Estatística
4ª aula – 2012
Medidas de tendência central
Ajudam a conhecer a analisar melhor as características de dados colhidos.
Chamamos de medidas de tendência central em decorrência dos dados observados apresentarem em
geral a tendência de se agruparem em torno dos valores centrais da distribuição.
Entre essas medidas destacam-se:



Média aritmética
Mediana
Moda
Média Aritmética
_
Média Aritmética de x ( indicada por x ) é a divisão da soma de todos os valores da variável pela
quantidade desses valores, ou seja:
n
x
_
x
i 1
i
n
Exemplo:
Calcule, em cada caso, a média aritmética dos valores:
a) 18 – 21 – 25 – 19 – 20 – 23 – 21
b) 35 – 36 – 37 – 38 – 39 – 40
c) 43 – 49 – 52 – 41 – 47 – 50 – 53 – 44
Cálculo da média aritmética para dados agrupados
Quando os dados estão agrupados em classes, as freqüências dessas classes devem ser consideradas
como fatores de ponderação (ou pesos estatísticos), sendo então a média uma “Média Aritmética
Ponderada”, calculada pela expressão:
x 
x f
f
i
i
i

x
i
fi
n
Exemplos:
Considerando a distribuição abaixo, calcule a média aritmética:
Profa. Ms. Lucicleide Lavor Terto
1
Estatística
valores
3
4
5
6
7
frequências
10
15
19
27
16
Cálculo da média aritmética para dados agrupados com intervalos
No caso das classes apresentarem intervalos o valor de xi deve ser considerado como sendo o ponto
médio da classe, ou seja:
x
 x Pm
f
i
i

 x Pm
i
i
n
i
Exemplo:
Alturas de 100 estudantes do sexo masculino da Universidade XYZ.
Altura (cm)
Nº de
estudantes
151
158
5
159
166
18
167
174
42
175
182
27
183
190
8

100
SPIEGEL, p. 79
Determinar a altura média dos 100 estudantes.
Média Geométrica
É a raiz n-ésima do produto de todos eles.
Média Geométrica Simples
_
Seja a seqüência numérica X = x1 , x2 , x3 , x4 , .... , xn , temos :
Exemplos:
x g  n x1 .x2 .....xn
Calcular a média geométrica dos seguintes conjuntos de números:
a) 10, 60, 360
Profa. Ms. Lucicleide Lavor Terto
b) 2, 2, 2
c) 1, 4, 16, 64
2
Estatística
Média Geométrica Ponderada
Seja a seqüência numérica X = x1 , x2 , x3 , x4 , .... , xn , com frequências f1 , f2 , f4 , .... , fn ,
_
temos :
x gp  n x1f1 .x2f 2 .x3f3 .....xnf n
com n = f1 + f2 + f4 + .... + fn.
Exemplo:
Calcular a média geométrica dos valores da tabela abaixo:
xi
1
3
9
27
total
fi
2
4
2
1
9
Mediana
A mediana é o valor que se encontra no centro de uma série de números ordenados, de modo que
antes e depois dele há igual quantidade de dados.
Tendo os n valores ordenados de uma variável x. A mediana desse conjunto de valores x (indicada
por Me) é definida por:
Exemplo:
Determine:
a)
b)
c)
d)
A mediana dos nove valores já ordenados, 35 – 36 – 37 – 38 - 40 – 40 – 41 – 43 – 46
A mediana dos oito valores já ordenados, 12 – 14 – 14 – 15 – 16 – 16 – 17 – 20
A mediana dos valores: 8, 2, 6, 10, 4
A mediana dos graus, 84, 91, 72, 68, 87 e 78 de um estudante em seis exames.
Costa Neto, p. 22
Spingel, p. 85
Cálculo da Mediana para dados agrupados
M d  li Md
Profa. Ms. Lucicleide Lavor Terto
  fi


h

F
(
ant
)
ac
 2




fi Md
3
Estatística
Onde:
liMd = limite inferior da classe mediana.
fiMd = freqüência da classe mediana.
Fiac(ant) = freqüência acumulada da classe anterior à classe mediana.
h = amplitude da classe mediana.
Exemplo: 1) Dada a distribuição, determine a mediana:
Classes
Frequência
2
3
10
3
4
16
4
5
19
5
6
27
6
7
8

80
2) Dada a distribuição (*), determine a mediana:
Classes
39,5
44,5
3
44,5
49,5
8
49,5
54,5
16
54,5
59,5
12
59,5
64,5
7
64,5 Ⱶ 69,5
3
69,5 Ⱶ 74,5
1

Profa. Ms. Lucicleide Lavor Terto
Frequência
50
Costa Neto, p. 23
4
Estatística
Moda
A Moda corresponde ao valor mais freqüente encontrado na distribuição.
Exemplo:
Determine a moda:
a) O conjunto 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 18
b) O conjunto 3, 5, 8, 10, 12, 15, 16
c) O conjunto 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9
Spiegel, p. 71
Cálculo da Moda para dados agrupados
Quando os dados estão agrupados em classes, a classe que apresenta a maior freqüência é
denominada classe modal. Nesse caso, a moda pode ser obtida utilizando-se a fórmula de Czuber.
M o  liMo 
1
h
1   2
Onde:
liMo = limite inferior da classe modal.
Δ1 = diferença entre a freqüência da classe modal e a freqüência da classe anterior.
Δ2 = diferença entre a freqüência da classe modal e a freqüência da classe posterior.
h = amplitude da classe modal.
Exemplo: Determine a moda considerando a distribuição acima (*)
Exercícios
1) Determinar a média, a mediana e a moda dos seguintes conjuntos de valores:
a) 2,3
2,5
2,1
1,3
b) 37
40
38
36
1,5
2,0
1,9
2,7
33
35
3,0
0,8
42
37
1,7
2,3
35
1,2
2,1
44
2,1
1,7
36
28
37
35
33
2) Calcular a média, a mediana e a moda da seguinte distribuição de freqüências:
Profa. Ms. Lucicleide Lavor Terto
5
classes
frequências
Estatística
90 ---- 92
1
93 ---- 95
2
96 ---- 98
4
99 ---- 101
3
102 ---- 104
6
105 ---- 107
9
108 ---- 110
5
111 ---- 113
4
114 ---- 116
2
117 ---- 119
2
120 ---- 122
2
Total
40
Costa Neto, p.
24,25
3) A tabela mostra a distribuição de freqüência dos salários semanais, em reais de 65
empregados da Companhia P&R. Determine a média aritmética, a mediana e a moda.
Salários (R$)
Nº de empregados
5000
6000
8
6000
7000
10
7000
8000
16
8000
9000
14
9000
10000
10
10000
11000
5
11000
12000
2

65
Notas de aula - Prof. Jábio Antonio Salmazo
1) Considere que 10 lâmpadas foram testadas para determinar o tempo de vida útil (em
horas).Vamos determinar a média aritmética, a mediana e moda do tempo de vida útil das
lâmpadas. 615 1020 1035 690 970 1020 1150 1100 850 1020
2) O controle de qualidade de uma indústria forneceu o seguinte número de peças defeituosas
(por lote de 100 unidades): 5 3 9 6 2 8 1 4 5 6 11 .Calcule o valor da media aritmética,
mediana e moda do número de peças defeituosas.
3) O sulfito de sódio (Na2SO3) é usado como conservante em alimentos. Ele é encontrado em
refrigerantes, concentrados de frutas, chocolates, sucos, queijos fundidos, margarinas,
conservas vegetais, carnes, pães, farinhas e em milhares de outros alimentos
industrializados. Uma denuncia de intoxicação alimentar levou a investigação de um lote de
20 latas de certo produto. Os resultados são dados abaixo (em g de Na2SO3 por 100g do
produto):
Profa. Ms. Lucicleide Lavor Terto
6
Estatística
0,04 0,04 0,06 0,02 0,05 0,07 0,06 0,03 0,04 0,04
0,05 0,05 0,03 0,03 0,05 0,06 0,07 0,05 0,06 0,04
Determine a média aritmética, mediana e moda.
4) Suponha que o sindicato dos engenheiros solicite a uma pequena empresa o valor médio
dos salários pagos aos seus empregados. Os valores levantados pelo setor de Recursos
Humanos são apresentados abaixo:
Salários (R$)
400
800
8
800
1200
10
1200
1800
16
1800
3200
14
3200
6000
10
10000
5
6000

Profa. Ms. Lucicleide Lavor Terto
Nº de empregados
135
7
Estatística
SPIEGEL- p. 98, 99, 100, 101
Profa. Ms. Lucicleide Lavor Terto
8
Estatística
Profa. Ms. Lucicleide Lavor Terto
9
Estatística
Exercícios (Notas de Aula)
1 ) Um jogador de futebol controlou a bola com os pés sem derruba-la, conseguindo os seguintes
números de vezes : 23, 43, 16, 26, 49, 15, 58, 68, 71 e 114. Determine :
a ) A amplitude do rol.
b ) A média aritmética.
c ) A mediana.
d ) A moda.
_
2 ) Calcule x p ( ou Ma ), Md e Mo das seguintes distribuições de freqüências :
i
1
2
3
4
5
6

i
Alturas
Nº Alunos Ponto Médio
( cm )
( Fi )
(mi )
150 |--- 160
2
160 |--- 170
15
170 |--- 180
18
180 |--- 190
18
190 |--- 200
16
200 |---| 210
1
Alturas Nº Alunos Ponto Médio
( cm )
( Fi )
(mi )
16 |--- 20
9
20 |--- 24
18
24 |--- 28
26
28 |--- 32
14
32 |--- 36
10
36 |--- 40
9
40 |--- 44
8
44 | ---| 48
6
1
2
3
4
5
6
7
8

Fi.mi
Fi.mi
Fa
Fa
4 ) A tabela abaixo, mostra a distribuição dos diâmetros ”  ”das cabeças dos rebites fabricados por
uma companhia. Calcule os diâmetros ( Médio, Mediano e Modal ) .
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Diâmetro”  ” Freq. Ponto Médio
( Fi )
( mi )
( em pol’s.)
0,7247 --- 0,7249
2
0,7250 --- 0,7252
6
0,7253 --- 0,7255
8
0,7256 --- 0,7258 15
0,7259 --- 0,7261 42
0,7262 --- 0,7264 68
0,7265 --- 0,7267 49
0,7268 --- 0,7270 25
0,7271 --- 0,7273 18
0,7274 --- 0,7276 12
0,7277 --- 0,7279
4
0,7280 --- 0,7282
1
Profa. Ms. Lucicleide Lavor Terto
Fi.mi
Fa
10