Matemática 4
4.
aula 6
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS EM
UM TRIÂNGULO QUALQUER
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES
PARA
SALA
1
cm
3
1
b) tgθ =
7
1.
a) AE =
2.
a) Os números são 3, 5, 7 pois (1, 3, 5) não obedece à
desigualdade triangular e conjuntos maiores ultrapassam soma 15.
b) Maior ângulo oposto ao maior lado. Aplicando lei
dos cossenos:
72 = 32 + 52 – 2 . 3 . 5 . cosθ → –30cosθ = 15 →
−1
→ θ = 120°
→ cosθ =
2
c) Sendo α + β + θ = 180° e θ > β > α,
1
provar que sen2β – sen2α < .
4
Temos o triângulo:
Pela Lei dos Cossenos, temos:
x 2 = 12 + 12 − 2 . 1. 1 . cos135o
x2 = 2 +
2 2
⇒ x = 2+ 2
2
Resposta correta: x = 2 + 2
5.
Aplicando Lei dos Senos:
5
3
7
7
7
14
=
=
=
=
=
→
senβ senα senθ sen120
3
3
2
5 3
3 3
→ senβ =
e senα =
→ sen2β − sen2α = 0,2449
14
14
1
2
2
→ sen β – sen α < .
4
Na figura, o triângulo da área S1 é semelhante ao de
área S. Então,
2
S1
x
S
1
⇒ 1 =
⇒ S = 49S1
=
S
S
7x
49
FG IJ
H K
Temos também que o triângulo de área S1 é semelhante
ao de área S2. Então:
2
1
S1
x
S
⇒ 1 =
=
⇒ S2 = 36 . S1
6x
36
S2
S2
3.
FG IJ
H K
Como S1 + S2 + S3 = S ⇒ S1 + 36 . S1 + S3 = 49S1 ⇒
S3= 12S1. Como MNPC é um paralelogramo, a área
S
12S1
(MNP) = 3 =
=6S1.
2
2
Pela Lei dos Cossenos, temos:
(I) c2 = a2 + b2 – 2abcosc
•
(a + b + c)(a + b – c) = 3ab
a2 + ab − ac + ab + b2 − bc + ac + bc − c 2 = 3ab
Portanto,
a2 + b2 − ab = c 2 (II)
Substituindo I em II, temos:
2
2
2
área (MNP)
6S1
6
=
=
área (ABC) 49S1 49
Resposta correta:
2
a + b − ab = a + b − 2ab cos c
2ab cos c = ab ⇒ cos c =
6
49
ab
1
⇒ cos c =
2ab
2
Resposta correta: C
3ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS
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VOLUME 2
|
MATEMÁTICA 4
1
4.
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS
1.
Sabemos que: θ =
360°
360°
= 90° e α =
= 60°
4
6
Na figura, os triângulos MPD, AED são semelhantes.
h
4
2 3
= 3 (altura
Então, 1 = ⇒ h1 = 2h2. Como h1 =
2
h2 2
do triângulo equilátero BPM), temos:
3
3 = 2h2 ⇒ h2 =
.
2
Logo, a área do triângulo AED será:
3
2.
3
2
⇒ SAED =
SAED =
2
2
Logo: α + θ = 150°
Aplicando Lei dos Cossenos:
AC2 = 62 + 62 – 2 . 6 . cos(150°) = 2 . 62 + 2 . 62 . cos(30°) =
(
)
= 62 2 + 3 → AC = 6 2 + 3
Resposta correta: E
2.
Pela Lei dos Cossenos:
a2 = b2 + c2 – 2bc cos → cos =
b2 + c 2 − a2
.
2bc
Analogamente:
a2 + c 2 − b2
a2 + b2 − c 2
cosBˆ =
e cos Cˆ =
.
2ac
2ab
cos Aˆ cosBˆ cos Cˆ
a
+
+
=
Temos, também:
.
a
b
c
bc
ˆ cosBˆ e cos Cˆ :
Substituindo cos A,
Resposta correta: A (Retificação do gabarito)
5.
b2 + c 2 − a2
a2 + c 2 − b2 a2 + b2 − c 2
a
→
+
+
=
2a bc
2a bc
2a bc
bc
a2 + b2 + c2 = 2a2 → b2 + c2 = a2
Logo, o triângulo é retângulo: Â = 90°
Daí: sen – cos2 = sen90° – cos180° = 1 – (–1) = 2
Aplicando a Lei dos Senos no ΔABC, temos:
20
10
π
= 2R ⇒ R =
sen 15º
π . sen 15º
Resposta correta: B
3.
Como sen 15º = sen (45º − 30º) ⇒
sen 15º = sen 45º . cos 30º – sen 30º . cos 45º ⇒
2
3
1
2
6− 2
.
.
−
⇒ sen 15º =
.
2
2
2
2
4
10
10 2 ( 3 + 1)
⇒R =
Logo, R =
.
⎛ 6− 2⎞
π
π . ⎜⎜
⎟⎟
4
⎝
⎠
Sendo C o comprimento da circunferência, temos:
sen 15º =
1
. 4 . 6 senα = 12senα
2
1
A ΔABC = . 8 . 10 senα = 40senα
2
A
12senα
3
⇒ ΔADE =
=
A ΔABC 40senα
10
A ΔADE =
C = 2πR ⇒ C = 2 π .
10 2( 3 + 1) ⇒
π
C = 20 2 ( 3 + 1) cm.
Resposta correta: A
Resposta correta: D
2
3ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS
|
VOLUME 2
|
MATEMÁTICA 4
a) Primeiramente, AD = CB, pois são cordas subentendidas pelo mesmo ângulo.
Logo, AH = 3. Por Pitágoras: CH = 3, que é a altura.
b) Temos: HC = 3 e HB = 1 → CB = 10
AH
1
−4
=
→ cos2θ – 2cos2θ – 1 =
Então, cosθ =
CB
5
10
→ Em ΔA0C, pela Lei dos Cossenos::
6.
(3 2 )
2
= r2 + r2 + 2r . r . cos2θ →
8r 2
→r= 5
5
2
( 4 + 2 ) . 3 = 5π − 9
5 −
2
→ 18 = 2r2 +
2
, temos:
4
2
1
2
= . 1 . 1 . senc$ ⇒ senc$ =
⇒ c$ = 45º
4
2
2
Como a = b = 1 e SABC =
c) A = π
( )
Resposta correta: a) 3 b)
Usando a Lei dos Cossenos, vem:
c2 = 12 + 12 – 2 . 1 . 1 . cos 45º
2
c2 = 1 + 1 – 2 .
2
5 c) 5π – 9
9.
c2 = 2 − 2 ⇒ c = 2 − 2
Resposta correta: B
7.
Aplicando a Lei dos Cossenos no ΔACD , obtemos:
x 2 = R2 + R2 − 2R . R . cos 30º ⇒
x 2 = 2R2 − 2R2 .
(
)
3
⇒ x 2 = 2R2 − R2
2
3 ⇒
x 2 = R2 2 − 3 ⇒
x = R 2− 3
Aplicando a Lei dos Senos, temos:
a
a
2R ⇒ sen  =
2R
sen Â
6
b
= 2R ⇒ sen B$ =
$
2R
senB
c
c
$
= 2R ⇒ sen C ⇒
$
2R
senC
Resposta correta: A (Retificação do gabarito)
10.
$ = a . 6 . c ⇒
Logo, sen  . sen B$ . sen C
2R 2R 2R
abc
abc
1
K. 3 =
⇒ K= .
8
R
8R3
Como o ΔABC é isósceles de base BC , B$ = α e
 = 180° − 2 α .
Resposta correta: D
8.
SABCD = SABC + SACD ⇒
1
1
R. R. sen (180° − 2α) +
. R . R . sen β ⇒
SABCD =
2
2
R2
R2
. sen 2α +
. sen β ⇒
2
2
R2
SABCD =
. (sen 2α + sen β).
2
SABCD =
Resposta correta: A (Retificação do gabarito)
3ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS
|
VOLUME 2
|
MATEMÁTICA 4
3
11. A equação dada é equivalente a:
bc cos A + ac cos B + ab cos C
77
=
abc
240
Denotemos por Sn a área dos triângulos que aparecem.
Então, podemos escrever:
1
ab
ab . sen 30° ⇒ S1 =
S1 =
2
4
1
cd
S2 = . cd . sen 30° ⇒ S2 =
2
4
1
ac
S3 =
ac . sen 150° ⇒ S3 =
2
4
1
bd
S4 =
bd . sen 150° ⇒ S4 =
2
4
(I)
Usando a Lei dos Cossenos, temos:
a2 = b2 + c2 – 2bc . cos A
b2 = a2 + c2 – 2 ac . cos B
c2 = a2 + b2 – 2ab . cos C
Somente essas
Equações obtemos:
a2 + b2 + c2 = 2a2 + 2b2 + 2c2 – 2 (bc cos A + ac cos B +
ab cos C) ⇒
bc cos A + ac cos B + ab cos C =
a2 + b2 + c2
2
Logo a área SABCD = S1 + S2 + S3 + S4 ⇒
(II)
ab + cd + ac + bd
a(b+c)+d(b+c)
=
⇒
4
4
(b+c) . (a+d) 10 . 4
=
⇒
SABCD =
4
4
2
SABCD = 10cm
SABCD =
Substituindo (II) em (I), vem:
a2 + b2 + c 2
77
=
2abc
240
(III)
Como (a, b, c) é P.A de soma 15cm, podemos escrever:
⎧a = x − r
⎪
⇒ x – r + x + x + r = 15 ⇒ x = 5
⎨b = x
⎪c = x + r
⎩
Resposta correta: B (Retificação do gabarito)
13. Temos: ab senα =
a2 + b2
a2 + b2
.
→ senα =
2
2ab
Logo:
Logo, a = 5 – r, b = 5 e c = 5 + r
2
⎛ a2 + b2 ⎞
cos = 1 − ⎜
⎟ =
⎝ 2ab ⎠
Vamos substituir esses valores na equação III.
S=
S=
4a2b2
Resposta correta: A
⎧a = 4
⎧a = 6
⎪
⎪
Para r = 1 ⇒ ⎨b = 5 e para r = − 1 ⇒ ⎨b = 5
⎪c = 6
⎪c = 4
⎩
⎩
Como p =
(
− a2 − b2
Dai: ∃ cosα ∈ ú, sss a2 – b2 = 0 → a = b; a, b ≥ 0.
Então: cosα = 0 e senα = 1 → α = 90°; maior ângulo.
(5 − r)2 + 52 + (5 + r)2
77
2r 2 + 75
77
=
⇒
=
⇒
2
2 (5 − r) . 5 . (5 + r)
240
240
25 − r
48r2 + 1800 = 1925 – 77r2 ⇒ r2 = 1 ⇒ r = ±1
Seja S a área pedida. Logo, S =
4a2b2 − a4 − 2a2b2 − b2
=
4a2b2
14. Temos:
p (p − a) (p − b) (p − c)
a+b+c 4 + 5 + 6 15
=
=
cm, temos:
2
2
2
15 ⎛ 15
⎞ ⎛ 15
⎞ ⎛ 15
⎞
. ⎜
− 4⎟ ⎜
− 5⎟ . ⎜
− 6⎟ ⇒
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
2
2
2
2
15 7
cm2
4
BC = 6
AC =
(5 − 1)2 + (1 − 3)2
= 42 + 22 = 2 5
AB =
(5 − 1)2 + ( 7 − 3)2
= 4 2 + 42 = 4 2
Resposta correta: C (Retificação do gabarito)
12.
Pela Lei dos Cossenos: 36 = 20 + 32 – 16 10 cosα →
1
3
→ cos α =
→ senα =
10
10
Pela Lei dos Senos:
6
6
= 2r →
= 2r → r = 10
3
senα
10
Resposta correta: E
4
3ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS
|
VOLUME 2
|
MATEMÁTICA 4
)
2
15.
2.
cos θ
4
l
1
1
⇒ cos120o cos θ + sen120o senθ = ⇒
l
l
3
2
1
3
1
1 4
⇒ − cos θ +
senθ =
⇒
senθ = ⇒ − . +
l
2
2l
2
2
2 l
cos(120o − θ) =
Aplicando a Teoria da Bissetriz interna no Δ ABC, temos:
a 5−a
5
10
e5–a=
.
=
⇒ a=
3
3
2
4
Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos ACN e
BCN, obtemos:
5
⎧ 2
⎧
2
2
2 25 10x
2
⎪⎪2 = h + ( 3 − x)
⎪⎪4=h + 9 − 3 + x
⇒ ⎨
⇒
⎨
⎪42 = h2 + ( 10 + x)2
⎪16 = h2 + 100 + 20x + x 2
⎪⎩
⎪⎩
3
9
3
⇒ 3 senθ =
6
6
⇒ sen θ =
l
3l
sen2θ + cos2 θ = 1 =
⇒ 1=
10x 11
⎧ 2
2
⎪⎪h + x = 3 + 9
10x 11 44 20x
⇒
+
=
−
⇒
⎨
44
20x
3
9
9
3
2
2
⎪h + x =
−
⎪⎩
9
3
28
l2
36
3l
2
+
16
l2
⇒
⇒ l2 = 28
Área ∴ A =
l2 3
3
= 28 .
⇒ A = 7 3cm2 ¨
4
4
Resposta correta: B
3.
30x 33
11
11
=
⇒ 10x =
⇒x=
3
9
3
30
Logo, MN =
11
30
Resposta correta: B
aula 7
4 3
1
→ cos β = − , cosβ < 0 pois β > 90°
7
7
Pela lei dos Senos:
a
c
a
c
=
→
=
→
senα sen (180° − α − β )
senα sen ( α + β)
Temos: senβ =
FÓRMULAS DE ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ARCOS
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES
1.
2(senx − cos x) = m2 − 2
PARA
SALA
→
÷2
2
2
m2 − 2
sen x −
cos x =
2
2
2
144424443
senx cos 45o − sen 45o cos x =
senα
c
3
= → senα = senαcosβ + senβcosα →
sen ( α + β ) a
7
3
senα 4 3
senα = −
cos α → 4senα = 4 3 cosα →
+
7
7
7
→ tgα = 3 → α = 60°; α < 90°
→
m2 − 2
2
Resposta correta: B
m2 − 2
sen(x − 45o ) =
2
4.
Seja E =
1
sen10o
Como −1 ≤ sen(x − 45o ) ≤ 1, temos:
m2 − 2
−1 ≤
≤1
2
Logo, E =
(×2)
−
3
cos10o
.
cos10o − 3. sen10o
sen10o .cos10o
⇒
1
.(cos10o − 3 . sen10o )
2
⇒
E=
1
. sen10o .cos10o
2
1
3
.cos10o −
. sen10o
2
2
E=
⇒
1
. sen20o
4
−2 ≤ m2 − 2 ≤ 2
+2
+2
+2
0 ≤ m2 ≤ 4 ⇒ m2 ≤ 4
−2 ≤m ≤ 2
Resposta correta: B
3ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS
|
VOLUME 2
|
MATEMÁTICA 4
5
E=
sen 30o . cos10o − cos 30o . sen10o
⇒
1
. sen20o
4
P=
sen(30o − 10o )
sen20o
⇒ E=
⇒
E=
1
1
. sen20o
. sen20o
4
4
4
o
E = sen20
⇒ E = 4.
sen20o
1
cos 20o
⇒ P2 – 1 =
1 − cos2 20o
P2 – 1 =
2
cos 20
o
=
1
−1⇒
cos2 20o
sen2 20o
cos2 20o
⇒
P2 – 1 = tg2 20o
Resposta correta: C
Obs: sen 20o = sen (2 . 10o)
sen 20o = 2 . sen 10o . cos 10o
2.
sen20o 2 sen10o .cos10o
=
4
4
1
1
. sen 20o =
sen 10o . cos 10o
4
2
Resposta correta: D
5.
Observe na figura que tg (α + β) =
1
tg α +
3
tg α + tg β
5
⇒
=
Como tg (α + β) =
, vem:
1
2
1− tg α . tg β
1− . tg α
5
2
3
2 . tg α +
= 3 − tg α ⇒
5
5
13
13
. tg α =
⇒ tg α = 1 ⇒ α = 45o
5
5
a
2 2
=
= a.
3a
3a 3
2
a
4 4
tg β =
=
=a.
5a
5a 5
4
tg α =
Resposta correta: B
3.
Observe na figura que x = α + β.
Logo, tg x = tg (α + β) =
tg α + tg β
⇒
1− tg α . tg β
⎡ sen2 (a + b) p. sen(a + b) cos(a + b)
⎤
+ q⎥
y = cos2 (a + b) ⎢
+
2
cos(a + b) (cos a + b)
⎢⎣ cos (a + b)
⎥⎦
y = cos2 (a + b) ⎡ tg2 (a + b) + p. tg(a + b) + q⎤
⎣
⎦
⎡ ⎛ p ⎞2
⎤
p
+ q⎥
y = cos2 (a + b) ⎢⎜
⎟ +p .
q −1 ⎥
⎢⎝ 1 − q ⎠
⎣
⎦
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS
1.
P=
sen20o
o
P=
P=
−
cos 20o
⇒
o
o
o
o
sen 40 . cos 20 − cos 40 . sen20
sen20 . cos 20
sen(40o − 20o )
sen20o . cos 20o
=
o
tga + tgb
−p
p
=
=
1 − tga. tgb 1 − q 1 − q
y = sen2 (a + b) + p. sen(a + b) cos(a + b) + q.cos2 (a + b)
Resposta correta: B
cos 40o
x2 + px + q = 0
tga + tgb = −p e tga. tgb = q
tg(a + b) =
2 4
10 + 12
+
3
5
15 = 22 . 15 ⇒ tg x = 22
=
tg x =
2 4
8
7
15 7
1− .
1−
3 5
15
sen 40o
y=
⎡ p2
⎤
p2
.⎢
+
+ q⎥
2
q − 1 ⎥⎦
sec (a + b) ⎢⎣ (q − 1)
y=
⎡ p2
p2
q(q − 1)2 ⎤
. (q − 1) +
+
⎢
⎥
2
2
tg (a + b) + 1 ⎢⎣ (q − 1)
(q − 1)
(q − 1)2 ⎥⎦
y=
⇒
sen20o
sen20o . cos 20o
1
2
1
2
⎡ p2
p2q
p2
q(q − 1)2 ⎤
⎢
⎥
+
+
−
2
2
q − 1 (q − 1)
(q − 1)2 ⎥⎦
⎢⎣ (q − 1)
+1
1
2
p
(q − 1)2
y=
⇒
(q − 1)2
p2 + (q + 1)2
q ⎡ p2 + (q − 1)2 ⎤
⎢
⎥⎦
⇒ y=q
. ⎣
2
(q − 1)
Resposta correta: y = q
6
3
1
e tg β =
2
5
3ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS
|
VOLUME 2
|
MATEMÁTICA 4
4.
Temos: A = 20° e B = 25° → A + B = 45°
senA ⎞ ⎛ senB ⎞
⎛
1+
Daí: (1 + tgA)(1 + tgB) = ⎜ 1 +
=
⎝ cos A ⎟⎠ ⎜⎝ cosB ⎟⎠
7.
cos A cosB + cos AsenB + cosBsenA + senAsenB
=
cos A cosB
cos (B − A ) + sen ( A + B) cos (B − A ) + cos ( 90 − A − B)
=
=
cos A cosB
cos A cosB
⎛ 90 − 2A ⎞
⎛ 90 − 2B ⎞
2 cos ⎜
⎟ . cos ⎜⎝
⎟
⎝
2 ⎠
2 ⎠
=
=
cos A cosB
2 cos ( 45 − A ) .cos ( 45 − B) 2 cosB . cos A
=
=
=2
cos A cosB
cos A − cosB
=
Temos E = sen200° . sen310° + cos340° . cos50° →
→ E = sen(180° + 20°) . sen(360° – 50°) +
+ cos(360° – 20°) . cos50°
→ E = (–sen20°) . (–sen50°) + cos20° . cos50°
→ E = cos50° . cos20° + sen50° . sen20°
3
→ E = cos(50 – 20) = cos30° =
2
3
Logo, 2 3 . E = 2 3 .
=3
2
Resposta correta: C
8.
Resposta correta: B
5.
Observe nas figuras que a soma de todas as áreas pode
ser calculada assim:
S = 2 sen a cos b + 2 . sen b . cos a
S = 2 (sen a cos b + sen b . cos a)
π
S = 2 . sen (a + b). Como a + b = ,
6
π
S = 2 . sen
6
1
S= 2.
⇒ S=1
2
Observe na figura que tg α=
2
⎧
⎪⎪tg β = 4
Veja também que: ⎨
⎪tg θ = 2
⎪⎩
6
⎪⎧ tg β + tg θ
Mas tg (β + θ) = ⎨
⇒
⎪⎩ 1 − tg β . tg θ
Resposta correta: A
6.
1 1
+
2
3 =
⇒ tg (β + θ) =
1 1
1− .
2 3
o
⇒ β + θ = 45 .
Sendo S a área do Δ ABC, ela pode ser calculada de
uma das três maneiras:
1
S
. 2 . y . sen α ⇒ s = y . sen α ⇒ y =
I. S =
2
sen α
9.
⎛ sen2 β + cos2 β ⎞
4 + 4 3 + 3 + 1 = (2+ 3 ) . ⎜
⎟⇒
⎝ sen β .cos β ⎠
2S
. sen (α + β) ⇒
S
. sen β
sen α
sen α
. (sen α+β) ⇒
sen β
S=2 .
sen α
. (sen α . cos β+ sen β . cos α) ⇒
sen β
Como 2 + 3 é raiz da equação
⎛ sen β cos β ⎞
(2 + 3 )2 + 1 = (2 + 3 ) . ⎜
+
⎟⇒
⎝ cos β sen β ⎠
Substituindo o resultado de II em III e o resultado de I
em II, obtemos:
S=2.
π
2
x2 – (tg β + cotg β) x + 1 = 0, então:
1
. 2 . x . sen (α + β) ⇒ S = x . sen (α + β)
2
2S
.sen(α + β) ⇒ S =
y.senβ
= 1⇒
Resposta correta: D
1
. x . y . sen β ⇒ 25 = xy sen β ⇒
2
2S
⇒x=
y . senβ
S=
5
6
5
6
Portanto, α + β + θ = 45o + 45o = 90o =
II. S =
III. S =
2
=1 ⇒ α =45°
2
1
=
2
1
=
3
⎛
⎞
1
8 + 4 3 = (2 + 3 ) . ⎜
⎟⇒
sen
β
.
cos
β
⎝
⎠
4 (2 + 3 ) =
(2 + 3 )
1
⇒ sen β . cos β = .
4
sen β . cos β
Logo, 392 . sen β . cos β = 392 .
S = 2 . sen2 α . cotg β + 2 sen α cos α ⇒
S = 2 . sen2 α . cotg β + 2 sen 2α
1
= 98.
4
Resposta correta: 98
Resposta correta: A
3ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS
|
VOLUME 2
|
MATEMÁTICA 4
7
Logo:
10. Sejam a, b e c as medidas dos ângulos internos de um
triângulo ABC. Sendo cotg a e cotg b raízes da equação
x2 + α x + α + 1 = 0 (com α > 2 (1+ 2 ) ), temos que:
sen45o + sen(45o + 30o ) + sen(45o + 60o ) + sen(45o + 90o )
2
2 3
2 1
2 1
2 3
2
+
+
+
=
.
. +
. +
.
2
2 2
2 2 2 2 2 2
2
6 2 +2 6 3 2 + 6
E=
=
4
2
=
cotg a + cotg b = α
cotg a . cotg b = α + 1
Como cotg (a + b) =
cot ga . cot gb − 1
, vem:
cot ga + cot gb
Resposta correta: C
α + 1− 1
⇒
α
cotg (a + b) = 1 ⇒ a + b = 45o
13.
cotg (a + b) =
Assim, como a + b + c = 180o ⇒
45o + c = 180o ⇒ c = 135o
Resposta correta: D
Observe na figura que:
A0 . A1 = a
A1 . A2 = a . cos α
A2 . A3 = a2 . cos α
A3 . A4 = a3 . cos α
M
M
An . An+1 = an . cos α.
11. Temos que x + y + 120o = 180o
Logo, x + y = 60o ⇒ x = 60o – y.
Substituindo em valor de x na equação
vem:
cos x 1 + 3
=
,
cos y
2
cos (60o − y) 1+ 3
=
⇒
cos y
2
L = A0A1 + A1A2 + A2A3 + A3A4 + ... + AnAn + 1 ...
L = a + a . cos α + a . cos2 α + a . cos3 α + ... + an . cos α + ...
cos 60o. cos y + sen 60o . sen y 1+ 3
=
⇒
cos y
2
cos 60o. cos y
cos y
Como 0 < cos α < 1, temos que L é a soma dos termos
de uma P.G. infinita de razão q = cos α.
a
.
Logo, L =
1 − cos α
sen 60o . sen y 1+ 3
=
⇒
cos y
2
+
Resposta correta: A
3
3
1
3
1
3
⇒
. tg y =
. tg y = +
+
⇒
2
2
2
2
2
2
14.
tg y = 1 ⇒ y = 45o.
Como x = 60o – y ⇒ x = 60o – 45o ⇒ x = 15º
| x – y | = | 15o – 45o | = | – 30o | = 30o
Resposta correta: E (Retificação do gabarito)
12. α + β + ϕ + Ψ = 360o
⎧α = 45o
⎪
⎪⎪β = 45o + r
⎨
o
⎪ϕ = 45 + 2r
⎪
o
⎪⎩Ψ = 45 + 3r
o
o
AD = 1
o
o
45 + 45 + r + 45 + 2r + 45 + 3r = 360
Para θ temos senθ = x; cosθ = y
Para β temos senβ = z; cosβ = w
o
6r = 180o
a) Assim i) sen(θ + β) =
r = 30o
BF
1
senθ cos β + senβ cos θ = BF
Assim:
o
α = 45
o
x . w + z . y = BF
o
o
β = 45 + 30 = 75
ii) cos(θ + β) =
ϕ = 45o + 60o = 90o
AF
1
Ψ = 45o + 90o = 135o
8
3ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS
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VOLUME 2
|
MATEMÁTICA 4
Aplicando Pitágoras, encontramos x = 3. Como β é agu3
do, cos β = .
5
4
3 . sen(α + β) −
. cos (α + β)
3
M=
sen α
cos θ cos β . senθsenβ = AF
y . w − x . z = AF
b) tgα =
AF yw − xz
=
BF xw + yz
3 . sen(α + β) − 4 . cos(α + β)
3
M=
sen α
⎧1
⎪ tg x − sen y = 0
,
15. O par (x, y) é solução do sistema, ⎨ 2
⎪sen x − 2 . sen y = 0
⎩
com 0 < x <
3(sen α .cos β+ senβ .cos α) − 4(cos α + β− sen α .sen β)
3
M=
sen α
π
π
e
< y < π.
2
2
Observe que:
⎧⎪tg x = 2 sen y ⇒ tg2 x = 2 . 2 sen2 y
⎨
2
2
⎪⎩sen x = 2 sen y ⇒ sen x = 2 sen y
⎛ 3 sen α 4 cos α ⎞
⎛ 3 cos α 4 sen α ⎞
3. ⎜
+
− 4. ⎜
−
5 ⎟⎠
5 ⎟⎠
⎝ 5
⎝ 5
3
M=
sen α
(I)
(II)
9 sen α 12 cos α 12 cos α 16 sen α
+
+
−
5
5
5
5
3
M=
sen α
Substituindo (II) em (I), temos:
sen2 x
= 2 . sen2x ⇒ sen2x = 2 sen2x (1 – sen2x) ⇒
cos2 x
25 sen α
5
25 sen α 1
1
5
3
=
=
M=
.
.
.
sen α
5
3 sen α
3
5
Logo, 3 . M = 3 .
=5
3
sen x = 2 sen x – 2 sen x ⇒ 2 sen x – sen x = 0 ⇒
2
2
4
4
2
sen2x . (2 sen2x – 1) = 0 ⇒ sen2x = 0 ou 2 sen2x – 1 = 0.
Se sen2x = 0 ⇒ sen x = 0 ⇒ ò x ∈ ] 0,
Se 2 sen2x – 1 = 0 ⇒ sen x = ±
π
[
2
Resposta correta: 5
2
⇒
2
aula 8
⎧
2
π
⇒ x=
⎪para sen x=
⎪
2
4
⎨
⎪para sen x= − 2 ⇒ ò x ∈ ] 0, π [
⎪⎩
2
2
1
, vamos substituir em valor na equação
Como sen2x =
2
(II). Logo, obtemos:
1
1
2 sen2 y = ⇒ sen y = ±
⇒
2
2
1
5π
⎧
⎪⎪para sen y= 2 ⇒ y = 6
⎨
⎪para sen y= − 1 ⇒ ∃ y ∈ ] π ,π[
⎪⎩
2
2
Veja que x+y =
ARCO DUPLO E ARCO TRIPLO
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES
SALA
1.
2 . ( x + 2) . senα
= ( x + 2) senα
2
x
Mas, = cos α → x = 2 cos α
2
Logo: A = (2cosα + 2)senα →
→ A = 2senαcosα + 2senα → A = sen2α + 2senα
A=
π 5π 13π
+
=
.
6
12
4
13π
13 π
1
(x + y)
= 12 . 12 = 12 .
Logo, 12 .
.
= 13.
12
π
π
π
2.
π
5π
7π
11π
. sen
. sen
. sen
24
24
24
24
π
7π
7π
π
. cos
. sen
. cos
P = sen
24
24
24
π
π
7π
7π ⎞
⎛
⎞ ⎛
2 . 2. P = ⎜ 2 . sen
. cos
. ⎜ 2 . sen
. cos
⎟
24
24 ⎠ ⎝
24
24 ⎟⎠
⎝
π ⎞
7π ⎞
⎛
⎛
4P = sen ⎜ 2.
⎟ . sen ⎜ 2 . 24 ⎟
24
⎝
⎠
⎝
⎠
π
7π
. sen
4P = sen
12
12
P = sen
4
2
Resposta correta: A
16. Foi dado sen β =
PARA
4
. Observe a figura:
5
3ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS
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VOLUME 2
|
MATEMÁTICA 4
9
π
π
. cos
12
12
π
π
2 . 4P = 2 . sen
. cos
12
12
π ⎞
⎛
8P = sen ⎜ 2 .
⎟
12
⎝
⎠
π
8P = sen
6
1
8P =
2
1
P=
6
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS
4P = sen
1.
E = tg 35o + tg55o =
E=
E=
sen 35o
o
cos 35
+
cos 35o
o
sen 35
1. 2
2 sen 35o cos 35o
=
=
sen55o
cos 55o
sen2 35o + cos2 35o
sen 35o cos 35o
2
sen70o
2.
sen x +
3.
f(x) =
sen2 2x
=
sen2 x cos4 x + sen4 x cos2 x
4 sen2 cos2 x
(
sen2 x cos2 x sen2 x + cos2 x
)
sen x +
=4
f(x) =
⇒
cos2 x − cos2 x (1− cos2 x )
sen2 x
cos sec x
sen x +
4.
cos2 x
− cos2 x
sen2 x
cos sec x
pois senx, cosx ≠ 0.
f(x) =
Na figura, sen
cos 35o
+
Resposta correta: B
Resposta correta: B
=
sen 35o
cos2 x − cos2 x + cos4 x )
sen2 x
cos sec x
cos2 x
sen x +
sen x
⇒
f(x) =
1
sen x
sen2 x + cos2 x
sen x
f(x) =
⇒
.
sen x
1
x
= a e BD = b.
3
⇒
f(x) = 1 ⇒ f (170) = 1 ⇒
AC
AC
x
x
⎛ 2x ⎞
sen ⎜
⎟ = b ⇒ 2 . sen 3 . cos 3 = b
3
⎝
⎠
2 . f(170) = 2 . 1 = 2
Resposta correta: 2
x
x
Da relação sen
+ cos 2
= 1, temos:
3
3
x
x
= 1 ⇒ cos
= 1 – a2 .
a2 + cos2
3
3
2
Então, 2 . a . 1 – a2 =
3.
AC
⇒
b
AC = 2ab 1 – a2
Resposta correta: 2ab 1 – a2
5.
1
( cos x – sen x )
2
2
–
4 . tg2 x
(1 – tg x )
2
2
=
Aplicando Pitágoras no ΔABH, temos:
42 = 12 + a2 ⇒ 16 – 1 = a2 ⇒ a = 15
2
1
( cos 2x )
2
2
⎛ 2tg x ⎞
– ⎜
⎟ =
⎝ 1 – tg x ⎠
15
⇒ tg x = 15
1
2 . tg x
2 . 15
tg  = tg (2x) =
=
⇒
2
1 – 15
1 − tg x
tg x =
1
2
– ( tg 2x ) = sec 2 2x – tg2 2x =
2
cos 2x
1 + tg2 2x – tg2 2x = 1.
tg  =
Resposta correta: C
10
2 15
⇒ tg  = –
−14
15
7
Resposta correta: E
3ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS
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VOLUME 2
|
MATEMÁTICA 4
⇒
4.
⎛ 45o ⎞
⎛ 45o ⎞
2+ 2
1
2+ 2
2
. ⇒ cos2 ⎜
⇒
cos ⎜
⎟=
⎟=
2
2
4
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎛ 45o ⎞
cos ⎜
⎟=
⎝ 2 ⎠
1
2+ 2
⇒ cos x =
2
4
2+ 2
Resposta correta: A
Observe na figura que:
sen x =
7.
b
⇒ b = 2r . sen x
2r
(cos θ + sen θ) (cos θ – sen θ)
(cos θ + sen θ)2
c
cos x =
⇒ c = 2r . cos x
2r
2r . sen x . 2r . cos x
b.c
=
⇒
2
2
S = r2 . 2 sen x . cos x
cos θ
sen θ
–
cos θ
cos θ = 1 − tg θ = 1 − 2 = − 1
cos θ
sen θ
1 + tg θ 1 + 2
3
+
cos θ
cos θ
S = r2 . sen 2x
Resposta correta: B
Resposta correta: B
Se sen α + cos α = m ⇒ (sen α + cos α)2 = m2 ⇒
sen2 α + 2 sen α cos α + cos2 α = m2 ⇒
2 sen α cos α = m2 –1 ⇒
sen α . cos α =
8.
m2 – 1
2
f(x) =
sen(3.ex ) cos (3.ex )
−
⇒
sen(ex )
cos (ex )
f(x) =
3. sen(ex ) − 4 sen3 (ex ) 4 cos3 (ex ) − 3.cos (ex )
−
sen(ex )
cos (ex )
Se sen α + cos α = m ⇒ (sen α + cos α)3 = m3 ⇒
sen3 α + 3 sen2 α . cos α + 3 sen α . cos2 α + cos3 α =m3 ⇒
f(x) =
sen(ex ) [3 − 4 sen2 (ex )]
x
sen(e )
sen3 α + 3 sen α . cos α (sen α + cos α) + cos3 α = m3 ⇒
−
cos (ex ) [4 cos2 (ex ) − 3]
⎛ m2 – 1 ⎞
3
sen3 α + cos3 α + 3 ⎜
⎟.m=m ⇒
2
⎝
⎠
f(x) = 3 – 4 sen2 (ex) – 4 cos2 (ex) + 3 ⇒
f(x) = 6 – 4 [sen2 (ex) + cos2 (ex)] ⇒
f(x) = 6 – 4 ⇒ f(x) = 2, ∀ x ∈ D f
⎛ m2 – 1 ⎞
sen3 α + cos3 α = m3 – 3m ⎜
⎟⇒
⎝ 2 ⎠
Resposta correta: A
9.
2m3 – 3m3 + 3m
3m – m3
=
sen α + cos α =
2
2
3
3
⎛ m2 – 1 ⎞
2
sen 2α = 2 sen α . cos α = 2 . ⎜
⎟=m –1
2
⎝
⎠
Logo, y =
Temos: cos8x = cos(2 . 4x) = cos24x – sen24x =
= a → cos8x = a.
10. K =
2 (m – 1)
m –1
2
= (m2 – 1) .
⇒y=
3m – m3
m (3 – m2 )
3m – m3
2
K=
Resposta correta: C
Como 0 < x <
cos (ex )
Resposta correta: B
2
2
6.
=
cos θ – sen θ
cos θ – sen θ
cos θ
=
=
cos θ + sen θ cos θ + sen θ
cos θ
A área S =
5.
cos 2θ
cos2 θ – sen2θ
=
=
2
1 + sen 2θ
sen θ + cos2 θ + 2 sen θ . cos θ
K=
π
e cotg 2x = 1 ⇒
2
45o
tg 2x = 1 ⇒ 2x = 45º ⇒ x =
2
K=
2
1+
⎛ 45o ⎞
⎛ 45o ⎞
1 + cos 45o
2
2
cos ⎜
⇒
⇒ cos ⎜
⎟=
⎟=
2
2
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
sen15o
2
o
+
sen15o + sen75o
cos15o
o
cos 15 + cos 75 cos15o + sen215o + sen75o sen15o
sen15o cos15o
(1 + cos 75o cos15o + sen75o sen15o ).2
2. sen15o cos15o
2(1 + cos 60o )
sen30o
⎛ 1⎞
2 ⎜1+ ⎟ 2 . 2
2⎠
3
= ⎝
=
1
1
2
2
K =6
2
3ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS
cos15o + cos 75o
Resposta correta: A
|
VOLUME 2
|
MATEMÁTICA 4
11
11.
8 . E . sen
⎛
⎛ x⎞ ⎞
sen ⎜ ⎟ ⎟
⎜
⎝ 2⎠
x⎞
senx
⎛
ƒ(x) = ⎜ 1 + tgx . tg ⎟ . cos x = ⎜ 1 +
.
⎟ . cos x =
⎝
⎠
2
⎜ cos x cos ⎛⎜ x ⎞⎟ ⎟
⎜⎝
⎝ 2 ⎠ ⎟⎠
2 . 8 . E . sen
⎛
⎛ x⎞
⎛ x⎞
⎛ x⎞ ⎞
⎛
2 ⎛ x⎞ ⎞
⎜ 2sen ⎜⎝ 2 ⎟⎠ cos ⎜⎝ 2 ⎟⎠ . sen ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎟
⎜ cos x + 2sen ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎟
⎜
⎟
= 1+
. cos x = ⎜
⎟ .cos x =
⎜
⎟
cos x
⎛ x⎞
⎜
⎟
cos x . cos ⎜ ⎟
⎜⎝
⎟⎠
⎜
⎟
⎝ 2⎠
⎝
⎠
⎛
2 ⎛ x⎞
2 ⎛ x⎞
⎜ 1 − 2 sen ⎜⎝ 2 ⎟⎠ + 2 sen ⎜⎝ 2 ⎟⎠
=⎜
⎜
cos x
⎜
⎝
16 . E . sen
⎞
⎟
⎟ .cos x = 1 .cos x = 1
⎟
cos x
⎟
⎠
8π
8π
π
16π
32π
. cos
= 2. sen .cos
. cos
65
65
65
65
65
144
42444
3
π
16π
16π
32π
= sen
. cos
. cos
65
65
65
65
16π
16π
π
32π
. cos
.cos
= 2.sen
65
65
65
65
144424443
2 . 16 . E . sen
ƒ(x) é constante.
32 . E . sen
π
32π
32π
= sen
. cos
65
65
65
π
32π
32π
= 2 . sen
. cos
65
65
65
π
64π
1
= sen
⇒ 64 . E = 1 ⇒ E =
64 . E . sen
65
65
64
Resposta correta: A
12. y = sen
π
8π
8π
16π
32π
= sen
. cos
. cos
. cos
65
65
65
65
65
2 . 32 . E . sen
5π
π
. cos
12
12
y = sen75o . cos15o = sen2 75o =
2 . sen2 75o
2
Resposta correta: C
3
1+
1 − cos(2 . 75o )
1
3
2
=
= +
y=
2
2
2 4
14.
Resposta correta: A
13. Seja:
2π
4π
8π
16π
π
. cos
. cos
. cos
. cos
. cos
65
65
65
65
65
π
π
π
2π
2 . E . sen
= 2. sen
.cos
. cos
. cos
65
65
65
65
2444
3
144
4
E = cos
cos
2 . E . sen
Observe na figura que:
OQ = cos α, PQ = sen α e RO = 1
Logo:
8π
16π
32π
. cos
. cos
65
65
65
tg α =
π
2π
2π
4π
8π
= sen
. cos
. cos
. cos
.
65
65
65
65
65
16π
32π
. cos
cos
65
65
2 . 2 . E . sen
Resposta correta: B
π
5π ⎞
⎛
15. Na P. A. ⎜ sen , sena, sen ⎟ temos:
12
12 ⎠
⎝
π
5π
sen
+ sen
12
12 ⇒ 2 . sen a = sen 5π + sen π
sen a =
12
2
12
⎛p + q⎞
⎛p − q⎞
Como sen p + sen q = 2 . sen ⎜
⎟ . cos ⎜ 2 ⎟ ,
⎝ 2 ⎠
⎝
⎠
5π
π
5π
π
+
−
π
p + q 12 12
p − q 12 12
π
=
=
e
=
= .
vem
2
2
4
2
2
6
16π
32π
. cos
65
65
π
4π
4π
8π
16π
= sen
. cos
. cos
. cos
.
65
65
65
65
65
32π
cos
65
2 . 4 . E . sen
4π
4π
π
8π
16π
. cos
.
. cos
= 2. sen
.cos
65
65
65
65
65
3
14442444
cos
sen α
PQ
⎛ α ⎞ PQ
=
⇒
e tg ⎜ ⎟ =
2
cos α
+ OQ
RQ
RO
⎝ ⎠
sen α
⎛α⎞
tg ⎜ ⎟ =
⎝ 2 ⎠ 1 + cos α
2π
2π
π
4π
8π
.cos
= 2. sen
. cos
.
. cos
65
65
65
65
65
3
144
42444
cos
4 . E . sen
32π
65
4π
.
65
Então:
2 . sen a = 2 . sen
32π
65
2 . sena = 2 .
π
π
. cos
⇒
4
6
2
3
6
.
⇒ sena =
2
2
4
Resposta correta: D
12
3ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS
|
VOLUME 2
|
MATEMÁTICA 4
⎛π
⎞
sen ⎜ − x ⎟ . cos x
2
⎝
⎠
16. ƒ (x) =
− sen2 x
⎛π
⎞
sen ⎜ − x ⎟
⎝2
⎠ . sen x
⎛π
⎞ cos x
cos ⎜ − x ⎟
⎝2
⎠
⎛π
⎞
cos ⎜ − x ⎟ . cos x
2
⎛π
⎞
⎝
⎠
− sen2x
ƒ(x) = sen ⎜ − x ⎟ . cos x .
⎝2
⎠
⎛π
⎞
sen ⎜ − x ⎟ . sen x
⎝2
⎠
Ĭ(x) =
cos x
⎛π
⎞
. cos ⎜ − x ⎟ − sen2 x
sen x
2
⎝
⎠
ƒ(x) =
cos2 x ⎛
π
π
⎞
cos . cos x + sen . sen x ⎟ − sen2 x
sen x ⎜⎝
2
2
⎠
ƒ(x) =
cos2 x
( 0 . cos x + 1 . sen x ) − sen2 x
sen x
ƒ(x) =
cos2 x
. sen x − sen2 x ¨
sen x
•
•
A ΔABC = 2 .
•
Razão =
r 2 . sen2x
r2
2
⎛π⎞
32 . ƒ ⎜ ⎟ =
⎝8⎠
32 .
= sen2x
Resposta correta: A
20. Sendo ƒ(x) = 3 cosx + 8 senx, vamos usar o seguinte
artifício analógico:
Seja Z = 8 + 3i, onde | Z | =
82 + 32 =
73 .
Então, 8 + 3i = | Z | . (cos θ + i sen θ), onde existe θ pertencente aos reais de modo que:
3
8
sen θ =
e cos θ =
.
73
73
π⎞
π
2
⎛π⎞
⎛
ƒ ⎜ ⎟ = cos ⎜ 2 . ⎟ = cos =
8⎠
4
2
⎝8⎠
⎝
9
64 73
=1
+
=
73 73 73
(Verifica-se a relação fundamental de trigonometria)
Observe que sen2θ + cos2θ =
2
=
2
64
8
= =4
2
2
Dessa forma, podemos escrever:
⎛ 3
⎞
8
ƒ(x) = 73 ⎜
. cos x +
.sen x ⎟ ⇒
73
⎝ 73
⎠
Resposta correta: D
17. n = sen α . cos α . cos 2α . cos 4α . cos 8α . cos 16α . cos 32α
2n = 2 senα cos α . cos 2α . cos 4α . cos 8α . cos 16α . cos 32α
2 . 2n = 2 . sen 2α . cos 2α . cos 4α . cos 8α . cos 16α . cos 32α
2 . 4n = 2 . sen 4α . cos 4α . cos 8α . cos 16α . cos 32α
2 . 8n = 2 . sen 8α . cos 8α . cos 16α . cos 32α
2 . 16n = 2 . sen 16α . cos 16α . cos 32α
2 . 32n = 2 . sen 32α . cos 32α
64n = sen 64α
64α
n = sen
26
ƒ(x) =
73 . sen (θ + x) ⇒
sen (θ + x) =
ƒ (x)
.
73
Como − 1 ≤ sen (θ + x) ≤ 1 ⇒
ƒ (x)
−1≤
≤1⇒
73
− 73 ≤ ƒ(x) ≤
Resposta correta: E
73
Resposta correta: ƒ(x) min = −
73 e ƒ(x) máx =
73
2
1
18.
1
. r . r . sen2x
2
A ΔABC = r 2 . sen2x
ƒ(x) = cos2x − sen2x
ƒ(x) = cos 2x
Logo:
2
hip
⎛ hip ⎞
2
=r⇒⎜
⎟ =r
2
⎝ 2 ⎠
Área do ΔABC ⇒ AΔABC = 2 . AΔCAM
hip = 2r ⇒
( cossecx )2 - 2 = sen2x - 2 =
1
( cossecx )2
2
sen x
1- 2sen x
sen2 x
1
aula 9
=
sen2 x
ARCO METADE
2
= 1- 2sen x = cos2x
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES
Resposta correta: D
19.
1.
PARA
SALA
π
e 4(1 – sec2x)(sen2x – 1) = 3 →
2
sen2 x
→ 4 . cos2x . tg2x = 3 → 4cos2x .
=3→
cos2 x
Temos 0 ≤ x ≤
→ sen2 x =
3
3
π
→ senx =
→x=
4
2
3
Resposta correta: B
3ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS
|
VOLUME 2
|
MATEMÁTICA 4
13
2.
tg2
θ 1 − cos θ
5 1 − cos θ
=
⇒
=
⇒
2 1 + cos θ
16 1 + cos θ
⇒ 5 + 5 cos θ = 16 − 16 cos θ ⇒ cos θ =
5.
11
.
21
⎛ ⎛ ⎛ π ⎞⎞⎞
Queremos h ⎜ g ⎜ f ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ . Temos:
⎝ ⎝ ⎝ 12 ⎠ ⎠ ⎠
⎛ π⎞
⎛ π⎞
⎛ π⎞
⎛ π⎞
⎛ 5π ⎞
f ⎜ ⎟ = sen ⎜ ⎟ + cos ⎜ ⎟ = sen ⎜ ⎟ + sen ⎜ ⎟ =
⎝ 12 ⎠
⎝ 12 ⎠
⎝ 12 ⎠
⎝ 12 ⎠
⎝ 12 ⎠
⎛ π 5π ⎞
⎛ 5π π ⎞
+
−
⎜ 12 12 ⎟
⎜
⎟
⎛ π⎞
⎛ π⎞
= 2sen ⎜
. cos ⎜ 12 12 ⎟ = 2sen ⎜ ⎟ .cos ⎜ ⎟ =
⎟
⎝ 4⎠
⎝ 6⎠
2
2
⎜⎝
⎟⎠
⎜⎝
⎟⎠
= 2.
Aplicando Pitágoras, temos:
21² = 11² + x² ⇒ x² = 320 ⇒ x = 8 5 .
Logo, sen θ =
2
3
6
.
.
=
2
2
2
2
⎛ 6⎞ ⎛ 6⎞
3
⎛ 3⎞
⎛ 3⎞
Fazendo g ⎜
=⎜
= e h⎜ ⎟ = 2⎜ ⎟ = 3
⎟
⎟
⎝
⎠
⎝ 2⎠
2
2
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
8 5
x
, pois 0 < θ < .
21
2
⎛ ⎛ ⎛ π ⎞⎞⎞
Logo: h ⎜ g ⎜ f ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ = 3
⎝ ⎝ ⎝ 12 ⎠ ⎠ ⎠
20 5
20 5
⎛ senθ ⎞
=
= 20 5 . ⎜
⎟=
1
1
1
cos θ
⎝ 1 + cos θ ⎠
+
+
senθ tgθ
senθ senθ
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS
8 5
5
20 . 8 . 5
8 5 21
21
= 20 5 .
= 20 5 .
.
=
= 25
11
32
21 32
1+
4
21
1.
Seja x =
Então: x 2 =
⇒ x2 =
⎛ 30º ⎞ 1 + cos 30º
cos2 15º = cos2 ⎜
=
⇒
⎝ 2 ⎟⎠
2
2
⇒ cos 15º =
1+
⇒ x2 =
3
2+ 3
2+ 3
2 =
2
⇒ cos2 15º =
.
4
2
2
2
=
1 − cos2 θ
2
⇒
1 − cos θ
⎛θ⎞
⎛θ⎞
⇒ ⇒ x 2 = tg2 ⎜ ⎟ ⇒ x = tg ⎜ ⎟
2
1 + cos θ
⎝ ⎠
⎝2⎠
Resposta correta: D
⎛2+ 3⎞
20 . cos2 15º = 20 . ⎜
⎟ = 5 2+ 3 ⇒
⎝ 4 ⎠
(
sen2 θ
(1+ cos θ ) (1+ cos θ )
(1+ cos θ ) (1− cos θ )
⇒
2
(1+ cos θ )
Resposta correta: A
3.
sen θ
, com 0 < θ < x.
1 + cos θ
)
2.
⇒ 20 . cos2 15º = 10 + 5 x 3 = 10 + 5 x 1,73... ⇒
⇒ 20 . cos2 15º = 10 + 8,6602... ⇒
⇒ 20 . cos2 15º = 18,6602... . Logo, o maior valor inteiro
menor que 18,6602... é o número 18.
Resposta correta: D
4.
⎛ 1 − cos a ⎞
1 − cos a
log ⎜
=4⇔
= 104 ⇒
1 + cos a
⎝ 1 + cos a ⎟⎠
Se lembrarmos bem, o diâmetro é igual à hipotenusa.
Logo, temos:
r
1
senα =
⇒ senα = ⇒ α = 30o
2r
2
a
a
= 104 ⇒ tg = ± 104 ⇒
2
2
a
a
⇒ tg = ±102 ⇒ tg = ±100.
2
2
1 − cos a
>0.
Condição de existência:
1 + cos a
tg2
Assim: sen
α
30o
= sen
= sen15o
2
2
sen(45o − 30o ) = sen45o cos 30o − cos 45o sen30o
a
Então, tg = 100.
2
=
2
3
2 1
2
−
.
. =
( 3 − 1)
2
2
2 2
4
Resposta correta: D
Resposta correta: D
14
3ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS
|
VOLUME 2
|
MATEMÁTICA 4
3.
⎛ 3 2 10 ⎞
θ
θ⎞
⎛
Logo, 28 . ⎜ sen + cos ⎟ = 28 ⎜ +
⎟ = 12 + 8 10.
⎜7
2
2⎠
7 ⎟⎠
⎝
⎝
12
25
1+
⎛ θ ⎞ 1 − cos θ
13
13
tg ⎜ ⎟ =
=
=
⇒
1
⎝ 2 ⎠ 1 + cos θ 1 − 12
13 13
θ
θ
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⇒ tg2 ⎜ ⎟ = 25 ⇒ tg ⎜ ⎟ = ±5.
⎝2⎠
⎝2⎠
2
Resposta correta: D
π
π θ π
⎛ θ⎞
Como < θ < π ⇒ ⇒ < < , e, portanto, tg ⎜ ⎟ = 5.
4 2 2
2
⎝ 2⎠
6.
Aplicando Pitágoras, temos:
Resposta correta: E
4.
45 3 5 π
=
, < θ < π.
7
7 2
sen θ =
2
45º ⎞ 1 − cos 45º 1 − 2
=
=
⇒
tg 22,5º = tg ⎜
⎝ 2 ⎟⎠ 1 + cos 45º
2
1+
2
2− 2
2− 2
2
2
⇒
⇒ tg222,5º =
=
.
2
2+ 2
2+ 2
2
2⎛
2
(2 − 2 ) x (2 − 2 ) ⇒
⇒ tg 22,5º =
(2 + 2 ) x (2 − 2 )
72 =
2
⇒ tg222,5º =
(
⇒ tg22,5º =
)
45
)
2
+ x 2 ⇒ 49 = 45 + x 2 ⇒
⇒ x 2 = 4 ⇒ x = 2 ⇒ cos θ = −
(
)
2 3−2 2
4− 4 2 +2 6−4 2
⇒
=
=
2
4−2
2
⇒ tg222,5º = 3 − 2 2 = 2 − 2 2 + 1 =
(
(
)
sen 2θ = 2 . sen θ . cos θ = 2 .
2
π
2
<θ<π
, pois
7
2
3 5
7
12 5
⎛ 2⎞
. ⎜− ⎟ = −
49
⎝ 7⎠
2
1+
1 − cos θ
7 =9.1= 9 ⇒
=
sen 2 =
2
2
7 2 14
θ
3
θ π
⇒ sen =
, pois π < < .
2
2 2
14
2 −1 ⇒
2 θ
2
2 − 1 ⇒ tg22,5º = 2 − 1
Resposta correta: E
5.
(7
1 + sen θ
) = (3 + 2
2
10
) , 0 < θ < 2π
2
Logo,
49 (1 + sen θ ) = 9 + 12 10 + 40
⎛ 12 5
. ⎜−
49
2 5 ⎜⎝
= – 6 + 3 = –3.
12 10
49
Aplicando Pitágoras, temos:
sen θ =
(
)
θ
θ
2
1 − cos
1 − cos
⎛
⎞
+
1
5
⎛θ⎞
2 ⇒⎜
2 ⇒
tg ⎜ ⎟ =
⎟⎟ =
⎜
θ
⎝ 4 ⎠ 1 + cos θ
⎝ 2 ⎠
1 + cos
2
2
(
2 3+ 5
4
(
θ
) = 1− cos 2 ⇒ 3 +
1 + cos
)
⇒ 3 + 5 . 1 + cos
31
49 = 80 . 1 = 40 ⇒ cos θ = 2 10 .
2
49 2 49
2
7
1+
3ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS
=
2
⇒
31
1−
θ 3
1 − cos θ
18 1
9
2 θ
49
=
=
⇒ sen =
sen 2 =
. =
2
2
49 2 49
2 7
θ 1+ cos θ
=
=
cos
2
2
3
14
θ
θ
1 − cos
1 − cos
1+ 2 5 + 5
6+2 5
2
2
⇒
=
⇒
=
⇒
θ
θ
4
4
1 + cos
1 + cos
2
2
+ x2
2401 = 1440 + x 2 ⇒ x 2 = 961 ⇒
31
⇒ x = 31 ⇒ cos θ =
49
2
⎞
⎟ + 14 .
⎟
⎠
Resposta correta: A
7.
2
49
=
49 + 49 senθ = 49 + 12 10
492 = 12 10
49
θ
. sen 2θ + 14 . sen =
2
2 5
⇒ 3 + 3 cos
|
VOLUME 2
|
θ
2
2
5
θ
2
=
⇒
θ
1 + cos
2
1 − cos
θ
θ⎞
⎛
= 2 ⎜ 1 − cos ⎟ ⇒
2
2
⎝
⎠
θ
θ
θ
+ 5 + 5 . cos = 2 − 2 . cos ⇒
2
2
2
MATEMÁTICA 4
15
⇒ 5 cos
⇒ cos
θ
θ
+ 5 cos = −
2
2
(
) (
θ
5+ 5 = −
2
(
(
(
aula 10
)
5 +1 ⇒
TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
)
5 +1 ⇒
) (
) (
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES
)
)
5 +1
5− 5
θ
⇒ cos = −
⇒
x
2
5+ 5
5− 5
⇒ cos
θ
5 5−5+5− 5
=−
⇒
2
25 − 5
⇒ cos
θ
4 5
θ
5
=−
⇒ cos = −
2
20
2
5
cotg
Como  = 27° e Cˆ = 63° → Bˆ = 90°
Daí AC maior lado → AC = 1
Logo: BC = sen27° e AB = sen63°
Então, 2p = AB + AC + BC = sen63° + sen27° + 1
⎛ 63 + 27 ⎞
⎛ 63 − 27 ⎞
= 2sen ⎜
+ 1 = 2sen45° . cos18° + 1
.cos ⎜
⎝ 2 ⎟⎠
⎝ 2 ⎟⎠
a
a
1
= 3 ⇒ tg = −
2
2
3
1 1 − cos a
⎛ a ⎞ 1 − cos a
⇒ =
⇒
tg2 ⎜ ⎟ =
2
1
+
cos
a
3
1 + cos a
⎝ ⎠
⇒ 1 + cos a = 3 − 3 cos a ⇒ 4 cos a = 2 ⇒
⇒ cos a =
SALA
1.
Resposta correta: B
8.
PARA
→ 2p =
1
π
3
⇒ a = ⇒ sen a =
2
3
2
2 cos18° + 1.
2 = 1,4 e cos18° = 0,95 → 2p = 2,33
Como
Resposta correta: B
2.
Resposta correta: A
9.
π
π
π
sen
2sen
. cos
π
12
12
12
=
=
=
x = tg
π
12 cos π
2 cos2
12
12
π
π
sen
sen
6
6 =
=
=
π
2 π
2 cos
− 1 + 1 cos + 1
12
6
1
1
3 −2
= 2 =
=
=
3−4
3
3+2
+1
2
= 2− 3 →
(
x = 2 − 3 → | x |= 2 − 3
)
Observe na figura que:
cos 10º =
BA
BA
=
→ BA = 2 2 . cos 10º
AC 2 2
SABC =
BC . BA 2 2 . sen 10º . 2 2 . cos 10º
=
→
2
2
→ SABC = 2 . 2 sen 10º . cos 10º → SABC = 2 . sen 20º .
Resposta correta: D
Como sen 10º + cos 10º = a
=1
644474448
10. cos4 π − sen4 π = ⎛⎜ cos2 π + sen2 π ⎞⎟ . ⎛⎜ cos2 π − sen2 π ⎞⎟ =
17
17 ⎝
17
17 ⎠ ⎝
17
17 ⎠
→ sen210º + 2 sen 10º . cos 10º + cos2 10º = a2
→ sen 20º = a2 − 1. Logo, SABC = 2 . (a2 − 1)
π
π
2π
− sen2
= cos
17
17
17
Resposta correta: B
Resposta correta: D
16
BC
BC
=
→ BC = 2 2 . sen 10º
AC 2 2
2
Mas x > 0, x = 4 − 4 3 + 3 → x = 7 − 4 3
= cos2
sen 10º =
3.
3ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS
|
π
13π
cos .cos
π
17
17 =
α=
→y=
3π
5π
17
+ cos
cos
17
17
π
13
π
⎛ ⎞
⎛
⎞
2 cos ⎜ ⎟ . cos ⎜
⎝ 17 ⎠
⎝ 17 ⎟⎠
=
5π
⎛ 3π ⎞
2 cos ⎜ ⎟ + cos
⎝ 17 ⎠
17
VOLUME 2
|
MATEMÁTICA 4
⎛ 14π ⎞
⎛ 12π ⎞
+ cos ⎜
cos ⎜
⎝ 17 ⎟⎠
⎝ 17 ⎟⎠
=
=
⎛
⎛ 3π ⎞
⎛ 5π ⎞ ⎞
2 ⎜ cos ⎜ ⎟ + cos ⎜ ⎟ ⎟
⎝ 17 ⎠
⎝ 17 ⎠ ⎠
⎝
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS
1.
log2 sen x = m e log2 cos x = n
log2 (sen 3x + sen x) = log2 (2 . sen2x . cos x) =
⎛ 3π ⎞
⎛ 5π ⎞
− cos ⎜ ⎟ − cos ⎜ ⎟
⎝ 17 ⎠
⎝ 17 ⎠ −1
=
=
3π
5π ⎞
⎛
2
+ cos ⎟
2 ⎜ cos
⎝
17
17 ⎠
= log22 + log2 sen2x + log2cosx =
= 1 + log2(2 . senx . cosx) + n =
= 1 + log22 + log2senx + log2cosx + n =
= 1 + 1 + m + n + n = 2 + 2n + m.
4.
y = sen
13π
11π
. cos
12
12
Resposta correta: C
2.
Sabemos que:
sen a . cos b =
1
[sen(a + b) + sen (a – b)].
2
⎛ ax + bx ⎞
⎛ ax + bx ⎞
⎛ ax − bx ⎞
⎛ ax − bx ⎞
⎟ . cos ⎜
⎟ . 2. sen ⎜
⎟ . cos ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
P = 2sen ⎜
Logo:
⎛
1⎡
⎛ 13π 11π ⎞
⎛ 13π 11π ⎞ ⎤
+
−
⎢sen ⎜
⎟ + sen ⎜
⎟⎥ ⇒
2⎣
12
12
12 ⎠ ⎦
⎝
⎠
⎝ 12
π⎞
1⎛
⇒ y = ⎜ sen 2π + sen ⎟ ⇒
2⎝
6⎠
P = sen ⎜ 2 .
y=
⇒ y=
P = sen2ax – sen2bx
P = (senax + senbx) . (senax – senbx)
⎛ ax + bx ⎞
⎛ ax − bx ⎞
⎛ ax − bx ⎞
⎛ ax + bx ⎞
P = 2 .⎜
.cos ⎜
.2.sen ⎜
.cos ⎜
⎟
⎟
⎟
⎟
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
1
2
⎝
⎛
ax + bx ⎞
ax − bx ⎞
⎟ . sen ⎜ 2 .
⎟
2
2
⎠
⎝
⎠
P = sen (a + b)x . sen (a – b)x
Resposta correta: D
1⎞
1
⎛
⎜0 + ⎟ ⇒ y =
2⎠
4
⎝
3.
1 − cos x cos 0º − cos x
=
=
1 + cos x cos 0º + cos x
⎛x⎞
⎛ x⎞
⎛x⎞
−2 . sen ⎜ ⎟ . sen ⎜ − ⎟ sen2 ⎜ ⎟
2⎠
2⎠
⎝
⎝
⎝ 2 ⎠ = tg2 ⎛ x ⎞
=
=
⎜2⎟
⎛x⎞
⎛ x⎞
2⎛ x⎞
⎝ ⎠
2 . cos ⎜ ⎟ . cos ⎜ − ⎟
cos ⎜ ⎟
⎝2⎠
⎝ 2⎠
⎝2⎠
Resposta correta: A
5.
Resposta correta: Demonstração.
4.
sen 146º + sen 26º = 2 sen . 86º . cos 60º =
1
= 2 . sen 86º . = sen 86º
2
Resposta correta: C
5.
Temos: tgθ =
40 2
300
= e tg(α + θ) =
=5
60 3
60
tgα + tgθ
→
1 − tgα . tgθ
Como tg(α + θ) =
→5=
tgα +
2
3
2
1 − tgα .
3
=5=
3tgα + 2
→
3 − 2tgα
a⎞
⎛ 3a
⎞
⎛
sen(a – x) + sen(2a – 3x) = 2 . sen ⎜ − 2x ⎟ . cos ⎜ x − ⎟ →
2⎠
⎝2
⎠
⎝
a⎞
⎛ 3a
⎞
⎛
cos(a – x) + cos(2a – 3x) = 2 . cos ⎜ − 2x ⎟ . cos ⎜ x − ⎟ →
2⎠
⎝2
⎠
⎝
⎛ 3a
⎞
sen ⎜
− 2x ⎟
sen(a − x) + cos(2a − 3x)
⎝ 2
⎠ = tg ⎛ 3a − 2x ⎞
=
→
⎜ 2
⎟
cos(a − x) + cos(2a − 3x)
⎛ 3a
⎞
⎝
⎠
cos ⎜
− 2x ⎟
⎝ 2
⎠
Resposta correta: E
6.
→ 15 – 10tgα = 3tgα + 2
→ 13tgα = 13 α tgα = 1
como α < 90° → α = 45°
Resposta correta: C
senα + 2 sen 2 α + sen 3α =
= sen 3α + senα + 2 sen 2α =
= 2 . sen 2α . cosα + 2 sen 2α =
= 2 . sen 2α . (cosα + 1) =
= 2 . sen 2α . (cosα + cos0º) =
α
α
= 2 . sen 2α . 2 . cos
. cos
2
2
α
= 4 . sen 2α . cos2
2
Resposta correta: B
3ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS
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VOLUME 2
|
MATEMÁTICA 4
17
7.
E=
26 − 104 . sen 70º . sen 10º
sen 10º
1
Mas, sen 70º . sen 10º = − [cos (70º + 10º) − cos (70º − 10º)] ⇒
2
1
⇒ sen 70º . sen 10º = − . (cos 80º − cos 60º ) ⇒
2
1⎛
1⎞
⇒ sen 70º . sen 10º = − ⎜ cos 80º − ⎟ ⇒
2⎝
2⎠
1 1
⇒ sen 70º . sen 10º = − cos 80º. Logo,
4 2
⎛1 1
⎞
26 − 104 ⎜ − cos 80º ⎟
4
2
⎝
⎠ ⇒
E=
sen 10º
h
H
e tg2θ =
d
d
h
2.
2tgθ
d
Mas tg2θ =
=
→
2
1 − tg2θ
⎛ h⎞
1− ⎜ ⎟
⎝ d⎠
Temos: tgθ =
2h
2hd
=
→
d2 − h2 d2 − h2
d
H
2hd
2hd2
H
→ = 2
→
=
d d − h2
d2 − h2
→ tg2θ =
8.
26
− 104 . sen 70º, temos:
sen 10º
11. Sendo E =
⇒E =
sen 7x + 2 sen 3x – sen x =
= (sen 7x + sen 3x) + (sen 3x – sen x) =
= 2 . sen 5x . cos 2x + 2 . sen x . cos 2x =
= 2 cos 2x (sen 5x + sen x) =
= 2 . cos 2x . 2 . sen 3x . cos 2x =
2
= 4 . cos 2x . sen 3x
26 − 26 + 52 . cos 80º 52 . sen 10º
=
⇒ E = 52
sen 10º
sen 10º
Resposta correta: 52
12.
Resposta correta: A
9.
⎧
⎛ x−y ⎞ 1
⎛x + y⎞
1
⎧
. cos ⎜⎜
⎪ 2 . sen ⎜
⎟⎟ = (I)
⎟
⎪⎪sen x + sen y = 2
⎝ 2 ⎠
⎪
⎝ 2 ⎠ 2
⇒
⎨
⎨
⎛x + y⎞
⎛x − y⎞ 3
⎪
⎪cos x + cos y = 3
⎪ 2 . cos ⎜ 2 ⎟ . cos ⎜ 2 ⎟ = 4 (II)
⎪⎩
4
⎝
⎠
⎝
⎠
⎩
Dividindo (I) por (II), obtemos:
⎛x + y⎞
1
sen ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠ = 2 ⇒ tg ⎛ x + y ⎞ = 2 ⇒
⎜ 2 ⎟ 3
3
⎛x + y⎞
⎝
⎠
cos ⎜
⎟
4
⎝ 2 ⎠
Temos o trapézio 0ABT, de altura AD .
AD
A = OT + AB .
2
Mas: A0 = 0T = R = 2r
(
4 1 − cos(x + y)
⎛ x + y ⎞ 1 − cos(x + y)
⇒ tg2 ⎜
⇒ =
⇒
⎟=
9 1 + cos (x + y)
⎝ 2 ⎠ 1 + cos(x + y)
⇒ 4 + 4 cos(x + y) = 9 − 9 cos(x + y) ⇒
⇒ 13 . cos (x + y) = 5
)
E: AD = 2r senθ e 0D = 2rcosθ
Logo: AB = 0T − 0D = 2r − 2r cos θ
Aplicamos na fórmula:
2rsenθ 4r 2
=
(2 – cosθ) . senθ →
2
2
→ A = r2(4 – 2cosθ)senθ = r2(4senθ – 2cosθsenθ) →
→ A = r2(4senθ – sen2θ)
A = (2r + 2r – 2r . cosθ) .
Resposta correta: A
10. sen61o = m
Resposta correta: C
sen61o = sen(45o + 16o ) =
13. sen α + sen β = 2 . sen (α + β)
2
2
. cos16o +
sen16o = m
2
2
2
⇒
(sen16o + cos16o ) = m
2
2m
2
⇒ sen16o + cos16o =
.
2 2
⇒
⎛α + β⎞
⎛α −β⎞
2 . sen ⎜
⎟ . cos ⎜ 2 ⎟ = 2 . sen (α + β)
⎝ 2 ⎠
⎝
⎠
Faça:
α+β
α−β
= x ⇒ α + β = 2x e
=y
2
2
sen16o + cos16o = 2m
Resposta correta: C
18
3ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS
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VOLUME 2
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MATEMÁTICA 4
Logo, temos: sen x . cos y = sen 2x ⇒
15. sen 47º + sen 61º – sen 11º – sen 25º=
⇒ sen x . cos y = 2 . sen x . cos x ⇒
= (sen 61º + sen 47º) – (sen 25º + sen 11º) =
⎛ α − β⎞
⎛ α + β⎞
.
⇒ * cos ⎜
= 2 . cos ⎜
⎝ 2 ⎟⎠
⎝ 2 ⎟⎠
= 2 . sen 54º . cos 7º – 2 . sen 18º . cos 7º =
α
sen . sen
α
β sen α/2 cos β/2
2
tg . tg =
.
=
2
2 cos α/2 cos β/2 cos α . cos
2
= 2 cos 7º (sen 54º – sen 18º) =
β
2 =
β
2
= 2 cos 7º . 2 sen 18º . cos 36º =
sen 36º
644474448
2 . sen 18º . cos18º . cos 36º
= 2 . cos 7º .
cos 18º
1 ⎡
⎛α β⎞
⎛ α β ⎞⎤
⎢cos ⎜ + ⎟ − cos ⎜ − ⎟ ⎥
2
2
2 ⎣
⎝
⎠
⎝ 2 2 ⎠⎦
=
=
1 ⎡
⎛α β⎞
⎛ α β ⎞⎤
cos
+
+
cos
−
⎜ 2 2⎟
⎜ 2 2 ⎟⎥
2 ⎢⎣
⎝
⎠
⎝
⎠⎦
−
= 2 . cos 7º .
⎛α −β⎞
⎛α + β⎞
⎛α + β⎞
⎛ α+β ⎞
* cos ⎜
2 . cos ⎜
−cos ⎜
− cos ⎜
⎟
2 ⎟⎠
2 ⎟⎠
2 ⎟⎠
⎝
⎝
⎝
⎝ 2 ⎠=
=
=
⎛α −β⎞
⎛α + β⎞
⎛α + β⎞
⎛ α+β ⎞
* cos ⎜
⎟ + cos ⎜ 2 ⎟ 2 . cos ⎜ 2 ⎟ + cos ⎜ 2 ⎟
⎝ 2 ⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
=
⎛α + β⎞
cos ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
⎛ α +β⎞
3 . cos ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
= cos 7º .
2 . sen 36º . cos 36º
cos 18º
= cos 7º .
sen 72º
cos 18º
= cos 7º .
=
sen 36º . cos 36º
cos 18º
1
3
cos 18º
cos 18º
= cos 7º
Resposta correta: C
Resposta correta: C
14. Se a e b são agudos complementares, então:
a+b=
π
π
→ b= −a
2
2
Logo, vem que:
⎛π
⎞
sena + sen ⎜ − a ⎟
⎝2
⎠ = 3 ⇒
⎛π
⎞
sen a − sen ⎜ − a ⎟
⎝2
⎠
π
π⎞
⎛
2 . sen . cos ⎜ a − ⎟
4
4⎠
⎝
= 3 ⇒
⇒
π⎞
π
⎛
2 . sen ⎜ a − ⎟ . cos
4⎠
4
⎝
π⎞
π⎞
3
⎛
⎛
⇒ cot g ⎜ a − ⎟ = 3 ⇒ tg ⎜ a − ⎟ =
⇒
4⎠
4⎠
3
⎝
⎝
5π
π π
π 5π
π
a− =
⇒ a=
⇒b= −
⇒b=
4 6
12
2 12
12
¨
5π
⎧
⎪ 3a 3 . 12 π
=
=
⎪
Veja que: ⎨ 5
5
4
⎪
π
π
=
⎪3b = 3 .
12 4
⎩
e
Então:
π
π
2
2
⎛ 3a ⎞
+
= 2
sen ⎜ ⎟ + cos ( 3b ) = sen + cos =
5
4
4
2
2
⎝ ⎠
Resposta correta: C
-5309
Rev.: Jarina
3ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS
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MATEMÁTICA 4
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