Gabarito
Matemática B – Extensivo – V. 4
Resolva
Aula 14
Aula 13
13.01) 0 ≤ x ≤ 2 S
2sen x – 1 – 0
2sen x – 1
14.01) y
sen x – 1
2
x
1Ù
É
sec 2 Ê arc sen Ú
2
Ë
Û
’
sen x 1 Á x
2
30o
y = sec 230o
150°
30°
1
2
y=
y=
π ≤ x ≤ 5S
6
6
S
13.02) 0 ≤ x ≤ 2
2sen2 x + sen x – 1 < 0
sen x = y
2y2 + y – 1 < 0
x = arc cos 4 ¾ cos x = 4
5
5
–1 +
1 ” 1 8
–3=
=–
Á y=
4
4
y
– – –
1
=2
1
2
14.02) E = 10 Ìsen É arc cos 4 Ù Ü
Ê
Ú
Í
5 Û ÝÞ
Ë
Î
30o ≤ x ≤ 150o
–1
1
cos 60o
1
–
2
–1
y' = –
2
y'' = –1
sen x = 3
5
y
E = 10sen x = 10 . 3 = 6
5
–1<y< 1
2
14.03) y = cos ÊÉ arc tg 4 ÙÚ
3Û
Ë
– 1 < sen x < 1
2
arc tg 4 = x ¾ tg x = 4
3
3
Solução
1
2
150°
cos x = 3
5
30°
0°
360°
4Ù
É
cos Ê arc tg Ú
3Û
Ë
y = cos x
y
y= 3
5
–1
S = {x / 0o † x 30o ou 150o x † 360o e x œ 270o }
Matemática B
1
Gabarito
Testes
Aula 13
cos x ≤
–2sen2 x + 5sen x – 2 – 0
2sen2 x – 5sen x + 2 ≤ 0
sen x = y
2y2 – 5y + 2 ≤ 0
3 ≤ 0; 0 ≤ x ≤ 2π
13.01) 2cos x –
3
2
y
– – –
1
2
2
x (–1)
y
1 ≤ y ≤ 2
2
1 ≤ sen x ≤ 2
2
sen x – 1
2
x
Solução: 30o ≤ x ≤ 330o
150°
13.02) 2cos x + cos x – 1 > 0; 0 ≤ x ≤ 2π
cos x = y
2y2 + y – 1 > 0
+
y –1
+
1 y
2
30°
1
2
2
y
y < – 1 ou y > 1
2
cos x < –1 (impossível)
ou
Solução: 30o ≤ x ≤ 150o
13.04) sen 2x – cos x > 0; 0 ≤ x ≤ π
2
2sen x . cos x – cos x > 0
cos x . (2 sen x – 1) > 0 Á (I) ou (II)
(I) cos x > 0 e 2sen x – 1 > 0
cos x > 1
2
60°
p
2
1
2
sen x > 1
2
x
0°
360°
0
0
300°
Solução: 0o ≤ x < 60o ou 300o < x ≤ 360o
13.03) 2cos2 x + 5sen x – 4 – 0; 0o ≤ x ≤ 360o
2 . (1 – sen2 x) + 5sen x – 4 – 0
2 – 2sen2 x + 5sen x – 4 – 0
2
Matemática B
0 ≤ x< π e π <x † π
6
2
2
Á I: π < x < π
6
2
1
2
p
6
Gabarito
(II)
cos x 0
e
’
impossível para
2 sen x 1 0
sen x 1
2
0†x† S
2
Á II: ©
Juntando (I) ou (II), temos a solução: π < x < π
6
2
3 ; 0 < x < 2π
13.05) 2cos 2x <
cos 2x <
3
2
Solução: S < x < π
3
2
2x
30°
390°
3
2
330°
13.07) B
2sen2 x – sen x; [0, 2 S ]
2sen2 x – sen x – 0
sen x = y
2y2 – y – 0
690°
+
y
30o < 2x < 330o ou 390o < 2x < 690o
Á 15o < x < 165o ou 195o < x < 345o
13.06) A
+
0
– –
1
2
y
y ≤ 0 ou y – 1
2
Á sen x ≤ 0
sec x > 2; 0 ≤ x ≤ π
2
1 >2
cos x
Se multiplicarmos por cos x nos dois lados, o sinal
não inverte, pois cos x é positivo em 0 ≤ x ≤ π .
2
Assim:
(cos x) .
p
0
1 > 2 . (cos x)
cos x
0
2p
x
1 > 2cos x
1 > cos x
2
S ≤ x ≤ 2π ou x = 0
ou
sen x – 1
2
Matemática B
3
Gabarito
x
5p
6
p
6
1
2
Solução
0 ≤ 2x ≤ π
6
π ≤ x ≤ 5S
6
6
0 ≤ x ≤ S
12
ou
Solução: {0} ∪ Ì S , 5S Ü ∪ [S, 2S]
ÍÎ 6 6 ÝÞ
5S ≤ 2x ≤ 2π
6
13.08) D
5S ≤ x ≤ S Á 5S ≤ x ≤ π
12
12
2
2sen2 x – sen x > 0; [0, 2π ]
sen x = y
2y2 – y > 0
+
13.10) B
sen2 x – 1 – 0; [0, S ]
2
sen x = y
+
– –
y 0
1 y
2
y2 – 1 – 0
2
y < 0 ou y > 1
2
+
sen x < 0 ou sen x > 1
2
y
x
5p
6
p
0
2p
1
2
p
6
2
2
y ≤ – 2 ou y –
2
S < x < 2π ou π < x < 5S
6
6
2
2
2
2
x
3p
4
13.09) B
Ì0, S Ü
ÍÎ 2 ÝÞ
2y
2
sen x ≤ – 2 (impossível em [0, S ])
2
ou
sen x –
x
sen x . cos x ≤ 1 ;
4
–
+
– –
p
2sen x . cos x ≤ 1
2
sen 2x ≤ 1
2
Solução: π ≤ x ≤ 3S
4
4
4
Matemática B
p
4
0
Gabarito
13.11) A
(II)
2 cos x > cos x; [0, S ]
2
2 cos2 x – cos x > 0
cos x = y
cos x < 0
↓
ou
2 sen x − 1 < 0
⎡ π⎤
impossível em ⎢0, ⎥
⎣ 2⎦
2 y2 – y > 0
Solução (II): ©
+
+
y 0
– –
y < 0 ou y >
2
2
cos x < 0 ou cos x >
13.13) a) 2sen x 1 > 0; [0, 2 S ]
sen2 x 1
2sen x 1
> 0(I)
cos2 x
Observe que, para evitar o denominador zero,
2
2
p
2
π
3S
ex œ
.
2
2
Multiplicando os dois lados da inequação (I) pelo
número negativo –cos2 x, temos:
p
4
x
p
π π
Unindo (I) ∪ (II) = ⎛⎜ , ⎞⎟ .
⎝6 2⎠
y
2 y
2
0
0
0
2
2
π < x ≤ S ou 0 ≤ x < π
2
4
devemos ter x œ
( cos2 x ) . 2sen x 1 > 0 . (–cos2 x)
cos2 x
2sen x – 1 < 0
sen x < 1
2
Ì0, S Ü
13.12) sen 2x – cos x > 0; Í 2 Ý
Î
Þ
2sen x . cos x – cos x > 0
cos x . (2sen x – 1) > 0
(I) ou (II), em que
(I): cos x > 0 e 2sen x – 1 > 0
Solução
{
x ∈ R / 0 ≤ x < π ou 5 π < x ≤ 2π e x ≠ 3 π
6
6
2
}
b) (–2cos x + 1) . (cos x – 1) – 0; [0, 2π ]
–2cos2 x + 2cos x + cos x – 1 – 0
–2cos2 x + 3cos x – 1 – 0
. (–1)
2cos2 x – 3cos x + 1 ≤ 0
cos x = y
2y2 – 3y + 1 ≤ 0
0 ≤ x< π e π <x ≤ π
2
6
2
Solução (I):
S
S
x
6
2
1 ≤ y ≤ 1
2
1 ≤ cos x ≤ 1
2
Matemática B
5
Gabarito
cos x = 4
5
E = 5 . [cos x] = 5 . 4 = 4
5
14.03) y = sen [arc tg (cos 5 S )]
y = sen [arc tg (–1)]
y = sen (–45o)
Solução
^
x ± R / 0 † x † S ou 5 S † x † 2S
3
3
`
13.14) B
y=– 2
2
É
É 3 ÙÙ
14.04) y = tg Ê arc sen Ê Ú Ú
Ë 5 ÛÛ
Ë
3
É
x = arc sen Ê ÙÚ ¾ sen x = – 3
Ë 5Û
5
(sen x + cos x)2 < 1; 0 < x < 2π
sen2 x + cos2 x + 2sen x . cos x < 1
1 sen 2x 1
sen 2x < 0
tg x = – 3
4
y = tg x
y = –3
4
Ù
É
arc sen 3 Ú
14.05) y = tg 2 . ÊÊ
2 ÚÛ
Ë
o
y = tg 2 . 60
y = tg 120o = – 3
Solução
S < 2x < 2π ou 3S < 2x < 4S
π < x < S ou 3S < x < 2π
2
2
Aula 14
14.01) y = tg 2 . É arc cos 1 Ù
Ê
Ú
2Û
Ë
o
y = tg [2 . (60 )]
y = tg 120o
y=– 3
14.02) E = 5 . Ìcos ÉÊ arc sen 3 ÙÚ Ü
Í
5 Û ÝÞ
Ë
Î
x = arc sen 3 ¾ sen x = 3
5
5
6
Matemática B
14.06) y = arc tg 1 + arc tg 1
3
2
arc tg 1 = a ¾ tg a = 1
2
2
arc tg 1 = b ¾ tg b = 1
3
3
Á y=a+b
Lembre-se de que:
tg (a + b) = tg a tg b
1 tg a . tg b
5
32
6
= 6 =
=1
5
1 1
6
6
Á tg (a + b) = 1 Á a + b = π
4
1 1
2
3
=
1 1 . 1
2 3
Logo, y = a + b = π .
4
Gabarito
14.07) B
y = arc sen ( 2x 3 )
Á –2y2 + 3y = 1
–2y2 + 3y – 1 = 0
y' = 1; y" = 1
2
1
1
, temos sen x = –2, o que é impossível.
2
Assim, y = 1.
Se y =
sen y
0
0
14.11) B
sen y =
3
= 60o
2
E = arc tg (–1) = –45o
D = arc sen
–1
2x 3 – 0
cos E + tg D = cos (–45o) + tg 60o =
sen y – 0
0 ≤ 2x – 3 ≤ 1
3 ≤ 2x ≤ 4
=
3 ≤ x ≤ 2
2
=
14.08) D
2 +
2
3=
22 3
2
14.12) x = 10
f: [0, 1] ‘ [0, S ]
f(x) = arc cos ÉÊ 3x 1ÙÚ
Ë 2 Û
x = 0 Á f(0) = arc cos ÉÊ 1 ÙÚ = 2S
3
Ë 2Û
x = 1 Á f(1) = arc cos (1) = 0
Imagem: Ì0, 2S Ü
ÍÎ 3 ÝÞ
Observação
Observação: Procedemos dessa forma porque y
= arc cos x é uma função decrescente.
A
arc tg 10 ; B arc tg 1
Â
 10
1
tg B
tg A 10
10
N = tg (A – B) =
tg A tg B
1 tg A . tg B
10 1
10
=
1 10 . 1
10
99
10
2
99
20
14.09) B
Á 20 . N = 20 . 99 = 99
20
tg x = 1 ¾ x = arc tg 1
4
4
É 1Ù
14.10) arc sen Ê Ú = arc cossec É 1 Ù
Ê
Ú
Ë yÛ
Ë 2y 3 Û
14.13) D = arc sen 2 2
3
sen D = 2 2
3
x = arc sen ÉÊ 1ÙÚ ¾ sen x = 1
y
Ë y Û
x = arc cossec ÊÉ 1 ÙÚ
Ë 2y 3 Û
¾ cossec x =
–y =
1
2y 3
1
2y 3
32 = (2 2 )2 + x2
9 = 8 + x2
x=1
cos D = 1
3
Matemática B
7
Gabarito
sen 2 D = 2 . sen D . cos D
16. Correto
Correto.
=2. 2 2 . 1 = 4 2
9
3
3
1
1 =2
sec S =
3
cos S 1
3 2
32. Incorreto
Incorreto. No 2a Q, sen x é positivo e cos
x, negativo.
64. Correto
Correto.
cos (2x) = cos (x + x)
= cos x . cos x – sen x . sen x =
= 1 – sen2 x – sen2 x = 1 – 2 sen2 x
14.14) 95
01. Correto
Correto. sen x = cos y sempre que x e y forem complementares, isto é, x + y = 90o.
02. Correto
Correto.
M = arc tg 1 + arc sen 1
M = S S S 2S 3S
4 2
4
4
04. Correto
Correto.
Relação fundamental.
08. Correto
Correto.
sec x
cos sec x
1
cos x
1
sen x
sen x = tg x
cos x
Aula 15
15.01) A
5x + 180o – 7x + 180o – 8x = 180o
180o = 10x
x = 18o
15.03) C
sen 30o + cos (–60o) + tg 135o + cotg 225o
D = 3 . E
7
D + E + 90o = 180o
= 1 + 1 –1+1=1
2
2
15.04) B
3 . E + E = 90o
7
o
10E = 630
7
7
E = 63o
D = 3 . 63o
7
D = 27o
15.02) E
No triângulo OBD, E = 130o.
Logo, J = 360o – 130 = 230o.
D é um ângulo inscrito em relação ao ângulo
central J .
o
Assim, D = J = 230 = 115o.
2
2
8
Matemática B
Gabarito
c2 = 9
c=3
Á b=6
a 2 = b2 + c2
a2 = 36 + 9
15.05) B
a=3 5
15.07) B
V= E
t
4=
x
2, 5
x = 10
sen D = 0,6
a = 0,6
x
a = 0,6
10
a=6
Assim, b = 8.
Do vértice D ao B, passando por A, ele vai percorrer 6 + 8 = 14 metros.
V= E
t
S . R 2 = 2S
2
R2 = 4
R=2
sen 30o = y
4
1 = y
4
2
y=2
cos 30o = x
4
3 = x
4
2
4 = 14
t
x=2 3
Á t = 14 = 7 = 3,5 minutos
2
4
t = 3min30s
SABC =
2.2 3
=2 3
2
15.08) A
15.06) D
b = 2c
S=9
bc = 9
2
bc = 18
2c . c = 18
Lei dos cossenos
x2 = 1 + 1 – 2 . 1 . 1 . cos 30o
x2 = 2 – 2 . 3
2
x=
2 3
Matemática B
9
Gabarito
15.13) B
15.09) E
Menor ângulo: 5 . 30o = 150o = 5S rad
6
15.10) C
1 cos2 x
1 cos x
sen2 x
1 cos x
=
( 1 cos x )(1 cos x )
1 cos x
= 110o
D = ABC
= 1 + cos x
15.11) A
Como E é um ângulo inscrito em relação a D ,
E = D 110 = 55o.
2
2
No triângulo ADC, temos:
45o + E + J = 180o
45o + 55o + J = 180o
J = 80o
Como J é um ângulo inscrito em relação ao ângulo
central T , temos:
J = T
2
x2 + y2 = 225
y=
225 x 2
SABC = x . y
2
x . 225 x 2
2
15.12) C
f(x) = 5 – 3cos ÉÊ x 2 ÙÚ
Ë S SÛ
Período: p = 2S
|m |
2S 2S2
1
S
Imagem: [a – |b|, a + |b|] = [2, 8]
10
Matemática B
80o = T Á T = 160o
2
No quadrilátero PAOD, temos:
x + 90o + 90o + 160o = 360o
x = 20o
Gabarito
04. Correto
Correto.
Lei dos senos em ABE
15.14) A
EB
sen 45o
EB
2
2
3
sen 60o
3
3
2
EB = 3 2 . 3
3
3
EB = 6
08. Correto
Correto.
Lei dos cossenos em ECA
2
2 . 3 . cos 45o
EC = 2 + 9 – 2 .
2
EC = 11 – 2 .
2 .3.
2
EC = 5 Á EC =
Lei dos senos
x
sen 120o
x
3
2
2
2
5
15.16) f(x) = –x2 + 9
Raízes: –3 e 3
Corta o eixo y em y = 9.
8
sen 30o
8
1
2
x=8 3
15.15) 13
a2 = 92 + 32
a=
90
a = 3 10
01. Correto
Correto.
^
9 . 10
3 10
10
3 10
10
cos D =
3 . 10
3 10
10
10
10
Em ABE, 45 + 75 + B = 180o
o
o
^
B = 60o
^
02. Incorreto
Incorreto. Como B = 60 , concluímos que ADE
o
^
é isósceles com E = ^
A = 45o. Assim, AD =
ED .
3
sen D =
tg D = 9 = 3
3
Matemática B
11
Gabarito
Aula 16
16.01) E
Em BDC, temos:
x
sen 120o
x
3
2
z
1
2
z=
3x
3
z
sen 30o
Assim, CE = z + w:
Como APD é triângulo retângulo e ^
A = 30o, te-
=
3x+ 3y=
3
3
=
3 . (x + y) =
3
=
3 .
3
^
mos D = 60o.
Assim, CPD é equilátero e o segmento PB é mediana. Logo CB = 1 .
2
AB = AC + CB = 1 + 1 = 3
2
2
3 =1
16.03) C
f(x) = sen x + cos x
[f(x)]2 = (sen x + cos x)2
= sen2 x + 2sen x . cos x + cos2 x =
= 1 + 2sen x . cos x =
= 1 + sen 2x =
16.02) A
2
1
0
p
4
mínimo: 0
máximo: 2
16.04) E
x+y= 3
Em ADE, temos:
tg 30o = w
y
3 = w
y
3
w=
12
3y
3
Matemática B
p 3p
2 4
p
Gabarito
tg D = 4
16.06) A
x 1 = 4
y
x + 1 = 4y
x = 4y – 1
tg E = 5
x 1 = 5
54 y
x + 1 = 270 – 5y
4y – 1 + 1 = 270 – 5y
9y = 270
y = 30
Á x = 4 . 30 – 1
x = 119
' AMN ~ ' DCN
m
16.05)
n
n
n = mn – m n + m = mn
(n + m) = mn
=
mn
mn
16.07)
cos 60o =
1
2
t = 15 s =
1 .h
240
E=v.t
E = 720 .
1
240
E = 3 km
Em PAB, temos:
tg 60o =
3 =
1,73 =
h
h3
h
h3
x
11
x
11
x = 11
2
sen 60o = y
11
3 = y
11
2
y = 11 3
2
16.08) A
h
h3
1,73h – 5,19 = h
0,73h = 5,19
h # 7,109 km
h = 7109 m
Matemática B
13
Gabarito
tg D = 2,18
11
tg D = 64 # 2,2
29
D = arc tg 2,18
11
tg 60o = 3 1,7
Como tg D > tg 60o, então D > 60o.
16.09) 09
16.10) sen x . cos x = 4 ; 0 < x < π
10
4
2 . sen x . cos x = 4
5
sen 2x = 4
5
tg 30º =
x
x 49
x
3 =
x 49
3
x
1, 7 =
x 49
3
1,7x + 83,3 = 3x
83,3 = 1,3x
x # 64
Á h # 66 m
01. Correto
Correto. Cada andar tem 3 m. Assim, 66 =
3
22 andares.
02. Incorreto
Incorreto.
49 m + 64 m = 113 m
04. Incorreto
Incorreto.
h=x+2
08. Correto
Correto.
tg 2x = 4
3
30 . tg 2x = 30 . 4 = 40
3
16.11) 29
01. Correta
Correta.
sen 9S = sen 10o = sen 90o = 1
2
02. Incorreta
Incorreta.
Para x = 45o.
E=
cos 45o
1 tg 45o
2
2
1 1
2
4
Mas:
k=
1
sen 45o cos 45o
= 1
2
14
Matemática B
2
2
1
=
2 2
2
2
Gabarito
04. Correta
Correta.
sen2 x + cos2 x = 1 é a relação fundamental.
sen x + cos x = 0 para x = 135o, por exemplo.
Caso isso não ocorra, teremos um triângulo.
Pela condição de existência, |sen x| + |cos x| > 1.
08. Correta
Correta. Fato importante: Se g(x) é uma função par
e f(x) é uma função qualquer, então f(g(x)) é par.
Fazendo g(x) = x2 e f(x) = nx, temos que
f(g(x) = nx2 é função par, isto é, simétrica em relação ao eixo das ordenadas.
16. Correta
Correta. Como –1 ≤ cos x ≤ 1, então
–3 ≤ 3cos x ≤ 3.
16.12) E
y = sen (kx)
2S
p = 2S
|m | |k |
Se k > 0, então p = 1 . ( 2π )
k
Sempre que x estiver sobre as extremidades A,
B, C ou D, teremos a igualdade
|sen x| + |cos x| = 1.
Se k < 0, então p = 1 . (– 2π )
k
Em qualquer caso, p é inversamente proporcional a k .
Matemática B
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