Análise e Resolução da prova do ISS-Cuiabá
Disciplina: Matemática Financeira
Professor: Custódio Nascimento
Análise e Resolução da prova do ISS-Cuiabá
Matemática Financeira
Prof. Custódio Nascimento
1- Análise da prova
Neste artigo, farei a análise das questões de Matemática Financeira
cobradas na prova do ISS-Cuiabá, pois é uma de minhas disciplinas no
Exponencial Concursos.
Primeiramente, seguem alguns comentários gerais sobre a prova.
A prova de Matemática Financeira cobrou praticamente todos os
tópicos do edital. Na nossa opinião, foi uma prova elegante, com diversas
questões que podiam ser resolvidas com aplicação de conhecimento teórico,
sem necessidade de desenvolvimento de longos cálculos. Houve, também,
algumas questões de nível mais elevado, que devem ter exigido bastante dos
candidatos. Enfim, uma boa prova, que soube separar os que realmente se
prepararam para a disciplina daqueles que a deixaram de lado.
Após resolver todas as questões, eu concordo com o gabarito
preliminar apresentado, e não visualizo recursos para as questões dessa
disciplina.
Segue a resolução das questões.
2- Resolução das questões
Matemática Financeira
Vamos, agora, à resolução simplificada de cada questão, com um breve
comentário. Para quem quiser explicações detalhadas dos conceitos e fórmulas
aplicadas nestas questões, temos o nosso curso de Matemática Financeira
para o ICMS-RJ, ou ainda o de Matemática Financeira para Auditor do
ICMS-PI, ambos disponíveis no site do Exponencial Concursos.
13. A taxa efetiva anual equivalente à taxa nominal de 10% ao ano,
capitalizada mensalmente, será
(A) igual a 10%.
(B) menor do que 10%.
(C) menor do que a taxa efetiva anual equivalente obtida sob capitalização
trimestral.
(D) maior do que a taxa efetiva anual equivalente obtida sob capitalização
semestral.
(E) maior do que qualquer taxa efetiva anual equivalente obtida sob
capitalização diária, semestral, trimestral ou anual.
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Resolução:
Para chegarmos à resposta, não precisamos fazer as contas da taxa
equivalente. Basta sabermos sua ordem de grandeza em relação aos diversos
regimes de capitalização mencionados nas alternativas (mensal, trimestral,
semestral, etc.).
Conforme os esquemas dos nossos cursos de Matemática Financeira
do Exponencial Concursos, temos:
proporcionais
quando os seus valores guardam
uma proporção com o tempo a
que elas se referem
equivalentes
quando produzem o mesmo
montante, quando aplicadas a
um mesmo capital, em um
mesmo período de tempo
Duas taxas
são
As relações de proporcionalidade são dadas no diagrama a seguir:
6
bimestres
4
trimestres
2
semestres
12
meses
360
dias
1 ano
A expressão que relaciona a taxa anual (ia) com as taxas
proporcionais semestral (is), trimestral (it), bimestral (ib), mensal (im) e
diária (id) é a seguinte:
2∙
4∙
6∙
12 ∙
360 ∙
Além disso, no regime de juros compostos, temos a seguinte
relação de equivalência entre as taxas:
1
1
1
1
1
1
Assim, com base nessas fórmulas e, principalmente, com base nas
dezenas de questões que você já deve ter resolvido sobre juros compostos,
podemos garantir que a taxa efetiva anual equivalente à taxa nominal de
10% ao ano, capitalizada mensalmente, será:
•
Maior do que 10%;
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•
•
Maior do que a taxa efetiva anual equivalente obtida sob
capitalização bimestral, trimestral, semestral ou anual; e
Menor do que a taxa efetiva anual equivalente obtida sob
capitalização diária.
A alternativa D é a resposta correta.
14. Assuma as seguintes siglas:
VP = Valor Presente, VF = Valor Futuro e PMT = valor das prestações iguais de
uma série uniforme.
Considerando uma taxa de juros i sob o regime de juros compostos, o PMT
pode ser obtido por meio de
Resolução:
A questão cobra uma substituição de variáveis nas fórmulas mais
conhecidas. Para tanto, precisamos saber as seguintes fórmulas:
∙
!
"
∙
#
Da primeira equação, tiramos que:
∙
Da segunda equação, tiramos que:
#
∙
"
!
Logo, temos a seguinte relação entre as variáveis:
∙$
#
!
∙
%
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A alternativa D é a resposta correta.
15. Considere um financiamento de quatro anos cujo valor do principal seja de
R$ 100,00 e a taxa de juros, igual a 4% ao ano.
Considere quatro planos de amortização para esse financiamento:
•
•
•
•
No plano 1, o financiamento é quitado com um único pagamento apenas
no final do quarto ano, com capitalização dos juros no final de cada
ano;
No plano 2, no final de cada ano são pagos apenas os juros, com
exceção do último ano, no qual, além dos juros, é efetuado o
pagamento integral do principal;
No plano 3, a liquidação do financiamento segue o modelo Price;
No plano 4, a liquidação do financiamento segue o modelo SAC.
No final do quarto ano, nos planos 1, 2, 3 e 4, os valores da amortização do
principal serão (em reais), respectivamente, de
(A) 100, 100, maior do que 25 e 25.
(B) maior que 116, 100, maior do que 25 e 25.
(C) 100, 100, 25 e menor do que 25.
(D) menor do que 100, maior do que 100, maior do que 25 e 25.
(E) 100, 100, 25 e maior do que 24.
Resolução:
Novamente, temos uma questão que pode ser resolvida sem
necessidade de cálculos, mas apenas com a leitura atenta do enunciado e com
o conhecimento que o aluno já adquiriu ao resolver dezenas de questões de
sistemas de amortização.
Começamos com a leitura atenta dos planos 1 e 2: em ambos os casos,
o enunciado é claro ao afirmar que o principal é quitado apenas ao final do
último ano. Vejamos onde isso aparece em cada plano:
•
•
No plano 1, o financiamento é quitado com um único pagamento apenas
no final do quarto ano, com capitalização dos juros no final de cada
ano;
No plano 2, no final de cada ano são pagos apenas os juros, com
exceção do último ano, no qual, além dos juros, é efetuado o
pagamento integral do principal;
Logo, temos que, nos planos 1 e 2, o valor da amortização do principal
no último ano será igual a 100.
O enunciado diz, então, que o plano 4 segue o modelo SAC (Sistema de
Amortização Constante). Como o próprio nome diz, e como explicamos
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amplamente em nosso curso de Matemática Financeira do Exponencial
Concursos, a amortização do principal será igualmente dividida para os 4
anos, ou seja, a amortização de cada ano será:
&
'
(
100
4
25
Ou seja, no plano 4, a amortização será 25.
Por fim, o plano 3 segue o modelo Price (também chamado de SAF, ou
Sistema de Amortização Francês). Conforme o esquema apresentado em
nosso curso, temos:
SAF
Prestação
Constante
Juros
Diminui
Amortização
Aumenta
Assim, no plano 3, a amortização do principal no último ano será maior
do que no SAC, ou seja, maior do que 25.
A alternativa A é a resposta correta.
16. Com relação aos métodos de análise e comparação de projetos de
investimento, analise as afirmativas a seguir.
I. Um investidor, ao comparar projetos de investimento, sempre considera
como alternativa o investimento cuja remuneração é igual ao custo de
oportunidade do capital investido.
II. Dentre diversos projetos mutuamente exclusivos, se um projeto de
investimento apresentar uma TIR menor do que a taxa mínima de
atratividade, ele ainda pode ser considerado se o seu valor presente líquido,
calculado a essa última taxa, for positivo.
III. Um investidor deve sempre escolher o projeto cuja TIR é maior dentre
todas as alternativas – inclusive maior do que a taxa mínima de atratividade –
e cujo payback descontado é o menor.
Assinale:
(A) se somente a afirmativa I estiver correta.
(B) se somente a afirmativa II estiver correta.
(C) se somente a afirmativa III estiver correta.
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(D) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas.
(E) se todas as afirmativas estiverem corretas.
Resolução:
A afirmativa I está correta, pois um investimento com remuneração
igual ao custo de capital é sempre uma alternativa a ser considerada.
A afirmativa II está errada, pois se um projeto apresentar TIR menor
do que a taxa mínima de atratividade, ele deve ser rejeitado. Afinal, seria
mais negócio o investidor aplicar seu dinheiro em outro projeto, com retorno
igual à taxa de atratividade.
A afirmativa III está errada, pois a aplicação do método da TIR exige,
também, a análise incremental de cada investimento. Em outras palavras, um
projeto com a maior TIR dentre todas as alternativas pode não ser a melhor
opção de investimento, conclusão que só podemos atingir quando aplicamos a
análise dos incrementos de valores de cada alternativa.
A alternativa A é a resposta correta.
17. Considere uma operação em que um título com prazo de vencimento de
dois meses é descontado no regime de juros compostos.
No caso do valor do desconto composto ser exatamente igual ao valor
presente do título, assinale a opção que indica a taxa de desconto por fora.
(Arredonde a resposta para o inteiro mais próximo.)
(A) 21%
(B) 29%
(C) 33%
(D) 41%
(E) 50%
Resolução:
A questão pede o emprego do desconto composto comercial (“por
fora”). Ora, neste tipo de desconto, a relação entre os valores atual e nominal
do título é dada por:
&
* ∙ (1 − )+
Como o prazo é de dois meses, temos:
& = * ∙ (1 − )
Além disso, temos a fórmula geral do desconto:
, =*−&
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A questão afirma que o valor do desconto é igual ao valor atual, ou
seja, D=A. Substituindo na última fórmula, temos:
& =*−& ⟹2∙&
*
Levando esta última relação à fórmula do desconto comercial composto,
ficamos com:
&
2∙&∙ 1!
⟹1
2∙ 1!
⟹ 1!
1
2
0,50
Como a questão nos manda aplicar aproximações, empregaremos a
aproximação 0,50 ≅ 0,49, ficando com:
1!
≅ 0,49 ⟹ 1 !
≅ 10,49
0,7 ⟹ ≅ 0,30
A alternativa que chega mais próxima é a letra B, com i=29%.
A alternativa B é a resposta correta.
18. Considere o gráfico a seguir.
VPL = Valor Presente Líquido
O ponto x, interseção da curva com o eixo horizontal, é denominado
(A) Taxa Interna de Retorno.
(B) Tempo mínimo necessário para a TIR ser nula.
(C) Payback descontado.
(D) Tempo mínimo necessário para o custo de oportunidade do capital ser
nulo.
(E) Payback bruto.
Resolução:
Em uma curva VPL x tempo, o ponto em que o VPL se iguala a zero é o
valor do payback descontado.
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A alternativa C é a resposta correta.
19. O número de meses necessários para que um investimento feito na
poupança triplique de valor (assumindo que esta remunere à taxa de 6% ao
ano, no regime de juros simples) é de
(A) 34.
(B) 200.
(C) 333.
(D) 400.
(E) 500.
Resolução:
A questão pede que apliquemos o regime de juros simples, logo temos
que empregar a seguinte fórmula:
3 = ' ∙ (1 + ∙ ()
Como queremos que o valor seja triplicado, temos que 3 = 3 ∙ ' ,
quando = 6% 6. 6.. Logo:
3 ∙ ' = ' ∙ (1 + 0,06 ∙ () ⟹ 1 + 0,06 ∙ ( = 3 ⟹ 0,06 ∙ ( = 2
( = 33,3 6(89 = 400 :;9;9
A alternativa D é a resposta correta.
20. Assuma um plano de investimento de uma empresa, a qual, no ano zero,
deve desembolsar R$ 100 milhões. Nos anos subsequentes, espera-se um
fluxo positivo e constante de R$ 50 milhões a cada ano. Se o payback
descontado for igual a três anos, o custo do capital investido deve ser
(A) entre 15% e 20%.
(B) entre 20% e 25%.
(C) inferior a 15%.
(D) igual a 25%.
(E) superior a 25%.
Resolução:
A questão nos traz o seguinte fluxo de caixa (em milhões de reais):
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0
50
50
50
1
2
3
100
Como a questão afirma que o payback descontado é igual a três anos,
temos a seguinte relação:
−100 +
50
50
50
+
+
=0
(1 + ) (1 + )
(1 + )
Simplificando todos os termos por 50, ficamos com:
1
1
1
+
+
=2
(1 + ) (1 + )
(1 + )
Agora, só nos resta testar valores para i. Começaremos com i=20%:
1
1
1
1
1
1
+
+
=
+
+
= 0,83 + 0,69 + 0,59 = 2,11
(1 + 0,2)
1,2 1,2
1,2
(1 + 0,2) (1 + 0,2)
Logo, temos que testar um valor maior do que 20%. Testaremos
i=25%:
1
1
1
1
1
1
+
+
=
+
+
= 0,8 + 0,64 + 0,51 = 1,95
(1 + 0,25) (1 + 0,25)
(1 + 0,25)
1,25 1,25
1,25
Assim, concluímos que o valor está entre 20% e 25%.
A alternativa B é a resposta correta.
21. Um financiamento de R$ 100.000,00 foi obtido no final do ano de 2014, à
taxa de juros reais de 5% ao ano e com prazo de 4 anos. As prestações foram
calculadas pelo sistema SAC.
Assumindo que a taxa de inflação seja igual e constante a 10% ao ano, a taxa
interna de juros nominal do fluxo de caixa dessa operação de financiamento
será igual a
(A) 12,5%.
(B) 15%.
(C) 15,5%.
(D) 20,5%.
(E) 0,15%.
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Note que a informação sobre o valor do financiamento e o uso do
sistema SAC não serão de qualquer utilidade. Para resolver a questão, basta
empregarmos a fórmula da taxa de juros aparente, quando há inflação:
=1 +
> ?@
= (1 +
?A B )
∙ =1 +
C+DB @
Logo, temos:
=1 +
> ?@
= (1 + 0,05) ∙ (1 + 0,10) = 1,05 ∙ 1,1 = 1,155 ⟹
> ?
= 0,155 = 15,5%
A alternativa C é a resposta correta.
22. Três projetos de investimento independentes A, B e C estão sendo
analisados por uma empresa, cujas taxas internas de retorno (TIRs) são,
respectivamente, 20%, 15% e 10%. O projeto A requer um investimento
inicial de R$ 5 milhões, o projeto B, de R$ 10 milhões e o projeto C, de R$ 20
milhões.
A partir dessa situação, assinale V para a afirmativa verdadeira e F para a
afirmativa falsa.
( ) Se a disponibilidade de recursos da empresa for de R$ 5 milhões, o projeto
A deve ser o escolhido.
( ) Se a disponibilidade de recursos da empresa for de R$ 10 milhões e o custo
de oportunidade do capital for de 17%, nenhum projeto é escolhido.
( ) A análise incremental deve ser aplicada de acordo com a disponibilidade de
recursos.
As afirmativas são, respectivamente,
(A) V, V e V.
(B) V, F e F.
(C) F, V e V.
(D) F, V e F.
(E) F, F e F.
Resolução:
A primeira afirmativa é falsa, pois não foi informada a taxa mínima de
atratividade para análise do projeto.
A segunda afirmativa é falsa, pois pode ser viável aplicar no projeto B e
ainda tomar valores emprestados para aplicar no projeto A.
A terceira afirmativa é falsa, pois a análise incremental deve ser
aplicada não só de acordo com a disponibilidade de recursos, mas também
considerando capitais de terceiros.
A alternativa E é a resposta correta.
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