Noções Básicas de Física – Arquitectura Paisagística
Lei de Hooke
LEI DE HOOKE
INTRODUÇÃO
A Figura 1 mostra uma mola de comprimento l0, suspensa por uma das suas
extremidades. Quando penduramos na outra extremidade da mola um corpo de massa m,
a mola passa a ter um comprimento l. A mola produzirá uma força elástica (ou força
restauradora) que tende fazer com quem a mola retorne ao seu estado inicial. Esta força
é proporcional ao alongamento da mola, ∆l = l - l0, e corresponde à força elástica
Fe = − k∆l
(1)
onde k é a constante elástica da mola, e depende do material de que a mola é feita e das
suas dimensões. A relação (1) é conhecida como Lei de Hooke.
l0
l
∆l
r
Fe
m
r
P
Figura 1. Sistema massa-mola em equilíbrio.
A constante elástica pode ser determinada através de dois métodos distintos: método
estático, quando o sistema está em equilíbrio estático, e método dinâmico, quando o
sistema está em movimento.
Método estático
Quando o sistema se encontra em equilíbrio estático, o peso do corpo é totalmente
compensado pela força elástica produzida pela mola, o que permite escrever:
ou
Fe = P ,
(2)
k∆l = mg ,
(3)
onde g é a aceleração da gravidade. A unidade de k no sistema internacional é N/m.
A equação (3) estabelece que o peso do corpo é directamente proporcional ao
alongamento sofrido pela mola. Podemos utilizar essa propriedade para calibrar uma
mola e utilizá-la como um dispositivo para medir forças (dinamómetro).
Pondo em evidência ∆l em (3), obtém-se
Departamento de Física da FCT
1
Noções Básicas de Física – Arquitectura Paisagística
∆l =
Lei de Hooke
g
m,
k
(4)
A expressão anterior mostra que ∆l está relacionado com m através do factor a=g/k.
Medindo ∆l para diferentes valores de m, ter-se-á um conjunto de pontos (∆l,m), o qual
permitirá, mediante regressão linear, calcular a e, a partir desse valor, determinar a
constante da mola, k.
Método dinâmico
É possível determinar a constante elástica quando sistema não se encontra em equilíbrio
estático. Neste caso, as forças Fe e P não se anulam. Pela segunda lei de Newton tem-se
que,
Fe − P = ma ,
(5)
onde a é a aceleração do corpo. A expressão anterior é uma equação diferencial de
segunda ordem, homogénea, cuja solução geral é
y (t ) = y 0 cos(ωt + φ ) ,
(6)
em que φ é a fase inicial do movimento e ω representa a frequência angular própria de
oscilação do sistema, dada pela expressão
ω=
k
,
m
(7)
A Figura 3a mostra que uma caneta ligada ao cilindro de massa m oscilante, desenha
uma curva sinusoidal no papel que está em movimento. Verifica-se assim que o
movimento pode ser descrito através da expressão (6).
(a)
(b)
Figura 3. a) Caneta ligada ao cilindro que oscila desenhando uma curva sinusoidal; b)
Representação gráfica da função sinusoidal.
Departamento de Física da FCT
2
Noções Básicas de Física – Arquitectura Paisagística
Lei de Hooke
Como ω=2π/T (T - período das oscilações), então, de acordo com (7),
T=
2π
k
m.
(8)
A expressão anterior mostra que T está relacionado com m através do factor
a = 2π / k . Medindo T para diferentes valores de m, ter-se-á um conjunto de pontos
(T, m ), o qual permitirá, mediante regressão linear, calcular a e, a partir desse valor,
determinar a constante da mola, k.
OBJECTIVOS DA EXPERIÊNCIA
• Determinação da constante da mola pelo método estático.
• Determinação da constante da mola pelo método dinâmico.
MATERIAL UTILIZADO
Calha vertical com mola incorporada
Massas marcadas
Relógio electrónico
Detector fotoeléctrico
Régua graduada com cursores
Fios de ligação
Figura 3. Montagem experimental
Departamento de Física da FCT
3
Noções Básicas de Física – Arquitectura Paisagística
Lei de Hooke
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL E ANÁLISE DOS RESULTADOS
Método estático
1. Anote nos espaços indicados abaixo, os erros de leitura associados às escalas da
régua e da balança:
Erro de leitura da régua: ………...
Erro de leitura da balança: …………….
2. Registe a posição de equilíbrio da mola na ausência de massas:………………….
3. Pendure uma massa de 20 g e meça a nova posição de equilíbrio. Registe os
resultados na Tabela I.
4. Repita o procedimento mais 8 vezes, aumentando gradualmente a massa
suspensa de 20 g em 20 g, medindo para cada valor de massa, a posição de
equilíbrio da mola. Coloque os resultados na Tabela I.
Tabela I
m (kg)
∆l (m)
P (N)
5. Calcule o peso de cada massa e registe na Tabela I.
6. Construa o gráfico Peso versus alongamento.
7. Determine o declive da recta e o valor da constante elástica da mola, k.
Método dinâmico
1. Pendure uma massa na mola. Coloque o sistema em movimento supondo um
alongamento inicial de cerca de 0,1 m. Meça o período do movimento e registe
na Tabela II. Faça três ensaios nas mesmas condições.
Tabela II
m (kg)
∆l (m)
T1 (s)
T 2 (s)
T 3 (s)
T (s)
m (kg-1)
2. Repita o procedimento anterior com mais quatro massas diferentes. Considere
massas de 30 g em 30 g. Coloque os resultados na Tabela II.
3. Calcule o período médio, T para todas as cinco massas. Registe os resultados na
Tabela II.
4. Calcule
m para as cinco massas, e registe os resultados na Tabela II.
Departamento de Física da FCT
4
Noções Básicas de Física – Arquitectura Paisagística
5. Construa o gráfico de T em função de
Lei de Hooke
m.
6. Determine o declive da recta e calcule o valor da constante elástica, k.
7. Calcule o erro relativo percentual entre a constante elástica obtida pelo método
estático e a constante elástica obtida pelo método dinâmico.
δk =
k estático − k dinâmico
× 100
k estático
(9)
Tire conclusões a partir dos resultados obtidos.
Departamento de Física da FCT
5