Sumário, aula 9
• Elasticidade
–
–
–
–
–
Elasticidade arco
Elasticidade no ponto
Função iso-elástica
Elasticidade preço da procura
Elasticidade preço da oferta
1
Conceito de elasticidade
• Vamos imaginar dois materiais diferentes e
de dimensão diferentes aos quais está
aplicada uma força de tracção de 1kg
– O vermelho mede 1 cm e o verde 2 cm.
• Vamos aumentar a força de tracção a ambos
os materiais para 2 kg
– O vermelho atinge 2 cm e o verde 3 cm.
• Qual será o material mais elástico?
2
Conceito de elasticidade
3
Conceito de elasticidade
• Para a mesma elasticidade, quanto mais
comprido fosse o elástico, mais esticará
– Se o vermelho tivesse 2 cm, atingiria 4 cm
– Se o verde tivesse 1 cm, atingiria 1,5 cm
• A elasticidade terá que ser medida em
termos percentuais
– O vermelho aumentou 100% e o verde 50%
4
Conceito de elasticidade
• A elasticidade do vermelho é maior que a
do verde
– Para a mesma força aumentou mais por unidade
de comprimento
• Vamos agora pensar que ao material
vermelho foi aplicada maior força
– De 1kg para 2kg esticou 100%
– De 1kg para 3kg esticou 200%
5
Conceito de elasticidade
6
Conceito de elasticidade
• Como o material é o mesmo, a elasticidade
deverá ser a mesma.
– Quando a força aumentou 100%, o
comprimento aumentou 100%
– Quando a força aumentou 200%, o
comprimento aumentou 200%
• A elasticidade obtém-se dividindo o
aumento relativo do comprimento pelo
aumento relativo da força de tracção
7
Conceito de elasticidade
• A elasticidade obtém-se dividindo o
aumento relativo do comprimento pelo
aumento relativo da força de tracção
e = 100%/100% = 200%/200% = 1
– A elasticidade do vermelho é 1
– Quando a força aumenta em 1% (o de baixo), o
comprimento aumenta em 1% (o de cima)
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Conceito de elasticidade
• Relativamente ao material verde
e = 50%/100% = 0,5
– A elasticidade do verde é 0,5
– Quando a força aumenta em 1% (o de baixo), o
comprimento aumenta em 0,5% (o de cima)
• A elasticidade não tem unidades
9
Conceito de elasticidade
• Em termos económicos, as variações
relativas são muito importantes.
– E.g., entre 1995 e 2003, o crescimento do PIB
per capita em PPC foi
– Em Portugal: 1,97% ao ano (PIB2003=17123€)
– Em Marrocos: 1,83% ao ano (PIB2003= 3783)
– Apesar de grandes diferenças no PIB, as taxas
de crescimento foram idênticas
10
Conceito de elasticidade
GDP per capita, PPP (constant 2000 international $)
2003 Relação TxCresc
Portugal
17123
1,000
1,97%
Morocco
3783
0,221
1,83%
United States
35484
2,072
1,77%
Spain
21152
1,235
2,50%
High income OECD
26121
1,525
1,67%
11
Conceito de elasticidade
35000
30000
Portugal
25000
Spain
20000
United States
High income OECD
15000
Finland
10000
5000
1975
1985
1995
2005
12
Conceito de elasticidade
• Um função de taxa de crescimento
constante é do tipo
• Y = a(1+taxa)X
• ln(Y) = ln(a) + X.ln(1+taxa) A+X.taxa
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Conceito de elasticidade
100000
Portugal
Spain
10000
United States
High income OECD
Finland
1000
1975
1985
1995
2005
14
Conceito de elasticidade
• A elasticidade mede a razão entre duas variáveis
• Por exemplo
Em termos absolutos (inclinação):
– “Um aumento de preço de 1€ induz uma diminuição na
quantidade procurada em 5,3kg”
Em termos de elasticidade (inclinação de duplo ln):
– “Um aumento de preço de 1% induz uma diminuição na
quantidade procurada em 0, 37%”
15
Conceito de elasticidade
• Sendo que, por exemplo,
• 1) A elasticidade consumo de roupa
rendimento é de 0,67
• 2) A elasticidade consumo de electricidade
preço é de –0,05%
– Ceteris paribus
• Que quer dizer isto?
16
Conceito de elasticidade
• 1) Se o rendimento aumentar em 1%, o
consumo de roupa aumentará em 0,67%
• 2) Se o preço da electricidade aumentar em
1%, o consumo diminuirá em 0,05%
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Elasticidade arco
• No caso do crude,
Em 2001, P = 23.6€/b e Q = 75.7 Mb/d
Em 2006, P = 68.8€/b e Q = 84.4 Mb/d
P/P= (P2-P1)/P1 = (68.8-23.6)/23.6 = + 191,5%
Q/Q = (Q2-Q1)/Q1 = (84.4-68.8)/68.8 = +11,5%
• Elasticidade quantidade preço
e = 11,5%/191,5% = 0,06
18
Elasticidade arco
19
Elasticidade arco
• A elasticidade arco é um valor médio que
deveria ser calculados no ponto médio:
P/P= 2 (P2-P1)/(P2+P1)
= 2(68.8-23.6)/(68.8+23.6) = + 97,8%
Q/Q = 2(Q2-Q1)/ (Q2+Q1)
= 2(84.4-68.8)/ (84.4+68.8)/ = +10,8%
e = 0,11
20
Elasticidade no ponto
• Da mesma forma que a inclinação pode
variar de ponto para ponto da função
– No ponto, a inclinação é a derivada
• A elasticidade também pode variar de ponto
para ponto da função.
– No ponto, a elasticidade relaciona-se com a
derivada e com os valores das ordenadas
21
Elasticidade no ponto
• A elasticidade arco vem dada por
e
Q
Q
P
P
22
Elasticidade no ponto
• Que pode ser manipulada algebricamente:
e
Q
Q
P
P
Q P P Q P Q



Q P Q P Q P
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Elasticidade no ponto
• Da mesma forma que a inclinação no ponto
é o limite quando P tende para zero:
Q
Q '  lim
P  0 P
24
Elasticidade no ponto
• A elasticidade no ponto é o limite quando
P tende para zero:
 P Q  P
Q P
 
  lim 
lim
 Q'
P 0 Q P
P 0 P
Q
Q


25
Elasticidade no ponto
• A inclinação, é diferente da elasticidade
• Mas tem o mesmo sinal (se as quantidades e
os preços forem positivos)
P
  inclinação
Q
26
Elasticidade no ponto
• Como será uma função de elasticidade
constante?
• Uma que a recta Q(P) = a + bP tem?
P
P
  (a  bP)'  b
Q
Q
27
Elasticidade no ponto
• Será Q(P) = aPb ?
P
P
b
b 1
  (aP )'  (baP )
Q
Q
b
P baP
P bQ


b
Q P
Q P
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Exemplo 1 - elasticidade
• Considere a função Q(P) = 8-2P
– A variação do preço de 1 u.m. induz uma
diminuição na quantidade procurada de 2 u.
• Sendo que actualmente o equilíbrio é em
P=1 u.m., se o preço aumentar 1%, quanto
diminui a quantidade procurada
• E se P= 3 u.m?
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Exemplo 1
• Em termos arco, teremos
• Q(1) = 6; Q(1,01) = 5.98 ; Q/Q = -0,33%
– A variação do preço de 1 % induz uma
diminuição na quantidade procurada em 0,33%.
• Q(3) = 2; Q(3,03) = 1.94 ; Q/Q = -3,05%
– A variação do preço de 1 % induz uma
diminuição na quantidade procurada em 3,05%.
30
Exemplo 1
• Em termos do ponto, teremos
• Q(1) = 6; Q’ = -2
1
   2  0,3
6
• Q(3) = 2; Q’ = -2
3
   2  3
2
31
Exemplo 1
• Os valores são aproximadamente iguais
porque o arco é pequeno
– Entre os pontos considerados, o P e a Q variam
pouco.
32
Exemplo 1
10
Ln(P)
Ln(Q)
1
1
10
0,1
33
Elástico/Inelástico
• Por convenção que, veremos, faz sentido
• Se a elasticidade for maior que 1 em
magnitude, diz-se que a função é elástica
• Exemplo de procura elástica
Q = 10P -1,5
– Neste caso, quando o preço aumenta 1%, a
quantidade procurada diminui 1,5%
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Elástico/Inelástico
• Se a elasticidade for menor que 1 em
magnitude, diz-se que a função é inelástica
• Exemplo de oferta inelástica
Q = 10P 0,75
– Neste caso, quando o preço aumenta 1%, a
quantidade oferecida aumenta 0,75%
35
Elástico/Inelástico
•
•
•
•
Se a função (procura ou oferta) for vertical
A inclinação é ZERO (?)
A elasticidade é zero
A função é perfeitamente inelástica
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Elástico/Inelástico
• Se a função (procura ou oferta) for
horizontal
• A inclinação é infinita (?)
• A elasticidade também é infinita
• A função é perfeitamente elástica
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Exercício 4-9
• 3- Sendo que as curvas de procura e de
oferta individuais são dadas pelas funções:
Q  6000 5P
d
i
Qsj  600 6P
• Calcule a elasticidade preço da procura e na
oferta no ponto de equilíbrio, explicando o
seu significado económico.
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Exercício 4-9
• O equilíbrio é
D  S  6000 5P  600 6 P
P  6600/ 11  600u.m; Q  3000kg / d
39
Exercício 4-9
• P/Q = 0,2 u.m./kg
• Inclinação da procura = -5 kg/u.m.
• ed = -5 x 0,2 = -1
• Se o preço aumentar 1%, a quantidade
procurada diminui 1%
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Exercício 4-9
• P/Q = 0,2 u.m./kg
• Inclinação da oferta = 6 kg/u.m.
• es = 6 x 0,2 = 1,2
• Se o preço aumentar 1%, a quantidade
oferecida aumenta 1,2%
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Exercício 13
• A quantidade de ‘micro-ondas’ comprada ao
longo de um ano é dada por
• Q=26500-PX+0,25PY+0,002EW+0,026R+0,0002A
PY =50K u.m.; (preços concorrentes)
EW = 2M; (mulheres a trabalhar)
R = 1M u.m.; (rendimento médio)
A = 5 M u.m; (gastos em publicidade)
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Exercício 13-b
• B) Qual a curva da procura?
43
Exercício 13-a
• Tem como variável apenas o preço do BS
em questão
Q=26500PX+0,25x50k+0,002x2M+0,026x1M+0,0002x5M
Q=70k-PX
• A) qual a quantidade procurada para
PX = 40ku.m.?
44
Exercício 13
• Tem como variável apenas o preço do BS
em questão
Q=26500PX+0,25x50k+0,002x2M+0,026x1M+0,0002x5M
Q=70k-PX
• A) qual a quantidade procurada para
PX = 40ku.m.?
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