ILHA SOLTEIRA
XII Congresso Nacional de Estudantes de Engenharia Mecânica - 22 a 26 de agosto de 2005 - Ilha Solteira - SP
Paper CRE05-TE02
MASSA REDUZIDA UMA ABORDAGEM TEÓRICO/EXPERIMENTAL
Cícero R. C. da Silva, Edílson G. de Souza e Mário S. Haga
Física - Departamento de Física e Química.
Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Departamento de Engenharia Mecânica
Av. Brasil, 56, Bairro Centro, Caixa Postal 31, CEP 15385-000, Ilha Solteira, SP
E-mail para correspondência: [email protected]
O objetivo do presente trabalho foi realizar estudos teóricos e experimentais sobre o conceito de massa
reduzida que possibilitem uma melhor compreensão deste fenômeno. Em nosso dia-a-dia, estamos rodeados
por oscilações – movimentos que se repetem. Estas oscilações podem ser mais ou menos evidentes ao nosso
olhar, o vai-e-vem dos pistões nos motores dos carros são exemplos disto. Menos evidentes são as oscilações
das moléculas de ar que transmitem a sensação do som, as oscilações dos átomos em um sólido que
transmitem a sensação de temperatura e as oscilações dos elétrons nas antenas de rádio e de transmissores de
TV. Enfim estes fenômenos estão fortemente presentes em nosso cotidiano, muitas vezes tornando muitas de
nossas atividades diárias mais simples. Para chegarmos neste nível de aplicações que conhecemos, foi
necessário realizar estudos a respeito dos mais diferentes tipos de fenômenos oscilatórios.
Independentemente da natureza destes, foi necessário conhecermos inicialmente o movimento mais simples
para depois incrementá-lo de acordo com as necessidades e, finalmente, tratar de outros modelos, facilitando
assim a sua compreensão. Um fenômeno, no mínimo intrigante, presente em movimentos de oscilações
mecânicas, é o que envolve o conceito de massa reduzida. Para um movimento oscilatório convencional,
onde temos a oscilação de uma massa m presa por uma mola de constante elástica k, a freqüência de
oscilação varia de acordo com a relação dada pela Eq. (1).
f =
1 k
2π m
(1)
No fenômeno de massa reduzida, quando dois corpos de massa m1 e m2 oscilam acoplados entre si por
uma mola de constante elástica k, a freqüência de oscilação f não dependerá mais individualmente de m1 e m2
e passa a depender da massa reduzida μ definida pela Eq. (2).
μ=
m1 .m2
m1 + m2
(2)
No trabalho experimental, utilizamos um trilho de ar com perfil em “V”, cujo colchão de ar diminui o
atrito entre as superfícies internas do trilho e as dos dois carros, igualmente com perfil em “V”. Estes carros
oscilam acoplados entre si por uma mola de constante elástica k=51,0±2,0(kg/s2). Um destes carros possui
um jateador de tinta que possibilita um registro gráfico em uma folha de papel de um registrador x-t com
velocidade de arraste v = (0,021 ± 0,001) m/s. A Fig. 01 mostra um destes registros obtidos, de cujo gráfico
foi possível determinar a freqüência de oscilação para cada caso descrito anteriormente.
Figura 1 – foto de dados obtidos para a massa de 0,34498(kg).
Os dados obtidos estão expressos na Tab. 1 e na Tab. 2. Podemos observar que, conforme a massa do
sistema aumenta, a freqüência de oscilação diminui para qualquer configuração, tanto para oscilações de
massas individuais como para massas acopladas. No entanto, quando são comparadas as oscilações obtidas
nas diferentes configurações, mantidas as massas constantes, o sistema de massa individual apresenta valor
de freqüência menor do que aquela apresentada na oscilação de massas acopladas. Nas tabelas seguintes, ft é
a freqüência de oscilação calculada teoricamente, fexp é a freqüência de oscilação obtida experimentalmente e
μ é a massa reduzida.
Tabela 1 – Dados de freqüência de oscilação para o oscilador massa-mola.
Massa (kg)
ft (Hz)
fexp(Hz)
0,34498±0,00001
1,93±0,04
1,9±0,2
0,48049±0,00001
1,64±0,03
1,8±0,1
0,50142±0,00001
1,61±0,03
1,7±0,1
0,52604±0,00001
1,57±0,03
1,6±0,1
0,54480±0,00001
1,54±0,03
1,6±0,1
0,57784±0,00001
1,49±0,03
1,5±0,1
Tabela 2 - Dados de freqüência de oscilação para o oscilador de partículas acopladas.
M1(kg)
0,34498±0,00001
0,34498±0,00001
0,34498±0,00001
0,34498±0,00001
0,34498±0,00001
0,34498±0,00001
0,34498±0,00001
0,34498±0,00001
M2 (kg)
0,25583±0,00001
0,26687±0,00001
0,30224±0,00001
0,33528±0,00001
0,37041±0,00001
0,37851±0,00001
0,43035±0,00001
0,43440±0,00001
μ(kg)
0,14688±0,0002
0,15047±0,0002
0,16110±0,0001
0,17003±0,0001
0,17862±0,0001
0,18048±0,0001
0,19188±0,0001
0,19228±0,0001
ft (Hz)
2,97±0,06
2,93±0,06
2,84±0,05
2,76±0,05
2,69±0,05
2,68±0,05
2,60±0,05
2,59±0,05
fexp(Hz)
Não obt.
Não obt.
3,4±0,5
2,8±0,3
3,0±0,4
Não obt.
Não obt.
2,7±0,3
Os resultados apresentados aqui possibilitam uma analise razoável dos fenômenos envolvidos.
Observamos que tais resultados estão em uma margem de erro aceitável para os métodos experimentais
utilizados neste trabalho. Para o sistema de partículas acopladas, surgiu um grau de dificuldade razoável
quando tentamos tomar valores de seus períodos de oscilação para efeitos de comparação com os resultados
teóricos assim como em relação com os resultados de oscilação de massas individuais. Esta dificuldade
deveu-se ao movimento de translação do centro de massa do sistema pelo trilho devido às forças externas,
impossibilitando a obtenção de alguns dados conforme pode ser observado na Tab. 2, mas sem prejuízos na
compreensão do conceito de massa reduzida.
Referências bibliográficas:
Nussenzveig, H. M. Curso de Física Básica 2 – Oscilações e Ondas, 3ª ed., editora Edgar Blücher, 1999, São
Paulo – SP.
Symon, K.R. Mechanics, 3ªed., editora Addison-Wesley, Winsconsin – U.S.A..
Alonso, M., Finn, E. J. Fisica, editora Addison-Wesley, 1992, São Paulo - SP