FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA – UNIR
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA – DME
CAMPUS DE JI-PARANÁ
JOZIENE BATISTA ALVES
ANÁLISE DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA PRESENTE NOS
LIVROS DIDÁTICOS DO ENSINO MÉDIO UTILIZADOS EM
ESCOLAS DA REDE PÚBLICA ESTADUAL NO MUNICÍPIO
DE JI-PARANÁ: UMA ABORDAGEM QUALITATIVA
Ji-Paraná – RO
Julho de 2010
FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA – UNIR
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA – DME
CAMPUS DE JI-PARANÁ
JOZIENE BATISTA ALVES
ANÁLISE DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA PRESENTE NOS
LIVROS DIDÁTICOS DO ENSINO MÉDIO UTILIZADOS EM
ESCOLAS DA REDE PÚBLICA ESTADUAL NO MUNICÍPIO
DE JI-PARANÁ: UMA ABORDAGEM QUALITATIVA
Trabalho de Conclusão de Curso submetido
ao Departamento de Matemática e
Estatística, da Universidade Federal de
Rondônia, Campus de Ji-Paraná, como
parte dos requisitos para obtenção do título
de Licenciada em Matemática, sob a
orientação do professor Ms. Emerson da
Silva Ribeiro.
Ji-Paraná – RO
Julho de 2010
JOZIENE BATISTA ALVES
ANÁLISE DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA PRESENTE NOS LIVROS
DIDÁTICOS DO ENSINO MÉDIO UTILIZADOS EM ESCOLAS DA REDE
PÚBLICA ESTADUAL NO MUNICÍPIO DE JI-PARANÁ: UMA ABORDAGEM
QUALITATIVA
Este Trabalho de Conclusão de Curso foi julgado adequado como parte dos requisitos para
obtenção do título de Licenciada em Matemática e teve o parecer final como Aprovado, no
dia 15.07.2010, pelo Departamento de Matemática e Estatística, da Universidade Federal de
Rondônia, Campus de Ji-Paraná, através da Banca Examinadora:
___________________________________________
Profa. Dra. Aparecida Augusta da Silva
Membro – DME/UNIR
___________________________________________
Prof. Ms. Marcos Leandro Ohse
Membro – DME/UNIR
___________________________________________
Prof. Ms. Emerson da Silva Ribeiro
Orientador – DME/UNIR
DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho primeiramente a Deus, que me deu sabedoria e
força para realização deste.
A toda minha família, e em especial a minha mãe Valdeni e meu pai
Valtaide, sem os quais não chegaria aonde cheguei.
Ao meu esposo por sua paciência e apoio.
AGRADECIMENTOS
À minha família, que sempre me apoiou e
incentivou, e sem o apoio do qual não seria
possível chegar onde cheguei.
Ao professor Ms. Emerson da Silva Ribeiro,
meu orientador, que muito contribuiu com seu
conhecimento e sugestões.
E a todos, que diretamente ou indiretamente,
contribuíram para a realização deste trabalho.
EPÍGRAFE
Toda a sabedoria vem do Senhor Deus, ela
sempre esteve com ele.
Ela existe antes de todos os séculos.
(Eclesiástico, 1:1)
RESUMO
ALVES, Joziene Batista. Análise da história da Matemática presente nos livros didáticos do
Ensino Médio utilizados em escolas da rede pública estadual no município de Ji-Paraná:
uma abordagem qualitativa. 2010. 47 folhas. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura
em Matemática) – Departamento de Matemática e Estatística, Universidade Federal de
Rondônia, Ji-Paraná.
Este estudo se enquadra dentre os trabalhos sobre as discussões em torno da história da
Matemática como recurso didático-metodológico e como campo de pesquisa da Educação
Matemática, tendo como objeto de investigação analisar como a história da Matemática está
presente nos livros didáticos do Ensino Médio. Para a realização dessa pesquisa teve-se como
aporte teórico: Pinto (2005), Miguel (1997 e 2003), Miguel e Brito (1996), Nobre (1996),
Nobre e Baroni (1999), e ainda D’Ambrósio (1996) e os Parâmetros Curriculares Nacionais
(1998). Na análise dos três livros pesquisados e que são utilizados no Ensino Médio em
escolas da rede pública do município de Ji-Paraná constatou-se que há bastante história da
Matemática, mas trazem mais informações dos matemáticos do que da própria evolução
matemática e nem todos os conteúdos matemáticos apresentam tópicos com informações
históricas. Neste caso, destaca-se que o professor que desejar utilizar a história da Matemática
no ensino da Matemática, encontrará no livro didático um considerável material, podendo
enriquecer o seu trabalho em sala de aula a partir de pesquisas em outras fontes.
Palavra-chave: Educação Matemática, História da Matemática, Livro Didático, Ensino Médio.
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS
INTRODUÇÃO
08
09
1. A HISTÓRIA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA................................................... 11
1.1 – A História da Matemática como Recurso Didático-metodológico....................... 13
1.2 – A História da Matemática como Área de Pesquisa da Educação Matemática...... 16
2. METODOLOGIA DA PESQUISA.............................................................................
2.1 – Opção Metodológica..............................................................................................
2.2 – Coleta de Dados.....................................................................................................
2.3 – Análise dos Dados.................................................................................................
19
19
19
20
3. ANÁLISE DOS DADOS..............................................................................................
3.1 – Tipo de Informação Histórica: Matemática e Evolução Matemática.....................
3.2 – Períodos e Comunidades.........................................................................................
3.3 – Materiais Empregados para Apresentar a História da Matemática.........................
3.4 – Campo da Matemática que São Relatados Tópicos de Matemática.......................
21
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24
26
26
CONSIDERAÇÕES FINAIS........................................................................................... 28
REFERÊNCIAS................................................................................................................ 30
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA.................................................................................
32
APÊNDICES.....................................................................................................................
33
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Foto de página do sumário do livro A ..........................................................
21
Figura 3 – Foto de página do livro A .............................................................................
22
Figura 4 – Foto de página do livro B .............................................................................
22
Figura 5 – Foto de página do livro A .............................................................................
22
Figura 6 – Foto de página do livro B .............................................................................
22
Figura 7 – Foto de página do livro C .............................................................................
22
9
INTRODUÇÃO
Este Trabalho de Conclusão de Curso se encontra inserido dentro do ramo de
pesquisa pertinente à história na Educação Matemática, em específico ao tema da análise
histórica e crítica de fontes literárias.
Neste caso, o presente trabalho apresenta como objeto de pesquisa a análise da
história da Matemática presente nos livros didáticos do Ensino Médio, que ainda é visto como
um campo de investigação profícuo e aberto a discussões.
Para a construção da base teórica desse estudo buscou-se alguns autores ligados às
discussões e às propostas voltadas à história da Matemática como campo de investigação e
como recurso didático-metodológico para o ensino de Matemática. Dessa maneira, a
fundamentação desse trabalho apoiou-se em Pinto (2005), Miguel (1997 e 2003), Miguel e
Brito (1996), Nobre (1996), Nobre e Baroni (1999), e ainda em D’Ambrósio (1996) e nos
Parâmetros Curriculares Nacionais (1998).
No que concerne à metodologia da investigação optou-se por uma abordagem
qualitativa fundamentada em Nunes (1996), Fiorentini e Lorenzato (2006), enfatizando ainda,
que esta pesquisa tomou como elemento de análise três livros didáticos de Matemática que
fazem parte da última publicação do Catálogo do Programa Nacional do Livro do Ensino
Médio (PNLEM)2009, e que estão sendo utilizados em escolas públicas de Ensino Médio no
município de Ji-Paraná.
Para responder à problemática proposta, o presente Trabalho de Conclusão de
Curso se estruturou da seguinte forma:
No Capítulo I apresenta-se a base teórica, onde se procurou discutir três temas
principais relacionados ao nosso estudo: A história na Educação Matemática, a história da
Matemática como recurso didático-metodológico, e a história da Matemática como área de
pesquisa da Educação Matemática.
Já no Capítulo II, relata-se a metodologia de pesquisa apresentado a nossa opção
metodológica, os procedimentos de coleta e a análise de dados.
Em seguida, no Capítulo III destacam-se a apresentação e análise dos dados dos
livros pesquisados buscando compreender o tipo de informação histórica, os períodos e
comunidades históricas relativas ao desenvolvimento da Matemática, os materiais
10
empregados para apresentar a história da Matemática, e os campos da Matemática em que são
Brelatados tópicos de história da Matemática.
Por fim, nas Considerações Finais, apresentam-se os pontos principais relativos à
análise dos livros.
CAPÍTULO I - A HISTÓRIA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
A Matemática surgiu da necessidade da humanidade de compreender, interpretar e
explicar fenômenos e acontecimentos do mundo real desde os tempos primitivos, sendo
oriunda dos primeiros esforços do homem pré-histórico para sistematizar as idéias de
grandeza, forma e número.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) enfatizam que “a Matemática
caracteriza-se como uma forma de compreender e atuar no mundo e o conhecimento gerado
nessa área do saber como um fruto da construção humana na sua interação constante com o
contexto natural, social e cultural” (MEC/SEF, 1998, p. 24).
Embora a Matemática esteja presente na vida da humanidade desde os seus
primórdios, somente a partir do século XVIII é que se começa a debater sobre uma de suas
principais áreas, que é a História da Matemática.
Segundo Miguel (1997, p. 78), “a discussão inicial em torno da História da
Matemática e de sua abordagem no ensino ocorreu pela primeira vez em 1741, na publicação
da obra “Élements de géométrie”, do matemático francês Aléxis Claude Clairaut, que
apresentou o ensino da geometria fundamentado na história”.
No Brasil entre as décadas de 1920 e 1930 é que começaram as primeiras
discussões sobre a presença da história no ensino da Matemática. O motivo destas discussões
estava relacionado com os diversos debates que enfatizavam uma reforma no sistema de
ensino brasileiro.
Nesta época Pinto (2005) em relação ao ensino da Matemática a velha tradição
memorística e fragmentada já era criticada por participantes favoráveis a uma renovação do
ensino, sendo proposto que o raciocínio lógico deveria voltar para a descoberta no lugar da
memorização de definição e uso abusivo de regras algorítmicas.
Nas décadas de 1960 e 1970, o Movimento da Matemática Moderna no Brasil,
com sua ênfase nos símbolos da teoria dos conjuntos e na precisão da linguagem matemática,
deixa marcas profundas, e assim, a Matemática nesse período é apresentada para os alunos
carregada de simbologia, sendo algo abstrato e sem nenhuma ligação com a realidade.
Ao tratar a matemática como algo neutro, destituída de história,
desligada de seus processos de produção, sem nenhuma relação com o
12
social e o político, o ensino da matemática, nesse período, parece ter
descuidado da possibilidade crítica e criativa dos aprendizes (PINTO,
2005, p. 5).
Na década de 1980 o Movimento da Matemática Moderna no Brasil sofre um
declínio, e a história no ensino da Matemática começa a ser mais difundida e discutida pelos
pesquisadores da educação, principalmente quanto as suas potencialidades pedagógicas.
Apesar da História da Matemática no Brasil ter iniciado sua discussão entre as
década de 1920 e 1930, foi somente em 30 de Março de 1999 que se fundou a Sociedade
Brasileira de História da Matemática (SBHMat), tendo como uns dos seus princípios elaborar
e divulgar pesquisas no campo da História da Matemática e promover seminários, simpósios,
congressos e eventos congêneres sobre essa temática.
Atualmente, a História da Matemática é vista como importante segmento da
Matemática devido sua aplicação em diversos contextos, sendo eles: área do conhecimento
matemático, disciplina nos cursos de graduação, recurso didático-metodológico e campo de
Pesquisa.
A História da Matemática como área do conhecimento matemático a teríamos
como uma área da própria matemática, ou seja, como a Análise, a Álgebra, a Geometria etc.
Como disciplina nos cursos de graduação, a História da Matemática é vista como
a possibilidade de incorporar o desenvolvimento histórico às disciplinas de matemáticas. Em
relação a essa situação, devido uma exigência do Ministério da Educação, há poucos tempos
os cursos de Matemática têm oferecido essa disciplina em sua grade curricular.
Antes da obrigatoriedade da disciplina de História da Matemática nos Cursos de
Licenciatura em Matemática, proposta pelas Diretrizes Curriculares Nacionais para os Cursos
de Matemática, Bacharelado e Licenciatura (2002), Baroni e Nobre (1999) discutiam que
havia pouco empenho em se introduzir a disciplina de História da Matemática nos cursos de
graduação, e nos cursos que havia esta disciplina, ela era, com raras e honrosas exceções,
considerada de “segunda classe”.
A História da Matemática como recurso didático-metodológico e como campo de
Pesquisa, será discutido com mais ênfase nos dois tópicos seguintes, tendo em vista que neste
trabalho o enfoque maior está relacionado à análise da História da Matemática presente nos
livros didático, compreendendo que o livro didático é um recurso didático-metodológico, e a
análise que pretende-se fazer, é um campo de pesquisa da História da Matemática.
13
1.1 – A História da Matemática como Recurso Didático-metodológico
As discussões referentes ao uso da História da Matemática como recurso didáticometodológico começaram a ganhar adeptos a partir da década de 1980, através dos vários
congressos internacionais de educação matemática, e em um desses congressos foi constituído
o HPM- International Study Group on the Relations between the History and Pedagogy of
Mathematics (MIGUEL; BRITO, 1996, p. 48).
Segundo Baroni e Nobre (1999) atualmente a História da Matemática, ao lado da
resolução de problemas, etnomatemática, modelagem matemática e informática, é um dos
novos componentes que o movimento de Educação Matemática incorporou, visando em
primeira instância, fornecer instrumentos metodológicos que podem ser utilizados pelo
professor de Matemática em suas atividades didáticas.
Os PCNs enfatizam o uso da História da Matemática como alternativa para a
educação matemática, pois:
Em muitas situações, o recurso à História da Matemática pode
esclarecer idéias matemáticas que estão sendo construídas pelo aluno,
especialmente para dar respostas a alguns “porquês” e, desse modo,
contribuir para a constituição de um olhar mais crítico sobre os
objetos de conhecimento (MEC/SEF, 1998, p. 43).
Neste sentido, a defesa da História da Matemática como recurso didático em sala
de aula é destacada por tornar a aprendizagem de Matemática mais compreensiva e
significativa, pois propicia ao aluno conhecer o desenvolvimento histórico do conhecimento
matemático, e ainda como certo período dessa história contribuiu para evolução e
transformação da humanidade e do conhecimento, que temos hoje sobre o pensamento
matemático.
Segundo D’Ambrósio (1996, p. 12), uma das possibilidades de uso da História da
Matemática como recurso didático “é fazer acompanhar cada ponto do currículo tradicional
por uma explanação do contexto socioeconômico e cultural no qual aquela teoria ou prática se
criou, como e por que se desenvolveu”.
Ao expor que a Matemática se desenvolveu, e assim, não pode ser vista como algo
natural, pronta e acabada, acredita-se que a História da Matemática como recurso didático
possibilita ainda, mostrar os obstáculos e as frustrações que os matemáticos tiveram ao longo
do caminho para chegar ao conhecimento matemático que temos hoje.
Em relação à sala de aula, onde é comum os alunos fazerem indagações quanto
aos porquês matemáticos, ou seja, levantando questões relacionadas aos porquês do jeito
14
como determinado conteúdo é apresentado, a história pode ser uma grande aliada quanto à
explicação desses porquês.
Outra opção para o professor seria levantar, por meio da História da Matemática,
problemas matemáticos que necessitam de respostas. Desta forma, os alunos podem responder
determinadas questões do contexto da matemática escolar a partir da investigação dos
aspectos históricos referentes a um determinado problema investigado.
Os PCNs sugerem o uso da História da Matemática como um dos caminhos para
fazer Matemática na sala de aula. De acordo com este documento, através do emprego da
História da Matemática, devemos compreender o conhecimento científico e o tecnológico
como resultados de uma construção humana contidos em um processo histórico e social:
Ao revelar a Matemática como criação humana, ao mostrar
necessidade e preocupações de diferentes culturas em diferentes
momentos históricos, ao estabelecer comparações entre os conceitos e
processos matemáticos do passado e do presente, o professor tem a
possibilidade de desenvolver atitudes e valores mais favoráveis do
aluno diante do conhecimento matemático (MEC/SEF, 1998, p. 42).
Ainda conforme os PCNs, a História da Matemática pode ser interpretada como
um instrumento de resgate da própria identidade cultural, pois possibilita que se compreenda
que os “conceitos abordados em conexão com sua história constituem veículos de informação
cultural, sociológica e antropológica de grande valor formativo” (MEC/SEF, 1998, p. 42).
Dada a discussão feita até aqui, pode se reconhecer que a História da Matemática
tem um grande valor didático para a educação matemática, pois proporciona ao aluno
condições de: perceber as diversas etapas da construção do pensamento Matemático; conhecer
as dificuldades enfrentadas e superadas pelos matemáticos ao longo do tempo para chegar às
teorias e fórmulas que conhecemos hoje; atribuir significados aos conceitos matemáticos;
contextualizar o conhecimento Matemático.
No que diz a respeito às potencialidades pedagógicas da História da Matemática,
em estudo realizado por Miguel (1997), este destaca doze potencialidades para o ensinoaprendizagem de Matemática que discutiremos a partir daqui.
Entre as potencialidades mais destacadas pelos educadores matemáticos temos o
uso da história como fonte de motivação, em que os defensores desse ponto de vista acreditam
que o conhecimento histórico dos processos matemáticos despertaria o interesse do aluno pelo
conteúdo que está sendo ensinado.
Outra potencialidade, diz respeito à história como fonte de objetivos, onde se
acredita que a História da Matemática possibilitaria ao aluno alcançar:
15
Os objetivos pedagógicos que os levam a perceber, por exemplo:
a) a Matemática como uma criação humana;
b) as razões pelas quais as pessoas fazem Matemática;
c) as necessidades práticas, sociais, econômicas e físicas que servem
de estímulo ao desenvolvimento das idéias matemáticas;
d) as conexões existentes entre Matemática e Filosofia, Matemática e
Religião, Matemática e Lógica, etc.;
e) a curiosidade estritamente intelectual que pode levar à
generalização e extensão de idéias e teorias;
f) as percepções que os matemáticos têm do próprio objeto da
Matemática, as quais mudam e se desenvolvem ao longo do tempo;
g) a natureza de uma estrutura, de uma axiomatização e de uma prova
(MIGUEL, 2007, p. 78).
Ao que se refere à História da Matemática como fonte de métodos adequados para
o ensino da Matemática, destaca-se que a esta poderia apoiar a escolha de métodos
pedagogicamente adequados e interessantes para a abordagem de alguns tópicos da área da
Matemática, como também possibilitaria a compreensão do desenvolvimento histórico de
várias teorias.
Outra potencialidade da História da Matemática remete-se a sua utilização como
fonte para seleção de problemas práticos, curiosos, informativos e recreativos. Essa
potencialidade estaria associada à idéia de que a Matemática pode ser desenvolvida pelo aluno
mediante a resolução de problemas históricos e através da apreciação e análise das soluções
desses problemas no passado.
O uso da História da Matemática como instrumento que possibilitaria a
desmistificação e desalienação da Matemática teria como propósito mostrar a falsa idéia de
que a Matemática é logicamente organizada, pronta e acabada, destacando por outro lado
como esse conhecimento matemático foi historicamente produzido.
Como instrumento de formalização de conceitos matemáticos, caberia à História
da Matemática a possibilidade de fazer os alunos perceberem as diferentes formalizações de
um mesmo conceito e a visão das diferentes formalizações desse conceito matemático.
Quanto a História da Matemática como instrumento de promoção do pensamento
independente e crítico, tem-se a concepção do próprio questionamento em relação à história
como sendo ou não “verdadeira”, e a refutação de algumas verdades matemáticas.
No que se refere à História como sendo um instrumento unificador dos vários
campos da matemática, teríamos como afirma Kline (1972) que “a história pode fornecer uma
perspectiva para a matéria como um todo e relacionar os conteúdos dos cursos não apenas uns
com os outros como também com o corpo, com o núcleo principal do pensamento
16
matemático” (apud MIGUEL, 1997, p. 85-86).
Ainda em relação às potencialidades da História da Matemática, caberia a esta,
como coloca Miguel (1997), ser um instrumento promotor de atitudes e valores, mostrando os
erros e hesitações dos matemáticos na produção do conhecimento, e gerando nos alunos,
portanto, a coragem necessária para o enfrentamento dos problemas; a persistência na busca
de soluções satisfatórias para os mesmos; e as condições necessárias para a prática do
pensamento científico. E ainda, ser um instrumento que pode promover a aprendizagem
significativa e compreensiva da Matemática, onde ao se levantar e discutir as razões para a
aceitação de certos fatos, raciocínios e procedimentos por parte do estudante, a história seria
uma fonte de explicações que poderiam ser dadas a alguns porquês matemáticos.
A história como instrumento de conscientização epistemológica serviria como
uma concessão necessária que o professor deve fazer ao aluno devido a sua imaturidade
psicológica quanto à compreensão de alguns padrões de rigor matemático, em que estes não
seriam abandonados, mas substituídos pela história até os alunos terem condição de retomálos.
Por último, a História da Matemática serviria como um instrumento que
possibilita o resgate da identidade cultural, possibilitando dimensionar a história das classes
dominadas e povos oprimidos, colocando-se com o intuito de desvendar elementos
matemáticos presentes na vida diária das massas populares e que não são reconhecidos como
matemáticos pela ideologia dominante.
1.2 – A História da Matemática como Área de Pesquisa da Educação Matemática
Em relação à pesquisa em História da Matemática, Miguel (2003) destaca três
significativos campos de investigação, que são: o da História da Matemática propriamente
dito, o da História da Educação da Matemática, e o da História na Educação da Matemática.
Neste trabalho, temos como campo de investigação a História na Educação da
Matemática, sendo contidos neste segmento segundo Miguel (2003, p. 22), “todos os tipos de
pesquisa de participação da história nos diferentes níveis, aspectos, instituições e elementos
condicionadores e constitutivos da Educação Matemática, e ainda, os estudos que procuram
analisar algum aspecto ou problema relativo a inserções efetivas da história, como exemplo,
em livros didáticos de Matemática de quaisquer épocas”.
17
Baroni e Nobre (1999) complementam ainda que a pesquisa em História da
Matemática é um ramo de investigação relacionado principalmente a estudos de campos
praticamente inexplorados, como biografias, organizações institucionais, análise histórica e
crítica de fontes literárias, assim como no estudo de outras áreas relacionadas à história e à
Educação Matemática.
Neste sentido, percebe-se que a pesquisa em História da Matemática, sobretudo
no que diz respeito à História na Educação Matemática, constitui-se em um campo profícuo
de investigação, sendo de extrema importância para a compreensão do desenvolvimento da
Matemática e ainda para a prática de ensino.
Sobre esse aspecto, Baroni e Nobre (1999, p. 130) destacam que é necessário “se
pensar a História da Matemática como área de investigação científica que nos leve a outras
reflexões, que dizem respeito à História da Matemática e suas Relações com a Educação
Matemática”.
No que diz respeito às pesquisas acadêmicas relativas à História da Matemática,
Wussing (apud BARONI E NOBRE, 1999, p. 130-131) destaca oito temas de investigação
científica:
a)
história de problemas e de conceitos;
b) as interligação entre Matemática, Ciência Naturais e Técnica;
c)
biografias;
d) organizações institucionais;
e)
a Matemática como parte da cultura humana;
f)
influências sociais ao desenvolvimento da Matemática;
g) e da cultura humana;
h) influências sociais ao desenvolvimento da Matemática;
i)
a Matemática como parte da formação geral do indivíduo;
j)
análise histórica e crítica de fontes literárias.
Quanto a esse último tema sobre a análise histórica e crítica de fontes literárias,
que se constitui em objeto dessa pesquisa, Baroni e Nobre esclarecem que “há um campo
totalmente aberto e inexplorado, naquilo que diz respeito à história do desenvolvimento da
Matemática no Brasil” (1999, p. 133).
Em relação a esse tema de investigação científica em História da Matemática e
considerando ainda que as pesquisas em Educação Matemática têm como um dos enfoques a
busca de instrumentos metodológicos para serem trabalhados no ensino de Matemática na sala
de aula, destaca-se que a análise da História da Matemática presente nos livros didáticos teria
18
assim, não apenas o propósito de compreender como esta é apresentada nos livros, mas
também de servir como uma possibilidade de se verificar a História da Matemática no
desenvolvimento do ensino-aprendizagem da Matemática.
No caso dessa pesquisa, a atenção volta-se para a análise dos livros didáticos do
Ensino Médio publicados atualmente e que estão entre os aprovados pelo Programa Nacional
do Livro Didático para o Ensino Médio (PNLEM) 2009. Sendo um dos critérios sugeridos e
avaliados pelo PNLEM é a presença de tópicos de história de Matemática nos livros didáticos.
CAPÍTULO II - METODOLOGIA DA PESQUISA
2.1 – Opção Metodológica
Para a análise da História da Matemática presente nos livros didáticos, que é o
tema da nossa pesquisa, optamos pelo método da abordagem qualitativa, que segundo Neves
(1996), dela faz parte a obtenção de dados descritivos mediante contato direto e interativo do
pesquisador com a situação do objeto de estudo, além disso, seu foco de interesse é amplo,
não busca enumerar ou medir eventos e, não requer o uso de métodos e técnicas estatísticas.
Em vista de que os estudos de pesquisa qualitativa diferem entre si quanto ao
método, a forma e aos objetivos, Godoy (1995 apud NEVES, 1996, p. 1) ressalta quarto
características que ajudam a identificar uma pesquisa desse tipo:
a. O ambiente natural como fonte direta de dados e o pesquisador como instrumento
fundamental;
b. O caráter descritivo;
c. O significado que as pessoas dão às coisas e a sua vida como preocupação do
investigador;
d. Enfoque indutivo.
Em relação ao processo de coleta de dados, esse estudo consiste em uma pesquisa
bibliográfica, que segundo Fiorentini e Lorenzato (2006, p. 71) “visa o estudo e análise de
documentos escritos e/ou produções culturais garimpadas a partir de arquivos e acervos, e
compreende tanto os estudos tipicamente históricos ou estudos analítico-descritivos de
documento ou produções culturais”.
2.2 – Coleta de Dados
Nesta pesquisa, procedeu-se a análise e a descrição da História da Matemática
presente em livros didáticos do Ensino Médio, referente aos volumes únicos correspondentes
às três séries ou anos desta etapa da Educação Básica.
20
Para a análise selecionamos três obras de volume único do Ensino Médio, dentre
os livros didáticos de Matemática avaliados e aprovados pelo Ministério da Educação e que
estão sendo utilizados nas escolas de Ensino Médio da rede pública estadual no município de
Ji-Paraná.
Os livros didáticos selecionados fazem parte da última publicação do catálogo do
Programa Nacional do Livro do Ensino Médio (PNLEM) 2009. Estes livros didáticos foram
distribuídos para os alunos do Ensino Médio da rede pública em 2009 e serão utilizados
durante três anos (2009, 2010 e 2011).
Neste trabalho trataremos dos respectivos livros analisados com a denominação de
A, B e C, de modo a preservar o anonimato das obras.
Para o registro das partes históricas dos livros didáticos utilizamos maquina
digital para fotografar algumas páginas importantes para o objeto de nossa investigação.
2.3 – Análise dos Dados
Na análise dos livros didáticos, primeiramente procedemos a uma pesquisa nas
introduções, apresentações e sumários dos livros para verificar se os autores apresentavam
algum indicativo de utilização da História da Matemática em suas obras. Depois analisamos
como estavam organizadas as partes históricas nos livros (se está no inicio, intercalado ou no
final dos capítulos, etc.), e para dar continuidade ao trabalho adotamos o seguinte plano de
pesquisa:
a. Averiguar o tipo de informação histórica se trata dos matemáticos ou da evolução
da Matemática;
b. Verificar os períodos da história da Matemática que são citados, e destacar quais
as comunidades que são elucidadas em relação à evolução da Matemática;
c. Analisar a forma como a história da Matemática é apresentada: ilustrações, fotos,
pinturas, versões originais de textos, etc.;
d. Examinar que campo da Matemática é relatado com mais freqüência nos tópicos
de história.
Seguimos com a análise individualmente dos livros didáticos, de acordo com o
plano, e depois procedemos com síntese das informações históricas coletadas nos livros.
CAPÍTULO III – APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS
Em relação à análise dos livros didáticos, se em suas introduções, apresentações e
sumários, os autores apresentavam algum indicativo de utilização da história da Matemática,
verificou-se apenas que no livro A consta uma seção intitulada “De olho na história da
Matemática” em quase todos os seus capítulos. Já nos livros B e C não há indicativo que a
história da Matemática se faz presente no desenvolvimento dos conteúdos matemáticos em
suas páginas.
Figura 1- Foto de página do sumário do livro A
Quanto à organização da história da Matemática nos livros didáticos, temos que
no livro A a seção “De olho na história da Matemática” é apresentada geralmente no final de
alguns sub-capítulos; o livro B apresenta tópicos de história da Matemática no inicio de
alguns capítulos como introdução e também no final de outros capítulos na seção denominada
“Leitura”. Já o livro C apresenta como introdução tópicos de História da Matemática, ora no
início, às vezes no meio e também no final de alguns capítulos na seção “Leitura”.
Após esta pré-análise seguimos com a aplicação do plano de pesquisa aos livros
didáticos, conforme é apresentado nos tópicos seguintes desse capítulo.
22
3.1 – Tipo de Informação Histórica: Matemáticos e Evolução Matemática
Nesta etapa, procurou-se nos livros o que se fala sobre os matemáticos (dados
biográficos, características pessoais, etc.) e sobre a evolução matemática (descoberta
científica, invenções, etc.).
Os dados biográficos, contendo nacionalidade e o ano de nascimento dos
matemáticos aparece em todos os livros, havendo várias informações históricas. No entanto,
se percebe divergências de um livro para o outro quanto às datas de nascimento e/ou morte
dos matemáticos. Exemplo desta contradição de datas ocorre quanto ao matemático Euclides
que em um dos livros aparece a seguinte data de nascimento e/ou morte (~365-300 a.C), já em
outro livro há a seguinte data (cerca de 330 a.C-260 a.C). Outro exemplo é o caso do
matemático Tales de Mileto que em um livro aparece com a data de (~625-546 a.C), em outro
temos (624 a.C-547 a.C), e no terceiro livro é apresentada a data de (624 a.C-548 a.C).
Figura 2-Foto de página do livro A
Figura 4-Foto de página do livro A
Figura 3-Foto de página do livro B
Figura 5-Foto de página do livro B
Figura 6-Foto de página do livro C
Destaca-se que estas divergências de datas de um livro para o outro remete-se
principalmente aos personagens da Matemática da era anterior a Cristo. Já em relação às
informações referentes aos matemáticos após o século I tem-se que as datas de nascimento
e/ou morte apresentadas nos livros analisados não divergem entre si.
Um dos possíveis motivos destas contradições pode ser o fato das fontes históricas
não determinarem com exatidão a data precisa do período que estes matemáticos viveram.
Sendo questionado inclusive, se alguns destes existiram ou não.
Observa-se que apenas o livro B cita as referências bibliográficas logo após as
23
informações históricas apresentadas, e desta maneira, torna-se difícil saber se as divergências
remetem-se ao fato de se tratar de referências diferentes. No entanto, ressalta-se que as
referências bibliográfica relacionadas à história da Matemática elencadas no final dos livros
analisados são praticamente as mesmas, havendo apenas mudanças de ano de publicação e/ou
edição. Constatando-se assim que, mesmo os autores dos livros didáticos usarem praticamente
as mesmas referências bibliográficas ainda há divergência de um livro para o outro quanto às
informações históricas sobre a Matemática.
Em relação à nacionalidade dos matemáticos, percebe-se que os livros analisados
não divergem entre si. A respeito dessa informação, bem como sobre as obras dos
matemáticos ao longo da história, apresentamos para maior conhecimento uma lista detalhada
que segue nos Apêndices deste trabalho.
Em alguns livros foram encontrados ainda episódios envolvendo matemáticos que
podem ser discutidos em sala de aula como fontes de problemas históricos. Neste caso,
encontra-se no livro C a história de Gauss, que no ano de 1785, estudava na escola do
principado de Braunschweig, na Alemanha, e seu professor Buttner propôs aos alunos que
somassem os números naturais de 1 a100. Após três minutos, Gauss, com apenas oito anos,
chegou mais perto da mesa do professor e, mostrando-lhe sua prancheta, disse: “Aí está”. O
professor, espantado, verificou que o resultado estava correto. Tem-se também, nos livros A e
C, a questão de que em 1202, Leonardo de Pisa conhecido como Fibonacci, propôs o
problema a seguir: Admitindo-se que cada casal de coelhos só procrie dois meses após o seu
nascimento e que, a partir de então, gere um casal a cada mês, quantos casais haverá ao final
de doze meses, partindo-se de um único casal de coelhos recém- nascidos, se não houver
mortes? Obtendo a partir dessa situação a seqüência de Fibonacci: (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,
55, 89, 144, 233...), tendo como lei de formação simples que: a cada elemento, a partir do
terceiro, este é obtido somando-se os dois anteriores.
Analisando episódios como estes que são apresentados nos livros didáticos
enfocando a história da Matemática, destaca-se que os mesmos podem ser discutidos em sala
de aula enquanto potencialidade pedagógica como fonte de problemas práticos, curiosos,
informativos e recreativos, ajudando os alunos a compreenderem conceitos e problemas
matemáticos através da análise das suas soluções desenvolvidas no passado.
Ainda em relação às informações históricas sobre os matemáticos elucidados nos
livros analisados, percebe-se que em alguns casos, a Matemática é apresentada como se fosse
“para poucos” e de domínio dos mais sábios, célebres e gênios. Isto pode ser visto nos livros
quando encontramos afirmações do tipo: Arquimedes de Siracusa é considerado o “sábio
24
grego” (livro C). Ptolomeu, “o mais célebre astrônomo da antiguidade” (livro B). Tales de
Mileto “é considerado um dos mais versáteis gênios da antiguidade” (livro B) e ainda é
estimado como o “primeiro homem da história a quem se atribuem descobertas matemáticas
específicas” (livro C). Carl Friedrich Gauss é tido como “um dos maiores matemáticos de
todos os tempos” (livro C).
Estas informações encontradas demonstram ainda que a história da Matemática
presente nos livros didático se reporta muito mais aos matemáticos famosos do que ao
conhecimento matemático sendo produzido historicamente como uma construção humana.
Portanto, destaca-se então, que nos livros analisados há muito mais história de matemático do
que da evolução da Matemática em si.
Neste sentido, percebe-se que os livros analisados não têm, em parte,
proporcionado que a história da Matemática sirva como fonte de objetivos pedagógicos
possibilitando ao aluno compreender a Matemática como uma criação do homem ao logo dos
tempos, como é sugerido pelos PCNs e por alguns autores que defendem o uso da história da
Matemática como recurso didático-metodológico.
Ao destacar os matemáticos e suas realizações apenas, não relatando os erros,
obstáculos e frustrações que estes matemáticos tiveram para se chegar a um determinado
conceito ou conhecimento matemático, ou mesmo os motivos que os levaram a desenvolver
tais conhecimentos, os livros analisados acabam por não possibilitar o uso da história da
Matemática como instrumento promotor de atitudes e valores junto aos alunos, não gerandonos mesmos a coragem e a persistência na busca de soluções satisfatórias para solucionar os
problemas matemáticos geralmente apresentados em sala de aula.
3.2 - Períodos e Comunidades
Nos livros pesquisados foram encontrados menção a alguns períodos que foram
importantes para o desenvolvimento da Matemática, sendo os seguintes: 2000 a.C, 1650 a.C,
1300 a.C, 1000 a.C, século VI a.C, 500 a.C, século III a.C, século II a. C, século VI e VII,
século VIII, século IX, século XI, século XII, século XIII, século XV, século XVI, século
XVII, século XVIII, século XIX e século XX.
Em relação a cada um desses períodos, encontram-se nos livros analisados várias
informações pertinentes à história da Matemática que são apresentadas nos Apêndices deste
25
trabalho.
Ressalta-se quanto aos períodos históricos nos livros analisados, que o ano de 1300
a.C que fazer menção sobre o conhecimento da geometria e o séculos XVII que menciona a
invenção dos logaritmos, elucidam o desenvolvimento destas idéias matemáticas a partir de
uma necessidade práticas, sociais, econômicas e físicas da humanidade. As demarcações de
terras e construções de pirâmides perto do rio Nilo são prova do conhecimento geométrico
praticado pelas egípcias e os logaritmos sugiram da necessidade de simplificar os cálculos
algébricos empregados nos comércios, na navegação e na astronomia.
Estes dois períodos que foram encontrados nos livros analisados podem ser
apresentados em sala de aula como instrumento que pode propiciar ao aluno uma
aprendizagem significativa, compreendendo que estes períodos históricos contribuíram para
evolução da humanidade e do conhecimento matemático, e assim, dão respostas aos
“porquês” do surgimento destes conceitos matemáticos, e ainda, pode proporcionar ao aluno
compreender o conhecimento matemático como resultado de uma construção humana
contidos em um processo histórico e social.
No que se refere às comunidades ou povos importantes para a história da
Matemática que são apresentados nos livros analisados, tem-se que: os egípcios são citados
por todos os livros como sendo os responsáveis pelos primeiros registros de resolução da
equação do 1º grau e que conheciam a geometria e o conceito de função; os babilônios são
destacados nos livro A e B como sendo responsável por registrarem os primeiros cálculos
utilizando potência, apresentarem soluções de equações do 2º grau e desenvolverem certo
conhecimento geométrico; sobre os hindus, os livros A e B destacam que estes desenvolveram
regras de resolução da equação de 1º grau e trabalhos sobre a trigonometria; os árabes são
mencionados no livro A por terem desenvolvido soluções de problemas algébricos
envolvendo a resolução de 1° grau; os gregos são citados por todos os livros analisados, que
ressaltam que estes contribuíram para a sistematização do conhecimento geométrico e
desenvolveram trabalhos envolvendo conceitos trigonométricos; os chineses são tratados nos
livros A e C como responsáveis pela apresentação de soluções de alguns sistemas de equação
lineares.
Percebe-se que as comunidades ou povos são tratados nos livros analisados
quando não se pode determinar nomes individualmente. Além disso, destaca-se que poucas
vezes aparece mais de uma comunidade, do mesmo período, trabalhando em um mesmo
conceito. Por exemplo, os egípcios, os hindus e os árabes desenvolveram trabalhos de
resolução da equação do 1° grau, mas cada uma em sua época, como se um não tivesse
26
conhecimento dos resultados ou dos trabalhos do outro.
3.3 – Materiais Empregados para Apresentar a História da Matemática
Os textos referentes à história da Matemática encontrados nos livros analisados,
na maioria dos casos, são texto do autor, não se remetem a nenhuma referência bibliográfica,
e somente livro B traz fontes secundárias logo após alguns textos históricos.
Para ilustrar a História da Matemática os livros analisados apresentam muitas
gravuras, caricaturas e fotos dos matemáticos.
Outros materiais empregados pelo livro A na apresentação da história da
matemática são fotos de documentos originais, como o papiro de Rhind e a capa do livro
Arithmetica de Diofanto de Alexandria.
Outros materiais utilizados são: foto das pirâmides de Miquerinos, Quéfren e
Quéops aparece no livro; foto do Partenom em Atenas que aparecem nos livros A, B e C; e no
livro C encontra-se a foto de uma luneta rudimentares de Gauss.
Averigua-se que os livros analisados utilizam poucas referências bibliográficas
para apresentar as informações históricas, o texto do autor e gravuras dos matemáticos é o que
mais aparece. Nos Apêndices deste trabalho encontram-se as gravuras, caricaturas e fotos dos
matemáticos.
3.4 – Campos da Matemática que São Relatados Tópicos de História
Os conteúdos matemáticos que aparecem tópicos de história da Matemática no
livro A são: Conjuntos, Funções (elementares, exponencial e logarítmica), Trigonometria no
triângulo retângulo, Seqüências Numéricas, Sistema de Equações Lineares, Matrizes,
Contagem e Probabilidade, Geometria Espacial, Geometria Analítica, Números Complexos,
Polinômios e Equações Polinomiais.
Já no livro B são destacados os seguintes conteúdos matemáticos: Conjuntos,
Funções Quadráticas, Função Logarítmica, Progressões e Seqüência, Geometria Plana,
Trigonometria no triângulo retângulo, Determinante, Análise Combinatória, Probabilidade,
Geometria Espacial, Geometria Analítica, Números Complexos. Polinômios e Equação
27
Algébricas.
E no livro C são destacados os conteúdos: Conjuntos, Geometria Plana,
Geometria Espacial e Analítica, Sistema de Coordenadas, Função Logarítmica, Seqüência,
Progressão Aritmética, Trigonometria no triângulo retângulo, Matrizes, Determinantes,
Binômio de Newton, Probabilidade e Equação Polinômios.
Ressalta-se que nos livros analisados não são mencionados conteúdos
matemáticos de Estatística e Matemática Financeira.
Percebe-se que nem todos os conteúdos de matemática que fazem parte da grade
curricular do Ensino Médio constam de tópicos de história. Desta forma, o professor que
desejar utilizar a história da matemática nestes conteúdos deverá pesquisa em outras fontes.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este trabalho teve por objetivo analisar como a história da Matemática está
presente nos livros didáticos de Matemática do Ensino Médio.
Sendo assim, pode-se perceber que informações sobre a vida de alguns
matemáticos (dados biográficos, características pessoais etc.) é evidenciada em todos os livros
analisados. Porém, verificou-se que há contradições quanto às data de nascimento e/ou morte
de alguns personagens históricos da Matemática, mesmo esses livros apresentando
praticamente as mesmas referências bibliográficas.
Destaca-se que nos livros analisados foi encontrado episódio envolvendo
matemáticos, que podem ser apresentados em sala de aula enquanto potencialidade
pedagógica como fonte de problemas práticos, curiosos, informativos e recreativos.
Constatou-se ainda que os livros analisados trazem mais informações dos
matemáticos do que da própria evolução matemática em si. E em relação ao processo de
descoberta e invenção de conceitos matemáticos, realizadas na maioria dos casos por
matemáticos, não são relatados os erros, obstáculos e frustrações enfrentados por estes.
Outro aspecto evidenciado na análise dos livros, é que nem todos os conteúdos
matemáticos que fazem parte da grade curricular do Ensino Médio constam de tópicos de
história. Neste caso, tem-se que os professores que pretendem abordar os conteúdos
matemáticos contextualizando sua história devem buscar outras fontes além do livro didático
para poder seguir uma das orientações dos PCNs quanto ao uso da história da Matemática
como recurso didático-metodológico.
Ressalta-se que foram encontrados nos livros períodos históricos que podem ser
discutidos em sala de aula com a possibilidade de propiciar ao aluno a compreender que as
idéias matemáticas são resultados de uma construção humana inseridas em um processo
histórico e social.
Em relação aos materiais usados para apresentar a informação histórica verificouse que o que mais aparecem nos livros são gravuras dos matemáticos e textos do próprio autor
do livro didático, não se remetendo às bibliografias que serviram de referência na
apresentação das informações históricas da Matemática.
No geral, constata-se que os livros analisados apresentam considerável história da
29
Matemática, servindo de auxílio ao professor de Matemática que desejar utilizar a história em
sala de aula.
Contudo, ressalta-se que este trabalho é apenas uma pequena parcela do que pode
ser pesquisado em relação a este assunto, já que as discussões em relação à análise da história
da Matemática presente nos livros didáticos é uma fonte inesgotável de pesquisa.
REFERÊNCIAS
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com a educação matemática. In: BICUDO, M. A. V. (org.). Pesquisa em educação
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BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais:
Matemática. Brasília: MEC / SEF, 1998.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Fundo Nacional de
Desenvolvimento da Educação. Catálogo do Programa Nacional do Livro para o Ensino
Médio (PNLEM/2009)./ Brasília: MEC/SEB, 2008. Disponível em <http//:www.fnde.gov.br>.
Acesso: 15 mar. 2010.
D'AMBRÓSIO, Ubiratan. História da matemática e educação. Cadernos CEDES, Campinas,
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FIORENTINI, Dario; LORENZATO, Sergio. Investigação em educação matemática:
percursos teóricos e metodológicos. Campinas: Autores Associados, 2006. Coleção formação
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73-105, jul./dez. 1997.
MIGUEL, Antonio. Perspectivas Teóricas no Interior do Campo de Investigação História na
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MIGUEL, Antonio; BRITO, Arlete J. A história da matemática na formação do professor de
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NEVES, José Luis. Pesquisa Qualitativa: Características, Usos e Possibilidades. Caderno de
pesquisa em Administração, São Paulo, 1996.
NOBRE, Sergio. Alguns "porquês" na história da matemática e suas contribuições para a
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DANTE, Luiz Roberto. Matemática: volume único. São Paulo: Ática, 2005. Ensino Médio:
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31
PAIVA, Manoel. Matemática: volume único. São Paulo: moderna, 2005. Livro do professor
(Ensino Médio).
YOUSSEF, Antônio Nicolau Yossef; SOARES, Elizabeth; FERNANDES, Vicente Paz.
Matemática: ensino médio, volume único. São Paulo: Scipione, 2005.
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA
PETERS, José Roberto. A história da Matemática no Ensino Fundamental: Uma análise
de livros didáticos e artigos sobre história. Dissertação (Mestrado em Educação Tecnológica e
Científica) – Universidade Federal de Santa Catarina. Florianópolis, 2005.
MARINA, Jacqueline Lucia. As concepções dos professores de Matemática do Ensino
Fundamental de uma escola pública de Sinop em relação à utilização da História da
Matemática no ensino-aprendizagem da Geometria. 2008. 41f. Trabalho de Conclusão de
Curso (Licenciatura em Matemática) – Faculdade de Ciências Exatas, Universidade do Estado
de Mato Grosso, Sinop.
APÊNDICES
APÊNDICE A – DADOS BIOGRÁFICOS DE MATEMÁTICOS
Nos dados biográficos analisados nos livros, temos os gregos: Diofanto de Alexandria (200284) no livro A; Pitágoras (~ 569-475 a.C) nos livros A e B; Platão (427 a.C- 347 a.C) no
livro B; Apolônio De Perga (262-190 a.C) no livro A; Arquimedes de Siracusa (~250 a.C) no
livro B e (287 a.C-212 a.C) no livro C; Euclides (~365-300 a.C) no livro A e (cerca de 330 a.
C-260 a.C) no livro B; Erastóstenes (276-196 a.C) no livro B e (276 a.C-194 a.C) no livro C;
Tales de Mileto (~625-546 a.C) no livro A, (624 a.C-547 a.C) no livro B e (624 a.C-548 a.C)
no livro C; Ptolomeu (~87-151) no livro A e (125 a.C) no livro B; Aristarco de Samos (310
a.C-250 a.C) no livro A e (310 a.C - 230 a.C) nos livro B e C; Hiparco (190 a.C-120 a.C) no
livro A e (190 a.C-125 a.C) livro B.
Os matemáticos árabes citados são: Al-Khowarizmi (790-850) nos livros A e C; Omar
Khayyam (1048-1131) no livro A e (1048-1122) no livro B; Nasir al–Din Al–Tusi (12011274) no livro B. Já os matemáticos hindus são: Aryabhata (476-550) e Brahmagupta (~ 598660) e Bhaskara (1114-1185) no livro A.
Também são encontrados os dados biográficos dos matemáticos franceses: Blaise Pascal
(1623-1662) e Pierre de Fermat (1601-1665) nos livros A, B e C; Pierre Simon Laplace
(1749-1772) nos livros A e B; Alexandre T. Vandermonde (1735-1796) nos livros A e B;
René Descartes (1596-1650) nos livros A, B e C; Viète (1540-1603) no livro A; Pierre
Frederic Sarrus (1798-1861) e Jacques Philippe Marie Binet (1786-1812) no livro B; Jean Le
Rond d’Alembert (1717-1783) no livro C; Évarist Galois (1811-1832) nos livros A e C;
Abraham de Moivre (1667-1754) nos livros A e B.
Os matemáticos italianos que têm seus dados biográficos citados são: Girolamo Cardano
(1501-1576), Niccolo F. Tartaglia (1500-1557), Felice Chió (1813-1871), Joseph Louis
Lagrange (1736 – 1813), Bonaventura Francesco Cavalieri (1598-1647) no livro B; Leonardo
de Pisa (1170-1250) nos livros A e C; Raffaelle Bombelli (1526-1573 nos livros A e B;
Ludovico Ferrari(1522-1565) no livro A.
35
Os matemáticos alemão citados são: Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646-1716), Peter G.
Lejeune Dirichlet (1805-1859) e Petrus Apianus(1495-1552) no livro A; Carl Gustav Jacobi
(1804-1851), nos livros A e B; Michael Stifel(1487-1567) e Johannes Kepler(1571-1630) no
livro B; Carl Friedrich Gauss (1777-1855) nos livros A e C.
Ainda são encontrados os dados biográficos dos matemáticos ingleses: Augustus De Morgan
(1806-1871), George Boole (1815-1864) no livro A; Henry Briggs (1561-1630) e Isaac
Newton (1642-1727) nos livros A, B e C. Os matemáticos norueguês Niels Henrik Abel
(1802-1829) nos livros A e C e Casper Wessel (1745-1818) no livro B.
Também aparecem os matemáticos suíços: Jean Bernoulli (1667-1748) e Jacques Bernoulli
(1654-1705) no livro A ; Jean Robert Argand (1768-1822) nos livros A e B; Leonard Euler
(1707-1783) nos livros A, B e C; Joost Burgi (1552-1632) nos livros A e B. Aparece ainda o
matemático escocês John Napier (ou Neper) (1550-1617), nos livros A, B e C. O matemático
russo Georg Cantor (1845-1918) nos livros A, B e C. O polonês Nicolau Copérnico (14731543) no livro B.
Além destes, aparecem sem indicação da naturalidade os matemáticos Galileu Galilei (15641642), nos livros A e B; Lobatchevski (1792-1856) e Riemann(1792-1856), nos livros A e B;
John Venn ( 1834-1923) no livro A; Albert Leibniz (1879-1955) em A ; Thomas
Harriot(1560-1621), Nicolas Chuquet (1445-1500), Diofanto de Alexandria (329-409 a.C),
Takakazu Seki Kowa (1642-1708), Colin Maclaurin(1698-1746), Gabriel Cramer (17041752), Etienne Bézout(1730-1783), Leopold Kronecker (1832-1891), Eugéne Rouché(18321910), Ferdinand Georg Frobenius(1847-1917), Augustin Louis Cauchy (1789-1857), Arthur
Cayly(1821-1895), James J. Sylvester (1814-1897) e Francesco Brioschi (1824-1897) no livro
A Christin Huygens (1629-1695), Jacob Bernoulli (1654-1705), Jean Baptiste D’ Alembert
(1717-1783), Laplace(1749-1827); Jules Henri Poincaré(1854-1912), Sixandre William
Rowan Hamilton(1805-1865), Émile Borel (1871-1956) e John Von Neumann(1903-1957) no
livro B; Scipione Del ferro(1465-1526), Aristóteles (384- 322 a.C) e Albert Girard (15901633) no livro C.
Ainda nos dados biográficos e características dos matemáticos encontramos o grego
Arquimedes de Siracusa considerado o “sábio grego” no livro C. Ptolomeu, “o mais célebre
astrônomo da antiguidade” no livro B. Euclides, “compilou os conhecimentos de geometria
36
em 13 volumes, denominados “Os Elementos”, cuja importância é tão grande que até hoje a
geometria clássica é conhecida como Geometria euclidiana” no livro A. Pitágoras, filósofo
grego, que “nasceu na ilha de Samos, no sudeste da Grécia, no mar Egeu, no início do século
VI a.C” no livro A. Tales de Mileto “é considerado um dos mais versáteis gênios da
antiguidade” no livro B; e ainda é estimado como sendo “o primeiro filósofo grego” e o
“primeiro homem da história a quem se atribuem descobertas matemáticas específicas” no
livro C. John Neper (ou Napier) “é considerado o inventor dos logaritmos” no livro A, e
“revolucionou os métodos de calculo” através da “invenção dos logaritmos” no livro B. Carl
Friedrich Gauss considerado como “um dos maiores matemáticos de todos os tempos” no
livro C. No livro B encontramos que: Sarrus nasceu em Saint Affrique, foi professor na
universidade francesa de Estrasburgo durante 30 anos e escreveu a famosa regra de Sarrus em
torno de 1833; Vandermode nasceu em Paris, era Músico e tornou-se matemático aos 35 anos,
deixando contribuições para o cálculo dos determinantes em um estudo de 1772 ; Binet que
nasceu em Rennes, foi professor da Escola Politécnica, apresentou o teorema sobre a
multiplicação de determinante e descobriu a regra para multiplicação de matrizes no ano de
1812; Jacobi nasceu em Potsdam, foi um excelente professor da Universidade de Berlim,
apresentou trabalhos sobre determinantes em 1841, sendo considerado um dos matemáticos
mais importantes do seu tempo; Chió nasceu em Crescentino, foi professor da Academia
Militar e da Universidade de Turim; Laplace nasceu em Beaumont-en-Auge, além de
matemático, era físico e astrônomo e exerceu cargos políticos, enunciou seu teorema sobre
“determinante” a qual chamava de “resultantes” em 1772 e foi um dos mais importantes
matemáticos da época da Revolução Francesa ; Lagrange nasceu em Turim, aos 19 anos já era
professor da Escola de Artilharia Real de Turim, foi levado por Euler para Universidade de
Berlim devido a sua impressionante capacidade intelectual, publicou estudos sobre
determinante em 1773; Platão nasceu em Atenas, no ano de 386 a.C. e fundou uma escola em
Atenas onde transmitia seus ensinamentos aos seus discípulos, ele acreditava que tudo era
composto de terra, ar, fogo, água, e ainda que cada um desses elementos correspondia a um
poliedro regular.
Os matemáticos que aparecem mais vezes nos três livros são Leonard Euler, René Descartes,
Carl Friedrich Gauss, Pierre de Fermat, Tales de Mileto, Aristarco de Samos, Leonardo de
Pisa e John Napier.
APÊNDICE B – OBRAS DOS MATEMÁTICOS
Nos livros encontramos algumas das obras dos matemáticos: Os Elementos, de Euclides, nos
livros A e B, “que reuniu numa obra de 13 volumes, todos os conhecimentos de geometria até
então conhecidos” no livro B. Liber Abacci (apresentava solução para equações determinadas
e indeterminadas de 1º grau), de Leonardo de Pisa nos livros A e C. Mirifici logarithmorum
canonis descriptio (descrição do maravilhoso método dos logaritmos) de John Neper no livro
A. Das grandezas e das distâncias ao Sol e à Lua de Aristarco de Samos no livro A. Discurso
do método de René Descartes no livro A. La Geometrie, que introduziu as bases da Geometria
Analítica de René Descartes nos livros B e C. Introdução aos lugares planos e sólidos de
Pierre de Fermat no livro A. Ars Magna (apresentado a resolução das equações de 3º e 4º
grau) de Girolamo Cardano, e esta publicação foi muito importância, tanto que, o ano de 1545
ficou sendo “considerado o marco inicial do período moderno da história da matemática”no
livro A. Algebra (apresentou nesta obra raízes quadradas de números negativos) de Raffaelle
Bombelli no livro A. Diofanto de Alexandria apresentou soluções algébricas para diversos
tipos de equações de 2º grau na obra Aritmética no livro A. Nove capítulos sobre a arte
matemática da civilização chinesa nos livros A e C. General Tratado di numeri et misure de
Niccolò Fontana Tartagli no livro B. Traité du triangle arithmétique de Blaise Pascal no livro
B. Triangulum arithmeticum pascalianum de Abraham de Moivre, em B. Arithmetica Integra
de Michael Stifel no livro B. Al-jabiwa’l muqãbalah de Al-Khowarizmi nos livros A e C.
Invention nouvelle em l’algebre de Albert Girard, em C. Doutrina das probabilidades de
Abraham de Moivre no livro B. Théorie analytique dês probabilités de Laplace no livro B.
Teoria do indivisível de Bonaventura Francesco Cavalieri no livro B. Exercitationes
geometricae sex de Cavalieri, no livro B. Diálogos de Platão no livro B. As cônicas de
Apolônio no livro B. Nos livros A e C encontrei que Gauss apresentou e demonstrou que toda
equação algébrica (polinomial) de grau n(n є N*) admitia pelo menos uma raiz complexa.
38
APÊNDICE C – EPISÓDIOS ENVOLVENDO MATEMÁTICOS
Os Pitagóricos, que tinham como dogma de sua doutrina “Tudo é Número” (inteiros),
descobriram que a diagonal do quadrado não é comensuráreis, ou seja, não é inteiro. Essa
descoberta causou, na época, uma crise religiosa de grande proporção. “Conta-se que
Pitágoras proibiu seus discípulos de divulgar a tal descoberta para não abalar a sua doutrina,
mas um de seus discípulos, Hipaso, quebrou o voto de silêncio e foi assassinado” (Livro B).
No livro B foi encontrado o episódio em que o matemático Arquimedes incendiou navios com
raios de Sol refletidos em espelhos parabólicos.
Em 1654, Pascal é consultado por um amigo que era jogador fanático, Chevalier de Méré,
sobre a possibilidade de vencer em jogos de dados (Livros A e B). As idéias sobre os
problemas propostos por De Mére levaram Pascal a manter correspondência com Pierre de
Fermat, o que desencadeou discussões a respeito dos princípios de uma nova teoria que veio a
ser chamada de teoria das probabilidades (Livro C).
APÊNDICE D – PERÍODOS HISTÓRICOS
Os livros A e B remetem-se a cerca de 2000 a.C, discutindo que a antiga civilização egípcia
deu origem aos primeiros registros de resolução da equação do 1º grau, que constam do papiro
de Ahmés ou Rhind. Que os egípcios e babilônios já apresentavam soluções de equações do
2º grau próximas aos processos algébricos atuais e que os babilônios desenvolveram um
considerado conhecimento geométrico nesta época.
Sobre o ano de 1650 a.C, o livro C resgata que já estava presente o conceito de
função na antiga civilização egípcia, como se constata no papiro Rhind.
O livro B menciona que desde 1300 a.C, no Egito, a geometria já era
desenvolvida, e são provas indiscutíveis de que os egípcios tinham esse conhecimento as
demarcações de terras e construções de pirâmides perto do rio Nilo.
O livro A destaca que por volta de 1000 a.C, os babilônios registraram os
primeiros cálculos utilizando potência, que foi encontrado em tabulas dessa civilização.
Em relação ao século VI a.C, o livro A apresenta que desenvolveu-se no sul da
Itália a comunidade religiosa com costume filosófico-científico com o nome de Escola
Pitagórica, liderada pelo filósofo grego Pitágoras. Já o livro B menciona que é também neste
período, por volta de 600 a.C, que os gregos, entre os quais Tales e Pitágoras, passaram a
sistematizar os conhecimentos geométricos da época; enquanto que o livro C afirma que
acredita-se que neste período surgiu na Grécia a idéia de números irracionais e na China os
números negativos já eram utilizados.
Quanto ao século 500 a.C, no livro A é destacado que os Pitagóricos
desenvolviam processos geométricos de solução de algumas equações de 2° grau; e que no
século III a.C (300 a.C), a geometria se desenvolveu devido à obra “Os Elementos” do
matemático grego Euclides.
Sobre o século II a.C é citado no livro A que o grego Apolônio de Perga, escreveu
sobre as secções cônicas; enquanto que no livro C é destacado que há 2200 anos o matemático
grego Eratóstenes realizou a proeza de medir uma circunferência que contém um meridiano
da terra.
Nos séculos VI e VII encontram-se indicações no livro A de que os matemáticos
hindus registraram regras de resolução da equação de 1º grau. E no final do século VIII, há
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indicação no livro B de que trabalhos hindus sobre a trigonometria foram traduzidos para o
árabe.
O século IX aparece nos livros A e C informando que o matemático árabe AlKhowarizmi expôs processos de solução das equações de 1º e 2º, e que nos séculos IX e XI os
matemáticos árabes se sobressaíram quanto à solução de problemas algébricos envolvendo a
resolução de equação de 1º grau.
O século XIII é citado no livro B através do relato que o matemático Leonardo de
Pisa, ao visitar uma fazenda, onde havia uma criação de coelhos, pôs-se a refletir sobre a
reprodução rápida desses animais. Quanto aos séculos XII e XIII é citado no livro A que
Leonardo de Pisa propôs uma seqüência numérica, e que outros matemáticos dedicaram-se ao
estudo da seqüência por ele indicada, e que ainda no século XIII, o matemático suíço,
Leonard Euler passou a representa a raiz quadrada de –1 por i.
O século XV é referido no livro A destacando que Nicolas Chuque fez o emprego
das primeiras potências com expoente zero e no livro B tem-se que o matemático Purback
introduziu o seno e a tangente na trigonometria e construiu a primeira tábua trigonométrica.
O século XVI é citado no livro A para relatar que Girolamo Cardano desenvolveu
técnicas de contagem de combinações, estudos sobre jogos de azar e cálculos de
probabilidades; e que os matemáticos Girolamo Cardano, Niccolo Tartaglia e Ludovovico
Ferrari propuseram fórmulas de resolver equação de 3º e 4º grau, causando inquietação nos
meios matemáticos quanto à resolução de equação de grau superior a 4. Ainda sobre este
século, no livro C é apresentado que os astrônomos passaram a usar as fórmulas
trigonométricas que transformam a multiplicação em adição ou subtração para simplificar
cálculos longos.
Entre o século XVI e o século XVII, o livro A menciona que houve uma maior
necessidade de desenvolvimento de processos simplificados para cálculos algébricos, devido
o desenvolvimento científico, o comércio, a navegação e as conquistas da Astronomia. E
assim, os logaritmos, instrumentos de cálculo, surgiram com o objetivo de realização dessas
simplificações, tendo como princípios básicos, segundo é discutido no livro C, transformar
uma multiplicação em adição ou uma divisão em subtração. Já o livro B menciona que no
início
do século
XVII sugiram
as
primeiras
tábuas
de logaritmos
inventadas
independentemente por John Napier e Jost Burgi.
Ainda sobre o século XVII, no livro A tem-se que a Análise Combinatória tem
suas primeiras grandes sistematizações nos trabalhos de Pascal e Fermat; que os sistemas de
equação linear tiveram um tratamento sistematizado, iniciado por estudos de Leibnitz e
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Takakazu; que surgem as primeiras idéias sobre o conceito de função; que Viète desenvolveu
métodos de resolução de equações quadráticas e generalizou grande parte da notação
algébrica e o matemático René Descartes passou a empregar a notação de potência atual.
Ainda sobre o século XVII tem-se no livro C que alguns matemáticos desenvolveram a teoria
dos determinantes.
O século XVIII é mencionado no livro A para informar que os matemáticos
Leibnitz e Seki Kowa desenvolveram processos de resolução de sistema lineares baseados em
tabelas numéricas, hoje denominadas matrizes; que a Análise Combinatória encontra
inúmeras aplicações em diversos campos de conhecimento; e que alguns trabalhos sobre
sistemas de equação linear passam a apresentar formulados métodos de resolução de sistemas.
O século XIX é citado por todos os livros analisados. Sendo que no livro B
destaca-se que o matemático Georg Cantor fundamentou adequadamente os números
irracionais; e que os matemáticos da época verificaram a possibilidade de desenvolvimento de
novos sistemas geométricos. Já o livro A menciona o desenvolvimento de outra geometria
chamada hiperbólica e elíptica; destaca que a definição de funções que mais se aproxima da
qual usamos hoje é apresentada por Peter G. L. Dirichlet e que os sistemas de equação
lineares decorreram para uma abordagem mais simplificada. No livro C discuti-se que nesse
período iniciou-se o estudo da análise vetorial, hoje essencial em todas as áreas que dependem
das ciências exatas.
Finalmente o século XX é tratado no livro A em que se destaca que foi adotado o
empregado da linguagem de notação de conjunto.
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APÊNDICE E – FOTOS, GRAVURAS E CARICATURAS DE MATEMÁTICOS
CITADOS NOS LIVROS ANALISADOS
1.
No livro A.
Abel (1802-1829)
Évarist Galois (1811-1832)
Descartes (1596-1650)
Gauss (1777-1855)
Tartaglia (1500-1557)
Bézout (1730-1783)
Kronecker(1832-1891)
Leibnitz (1646-1716)
43
Khayyam (1048-1131)
Euler (1707-1783)
Sylvester (1814-1897)
Laplace (1749-1772)
Burgi (1552-1632)
Euclides (~365-300 a.C)
Bernouilli(1654-1705)
Leonardo de Pisa (1170-1250)
Cauchy (1789-1857)
John Neper (1550-1617)
Bernoulli (1667-1748)
Harriot (1560-1621)
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Viète (1540-1603)
John Venn ( 1834-1923)
Georg Cantor(1845-1918)
Newton (1642-1727)
Dirichlet (1805-1859)
Boole (1815-1864)
Euler (1707-1783)
De Morgan (1806-1871)
Galilei(1564-1642)
Fermat (1601-1665)
45
Cardano (1501-1576)
2.
Pascal(1623-1662)
No livro B.
Jacobi (1804-1851)
Lagrange (1736-1813)
De Morgan (1806-1871)
Euclides(330 a.C-260 a.C)
Laplace (1749-1827)
Gauss(1777-1855)
Platão(427a.C-347a.C)
Kepler(1571-1630)
46
Hamilton (1805-1865)
3.
No livro C.
Georg Cantor(1845-1918)
Tales (624 a.C-547a.C)
Descarte (1596-1650)
John Napier
Leonardo de Pisa(1170-1250)
Arquimedes (~250 a. C)
Gauss (1777-1855)
Newton (1642-1727)
47
Galois(1811-1832)
Moivre (1667-1754)
Leibnitz (1646-1716)
D’Alembert (1717-1783)
Pascal (1623-1662)