Metrologia
O que são algarismos
significativos
Algarismos
O mundo da metrologia é quantitativo e depende de números, dados e cálculos
Da Redação
A
tualmente, os cálculos são feitos com calculadoras
eletrônicas e computadores, que executam desde
operações simples de aritmética até operações
que um engenheiro nunca seria capaz de fazer
manualmente. Os computadores se tornam uma parte
dominante da tecnologia, não apenas para os engenheiros mas
para toda sociedade. As calculadoras e computadores podem
apresentar os resultados com muitos algarismos, porém o
resultado final deve ter o número de algarismos significativos
de acordo com os dados envolvidos.
Quando se executam cálculos de engenharia e apresentamse os dados, deve-se ter em mente que os números sendo
usados tem somente um valor limitado de precisão e exatidão.
Quando se apresenta o resultado de um cálculo de engenharia,
geralmente se copiam oito ou mais dígitos do display de uma
calculadora. Fazendo isso, deduz-se que o resultado é exato
até oito dígitos, um tipo de exatidão que é raramente possível
na prática da engenharia. O número de dígitos que podem ser
apresentados é usualmente muito menos que 8, por que ele
depende de problemas particulares e envolve outros conceitos
de algarismos significativos, precisão, tolerância, resolução e
conversão.
Assim, dígito é qualquer um dos numerais arábicos 0,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Algarismo ou dígito significativo em
um número é o dígito que pode ser considerado confiável
como um resultado de medições ou cálculos. O algarismo
significativo correto expressa o resultado de uma medição
de forma consistente com a precisão medida. O número de
algarismos significativos em um resultado indica o número
de dígitos que pode ser usado com confiança. Os algarismos
significativos são todos aqueles necessários na notação
científica. Qualquer dígito, entre 1 e 9 e todo zero que não
anteceda o primeiro dígito não zero e alguns que não sucedam
o último dígito não zero é um algarismo significativo. O status
do zero é ambíguo, por que o zero também é usado para
indicar a magnitude do número.
Por exemplo, não há dificuldade em determinar a
quantidade de algarismos significativos dos seguintes
números: 708 – 3 algarismos significativos; 54,9 – 3 algarismos
significativos; 3,6 – 2 algarismos significativos; 8,04 – 3
algarismos significativos; 980,9 – 4 algarismos significativos;
0,83006 – 5 algarismos significativos. Em um número, o dígito
menos significativo é o mais à direita, dígito mais significativo
é o mais à esquerda. Por exemplo, no número 2345, 2 é o
dígito mais significativo e 5 é o menos significativo. Para
qualquer número associado à medição de uma grandeza,
os algarismos significativos devem indicar a qualidade
da medição ou computação sendo apresentada. Os dados
de engenharia e os resultados de sua computação devem
ser apresentados com um número correto de algarismos
significativos, para evitar de dar uma impressão errada de
sua exatidão. A quantidade de algarismos significativos está
associado à precisão, exatidão e ao método de obtenção destes
dados e resultados.
O zero nem sempre é algarismo significativo, quando
incluído em um número, pois ele pode ser usado como
parte significativa da medição ou pode ser usado somente
para posicionar o ponto decimal. Por exemplo, no número
804,301 os dois zeros são significativos pois estão intercalados
entre outros dígitos. Porém, no número 0,0007, os zeros
são necessários para posicionar a vírgula e dar a ordem de
grandeza do número e por isso pode ser ou não significativo.
Porém, se o número 0,0007 for a indicação de um instrumento
digital, ele possui quatro algarismos significativos. Também
Metrologia
Algarismos
significativos são todos aqueles necessários na notação científica.
Qualquer dígito, entre 1 e 9 e todo zero que não anteceda o primeiro
dígito não zero e alguns que não sucedam o último dígito não zero
é um algarismo significativo. O status do zero é ambíguo, por que o
zero também é usado para indicar a magnitude do número.
Por exemplo, não há dificuldade em determinar a quantidade de
algarismos significativos dos seguintes números: 708 – 3 algarismos
significativos; 54,9 – 3 algarismos significativos; 3,6 – 2 algarismos
significativos; 8,04 – 3 algarismos significativos; 980,9 – 4 algarismos
significativos; 0,83006 – 5 algarismos significativos. Em um
número, o dígito menos significativo é o mais à direita, dígito mais
significativo é o mais à esquerda. Por exemplo, no número 2345, 2 é
o dígito mais significativo e 5 é o menos significativo. Para qualquer
número associado à medição de uma grandeza, os algarismos
significativos devem indicar a qualidade da medição ou computação
sendo apresentada. Os dados de engenharia e os resultados de sua
computação devem ser apresentados com um número correto de
algarismos significativos, para evitar de dar uma impressão errada
de sua exatidão. A quantidade de algarismos significativos está
associado à precisão, exatidão e ao método de obtenção destes dados
e resultados.
O zero nem sempre é algarismo significativo, quando incluído
em um número, pois ele pode ser usado como parte significativa
da medição ou pode ser usado somente para posicionar o ponto
decimal. Por exemplo, no número 804,301 os dois zeros são
significativos pois estão intercalados entre outros dígitos. Porém, no
número 0,0007, os zeros são necessários para posicionar a vírgula
e dar a ordem de grandeza do número e por isso pode ser ou não
significativo. Porém, se o número 0,0007 for a indicação de um
instrumento digital, ele possui quatro algarismos significativos.
Também no número 20 000 os zeros são necessários para dar a
ordem de grandeza do número e por isso nada se pode dizer acerca
de ser ou não ser significativo. Assim o zero nos números 20 000 e
0,007 é ambíguo e mais informação é necessária para dizer se o zero
é significativo ou não. Quando não há informação adicional, se diz
que 0,0007 e 20 000 possuem apenas 1 algarismo significativo. No
número 2,700, os zeros não são necessários para definir a magnitude
deste número mas são usados propositadamente para indicar que
são significativos e por isso 2,700 possui quatro dígitos significativos.
Todos os números associados à uma medição de uma grandeza
física devem ter os algarismos significativos correspondentes à
precisão do instrumento de medição. Um voltímetro analógico
indica uma tensão de de 1,45 V.
O último algarismo, 5, é duvidoso e foi arbitrariamente escolhido.
Alguém poderia ler 1,49 e a leitura estaria igualmente correta. Os
algarismos confiáveis são apenas o 1 e o 4; o último é estimado e
duvidoso. O voltímetro com uma escala com esta graduação pode
dar, no máximo, três algarismos significativos. É errado dizer que
a indicação é de 1,450 ou 1,4500, pois está se superestimando a
precisão do instrumento. Do mesmo modo, é impreciso dizer que
a indicação é de 1,4 pois agora está se subestimando a precisão do
indicador e não usando toda sua capacidade. Na medição 1,45, o
dígito 4 é garantido e no número 1,4 o dígito 4 é duvidoso. Para
que o dígito 4 seja garantido é necessário que haja qualquer outro
algarismo duvidoso depois dele.
Na expressão da medição, o valor é sempre aproximado e deve
ser escrito de modo que todos os dígitos decimais, exceto o último,
sejam exatos. O erro admissível para o último dígito decimal não
deve exceder a 1. Por exemplo, uma resistência elétrica de 1,35
W é diferente de uma resistência de 1,3500 W. Com a resistência
elétrica de R = 1,35 W, tem-se erro de ±0,01 W, ou seja, 1,34 W < R
< 1,36 W. Para a outra resistência de R = 1,3500 W a precisão é de
0,0001 W, ou seja, 1,3499 W < R < 1,3501 W. Se o resultado de um
cálculo é R = 1,358 W e o terceiro dígito depois da vírgula decimal
é incorreto, deve-se escrever R = 1,36 W. Devem ser seguidas regras
para apresentar e aplicar os dados de engenharia na medição e nos
cálculos correspondentes. As vezes, os engenheiros e técnicos não
estão preocupados com os algarismos significativos.
Outras vezes, as regras não se aplicam. Por exemplo, quando
se diz que 1 pé = 0,3048 metro ou 1 libra = 0,454 kilograma, o
dígito 1 é usado sozinho. O mesmo se aplica quando se usam
números inteiros em equações algébricas. Por exemplo, o raio
de um circuito é a metade do diâmetro e se escreve: r = d/2.
Na equação, não é necessário escrever que r = d/2,0000, pois se
entende que o 2 é um número inteiro exato.
Outra confusão que se faz na equivalência se refere ao
número de algarismos significativos. Obviamente, 1 km
equivale a 1.000 metros porém há diferenças práticas. Por
exemplo, o odômetro do carro, com 5 dígitos pode indicar
89.423 km rodados, porém isso não significa 89.423.000
metros, pois ele deveria ter 8 dígitos. Se o odômetro tivesse 6
dígitos, com medição de 100 metros, ele indicaria 89.423,6 km.
Por exemplo, as corridas de atletismo de rua tem distâncias
de 10 km, 15 km e 21 km. As corridas de pista são de 100 m,
800 m, 5.000 m e 10 000 m. Quem corre 10 km numa corrida
de rua correu aproximadamente 10.000 metros. A distância foi
medida por carro, por bicicleta com odômetro calibrado ou
por outros meios, porém, não é possível dizer que a distância é
exatamente de 10.000 m. Porém, quem corre 10 000 metros em
uma pista olímpica de 400 metros, deve ter corrido exatamente
10 000 metros. A distância desta pista foi medida com uma
fita métrica, graduada em centímetros. Poucas maratonas no
mundo são reconhecidas e certificadas como de 42 195 km,
pois a medição desta distância é complicada e cara.
Independente da tecnologia ou da função, um instrumento
pode ter display ou visor analógico ou digital. O primeiro mede
uma variável que varia continuamente e apresenta o valor
medido através da posição do ponteiro em uma escala.
Quanto maior a escala e maior o número de divisões da
escala, melhor a precisão do instrumento e maior quantidade
de algarismos significativos do resultado da medição. O
indicador digital apresenta o valor medido através de números
ou dígitos. Quanto maior a quantidade de dígitos, melhor a
precisão do instrumento. O indicador digital conta dígitos
ou pulsos. Quando o indicador digital apresenta o valor de
uma grandeza analógica, internamente há uma conversão
analógico-digital e, finalmente, uma contagem dos pulsos
correspondentes.
Metrologia
Algarismos
no número 20 000 os zeros são necessários para dar a ordem
de grandeza do número e por isso nada se pode dizer acerca
de ser ou não ser significativo.
Assim o zero nos números 20 000 e 0,007 é ambíguo e mais
informação é necessária para dizer se o zero é significativo ou
não. Quando não há informação adicional, se diz que 0,0007 e
20 000 possuem apenas 1 algarismo significativo. No número
2,700, os zeros não são necessários para definir a magnitude
deste número mas são usados propositadamente para indicar
que são significativos e por isso 2,700 possui quatro dígitos
significativos.
Todos os números associados à uma medição de uma
grandeza física devem ter os algarismos significativos
correspondentes à precisão do instrumento de medição. Um
voltímetro analógico indica uma tensão de de 1,45 V. O último
algarismo, 5, é duvidoso e foi arbitrariamente escolhido.
Alguém poderia ler 1,49 e a leitura estaria igualmente correta.
Os algarismos confiáveis são apenas o 1 e o 4; o último
é estimado e duvidoso. O voltímetro com uma escala com
esta graduação pode dar, no máximo, três algarismos
significativos. É errado dizer que a indicação é de 1,450
ou 1,4500, pois está se superestimando a precisão do
instrumento. Do mesmo modo, é impreciso dizer que a
indicação é de 1,4 pois agora está se subestimando a precisão
do indicador e não usando toda sua capacidade. Na medição
1,45, o dígito 4 é garantido e no número 1,4 o dígito 4 é
duvidoso. Para que o dígito 4 seja garantido é necessário que
haja qualquer outro algarismo duvidoso depois dele.
Na expressão da medição, o valor é sempre aproximado e
deve ser escrito de modo que todos os dígitos decimais, exceto
o último, sejam exatos. O erro admissível para o último dígito
decimal não deve exceder a 1. Por exemplo, uma resistência
elétrica de 1,35 W é diferente de uma resistência de 1,3500
W. Com a resistência elétrica de R = 1,35 W, tem-se erro de
±0,01 W, ou seja, 1,34 W < R < 1,36 W. Para a outra resistência
de R = 1,3500 W a precisão é de 0,0001 W, ou seja, 1,3499
W < R < 1,3501 W. Se o resultado de um cálculo é R = 1,358
W e o terceiro dígito depois da vírgula decimal é incorreto,
deve-se escrever R = 1,36 W. Devem ser seguidas regras para
apresentar e aplicar os dados de engenharia na medição e nos
cálculos correspondentes. As vezes, os engenheiros e técnicos
não estão preocupados com os algarismos significativos.
Outras vezes, as regras não se aplicam. Por exemplo,
quando se diz que 1 pé = 0,3048 metro ou 1 libra = 0,454
kilograma, o dígito 1 é usado sozinho. O mesmo se aplica
quando se usam números inteiros em equações algébricas. Por
exemplo, o raio de um circuito é a metade do diâmetro e se
escreve: r = d/2. Na equação, não é necessário escrever que r =
d/2,0000, pois se entende que o 2 é um número inteiro exato.
Outra confusão que se faz na equivalência se refere ao
número de algarismos significativos. Obviamente, 1 km
equivale a 1.000 metros porém há diferenças práticas. Por
exemplo, o odômetro do carro, com 5 dígitos pode indicar
89.423 km rodados, porém isso não significa 89.423.000
metros, pois ele deveria ter 8 dígitos. Se o odômetro tivesse
6 dígitos, com medição de 100 metros, ele indicaria 89.423,6
km.
Por exemplo, as corridas de atletismo de rua tem distâncias
de 10 km, 15 km e 21 km. As corridas de pista são de 100 m, 800
m, 5.000 m e 10 000 m. Quem corre 10 km numa corrida de rua
correu aproximadamente 10.000 metros. A distância foi medida por
carro, por bicicleta com odômetro calibrado ou por outros meios,
porém, não é possível dizer que a distância é exatamente de 10.000
m. Porém, quem corre 10 000 metros em uma pista olímpica de 400
metros, deve ter corrido exatamente 10 000 metros. A distância desta
pista foi medida com uma fita métrica, graduada em centímetros.
Poucas maratonas no mundo são reconhecidas e certificadas como
de 42 195 km, pois a medição desta distância é complicada e cara.
Independente da tecnologia ou da função, um instrumento pode ter
display ou visor analógico ou digital. O primeiro mede uma variável
que varia continuamente e apresenta o valor medido através da
posição do ponteiro em uma escala.
Quanto maior a escala e maior o número de divisões da escala,
melhor a precisão do instrumento e maior quantidade de algarismos
significativos do resultado da medição. O indicador digital apresenta
o valor medido através de números ou dígitos. Quanto maior
a quantidade de dígitos, melhor a precisão do instrumento. O
indicador digital conta dígitos ou pulsos. Quando o indicador digital
apresenta o valor de uma grandeza analógica, internamente há uma
conversão analógico-digital e, finalmente, uma contagem dos pulsos
correspondentes.
Igualmente, hoje, os cálculos são feitos com calculadoras
eletrônicas e computadores, que executam desde operações simples
de aritmética até operações que um engenheiro nunca seria capaz
de fazer manualmente. Os computadores se tornam uma parte
dominante da tecnologia, não apenas para os engenheiros mas para
toda sociedade. As calculadoras e computadores podem apresentar
os resultados com muitos algarismos, porém o resultado final deve
ter o número de algarismos significativos de acordo com os dados
envolvidos.
Quando se executam cálculos de engenharia e apresentam-se
os dados, deve-se ter em mente que os números sendo usados tem
somente um valor limitado de precisão e exatidão.
Quando se apresenta o resultado de um cálculo de engenharia,
geralmente se copiam 8 ou mais dígitos do display de uma
calculadora. Fazendo isso, deduz-se que o resultado é exato até 8
dígitos, um tipo de exatidão que é raramente possível na prática da
engenharia. O número de dígitos que podem ser apresentados é
usualmente muito menos que 8, por que ele depende de problemas
particulares e envolve outros conceitos de algarismos significativos,
precisão, tolerância, resolução e conversão.
Assim, dígito é qualquer um dos numerais arábicos 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8 e 9. Algarismo ou dígito significativo em um número é o dígito
que pode ser considerado confiável como um resultado de medições
ou cálculos. O algarismo significativo correto expressa o resultado
de uma medição de forma consistente com a precisão medida.
O número de algarismos significativos em um resultado indica o
número de dígitos que pode ser usado com confiança. Os algarismos