Análise e Resolução da prova de Auditor
Fiscal da Fazenda Estadual do Piauí
Disciplina: Matemática Financeira
Professor: Custódio Nascimento
Análise e Resolução da prova de AFFE – SEFAZ/PI
Matemática Financeira
Prof. Custódio Nascimento
1- Análise da prova
Neste artigo, faremos a análise das questões de Matemática Financeira
cobradas na prova de Auditor Fiscal da Fazenda Estadual do Piauí, por ser uma
de nossas disciplinas no Exponencial Concursos.
Primeiramente, seguem alguns comentários gerais sobre a prova.
A prova de Matemática Financeira trouxe uma boa distribuição dos
assuntos pedidos no edital. A maioria das questões era de esquematização
simples, porém de cálculos complexos, como já é praxe na FCC. Com isso, houve
muita reclamação nos fóruns sobre a escassez de tempo para fazer tais contas.
Após resolvermos todas as questões, não visualizamos recurso para
as questões da prova. Atentar que uma das questões já foi anulada pela
própria banca, que atribuiu a pontuação a todos os candidatos.
2- Resolução das questões
Matemática Financeira
Vamos resolver cada questão, com comentários. A teoria foi abordada no
nosso curso de Matemática Financeira para AFFE – SEFAZ/PI, focado na
banca FCC, lançado no site do Exponencial Concursos.
Eis as questões da prova, com a devida resolução:
11. Um capital de R$ 14.700,00 foi aplicado a juro simples da seguinte forma:
• 1/3 à taxa de 6% ao mês por um trimestre;
• 2/5 à taxa de 13% ao bimestre por 5 meses e
• o restante à taxa de x% ao bimestre por 1 semestre.
O juro total arrecadado foi de R$ 3.616,20. Se um capital de R$ 18.000,00 for
aplicado a juros compostos, à taxa de x% ao bimestre, por um período de 4
meses, o montante dessa aplicação será
(A) R$ 23.594,33
(B) R$ 19.260,00
(C) R$ 19.945,95
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(D) R$ 20.520,00
(E) R$ 20.608,20
Resolução:
Chamaremos os capitais aplicados de C1, C2 e C3, os juros de J1, J2 e J3 e
os prazos de n1, n2 e n3. Eis os dados da questão:
𝐶1 =
1
∙ 14700 = 4900
3
𝐶2 =
2
∙ 14700 = 5880
5
𝑖1 = 6% 𝑎. 𝑚.
𝑖2 = 13% 𝑎. 𝑏. = 6,5% 𝑎. 𝑚.
𝑛1 = 1 𝑡. = 3 𝑚.
𝑛2 = 5 𝑚.
𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 = 14700
𝐶3 = 14700 − 4900 − 5880 = 3920
𝑖3 = 𝑥% 𝑎. 𝑏.
𝑛3 = 1 𝑠. = 3 𝑏.
Inserindo os valores nas equações que representam os juros de cada
operação:
𝐽1 = 𝐶1 ∙ 𝑖1 ∙ 𝑛1 = 4990 ∙ 0,06 ∙ 3 = 882
𝐽2 = 𝐶2 ∙ 𝑖2 ∙ 𝑛2 = 5880 ∙ 0,065 ∙ 5 = 1911
𝐽3 = 𝐶3 ∙ 𝑖3 ∙ 𝑛3 = 3920 ∙ 𝑥 ∙ 3
O juro total arrecadado foi de R$ 3.616,20. Logo:
𝐽1 + 𝐽2 + 𝐽3 = 3616,2 ⟹ 882 + 1911 + 3920 ∙ 𝑥 ∙ 3 = 3616,2
3920 ∙ 𝑥 ∙ 3 = 3616,2 − 882 − 1911 = 823,2 ⟹ 𝑥 = 0,07 = 7% 𝑎. 𝑏.
Note que a questão traz a informação de que o capital de R$ 18.000,00
foi aplicado a juros compostos, à taxa de x% ao bimestre, por um período de 4
meses (2 bimestres). Inserindo os valores na fórmula do montante a juros
compostos, temos:
𝑀 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)𝑛
𝑀 = 18000 ∙ (1 + 0,07)2 = 18000 ∙ 1,1449 = 20608,20
A alternativa E é a resposta correta.
12. Um capital C foi aplicado a juros compostos, à taxa de 5% ao mês. Ao
completar 1 bimestre, seu montante foi resgatado e imediatamente aplicado a
juro simples, à taxa de 6% ao mês. Ao fim de 1 semestre da segunda aplicação,
o montante M era de R$ 14.994,00. Suponha que, desde o início, o capital C
tivesse sido aplicado a juro simples, à taxa mensal i, de modo que o montante
final fosse igual a M. Dos números abaixo, o mais próximo de i é
(A) 6,5%
(B) 6,1%
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(C) 6,2%
(D) 6,3%
(E) 6,4%
Resolução:
Com a primeira aplicação a juros compostos, teremos o seguinte
montante:
𝑀1 = 𝐶 ∙ (1 + 0,05)2 = 𝐶 ∙ 1,1025
Conforme o enunciado, tal montante foi aplicado a juros simples (6% ao
mês), por 6 meses, o que gerou o montante M. Logo, temos:
𝑀 = 𝑀1 ∙ (1 + 0,06 ∙ 6) = 𝐶 ∙ 1,1025 ∙ 1,36
Note que a alternativa de investimento era deixar o capital inicial, a juros
simples, à taxa mensal i, pelo mesmo período (2 meses + 6 meses), e que isso
também daria M. Logo, temos:
𝑀 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖 ∙ 8)
Igualando as duas equações anteriores, temos:
𝐶 ∙ (1 + 𝑖 ∙ 8) = 𝐶 ∙ 1,1025 ∙ 1,36
1 + 8 ∙ 𝑖 = 1,1025 ∙ 1,36 = 1,4994 ⟹ 8 ∙ 𝑖 = 0,4994 ⟹ 𝑖 ≈ 0,0624 ⟹ 𝑖 ≈ 6,2%
A alternativa C é a resposta correta.
13. Um investidor aplicou um capital de R$ 10.000,00 e resgatou o total de R$
13.600,00 ao fim de 1 semestre. Se, nesse período, a taxa real de juros foi de
32%, então, dos valores seguintes, o que mais se aproxima da taxa de inflação
do período é
(A) 2,5%
(B) 4,5%
(C) 4%
(D) 3,5%
(E) 3%
Resolução:
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Como a questão trata de juros com influência da inflação, utilizamos a
seguinte fórmula:
(1 + 𝑖𝑎𝑝𝑎𝑟 ) = (1 + 𝑖𝑟𝑒𝑎𝑙 ) ∙ (1 + 𝑖𝑖𝑛𝑓 )
Os dados da questão são:
𝑖𝑟𝑒𝑎𝑙 = 32% = 0,32
𝑀 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖𝑎𝑝𝑎𝑟 ) ⟹ 13600 = 10000 ∙ (1 + 𝑖𝑎𝑝𝑎𝑟 )
(1 + 𝑖𝑎𝑝𝑎𝑟 ) = 1,36 ⟹ 𝑖𝑎𝑝𝑎𝑟 = 0,36
Aplicando a fórmula, temos:
(1 + 𝑖𝑎𝑝𝑎𝑟 ) = (1 + 𝑖𝑟𝑒𝑎𝑙 ) ∙ (1 + 𝑖𝑖𝑛𝑓 )
1,36 = (1 + 0,32) ∙ (1 + 𝑖𝑖𝑛𝑓 ) ⟹ 1 + 𝑖𝑖𝑛𝑓 =
1,36
= 1,0303 ⟹ 𝑖𝑖𝑛𝑓 = 3,03%
1,32
A alternativa E é a resposta correta.
14. Três meses antes de seus vencimentos, dois títulos foram descontados em
um banco, com taxa de desconto de 48% ao ano. Sabe-se que o valor nominal
do primeiro título era o dobro do valor nominal do segundo. Para o primeiro,
utilizou-se a operação de desconto comercial simples e, para o segundo, a de
desconto racional simples. Se a soma dos descontos foi igual a R$ 1.215,00,
então, o módulo da diferença entre os dois valores líquidos recebidos foi
(A) R$ 9.285,00
(B) R$ 3.035,00
(C) R$ 3.500,00
(D) R$ 3.830,00
(E) R$ 3.965,00
Resolução:
Como dissemos em nosso curso de curso de Matemática Financeira
para AFFE – SEFAZ/PI, esta é uma questão clássica da FCC.
Como é de nosso costume, começamos listando os dados do enunciado:
𝑛 = 3 𝑚.
𝑖 ∙ 𝑛 = 0,04 ∙ 3 = 0,12
𝑖 = 48% 𝑎. 𝑎. = 4% 𝑎. 𝑚.
𝐷1 + 𝐷2 = 1215
𝑁1 = 2 ∙ 𝑁2
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A questão nos informa que o primeiro título sofreu desconto comercial
simples, logo empregamos 𝐷𝐶 = 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛, e temos:
𝐷1 = 𝑁1 ∙ 0,12
Já o segundo título sofreu desconto racional simples, então empregamos
𝐷𝑅 = 𝐴𝑅 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛, e ficamos com:
𝐷2 = 𝐴2 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 = 𝐴2 ∙ 0,12
Mas 𝑁2 = 𝐴2 ∙ (1 + 𝑖 ∙ 𝑛) e 𝑁1 = 2 ∙ 𝑁2 logo podemos substituir os valores:
𝑁2
𝐷2 =
∙ 0,12 =
(1 + 𝑖 ∙ 𝑛)
𝑁1⁄
2 ∙ 0,12 = 𝑁1 ∙ 0,06
1,12
1,12
Logo, temos:
𝐷1 + 𝐷2 = 1215 ⟹ 𝑁1 ∙ 0,12 +
𝑁1 ∙ 0,06
= 1215
1,12
Aplicando o MMC, temos:
𝑁1 ∙ 0,12 ∙ 1,12 + 𝑁1 ∙ 0,06
= 1215
1,12
𝑁1 ∙ (0,1344 + 0,06) = 1360,8 ⟹ 𝑁1 =
1360,8
= 7000
0,1944
Calculando os demais valores, temos:
𝐴1 = 𝑁1 ∙ (1 − 𝑖 ∙ 𝑛) = 7000 ∙ 0,88 ≅ 6160
𝑁2 =
𝑁1
= 3500
2
𝑁2 = 𝐴2 ∙ 1,12 ⟹ 𝐴2 = 3125
Logo, a diferença entre os valores líquidos (atuais) é:
𝐴1 − 𝐴2 = 6160 − 3125 = 3035
A alternativa B é a resposta correta.
15. Uma pessoa deve a um credor três parcelas mensais consecutivas de
mesmo valor nominal R$ 1.000,00 cada, a primeira a vencer daqui a 30 dias.
Deseja hoje substituí-las por dois pagamentos iguais entre si, um com
vencimento para daqui a 2 meses e outro para daqui a 4 meses. Utilizando o
critério do desconto racional composto, com taxa de 5% ao mês, o valor X de
cada uma dessas duas prestações, em reais, é tal que
(A) 1 570 < X < 1 575
(B) 1 590 < X < 1 595
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(C) 1 575 < X < 1 580
(D) 1 580 < X < 1 585
(E) 1 585 < X < 1 590
Resolução:
Vamos começar montando os diagramas de cada sequência de
pagamentos, para facilitar a visualização. A opção original é dada a seguir:
A
0
1
2
1000
3
1000
1000
A opção alternativa é mostrada a seguir:
A
0
1
2
3
X
4
X
Como há equivalência entre ambas, os valores atuais (ou valores
presentes) são iguais, logo é válida a seguinte equação:
1000 1000 1000
𝑋
𝑋
+
+
=
+
2
3
2
1,05 1,05
1,05
1,05
1,054
1000 ∙ (
1
1
1
1
1
+
+
)=𝑋∙(
+
)
2
3
2
1,05 1,05
1,05
1,05
1,054
Multiplicando todas as parcelas por 1,054 , temos:
1000 ∙ (1,053 + 1,052 + 1,05) = 𝑋 ∙ (1,052 + 1)
1000 ∙ (1,1576 + 1,1025 + 1,05) = 𝑋 ∙ (1,1025 + 1)
1000 ∙ 3,3101 = 𝑋 ∙ 2,1025
𝑋 ≅ 1574
A alternativa A é a resposta correta.
16. Em uma loja, um computador está sendo vendido de duas formas:
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− à vista, por um preço P igual a R$ 4.500,00 ou
− a prazo, sem juros, com pagamento em 3 parcelas de R$ 1.5000,00 cada,
sendo a primeira dada como entrada e as outras vencendo daí a 30 e 60 dias
da data da compra.
O proprietário da loja consegue aplicar seu dinheiro a juros compostos, à taxa
de 5% ao mês. Ele deseja oferecer um desconto no preço à vista desse
computador, mas não quer ter prejuízos. Dessa forma, o valor mais próximo da
taxa de desconto máximo que ele pode oferecer sobre o preço P é de
(A) 9,23%
(B) 4,68%
(C) 4,70%
(D) 4,96%
(E) 5,25%
Observação:
Conforme gabarito preliminar, a questão foi anulada pela banca. Em
consequência, foi atribuída a todos os candidatos.
17. Uma pessoa contraiu uma dívida a ser paga pelo Sistema de Amortização
Constante − SAC em 40 prestações mensais e consecutivas. Se a primeira
prestação, que vence ao completar um mês da data do empréstimo, é de R$
3.000,00 e a décima é igual a R$ 2.550,00, então a última prestação é de
(A) R$ 1.200,00
(B) R$ 1.000,00
(C) R$ 1.050,00
(D) R$ 1.100,00
(E) R$ 1.150,00
Resolução:
Eis uma questão diferente do que a banca usualmente cobra, pois não foi
informado o valor da dívida. Logo, temos que empregar um pouco de raciocínio
matemático para podermos resolvê-la.
Estudando o modelo SAC, vimos que cada prestação é a soma de uma
parcela de amortização com outra de juro:
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𝑃 =𝐴+𝐽
Lembramos que a amortização é constante, e que o juro pago é
proporcional ao valor devido (saldo devedor), as prestações são dadas por:
𝐴 + 𝐽1 = 3000
{
𝐴 + 𝐽10 = 2550
Do sistema de equações, tiramos que:
𝐽1 − 𝐽10 = 3000 − 2550 = 450
Mas o valor de cada parcela de juro é dado por:
𝐽𝑘 = 𝑖 ∙ 𝑆𝐷𝑘−1
Além disso, o saldo devedor é calculado com a fórmula:
𝑆𝐷𝑘 = (𝑛 − 𝑘) ∙ 𝐴
Assim, temos:
𝐽𝑘 = 𝑖 ∙ (𝑛 − (𝑘 − 1)) ∙ 𝐴
Calculando os valores de J1 e J10, temos:
𝐽1 = 𝑖 ∙ (40 − (1 − 1)) ∙ 𝐴 = 𝑖 ∙ 40 ∙ 𝐴
𝐽10 = 𝑖 ∙ (40 − (10 − 1)) ∙ 𝐴 = 𝑖 ∙ 31 ∙ 𝐴
𝐽1 − 𝐽10 = 𝑖 ∙ 40 ∙ 𝐴 − 𝑖 ∙ 31 ∙ 𝐴 = 9 ∙ 𝑖 ∙ 𝐴
Inserindo o valor da diferença dos juros que já obtivemos anteriormente,
temos:
9 ∙ 𝑖 ∙ 𝐴 = 450 ⟹ 𝑖 ∙ 𝐴 = 50
Voltando ao valor da primeira prestação, temos:
𝑃1 = 𝐴 + 𝐽1 ⟹ 3000 = 𝐴 + 40 ∙ 𝑖 ∙ 𝐴 ⟹ 3000 = 𝐴 + 40 ∙ 50 ⟹ 𝐴 = 1000
A última prestação será dada por:
𝑃40 = 𝐴 + 𝐽40 = 𝐴 + 𝑖 ∙ 𝐴 = 1000 + 50 = 1050
A alternativa C é a resposta correta.
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18. Considere a tabela abaixo, com taxa de 4% ao período. Use somente duas
casas decimais em seus cálculos.
Nessa tabela, tem-se que o fator de acumulação de capital para pagamento
único é dado por
dado por
, o fator de valor atual de uma série de pagamentos é
e o fator de acumulação de capital de uma série de
pagamentos é dado por
Um empresário tomou em um banco um empréstimo no valor de R$ 94.550,00,
a ser pago em 36 meses. Será utilizado o Sistema Francês de Amortização, à
taxa de 4% ao mês, com parcelas mensais e consecutivas, a primeira vencendo
um mês após a data do contrato. Sobre a terceira prestação desse empréstimo,
é verdade que
(A) ao ser paga, ela deixa um saldo devedor de R$ 93.500,00.
(B) seu valor é de R$ 5.200,00.
(C) sua cota de amortização é R$ 1.266,22.
(D) sua parcela de juros é R$ 3.682,61.
(E) ela difere de R$ 100,00 da segunda prestação.
Resolução:
Como vimos em nosso curso, a prestação de um fluxo de caixa uniforme
postecipado é calculada pela fórmula:
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝐶 =𝑃∙[
]
(1 + 𝑖)𝑛 ∙ 𝑖
A tabela apresentada na questão mostra que, para 36 parcelas, o valor
do fator de valor atual (ou fator de valor presente) é 18,91. Assim, temos o
valor de cada parcela:
𝐶 = 𝑃 ∙ 18,91 ⟹ 𝑃 =
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94550
= 5000
18,91
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Sabemos que, no sistema Francês, as prestações são fixas, ou seja, todas
elas serão de R$ 5.000,00. Precisamos, então, montar a tabela até a 3ª
prestação:
k
SDk-1
1
94550
Jk
Pk
Ak
SDk
5000
2
5000
3
5000
Os juros são sempre calculados em função do saldo devedor:
𝐽𝑘 = 𝑖 ∙ 𝑆𝐷𝑘−1
Assim, podemos calcular os juros do primeiro mês:
𝐽1 = 0,04 ∙ 94550 = 3782
A prestação sempre será a soma da amortização e dos juros, ou seja,
será dada pela fórmula já estudada:
𝑃 =𝐴+𝐽
Logo, a amortização será calculada por:
𝐴𝑘 = 𝑃 − 𝐽𝑘
Assim, podemos calcular o valor da amortização do primeiro mês:
𝐴1 = 𝑃 − 𝐽1 = 5000 − 3782 = 1218
Por fim, o saldo devedor do mês atual será o saldo do mês anterior,
menos a amortização do mês atual:
𝑆𝐷𝑘 = 𝑆𝐷𝑘−1 − 𝐴𝑘
𝑆𝐷1 = 94550 − 1218 = 93332
Podemos, então preencher a primeira linha da tabela:
k
SDk-1
Jk
Pk
Ak
SDk
1
94550
3782
5000
1218
93332
2
93332
5000
3
5000
Repetindo esse mesmo raciocínio para a 2ª e 3ª prestações, chegamos à
seguinte tabela:
k
SDk-1
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Jk
Pk
Ak
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SDk
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1
94550
3782
5000
2
93332
3733,28
5000
1266,72 92065,28
92065,28 3682,61
5000
1317,39 90747,89
3
1218
93332
A alternativa D é a resposta correta.
19. Na tabela abaixo, têm-se os fluxos de caixa de dois projetos, A e B.
Sabe-se que a taxa mínima de atratividade é de 20% e os valores presentes
líquidos dos dois projetos são iguais. Nessas condições, o valor de E é, em reais,
(A) 5.832,17
(B) 4.485,60
(C) 4.533,00
(D) 4.965,00
(E) 5.170,00
Resolução:
Vamos começar calculando o VPL do projeto A:
𝑉𝑃𝐿𝐴 = −8000 +
4998 6192
+
= −8000 + 4165 + 4300 = 465
1,2
1,22
Agora, basta calcularmos o VPL do projeto B, lembrando que ambos são
iguais:
𝑉𝑃𝐿𝐵 = −6000 +
−6000 + 3350 +
4020
𝐸
+
= 465
1,2
1,22
𝐸
𝐸
=
465
⟹
= 3115 ⟹ 𝐸 = 4485,6
1,22
1,44
A alternativa B é a resposta correta.
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20. No fluxo de caixa abaixo, a taxa interna positiva de retorno é de 20% ao
ano.
O valor de K é
(A) R$ 5.000,00
(B) R$ 117,84
(C) R$ 260,00
(D) R$ 714,00
(E) R$ 3.896,00
Resolução:
A taxa interna de retorno (TIR) é a taxa de juros que torna nulo o
valor presente líquido (VPL) de um determinado fluxo de caixa.
Logo, basta calcularmos o VPL desse investimento, a uma taxa de 20%
a.a.:
𝑉𝑃𝐿 = −(5𝐾 + 1300) +
3𝐾 4𝐾 − 128
+
=0
1,2
1,22
Multiplicando tudo por 1,22=1,44, temos:
−(5𝐾 + 1300) ∙ 1,44 + 3𝐾 ∙ 1,2 + 4𝐾 − 128 = 0
−7,2𝐾 − 1872 + 3,6𝐾 + 4𝐾 − 128 = 0
0,4𝐾 = 2000 ⟹ 𝐾 = 5000
A alternativa A é a resposta correta.
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