UM ESTUDO SOBRE APRENDIZAGEM DE NÚMEROS IRRACIONAIS NO
ENSINO FUNDAMENTAL
Gratuliano Erigoi Alves da Silva
Mestrando em Educação no PPGEd da UFRN
Francisco Peregrino Rodrigues Neto
Prof. Dr. Orientador
CONSIDERAÇÕES GERAIS
O ensino da matemática elementar tem sido objeto de estudo de pesquisadores desde o
movimento da matemática moderna. Esse movimento, com ênfase nos anos setenta, teve como
características marcantes a reestruturação do currículo de matemática, com a inclusão de novos
conteúdos −a exemplo de Conjuntos e Funções− além de uma visão estruturalista do ensino de
Álgebra. A questão metodológica, que no começo estava voltada para os meios de ensino, sob
influência do behaviorismo, receberia importantes contribuições da área de cognição, notadamente
dos estudos de Piaget, como o conceito de abstração reflexiva, que dariam base a trabalhos voltados
para teoria de aprendizagem em matemática numa perspectiva construtiva. Ao longo das décadas de
oitenta e noventa os encontros de Educação Matemática tem discutido questões gerais como teorias
de ensino, livros textos e metodologias para abordagem de conteúdos. A pesquisa nessa área tem
contemplado estudos sobre conteúdos de matemática dos vários níveis de ensino.
Dentre os campos que compõem a matemática elementar −tradicionalmente vistos como
Aritmética, Álgebra e Geometria− isolamos o conjunto dos Números Irracionais como sendo um
assunto de nosso interesse para um estudo do ponto de vista do ensino. A história dos números
irracionais remonta há cerca de 2500 anos, quando matemáticos gregos constataram a
incomensurabilidade entre o lado e a diagonal do quadrado unitário, NIVEM (1984, p.2). Isso
significa que √2 não pode ser escrito na forma de um Número Racional, isto é, na forma de uma
fração. Uma discussão sobre números irracionais geralmente contém a prova clássica da
irracionalidade de √2, por um argumento lógico chamado redução ao absurdo. Essa demonstração,
que não é feita nos livros textos de 8ª série, também não faz parte da abordagem metodológica do
presente trabalho. Num estudo mais profundo sobre números reais, estes são classificados não
apenas como racionais e irracionais, mas também em duas outras categorias −que não é estudada no
nível do presente trabalho. Uma categoria compreende os que são chamados de números algébricos,
ou seja, os números que são soluções de equações algébricas com coeficientes inteiros (p. ex.: √2 é
solução de x²-2=0) e uma outra contém todos os demais números sendo estes chamados de números
transcendentes, como o número irracional π (pi). No entanto, na 8ª série os alunos resolvem as
assim chamadas equações irracionais.
Α união dos Números Racionais com os Números Irracionais, forma o conjunto dos
Números Reais, campo numérico central da Matemática. O estudo dos Números Reais faz parte do
currículo oficial de matemática para o ensino fundamental e consta dos livros textos de matemática
para as 7ªs e 8ªs séries.
Pesquisas sobre ensino-aprendizagem de matemática que foram levadas a efeito em escolas
públicas e particulares de todo território nacional apontam deficiências no ensino de 5ª a 8ª série
dessa matéria, como mostram os estudos do Sistema Nacional de Avaliação Escolar, SAEB (1999).
Nessas pesquisas, os números irracionais aparecem como um dos obstáculos ao aprendizado dos
alunos. Geralmente esses números são apresentados nos livros textos através de exemplos e uma
definição. Na 8ª série os números irracionais aparecem em Racionalização de Denominadores, no
Estudo dos Radicais.
A PESQUISA
O presente trabalho apresenta os primeiros resultados de uma pesquisa em andamento sobre
a aprendizagem de números irracionais levada a efeito com alunos de 8ª série. Esclarecemos que
essa abordagem aos irracionais está limitada ao nível de conhecimentos da 8ª série do ensino
fundamental. O trabalho se enquadra num referencial teórico construtivista, compreendendo um
estudo de caso, e foi estruturado em termos da elaboração e aplicação de um módulo de ensino
sobre o assunto Números Irracionais e os conteúdos matemáticos considerados pré-requisitos para
aprendizagem daqueles números, com coleta de dados. Segundo ZABALLA (1998, p.18), as
unidades de intervenção pedagógica são seqüências de atividades previamente organizadas com
certa estrutura para atingir determinados objetivos. O presente trabalho discute as duas primeiras
partes da pesquisa: os resultados de uma avaliação diagnóstica e a aplicação de um módulo de
ensino da pesquisa. A avaliação diagnóstica teve como objetivo verificar os conhecimentos dos
alunos sobre conteúdos básicos de matemática necessários para a aprendizagem de números
irracionais, além de ter fornecido elementos para a elaboração e organização do módulo de ensino.
A AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA
O primeiro trabalho de campo da pesquisa foi a realização de uma avaliação diagnóstica
numa Escola Pública Municipal, na Zona Norte de Natal/RN, com o intuito de avaliar as condições
dos alunos sobre os conteúdos matemáticos considerados pré-requisitos para uma intervenção sobre
Números Irracionais. A avaliação foi elaborada com base em questões sobre Números Racionais, na
forma fracionária, decimal e na de raiz quadrada, Área do Retângulo e o Teorema de Pitágoras. O
instrumento da avaliação diagnóstica foi uma prova escrita e individual, com 12 questões,
respondida por 31 alunos de uma 8ª série, no tempo normal de duas horas aula.
Os dados foram coletados para uma análise qualitativa. Nesse sentido, as respostas foram
inicialmente classificadas em certas ou erradas, do ponto de vista matemático, e respostas em
branco. Para um julgamento mais criterioso sobre o significado das respostas dos alunos, procedeuse a uma entrevista, feita num grupo de 12 alunos que foi selecionado dos que participaram do teste,
sendo 50% do sexo masculino e a outra metade do feminino. No grupo selecionado, os dois
externos dos resultados do teste foram incluídos (isto é, o aluno que acertou e o que errou e/ou
deixou em branco todas as questões) para fazerem parte da entrevista. Essa inclusão foi intencional,
pois consideramos um caso atípico em uma prova relativamente fácil, um aluno acertar todas as
questões e outro errar todas. Os outros 10 alunos foram escolhidos aleatoriamente.
A entrevista serviu para subsidiar e aprofundar a investigação do trabalho, tornando-se um
instrumento básico para o levantamento de dados. Optamos pela entrevista semi-estruturada que,
segundo LÜDKE (1986, p.33-34), se desenvolve a partir de um esquema organizado, mas que não é
aplicado com rigor e permite que o pesquisador faça as adaptações necessárias no decorrer do
percurso. Assim, uma pergunta feita a um entrevistado não seria obrigatoriamente feita aos outros.
No presente trabalho os alunos entrevistados tiveram acesso aos testes escritos, para melhor
acompanhar as perguntas do entrevistador.
As respostas das questões da avaliação, subsidiadas pela entrevista, foram analisadas de
acordo com o conceito de compreensão relacional e o de compreensão instrumental de SKEMP
(1980, p.19), para quem a compreensão relacional permite ao sujeito a realização de uma grande
quantidade de atividades com inteligência e criatividade, enquanto que na compreensão
instrumental, o indivíduo limita-se a execução de tarefas mecanicamente.
A análise da avaliação diagnóstica apresentou o seguinte resultado: (i) quanto às perguntas
sobre números racionais, vimos que a maioria dos alunos testados teve dificuldade no cálculo de
raiz quadrada exata e não demonstraram saber o que é dízima periódica; (ii) a maior parte dos
alunos não soube responder uma questão básica de geometria métrica para comparar dois retângulos
desenhados sobre a mesma malha quadriculada, o que se esperava que fosse intuitivo devido a
apresentação da questão; (iii) quanto a representação e aplicação do teorema de Pitágoras, também a
maior parte dos alunos demonstrou ter um conhecimento superficial sobre o assunto, não
conseguindo generalizá-lo e representá-lo por meio de uma expressão simbólica.
As entrevistas confirmaram o quadro de respostas da avaliação escrita, revelando um
baixíssimo percentual de alunos no nível de compreensão relacional sobre as questões de números e
geometria. Levando em consideração o nível de conhecimento apresentado pelos alunos, podemos
considerar o resultado de certa forma inesperado. No geral, percebemos que a porcentagem de
alunos categorizada no nível de compreensão relacional foi relativamente baixa, pois seria de se
esperar que alunos de 8ª série apresentassem mais habilidade em operações com Números Racionais
e estivessem mais familiarizados com área do Retângulo e com o Teorema de Pitágoras.
Observamos ainda o seguinte: considerando-se um paralelo entre os resultados dos alunos,
por sexo, não foram verificadas diferenças expressivas nos resultados apresentados por eles. No
entanto, merece destaque o fato de que apenas um aluno, do sexo feminino, conseguiu resolver com
êxito todas as questões do pré-teste.
Em resumo, os resultados da avaliação diagnóstica mostraram que os alunos estavam
desnivelados quanto aos conhecimentos matemáticos testados.
O MÓDULO DE ENSINO
Considerando o objetivo principal da pesquisa, que é promover atividades para o ensino de
Números Irracionais, e o resultado da avaliação diagnóstica, que indicou a necessidade de se
promover um nivelamento dos conteúdos testados, foi elaborado um módulo de ensino com a
finalidade de remediar as deficiências de conteúdos (pré-requisitos) dos alunos através de atividades
de ensino e atender aos objetivos da pesquisa. As atividades são tarefas a serem executadas pelos
alunos na sala de aula, preparadas e orientadas pelo pesquisador, visando atingir os objetivos da
pesquisa, com a finalidade de nivelar os alunos quanto aos pré-requisitos matemáticos, remediando
eventuais deficiências de conteúdo detectadas na avaliação diagnóstica, e abordar os conceitos
necessários para que eles possam alcançar os objetivos da intervenção metodológica (RODRIGUES
NETO ,1998, p.73).
As atividades planejadas para o módulo de ensino foram aplicadas a um grupo de 12 alunos
no período de 12 horas aula, não incluindo o tempo destinado ao pós-teste, no mesmo horário das
aulas de matemática da turma. As atividades propostas foram desenvolvidas em grupos de 2 ou 3
alunos e seguiam os seguintes procedimentos: discussão sobre como resolver a atividade proposta;
resolução da atividade (uso de materiais, procedimentos de cálculos, anotações, e outros.);
comunicação das idéias. As atividades desenvolvidas nos grupos proporcionaram uma interação
entre os alunos, facilitando a discussão das questões e conseqüentemente reforçando o aprendizado,
o que de acordo com KEIL (1999, p. 140) possibilita “... aos sujeitos explicitarem, valorizarem e
trocarem uns com os outros, vivências oriundas de seus universos simbólicos de experiências
cotidianas...”. Para a autora, os alunos buscam a companhia de seus pares, que pensam e agem da
mesma forma convivendo com uma troca de sentimentos e emoções um tanto quanto igualitárias,
construindo as representações dos sujeitos a partir de um substrato diário oriundo de movimento
dialético. Esse ponto de vista, vem reforçar o intuito dessa pesquisa de aplicar as atividades de
ensino com os alunos organizados em grupos.
As atividades para nivelamento dos alunos compreenderam conteúdos de Números
Racionais (potenciação, radiciação, dízima periódica), Área do Retângulo, Área do Triângulo e o
Teorema de Pitágoras.
As atividades que visam atingir os objetivos propriamente ditos da pesquisa, são: o cálculo
da Raiz Quadrada de 2 por aproximação; a obtenção da constante pi (π) por exercícios de medição
do comprimento da circunferência e seu diâmetro e cálculo da razão entre esses elementos; a
representação geométrica de outros números irracionais na reta real. Essas atividades são
complementadas por definições, explicações e notas históricas.
As atividades desse estudo, num total de 12, podem ser classificadas em 5 subdivisões
distintas, de acordo com os objetivos da pesquisa: a primeira subdivisão é formada pelas três
primeiras atividades e tem como objetivo geral familiarizar o aluno com o cálculo de Números
Racionais, nas formas de potenciação, radiciação e dízima periódica. A potenciação e a radiciação
foram trabalhadas com o uso de quadrados, através do cálculo da área e do lado da figura,
respectivamente.
A atividade 4 explorou os conceitos de área do retângulo e área do triângulo com o uso de
figuras para obter as fórmulas genéricas (respectivamente, A.=base×altura. e A=1/2base×altura).
As atividades 5 e 6 compreendem um estudo sobre a obtenção da relação de Pitágoras (o
quadrado sobre a hipotenusa é igual a soma dos quadrados sobre os catetos), incluindo tópicos
sobre a História de Pitágoras e da Escola Pitagórica, extraídos de BOYER (1974, p.34-35),
enfatizando assim o uso da História da Matemática como auxílio didático.
As atividades 7 e 8 objetivam, respectivamente, a generalização e aplicação do Teorema de
Pitágoras (a²=b²+c², onde a, b e c são, respectivamente, a hipotenusa e os catetos de um triângulo
retângulo).
As demais atividades versam sobre os números irracionais. Assim, a atividade 9 visa obter
√2 por aproximação, num processo concreto de se mostrar que √2 não atende ao conceito de
número racional. A atividade 10 trabalha a obtenção do número π (pi) experimentalmente, e
apresenta um histórico desse número que é definido como Irracional. As atividades 11 e 12
trabalham a representação geométrica dos números irracionais √3, √5 e √6 representados na reta
real.
A abordagem das atividades 05 e 11 prevê o uso de materiais concretos como auxílio de
ensino. Para as outras, foi facultado o uso da calculadora como facilitadora do desenvolvimento e
agilidade nas resoluções de algumas questões.
A aplicação da seqüência de conteúdos acima se justifica pelas seguintes razões:
1.
2.
3.
4.
5.
É necessário que o aluno tenha ciência que os números racionais são da forma a/b, com
a e b inteiros e b não nulo, e conheça as várias representações desses números −na
forma de inteiros, de frações, de números decimais, de dízimas periódicas, etc.− para
que possa reconhecê-los como tal e compreender que todo número que não atenda essa
definição não pertence a classe dos Números Racionais, muito embora sejam Reais.
O entendimento de área do retângulo e do Teorema de Pitágoras permite ao aluno obter
a construção gráfica do segmento √2 através do cálculo da diagonal do quadrado
unitário.
A potenciação é usada para obter aproximações para √2 com auxílio da calculadora. e
levar o aluno a concluir, por um processo construtivo, que √2 não pertence a classe dos
números racionais.
A obtenção de pi (π= 3,1415926...) como uma constante entre as medidas do
comprimento e do diâmetro de uma circunferência é complementada com a informação
de que esse número não está de acordo com a definição de número racional, mas
pertencendo a classe dos irracionais, inclusive porque não seria possível concluir pela
irracionalidade de pi através de um processo prático.
A determinação geométrica de √2, √3 e outros números irracionais, é importante porque
permite ao aluno visualizar uma perfeita correspondência entre um número irracional e
um determinado ponto na reta real.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Apresentamos um resumo dos principais pontos da pesquisa em relação aos objetivos,
lembrando que o estudo tem restrições quanto ao nível de conteúdo matemático.
(i)
(ii)
(iii)
Em relação a primeira parte da pesquisa, julgamos que avaliação diagnóstica realizada
cumpriu seu objetivo no trabalho, pois revelou que os alunos apresentavam deficiência no
conhecimento dos conteúdos básicos de matemática que são trabalhados nas quatro últimas
séries do Ensino Fundamental. Assim, a avaliação mostrou a necessidade de se promover
uma abordagem de conteúdos matemáticos, supostamente estudados pelos alunos, o que foi
feito por atividades de ensino para um nivelamento da turma.
Sobre a aplicação do módulo de ensino, a participação do pesquisador no trabalho de
pesquisa permite fazer as seguintes observações. A aplicação das atividades de ensino foi
bem recebida pelos alunos, tendo o grupo demonstrado uma afetividade positiva em relação
à intervenção como um todo, o que contribuiu para o desenvolvimento dos trabalhos. Digase, de passagem, que as condições gerais de trabalho foram até favoráveis ao
desenvolvimento da pesquisa. A partir da aplicação da primeira atividade, percebemos o
interesse dos alunos em realizá-las, o que facilitou bastante o nosso trabalho. Com a
aplicação da seqüência das atividades e o interesse demonstrado por eles, verificamos que a
intervenção estava sendo positiva do ponto de vista da aprendizagem, pois vimos que as
dificuldades dos conteúdos do pré-teste estavam sendo superadas. Além disso, salientamos
que os alunos desenvolveram de maneira satisfatória as atividades sobre os números
irracionais, que são o principal objetivo do trabalho. Observamos que os alunos participaram
ativamente de todas as atividades, demonstrando interesse no seu desenvolvimento, ainda
que não tivessem efeito para nota na caderneta.
Desse modo, as observações feitas pelo pesquisador quando da aplicação do módulo de
ensino junto aos alunos permitem traçar uma expectativa favorável quanto aos resultados da
intervenção, cujos dados foram posteriormente coletados através de um pós-teste, ora sob
análise.
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