Polícia Rodoviária Federal
Prof. Dirceu Pereira
SISTEMA DE POLIAS (ROLDANAS)
Trata-se de uma combinação de cordas e polias que
permitem trocar força por distância.
Imagine que você tenha um bloco de peso P suspenso
por uma corda, como mostrado na figura 6 abaixo:
Para suspender este bloco, é preciso aplicar uma força F
dirigida para cima igual ao peso P. Se levantarmos o
bloco a uma altura L, teremos que puxar um comprimento
L de corda.
No mesmo sistema da figura 6, acrescenta-se, agora,
uma segunda polia, fixa, conforme mostra a figura 7.
Física
Apêndice
contrapartida, vai exigir um comprimento 2L de corda
para levantar o bloco a uma altura L.
Fazendo-se, na figura 8, a inclusão de mais duas polias,
sendo uma fixa e outra móvel, teremos o arranjo
conforme mostra a figura 9.
As polias móveis dividirão o peso P do bloco: a primeira
polia móvel, presa ao bloco, dividirá o peso deste por 2; a
segunda polia, então, terá de levantar a metade do peso
do bloco, dividindo, por sua vez, este novo peso em dois.
Desta forma, a força requerida para levantar o bloco será
P
F = . Em contrapartida, vai exigir um comprimento 4L
4
de corda.
A polia fixa adicional serviu apenas para mudar a direção
da força.
DEFORMAÇÕES ELÁSTICAS
Esta polia fixa praticamente não alterou o estado do
sistema em relação ao anterior. A única mudança foi na
direção de aplicação da força F, porém, continuamos
aplicando uma força F = P e puxando um comprimento L
de corda para levantar o bloco a uma altura L.
Considere uma mola vertical presa em sua extremidade
r
superior (figura 12-a). Aplicando-se a força F na
extremidade inferior da mola (figura 12-b), ela sofre
deformação x. Essa deformação é chamada elástica
r
quando, retirada a força F , a mola retorna à mesma
posição (figura 12-c).
Fazendo a inclusão de mais uma polia, desta vez móvel,
no sistema da figura 7, temos um arranjo conforme
mostra a figura 8.
Fonte: Os Fundamentos da Física 1 – Mecânica
Ramalho-Nicolau-Toledo, 8ª Ed., Editora Moderna.
A polia móvel dividirá o peso P do bloco pela metade,
P
para levantar o bloco. Em
requerendo uma força F =
2
Em regime de deformação elástica, a intensidade da
força é proporcional à deformação. Isto é, se aplicarmos
r
à mola anterior uma força 2F , obteremos uma
deformação 2x (figura 12-d), e assim sucessivamente,
enquanto a deformação for elástica.
Se F é proporcional a x, podemos escrever: F = k ⋅ x
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Física
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Nessa fórmula, k é uma constante de proporcionalidade
característica da mola, chamada constante elástica da
mola.
A unidade da constante elástica da mola no
Sistema Internacional de Unidades (SI) é
Newton por metro (N/m), sendo permitido o
uso de seus múltiplos e submúltiplos, quando
necessário.
Através deste conceito, calibrando-se convenientemente
as deformações da mola, podemos construir um
instrumento para medir intensidade de força, chamado de
dinamômetro. A figura 13 mostra um dinamômetro
simples. Um peso P é suspenso no instrumento que,
através de uma escala graduada, permite ler o valor da
força aplicada.
Solução
Primeiro, vamos determinar graficamente as forças
atuantes no sistema.
Fonte: Os Fundamentos da Física 1 – Mecânica
Ramalho-Nicolau-Toledo, 8ª Ed., Editora Moderna.
A figura 14 abaixo representam alguns tipos de
dinamômetros manuais usuais no mercado.
O corpo B, após liberado, exerce uma tração no fio de:
T2 − PB = 0 ⇒ T2 = m ⋅ g ⇒ T2 = 7 ⋅ 10
T2 = 70 N
Ao estabilizar o dinamômetro, a leitura da força FD,
exercida pelo corpo B, será igual à tração T2.
Logo, FD = 70 N.
O deslocamento do corpo B provoca uma deflexão na
mola do dinamômetro de:
FD = k ⋅ x
Façamos um exemplo prático, combinando mola e
dinamômetro.
Considere os corpos A e B da figura 15, com massas
respectivas de 6 kg e 10 kg. Os fios, o dinamômetro D e a
polia são ideais. Determine a força lida no dinamômetro e
o deslocamento do corpo B, após liberado da posição
zero no dinamômetro, e o coeficiente de atrito estático
mínimo necessário para manter o sistema em equilíbrio.
Dados: sen30º = 0,50, cos30º = 0,86, k = 625 N/m e
g = 10 m/s².
⇒
x=
FD
k
⇒
x=
70
625
x = 0 ,112 m
x = 11,2 cm
Para atender a condição de leitura no dinamômetro, é
necessário que o corpo A reaja de tal forma que o
sistema mantenha equilíbrio estático. Para tanto, é
necessário que o coeficiente de atrito entre o corpo A
e o plano inclinado seja de:
T1 − PTA − Fa = 0 ⇒ T1 = PA ⋅ sen30 º + µ ⋅ FN
mas
FN = PNA
Logo :
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T1 = m ⋅ g ⋅ .sen 30º + µ ⋅ m ⋅ g ⋅ cos 30º
T1 = 6 ⋅ 10 ⋅ .0 ,5 + 6 ⋅ 10 ⋅ 0 ,86 ⋅ µ
3)
T1 = 30 + 51,6 ⋅ µ
mas
T1 = T2 = 70 N
Logo : 70 = 30 − 51,6 ⋅ µ
µ = 0 ,77 mínimo
⇒
Resposta: d = 2,2 m
51,6 ⋅ µ = 40
Do exercício anterior, queremos determinar as
reações sobre a articulação P.
Solução
Resposta: FD = 70 N, x = 11,2 cm e µ = 0,77 mínimo.
APOSTILA DA AULA 3 DE 5, PÁG. 7, EXERCÍCIO 2
O sinal de um dos momentos está errado e,
portanto, o resultado final também.
Abaixo segue o exercício corrigido. Aproveitou-se
para incluir uma continuação deste exercício
(exercício 3).
2)
Considere uma tábua de madeira AB = 3 m, reta,
plana e homogênea, suficientemente rígida, de peso
40 N, fixa e articulada em um prisma na posição P,
conforme mostra a figura abaixo. Em sua
extremidade A, é suspenso um bloco C de massa
100 kg. No outro lado do prisma, sobre a tábua, sobe
um iogue, de massa 80 kg, e se posiciona em D.
Considere g = 10 m/s² e determine a distância AD
para que a tábua tenha equilíbrio estável na posição
horizontal.
Para que haja equilíbrio na articulação P, devemos
fazer:
= 0 (condição atendida, pois não existem
forças atuando em x).
∑ FX
∑ FY
= 0 ⇒ RY − 1000 − 40 − 800 = 0
Logo :
RY = 1840 N
Resposta: R X = o
e
RY = 1840 N
Solução
Para resolver este problema, basta fazermos a soma
algébrica dos momentos em relação ao ponto P e
torná-lo nulo.
Façamos o diagrama de corpo livre da tábua.
∑ MP
= 0 ⇒ 1000 .1 − 40 ⋅ 0 ,5 − 800 ⋅ ( d − 1 ) = 0
800 ⋅ d = 1780
d ≈ 2 ,2 m
sinal estava
trocado
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