MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
U N I V E R S I D A D E F E D E RA L D O P A RA N Á
SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTIC A
LISTA DE EXERCÍCIOS – 02
01 Dada a distribuição normal N(10, 25), calcular as
probabilidades:
(a) P(X > 4);
(b) P(8 ≤ X ≤ 15);
(c) P(X ≤ 10);
(d) P(5 ≤ X ≤ 15);
(e) P(0 ≤ X ≤ 20);
(f) P(–5 ≤ x ≤ 25).
02 Uma peça cromada resiste a um ensaio de
corrosão por 3 dias em média, com desvio padrão de
5 horas. Calcular a probabilidade de:
(a) 1 peça resistir a mais que 3,5 dias;
(b) 1 peça resistir a mais que 2 dias;
(c) 1 peça resistir entre 70 e 84 horas;
(d) 1 peça resistir entre 60 e 70 horas;
(e) sabe-se que 8% das peças resistem menos que
certo valor de horas, qual é esse valor ?
(f) sabe-se que 71,9% das peças resistem menos que
certo valor de horas, qual é esse valor ?
03 As lâmpadas são fabricadas por uma indústria
têm vida média de 2 060 horas e desvio padrão de
150 horas. Calcular a probabilidade de:
(a) uma lâmpada se queimar com mais de 1 900
horas;
(b) idem, com menos de 1 800 horas;
(c) idem, entre 1 900 e 2 200 horas;
(d) idem, entre 1 800 e 1 900 horas.
04 Uma máquina de empacotar determinado
produto oferece variações de peso que se
distribuem com desvio padrão de 20g. Em quanto
deve ser regulado o peso médio desses pacotes para
que apenas 10% deles tenham menos de 400g ?
05 Numa distribuição normal, 31% dos elementos
são menores que 45 e 8% são maiores que 64.
Calcular os parâmetros que definem a distribuição
normal.
06 Uma peça é aceita num controle de qualidade
com dimensões entre 299 e 301mm. Verifica-se que
10% das peças são rejeitadas como grandes e 20%
como pequenas. Calcular a porcentagem de rejeição
no caso da especificação ser ampliada para 298,5 e
301,5mm ?
07 A nota média de um exame final foi 72 e a
variância 81. Sabe-se que 10% dos melhores alunos
receberam a classificação A. Qual a nota mínima que
um aluno deve obter para classificar-se com o
conceito A ?
08 No processo de fabricação de uma peça
verificou-se que a tolerância de especificação
enquadra-se entre a média mais ou menos duas
vezes o desvio padrão desse processo. Que
percentagem de peças será rejeitada ?
09 Para uma família de certo status sócioeconômico, as despesas médias mensais com
alimentação, educação, saúde e habitação, bem
como os desvios padrões, são mostrados na tabela
abaixo:
Despesa
Alimentícia
Educação
Saúde
Habitação
Média
1 400
500
450
1 350
Desvio
padrão
180
100
120
200
Admitindo-se normalidade para estas despesas, e
numa cidade de 80 000 famílias, das quais 20% são
desse status, calcular o número de famílias desse
status em que o gasto mensal total com estas
despesas:
(a) seja maior que R$ 4.200,00;
(b) seja menor de R$ 4.000,00;
(c) esteja entre R$ 3.000,00 e R$ 3.600,00;
(d) sabe-se que 5% das famílias desse status gastam
mais que certo valor, qual é esse valor ?
10 Seja X uma variável aleatória com distribuição
Normal
N(,
2).
Calcule
as
seguintes
probabilidades:
(a) P( –  ≤ X ≤  + );
(b) P(|X – | ≤ 2);
(c) P(|X – | ≤ 3).
11 Indique como seria possível retirar uma amostra
sistemática de 35 elementos a partir de uma
população ordenadas por 2 590 elementos. Na
ordenação geral, qual dos elementos abaixo seria
escolhido para pertencer à amostra, sabendo-se que
o elemento 1 546 a ela pertence ?
1 028º
242º
636º
2 323º
1 841º
12 Uma população se encontra dividida em três
estratos, com tamanhos respectivamente, N 1 = 80,
N2 = 120 e N3 = 60. Ao se realizar uma amostragem
estratificada proporcional, 12 elementos da amostra
foram retirados do 1º estrato. Qual o total de
elementos da amostra ?
13 Uma amostragem entre moradores de uma
cidade é realizada da seguinte forma: em cada
subdistrito, sorteia-se certo número de quarteirões
proporcional à área do subdistrito; de cada
quarteirão, são sorteadas cinco residências, cujos
moradores são entrevistados.
(a) Essa amostra será representativa da população
ou poderá apresentar algum vício ?
(b) Que tipo de amostragem foram usados no
procedimento ?
14 Uma indústria especializada em montagem de
grandes equipamentos industriais recebeu 70
dispositivos de controle do fornecedor A e outros 30
dispositivos do mesmo tipo do fornecedor B. O
aspecto relevante, que se deseja controlar, relativo a
esses dispositivos, é a resistência elétrica de certo
componente crítico. Vamos admitir que os 100
dispositivos recebidos foram numerados de 1 a 100
ao darem entrada no almoxarifado, e que os 70
primeiros foram recebidos do fornecedor A. Vamos
admitir, também, que os valores reais da variável de
interesse (a resistência elétrica do componente
crítico) dos 100 dispositivos recebidos sejam os
dados seguintes, respectivamente na ordem de
entrada no almoxarifado (lê-se segundo as linhas, tal
como se lê um livro):
33 34 34 36 32 35 30 36 34 32
35 33 31 36 29 34 34 31 35 37
34 36 34 32 34 33 34 37 35 35
36 33 33 31 35 39 40 39 40 40
40 45 40 41 40 39 41 40 39 38
38 34 31 35 37 34 37 33 34 39
33 34 32 33 36 35 33 35 35 32
34 35 33 38 33 32 35 35 30 34
36 34 32 37 34 40 42 38 40 40
41 41 39 41 42 40 40 42 39 40
(a) Uma amostra simples, ao caso, de 10 dispositivos
foi selecionada da população de 100 dispositivos. A
seguir, foi calculada a resistência elétrica média da
amostra de 10 dispositivos. Que valor você acha que
foi obtido para essa média ?
(b) Suponha agora que, se pensasse em fazer
amostragem estratificada. Em sua opinião, seria isso
razoável, no caso ? Caso afirmativo, indique como
você procederia, ainda utilizando os números
aleatórios. Suponha que o numero de dispositivos a
examinar na amostra continue sendo 10.
(c) Suponha agora que, tivesse sido utilizada
amostragem estratificada uniforme, num total ainda
de 10 dispositivos examinados, e que tivessem sido
obtidos, no primeiro e no segundo estratos,
respectivamente, X1 = 33,8 e X2 = 40,2. Em quanto
você estimaria a média da população de 100
dispositivos ?
(d) Suponha agora que, dos 70 dispositivos
provenientes do fornecedor A, tenha sido colhida
uma amostra sistemática de 10 dispositivos, sendo
constante o período de retirada dos elementos para
a amostra, e sendo conhecido que o segundo
dispositivo a entrar no almoxarifado (cujo valor da
resistência elétrica é 34) pertencia a essa amostra.
Calcule a média dos valores da resistência elétrica
observados nessa amostra.
15 A média e a variância de uma população
equiprovável, cujos possíveis valores são os inteiros
1, 2, 3 e 4, são  = 2,5 e 2 = 1,25. Considere a
distribuição amostral de X para amostras de n = 2
elementos e determine sua média e variância,
supondo:
(a) população infinita;
(b) população finita formada por 12 elementos e
amostragem com reposição.
16 Resolva o problema anterior supondo
amostragem sem reposição e população finita
formada por:
(a) 12 elementos;
(b) 4 elementos.
17 Uma população equiprovável de valores inteiros
que podem variar de 0 a 99 tem média  = 49,5 e
desvio padrão   29. Usando uma tabela de
números aleatórios para simular a obtenção de
valores dessa população, retire uma amostra de
tamanho n = 25. Agrupe esses valores em classes de
freqüências e calcule sua média e desvio padrão.
Obtenha, por processo análogo, mais três amostras
aleatórias dessa população e calcule suas médias.
Calcule o desvio padrão da amostra formada pelos 4
valores obtidos de X obtidos e compare com o
desvio padrão da primeira amostra retirada. Como
interpretar o resultado dessa comparação ?
18 Uma cidade turística tem 32 hotéis de três
estrelas. Pretende-se conhecer o custo médio da
diária para apartamento de casal. Os valores
populacionais consistem nos seguintes preços
diários (em dólares):
25
20
35
21
22
22
24
25
30
38
24
20
20
25
20
19
25
23
20
24
28
24
24
22
28
26
23
25
22
27
25
23
Utilizando algum procedimento adequado, extraia
uma amostra aleatória simples de tamanho 10 desta
população.
19 O Conselho Universitário da UFPR, deseja
conhecer a opinião dos alunos e professores sobre
uma resolução a ser votada, que estabelece horários
fixos para atendimento de alunos pelos professores.
(a) Qual é a unidade amostral apropriada ?
(b) Que tipo de amostragem seria, em princípio,
adequado ?
20 Dê um exemplo de uma população para a qual
você acredita que a amostragem estratificada seria
consideravelmente mais barata ou melhor do que a
amostragem aleatória simples ?
21 Os dados seguintes se referem a tempos gastos
(em minutos), por veículos de passeio ao se deslocar
sucessivas vezes de uma cidade A para uma cidade
B.
126
134
140
120
124
122
118
116
124
125
124
122
125
128
130
120
122
120
114
115
130
128
126
125
124
Numerar os dados da esquerda para à direita e de
cima para baixo e:
(a) Extrair, sem reposição, uma amostra aleatória
simples de tamanho n = 6;
(b) Extrair uma amostra sistemática de tamanho n =
5.
22 Uma variável aleatória X tem distribuição
normal, com média 100 e desvio padrão 10.
(a) Qual a P(90 < X < 110) ?
(b) Se X é a média de uma amostra de 16 elementos
retirados dessa população, calcule P (90 < X < 110).
23 A máquina de empacotar um determinado
produto o faz segundo uma distribuição normal, com
média  e desvio padrão 10g. Em quanto deve ser
regulado o peso médio  para que apenas 10% dos
pacotes tenham menos do que 500g ?
24 A capacidade máxima de um elevador é 500 Kg.
Se a distribuição X dos pesos dos usuários é suposta
N(70, 100):
(a) Qual a probabilidade de 7 passageiros
ultrapassarem esse limite ?
(b) E seis passageiros ?
25 Qual o procedimento você utilizaria para sortear
uma amostra nas seguintes situações:
(a) 5 alunos da sua classe;
(b) 10 alunos de sua escola;
(c) 15 domicílios do seu bairro;
(d) 20 ações movimentadas na bolsa de valores;
(e) 5 números de uma população numerada de 1 a
115. Existe algum modo de “apressar” o sorteio ?
(f) 5 números de uma população de 115 nomes,
cujos números vão de 612 até 726.
(g) 5 números de uma população de 115 nomes, cuja
numeração não é seqüencial, mas está
compreendida entre os números 300 e 599.
26 Explique o que você entende por:
(a) variações aleatórias;
(b) distribuição amostral;
(c) variabilidade amostral.
27 Qual a influencia do tamanho da amostra e da
dispersão populacional na média e na variância da
distribuição amostral ?
28 Dadas as populações formadas pelos números:
(I) 4, 6, 8, 10 e 12;
(II) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7.
Pede-se:
(a) As amostras possíveis de 2 e 3 elementos, com e
sem reposição;
(b) As médias e os desvios padrões das populações e
das respectivas distribuições amostrais com e sem
reposição;
(c) Verificar as relações numéricas entre as médias,
as variâncias e os desvios padrões populacional e
amostrais.
29 Uma empresa fabrica lâmpadas que têm uma
vida média de 1 800 horas, com desvio padrão de
120 horas. Se ela enviar lotes de 36 lâmpadas para
seus clientes testarem o produto, qual será a vida
média, a variância e o desvio padrão obtidos pelo
conjunto de seus clientes ?
30 Amostras sem reposição de populações finitas –
Suponha uma população com N elementos. Se
extrairmos uma amostra de tamanho n, com
reposição, e calcularmos a média amostral X, então,
E(X) =  e Var(X) =2/n, em que,  e 2 são a média e
a variância da população, respectivamente. No
entanto, se amostragem for feita sem reposição,
então E(X) =  continua a valer, mas
𝑁−𝑛
𝑉𝑎𝑟 𝑋 =
𝜎2
𝑛(𝑁 − 1)
Considere uma população com N = 4 e com valores 0,
2, 3, 3. Retire amostras de tamanho n = 2, sem
reposição, construa a distribuição amostral de
𝑋=
𝑋1 +𝑋2
.
2
Obtenha E(X) e Var(X), e verifique que
esta é dada pela expressão acima.
Referências:
BUSSAB, W. O; MORETIN, P. A. Estatística básica.
São Paulo: Atual, 1987.
COSTA NETO, P. L. de O. Estatística. São Paulo:
Edgard Blücher, 1977.
SOARES, J. F.; FARIAS, A. A.; CESAR, C. C. Introdução
à Estatística. Rio de Janeiro: LTC, 1991.