A ARTE COMO ALIADA NO ENSINO DA GEOMETRIA PLANA
Juliana Cruz da Silva
Licencianda em Matemática
Universidade Católica de Brasília
Resumo: Este artigo tem a finalidade de mostrar quão intrínseca é a relação entre as artes do espaço (arquitetura,
pintura e escultura) e a geometria, a partir da técnica de leitura de imagem. Nesse contexto, é destacável o papel da
geometria plana no que tange a permitir aos educandos do ensino fundamental a compreensão, descrição e
representação de formas e medidas que lhe são apresentadas direta ou indiretamente no mundo em que vive. Na
aprendizagem da Matemática este suporte é a possibilidade do “fazer matemática”: experimentar, visualizar
múltiplas facetas, generalizar e enfim conjecturar. Exemplos de alguns ambientes ilustram tal processo.
Palavra-chave: Geometria e Arte, Leitura de Imagem
1. INTRODUÇÃO
Uma vez que as questões geométricas costumam despertar o interesse dos alunos de forma
natural e espontânea além de ser um campo vasto de situações-problema que favorecem o
desenvolvimento das capacidades para argumentar, construir conceitos, apropriando-se de um
conhecimento que serviria para compreender e transportar para a realidade, já não se pode
admitir atualmente que o ensino da disciplina seja norteado por preleções tediosas que não
valorizam o caráter utilitário da geometria. Diante disso, este artigo tem a finalidade de
apresentar aos docentes do ensino fundamental, sugestões para que o ensino da geometria plana
se torne mais prazeroso e fascinante.
No desenvolvimento deste trabalho, pretende-se mostrar que, por intermédio das artes do espaço,
é possível trabalhar conceitos geométricos diversos de forma simples sem que, no entanto, o
rigor matemático seja esquecido.
Na nova perspectiva de ensino-aprendizagem, onde o conhecimento é construído a partir de
muita investigação e exploração e a formalização é simplesmente o coroamento deste trabalho, a
técnica de leitura de imagem é perfeitamente aplicável. Contudo, é necessário ser critico e
cuidadoso no processo de uso desta técnica, visto que esta, por si só, não garante o êxito no
processo de ensino da geometria.
Muitas das recomendações aqui apresentadas baseiam-se na experiência adquirida pela autora
através de observações em sua vida acadêmica e mais recentemente, enquanto educadora. Em
virtude do pequeno espaço disponível este artigo só aborda as questões mais relevantes e de
forma sucinta.
2. LEITURA DE IMAGEM (OBSERVAÇÕES IMPORTANTES)
Em linhas gerais, Leitura de Imagem são a observação e análise visual, táctil, sensorial e/ou
através de outros sentidos de uma obra de arte (quadros, fotos, criações arquitetônicas, filmes e
livros) seguida de uma descrição a mais sucinta e clara possível. Inicialmente percebe-se a obra
finalizada, o resultado do trabalho produzido pelo artista. No momento seguinte inicia-se uma
investigação sobre os meios utilizados pelo artista para produzi-la e por último busca-se a vida do
artista. Os passos acima diferem de pessoa para pessoa, mas nas aulas pode-se produzir um
caminho para munir os professores do Ensino Fundamental e estes, conseqüentemente, o alunado
de informações e detalhes para produzir uma leitura de imagem mais ampla e profunda,
abordando novos detalhes e novas informações.
A importância das informações e dos detalhes que um professor do Ensino Fundamental e/ou
aluno consegue explorar em uma composição artística através da observação e da leitura de
imagem, é que elas são individuais e diferentes para cada profissional e aluno, coincidindo às
vezes e o papel do professor é fazer respeitar a leitura de imagem produzida pelos alunos. O
respeito pela opinião dos alunos e o fato de o mesmo poder expor para o grande grupo, cria um
laço de respeito e consideração entre o professor e o aluno. A conseqüência desse respeito faz
com que o aluno se sinta importante e capaz, assim a sua motivação e a auto-estima apresentam
um considerável aumento.
Através do método de leitura de imagem pretende-se trabalhar novas formas de proporcionar aos
alunos uma melhor compreensão da Geometria Plana, partindo do cotidiano dos mesmos e
conhecendo a sua forma de pensar por procurar saber o que lhe atrai a atenção quando não está na
escola. É importante frisar, no entanto, que a utilização deste elemento na sala de aula deve ser
feita de forma eficiente e envolvente, sob o risco de não desperdiçar a potencialidade do mesmo.
3. UM POUCO DA HISTÒRIA DA GEOMETRIA
Muito antes da formalização dos conhecimentos que os homens criavam, baseados em suas
experiências, as bases que, posteriormente, fundamentariam a Geometria, foram construídas e
permeadas essencialmente pelo conhecimento que os mesmos possuíam, ainda que de forma
intuitiva, visto que estes, em sua maioria, estavam associados ao cotidiano por eles presenciados
sob os mais diversos aspectos.
Observamos também, diversos outros momentos em que a Geometria foi empregada pelos povos
considerados primitivos: na construção de objetos de decoração, de utensílios, de enfeites e na
criação de desenhos para a pintura corporal. Formas geométricas, com grande riqueza e
variedade, aparecem em cerâmicas, cestarias e pinturas de diversas culturas. Nestas
manifestações artísticas já apareciam formas como triângulos, quadrados e círculos, além de
outras mais complexas.
As origens da Geometria (do grego medir a terra) parecem coincidir com as necessidades do diaa-dia. Partilhar terras férteis às margens dos rios (os egípcios, por exemplo, há mais de 4500
anos, já usavam a Geometria nas situações de medições das terras que ficavam as margens do rio
Nilo que transbordava todo ano e que eram divididas para o cultivo.), construir casas, observar e
prever os movimentos dos astros são algumas das muitas atividades humanas que sempre
dependeram de operações geométricas e, de alguma forma, as impulsionaram. Registros sobre as
antigas civilizações, egípcia e babilônica, trazem bons conhecimentos do assunto, geralmente
ligados à astronomia, uma vez que as descrições de fenômenos ligados aos astros instigaram por
séculos os povos antigos. Os gregos, por exemplo, se mostravam curiosos quanto às questões
ligados ao infinitésimo.
As primeiras unidades de medida referiam-se direta ou indiretamente ao corpo humano: palmo,
pé, passo, braça, cúbito. Por volta de 3500 a.C. - quando na Mesopotâmia e no Egito começaram
a ser construídos os primeiros templos - seus projetistas tiveram de encontrar unidades mais
uniformes e precisas. Adotaram a longitude das partes do corpo de um único homem (geralmente
o rei) e com essas medidas construíram réguas de madeira e metal ou cordas com nós que foram
as primeiras medidas oficiais de comprimento.
Por volta de 500 a.C., as primeiras escolas eram fundadas na Grécia. Tales e seu discípulo
Pitágoras aproveitaram todo o conhecimento do Egito, da Eutéria, da Babilônia e mesmo da
Índia, para desenvolvê-los e aplicá-los à matemática, navegação e religião. A curiosidade crescia
e os livros sobre Geometria se multiplicavam, bem como o interesse pela mesma. O compasso
logo substituiu a corda e a estaca para traçar círculos e o novo instrumento foi incorporado ao
arsenal dos geômetras. O conhecimento do Universo aumentava com rapidez e a escola
pitagórica chegou a afirmar que a Terra era esférica e não plana. Surgiam novas construções
geométricas e suas áreas e perímetros eram agora fáceis de calcular.
Uma dessas figuras foi chamada polígono, do grego polygon, que significa "muitos ângulos".
Atualmente até rotas de navios e aviões são traçadas por intermédio de avançados métodos de
Geometria, incorporados ao equipamento de radar e outros aparelhos. O que não é de se estranhar
desde os tempos da antiga Grécia, a Geometria sempre foi uma ciência aplicada, ou seja,
empregada para resolver problemas práticos.
4. FALANDO SOBRE ARTE
Segundo o dicionário do Aurélio, Arte é a capacidade que o homem tem de colocar em prática
uma idéia e ela pode ser manifesta por meio de elementos visuais e táteis, reproduzindo formas
da natureza ou realizando formas imaginarias. Compreendem, entre outras, o desenho, a pintura,
a gravura e a escultura. Mas, a Arte vai além disso, o homem a criou como meio de vida, para
que o mundo saiba o que pensa, para divulgar as suas crenças e/ou as de outros, para estimular e
distrair a si mesmo e aos outros, para explorar novas formas de olhar e interpretar objetos e
cenas.
A arte se apresenta sob variadas formas como: a plástica, a música, a escultura, o cinema, o
teatro, a dança, a arquitetura etc. Pode ser vista ou percebida pelo homem de três maneiras:
visualizadas, ouvidas ou mistas (audiovisuais). Hoje alguns tipos de arte permitem que o
apreciador participe da obra, o que vemos quando admiramos uma arte depende da nossa
experiência e conhecimentos, da nossa disposição no momento, imaginação e daquilo que o
artista pretendeu mostrar. O homem consegue sintetizar as suas emoções, sua história, seus
sentimentos e a sua cultura através de valores estéticos como a beleza, equilíbrio, harmonia e
revolta.
5. GEOMETRIA NA ARTE
A Matemática está presente em praticamente todas as áreas do conhecimento, mas apesar disso,
nem sempre é fácil mostrar aos educandos aplicações práticas e realistas acerca dos conteúdos
propostos ou motivá-los com problemas contextualizados, mas permear as aulas usuais com aulas
diferentes e motivadoras pode ser um diferencial no despertar dos alunos para a beleza da
Matemática e para sua utilização prática cada vez mais indispensável no nosso mundo atual, esse
tópico visa mostrar como isso é possível através do ensino da geometria associado à arte e por
meio do uso da técnica de Leitura de Imagem.
Vivemos num mundo de formas e imagens. Elas estão presentes na natureza, na arquitetura e nas
artes. O estudo das formas é um dos mais importantes ramos da Matemática, a Geometria.
Explorando imagens, pode-se aprender a ler e explorar geometria. É o que faremos daqui por
diante.
Quando observamos as obras artísticas abaixo, podemos perceber que foram aplicados princípios
geométricos em suas construções, ou seja, idéias matemáticas estão por trás dessas belas pinturas,
construções arquitetônicas, tapetes, mosaicos etc.
A cidade de Brasília foi projetada por Oscar Niemeyer e está repleta de formas geométricas. O
arquiteto mesclou com muita arte linhas sinuosas de formas variadas com retas e planas. Este
artista fez desse projeto um dos mais avançados da arquitetura mundial nas décadas de 50 e 60.
Figura 1 - Imagem do Congresso Nacional
Retas paralelas não têm ponto em comum, a impressão causada pela fotografia é a de que se as
duas retas indicadas, se prolongadas, não se encontrarão. Esta é uma das principais características
do paralelismo entre retas que estão no mesmo plano. Ainda explorando essa imagem o
professor, pode entrar no conteúdo de polígonos, por mostrar quais são suas principais
características e dependendo da série iniciar o estudo de perímetro e área dos quadriláteros.
Figura 2 - Catedral de Brasília
Figura 3 - Imagem aproximada da vidraça da Catedral
Além de conteúdos matemáticos como feixe de retas paralelas, estudo das propriedades do
trapézio, decomposição de figuras planas e ladrilhamento1, a imagem da Catedral de Brasília abre
um leque de opções para serem trabalhadas em sala, bem como em parceria com outras
disciplinas.
O aluno poder analisar imagens presentes no seu cotidiano, tornando a geometria mais próxima a
sua realidade, fazendo com que ele possa ver que a Matemática faz da sua vida diária e isso
conseqüentemente pode despertar o interesse do aluno para essa disciplina.
Figura 4 - Parthenon, em Atenas, Grécia, construída por volta de 440a.C.
Através dessa imagem, podemos fazer uma viagem pela história. As dimensões externas formam
um perfeito Retângulo de Ouro, que é reconhecido como sendo a forma visivelmente mais
equilibrada e harmoniosa.
O número de Ouro é uma relação entre dois valores, geralmente representados pela altura e
largura de um retângulo, que corresponde ao valor 1,618033989..., é um número irracional
misterioso e enigmático que nos surge numa infinidade de elementos da natureza na forma de
uma razão, sendo considerada por muitos como uma oferta de Deus ao mundo. Há muito tempo
ele é aplicado na arte, ele traduz a proporção geométrica mais conhecida e usada na pintura,
escultura e arquitetura.
1
Superfície coberta por um ou mais tipos de polígonos sem deixar espaçamento.
Figura 5 - Quadro de Mona Lisa pintado por Leonardo Da Vinci
Esse quadro conhecido mundialmente está repleto de razão áurea, desenhando um retângulo à
volta da face, o retângulo resultante é um retângulo de Ouro; dividindo este retângulo por uma
linha que passe nos olhos, o novo retângulo obtido também é de Ouro; as dimensões do quadro
também representam a razão de Ouro por isso a imagem é agradável a nossa vista.
Figura 6 - Mosaico da parede de Al-Azhar Mosque, localizado no Cairo, Egito.
Mosaico é um ornamento ilimitado no plano. A simetricidade fundamental é a translação em duas
direções. Para compor um mosaico é necessária uma rede. Existem cinco tipos fundamentais de
redes: quadrados, retângulos, paralelogramos, triângulos eqüiláteros e losangos. Combinando
uma ou mais simetrias é possível obter outros tipos de mosaicos.
Ornamentos como os mosaicos são sinônimos de beleza e harmonia, e estão presentes em nossas
vidas desde a antiguidade, isso pode ser observado em obras arquitetônicas, ornamentos
indígenas, revestimentos (pisos e azulejos), vitrais de igreja, artesanato, dentre outros. A partir
deles é possível desenvolver a geometria plana e a simetria, estimulando a criatividade dos
educandos.
A simetria é um movimento rígido no plano que aplica um ornamento sobre si mesmo, sem que
sua forma ou tamanho variem, ela pode ser direta (translação e rotação) ou inversa (reflexão e
translação invertida). Em termos gerais, translação é o deslizamento da figura sobre uma reta r,
rotação é um giro da figura em torno de um ponto fixo. A reflexão é o movimento que conserva a
distância de um ponto a um eixo r fixo e translação refletida é o movimento que combina dois
movimentos: reflexão e translação paralela ao eixo r. A simetria casa a Matemática com a arte, o
matemático busca padrões, principalmente em geometria. Os padrões aparecem devido à técnica,
polígonos regulares lado a lado formam mosaicos, repetição gera padrões.
As figuras possuem várias características e algumas delas são: a forma, a planicidade, a dimensão
e a convexidade. Numa figura esses atributos nunca aparecem isoladamente, mas combinando
entre si. Esse fato contribui não só para a grande diversidade das figuras, como também para
beleza delas. Elas fazem parte do mundo e de tudo o que está a nossa volta, estando presentes no
nosso dia a dia, se você observa-las com curiosidade, vai descobrir coisas incríveis, na maioria
das vezes, esses objetos não apresentam a mesma forma.
Ao que parece, a habilidade de percepção visual e os conceitos de geometria podem ser
aprendidos simultaneamente, uma vez que a geometria exige que o aluno reconheça figuras, suas
relações e suas propriedades. Agora, cabe ao professor explorar as habilidades e potencialidades
de seus alunos.
6. FAZENDO ARTE UTILIZANDO A GEOMETRIA
Visto que a geometria pode ser estimulante, motivadora, gratificante, instigadora do raciocínio e
às vezes desafiante, o objetivo dessa sessão é motivar o professor a não poupar esforços para
estimular suas classes de geometria com atividade que levem os alunos para além dos exercícios
rotineiros. Apresento atividades criativas para serem utilizados em sala de aula.
Atividade 1 – Todas as partes do corpo humano guardam entre si a relação áurea. Assim, o
comprimento do braço e do antebraço, estão nesta relação; a altura de uma pessoa e altura que se
encontra o coração também guardam a relação áurea. Visto que os jovens se preocupam bastante
com a beleza física proponha que os alunos verifiquem se o seu corpo está em harmonia
efetuando as respectivas medidas: altura(h) pela medida do umbigo até o chão (a), a medida da
face (r) pela da linha dos olhos até o queixo (q), registrando em uma tabela. Depois de concluído
esse processo pode-se fazer uma comparação dos dados obtidos pela turma e o professor pode
mostrar diversos polígonos de ouro aos alunos e a partir daí explorar suas propriedades.
Atividade 2 – Utilizar artesanatos e visitar obras arquitetônicas é uma maneira de valorizar nossa
arte, nossa cultura e nossas obras. Propor que os alunos criem rosetas, facilita para que o
professor possa trabalhar os conteúdos de ângulo, circunferência, arcos, relação entre reta e
circunferência dentre outros, tudo de forma mais agradável. Outra atividade que pode ser
proposta é a elaboração de faixas e o primeiro passo é fazer um molde, enquanto eles elaboram os
moldes você pode desenvolver conceitos intuitivos de geometria plana, paralelismo,
perpendicularismo entre retas e alguns axiomas da geometria. Para que a atividade seja bem
sucedida é vital que cada aluno tenha sua própria figura e possa assim observar a validade dos
conceitos geométricos a partir do que ele mesmo vai elaborar.
Atividade 3 – A partir de um mosaico feito por Escher, proponha que os alunos também criem
um. Nessa atividade pode ser incluída uma pesquisa sobre a vida de alguns artistas famosos.
Figura 7- Peixes – Mosaico feito por Escher
Através desse mosaico explore o conceito de simetria e suas propriedades.
Atividade 4 – Peça aos alunos que façam uma planta baixa de casa. Esta atividade deve ser livre.
Além de estimular a criatividade, pode servir para avaliar os conhecimentos dos alunos sobre
conceitos geométricos e de medida. Nessa atividade você pode trabalhar os conceitos de
perpendicularismo, paralelismo, ângulo reto, segmento de reta, área, perímetro. Depois de
trabalhado esses conceitos, pode-se pedir que os alunos façam uma maquete, que é um trabalho
artesanal.
Muitas outras atividades podem ser desenvolvidas, as dobraduras permitem um trabalho lúdico
com bonitos resultados visuais e podem ser utilizados para comprovar resultados da Geometria
Plana e para construções geométricas. O tangram tem uma estrutura geométrica que permite a
exploração de muitos conceitos geométricos e alguns destes são: área, perímetro, composição e
decomposição, simetria, convexidade e polígonos. Ambas as atividades possibilitam que os
alunos possam exercer sua criatividade. Atividades como estas possibilitam que os educandos se
enriqueçam matematicamente e possam se inspirar pra criar, por si próprios mais atividades em
geometria.
7. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Na antiguidade as ciências constituíam um único bloco que com o passar do tempo foi
fragmentado. Geometria e Arte eram ensinadas juntas, percebe-se que hoje está havendo um
esforço por parte de alguns educadores por meio da interdisciplinaridade para que tal processo
volte a ocorrer, em prol de um estudo que favoreça a aprendizagem.
Para que ocorra uma aprendizagem significa é interessante que os professores procurem realizar
atividades semanais que envolvam conteúdos relacionados à geometria, sempre que possível
permeando estas com as sugestões aqui apresentadas.
BIBLIOGRAFIA
BIEMBENGUT, Maria Salett, HEIN, Nelson. Modelagem Matemática no Ensino. São Paulo: Contexto, 2000.
BIGODE, Antonio Jose Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2000.335p. (Coleção Antonio Jose
Lopes Bigode).
CANDIDO, Suzana Laino. Formas num mundo de formas. São Paulo: Moderna, 1997.
LINQUIST, Mary Montgomery, SHULTE, Albert. Aprendendo e Ensinando Geometria. São Paulo: Atual, 1994.
D'AMBROSIO, Ubiratan. Educação matemática: da teoria à prática. Campinas, SP: Pairos,
1997.
NETO, Ernesto Rosa. Didática da Matemática. 11 ed. São Paulo: Àtica, 2003.
ARTE & MATEMATICA. Produção da TV Cultura. São Paulo. 4 fitas de vídeo (140 min. Aproximadamente),
VHS, som., color.
DONALD NO PAÌS DA MATEMAGICA. Produção da Abril Vídeo. 1 fita de vídeo (27 min.), VHS, som, color.
MINISTERIO DA EDUCACAO E DO DESPORTO/SECRETARIA DO ENSINO FUNDAMENTAL. Parâmetros
curriculares nacionais – matemática (terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental), 1998.
MINISTERIO DA EDUCACAO. Explorando o Ensino – matemática, vol.2, 2004.
Home Page. Disponível em: www.geocities.com/00roberto01/leitura.htm/ acesso em: 15 de outubro de 2004.
Home Page. Disponível em: www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/ouro.htm acesso em 21 de janeiro de 2005.