Física Geral - Laboratório
(2014/1)
Estimativas e erros em medidas indiretas:
Ajuste de funções
1
Medidas indiretas: Ajuste de funções
Ajuste de funções
y = f (x; a1 , a2 , . . . , ap )
Medidas de duas grandezas x e y:
{(x1 , y1 ) , (x2 , y2 ) , . . . , (xN , yN )}
2
Estimativa dos parâmetros
(a partir de uma relação
funcional postulada)
Física Geral - 2014/1 - Aula 8
Medidas indiretas: Ajuste de funções
Ajuste de funções
y = f (x; a1 , a2 , . . . , ap )
Medidas de duas grandezas x e y:
{(x1 , y1 ) , (x2 , y2 ) , . . . , (xN , yN )}
Queremos obter:
a1 ±
Estimativa dos parâmetros
(a partir de uma relação
funcional postulada)
a1 , . . . , ap
2
±
ap
Física Geral - 2014/1 - Aula 8
Exemplo: dinamômetro de mola
l (mm)
80
l
F
F (gf)
l (mm)
3
4
5
10
15
20
25
9,2
12,2
15,0
30,0
44,6
59,5
75,1
70
60
50
40
30
20
10
Represe
Tabela 12: Dados para calibração
3
Física Geral - 2014/1 - Aula 8
Exemplo: dinamômetro de mola
l (mm)
80
F (gf)
l (mm)
F (gf)
3
l (mm)
9,2
34
45
510
1015
1520
2025
25
12,2
9,2
15,0
12,2
30,0
15,0
44,6
30,0
59,5
44,6
59,5
75,1
75,1
l (mm)
80 70
70 60
60 50
50 40
40 30
30 20
20 10
10
5
5
10
10
15
15
20
20
25
25
F (g
F (gf)
Representação dos pontos associados à Tab.
Representação dos
associados à Tab. 12,
(r pontos
= 0,9999550)
(r = 0,9999550)
4
Física Geral
- Aula 8
Tabela 12: Dados para calibração
de um dinamômetro
de- 2014/1
mola.
Exemplo: dinamômetro de mola
O comportamento ideal de uma mola nos diz que a sua
elongação é relacionada com a magnitude da força aplicada
na mesma:
l =a·F +b
Equação de uma reta
y = f (x; a, b) = a · x + b
Queremos obter estimativas para os parâmetros da reta
(a,b). Para isso utilizamos um método chamado de “Método
dos Mínimos Quadrados”
5
Física Geral - 2014/1 - Aula 8
Método dos Mínimos Quadrados:
Ajuste linear
Queremos minimizar a soma dos quadrados das distâncias
entre a medidas observadas e os valores previstos pela
relação funcional entre y e x:
S (a, b) =
N
X
(yi
2
y (xi )) =
i=1
Medida
observada
N
X
[yi
2
(axi + b)]
i=1
y = f (xi ; a, b) = axi + b
Obs.: Quando a relação funcional postulada entre as medidas é linear (ou
seja elas são relacionadas pela eq. de uma reta), chamamos o método de
“Ajuste linear”
6
Física Geral - 2014/1 - Aula 8
Método dos Mínimos Quadrados:
Ajuste linear
y
y(x) = ax + b
εi
yi
y(xi )
yi
y(xi )
x2
xi
7
x
Física Geral - 2014/1 - Aula 8
Método dos Mínimos Quadrados:
Ajuste linear
No caso anterior assumimos que as incertezas nas medidas
de y e x são constantes. Em geral devemos considerar o erro
em cada medida (σi):
S (a, b) =
✓
N
X
i=1
yi
y (xi )
i
◆2
=

N
X
i=1
yi
(axi + b)
2
i
Erro efetivo em
cada medida
8
Física Geral - 2014/1 - Aula 8
Método dos Mínimos Quadrados:
Ajuste linear
Podemos mostrar (Exercício - Ver Apêndice F do livro
texto) que as estimativas dos parâmetros e suas incertezas
são dadas por:
a=r
y
=
x
b = ȳ
ax̄
xy
2
x
1 ✏y
p
a =
N
x
p
2
=
x
b
a
v
uN
uX [yi
✏y = t
i=1
9
2
(axi + b)]
=
N 2
y
r
N
N
2
(1
r2 )
Física Geral - 2014/1 - Aula 8
Exemplo: dinamômetro de mola
l (mm)
80
l
F
F (gf)
l (mm)
3
4
5
10
15
20
25
9,2
12,2
15,0
30,0
44,6
59,5
75,1
70
60
50
40
30
20
10
Represe
Tabela 12: Dados para calibração
10
Física Geral - 2014/1 - Aula 8
Exemplo: dinamômetro de mola
l (mm)
80
F (gf)
l (mm)
F (gf)
3
l (mm)
9,2
34
45
510
1015
1520
2025
25
12,2
9,2
15,0
12,2
30,0
15,0
44,6
30,0
59,5
44,6
59,5
75,1
75,1
l (mm)
80 70
70 60
60 50
50 40
40 30
30 20
20 10
10
5
5
10
10
15
15
20
20
25
25
F (g
F (gf)
Representação dos pontos associados à Tab.
Representação dos
associados à Tab. 12,
(r pontos
= 0,9999550)
(r = 0,9999550)
11
Física Geral
- Aula 8
Tabela 12: Dados para calibração
de um dinamômetro
de- 2014/1
mola.
Exemplo: dinamômetro de mola
O comportamento ideal de uma mola nos diz que a sua
elongação é relacionada com a magnitude da força aplicada
na mesma:
l =a·F +b
Equação de uma reta
y = f (x; a, b) = a · x + b
12
Física Geral - 2014/1 - Aula 8
Exemplo: organizando os dados
Ajuste linear
xi (gf)
3
4
5
10
15
20
25
Σxi
82 (gf)
(Σxi)/N
11.7143
(gf)
yi (mm)
9.2
12.2
15
30
44.6
59.5
75.1
Σyi
245.6 (mm)
(Σyi)/N
35.0857
(mm)
σxy
187.2673
σx2
62.7755
a
2.9831
b
0.1405
(mm/gf)
xi2
9
16
25
100
225
400
625
Σxi2
1400 (gf2)
xi.yi [yi – (axi + b)]
[yi – (axi + b)]2
27.6
0.1101
0.0121
48.8
0.1270
0.0161
75
-0.0561
0.0032
300
0.0282
0.0008
669
-0.2874
0.0826
1190
-0.3031
0.0918
1877.5
0.3813
0.1454
Σxi.yi
Σ[yi – (axi + b)]2
4187.9 (mm.gf)
0.3520 (mm2)
v
uN
r
uX [yi (axi + b)]2
(Σxi2)/N
(Σxi.yi)/N
N
✏y = t
= y
(1
200.0000 2 598.2714
N
2
N
2
i=1
(gf )
(mm.gf)
r2 )
εy
0.2653 (mm)
σa
0.0127
(mm)
(mm/gf)
13
σb
0.1790
(mm)
Física Geral - 2014/1 - Aula 8
Exemplo: resultados
l (mm)
80
F (gf)
l (mm)
3
4
5
10
15
20
25
9,2
12,2
15,0
30,0
44,6
59,5
75,1
70
a = (2.983 ± 0.013) mm/gf
60
b50= (0.14 ± 0.18) mm
40
✏30y = ✏l = 0.27 mm
20
Equação da reta:
10
10
l (mm)5 = 2.983
· F 15(gf) + 200.14
25
Representação dos pontos associados à T
(r = 0,9999550)
Tabela 12: Dados para calibração
de um dinamômetro
de
mola.
14
Física Geral - 2014/1 - Aula 8
Reta de calibração e interpolação
y
reta de ajuste
y obs
✏y
✏x =
a
xobs ! y ± ✏y
Interpolação
direta
yobs ! x ± ✏x
Interpolação
indireta
x obs
8
>
>
<xobs 7! y ± " y
Figura 16: >
>
: yobs 7! x ± "x
(yobs b)
a
(interpolação direta)
(interpolação inversa).
15
x
Física Geral - 2014/1 - Aula 8
Faixa de confiança
y
80
70
60
y = ax + b
εy
50
y obs
εx
40
30
yobs ! x ± ✏x
20
✏y
✏x =
a
(yobs b)
a
10
5
10
15
20
25
x
16
Figura 17: Faixa de confiança padrão associada
ao ajuste da mola
M1Geral
(Tab.
12); o- Aula
valor
Física
- 2014/1
8
Exemplo: pêndulo (atividade de aula)
T = 2⇡
l
L
s
L
T2
)L=g 2
g
4⇡
L=l+d
T2
l=g 2
4⇡
d
d
17
Física Geral - 2014/1 - Aula 8
Exemplo: pêndulo (atividade de aula)
T2
l=g 2
4⇡
l
d
! y = ax + b
L
y=l
T2
x=
4⇡ 2
a=g
d
b=
18
d
Física Geral - 2014/1 - Aula 8
Exemplo: pêndulo (atividade de aula)
y
l (cm)
x
t (s)
T = (t/20) (s) T2/4π2 (s2)
Medida 1
Medida 2
Medida 3
Medida 4
Medida 5
i) Estimar o valor da
aceleração da gravidade:
g±
g
ii) Analisar a compatibilidade
com o valor de referência:
gref = 9.78789849(14) m/s
19
2
Física Geral - 2014/1 - Aula 8