OT: Acompanhamento –
Recuperação de Matemática
Números Racionais: algumas
reflexões sobre a construção do
conceito
DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011
Pauta
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Os cegos e o elefante
Cinco cegos costumavam diariamente pedir esmolas no portal de
entrada da cidade e nenhum deles, até então, havia conhecido um
elefante. Por isto, ao saberem que logo chegaria um elefante à cidade,
decidiram pedir ao dono que parasse o animal diante do portal para
que eles pudessem “ver com as mãos” o tal de elefante. E assim
acontece: o primeiro cego apalpou a lateral do elefante e disse: ela
parece um muro; o segundo apalpou uma orelha do elefante e disse:
ele é como uma grande ventarola; o terceiro apalpou uma das pernas
do elefante e disse: é como as colunas do templo; o quarto, depois de
apalpar umas das presas de marfim, concluiu: é igual a uma lança; o
quinto apalpou a tromba e disse: é uma grande cobra.
Então o elefante prosseguiu em sua viagem, enquanto os cegos,
em meio a grande falatório, não conseguiram concordar sobre o que
seria o elefante, uma vez que cada um teve uma percepção parcial do
animal.
Adaptado por Sérgio Lorenzato, livro “ Para Aprender Matemática” (2008) de Braga (1923,p.167).
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Os cegos e o elefante cont...
Essa história sugere como é falacioso pensar que, conhecendo
partes do todo, já se conhece o todo. Por isso, todos os campos da
matemática previstos no currículo oficial devem ser ensinados, e mais,
de modo integrado. Se concordarmos com as vantagens do ensino
interdisciplinar, com mais forte razão devemos professar o ensino
intradisciplinar, o qual pode ser reduzido, sinteticamente, ao ensino
integrado da aritmética, geometria e álgebra. Assim fazendo, os alunos
irão perceber a harmonia, coerência e beleza que a matemática
encerra, apesar de suas várias partes possuírem diferentes
características, tal qual uma orquestra. Além disso, seriam eliminadas
do ensino da matemática algumas prolixidades que nele persistem e,
ainda, seria facilitada a muitos estudantes a desejada aprendizagem.
No entanto, para fazer essa integração é preciso identificar pontos
de conexão entre os campos, bem como respeitar as características de
cada campo ( vocabulário, simbologia, regras, conceitos, definições).
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Objetivo
Propor algumas reflexões sobre o estudo
das frações, tentando associar as práticas
pedagógicas mais utilizadas a possíveis
problemas ou dificuldades que têm sido
observados em alunos da Educação Básica.
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I - Estudo das frações associadas
às práticas pedagógicas
ATIVIDADE 1: Conceito de Fração
Resolver individualmente, em 10 minutos a
tarefa proposta.
- Grupo 1: Problema do 4º ano (3ª série);
- Grupo 2: Problema do 7º ano (6ª série).
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II- Importância do estudo das
frações - Behr (1993)
 Perspectiva prática
Perspectiva psicológica
Perspectiva matemática
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Perspectiva Prática
Do ponto de vista prático, o
estudo do conceito de número racional
aperfeiçoa a habilidade de dividir, que
permite entender e manipular melhor
os problemas do mundo real e
construir o importantíssimo conceito
de proporcionalidade.
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Perspectiva psicológica
Na perspectiva psicológica, os números
racionais proporcionam um rico campo, dentro
do qual as crianças podem desenvolver e
expandir suas estruturas mentais para um
desenvolvimento intelectual contínuo, sendo
muito oportuno, pois normalmente são
inseridos no currículo no período da transição
do pensamento concreto para o pensamento
operatório formal.
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Perspectiva matemática
Do ponto de vista matemático, a
compreensão do número racional fornece a
base sobre a qual serão construídas mais tarde
as operações algébricas elementares. Martinez
(1992) reforça essas ideias ao argumentar que
reduzir o estudo das frações aos números
decimais, como uma extensão natural do
sistema decimal de numeração, provocaria
uma perda de experiências pré-algébricas
importantes na formação matemática dos
alunos.
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A abordagem dos números racionais tem
como primeiro objetivo levar os alunos a
perceberem que os números naturais, já
conhecidos, são insuficientes para resolver
determinados problemas.
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Em que pesem as relações entre números
naturais e racionais, a aprendizagem dos
números racionais supõe rupturas com ideias
construídas pelos alunos acerca dos números
naturais, e, portanto, demanda tempo e uma
abordagem adequada.
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Ao raciocinar sobre os números racionais
como se fossem naturais, os alunos acabam
tendo que enfrentar vários obstáculos:
Um deles está ligado ao fato de que cada
número racional pode ser representado por
diferentes ( e infinitas) escritas fracionárias;
por exemplo, 1/3, 2/6, 3/9 e 4/12 são
diferentes representações de um mesmo
número;
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Outro, diz respeito à comparação entre
racionais: acostumados com a relação 3>2,
terão que construir uma escrita que lhes parece
contraditória, ou seja, 1/3 < ½;
Se o “tamanho“ da escrita numérica era um
bom indicador da ordem de grandeza no caso
dos números naturais (8345 > 41), a
comparação entre 2,3 e 2,125 já não obedece o
mesmo critério;
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Se ao multiplicar um número natural por
outro natural (sendo este diferente de 0 ou 1) a
expectativa era a de encontrar um número maior
que ambos, ao multiplicar 10 por ½ se
surpreenderão ao ver que o resultado é menor
do que 10.
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Significados das frações
Nunes(2005), PCN e Currículo- SP
•Parte-todo
•Quociente
•Medida
•Operador
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Significado parte-todo
Idéia central – dupla contagem
A prática mais comum para explorar o conceito de fração
é a que recorre a situações em que está implícita a relação partetodo; é o caso das tradicionais divisões de um chocolate em
partes iguais.
A relação parte-todo se apresenta, portanto, quando um
todo se divide em partes (equivalentes em quantidade de
superfície ou de elementos). A fração indica a relação que existe
entre um número de partes e o total de partes.
Problema típico – Uma barra de chocolate foi
dividida em 4 partes iguais. João comeu três dessas
partes. Que fração representa o que João comeu?
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Significado Quociente
Ideia central – Divisão e existência de duas variáveis
Outro significado das frações é o de quociente; baseia-se na
divisão de um natural por outro ( a:b = a/b; b≠0). Para o aluno, ela se
diferencia da interpretação anterior, pois dividir um chocolate em 3
partes e comer 2 dessas partes é uma situação diferente daquela em
que é preciso dividir 2 chocolates para 3 pessoas.
Problema típico – Duas pizzas devem ser divididas
entre 5 crianças, represente por uma fração o que
cada criança receberá.
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Significado Medida

Ideia central – Representar uma
grandeza tomando outra como referência.
Uma terceira situação, diferente das anteriores, é aquela em que a
fração é usada como uma espécie de índice comparativo entre duas
quantidades de uma grandeza, ou seja, quando é interpretado como razão.
Isso ocorre, por exemplo, quando lidamos com informações do tipo “2 de
cada 3 habitantes de uma cidade são imigrantes”.
Outros exemplos podem ser dados: a possibilidade de sortear uma
bola verde de uma caixa em que há 2 bolas verdes e 8 bolas de outras cores
(2 em 10); o trabalho com escalas em mapas (a escala é de 1cm para
100m); a exploração da porcentagem (40 em cada 100 alunos da escola
gostam de futebol).
Problema típico – Exprimir
o comprimento do
segmento PQ em termos do comprimento do segmento RS.
P
R
Q
S
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Significado Operador
Ideia central – Valor escalar aplicado a uma
quantidade.
A essas três interpretações, bastante interessantes de
serem exploradas, acrescenta-se mais uma, que será trabalhada
nos ciclos finais do EF. Trata-se do significado da fração como
operador, ou seja, quando ela desempenha um papel de
transformação, algo que atua sobre uma situação e a modifica.
Esta ideia está presente, por exemplo, num problema do
tipo “ que número devo multiplicar por 3 para obter 2 “.
Problema típico – Dei 3/4 das balas de um pacote
de 40 balas a meus irmãos. Quantas balas dei a eles?
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Significados das operações com
racionais
Muitos dos significados das operações,
analisados em situações que envolvem
números naturais, podem ser estendidos às
situações com números racionais.
Assim, a adição e a subtração são
exploradas em situações de transformação ,
de combinação, de comparação.
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Também a multiplicação e a divisão são
exploradas em diferentes situações como razão,
comparação, configuração retangular.
Apenas o significado da multiplicação como
procedimento combinatório não é extensivo aos
números racionais não inteiros.
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As medidas e os números racionais
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III- Tabulação das respostas obtidas
na atividade 1:
Atividade 2
Classificar e tabular os exercícios apresentados
na atividade 1 segundo os significados propostos.
Que significados foram predominantes?
É possível sugerir causas para essa predominância?
É possível apontar consequências dessa
predominância?
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Tabulação das respostas obtidas na
atividade 1:
Utilize as tabelas abaixo para registrar a tabulação
dos resultados da atividade 1:
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CAFÉ = 15 MINUTOS
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IV- Representação de frações
- Kit Pedagógico -
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V- Analisando Respostas dos Alunos
ATIVIDADE 3
Para os problemas a seguir discuta e responda:
•Que significado é apresentado em cada problema?
•O que cada aluno sabe e quais suas dificuldades?
•É possível apontar causas para essas dificuldades?
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V- Analisando Respostas dos alunos
Solução 1
Solução 2
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Solução 3
V- Analisando Respostas dos Alunos
Significado:
O que sabe
Dificuldades
Solução 1:
Solução 2:
Solução 3:
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Leitura/ Interpretação/ Escrita
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VI- Vivenciando atividades do
Caderno + Matemática – vol 2
Atividade 4
Analise
algumas
das
propostas
apresentadas nos Cadernos + Matemática e
classifique quanto aos significados.
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Cadernos + Matemática - vol 2 p.61
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Cadernos + Matemática - vol 2 p.59
ATIV. 32 – Os três problemas e mais alguns
Situação 1: um pai quer repartir 3 folhas de papel de seda
entre os seus 4 filhos, de modo que todos recebam partes
iguais. Como poderá fazê-lo?
Situação 2: um menino necessita fazer 3 cartazes de mesmo
tamanho e dispõe de 5 folhas de cartolina. Para ajudá-lo a
montar os cartazes, de que maneira podemos separar as
folhas de cartolina?
Situação 3: a professora tem 4 folhas de papel sulfite para
distribuir igualmente entre os cinco alunos de um grupo, para
o trabalho de aula. Ela pede ajuda ao próprio grupo para
fazer essa operação. Como vocês resolveriam a situação?
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Cadernos + Matemática - vol 2 p.60
Escreva, usando fração, modos de representar
quanto cada uma recebeu.
4. Imagine que 2 amigas compraram juntas 3
pacotes de balas, com 10 balas em cada. Elas
querem dividir igualmente entre elas. Como
você faria essa divisão?
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Cadernos + Matemática - vol 2 p.60
ATIV. 33 – Novos problemas
1. Duas cidades A e B têm a população de 60.000 habitantes cada
uma. Metade da população da cidade A são crianças, um
quarto são jovens e os restantes são adultos. Dois quintos da
população da cidade B são crianças, dois décimos são adultos
e o restante são jovens.
a) Copie a tabela abaixo em seu caderno.
b) Preencha a tabela e responda às questões:
 Onde há mais crianças, na cidade A ou na cidade B?
 O que é maior, dois décimos ou dois quintos da população da
cidade B?
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VII - Reflexões Finais ....
Os números racionais surgiram quando os
naturais, que servem para contar, não foram mais
suficientes
para
responder
a
todas
as
necessidades do homem e sua origem veio da
necessidade de responder à questão da
comparação entre duas grandezas.
O modelo parte-todo não segue essa lógica,
e por isso acrescenta algumas dificuldades ao
processo de aprendizagem das frações.
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Manusear os diversos significados.
Ultrapassar o modelo parte - todo e reconhecer
a fração imprópria.
Construir a ideia de equivalência.
Construir a ideia de ordem.
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Encerramento
A Matemática relacionada a nossa vida
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A TODOS OS PROFESSORES PARTICIPANTES NESTA OT E AOS
PCOPS QUE INTEGRAM A EQUIPE DE APOIO.
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