Análise de dados
e probabilidade
Guia do professor
Experimento
Táxi e combinatória
Objetivos da unidade
1. Fazer uma breve introdução da Geometria do Táxi;
2. Capacitar o aluno a desenvolver técnicas para a resolução
de problemas de contagem;
3. Introduzir o Triângulo de Pascal e algumas de suas propriedades.
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Secretaria de
Educação a Distância
Ministério da
Ciência e Tecnologia
Ministério
da Educação
Governo Federal
Guia do professor
Táxi e
combinatória
Sinopse
Neste experimento, será apresentada a seus alunos uma geometria dife­
rente da euclidiana, conhecida como Geometria do Táxi, em que a menor
distância entre dois pontos nem sempre é a medida de um segmento de
reta! A partir dela, eles poderão desenvolver habilidades em combinatória
e ser apresentados ao triângulo de Pascal.
Conteúdos
Combinatória: Combinação, Triângulo de Pascal.
Objetivos
1. Fazer uma breve introdução da Geometria do Táxi;
2. Capacitar o aluno a desenvolver técnicas para a resolução de problemas
de contagem;
3. Introduzir o Triângulo de Pascal e algumas de suas propriedades.
Duração
Uma aula dupla.
„„
„„
„„
„„
Material relacionado
Software: Geometria do táxi – distâncias; Geometria do táxi – combinatória;
Geometria do táxi – formas geométricas.
Experimentos: De quantas maneiras posso passar meu cadarço?
Vídeo: Vou de Táxi;
Áudio: O que é permutação?
A , yA )
Introdução
Motivação
Neste experimento, é apresentada uma abordagem diferente da noção de
O nome “geometria do táxi”, como é conhecida a geometria apresentada,
distância, a qual é utilizada para explorar conceitos de contagem e combi­
vem da associação a “trafegar por ruas”. A distância entre dois pontos no
natória. A distância euclidiana usual é apropriada na descrição de muitos
plano cartesiano é medida pelo número de quadras percorridas no trajeto.
fenômenos, mas em algumas situações pode não ser a mais apropriada.
Nas atividades propostas, o aluno escolhe onde colocar no mapa um ponto
Por exemplo, a menor distância para ir de casa até a escola depende das
de referência e então é solicitado a encontrar a quantidade de maneiras
ruas que possibilitam esse trajeto e, sendo assim, dificilmente será definida
diferentes que se pode deslocar entre duas localidades fazendo um trajeto
como “a medida do segmento entre estes dois pontos”. O nome “geometria
mínimo. À medida que a distância entre as localidades aumenta, a organi­
do táxi”, como é conhecida a geometria que apresentamos neste Guia,
zação de contagem e ideias de combinatória surgem naturalmente.
deriva justamente da associação a “trafegar por ruas”.
Se considerarmos o sistema de coordenadas cartesiano usual, dados
dois pontos do plano,
entre
eles
A=
A(x
=A(x, A
yA
, y) A ) e B =B(x
=B(x
,y
,y
),Ba)distância
dtádxitá(A
,(A
B), B)
= |x
=A|x−Ax−
+A|y−Ay−By
| B|
BB
xi
B |x+
B ||y
é calculada assumindo-se que só se pode fazer trajetos paralelos aos eixos
(horizontais e verticais). Formalmente, essa distância pode ser definida
usando a função módulo de números reais:
O experimento
B = (xB , yB )
dtáxi (A, B) = |xA − xB | + |yA − yB |.
Neste experimento, o cenário é um mapa quadriculado cujas quadras
são as unidades de medida. O aluno escolhe a esquina onde quer colocar
no mapa a casa de um amigo, tendo em mente que todos os pontos de refe­
rência no experimento têm sempre coordenadas inteiras.
As atividades propostas exploram essencialmente de quantas maneiras
diferentes é possível fazer trajetos com comprimento mínimo. A organização
do processo de contagem quando as localidades ficam mais distantes leva
naturalmente aos conceitos introdutórios de combinatória.
Esta mesma geometria e seu cenário são explorados em três softwares
que podem ser usados como atividades complementares a este expe­
rimento: Geometria do Táxi – Distância, Geometria do Táxi – Formas
Geométricas, Geometria do Táxi – Contagem.
Táxi e combinatória Etapa 1 Qual é a menor distância
Na primeira etapa, é apresentado o mapa quadriculado com as marcações
da posição da casa do aluno e de uma região (um bairro de uma cidade)
onde ele deverá escolher a localização da casa de seu amigo. O objetivo é
encontrar visualmente o número mínimo de quadras que devem ser percor­
ridas de uma localidade a outra e também perceber que existem mais do
que um trajeto mínimo entre elas.
Etapa 2 Quantos menores caminhos existem?
A segunda etapa é destinada à organização e à sistematização da percepção
anterior. A proposta desta etapa é analisar de quantas maneiras diferentes
pode ser feito um trajeto com o menor número possível de quadras entre
duas localidades. Para esta análise, sugerimos uma notação para a
Guia do professor 2 / 6
descrição dos trajetos, utilizando as letras HH
e V para o deslocamento de
V
uma quadra, na horizontal ou na vertical, respectivamente.
O aluno deverá perceber que a contagem dos trajetos mínimos, facil­
mente efetuada visualmente quando as localidades estão próximas, tornase muito complexa quando elas se afastam, requerendo um procedimento
mais organizado. Isso deverá motivar a busca por uma expressão mais
formal, usando o conceito de combinação para o cálculo do número de
trajetos mínimos no caso geral.
Assumindo que o aluno já conheça o conceito de permutação, colocamos
a seguir uma forma de se obter passo a passo a expressão geral acima
mencionada, constituindo-se também numa motivação para o estudo do
conceito de combinação. Recomendamos que a dedução dessa expressão
seja discutida com os alunos no fechamento do experimento.
8!
5!
Por que o número de trajetos mínimos é dado por uma combinação?
Vamos supor que entre as localidades AA
eB
o
B
CC
Dmenor
D
E FEG
F Gtrajeto deve ser per­
corrido através de 8 quadras, sendo 3 horizontais e 5 verticais. Um exemplo
de trajeto mínimo de A B
para
CA
DBE,C
Fque
G
D Eestá
F G representado na figura, pode
ser denotado por H
HH
V
VVH
HH
V
VVH
HV
V, significando que a primeira quadra é
percorrida na horizontal, as duas seguintes na vertical, e assim por diante
até a oitava quadra que é percorrida na vertical.
Se as oito letras envolvidas na representação do trajeto fossem dife­
rentes, a resposta seria o número correspondente a todas as permutações
A
B é, 8! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 = 40320 trajetos.
possíveis das oito letras,
isto
Mas, neste caso, teremos um número bem menor de possibilidades: tere­
mos que repetir a letra H V
três vezes, e a letra
H V 5 vezes, para preencher
as oito posições, a fim de representar os três deslocamentos horizontais
e os cinco verticais necessários, variando a ordem.
Consideremos o exemplo do trajeto mínimoH
HH
VVVH
HH
VVVH
H VV. Obteremos
o mesmo trajeto se trocarmos as letras H V
entre si e as letras
H V entre si.
8!
8!
8!
3
5!
3! que seriam possíveis
= com letras
= Cdiferentes,
n
p
q
Assim, nas 8! permutações
8
3!5!
3!5! 3!(8 − 3)!
estaríamos contando este trajeto várias vezes. Mais precisamente, como há
8!
8!
8!
n!
3! modos de trocar as=letras H V
=C
n
p dasqposições
Cp
p
entre
si3
(permutações
1ª, 4ª,
n=
8
8!
8!
8!
3!5!
3!5! 3!(8 − 3)!
p!(n − p)!
3! de trocar as letras
= C38
n das posições
p
q
Cp
=
e8!
7ª ) e 5! modos
H=
V entre si (permutações
8!
8!
8!
8!8!
8! n p!
3!5!
3!5! 3!(8 − 3)!
8! contado
5! 8! 3! 5! vezes
3!este mesmo
= trajeto.= = C38 =nC38
2ª, 3ª, 5ª, 6ª e 8ª), teríamos
3!5!
3!5!
3!5! 3!(8
3!5!− 3)!3!(8 − 3)!
Como o argumento acima pode ser considerado para qualquer outro
trajeto mínimo entre as localidades AA
eB
oD
número
B
C,C
D
EE
FG
F G total de trajetos míni­
mos diferentes é dado por
8!
8!
8!
=
= C38
8!
5!
3!
n
p
q
.
3!5!
Note que este número é exatamente o número de combinações de
8 elementos tomados 3 a 3, pois:
8!
5!
3!
ABCDEFG
8!
5!
3!(8 − 3)!
3!5!
8!3!
8!
8!
=
= C38.
3!5! 3!(8 − 3)!
8!
3!5!
n
p
q
Cp
n=
n!
p!(n − p
De modo geral, se entre as localidades AA
eC
o menor
B
BC
D
D
E FEG
F Gtrajeto deve ser
8!
8! 8!
8!8!
8!8!
8!
n!
n!
n!
p
5! 8! 3! 5!
=
3!
== C38 de=n =
C38p =
n
qC38 p
Cp
n= q p Cep
Cpp
qentão
= n p +Cq
= np
percorrido através
quadras,
sendo
horizontais
n
nq=verticais,
n+=
n=
3!5!
3!5!3!5! 3!(8 −
3!5!
3)! 3!(8
3!5!− 3)!3!(8 − 3)!
p!(n − p)! p!(n − p)!
p!(n − p)!
p!
o número de trajetos mínimo diferentes é dado por
8!
ABCDEFG
5!
3!
8!
3!5!
8!
8!
=
= C38
3!5! 3!(8 − 3)!
n
p
q
Cp
n=
n!
.
p!(n − p)!
p+q = n
Cp
n=
n!
=
p!(n − p)! p
Note que este número é o mesmo se um trajeto mínimo entre A B
eC
A
BD
CD
E FEGF G
8!
8! 8!
8! 8!
8! 8!3
8!
8!
n!
n!
p 3 p n!
p
pn!
3
8!
8!
5!
5!
3!
3!
8! =5! =3!
= C8 =
=p
n
qp
C
=
qnC
=
= e p verticais,
pq+ q =
p
C+
n
=como
=C
nn = Cp
for através
deCn8 quadras,
sendo
horizontais
pois,
nn
nq
n= p
8 C
8!
8!
8!
n!
n!
n!
n!
3!5!
3!5!
3!5!
3!5!
3!(8
−
3!(8
3)!
−
3!5!
3)!
3!5!
3!(8
−
3)!
p!(n
−
p!(n
p)!
−
p)!
p!(n
−
p)!
p!(n
−p!
p
8!
5!
3!
=
= C38
n
p
q
Cp
p + q = n , valeCp
=
=
= Cq
n=
n=
n
3!5!
3!5! 3!(8 − 3)!
p!(n − p)!
p!(n − p)! p!q! (n − q)!q!
A seguir, vamos analisar quantos trajetos mínimos diferentes existem
n!
n!
8!
8!
8!
n!
n!
p
p
3
=
=
= Cq
8!entre5!
=
= C8
n
p
q
Cn =
p+q = n
Cn =
eB
AA
B
C.3!
C
DD
E FEG
FG
n.
p!(n − p)! p!q! (n − q)!q!
3!5!
3!5! 3!(8 − 3)!
p!(n − p)!
fig. 1 Táxi e combinatória Guia do professor 3 / 6
Fechamento
Para motivar o uso desta expressão, solicite o cálculo do número
de trajetos mínimos entre duas localidades não tão próximas.
Etapa 3 Uma propriedade
„„
„„
A atividade proposta no fechamento é uma introdução ao conhecido
Triângulo de Pascal, que incorpora a abordagem geométrica da malha
quadriculada utilizada neste experimento.
Nesta etapa, intentamos que o aluno conclua que, considerando-se as duas
esquinas vizinhas, A B
eC
A
B,D
Cda
D
E Fcasa
EGF G do amigo que estão mais próximas,
temos:
Todos os caminhos mínimos entre as duas casas têm de passar por uma
destas esquinas;
Os caminhos mínimos que passam por uma destas esquinas, por exemplo,
A,Bsão
C Ddistintos
E F G dos caminhos mínimos que passam pela outra,
A B;C D E F G
Variação
Como consequência, temos a propriedade de que o número de caminhos
mínimos entre as duas casas é a soma dos números de caminhos mínimos
ligando a casa do aluno a A B
eA
aB
Assim,
desta percepção geométrica e
C
D.CE
D
FG
EFG
a expressão anteriormente obtida , podemos concluir que:
p−1
p
Cp
n = Cn−1 + Cn−1.
p
Cp−1
n−1 + Cn−1 =
Uma variação interessante deste experimento que pode ser vista como
uma extensão do que é proposto na Etapa 3 é o cálculo do número de
trajetos mínimos entre duas localidades AA
eB
passando
B
C,C
D
D
EE
FG
F G por uma terceira
localidade
Princípio Fundamental da Contagem assegura
A B C.DOEconhecido
FG

 de trajetos mínimos entre
que este número é dado pelo produto
do número
(n − 1)!
(n − 1)!
(1
1
(n − 1)!
n
eCD
pelo
de trajetos mínimos+entre
eC
AB
G
AA
B
C
D.D
EE
FG
FG
=E Fnúmero
=B
(n − 1)!
+
(p − 1)!(n − p)! p!(n − p − 1)!
Isso pode ser verificado através das expressões combinatórias:
(p − 1)!(n − p − 1)!
n−p
p
(p − 1)!(n − p − 1)! (n − p)p
Princípio Multiplicativo ou Princípio Fundamental da Contagem
 uma decisão D1 podeD
Se
Dser
D
rs de rsmodos e, qualquer que seja esta
12 tomada
(1
1
(n − 1)!
n 2
n!
p
a decisão
o número de
=
= Centão
+ escolha,
D1
D2 pode
D
rsser
D=2 ders modos,
n
1 tomada
(p − 1)!(n − p − 1)! (n − p)p p!(n − p)!
n−p p
maneiras de se tomarem consecutivamente as decisões
D1D1 e D2Dé2igual
rs rs


D1
D2 a rs.
n!
(1
1
(n − 1)!
n
(n − 1)!
(n − 1)!
(n − 1)!
+
=
=
= Cp
=
+
=
n
(p − 1)!(n − p − 1)! (n − p)p p!(n − p)!
(p − 1)!(n − p)! p!(n − p − 1)! (p − 1)!(n − p − 1)! n − p p
p
= Cp−1
n−1 + Cn−1
=
1
p
p
Cp−1
n−1 + Cn−1
(n − 1)!
(p − 1)!(n − p − 1)!

=

(1
1
+
n−p p

(n − 1)!
(n − 1)!
(n − 1)!
+
=
=
(p − 1)!(n − p)! p!(n − p − 1)! (p − 1)!(n − p − 1)!
=

n
n!
(n − 1)!
=
= Cp
n
(p − 1)!(n − p − 1)! (n − p)p p!(n − p)!
n!
(n − 1)!
n
=
= Cp
n.
(p − 1)!(n − p − 1)! (n − p)p p!(n − p)!
Táxi e combinatória Guia do professor 4 / 6
=
p!(n
Bibliografia
Carvalho, Paulo Cezar Pinto. Métodos de Contagem e Probabilidade.
obmep, 2005.
Lima, Elon Lages; Carvalho, Paulo Cezar Pinto; Wagner, Eduardo; Morgado,
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de Matemática, (3ª Edição). Rio de Janeiro: sbm, 2000.
Krause, Eugene F. Taxicab Geometry. New York: Dover, 1986.
Veloso, Eduardo. Geometria: Temas Actuais. Materiais para professores.
Lisboa: Instituto de Inovação Educacional, 2000.
Táxi e combinatória Guia do professor 5 / 6
Ficha técnica
Autoras
Claudina Izepe Rodrigues e
Sueli I. R. Costa
Projeto gráfico
e ilustrações técnicas
Preface Design
Universidade Estadual
de Campinas
Reitor
Fernando Ferreira da Costa
Vice-Reitor e Pró-Reitor
de Pós-Graduação
Edgar Salvadori De Decca
Revisores
Matemática
Samuel Rocha de Oliveira
Língua Portuguesa
Carolina Bonturi
Pedagogia
Ângela Soligo
Matemática Multimídia
Coordenador Geral
Samuel Rocha de Oliveira
Coordenador de Experimentos
Leonardo Barichello
Instituto de Matemática,
Estatística e Computação
Científica (imecc – unicamp)
Diretor
Jayme Vaz Jr.
Vice-Diretor
Edmundo Capelas de Oliveira
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Educação a Distância
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Ciência e Tecnologia
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Governo Federal