Uso da Análise Dimensional na Fı́sica
Mecânica Quântica 2012/2013
José Luı́s Martins, Técnico, Lisboa
10 de Outubro de 2012
Sumário
1 Introdução à Análise Dimensional
1.1 Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Constrangimentos das Soluções de um Problema
Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Unidades Naturais e Expressões Adimensionais . .
1.4 Caso geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
2
2
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.
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4
6
7
2 Exemplo de Fı́sica Clássica
2.1 Potência do Motor de um Carro . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
3 Exemplos de Mecânica Quântica
3.1 Unidades Atómicas . . . . . . .
3.2 Viscosidade da Água . . . . . .
3.3 Constante de von Klitzing . . .
3.4 Quanta de Fluxo Magnético . .
1
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Devido às
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12
12
13
14
16
Capı́tulo 1
Introdução à Análise
Dimensional
A análise dimensional é um dos utensı́lios mais úteis da Fı́sica e da Engenharia. Dá uma quantidade enorme de informação sobre um problema com
um mı́nimo de trabalho. No entanto muitas vezes os alunos da cadira de
Mecânica Quântica do curso de Fı́sica do Técnico têm dificuldade em usar
essa ferramenta.
Estas breves notas destinam-se a ajudar os alunos de Mecânica Quântica
a manejar essa ferramenta. Em particular vamos ver como a análise dimensional nos permite obter estimativas de ordens de grandeza de algumas
quantidades, e nos dá uma indicação se estamos a observar um fenómeno
quântico num resultado experimental sem precisarmos de saber os detalhes
dessa experiência.
1.1
Unidades
A Fı́sica é uma Ciência experimental, e a grande maioria das quantidades
que são medidas não têm significado se não forem especificadas as unidades.
Dizer que se mediu uma velocidade v = 5 não quer dizer absolutamente
nada, se não se acrescentar que foram metros por segundo, quilómetros por
hora, ou léguas por semana. Um exemplo conhecido de erro de unidades foi
a desintegação em 1999 à chegada a Marte do “Mars Climate Orbiter”, uma
sonda espacial que custou 327.6 milhões de dólares, porque um dos grupos
que escreveu o software de navegação usou as unidades SI de impulso (N s)
emquanto o outro usou unidades imperiais inglesas (lbf s). . .
Quando se combinam se multiplica ou divide duas quantidades para obter
uma terceira, as unidades tambm fazem parte da respectiva operação. Se um
2
corredor fez os 100 m em 9.83 s, então a sua velocidade média foi
v=
100 m
≃ 10.17 m s−1 .
9.83 s
Se quisermos converter em quilómetros por hora, pode-se usar o método da
“regra de três” do secundário, mas é mais simples e seguro multiplicar o
resultado por uma fracção em que o numerador e denominador têm unidades
mas cujo valor é o número 1,
v ≃ 10.17 m s−1 = 10.17 m s−1
3600 s 1 km
≃ 36.6 km/h.
1 h 1000 m
Recomendo fortemente este método de multiplicação por 1 para fazer mudanças de unidades. A grande vantagem de fazer as contas com as unidades
é que permite detectar “distracções”, o que é extremamente útil em exames
e testes. O tempo que leva a escrever as unidades é mais que compensado
quando se detecta um erro. Escrever no exame que se chegou a um resultado, que está errado, mas não se teve tempo de voltar atrás para encontrar
o erro, tem certamente mais cotação parcial do que o mesmo resultado sem
comentário.
Como se obtêm novas unidades com operações algébricas levanta-se a
questão de quais são as unidades fundamentais. O sistema internacional reconhece 3 + 1 unidades fundamentais a partir das quais se definem todas as
outras: as três mecânicas que são o comprimento em metros, o tempo em
segundos e a massa em kilogramas, e uma associada aos fenómenos eléctricos
que é a corrente em Amperes. A definição dessas unidades depende da tecnologia, e portanto varia no tempo. O segundo começou por ser definido
por observações astronómicas usando como relógio a rotação da Terra em
relação às estrelas. Quando se construı́ram relógios “atómicos” que eram
mais estáveis e precisos que a rotação da Terra, a definição do segundo passou a usar um desses relógios. Esses relógios são tão precisos que a definição
do metro é obtida atribuindo um valor fixo à velocidade da luz no vácuo,
em vez da distância entre dois traços numa régua. É um “escândalo” que
no princı́pio do século XXI a unidade de massa ainda seja definida a partir
de um objecto fabricado em 1879 a partir de outro objecto padrã do século
XVIII, em vez de ter uma definição “atómica” que pode ser reproduzida em
qualquer laboratório de metrologia.
3
1.2
Constrangimentos das Soluções de um Problema Devido às Unidades
Quando se obtem uma expressão final para a solução de um problema, essa
expressão tem que ser consistente do ponto de vista das unidades. Em particular os argumentos de qualquer função especial que apareça na solução
têm que ser adimensionais. A esta afirmação exacta e “matemática” (no
sentido que é tautológica) há ainda uma regra “fı́sica” (no sentido que ajuda
à compreensão do resultado) de que as constantes numéricas da solução são
da ordem da unidade. Não há nada como um exemplo para ilustrar o que
queremos dizer com regra “fı́sica”.
Vamos analisar o pêndulo. Temos uma massa m suspensa de um fio de
comprimento l e queremos saber o perı́odo τ de oscilação desse pêndulo no
limite das pequenas amplitudes de oscilação. O terceiro dado que ainda falta
no problema é a constante de aceleração gravitacional g. O resultado final
vai ter que assumir a forma
τ = C(m, l, g)mα lβ g γ
(1.1)
onde C(m, l, g) é uma expressão sem unidades que só pode depender das
combinações adimensionais de m, l, e g, e os valores de α, β, e γ são determinados por consistência das dimensões. Usando T para indicar a unidade de
tempo, L para a unidade de comprimento e M para o comprimento (em SI
seriam segundo, metro e kilograma, mas não há necessidade de escolher um
sistema particular de unidades), e usando os parêntese rectos para indicar
as unidades, temos que,[τ ] = T , [l] = L, [m] = M e [g] = LT −2 . podemos
reescrever a equação 1.1 como
[τ ] = [C][m]α [l]β [g]γ
ou seja
T = M α Lβ Lγ T −2γ
(1.2)
igualando os expoentes de T , L e M entre os dois lados na equação 1.2
obtemos
1 = −2γ
0=β+γ
0=α
que tem como solução
α = 0,
1
β= ,
2
4
γ=−
1
2
ou seja a análise dimensional diz-nos que a solução vai ter a forma
√
l
.
τ = C(m, l, g)
g
onde C é adimensional. Mas como não há nenhuma combinação dos dados
do problema que não tenha unidades, C tem que ser uma constante, e temos
finalmente
√
l
τ =C
.
(1.3)
g
A análise dimensional não nos pode dizer qual é o valor da constante C.
Resolvendo a equação diferencial do movimento pêndulo obtem-se que C =
2π. Este coeficiente não está longe da unidade. em acordo com a regra
“fı́sica” acima enunciada. A independência do perı́odo na massa também se
obtém da análise dimensional.
O problema do pêndulo torna-se mais interessante quando consideramos
o caso em que a amplitude não é pequena. Se introduzirmos mais uma
variável no problema, a altura h a que o pêndulo vai subir, passamos a ter
que o resultado deve ter a forma
τ = C(m, l, g, h)mα lβ g γ hδ ,
Escrevendo a expressão qua dá a igualdade das unidades dos dois lados desta
equação obtemos
T = M α Lβ Lγ T −2γ Lδ .
Igualando os expoentes de T , L e M dos dois lados obtemos três equações a
quatro incógnitas que têm uma famı́lia de soluções
α = 0,
1
β= ,
2
1
γ+δ =− .
2
Do ponto de vista da Matemática não há uma solução que seja preferı́vel a
outra. Mas em Fı́sica a nossa “intuição” sugere que se relacione este caso
com o anterior, o que se obtem com a escolha do caso particular δ = 0, o que
dá
√
l
.
τ = C(m, l, g, h)
g
onde mais uma vez C(m, l, g, h) é uma função arbitrária sem dimensões.
Para não ter dimensões essa função só pode depender das combinações adimensionais dos dados do problema. Só a combinação h/l e semelhantes é
5
adimensional, pelo que vamos ter o resultado final da análise dimensional
√
(h) l
,
(1.4)
τ =C
l
g
onde agora C é uma função de uma variável. A compatibilidade com o caso
das pequenas oscilações (Eq. 1.3) implica que C(0) = 2π.
Resolvendo a equação diferencial obtemos que
√
∫ π/2
l ( (1
h ))
1
√
τ (l, g, h) = 4
K sin arccos(1− )
K(y) =
du.
g
2
l
1 − y 2 sin2 u
0
(1.5)
Neste exemplo de uma expressão complicada, vemos que temos a combinação
de dados que dá a dimensionalidade certa, e uma função de combinações adimensionais dos dados do problema. As constantes numéricas que aparecem
são todas da ordem da unidade.
Note que na literatura experimental se encontra por vezes uma quebra da
regra que o argumento de uma função transcendente tem que ser adimensional para o caso da função logaritmo. Como log(a b) = log(a) + log(b) tal é
possı́vel matematicamente, mas deve ser fortemente desencorajado.
1.3
Unidades Naturais e Expressões Adimensionais
Como o sistema internacional (SI) foi definido de modo a estar feito à escala
humana, raramente encontramos a necessidade de usar “unidades naturais”
para um problema. Mas quando saı́mos dessa escala, é sempre útil trabalharmos com um sistema de unidades naturais escolhidas de acordo com o
problema.
Voltando ao exemplo do pêndulo, vamos supor que queremos descrever
como é que no caso da amplitude finita de oscilação desvia do limite das
pequenas amplitudes. Para cada comprimento de pêndulo l e para cada
planeta g vamos ter um resultado diferente visto que temos que τ é uma
função de l, g, e h. representar graficamente uma função de três variáveis é
sempre complicado, e sem uma boa representação gráfica dificilmente temos
a compreensão do problema. Mas se em vez de medirmos as distâncias em
metros, medirmos em unidades de l e em vez de √
medirmos os intervalos de
l/g, ou seja passamos a
tempo em segundos medirmos
em
unidades
de
√
ter um perı́odo τ̃ = τ / l/g e uma altura h̃ = h/l, a expressão para a
6
dependência do perı́odo na amplitude passa a ser
(1
))
τ̃ = C(h̃) = 4K sin arccos(1 − h̃)
2
∫
(
π/2
√
1
du.
1 − y 2 sin2 u
(1.6)
ou seja uma simples função τ̃ (h̃) que podemos facilmente representar num
gráfico.
Podemos dizer que τ̃ é o valor numérico do perı́odo nas unidades naturais
de tempo, ou que o perı́odo é τ̃ unidades naturais de tempo.
1.4
K(y) =
0
Caso geral
Vamos supor que queremos obter uma equação que nos dá o valor de uma
quantidade b, o “resultado” em função de n “dados” {a1 , . . . , an }. Para
simplificar vamo-nos restringir ao caso mecânico, ou seja sem grandezas
eléctricas. Queremos saber quais são as combinações algébricas ax1 1 ax2 2 . . . axnn
que têm as mesmas dimensões que b. Sejam [b] = M βM LβL T βT as dimensões
de b, e [ai ] = M αM i LαLi T αT i as dimensões de ai . De [ax1 1 ax2 2 . . . axnn ] = [b]
vamos obter que
)x n
)x 2
(
)x 1 (
(
= M βM LβL T βT .
. . . M αM n LαLn T αT n
M αM 2 LαL2 T αT 2
M αM 1 LαL1 T αT 1
(1.7)
Igualando os expoentes de M , L, e T , dos dois lados da equação 1.7 obtemos
um sistema de 3 equações lineares a n incógnitas
αM 1 x1 + αM 2 x2 + . . . + αM n xn = βM
αL1 x1 + αL2 x2 + . . . + αLn xn = βL
αT 1 x1 + αT 2 x2 + . . . + αT n xn = βT .
(1.8)
Geometricamente este problema corresponde a encontrar a intersecção de três
hyper-planos num espaço de n dimensões. Nesse espaço os vectores VM =
(αM 1 , αM 2 , . . . , αM n ), VL = (αL1 , αL2 , . . . , αLn ) e VT = (αT 1 , αT 2 , . . . , αT n )
são perpendiculares a esses três planos. As equações1.8 podem ser reescritas
VM · X = βM , VL · X = βL , e VT · X = βT , onde X = (x1 , x2 , . . . , xn ) é o
vector das soluções.
A solução d0 sistema de equações 1.8 é bem conhecida. O subespaço
gerado pelos vectores VM , Vl , e VT tempode ter a dimensão m = 1, 2, ou 3.
Nos casos m = 1 ou m = 2, o sistema pode não ter soluções, o que indica
uma má escolha dos dados. No caso m = 3 ou de haver uma solução para
7
m = 1, 2, esta é
X=X
(0)
+
n−m
∑
γi Y (i)
i=1
a soma de uma solução particular X (0) com as n − m soluções linearmente
(i) (i)
(i)
independentes Y (i) = (y1 , y2 , . . . , yn ) do sistema homogénio,
αM 1 y1 + αM 2 y2 + . . . + αM n yn = 0
αL1 y1 + αL2 y2 + . . . + αLn yn = 0
αT 1 y1 + αT 2 y2 + . . . + αT n yn = 0,
(1.9)
com coeficientes γi arbitrários. A Matemática não nos diz qual é “melhor”
escolha para a solução particular, mas na discussão do pêndulo vimos que
pode haver uma solução preferı́vel do ponto de vista da Fı́sica.
As soluções do sistema homogénio dizem-nos quais são as combinações
dos dados que são adimensionais. Vamos definir as grandezas adimensionais
y
(i)
y
(i)
(i)
c(i) = a11 a22 . . . aynn
Mais uma vez a matemática não nos diz qual é a “melhor” escolha das
soluções linearmente independentes, mas a Fı́sica vai indicar que certas escolhas são mais úteis que outras. A expressão do resultado desejado em função
dos dados do problema vai ter a forma
x0 x0
0
b = a1 1 a2 2 . . . axnn f (c(1) , c(2) , . . . , c(n−m) )
onde a função f (c(1) , c(2) , . . . , c(n−m) ) não é especificada, mas onde podemos
esperar pela Fı́sica que os coeficientes numéricos que nela aparecem devem
ser da ordem da unidade.
8
Capı́tulo 2
Exemplo de Fı́sica Clássica
2.1
Potência do Motor de um Carro
Para ilustrar a utilidade da análise dimensional vamos calcular a potência
P que um carro precisa para vencer a resistência do ar a uma velocidade
v = 100 km/h. O carro precisa de “afastar” o ar do caminho, pelo que
precisamos de usar a sua densidade ρ = 1.2 kg m−3 , e também precisa de
vencer o efeito da viscosidade do ar η = 18 × 10−6 Pa s. A resistência do
ar vai depender do tamanho e forma do carro, Vamos usar para a dimensão
tı́pica de um carro, l = 2 m. Como referência, um Ferrari fórmula 1 actual
tem cerca de 550 kW, enquanto que o menor motor do FIAT seicento tinha
29 kW.
A lista das dimensões do resultado e dos dados (excluindo a lista das
dimensões que descrevem a forma do carro) é
[P ] = M L2 T −3
[v] = LT −1
[l] = L
[ρ] = M L−3
[η] = M L−1 T −1 .
(
)λ
A combinação adimensional dos 4 dados tem a forma geral η/ρvl com
λ arbitrário, não nulo. A combinação mais geral que dá as dimensões de
potência é ρ1−µ l2−µ v 3−µ η µ com µ arbitrário.
A matemática não nos vai indicar qual é a melhor escolha de λ e µ para
analisar o problema. Mas a “intuição Fı́sica” pode-nos ajudar. Os dados
v e l dizem respeito ao carro, e portanto são “importantes”. Precisamos
de escolher um terceiro dado entre ρ e η como “importante”. Escolher ρ
9
como “importante” corresponde a usar µ = 0 e λ = 1, porque a viscosidade
desaparece da nossa escolha da combinação com a dimensão de potência,
e a combinação adimensional é proporcional à viscosidade, representando
portanto o seu valor em “unidades naturais”. Escolher η como importante
corresponde a usar µ = 1 e λ = −1.
Fazendo a escolha de ρ como “importante” vamos ter
)
( η
, “forma”
P = ρ1 l 2 v 3 f
ρvl
com
ρ1 l2 v 3 ≃ 1.2 kg m−3 (2 m)2 (28 m/s)3 ≃ 1 × 105 kg m2 s−3 ≃ 100 kW
e
η
18 × 10−6 Pa s
≃ 0.0012.
≃
ρvl
1.2 kg m−3 28 m/s2 m
Como este parâmetro é pequeno, podemos assumir uma série de Taylor para
a função f ,
P = ρ1 l2 v 3 f (0, “forma”) + ρ1 l2 v 3
η ′
f (0, “forma”) + . . .
ρvl
(2.1)
onde os coeficientes f (0, “forma”) e f ′ (0, “forma”), são da ordem da unidade.
A análise dimensional indica que a potência do motor de um carro tem de ser
da ordem dos 100 kW, e que a viscosidade do ar é uma pequena correcção,
o que é confirmado pela experiência.
Se tivéssemos feito a escolha da viscosidade como “importante” terı́amos
encontrado que o coeficiente ρvl
era muito maior que a unidade indicando
η
que a escolha era má do ponto de vista da análise do problema.
O coeficiente f (0, forma) é fornecido pelos fabricantes de automóveis (com
um faxtor 2 extra, e com l a raiz quadrada da secção do carro vista de frente)
e é conhecido como o factor cx ou cd .
(http://en.wikipedia.org/wiki/Automobile drag coefficient)
Note que para formas extremamente compridas, como um avião ou um
comboio, não podemos supor que f ′ (0, “forma”) é da ordem da unidade porque existem razões entre dimensões que são grandes, e nesses casos a viscosidade do ar também é importante.
Se tivessemos feito esta mesma análise com a gota de óleo da experiência
de Millikan, chegarı́amos à conclusão que o dado “importante” era a viscosidade porque v e l são pequenos.
Se na análise tivessemos encontrado que a grandeza adimensional era da
ordem da unidade, qualquer das escolhas era justificável, mas não poderı́amos
10
assumir que os primeiros termos da série de Taylor dessem uma aproximação
razoável.
Enquanto que as soluções das equações1.8 e 1.9 para este problema podem
ser feitos pelo método geral, podemos rapidamente encontrá-las sem ter que
escrever o sistema de equações. Escolhendo ρ como dado “principal”, vemos
que a dimensão T só aparece em v e a dimensão M em ρ pelo os coeficientes
dessas quantidades são obtidos directamente.
11
Capı́tulo 3
Exemplos de Mecânica
Quântica
3.1
Unidades Atómicas
A ligação quı́mica entre átomos é feita por electrões. As principais caracterı́sticas dos electrões são a sua massa me e a sua carga −|e|. A pricipal
e2
força entre electrões é electrostática, sendo a constante de acoplamento 4πε
.
0
Finalmente a ligação quı́mica é um fenómeno quântico pelo que temos que
ter em conta a constante da natureza ~ (constante de Planck).
Com estas quatro constantes podemos construir um sistema de “unidades
atómicas” que nos vai dar a ordem de grandeza de tudo o que tem a ver com
a ligação quı́mica, ou seja tudo o que tem a ver com materiais e moléculas.
Incluindo a interacção dos materiais com a luz estamos a considerar quase
toda a fı́sica com implicações tecnológicas! (A principal área que da fı́sica
tecnológica que não tem a ver com electrões ou fotões é a Fı́sica Nuclear.)
Olhando para as combinações destas quatro constantes podemos obter
muitas ordens de grandeza dos fenómenos atómicos. A combinação com a
dimensão de energia é
( 2 )2
e
me 4πε
0
EH =
≃ 43.60 × 10−19 J ≃ 27.212 eV
(3.1)
2
~
e é conhecida como a constante de energia de Hartree. A energia de ionização
do átomo de hidrogénio é EH /2, e o valor tı́pico da energia das ligações
quı́micas são da ordem de alguns eV. Vemos assim que EH nos dá a escala
de energia dos fenómenos quı́micos.
Para passar a fenómenos eléctricos obtemos facilmente a escala da tensão,
EH /|e| ≃ 27.212 V, ou seja da ordem do Volt. A tensão das pilhas, dos
12
dı́odos, ou dos transistores é da ordem do Volt. É uma combinação destas
quatro constantes que marca a escala das tensões na electrónica que nos
rodeia..
A combinação com a dimensão de comprimento é
a0 =
~2
e2
me 4πε
0
≃ 0.529 × 10−10 m ≃ 0.529 Å
(3.2)
e é conhecido como o raio de Bohr. Os comprimentos de ligação quı́mica
são da ordem de alguns Angstroms, ou seja da ordem da unidade atómica de
comprimento.
A combinação com a dimensão de velocidade é
e2
4πε0
≃ 2.19 × 106 m/s.
(3.3)
~
Este valor é cerca de duas ordens de grandeza inferior à velocidade da luz.
Isto indica que os efeitos relativistas são normalmente pequenos, mas não
desprezáveis. Nalgumas circunstâncias os efeitos relativistas até são importantes, como seja o caso da quı́mica dos elementos pesados.
A combinação com a dimensão de tempo é
~
=
EH
me
~3
1.0546 × 10−34 J s
≃ 2.42 × 10−17 s
(
)2 ≃
−19 J
2
43.60
×
10
e
(3.4)
4πε0
que nos dá a escala dos tempos tı́picos dos fenómenos atómicos.
Quando consideramos a interacção dos materiais com a luz, temos de
considerar as propriedades dos fotões. A principal caracterı́stica dos fotões
é a sua velocidade c, outra constante da Natureza. Com a velocidade da
luz e as 4 constantes acima mencionadas podemos construir uma grandeza
adimensional
e2
1
4πε0
α=
≃
(3.5)
~c
137.036
que é conhecida como a constante de estrutura fina, e é a razão entre a
velocidade tı́pica anteriormente calculada e a velocidade da luz. As correcções
relativistas vão ser da ordem de α2 . O próprio valor da constante de Hartree
é EH = α2 me c2 .
3.2
Viscosidade da Água
Vamos ver um exemplo de uma grandeza macroscópica onde não é óbvio
que a sua ordem de grandeza contém um factor ~, e como tal seja um valor
“quântico”.
13
A viscosidade da água à temperatura ambiente é da ordem de η =
10−3 N s m−2 . Este valor é usado por engenheiros civis, mecânicos, quı́micos,
que nunca se questionam sobre a origem da ordem de grandeza dessa propriedade. Mas nas interacções microscópicas subjacentes aos fenómenos de
viscosidade aparecem as constantes associadas aos electrões.
Olhando para as dimensões do resultado, η e dos dados temos que
[η] = M L−1 T −1
[~] = M L2 T −1
[
e2
] = M L3 T −2
4πε0
[me ] = M
de onde obtemos que a combinação com a dimensão de viscosidade é
( 2 )3
e
3
me 4πε
(9.11 × 10−31 kg)3 (2.307 × 10−28 J m)3
0
≃
≃ 0.0007 kg m−1 s−1 .
5
−34
5
~
(1.0546 × 10
J m)
que é da ordem de grandeza da viscosidade da água à temperatura ambiente. Olhando para as potências de 10 na expressão anterior, dificilmente
este resultado poderia ser uma coincidência. Este exemplo mostra como a
constante de Planck está por detrás de muitas das ordens de grandezas das
propriedades dos materiais usadas pelos engenheiros.
3.3
Constante de von Klitzing
A figura 3.1 mostra a resistência de uma amostra de grafeno em função da
tensão aplicada numa “gate” para 4 valores do campo magnético aplicado
perpendicularmente à amostra. Observam-se vários patamares de resistência
que foram interpretados como um fenómeno quântico. Trata-se do efeito Hall
quântico cujos detalhes necessitam de conhecimentos que um aluno de uma
cadeira de introdução à Mecânica Quântica ainda não tem. No entanto com
análise dimensional podemos compreender porque é que o nome do efeito
contém o adjectivo “quântico”.
Na figura temos as grandezas resistência R, tensão Vg e campo magnético B.
14
Figura 3.1: A resistência de uma amostra de grafeno em função da tensão
aplicada numa “gate” é mostrada para 4 valores do campo magnético aplicado perpendicularmente à amostra. Observam-se vários patamares de resistência. A escala vertical é logarı́tmica.
Olhando para as dimensões destes “resultados” e dos “dados” temos que
[R] = M L2 T −1 Q−2
[Vg ] = M L2 T −2 Q−1
[B] = M T −1 Q−1
[~] = M L2 T −1
e2
] = M L3 T −2
[
4πε0
[me ] = M
[e] = Q
de onde obtemos que a combinação com a dimensão de resistência é
RK
~
1.0546 × 10−34 J s
= 2 ≃
≃ 4.1 × 103 Ω,
−19
2
2π
e
(1.602 × 10
C)
15
que corresponde à escala de valores vertical, e onde RK é conhecida como a
constante de von Klitzing.
Os patamares observados para a resistência são da boa ordem de grandeza
para corresponderem a um efeito quântico, e a nossa análise dimensional dá
o valor desses patamares (múltiplos inteiros de RK ) a um factor de 2π. Em
amostras de melhor qualidade estes patamares são tão precisos, que há quem
queira definir a unidade de massa numa próxima revisão do sistema SI a
partir deste efeito.
Para a tensão já tı́nhamos visto que a escala relevante era 27.212 V, de
modo que estamos na escala certa para termos saltos.
Para o campo mgnético a combinação dos dados que tem a dimensão
apropriada é
( 2 )2
e
m2e 4πε
me E H
(9.11 × 10−31 kg)2 (2.307 × 10−28 J m)2
0
=
≃
≃ 2.35×105 kg/Cs
|e|~3
~|e|
1.602 × 10−19 C(1.0546 × 10−34 J s)3
que é muito maior que os valores da figura. O que isto quer dizer é que estamos no limite dos pequenos campos magnéticos e que se vı́ssemos um “filme
dos dados” em que o campo magnético fosse aumentado continuamente, observarı́amos que as curvas se moviam sem saltos.
3.4
Quanta de Fluxo Magnético
Outro exemplo de um fenómeno quântico macroscópico em grafeno pode ser
observado na Fig. 3.2 tirada da revista Science de 7 de Setembro de 2012. As
grandezas que aparecem na figura são a densidade superficial de portadores n,
com valores tı́picos de 1015 m−2 , o campo magnético perpendicular à amostra,
B, que vai até aos 12 T, e a derivada do potencial quı́mico µ em relação à
densidade que vai até cerca de 5 × 10−17 eV m2 . Tal como no caso anterior
está-se a observar um efeito de Hall quântico, e sem entrar nos detalhes do
efeito, só queremos analisar a figura para justificar o adjectivo “quântico”.
Da figura vê-se que há algo de especial com certos declives B/n na figura,
de modo que vamos incluir também este declive nos resultados que queremos
16
Figura 3.2: A resistência de uma amostra de grafeno em função da tensão
aplicada numa “gate” é mostrada para 4 valores do campo magnético aplicado perpendicularmente à amostra. Observam-se vários patamares de resistência. A escala vertical é logarı́tmica.
analisar. Olhando para as dimensões dos resultados e dos dados temos que
[n] = L−2
[B] = M T −1 Q−1
dµ
[ ] = M L4 T −2
dn
B
[ ] = M L2 T −1 Q−1
n
[~] = M L2 T −1
e2
] = M L3 T −2
[
4πε0
[me ] = M
[e] = Q
17
Usando os resultados das secções anteriores temos que o valor tı́pico de portadores por unidade de área é
20
a−2
m−2
0 ≃ 3.6 × 10
pelo que os valores da densidade superficial são pequenos. Tı́nhamos visto
anteriormente que a unidade atómica do campo magnético era 2.35 × 105 T
pelo que os valores de B também são pequenos. Ambos os eixos da figura
são numa escala pequena, explicando porque só vemos rectas nessa figura.
Para a derivada do potencial quı́mico em relação à densidade dos portadores
de carga temos que a correspondente combinação das constantes é
~2
(1.0546 × 10−34 J s)2
≃
≃ 1.22 × 10−38 J m2 ≃ 7.6 × 10−20 eV m2
me
9.11 × 10−31 kg
pelo que o que se observa tem uma escala maior do que a correspondente
unidade atómica.
Para o declive das rectas vamos ter a simples combinação
Φ0
~
1.0546 × 10−34 J s
=
≃
≃ 6.58 × 10−16 J s C−1
π
|e|
1.602 × 10−19 C
onde Φ0 é o quanta de fluxo magnético. Do gráfico vemos que a recta indicada
com “1” o campo magnético toma um valor de 9 T para uma densidade de
2 × 1015 m−2 o que dá um declive de aproximadamente 4.5 × 10−15 m2 que
a um factor de 2π é o valor obtido acima. Estamos portanto na escala certa
para vermos “saltos” nos resultados associados ao declive, que é o que se
observa na figura.
Em experiências com materiais supercondutores obtem-se um valor muito
estável de Φ0 . Combinando Φ0 = 2π~/|e| com RK = 2π~/|e|2 , vemos que
2π~ = Φ20 /RK . Num futuro sistema de unidades SI em que a massa não
vai ser definida por um objecto, o mais provável é serem escolhidos valores
exactos para duas das quatro constantes |e|, 2π~, Φ0 = 2π~/|e| ou RK =
2π~/|e|2 , da mesma maneira que no actual sistema SI a velocidade da luz tem
um valor exacto. Como Φ0 e RK são reprodutı́veis com enorme precisão tudo
aponta que sejam estas as constantes escolhidas para numa futura revisão do
sistema SI.
18