes na literatura) as expressões do
valor esperado, da discretização ajustada e neutra ao risco, fundamental para
avaliação de derivativos por simulação, e a metodologia de estimação de
parâmetros a partir de séries históricas de valores da variável estocástica. Este
ponto é fundamental para avaliação pela teoria de opções reais, pois esta
156
geralmente trata de projetos de longo prazo, cujas variáveis estocásticas muitas
vezes não são preços de commodities negociados em bolsas de derivativos, com
séries de preços futuros existentes. A falta de um mercado futuro com forte
liquidez impede o uso de técnicas como o filtro de Kalman o qual permitira
estimar todos os parâmetros do processo, inclusive o prêmio de risco deste.
Portanto, para séries tais como crescimento do PIB, volume de veículos,
demandas de mercados, ou mesmo séries de preços sem cotações futuras, somente
se conta com valores históricos dos quais é necessário estimar os parâmetros do
processo a ser modelado. Também são analisados alguns processos de dois fatores
e para um destes, além das expressões do valor esperado e da discretização, é
desenvolvida uma abordagem para estimação de parâmetros como visto acima.
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Esse resultado é útil a medida que permite modelar um processo como tendo
características de reversão à média através de um fator de curto prazo, e outras de
caminho aleatório, por um fator de longo prazo. A estimação dos parâmetros
precisa de algumas restrições para ser feita, tal como suposições sobre a
correlação entre os dois fatores. Assim mesmo a abordagem desenvolvida é
inovadora e de grande aplicação prática, como mostrado nos resultados das séries
analisadas, as quais apresentam elementos dos dois processos estocásticos.
O capítulo 3 aborda outro tema relacionado a modelagem de processos de
reversão à média: a montagem de árvores binomiais recombinantes, ou lattices
que permitem a avaliação de ativos contingentes, ou opções mesmo que estas
tenham exercício anterior ao vencimento, conhecidas como opções americanas.
Esse é geralmente o caso das opções reais que espelham a flexibilidade gerencial
disponível em projetos ou empresas. O capítulo mostra uma abordagem já
conhecida de árvore binomial para reversão à média, censurada. É proposta outra
metodologia bastante próxima, porém não censurada, e que retorna uma precisão
maior mesmo para casos de grande desvio inicial com relação à média de longo
prazo. No mesmo capítulo também é mostrada a abordagem de combinação de
árvores de reversão à média, seja com outra reversão ou com uma árvore de
movimento geométrico browniano, a qual é robusta o suficiente para avaliar com
precisão opções escritas sobre duas variáveis estocásticas ou cuja única variável
tenha dois comportamentos independentes e correlacionados. A abordagem é
ilustrada ainda nesse capítulo pela avaliação de uma opção real hipotética, porém
157
baseada em dados reais, de expansão de uma usina de açúcar em usina flexível de
etanol e açúcar.
Finalmente o capítulo 4, em formato de artigo acadêmico, utiliza os
resultados e metodologias expostas anteriormente para a modelagem e avaliação
de uma opção real de alternância disponível às usinas flexíveis de cana de açúcar
no Brasil: a opção de escolha da produção entre etanol e açúcar. Neste caso
também são usadas as séries históricas de preços pagos ao produtor no Estado de
São Paulo para estimar os fluxos de caixa das duas opções de produção. Como se
está em presença de duas variáveis estocásticas independentes e correlacionadas é
usada a abordagem de árvore bi-variável de dois MRMs para modelar os fluxos de
caixa. São comparados os resultados obtidos para essa opção com aqueles da
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modelagem por MGB das mesmas variáveis estocásticas. Os resultados mostram
que a opção tem valor substancial, porem que o processo estocástico usado tem
grande influência sobre este, sendo neste caso muito superior quando o MGB é
utilizado na modelagem.
Os três capítulos descritos contribuem com a literatura sobre opções reais
em vários níveis. As abordagens aqui desenvolvidas propõem métodos que
permitem escolher o processo estocástico de forma a reproduzir o comportamento
das variáveis incertas de forma mais realista, quanto esta pode estar seguindo um
comportamento auto-regressivo. Muitas vezes a teoria de opções reais é aplicada
usando resultados de abordagens clássicas como a aplicação da equação de Black,
Scholes e Merton (1973) em função de sua facilidade de uso e simplicidade de
modelagem, que frequentemente permite o uso direto de soluções analíticas. Isso
decorre em grande parte das características matemáticas do Movimento
Geométrico Browniano, dependente apenas de um número limitado de parâmetros
os quais são facilmente levantados de séries de valor históricas, e tem a
discretização grandemente facilitada. No entanto, como visto nos capítulos 3 e 4 a
escolha do processo estocástico pode influenciar grandemente no resultado da
avaliação por opções reais gerando resultados muito diferentes por um processo
ou por outro. E dependendo dos parâmetros e das condições iniciais das variáveis,
essa diferença pode ser para mais ou para menos.
Portanto a abordagem aqui desenvolvida, baseada no modelo de Schwartz e
Smith (2000) que permite modelar um processo com características tanto de MGB
como de MRM, estimando seus parâmetros a partir de séries históricas e
158
modelando este resultado em árvores bi-variáveis que permitem calcular opções
de exercício antecipado, cobre uma lacuna importante das metodologias de
apreçamento de ativos contingentes comumente utilizadas.
Como sugestões para futuros trabalhos na mesma linha de pesquisas, fica a
de desenvolver abordagem semelhante para processos compostos com saltos. Os
processos com saltos de Poisson são facilmente modeláveis em equações de
simulação de processos estocásticos, como mostrado por Dias e Rocha (1999)
além de reproduzir um comportamento real de baixa intensidade em variáveis
estocásticas. No entanto, o levantamento de parâmetros destes processos envolve
o desenvolvimento de metodologias principalmente quando considerando um
processo com saltos compostos com outro processo estocástico, seja um MGB ou
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um MRM. Ao considerarmos a série histórica de uma variável incerta, o
isolamento do fenômeno de descontinuidade matemática que representa o salto de
Poisson pode ser parametrizado por algum processo de filtragens da série. No
entanto a série resultante do isolamento ou filtragem do fenômeno de salto precisa
sofrer alterações em função dessa própria filtragem, e só então pode-se proceder a
estimação dos parâmetros do processo resultante, seja ele um MGB ou um MRM.
Diversas variáveis de preços, como os de energia elétrica, por exemplo, e outras
de mercado apresentam comportamento altamente volátil, sujeito a choques
temporários e
de forte
intensidade.
Geralmente
para
reproduzir esse
comportamento é aumentada a volatilidade dos parâmetros de uma abordagem por
MGB. Abordagens desse tipo com freqüência introduzem leituras erradas dos
comportamentos estocásticos das variáveis incertas, levando a decisões não
ótimas de investimento. Portanto fica aparente a relevância de futura pesquisa
nesse sentido, e a contribuição que estas podem trazer para a mesma linha
desenvolvida neste trabalho.
159
6
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