Calculo I e II
Átila Camurça Alves
[email protected]
IFCE - Campus Maracanaú
16 de fevereiro de 2011
1
Sumário
1 Regras de Derivação
1.1 Derivada de uma constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Derivada da potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Derivada de constante seguida de função . . . . . . . . . . .
1.4 Derivada da soma de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Regra do Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Regra da Divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Derivada da potência negativa . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Derivada da potência fracionária . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Regra da cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Derivada de potência fracionária de dois números inteiros nãonulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11 Derivada da função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.12 Derivada da função Logarı́timica . . . . . . . . . . . . . . . .
1.12.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Derivada das funções trigonométricas
2.1 Derivada do seno . . . . . . . . . . .
2.2 Derivada do cosseno . . . . . . . . .
2.3 Derivada da tangente . . . . . . . . .
2.4 Derivada da cotangente . . . . . . . .
2.5 Derivada da secante . . . . . . . . . .
2.6 Derivada da cossecante . . . . . . . .
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3 Derivada das funções trigonométricas
3.1 Arco seno . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Arco cosseno . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Arco tangente . . . . . . . . . . . . .
3.4 Arco cotangente . . . . . . . . . . . .
3.5 Arco secante . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Arco cossecante . . . . . . . . . . . .
inversas
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4 Integrais Indefinidas
4.1 Método da Substituição . . . . .
4.1.1 Exemplo A . . . . . . . .
4.1.2 Exemplo B . . . . . . . .
4.2 Método da Integração por Partes
4.2.1 Exemplo A . . . . . . . .
2
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5
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6
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6
6
6
6
6
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6
6
7
7
7
7
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7
7
7
8
8
8
8
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8
8
9
9
9
10
4.2.2
Exemplo B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5 Integrais Definidas
10
5.1 Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) . . . . . . . . . . . . 10
5.1.1 Exemplo A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
6 Integrais Impróprias
6.1 Tipo 1: Intervalos Infinitos . . . .
6.2 Exemplo A . . . . . . . . . . . .
6.3 Tipo 2: Integrandos Descontı́nuos
6.4 Exemplo A . . . . . . . . . . . .
7 Integração das Funções
7.1 seno . . . . . . . . .
7.2 cosseno . . . . . . . .
7.3 tangente . . . . . . .
7.4 cotangente . . . . . .
7.5 secante . . . . . . . .
7.6 cossecante . . . . . .
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Trigonométricas
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10
10
11
11
12
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12
12
13
13
13
13
13
8 Integral das funções envolvendo funções trigonométricas
14
8.1 n n ı́mpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
9 Integração por Substituição Trigonométrica
9.1 Caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Caso 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . .
10 Aplicação das Integrais
10.1 Comprimento de Arco . . . . . . . . . . .
10.2 Volume de um Sólido de Revolução . . . .
10.2.1 Volume do Sólido . . . . . . . . . .
10.2.2 Função Negativa em Alguns Pontos
10.2.3 Região entre 2 Gráficos . . . . . . .
10.2.4 Rotação paralela a um dos eixos . .
10.2.5 Região em torno do eixo Y . . . . .
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15
15
15
16
17
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17
17
18
18
19
20
21
22
11 Área de um sólido de revolução
22
11.1 Exemplo A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3
12 Coordenadas Polares
24
12.1 Exemplo A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
12.2 Ângulos Notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4
1
Regras de Derivação
1.1
Derivada de uma constante
Se, f (x) = c então, f 0 (x) = 0
1.2
Derivada da potência
Se g(x) = xn então g 0 (x) = n · xn−1
1.3
Derivada de constante seguida de função
Se g(x) = c · f (x) então g 0 (x) = c · f 0 (x)
1.4
Derivada da soma de funções
Sejam f (x), g(x) e h(x) funções tais que h(x) = f (x) + g(x)
então h0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x)
1.5
Regra do Produto
Se tivermos,
f (x) = h(x) · g(x)
Então,
f 0 (x) = h0 (x) · g(x) + h(x) · g 0 (x)
1.6
Regra da Divisão
Se tivermos,
f (x) =
Então,
f 0 (x) =
1.7
h(x)
g(x)
h0 (x) · g(x) − h(x) · g 0 (x)
[g(x)]2
Derivada da potência negativa
Se f (x) = x−n então f 0 (x) = −n · x−n·−1
5
1.8
Derivada da potência fracionária
1
Se f (x) = x n então f 0 (x) =
1.9
1
1
· x n −1
n
Regra da cadeia
Se temos uma função y = f (g(x)) esta é dada por [f (g(x))] = f 0 (g(x)) · g 0 (x)
Exemplo:
f (x) = (x2 − 3x + 4)7 = u7
f 0 (x) = 7(x2 − 3x + 4)6 · (2x − 3)
1.10
Derivada de potência fracionária de dois números
inteiros não-nulos
n
Se f (x) = x m então f 0 (x) =
1.11
n
· x m −1
n
m
Derivada da função exponencial
Seja a ∈ R tal que 0 < a 6= 1. Se f (x) = ax então f 0 (x) = ax · ln |a|
1.11.1
Em particular, se a = e, temos f (x) = ex ⇒ f 0 (x) = ex · ln e = ex
1.12
Derivada da função Logarı́timica
Seja a ∈ R tal que 0 < a 6= 1. Se f (x) = loga x, então
f 0 (x) =
1
x · ln a
1.12.1
Em particular, se a = e, temos
f (x) = ln x ⇒ f 0 (x) =
2
2.1
1
1
=
x · ln e
x
Derivada das funções trigonométricas
Derivada do seno
f (x) = sen x ⇒ f 0 (x) = cos x
6
2.2
Derivada do cosseno
f (x) = cos x ⇒ f 0 (x) = −sen x
2.3
Derivada da tangente
f (x) = tan x =
2.4
sen x
⇒ f 0 (x) = sec2 x
cos x
Derivada da cotangente
f (x) = cotg x ⇒ f 0 (x) = −cossec2 x
2.5
Derivada da secante
f (x) = sec x ⇒ f 0 (x) = tan x · sec x
2.6
Derivada da cossecante
f (x) = cossec x ⇒ f 0 (x) = −cotg x · cossec x
3
3.1
n.e.
Derivada das funções trigonométricas inversas
Arco seno
−π π
sen :
,
→ [−1, 1], bijetiva
2 2
−π π
,
arc sen : [−1, 1] →
2 2
y = arc sen x ⇔ sen y = x
1
arc sen x = √
1 − x2
3.2
Arco cosseno
arc cos x = √
7
−1
1 − x2
3.3
Arco tangente
1
1 + x2
arc tan x =
3.4
Arco cotangente
−1
1 + x2
arc cot x =
3.5
Arco secante
arc sec x =
3.6
x·
−1
√
x · x2 − 1
Integrais Indefinidas
Z
4.1
1
x2 − 1
Arco cossecante
arc cos sec x =
4
√
xn · dx =





xn+1
;
n+1
se n 6= −1




ln |x|;
se n = −1
Método da Substituição
Se tivermos,
Z
F 0 (g(x)) · g 0 (x) · dx. Chamamos u = g(x)
Dessa forma, du = g 0 (x) · dx.
Substituindo,
Z
F 0 (u) · du = F (x) + k = F (g(x)) + k
8
4.1.1
Exemplo A
Z
2x
· dx
x2 + 1
u = x2 + 1
du = 2x · dx
Z
du Z 1
=
· du
u
u
⇒ ln |u| + k
⇒ ln |x2 + 1| + k
4.1.2
Exemplo B
Z
sen x · cos x · dx
u = sen x
du = cos x · dx
Z
u · du =
u2
+k
2
sen2 x
+k
2
4.2
Método da Integração por Partes
Se tivermos a integral,
Z
0
f (x) · g (x) · dx , fazemos:



u = f (x)


dv = g 0 (x) · dx ⇒ v = g(x)
⇒ du = f 0 (x) · dx
Logo,
Z
u · dv = u · v −
9
Z
v · du
4.2.1
Exemplo A
Z
x · sen x · dx =



u=x


dv = sen x · dx ⇒ v = −cos x
⇒ du = dx
−x · cos x +
Z
cos x · dx
−x · cos x + sen x + k
4.2.2
Exemplo B
Z



u=x

dv = ex · dx ⇒ v = ex
x · ex · dx = 
x · ex −
Z
⇒ du = dx
ex · dx
⇒ x · ex − ex + k
5
5.1
Integrais Definidas
Teorema Fundamental do Cálculo (TFC)
Z b
a
5.1.1
b
f (x) · dx = F (x) = F (b) − F (a)
a
Exemplo A
Z 1
0
6
6.1
2
1
x 
12 02
1
x · dx =
=
−
=
2
2
2
2
0
Integrais Impróprias
Tipo 1: Intervalos Infinitos
(a) Se f for contı́nua para todo x ≥ a, então
Z +∞
a
f (x) · dx = lim
Z b
b→+∞ a
, se o limite existir.
10
f (x) · dx
(b) Se f for contı́nua para todo x ≤ b, então
Z b
f (x) · dx = lim
Z b
a→−∞ a
−∞
f (x) · dx
, se o limite existir.
(c) Se f for contı́nua em toda a reta e c ∈ R qualquer, então
Z +∞
f (x) · dx = lim
Z c
a→−∞ a
−∞
f (x) · dx + lim
Z b
b→+∞ c
f (x) · dx
Em todos os casos, se o limite existir dizemos que a integral é convergente.
Caso contrário, dizemos que ela é divergente.
6.2
1.
Exemplo A
R +∞
1
dx
. Determine se a integral converge ou diverge.
x2
Z +∞
1
1
· dx =
x2
lim
Z b
b→+∞ 1
|
1
· dx
2
x{z
}
b
resolvendo b
Z b
1
b
Z b
1
−1
−2
−1 
x
·
dx
=
−x
=
·
dx
=
+1
x2
b
1

1
voltando a equação original
Z +∞
1
1
· dx =
x2
lim
b→+∞
−1
+1=1
b
Resposta: A integral converge.
6.3
Tipo 2: Integrandos Descontı́nuos
(a) Se f é contı́nua em (a, b] e se lim+ f (x) = ±∞, então
x→a
Z b
a
f (x) · dx = lim+
t→a
, se o limite existir.
11
Z b
t
f (x) · dx
(b) Se f é contı́nua em [a, b) e se lim f (x) = ±∞, então
x→b
Z b
a
f (x) · dx = lim−
t→b
Z t
f (x) · dx
a
, se o limite existir.
(c) Se f for contı́nua em [a, b], exceto em c, onde a < c < b e
lim |f (x)| = +∞, então
x→c
Z b
a
6.4
f (x) · dx = lim−
t→c
Z t
a
f (x) · dx + lim+
Z b
t→c
f (x) · dx
t
Exemplo A
1
· dx. Determine se a integral diverge ou converge.
x2
Note primeiramente que a equação é contı́nua exceto em 0. Para resolver
o problema usaremos um certo t tendendo a 0 pela direita e t tendendo a 0
pela esquerda.
1.
R1
−1
Z 1
−1
Z t
1
1
·
dx
⇒
lim
· dx
2
t→0− −1 x2
x
|
{z
}
+
b
lim+
t→0
|
1
· dx
t x2
{z
}
Z 1
bb
resolvendo b
Z t
−1
t
1
· dx = −x−1 
2
x
=
−1
−1
−1
t
resolvendo bb
Z 1
t
1
· dx =
x2
1
−1 
1
= −1 +
x
t
t
1
−1
1
· dx = lim−
= +∞
− 1 + lim+ −1 +
2
t→o
t→0
t
t
−1 x
Resposta: A integral é divergente.
∴
7
7.1
Z 1
Integração das Funções Trigonométricas
seno
Z
sen x · dx = −cos x + k
12
7.2
cosseno
Z
7.3
cos x · dx = sen x + k
tangente
Z
tan x · dx =
Z
sen x
· dx
cos x
u = cos x
du = −sen x · dx
⇒
Z
−du
u
−Ln |u| + k = −Ln |cos x| + k
⇒ Ln |cos−1 x| + k = Ln |sec x| + k
7.4
cotangente
Z
7.5
Z
cos x
· dx = Ln |sen x| + k
sen x
secante
Z
7.6
cot x · dx =
sec x · dx =
Z
sec x(sec x + tan x)
· dx = Ln |sec x + tan x| + k
sec x + tan x
cossecante
Z
=
=
cossec x · dx
Z
cossec(cotg x + cossec x)
· dx
cotg x + cossec x
Z
cossec x · cotg x − cossec2 x
· dx
cotg x − cossec x
= Ln |cotg x − cossec x| + k
13
8
Integral das funções envolvendo funções trigonométricas
Nas integrais senn x·dx e cosn x·dx, onde n é um inteiro positivo, usaremos
as identidades:
R
R
cos2 x + sen2 x = 1
8.1






cos2 x =
1 + cos2x
2





sen2 x =
1 − cos2x
2
n ı́mpar
Z
cos3 x · dx
=
=
=
Z
cos2 x · cosx · dx
Z
(1 − sen2 x) · cosx · dx
Z
cosx − sen2 x · cosx · dx
reescrevendo a função temos
Z
cosx · dx −
Z
sen2 x · cosx · dx
|
{z
}
b
resolvendo b
Z
2
sen x · cosx · dx
Z
u = senx
du = cosx · dx
u2 · du =
∴ senx −
u3
sen3 x
=
3
3
sen3 x
+k
3
14
9
Integração por Substituição Trigonométrica
9.1
Caso 1
√
A função a2 − u2 , onde a é uma constante positiva. Fazemos u = a · sen θ,
−π
π
onde
≤θ≤ .
2
2
Substituindo, teremos:
q
√
√
√
a2 − u2 = a2 − a2 sen2 θ = a2 (1 − sen2 θ) = a2 · cos2 θ = a · cos θ
u
Ademais, du = a · cos θ · d θ Com a substituição, u = a sen θ ⇒ sen θ = ,
a
temos:
9.2
Caso 2
√
A função u2 + a2 , onde a é uma constante positiva. Fazemos u = a·tan θ ⇒
du = a · sec2 θ −π π
Tomando θ ∈
,
, temos:
2 2
q
√
√
√
u2 + a2 = a2 · tan2 θ + a2 = a2 (1 + tan2 θ) = a2 · sec2 θ = a · sec θ
Com a substituição, u = a · tan θ ⇒ tan θ =
15
u
, temos:
a
9.3
Caso 3
√
u2 − a2 , onde a é uma constante positiva. Fazemos u = a · sec θ,
3π
π
Ademais, du = a · sec θ · tan θ
onde 0 ≤ θ ≤ ou π ≤ θ ≤
2
2
Substituindo, temos:
q
√
√
√
2
2
2
2
2
u − a = a · sec θ − a = a2 (sec2 θ − 1) = a2 · tan2 θ = a · tan θ
A função
Com a substituição, u = a · sec θ ⇒ sec θ =
16
u
, temos:
a
9.4
Funções Trigonométricas
seno sen =
co
h
ca
h
co
tangente tan =
ca
cosseno cos =
cotangente cotg =
secante sec =
ca
co
h
ca
cossecante cossec =
10
10.1
h
co
Aplicação das Integrais
Comprimento de Arco
Para f contı́nua e derivável em [a, b].
C=
Z bq
1 + [f 0 (x)]2 · dx
a
17
10.2
Volume de um Sólido de Revolução
10.2.1
Volume do Sólido
V =
Z b
π[f (x)]2 · dx
a
18
Exemplo: calcule o volume do sólido gerado quando giramos a região R
em torno do eixo x.
√
R = (x, y) ∈ R/0 ≤ y ≤ r2 − x2
V
= π
Z r
√
( r2 − x2 )2 · dx
−r
= π
Z r
r2 − x2 · dx
−r
r

x3
= π r x − 
3
2
−r
"
r3
r −
3
!
3
= π
"
2r3
= π 2r −
3
r3
− −r +
3
!#
3
#
3
"
6r3 − 2r3
= π
3
V
10.2.2
=
#
4 3
πr
3
Função Negativa em Alguns Pontos
A função é negativa em alguns pontos do intervalo [a, b]
19
V =
Z b
π[f (x)]2 · dx
a
10.2.3
Região entre 2 Gráficos
A região esta entre dois gráficos de funções f (x) e g(x) de a até b.
V =
Z b
π[f (x)2 − g(x)2 ] · dx
a
20
10.2.4
Rotação paralela a um dos eixos
A rotação se efetua em relação a uma reta paralela a um dos eixos. O eixo
de revolução é a reta y = r
V =
Z b
π[f (x) − r]2 · dx
a
21
10.2.5
Região em torno do eixo Y
A região gira em torno do eixo y
V =π
Z d
[g(y)]2 · dy
c
11
Área de um sólido de revolução
A = 2π
Z b
f (x) ·
q
1 + [f 0 (x)]2 · dx
a
11.1
Exemplo A
Calcular a área da superfı́cie gerada pela rotação do arco da curva dado, em
torno√do eixo indicado:
y = 16 − x2 , −3 ≤ x ≤ 3; eixo dos x.
22
A = 2π
Z 3
f (x) ·
q
1 + [f 0 (x)]2
−3
y0 =
− 1
1
16 − x2 2 · (−2x)
2
⇒ √
f (x) ·
q
1+
[f 0 (x)]2
−x
16 − x2
√
⇒
16 − x2 ·
s
x2
1+
16 − x2
√
16 − x2 · √
⇒
⇒ 2π
Z 3
√
16
=4
16 − x2
4 · dx = 8π[3 − (−3)] = 48π u.A.
−3
23
12
Coordenadas Polares
O ponto P fica determinado por (r, θ), onde o | r | é a distância de P até
b
0 e θ é a medida, em radianos, do ângulo A0P
A relação com o sistema de coordenadas cartesianas pode ser observada
abaixo:
12.1
cos θ =
x 
 x = r · cos θ
r 
sen θ =
y
r


x2 + y 2 = r 2
y = r · sen θ
Exemplo A
Encontre as coordenadas polares (r, θ), com√r < 0 e 0 < θ < 2π, para o
ponto P , cujas coordenadas cartesianas são ( 3, −1).
24
r 2 = x2 + y 2
√
r2 = ( 3)2 + (−1)2
r2 = 3 + 1 ⇒ 4
r = ±2
√
− 3
x
cos θ = =
r
2
sen θ =
θ=π−
5π
−2,
6
Resposta:
y
1
=
r
2
5π
π
=
6
6
25
12.2
Ângulos Notáveis
30
seno
cosseno
tangente
◦
1
2
√
3
2
√
3
3
45
√
◦
2
2
√
2
2
1
◦
60
√
3
2
1
2
√
3
Super Dica: para gerar a tabela acima basta fazer o seguinte:
1. escreva 1, 2, 3.
2. Embaixo escreva 3, 2, 1.
3. tire a raiz quadrada de cada um.
4. divida cada um por 2.
5. divida o seno e o cosseno obtidos e ache a tangente.
26