Técnicas Laboratoriais de Física
Ano Lectivo 2010/11
TRABALHO PRÁTICO Nº 4
DETERMINAÇÃO DA CONSTANTE ELÁSTICA DE UMA MOLA
1. Introdução
Se suspendermos um corpo de massa m na extremidade de uma mola em hélice que tenha a
outra extremidade fixa, a mola distende-se até ficar em equilíbrio com o peso do corpo. Se o
corpo for em seguida deslocado da posição de equilíbrio, o conjunto corpo+mola passa a oscilar
executando um movimento vibratório. Trata-se de um movimento periódico que podemos
considerar não-amortecido se desprezarmos o atrito. A força responsável por este movimento
tem as características que se descrevem a seguir.
1. A sua intensidade é proporcional ao deslocamento (y) do corpo, medido a partir da posição
r
de equilíbrio: F = Ky , sendo K uma constante característica da mola.
r
2. O sentido da força F que a mola exerce sobre o corpo é sempre oposto ao do
deslocamento, i. e., em cada instante o corpo está sujeito a uma força que tende a fazê-lo
r
voltar à posição de equilíbrio; por isso F é também designada por força restauradora. Pode
então escrever-se:
F = − Ky .
(1)
Quando o sistema mola+corpo está parado, em equilíbrio na posição de mola distendida pelo
peso da massa m, a força do peso do corpo e a força restauradora da mola compensam-se.
Nessa posição temos então que − Ky = − mg , de onde tiramos que
K=
mg
.
y
(2)
Por outro lado, o sistema corpo+mola, quando
executa um movimento vertical nas condições
descritas acima, é exemplo de um oscilador
harmónico simples, já que entre a aceleração
a(t) e a posição y(t) do corpo suspenso (relativa
à posição de equilíbrio), se verifica a relação
a(t ) = − Ky (t ) com K > 0. Na figura 1
representam-se as posições instantâneas do
corpo, bem como as elongações da extremidade
da mola a que está ligado, em função do tempo.
Deve notar-se que as posições no eixo vertical
registadas ao longo do tempo desenham uma
sinusóide
cuja
equação
é
da
forma
y( t ) = Asen(ωt + α ) , sendo A a amplitude do
t2
t1
t3
t5
t4
Figura 1. Movimento oscilatório de um corpo ligado à
extremidade de uma mola suspensa
[reproduzido de: http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/
docencia/FISI/FIS-A-Molas.pdf]
movimento, ω a frequência angular e α a fase
no instante inicial.
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O corpo oscilante tem aceleração da forma: a( t ) = − Aω 2 sen(ωt + α ) = −ω 2 y . Sendo a
aceleração devida a uma força do tipo F = − Ky e usando a lei fundamental da dinâmica, vem:
(
)
F = ma ⇔ − Ky = m − ω 2 Asen(ωt + α ) ⇔ − Ky = − mω 2 y ⇒ ω =
K
m
A frequência angular do movimento (ω) relaciona-se com o período (T) por ω =
2π
. Para o
T
corpo de massa m tem-se, então, um período de oscilação dado por:
T = 2π
m
K
(3)
Prova-se que, se a massa da mola (M) não puder ser desprezada em face da massa (m) do
corpo oscilante, o sistema comporta-se como se tivesse uma massa equivalente a m + M / 3 .
Assim, tendo em conta a massa do conjunto mola+massa, a equação (3) em ordem a K vem
modificada da seguinte forma:
K = 4π 2
m+
M
3
T2
(4)
2. Procedimento experimental
Material necessário: uma mola em hélice, suporte para a mola, diferentes massas, régua
graduada, cronómetro, balança digital.
A determinação da constante elástica da mola pode ser efectuada por dois processos
designados por método estático e método dinâmico. Aplicar-se-á primeiro um dos métodos e
depois o outro.
Notas importantes:
- Como vai utilizar um cronómetro, não se esqueça de registar bem todos os tipos de erro que
estarão associados à medida do tempo.
- Quando começar a recolher os dados experimentais necessários à realização do trabalho, não
faça as medidas todas de uma vez e os cálculos apenas no final. Depois da primeira ou segunda
medida, faça uns cálculos rápidos e veja se os dados obtidos conduzem a resultados aceitáveis.
Se tal não acontecer, algo está errado e é necessário detectar e corrigir o problema antes de
continuar.
- À medida que for obtendo os dados experimentais não caia na tentação de os escrever em
folhas soltas para depois os “passar a limpo” para o logbook. Deve utilizar directamente e só o
seu logbook. Importa que fique sempre claro que grandezas físicas estão a ser medidas, quais
os valores obtidos e qual a incerteza associada a cada valor.
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2.1. Método estático (Eq. 2)
1. Embora não seja necessário neste método, meça já
e registe o valor da massa da mola (M) e a
respectiva incerteza.
2. Pendure a mola no respectivo suporte e registe a
posição inicial do extremo inferior da mola
(ℓ0 ± δℓ0), como sugerido na figura 2.
3. Na extremidade livre da mola, suspenda um corpo
de massa (m1) que tenha um valor entre 140 e
300 g (depois de o pesar e registar o valor e
incerteza, é claro) e anote a nova posição do
extremo inferior da mola (ℓ1 ± δℓ1), como sugerido
na figura 2.
ℓ0
m
ℓ1
Figura 2. Método estático para
determinação da constante
elástica de uma mola
4. Repita o ponto anterior para mais 4 valores
diferentes da massa suspensa, com valores de massa entre 140 e 300 g,
aproximadamente.
2.2. Método dinâmico (Eq. 4)
1. Escolha a mais pequena das massas (mi) utilizadas no método estático e suspenda-a no
extremo inferior da mola.
2. Imprima ao sistema massa+mola um movimento vibratório simples de pequena amplitude,
na direcção vertical, e faça 5 medidas do tempo de 10 oscilações completas. Seja
bastante cuidadoso ao pôr o sistema a oscilar, de modo a que o movimento vibratório
ser apenas vertical e não tenha componentes noutras direcções.
3. Altere a massa suspensa seleccionando as mesmas massas utilizados no método estático
e repita o ponto anterior.
3. Tratamento dos dados
3.1. Método estático
1. Tem ao seu dispor uma série de valores de massas e suas incertezas, mi±δmi. Propõe-se
que comece por calcular as incertezas associadas aos correspondentes valores das
distensões da mola yi±δyi (propagação de erros), onde yi = |ℓi - ℓ0|.
2. Em seguida, determine também os valores de Ki e as incertezas associadas (propagação
de erros).
3. Finalmente, a partir dos 5 valores de Ki±δKi determine o valor médio de K e o respectivo
desvio padrão na média (Ke1 ± δKe1).
4. Para além do tratamento dos dados descrito nos parágrafos anteriores, propõe-se
também que, utilizando um programa gráfico, represente as massas em função das
distensões da mola. Não se esqueça das incertezas associadas a cada valor. Depois,
utilizando o método dos mínimos quadrados, ajuste uma recta do tipo y = A + Bx aos
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dados experimentais. Utilizando os parâmetros da recta obtidos a partir do ajuste,
obtenha o valor de Ke2 ± δKe2.
3.2. Método dinâmico
1. Para cada valor da massa suspensa utilizada, determine o valor médio dos 5 tempos
medidos e o respectivo desvio padrão da média. Depois calcule o período e o erro
associado.
2. Para cada valor da massa mi determine a massa total (mi+M/3) e o respectivo erro.
3. Utilizando um programa gráfico adequado, trace um gráfico que relacione o período do
movimento com a massa (mi+M/3), de forma a extrair desse gráfico o valor da constante
elástica da mola. Lembre-se que gráficos que traduzem relações lineares entre
grandezas físicas são sempre mais fáceis de trabalhar. Represente também no gráfico
os erros associados aos valores (xi,yi).
4. Depois, utilizando o método dos mínimos quadrados, ajuste uma recta do tipo y = A + Bx
aos dados experimentais. Utilizando os parâmetros da recta obtidos a partir do ajuste,
obtenha o valor de Kd ± δKd.
4. Discussão e Conclusões
1. Compare os resultados da constante elástica da mola obtidos pelos diferentes
procedimentos de análise do método estático e comente.
2. Compare também os resultados da constante elástica da mola obtidos pelos diferentes
métodos estático e dinâmico e comente.
Notas finais:
1) Se ainda não tiver os conhecimentos necessários para fazer a análise de dados sugerida,
avance até onde for possível. Poderá sempre completar o logbook numa aula posterior. Mesmo
assim, não se esqueça de anotar no logbook a forma como correu a experiência e se existem
aspectos da execução experimental que podem ser importantes na avaliação dos resultados.
2) Deixe a bancada de trabalho limpa e o material arranjado, tal como encontrou. Como sabe,
outro grupo virá executar o mesmo trabalho.
Bibliografia
[1] Tópicos sobre o trabalho laboratorial e o registo de dados experimentais, Apontamentos para a
disciplina de TLF, Cap. I, 2010/11.
[2] M.C. Abreu, L. Matias e L.F. Peralta, Física Experimental - Uma introdução, Lisboa, Editorial
Presença (1994).
[3] M. Alonso e E. Finn, Física, Addison-Wesley Iberoamericana (1999)
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