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Foram 4 questões do assunto “Princípios de contagem e probabilidade”.
Acredito que nossos alunos tiveram facilidade em resolver as questões, haja
vista que nosso nível de preparação foi além do nível exigido pela banca
examinadora. As questões foram elaboradas com redação maneira clara, e
de fácil interpretação. Os gabaritos preliminares estão corretos.
Questões comentadas:
Um batalhão é composto por 20 policiais: 12 do sexo masculino e 8 do sexo
feminino. A região atendida pelo batalhão é composta por 10 quadras e, em
cada dia da semana, uma dupla de policiais policia cada uma das quadras.
Com referência a essa situação, julgue os itens subsequentes.
66 Caso as duplas de policiais sejam formadas aleatoriamente, então a
probabilidade de que em determinado dia os policiais que policiarão
determinada quadra sejam do mesmo sexo será superior a 0,5.
R.
Para calcularmos essa probabilidade, precisamos contabilizar os eventos
onde, em pelo menos em uma quadra, uma dupla de policiais seja formada
por dois homens ou duas mulheres. Vamos representar a probabilidade
desses eventos como:
P=P(HH)+P(MM), onde:
 P(HH)=probabilidade de pelo menos uma dupla ser formada por dois
homens.
 P(MM)=probabilidade de pelo menos uma dupla ser formada por dois
homens.
Como toda probabilidade:
𝑃(𝐻𝐻) =
𝑛º 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐻𝐻
𝑛º 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑎ç𝑜 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
O número de elementos do evento HH é calculado a partir do número de
maneiras diferentes de selecionar uma dupla formada por policiais homens,
entre os 12 existentes. Nessa situação, a ordem de seleção não interfere na
contagem e, portanto, devemos calcular a combinação de 12 elementos,
tomados 2 a 2:
𝐶12,
2
=
12!
12 × 11 × 10! 12 × 11
=
=
= 66 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
(12 − 2)! 2!
10! × 2!
2
O número de elementos do espaço amostral é igual ao número de duplas
que podem ser formadas, independentemente do sexo, ou seja, igual à
combinação de 20 elementos, tomados 2 a 2:
𝐶20,
2
=
20!
20 × 19 × 18! 20 × 19
=
=
= 190 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
(20 − 2)! 2!
18! × 2!
2
Portanto, a probabilidade P(HH) é igual a:
𝑃(𝐻𝐻) =
𝑛º 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐻𝐻
66
=
𝑛º 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑎ç𝑜 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 190
Agora, precisamos calcular P(MM).
O número de elementos do evento MM é calculado a partir do número de
maneiras diferentes de selecionar uma dupla formada por policiais
mulheres, entre as 8 existentes. Nessa situação, também a ordem de
escolha não interfere na contagem e, portanto, devemos calcular a
combinação de 8 elementos, tomados 2 a 2:
𝐶8,
2
=
8!
8 × 7 × 6! 8 × 7
=
=
= 28 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
(8 − 2)! 2!
6! × 2!
2
O número de elementos do espaço amostral é o mesmo, ou seja, 190.
Assim:
𝑃(𝑀𝑀) =
𝑛º 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐻𝐻
28
=
𝑛º 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑎ç𝑜 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 190
Portanto, a probabilidade de que em determinado dia os policiais que
policiarão determinada quadra sejam do mesmo sexo será igual a:
𝑃 = 𝑃(𝐻𝐻) + 𝑃(𝑀𝑀) =
66
28
94
+
=
≅ 0,49
190 190 190
Ou seja, a probabilidade é inferior a 0,5, que seria 95/190.
Resposta, ERRADO.
67 Se, dos 20 policiais do batalhão, 15 tiverem, no mínimo, 10 anos de
serviço, e 13 tiverem, no máximo, 20 anos de serviço, então mais de 6
policiais terão menos de 10 anos de serviço.
R.
Se 15 policiais possuem, no mínimo, 10 anos de serviço,
consequentemente, o número de policiais que possuem menos de 10 anos
de serviço é igual a 20-15=5.
Resposta, ERRADO.
68 Considerando que, após concurso público, sejam admitidos novos
policiais no batalhão, de modo que a quantidade dos novos policiais do sexo
masculino admitidos seja igual ao triplo da quantidade de novos policiais do
sexo feminino, e que, devido a essas admissões, 0,7 passe a ser a
probabilidade de se escolher, ao acaso, um policial do sexo masculino desse
batalhão, então, no batalhão haverá mais de 15 policiais do sexo feminino.
R.
Após o concurso:
 O número de policiais do sexo masculino é igual a 12+3X
 O número de policiais do sexo feminino é igual a 8+X
 O número total de policiais é igual a 20+4X
A probabilidade de selecionarmos ao acaso um policial do sexo masculino é
igual a:
𝑃(𝐻) =
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑐𝑖𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑥𝑜 𝑚𝑎𝑠𝑐𝑢𝑙𝑖𝑛𝑜
= 0,7
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑐𝑖𝑎𝑖𝑠
𝑃(𝐻) =
12 + 3𝑋
= 0,7
20 + 4𝑋
12 + 3𝑋 = 14 + 2,8𝑋
0,2𝑋 = 2
𝑋 = 10
Portanto, o número de policiais do sexo feminino é igual a 8+X=18.
Resposta, CERTO.
70 Se a escala dos policiais for feita de modo a diversificar as duplas que
policiam as quadras, então, se determinada dupla policiar a quadra X em
determinado dia, essa mesma dupla voltará a policiar a quadra X somente
mais de seis meses após aquele dia.
R.
Conforme calculamos anteriormente, o número de duplas que podem ser
formadas é igual a 190 (espaço amostral).
Assim, caso uma dupla X policiar uma quadra em determinado dia, ela
voltará a esse lugar depois de 190 dias, ou seja, 6 meses e 10 dias.
Resposta, CERTO.