Resolução da lista 4 de exercícios de Resistência dos Materiais
Leandro Lima Rasmussen
Exercício 1)
No intuito de solucionar o problema, deve ser feita a superposição de 3 casos:
Um, considerando a chapa BC como sendo rígida e calculando a flecha em C a partir da tangente do
ângulo que a reta BC fará com a estrutura multiplicado pela distância horizontal L/4. Outro,
considerando a chapa AB como sendo rígida e calculando a flecha em C pela tabela das equações de
linha elástica. E o último caso, tomando-se, novamente, a chapa BC como rígida e verificando o desnível
que será provocado pelo momento no apoio móvel calculando a tangente do ângulo formado
multiplicado por L/4.
Os 3 casos a serem somados se encontram esquematizados logo abaixo:
Para o primeiro caso, o que interessa é o valor da tangente do ângulo que será formado pela deformação
da estrutura no apoio móvel. Para obtê-lo, deriva-se a equação da linha elástica:
4
p$l
v=
$
24$E$Iz
x
x
K2$
l
l
3
C
x
l
4
-Equação da linha elástica-
Derivando-a, chega-se na função da inclinação:
p$l4
$
24$E$Iz
v
vx
x
x
K2$
l
l
3
C
x
l
p l4
4
=
1
24
1
6 x2
4 x3
K 3 C 4
l
l
l
E Iz
1 p l3 l
1 p l4
$ =K
24 E Iz 4
96 E Iz
OBS: o sinal de negativo acima serve para definir que o deslocamento vertical positivo é, na verdade,
aquele que ocorre com o sentido descendente.
Aplicando-a, chega-se que a flecha do ponto C será: K
Continuando com o segundo caso, obtemos da tabela diretamente a seguinte função para a flecha em C:
l 4
4
8$E$Iz
p$
f=
Já o terceiro caso, de novo, o que interessa é o valor da tangente do ângulo formado. Então, vamos
derivar a função da linha elástica:
v
vx
2
M$l
2$ x
x
$
K3$
6$E$Iz
l
l
2
C
x
l
M l2
3
=
1
6
2
2
6x
3x
K 2 C 3
l
l
l
E Iz
Com x = 0 e multiplicando a resposta por L/4, atingimos o valor da flecha provocada em C:
2
f=
p$l l
l
1
$ $
$ $
4 8 E$Iz 6
2
$l
l
1 p l4
=
4
384 E Iz
Para finalizar, basta somar as 3 flechas obtidas acima para se obter a flecha real no ponto C:
l 4
p$
1 p l4
1
p l4
15
p l4
4
K
C
=K
8$E$Iz
96 E Iz
384 E Iz
2048 E Iz
Exercício 2)
Letra a)
Esta flecha pode ser diretamente obtida da tabela de elásticas para vigas. Já que, os esforços na estrutura
podem ser analisados como equivalentes aos de uma viga bi-apoiada com um momento aplicado em um
dos apoios.
A equação da flecha fica sendo, então:
se:
flecha máxima =
Mc$4$a2
9$ 3 $E$Iz
M$l2
9$ 3 $E$Iz
; Como, no presente caso, l é igual a 2a, então, tem-
Letra b)
A flecha no ponto C pode ser obtida pela superposição dos 2 casos que seguem abaixo:
Para o primeiro caso, já existe um equacionamento pronto para o cálculo da flecha na tabela de elásticas
de vigas. Já no segundo, deve ser calculado a tangente do ângulo de inclinação seguido pela
multiplicação do comprimento da chapa BC.
Primeiro caso:
Da tabela tem-se diretamente que:
flecha =
KM$l2
/Com l = a;
2$E$Iz
Segundo caso:
Primeiro, deriva-se para obter a tangente do ângulo e, depois, o multiplica pelo comprimento da chapa
BC.
2
2
6x
3x
2
M
l
K
C
l
v
M$l2
2$x
x 2
x 3
1
l2
l3
$
K3$
C
=
l
l
l
6
vx
6$E$Iz
E Iz
Aplicando a equação acima para o cálculo do ângulo no apoio móvel, temos:
2
6$0
3$02
M 2a 2
K
C
2a
2a 2
2a 3
2 Ma
1
=
3 E Iz
6
E Iz
Acrescentando o sinal de negativo (devido a convenção) e multiplicando por (a), chega-se na flecha
procurada:
K
2 Ma
$a
3 E Iz
Concluindo, soma-se as 2 flechas obtidas para obter a flecha do caso proposto:
M$a2
2 Ma
7 M a2
K
$a =K
2$E$Iz
3 E Iz
6 E Iz
Flecha no ponto C =K
Exercício 3)
Usando a tabela de linha elástica para vigas, obtemos a função da flecha para o engastamento onde está
sendo aplicada a força antes de o mesmo encostar na viga em balança abaixo:
P$l3
f=
;
3$E$Iz
Então, por meio dela, e sabendo-se que a flecha deve ser de 0.5 cm, calculmos o valor da força aplicada
para conseguir encostar a viga de cima na de baixo.
0.5 =
P$1003
3$2000$104
Resolvendo para P
P = 30 kN
Assim, já se torna possível desenhar a primeira reta do diagrama da flecha:
Continuando, sabemos que a força aplicada até então na viga acima eh de 30 kN. Então, zeremos este
valor (já que, a viga vai continuar a suportar esses 30 kN) e vamos considerar que, agora, vamos aplicar
uma força de 0 até 70 kN na viga acima. O que precisamos descobrir é como será dada a distribuição
deste esforço nas 2 vigas. O que se tornará possível ao montarmos o equacionamento de compatiblidade
no ponto onde ambas se encontram.
Flecha de cima = flecha de baixo =
P$1003
=
3$2000$104
3
70 K P $l3
P$l
=
3$E$Iz
3$E$Iz
3
70 KP $200
/P = 31.1111 kN
3$2000$105
Para finalizar, basta somar este esforço P, que é passado para a viga de cima, com o que já vinha sendo
aplicado antes e calcular a flecha total da viga:
31.11111 C30 $1003
flecha final =
= 1.018518500 cm
3$2000$104
O gráfico final segue abaixo:
Exercício 4)
Este exercício deve ser resolvido pela superposição de 2 casos. O primeiro é o deslocamento vertical do
ponto A devido ao encurtamento da mola e o segundo é a flecha do ponto A devido à força aplicada no
centro da viga bi-apoiada.
Para o primeiro caso, temos a flecha partir da equação da mola e de uma simples regra de 3:
kN
;
cm
Assim, x = 1 cm. Porém, no ponto A, o valor real é 3/4 do obtido no ponto de aplicação da mola (chegou3
se a este valor por meio de uma regra de 3). Então, o deslocamento vertical de A deve ser: $1 cm
4
Continuando, para o segundo caso, da tabela de elásticas pode ser aplicada o seguinte equacionamento
para a flecha:
F = k$x / Com F = 10 kN; e k = 5
flecha em A =
10$4003
100
4
100
$
K $
7
400
3
400
16$10
3
=
11
cm
12
Para finalizar, façamos a sobreposição dos 2 casos, chegando-se no resultado final.
11
3$1
C
= 1.666666667 cm
12
4
Não podendo se esquecer que, pela convenção, positivo significa um deslocamento descendente.
Flecha no Ponto A =
Exercício 5)
Letra a)
Para resolver as forças nas barras, devemos aplicar uma das equações da estática mais a condição de
compatibilidade da estrutura em algum ponto da mesma. Aqui, será aplicado a somatória dos momentos
no ponto do apoio fixo e a compatibilidade se dará no ponto de aplicação da força vertical.
Da estática, temos:
>Momentos em A = 0;
FBD$200 CFCE$400 K20$200 = 0;
Continuando, para a compatibilidade no ponto B, temos que fazer a superposição de 2 casos e igualar
sua consequência com o alongamento da barra BD. Segue abaixo esta superposição:
F=
F=
1
$ΔBarraCE;
2
PKFBD $L3
48$E$Iz
;
A compatibilidade fica sendo, então, dada pelo seguinte equacionamento:
FCE$100
1$E
20KFBD $4003
1
$ C
2
48$2000$E
=
FBD$100
E$1
Juntamento com a primeira equação acima, podemos, agora, montar um sistema de 2 equações e 2
incógnitas e resolver os valores das forças nas barras.
Após resolvido o sistema, chega-se nos seguinte valores:
FBD = 17.47360 kN;
FCE = 1.2632 kN;
Letra b)
Por regra de 3, sabemos que o alongamento da barra BD deve ser a metade do da barra CE. Desse fato,
mais o uso dos princípios da estática, podemos calcular os valores das reações nas barras a partir do
seguinte sistema:
FCE$L
2$E$A
=
FBD$L
E$A
;
FBD$200 CFCE$400 K20$200 = 0;
FBD$200 C2$ FBD$400 K20$200 = 0
Soluções para F BD
4 kN
4$200 CFCE$400 K20$200 = 0
Soluçoes para F CE
8 kN
Exercício 6)
Começando, usando o conceito de que a força aplicada na barra deve ser repartida entre os dois sistemas
estruturais a ela ligado, podemos, com os métodos da estática, encontrar os diagramas de normal e força
cortante:
OBS: Nos diagramas que se seguem, K foi empregado para simbolizar a porcetagem da força P que é
dividida para cada lado da estrutura.
Diagrama de Normal:
Diagrama de Força Cortante:
Encontrados os diagramas, para resolver a força podemos utilizar a já conhecida técnica de se calcular a
compatibilidade da estrutura em algum ponto. Vamos considerar o próprio ponto de aplicação da força.
Dessa forma, tanto o deslocamento obtido pela estrutura da direita deve ser igual ao obtido pela da
esquerda. Para o caso da direita, devemos sobrepor duas situações da tabela de linha elástica:
N$L
P$L3
C
;
Alongamento da barra + flexão da viga em balanço:
E$A
3$E$Iz
3
K$60$200
K$60$400
23
Calculando:
C
=
K
20000$2
3$20000$32000
10
Agora, para o caso da esquerda, teremos a soma dos efeitos de outros 2 casos:
Flexão da viga + deslocamento do ponto de aplicação da força devido ao giro provocado na chapa
vertical engastada pelo momento resultante:
3
v
M$L2
2$x
x 2
P$L
C
$ 1K
C
$L;
3$E$I
vx
2$E$Iz
L
L
x=0
3
Calculando:
1 KK $60$200
1
C $
2
3$20000$32000
2
2$0
C
200
2002
K 1 KK $60$200$2002$ K
20000$32000
$200 = 1 KK
Resolvendo a compatibilidade, obtemos:
Resolvendo para K
23
1 KK =
$K
0.3030303030
10
Concluindo, aplicando este K na primeira das equações, chegamos no deslocamento do ponto que
queremos:
0.303$60$200
0.303$60$4003
C
= 0.6969 cm para baixo.
20000$2
3$20000$32000