ESTATÌSTICA - Profª Raquel Cymrot
5ª LISTA DE EXERCÍCIOS (apresentar os cálculos com 4 casas decimais).
1)Um parafuso produzido por um torno automático poderá ter uma pequena variação no seu comprimento,
dada em milímetros. Afirma-se que o comportamento aleatório pode ser modelado pela seguinte função:
15
1
33
⎧
⎪kx + 32 se 16 ≤ x ≤ 16
⎪
f ( x) = ⎨
⎪ 0 caso contrário
⎪
⎩
a)Determine o valor de k tal que f(x) seja de fato, uma função densidade de probabilidade.
b)Para um parafuso escolhido ao acaso dentre os produzidos por esse torno, qual é a probabilidade de
obtermos um comprimento maior que 1 milímetro?
c)Calcule o comprimento médio desses parafusos.
2)Uma fábrica de produtos de limpeza produz detergente. Sabe-se de pesquisa anterior que a viscosidade
deste detergente tem distribuição aproximadamente normal com média de 50 cP e desvio padrão de 1,3
cP.
a)Qual seria a viscosidade que o detergente deveria ter para que não mais que 5% das unidades produzidas
tivessem viscosidade menor que este valor?
b)Qual seria a viscosidade que o detergente deveria ter para que não mais que 5% das unidades produzidas
tivessem viscosidade maior que este valor?
c)Qual a percentagem de detergentes teriam suas viscosidades entre os valores determinados no item a) e
item b)?
3)Se X ~N (µ ; σ2), calcule:
a)P(µ – σ ≤ X ≤ µ + σ)
b)P(µ – 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ)
c)P(µ – 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ)
4)A espessura de um flange em um componente de espaçonave é uniformemente distribuída entre 0,95 e
1,05 milímetro.
a)Determine a função de distribuição cumulativa da espessura do flange.
b)Determine a proporção de flanges que excedem 1,02 milímetro.
c)Qual o valor da espessura que é excedida por 90% dos flanges?
d)Determine a média e a variância da espessura do flange.
5)A vida de um semicondutor a laser, a uma potência constante, é normalmente distribuída com uma
média de 7.000 horas e desvio padrão de 600 horas.
a)Qual é a probabilidade do laser falhar antes de 5.000 horas?
b)Qual é o tempo de vida em horas que 95% dos lasers excedem?
c)Se três lasers forem usados em um produto e se eles falharem independentemente, qual será a
probabilidade de todos os três estarem ainda operando depois de 7.000 horas?
6)Suponha que as contagens registradas por um contador geiger sigam o processo de Poisson com uma
média de duas contagens por minuto.
a)Qual é a probabilidade de não haver contagens em um intervalo de 30 segundos?
b)Qual é a probabilidade de que a primeira contagem ocorra em menos de 10 segundos?
c)Qual é a probabilidade de que a primeira contagem ocorra entre 1 e 2 minutos depois do início?
7)O tempo de vida de um arranjo mecânico em um teste vibracional é distribuído exponencialmente com
média de 400 horas.
a)Qual é a probabilidade de que um arranjo em teste falhe em menos de 100 horas?
b)Qual é a probabilidade de que um arranjo opere por mais de 500 horas antes da falha?
c)Se um arranjo estiver em teste por 400 horas sem apresentar falha, qual será a probabilidade de uma
falha nas próximas 100 horas?
8)Uma capa plástica para um disco magnético é composta de duas metades. A espessura de cada metade é
normalmente distribuída com uma média de 1,5 milímetro e desvio padrão de 0,1 milímetro. As duas
metades são independentes.
a)Determine a média e o desvio padrão da espessura total das duas metades.
b)Qual é a probabilidade de a espessura total exceder 3,3 milímetros?
9)Considere que os pesos de indivíduos sejam independentes e normalmente distribuídos com uma média
de 160 libras e um desvio padrão de 30 libras. Suponha que 25 pessoas se espremam em um elevador que
seja projetado para suportar 4.500 libras.
a)Qual a probabilidade de a carga (peso total) exceder o limite do projeto?
b)Sendo a probabilidade igual a 0,0001 de que o limite seja excedido, qual é o número máximo de
ocupantes? (Sugestão: uma abordagem iterativa pode ser mais fácil)
10)O peso de um pequeno bombom é normalmente distribuído com uma média de 0,1 onça e um desvio
padrão de 0,01 onça. Suponha que 16 bombons sejam colocados em um pacote e que os pesos sejam
independentes.
a)Qual é a média e a variância do peso líquido do pacote?
b)Qual é a probabilidade de o peso líquido de um pacote ser menor que 1,6 onça?
c)Se 17 bombons forem colocados em cada pacote, qual será a probabilidade de o peso líquido de um
pacote ser menor que 1,6 onça?
11)O tempo para um sistema automatizado em um armazém localizar uma peça é distribuído normalmente
com uma média de 45 segundos e um desvio padrão de 30 segundos. Suponha que pedidos independentes
sejam feitos para 10 peças.
a)Qual é a probabilidade de que o tempo médio para localizar 10 peças exceda 60 segundos?
b)Qual é a probabilidade de que o tempo total para localizar 10 peças exceda 600 segundos?
12)Um arranjo mecânico, usado em um motor de automóvel, contém quatro componentes principais. Os
pesos dos componentes são independentes e normalmente distribuídos com as seguintes médias e desvios
padrão (em onças).
Componente
Capa esquerda
Capa direita
Arranjo do mancal
Arranjo do parafuso
Média
4,0
5,5
10,0
8,0
Desvio padrão
0,4
0,5
0,2
0,5
a)Qual é a probabilidade de o peso de um arranjo exceder 29,5 onças?
b)Qual é a probabilidade de o peso médio de oito arranjos independentes exceder 29 onças?
RESPOSTAS E BIBLIOGRAFIA:
1) (bibliografia nº 1) a)1/34 b)0,5459 c)1,0821 mm
2) (minha autoria) a)47,86 cP b)52,14 cP c)0,90
3) (minha autoria) a)0,6826 b)0,9544 c)0,9974
0
x < 0,95
⎧
⎪
4) (bibliografia nº 2) a)
⎪⎪
F ( x) = ⎨10 x − 9,5 0,95 ≤ x ≤ 1,05
⎪
⎪
1
x > 1,05
⎩⎪
b)0,3 c)x = 0,96 mm d)1,00mm e 0,00083mm2.
5) (bibliografia nº 2) a)0,0004 b)6013,06 h c)0,125
6) (bibliografia nº 2) a)0,3679 b)0,28347 c)0,11702
7) (bibliografia nº 2) a)0,2212 b)0,2865 c)0,2212
8) (bibliografia nº 2) a)3 mm b)0,1414 mm c)0,017
9) (bibliografia nº 2) a)0,0004 b)n = 24 passageiros
10) (bibliografia nº 2) a)1,6 onça e 0,0016 onça2. b)0,5 c)0,0075
11) (bibliografia nº 2) a)0,05710 b)0,05710
12) (bibliografia nº 2) a)0,0084 b)0
1.MAGALHÃES, Marcos N. e LIMA, Antonio Carlos P. Noções de Probabilidade e Estatística. 6 ed. São
Paulo: Edusp, 2004.
2.MONTGOMERY, Douglas C. e RUNGER, George C. Estatística Aplicada e Probabilidade para
Engenheiros. 2 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003.