Lei de Hooke e movimento harmônico simples no sistema massa-mola
J. C. Filho, M. S. M. Júnior
Instituto de Física - Universidade Federal de Uberlândia
Av. João Naves de Ávila, 2121 - Santa Mônica – 38400-902 – Uberlândia – MG - Brasil.
E-mail: [email protected]
Resumo. Neste relatório, apresentam-se as medidas efetuadas e as análises verificando a Lei de
Hook, e a conservação da Energia Mecânica no movimento vertical de um sistema massa-mola.
Na montagem experimental uma massa pendurada em uma mola executa pequenas oscilações.
Após a análise dos nossos resultados, obteve-se o valor estático e dinâmico da constante elástica
da mola utilizada, sendo 14,10 06 N/m e 17,28 0,13 N/m, respectivamente.
erro digitação
Palavras chave: Lei de Hook, conservação da energia mecânica, constante elástica da mola.
Citar referências no text usando ABNT
ex: ...mas amortecido (Araujo,2002)
1.
O corrente relatório, referido a disciplina de laboratório
de Física 2 do curso de física de materiais, sobre o tema Lei
de Hooke e movimento harmônico simples no sistema massa
mola vertical, apresenta os resultados obtidos de acordo com
os experimentos realizados. Esse tipo de sistema é muito
usado no cotidiano, por exemplo, os amortecedores de um
carro, porém, funcionam como um movimento harmônico
não simples, mas amortecido.
O objetivo desse trabalho é verificar a lei de Hook,e
almejando estudar o movimento harmônico simples de um
sistema massa-mola vertical, verificando a relação entre o
período e a massa. Com esses estudos pretende-se encontrar
o valor da constante da mola, estático e dinâmico,
comparando-os em seguida.
O trabalho está organizado na seguinte sequência:
Introdução teórica sobre o trabalho, procedimento
experimental, resultados e discussões, e por fim a conclusão.
2.
Teoria
Um corpo de massa m está inicialmente em repouso
suspenso por uma mola de constante elástica k. Uma mola ao
sofrer deformações acumula energia potencial elástica. Esta
energia possui uma força associada que é chamada força
restauradora, ou força elástica, que é proporcional ao
deslocamento da posição de equilíbrio. Esta força é dada por:
(1)
Essa equação é descreve a lei de Hook. No equilíbrio as
únicas forças que atuam são a força elástica, equação (1), e a
força peso, equação (2).
(2)
Quando a massa é acoplada a mola, ela sofre uma
deformação x, tal que as únicas forças atuantes, equação (1) e
(2), se igualam, resultando na seguinte relação:
(3)
Se o corpo de massa m for deslocado de sua posição de
equilíbrio, o sistema massa mola irá sofrer uma oscilação.
O sistema massa mola vertical, as forças atuantes, no
equilíbrio, estão representadas na figura 1. Conforme o
desenho pode-se encontrar as funções de deslocamento,
velocidade e aceleração, partindo da equação (3), ao
1
solucionar a equação diferencial,
descrito pela seguinte relação:
Introdução
(4)
Resulta na equação do deslocamento do
movimento vertical:
(5)
(6)
Resultando na expressão do período de
oscilação:
Figura 1:
Sistema massa
mola vertical, em
equilíbrio.
(7)
Porém, essa equação, não possui uma
relação linear entre o período e a massa.
Ao elevar os dois lados da equação (7) ao quadrado, resulta
numa relação linear entre
e , que pode ser vista na
equação a seguir:
(8)
Por meio da técnica de derivação na equação (4), encontra-se
a velocidade e a aceleração do movimento:
(9)
(10)
Após
o
início
do
movimento
oscilatório,
desconsiderando as perdas de atrito, devido à deformação da
mola, ocorrerão trocas de energias. As energias envolvidas
são as energias cinética, Ek, potencial elástica, EPe, e
potencial
gravitacional,
Epg,
descritas
abaixo,
respectivamente:
(11)
(12)
(13)
No qual, v é a velocidade em cada instante, y é a altura em
relação ao referencial inicial e x é a deformação da mola,
definido na equação (3).
Assim, a energia mecânica do sistema é definida por:
(14)
Analisando a figura 2, percebe-se que ao alongar a mola, a
uma distância H, a partir do nível A, o equilíbrio, a massa
chega à posição no nível B. Neste ponto, considera-se o
referencial inicial da variável y, e é de fácil raciocínio que a
Letras em negritos seguinificam grandezas vetoriais. Por exemplo, F, P, g, x.
velocidade neste nível é nula. Conclui-se que neste instante t,
no nível B, com o valor do deslocamento é,
,a
energia mecânica é somente:
(15)
Pelo principio da conservação da energia mecânica essa
grandeza deve-se conservar, então, no momento que essa
massa for solta e chegar ao nível A, a energia mecânica deve
ser igual à energia mecânica no nível B. No instante em que
o sistema é liberado do nível B, ele possui energia potencial
elástica armazenada, que proporciona o surgimento de
energia cinética e energia potencial gravitacional. Assim
sendo, a energia mecânica neste nível B, é dada por:
(16)
Em que , é definido pela equação (3).
Assim ocorrendo à conservação da energia a energia no nível
B e a energia no nível A devem ser a mesma, ou seja,
igualando as equações (15) e (16) temos:
(17)
1. Colocar o sistema massa-mola para oscilar, e medir
dez oscilações completas [
, três vezes para cada
massa colocada no suporte.
2. Fazer uma tabela e o gráfico correspondente com os
dados obtidos.
3. Encontrar o valor da constante da mola dinâmico.
Por fim anotaram-se os erros associados à balança digital,
régua e do cronômetro.
4.
Resultados e Discussão
Conforme descrito no procedimento, foram medidos
para massas m diferentes, valores de três medidas do período
de oscilação do sistema.
Os valores colhidos na primeira parte do procedimento
foram: comprimento da mola em repouso,
,
com erro associado
. Em seguida efetuou-se
o procedimento e obteve os valores para o deslocamento h,
conforme alterasse a massa m. Os respectivos erros e os
dados obtidos estão catalogados na tabela 1.
Tabela 1: Dados do deslocamento x, conforme se
aumenta a massa do objeto no suporte acoplado à mola.
Figura 2: Figura que representa os níveis de deslocamento do
sistema massa mola, quando posto para oscilar.
3.
m (kg)
Δm (kg)
x (m)
Δx (m)
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
0,001
0,001
0,001
0,001
0,001
0,035
0,071
0,106
0,140
0,174
0,0005
0,0005
0,0005
0,0005
0,0005
Por meio dos dados da tabela 1, criou-se o gráfico,
descrito na figura 4, que relaciona a dependência do
deslocamento pela massa.
Procedimento Experimental
Figura 3: Aparato experimental.
A figura 3 demonstra o aparato experimental. Além
desses foram usados conjunto de corpos com massa,
cronômetro e balança digital. O procedimento experimental
foi divido em duas partes:
1ª parte: Verificar a lei de Hook.e
1. Medir o comprimento da mola em repouso.
2. Medir o deslocamento x, para cada massa acoplada
à mola.
3. Fazer uma tabela e em seguida um gráfico, com os
dados obtidos de m(kg) e x(m).
4. Encontrar o valor da constante da mola estático.
2ª parte: Verificar o movimento harmônico simples.
Figura 4: Gráfico do deslocamento x, por massa m, conforme
dados da tabela 1. As barras de erros não são visualizadas devido a
escala usada.
A figura 4 representa o gráfico relacionando as
grandezas x e m, via equação (3), com sua respectiva reta,
obtida pelo programa Scidavis, pelo ajuste linear dos dados
da tabela 1, juntamente com seus erros associados. De acordo
com a equação de uma reta,
, é fácil perceber que,
,
,
,
. Conforme ajuste linear via
Scidavis, a equação da reta que melhor define os dados é:
Sabendo os valores dos parâmetros da reta acima, e usando
para a aceleração da gravidade o valor tabelado para a cidade
de Uberlândia
, é possível encontrar o valor
desejado para a constante da mola estática ke, que resulta no
seguinte valor:
Para a segunda parte da experiência foi avaliado o
sistema oscilando, obedecendo ao movimento harmônico
simples. Mediu-se para cada massa apoiada a mola, dez
oscilações completas, [
, três vezes. Os dados
estão apresentados na tabela 2, porém, já se encontra o valor
de uma oscilação completa, ou seja, dividiu-se o valor de
por dez, visto que o valor de um único período é suficiente
para efetuar os cálculos, pois foram medidos dez, para
reduzir o erro e aumentar a precisão.
Tabela 2: Medidas de três vezes o períodos de oscilações
associados as massas.
m (kg)
T1 (s)
T2 (s)
T3 (s)
0,050
0,398
0,390
0,410
0,100
0,512
0,510
0,515
0,150
0,618
0,613
0,613
0,200
0,709
0,697
0,697
0,250
0,777
0,779
0,782
De acordo com o cronômetro usado, verificou-se um
erro associado de
, que interfere no resultado do
período calculado. As massas também possuem um erro
associado de
, referente ao valor medido na
balança digital. Para análise dos dados, é viável trabalhar
com a média do período medido. A tabela 3 a seguir, é
referente aos valores da média do período para cada massa, e
seus respectivos erros associados.
Tabela 3: Valores da média dos períodos de oscilações,
associados às massas, e seus respectivos erros associados.
m (kg)
(kg)
(s)
(s)
0,050
0,001
0,40
0,01
0,100
0,001
0,51
0,01
0,150
0,001
0,61
0,01
0,200
0,001
0,70
0,01
0,250
0,001
0,78
0,01
De acordo com a equação (7), nota-se que entre o
período e a massa não existe uma relação linear, mas a
equação (8), já possui uma relação linear entre o período ao
quadrado de oscilação com a massa. Os dados que
relacionam essa relação linear estão descritos na tabela 4,
juntamente com seus erros associados.
Tabela 4: Valores da média dos períodos ao quadrado,
associados às massas, e seus respectivos erros associados.
m (kg)
(kg)
(s)
(s)
0,050
0,001
0,16
7,99E-03
0,100
0,001
0,26
1,02E-02
0,150
0,001
0,38
1,23E-02
0,200
0,001
0,49
1,40E-02
0,250
0,001
0,61
1,56E-02
Esses dados serão usados para desenhar o gráfico T2 vs
m e averiguar a relação entre essas grandezas. De acordo
com a tabela 4, é possível averiguar que conforme aumenta a
massa, o período ao quadrado aumenta, ou seja, T2 é
proporcional a massa. O gráfico pode ser visualizado na
figura 5 a seguir.
Figura 5: Gráfico do período ao quadrado pela massa, com
barras de erros, conforme dados da tabela 4.
A figura 5 representa o gráfico relacionando as
grandezas T2 e m, com sua respectiva reta, obtida pelo
programa Scidavis, pelo ajuste linear dos dados da tabela 4,
juntamente com seus erros associados. De acordo com a
equação de uma reta,
, é fácil perceber que,
,
,
,
. Conforme ajuste linear via
Scidavis, a equação da reta que melhor define os dados é:
Sabendo os valores dos parâmetros da reta acima, e
usando para a aceleração da gravidade o valor tabelado para
a cidade de Uberlândia
, é possível encontrar o
valor desejado para a constante da mola dinâmica kd, que
resulta no seguinte valor:
Com os valores da constante da mola encontrado para o
modo estático e dinâmico, percebe-se uma dispersão no
valor, em média de 20% uma relação à outra.
Com base nos dados colhidos, foi escolhido um valor
de massa, para efetuar a análise das funções deslocamento,
velocidade e aceleração, respectivamente as equações (5), (9)
e (10). Como no ato do experimento, por interpretação errada
dos experimentadores, não foi anotado o valor da amplitude
usada para colocar o sistema em oscilação. Com isso, para
efetuar os cálculos, supõe-se o valor da amplitude
. É necessário ainda saber o valor da frequência
angular de oscilação
, encontrada
via equação (6).
A análise das funções deslocamento, velocidade e
aceleração podem ser visualizadas nos gráficos referente a
cada uma, descritos nas figuras 6, 7 e 8 a seguir.
Conforme a figura 9 nota-se que no inicio do tempo, ou
seja, quando puxa o sistema massa-mola numa distância A, a
amplitude, e é iniciado o movimento de oscilação, o mesmo
só possui energia potencial elástica. Após o início do
movimento o corpo terá os três tipos de energias atuando.
Antes e depois do movimento pelo princípio da conservação
da energia mecânica a energia do sistema deve-se conservar,
conforme equação (17).
Figura 6: Função deslocamento, descrita pela equação (5),
para uma massa com m= 0,1 kg e com w = 13,15 rad/s e amplitude
A= 0,03 m.
Figura 7: Função velocidade, descrita pela equação (9), para
uma massa com m= 0,1 kg e com w = 13,15 rad/s e amplitude A =
0,03m.
Figura 8: Função aceleração, descrita pela equação (10), para
uma massa com m= 0,1 kg e com w = 13,15 rad/s e amplitude A =
0,03m.
De acordo com os gráficos obtidos é possível
compreender o que ocorre durante o processo de oscilação.
Ao realizar o experimento percebe-se que ao levar o sistema
massa para uma determinada posição, a amplitude, para
iniciar seu movimento de oscilação, o sistema não possui
velocidade, porém, possui aceleração. É de melhor
compreensão quando se fizer a análise das energias cinéticas,
potencial elástica e potencial gravitacional, que serão
expostas a seguir, na figura 9, conforme equações (11), (12)
e (13), respectivamente.
5.
Conclusão
Neste relatório, apresentamos os resultados do estudo
do comportamento de um sistema massa-mola para a
verificação da Lei de Hook e observar o movimento
harmônico simples vertical. Foram medidos valores dos
períodos para diferentes valores de massas.
De acordo com as tabelas e os gráficos apresentados foi
possível perceber que entre o deslocamento e a massa existe
uma relação linear e que essas grandezas são proporcionais.
Outra análise obtida diz que conforme a um aumento no
valor da massa o período aumenta. Esses diagnósticos estão
descritos nos gráficos das figuras 4 e 5, respectivamente.
Conforme a análise dos dados foi possível cumprir o
objetivo do relatório, encontrar o valor da constante elástica
da mola por dois métodos. Os valores encontrados foram
N/m, pelo método estático, e
N/m, pelo método dinâmico. Houve
uma dispersão no valor, em média de 20% uma relação à
outra.
Alguns fatores externos podem ter causado flutuação
aos resultados, como o peso do suporte que sustenta as
massas a mola, que considera desprezível. Outro fator
relevante é o tempo de vida da mola usada, que por ser usada
por vários estudantes de diversos cursos, já podem ter
alteração no valor da sua constante elástica. Entretanto,
percebe-se que a alteração pelo método dinâmico e estático
não é tão relevante, concluindo que a mola ainda possui
utilidade. Então, para um melhor resultado convém fazer
mais do que três medições do período para cada valor de
massa, e se quiser ser mais rigoroso na recolha dos dados,
utilizar uma mola nova.
Referências
ARAÚJO, L. FÍSICA I - C - Roteiros experimentais. Acesso
em 18 de Dezembro de 2013, disponível em UFRGS:
http://www.if.ufrgs.br/fis181/roteiros/Exp3.pdf
NUSSENZVEIG, H. M. (2002). Curso de Física Básica 2 Fluidos, Oscilações e Ondas e Calor (4ª Edição ed.). Rio de
Janeiro: Edgard Blücher.
-Se incluem referências que são usadas no texto,
onde devem ser citadas!
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de publicação de um livro
Figura 9: Gráfico das energias cinética, potencial elástica e
potencial gravitacional.