FORMAÇÃO DE PROFESSORES
Cálculo mental
Matemática
Ensino Fundamental I
A área de Educação da Fundação Vale busca contribuir para a melhoria da educação
básica, com foco na promoção de uma prática docente pautada nos princípios da
pluralidade cultural e do respeito às diferenças.
COORDENAÇÃO DO PROGRAMA
Equipe de Educação Fundação Vale
APOIO EDITORIAL
Departamento de Comunicação Corporativa Vale
PARCEIRO
Comunidade Educativa CEDAC
EDIÇÃO E REVISÃO DE TEXTO
JVAB Edições Ltda
PROJETO GRÁFICO E DIAGRAMAÇÃO
Inventum Design
selo FSC
Este símbolo indica que o papel utilizado
neste material foi produzido com madeiras
de florestas certificadas.
Cálculo Mental
Cálculo mental
Professor(a),
Neste caderno vamos refletir sobre a importância do cálculo mental como conteúdo de ensino nos
anos iniciais do Ensino Fundamental. Vamos iniciar refletindo sobre as estratégias de cálculo feitas pelos
alunos na atividade de Aplicação Prática do bimestre anterior; prosseguiremos identificando a existência de uma grande variedade de estratégias que podem ser utilizadas para um mesmo cálculo; também
procuraremos identificar quais habilidades e conhecimentos do campo da matemática estão envolvidos em alguns cálculos.
Finalmente, pensaremos e planejaremos sequências de atividades de cálculo mental para desenvolver
nas salas de aula, com a finalidade de promover um trabalho consistente de cálculo mental adequado
à realidade de cada turma.
Espera-se desenvolver e/ou ampliar as seguintes competências docentes neste bimestre:
Trabalhar em equipe, interagindo com os colegas e colaborando com a formação do grupo.
n
Apropriar-se de recursos para o trabalho com o cálculo mental entendo-o
como cálculo refletido.
n
Ampliar o repertório de atividades para o trabalho com o cálculo mental nas salas de aula.
n
Reconhecer a importância da interação entre pares na elaboração do conhecimento,
promovendo as condições para que essa interação ocorra nas aulas.
n
Coletar, organizar, analisar e interpretar informações sobre procedimentos de cálculos
que os alunos utilizam.
n
Elaborar e desenvolver projetos pessoais de estudo e trabalho, empenhando-se em
compartilhar a prática e produzir coletivamente.
n
Neste encontro, você participará de situações nas quais abordaremos os seguintes conteúdos:
Diferentes estratégias de cálculo.
n
Cálculo mental como sinônimo de cálculo refletido.
n
Implicações do trabalho permanente com o cálculo mental no Ensino Fundamental I.
n
1
Formação de Professores
Encontro presencial
Duração: 4h
Para começo de conversa
Duração: 20min
Pensar sobre a prática e compartilhar resultados
Iniciaremos este encontro retomando a atividade de Aplicação Prática desenvolvida no bimestre anterior.
Vamos direcionar nossas discussões para as estratégias de cálculo utilizadas pelos alunos na resolução
de um problema do campo multiplicativo com a ideia de proporcionalidade.
Veja a seguir o problema proposto por uma professora e três estratégias de cálculo usadas por seus alunos
para encontrar a solução:
A capacidade máxima de passageiros de um trem é de 460 pessoas. Quantos passageiros ele consegue transportar em 18 viagens, considerando que todos os lugares estão sempre ocupados?
Estratégia 1
Estratégia 2
Estratégia 3
Retome a pauta de acompanhamento que você usou nas aprendizagens de seus alunos na atividade
de Aplicação Prática e discuta com seus parceiros professores:
a) No seu grupo de alunos, você observou o uso de alguma ou algumas dessas estratégias de cálculo
para resolver o problema que você propôs?
b) Apareceram outras? Quais?
c) No planejamento, você havia antecipado o uso de alguma dessas estratégias pelos seus alunos?
2
Cálculo Mental
Atividade de contextualização
Duração: 50min
Nesta etapa, vamos pensar em outras possibilidades para resolver o problema acima.
1. Organize-se com seus colegas em grupo e juntos, considerando o problema anterior, pensem em
outras estratégias para resolver o cálculo 460 x 18. Registre no quadro a seguir todas as estratégias
que vocês conseguirem pensar.
Para esta atividade, vocês podem usar a calculadora, mas é importante que registrem todos os cálculos que fizerem em cada caso.
2. Coletivamente, vamos socializar as estratégias encontradas pelos grupos e analisá-las, considerando
os conhecimentos matemáticos envolvidos em cada uma.
3. Leia o texto a seguir de forma compartilhada. Procure relacionar o conteúdo do texto com o que foi
discutido nas atividades anteriores.
O ensino do cálculo mental na escola
O cálculo mental é uma importante habilidade que colocamos em ação em muitos momentos de nossa vida cotidiana. Algumas vezes, precisamos saber o resultado exato de uma operação – por exemplo, ao calcular o valor do troco a ser recebido após pagar uma despesa de
R$ 36,50 com uma cédula de R$ 50. Outras vezes, precisamos apenas estimar em que intervalo se situa o resultado de uma conta – por exemplo, ao ponderar que, para pagar 6 xícaras que
custam R$ 4,85 cada, precisarei de mais de R$ 25 e menos de R$ 30.
“Entendemos por cálculo mental o conjunto de procedimentos em que, uma vez analisados
os dados a serem tratados, estes se articulam, sem recorrer a um algoritmo preestabelecido
para obter resultados exatos ou aproximados.” (PARRA, 1996)
3
Formação de Professores
Assim, chamamos de cálculo mental não apenas o cálculo feito “de cabeça”, mas todo cálculo feito sem o
uso exclusivo de algoritmos. O cálculo mental é aquele que se realiza a partir da análise dos números e das
operações envolvidas, podendo ser utilizados papel e lápis e até mesmo a calculadora em algumas etapas.
O que entra em jogo quando calculamos sem o uso dos algoritmos? Os procedimentos variam dependendo do contexto, dos números envolvidos e também da nossa possibilidade de delinear um procedimento que relacione os dados com nossos conhecimentos. As estratégias que escolhemos se apoiam
nas regularidades do sistema de numeração, nas propriedades das operações e no repertório de cálculos memorizados que possuímos. Vamos ver alguns exemplos:
a. Na feira, um quilo de batata é vendido a R$ 2,80. Quero saber o preço de meio quilo.
Decomponho o número 2,80 em 2 inteiros + 80 centésimos.
Em seguida, apelo à memória: metade de 2 é 1; metade de 80 é 40.
Depois disso, somo: 1 inteiro mais 40 centésimos resulta 1,40.
Neste exemplo, entraram em ação:
decomposição e composição do número em inteiros e centésimos: 2,80 = 2 + 0,80 e 1 + 0,40 = 1,40;
n
cálculo memorizado: metade de 2 é 1, metade de 80 é 40.
n
b. Uma bandeira precisa de 75 cm de tecido; quero confeccionar 3 bandeiras.
Cálculos:
75 = 50 + 25
75 x 3 = 50 x 3 + 25 x 3
5 x 3 = 15
25 + 25 + 25
então
50 x 3 = 150
25 x 3 = 75
75 x 3 = 150 + 75
{
75 x 3 = 150 + 50 + 25
75 x 3 = 225
4
Cálculo Mental
Portanto, precisarei de 225 cm ou 2,25 m.
Neste exemplo, entraram em ação os seguintes conhecimentos:
a decomposição do número 75 em duas parcelas menores: 50 e 25;
n
a propriedadie distributiva da multiplicação em relação à adição: 75 x 3 é o mesmo que 50 x 3 + 25 x 3;
n
a propriedade associativa da multiplicação: 50 x 3 = (5 x 3) x 10;
n
cálculos memorizados: 5 x 3 = 15 e 25 x 3 = 75;
n
conhecimento de regularidades das operações: multiplicar por 10 resulta em acrescentar um zero
ao número;
n
conhecimentos das propriedades do sistema métrico: para converter 225 centímetros em metros divide-se o número por 100, o que significa andar com a vírgula duas casas decimais para a esquerda: 2,25 m.
n
É importante considerar que as decomposições feitas nos dois exemplos poderiam ter sido outras. Por
exemplo, o número 75 poderia ter sido decomposto em 70 + 5 ou em 40 + 30 + 5 etc.
Como vimos nos dois exemplos, calcular mentalmente envolve um conjunto de relações a respeito dos números e das operações, além de domínio de um repertório de cálculos memorizados. Tais conhecimentos se
constroem a partir das experiências e ampliam-se à medida que temos oportunidades de colocá-los em jogo.
O trabalho com cálculo mental na escola permite que as crianças se apropriem de várias maneiras de realizar operações e estimativas. Por isso, o cálculo mental influencia na capacidade de resolver problemas
e favorece uma melhor relação dos alunos com a matemática. Trabalhando continuamente na análise de
estratégias de cálculo, as crianças vão tomando consciência das propriedades das operações e das regularidades do sistema de numeração. Esse trabalho também favorece a compreensão dos algoritmos de
cálculo, o que pode evitar alguns erros recorrentes quando os algoritmos são ensinados sem esse trabalho anterior (é o caso, por exemplo, das adições com reserva e as subtrações com empréstimo).
Equipe de Matemática – Comunidade Educativa CEDAC
5
Formação de Professores
A prática em questão
Duração: 50min
Podemos considerar, então, que o trabalho com cálculo mental é altamente formativo nas aulas de matemática. Sendo assim, é conveniente que seja considerado no currículo escolar e no planejamento das aulas. Para
auxiliá-lo a refletir sobre a progressão desse trabalho, apresentamos a seguir uma sugestão de distribuição de
conteúdos matemáticos relacionados ao cálculo mental nos anos iniciais do Ensino Fundamental1.
1. Em grupos formados por professores que trabalham na mesma escola, analisem esse quadro2.
1º Ciclo: conteúdos de matemática.
Cálculo Mental (Província Corrientes)
Distribuição de conteúdos realizada pela licenciada Irma Saiz para o programa de matemática
1ª série
2ª série
Somas da forma: a + b = 10
Subtração da forma: a – b = 10
Subtrações da forma: 10 – a = b
Soma da forma: 100 + a =
Subtrações da forma: a – b = 1
Subtrações da forma
100 – a = com a múltiplo de 10.
Exemplo: 100 – 30 =...
Somas da forma: a + a = com a ≤ 10
Complementos de: a +... = 10
Somas da forma: 10 + a =...; 20 + a =...
Somas da forma:
a + b = 100 com a e b múltiplos de 10.
Exemplo: 20 + 80 = 100
Complementos de 100:
a +... = 100 com a múltiplo de 10.
Exemplo: 70 +... = 100
Expressões equivalentes.
Exemplos:
34 = 30 + 4;
34 = 10 + 24;
34 = 10 + 10 + 10 + 4;
34 = 40 – 6;
9 = 5 + 6 – 2;
9 = 4 + 5;
9 = 2 + 2 + 2 + 2 + 1;
9 = 10 – 1
etc.
Propriedades comutativa e associativa
Complemento de 100:
a +... = 100.
Exemplo: 28 +... = 100
Somas da forma: a + b =100.
Exemplos:
75 + 25 = 100;
32 + 68 = 100
Dobros e metades
Expressões equivalentes.
Exemplos:
147 = 50 + 50 + 47;
147 = 100 + 47;
147 = 40 + 60 + 30 + 17;
147 = 200 – 50 –3
3ª série
Escalas ascendentes e descendentes do
10, 20,... 100, 200...
Enquadramento de números como
dezenas, centenas etc.
Exemplos:
20 < 28 < 30;
140 < 145 < 150;
100 < 145 < 200
Subtrações da forma:
a – b = 1; a – b = 10; a – b = 100 etc.
Expressões equivalentes.
Exemplo:
1.359 = 500 + 500 + 300 + 59;
1.359 = 1.000 + 300 + 50 + 9;
1.359 = 2.000 – 600 – 40 – 1
Somas e subtrações com medidas do tipo:
ano, dia, mês, semana, hora, 1/4 hora etc.
Multiplicações da forma:
a x b com a < 10
Distância entre dois números.
Exemplo: distância entre 50 e 76
Divisões e multiplicações especiais:
x 2; ÷ 2; x 4 (multiplicar duas vezes por 2);
÷ 4 (dividir duas vezes por 2); x 5; ÷ 5 etc.
Escalas crescentes e decrescentes
do 2, 5 e 10
Dobros e metades
Triplos e terços
Propriedades comutativa e associativa
1 Quadro retirado do capítulo 7 (“Cálculo mental na escola primária”) de PARRA, Cecilia e SAIZ, Irma (org). Didática da matemática
– Reflexões psicopedagógicas. Porto Alegre: Artmed, 1996.
2 As séries mencionadas no quadro correspondem aos anos no Brasil; por exemplo, a 1ª série corresponde ao 1º ano.
6
Cálculo Mental
2º Ciclo: conteúdos de matemática.
Cálculo Mental
4ª série
Enquadramento de um número na casa das dezenas,
centenas, unidades de mil etc.
Contar de 100 em 100 a partir de qualquer número.
Exemplo: 741, 841, 941,...
Números equidistantes entre outros dois (no meio de...)
Distância entre dois números quaisquer
Metade e dobros de números de 3 ou 4 algarismos
Expressões equivalentes (utilizando as 4 operações)
Diferentes maneiras de encontrar um produto:
8 x 14 = 2 x 4 x 14
=8x2x7
= (8 x 10) + (8 x 4)
Cálculo da quantidade de algarismos de um quociente
Estimativa de resultados de divisão de números naturais
Comparações de frações com números inteiros
(maior, menor ou igual a 1 ou a 2 etc.)
Múltiplos dos primeiros números: 2, 3, 4, 5,...
Divisores de alguns números: 10, 12, 16, 15, 20,...
Cálculos com moedas e notas em uso
5ª série
Somas da forma: 2.000 + 5.300 =; 2.500 + 2.850 =...
Subtrações da forma: 807.000 – 3.000 =; 807.400 – 10 =...
Frações mais comuns de números inteiros.
Exemplos: 1/4 de; 1/2 de; 1 + 1/2 de; 3/4 de; etc.
Dobros e metades de frações.
Exemplos: dobro de 1/3; metade de 6/4; metade 3/4 ; etc.
Somas e frações mais usuais.
Exemplos: 1/2 + 1/4 =; 1/2 + 3/4 =; 2/3 + 1/6 =; etc.
Somas de decimais da forma: a + b = 1; a + b = 10 etc.
Subtrações de decimais da forma: 1 – 0,25 =; 10 – 1,50 =; etc.
Enquadramento de decimais entre dois inteiros:
31 < 31, 24 < 32
Estimativa e aproximação de resultados de medições de
comprimento (ou distância), capacidade, peso e tempo
Estimativa da medida dos ângulos mais usuais:
45˚ (metade 90˚);
30˚ (terça parte de 90˚);
135˚ (90° + 45°);
60˚ (dobro de 30˚)
etc.
Aproximação e arredondamento de resultados
das quatro operações
2. Quais são suas primeiras impressões sobre os quadros de conteúdos?
3. Em grupo, analisem os conteúdos propostos nos quadros. Existem conteúdos que consideram pertinentes de serem trabalhados nos anos em que atuam? Quais seriam viáveis de trabalhar nesse momento? Quais já foram abordados?
7
Formação de Professores
Planejamento passo a passo
Duração: 2h
Considerando os estudos realizados até agora, vamos planejar os encaminhamentos para uma sequência de atividades sobre cálculo mental. Esse planejamento será feito em grupos, de preferência formados por professores que atuam na mesma série. Para isso, organizem-se para realizar toda essa parte da
formação com esse mesmo grupo.
a) Escolha do conteúdo e da sequência de atividades
Primeiramente, vocês precisam definir o conteúdo que julgam importante trabalhar com seus alunos. Para isso, retomem a atividade realizada anteriormente e, se possível, consultem o documento
curricular da sua escola.
A ideia aqui é que vocês utilizem uma das sequências apresentadas neste caderno e planejem os encaminhamentos para esse trabalho. Feito isso, analisem as propostas do “Banco de atividades para o trabalho com cálculo mental” (página 10) e escolham a mais adequada para realizar em sua sala de aula.
b) Etapas do planejamento
A sequência de atividades já está elaborada; então, o que precisarão considerar no planejamento para a sua realização em sala de aula? Lembrem-se de alguns passos importantes já discutidos nos cadernos anteriores, quando planejamos outras atividades, e incluam outros, se julgarem necessário.
Coletivamente, registrem:
c) Elaboração do planejamento
8
Elaborem o planejamento da sequência considerando os encaminhamentos necessários para a realização de cada uma das atividades. Utilizem o quadro de planejamento:
Cálculo Mental
Planejamento da sequência de atividades sobre cálculo mental
Título da sequência selecionada:
Ano:
Conteúdo(s) envolvido(s):
Atividades da sequência
Encaminhamentos
9
Formação de Professores
Banco de atividades para o trabalho com cálculo mental
SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES - 1:
Diferentes maneiras de encontrar um produto
Orientação geral para as atividades desta sequência
As atividades seguintes têm como objetivo propor que os alunos se apoiem nos cálculos memorizados de multiplicação (a tabuada) para encontrar outros resultados de multiplicação, usando em cada
caso, de acordo com sua possibilidade e conveniência:
a propriedade associativa da multiplicação;
n
as regularidades da multiplicação por 10, 100 e 1.000;
n
as relações de proporcionalidade – dobros e metades.
n
Para que essas relações e propriedades sejam explicitadas, é preciso assegurar em sala de aula situações
de discussão entre os alunos para que possam comunicar suas hipóteses e argumentar.
1. Resolva as contas abaixo :
2x5=
20 x 5 =
200 x 5 =
3x3=
30 x 3 =
300 x 3 =
8x6=
80 x 6 =
800 x 6 =
7x3=
70 x 3 =
700 x 3 =
Observe os cálculos acima e registre o que observou. Por que você acha que isso acontece?
10
Cálculo Mental
Orientação
Espera-se que os alunos primeiramente observem que ao fazer um cálculo, por exemplo, “vezes 80”,
aumenta-se um zero em relação ao cálculo “vezes 8”; “vezes 800”, aumentam-se “dois zeros”. Essa
observação provavelmente será tarefa simples. O desafio maior será no sentido de explicar por que
isso acontece, entender e explicitar que “vezes 80” é o mesmo que calcular “vezes oito e vezes 10”.
Por exemplo: 80 x 6 = (8 x 10) x 6, ou (8 x 6) x 10.
2. O resultado de 5 x 8 = 40 ajuda a resolver os cálculos a seguir? Quais? Resolva-os.
a) 50 x 8 =
b) 3 x 7 =
c) 5 x 80 =
d) 50 x 40 =
e) 2 x 6 =
f ) 5.000 x 8 =
g) 8 x 5.000 =
h) 5 x 6 =
Orientação
Esta atividade propõe que as crianças recorram ao que foi discutido anteriormente, na atividade 1, para
identificar quais cálculos poderiam ou não ser resolvidos a partir do resultado de um cálculo conhecido:
5 x 8 = 40. Um dos objetivos é indicar aos alunos que um resultado memorizado pode ser aproveitado
para se obter outros, desde que haja relação entre eles. Pode ser interessante, após a realização desta
atividade, discutir com os alunos como puderam aproveitar ou não o resultado da conta dada.
3. Mariana comprou 2 pacotes de balas. Se em cada pacote tem 15 balas, quantas ela comprou? E se tivesse comprado 20 pacotes? E se tivesse comprado 60 balas, quantos pacotes teria comprado?
11
Formação de Professores
Orientação
Para resolver este problema, provavelmente, nem todos os alunos lançarão mão da estratégia discutida até aqui (2 x 15 = 30, então, 20 x 15 = 300) e resolverão essa situação com outras estratégias. Sem
desconsiderar as demais formas de resolução na discussão, seria interessante pensar em intervenções que favorecessem a relação deste problema com o que foi discutido nas atividades 1 e 2.
4. É possível aproveitar o resultado de 4 x 6 = 24 para realizar quais dos cálculos a seguir?
Justifique sua resposta:
a) 4 x 12 ( ) sim ( ) não
Se sim, como você fez para aproveitar?
b) 4 x 3 ( ) sim ( ) não
Se sim, como você fez para aproveitar?
c) 7 x 9 ( ) sim ( ) não
Se sim, como você fez para aproveitar?
12
Cálculo Mental
d) 8 x 6 ( ) sim ( ) não
Se sim, como você fez para aproveitar?
e) 2 x 12 ( ) sim ( ) não
Se sim, como você fez para aproveitar?
Orientação
A atividade propõe que os alunos reflitam sobre a proporcionalidade existente entre os cálculos,
apoiando-se nos dobros e metades de um dos fatores para encontrar o resultado de outras multiplicações. Por exemplo, 4 x 6 = 24, 4 x 12 = 48: se dobro um dos fatores, no caso o 6, o resultado também
será o dobro. Pode ser rico para a aprendizagem, depois de discutir a atividade, fazer anotações no caderno sobre essa regularidade.
5. Reveja as atividades 1, 2, 3 e 4 e discuta com sua dupla: como os resultados das multiplicações da tabuada
podem ajudar a encontrar o resultado de outras multiplicações? Registre suas conclusões nas linhas abaixo.
13
Formação de Professores
Orientação
Esta atividade tem como objetivo sistematizar o que foi discutido nas atividades propostas, isto é, as
relações entre cálculos de multiplicação que nos permitem chegar aos resultados apoiando-nos tanto
nos dobros e nas metades de um dos fatores como nos cálculos x 10, x 100 e x 1.000.
SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES - 2:
Cálculos com moedas e cédulas em uso
Orientação geral para as atividades desta sequência
O objetivo desta sequência é que os alunos realizem composições e decomposições de quantias em
dinheiro utilizando diferentes moedas e cédulas, estabelecendo equivalência entre elas. Não se pretende que elaborem exaustivamente as possíveis soluções, mas que justifiquem as soluções propostas
e analisem as equivalências entre umas e outras. A familiaridade com o sistema monetário contribui
para as possíveis antecipações e controle sobre os cálculos matemáticos, mobilizando e tornando aplicáveis os conhecimentos que as crianças já têm, ao mesmo tempo em que provocam desafios pertinentes a esse objeto de conhecimento.
1. Clara foi à papelaria comprar uma caixa de clipes que custava R$ 3,00. Em sua carteira só havia moedas de R$ 0,50, R$ 0,25 e R$ 0,10. De que formas ela poderia pagar? Converse com sua dupla de trabalho e juntos elaborem duas formas diferentes.
2. Vitor quer gastar as moedas de seu cofrinho para comprar R$ 5,00 de figurinhas. Considerando que
ele só tem moedas de R$ 0,25, R$ 0,50 e R$ 0,10, como poderia pagar? Registrem uma forma, depois
conversem com seus amigos e verifiquem como eles pensaram.
3. Leia esta tabela de preços de uma joalheria e responda às perguntas com sua dupla de trabalho:
Mercadoria
Preço
Corrente de ouro
R$ 1.335,00
Brinco de brilhantes
R$ 875,00
Aliança de ouro branco
R$ 1.978,00
Broche de safira
R$ 2.185,00
Considerando que vocês têm disponíveis moedas de R$ 1,00 e notas de R$ 10,00 e R$ 100,00:
a) Registrem duas formas diferentes de pagar o brinco de brilhantes
b) Se vocês comprassem a corrente de ouro, com que notas poderiam pagá-la?
c) Paguem o broche de safira usando a menor quantidade possível de notas.
14
Cálculo Mental
Orientação
As questões a e b favorecem que os alunos ampliem o olhar sobre a composição dos números, ou
seja, quantos 1, 10, 100, 1.000 cada número contém; proporciona outra maneira de “ver o número”
para além de quantas unidades, dezenas, centenas cada número tem — por exemplo, R$ 1.335,00
podem ser pagos com 13 notas de R$ 100,00 e 35 moedas de R$ 1,00.
Quando pedimos que definam como pretendem pagar a corrente de ouro, sabemos que possivelmente as crianças já saibam que podem escolher 10 x 100 para compor 1.000; entretanto, pensar
que podem escolher 13 x 100 para já completarem 1.300 envolve uma forma diferente de pensar, é
necessário que façam outras antecipações, talvez só possíveis quando colocadas mediante análises
específicas e que podem nascer da socialização desses conhecimentos entre os alunos.
A questão c, ao pedir a menor quantidade de notas, leva os alunos a considerar o valor posicional
de cada algarismo.
4. Como poderiam pagar a aliança de ouro branco usando a menor quantidade de notas possível? Para esse pagamento, vocês têm disponíveis notas de R$ 20,00, R$ 50,00 e R$ 1,00.
Orientação
Como nesta questão os valores das cédulas são outros, as composições e decomposições possíveis
não serão apoiadas exclusivamente no valor posicional dos algarismos dos números.
SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES - 3:
Dobros e metades de uma fração
Orientação geral para as atividades desta sequência
Esta sequência de atividades tem como objetivo ajudar os alunos a identificar algumas regularidades sobre o cálculo de dobros e metades de frações. Por meio de estratégias pessoais e da análise
dos resultados encontrados, os alunos poderão investigar como funcionam os cálculos de dobros e
metades de frações.
15
Formação de Professores
1. Calcule e registre na tabela abaixo o dobro e a metade das seguintes frações:
Frações
1
2
1
3
1
4
1
5
Dobro
Metade
Dobro das frações
Metade das frações
Após o cálculo, escreva aqui o que
aconteceu com os numeradores
e denominadores das frações.
Após o cálculo, escreva aqui o que
aconteceu com os numeradores
e denominadores das frações.
Orientação
Muitos alunos poderão responder que do dobro de 1/3 é 1/6 e que não é possível fazer a metade de
1/5, pois estarão usando os critérios válidos para os números naturais.
Ao final da atividade e de sua discussão coletiva, será interessante anotar as conclusões a que chegaram e as dúvidas que surgiram. Essas anotações poderão ser fontes de consulta e poderão ser revistas e/ou ampliadas nas demais atividades da sequência.
Nas aulas posteriores, para aprofundar a discussão, é interessante criar oportunidades para que a turma
resolva problemas de outros tipos, até que possam compreender que um caminho pode ser duplicar os
numeradores das frações ao calcularem os dobros e, no caso do cálculo das metades de frações com o
numerador 1, como os exemplos usados na questão 1, podem dobrar os denominadores.
16
Cálculo Mental
2. Calcule e registre nos quadros abaixo a metade das frações:
3
4
2
3
4
9
7
2
8
5
4
3
Após calcular a metade das frações dadas, escreva aqui o que aconteceu com os numeradores
e denominadores.
3. João disse que a metade de 6/4 é 6/8 e Pedro disser que é 3/4. Quem está certo? Por quê?
Orientação
Talvez os alunos utilizem a estratégia de fixar o numerador e dobrar o denominador, como aconteceu no cálculo da metade de 1/3, que é 1/6 (atividade 1). Porém, quando o numerador é par, a atividade pode ser resolvida utilizando-se a metade de seu numerador.
Por exemplo: a metade de 6/4 é 3/4, mas também pode-se responder 6/8. O debate da questão 3
ajudará os alunos a refletir sobre essas possibilidades.
17
Formação de Professores
4. Qual é a metade de 4/6? Assinale a alternativa correta.
a)
4
3
b)
2
6
c)
2
3
Explique como você pensou
5. Qual é o dobro de 4/6? Assinale as alternativas corretas.
a)
8
6
b)
8
12
c)
4
12
Explique como você pensou
6. Qual é o dobro e a metade de 2/4? Assinale a alternativa correta.
18
d)
4
3
Cálculo Mental
A
B
C
Dobro
Metade
4
8
1
4
Dobro
Metade
4
8
1
2
Dobro
Metade
4
4
2
8
Eu escolhi essa alternativa porque...
Orientações para as questões 4, 5 e 6:
O objetivo das questões 4, 5 e 6 é abrir espaço para que coloquem em jogo seus conhecimentos sobre
o cálculo de dobros e metades de frações. Por que tal alternativa é a correta? Por que tais alternativas
foram rejeitadas? É importante que o professor, após as escolhas feitas pelos alunos, peça para que explicitem as suas escolhas e justificativas. Esse debate é o momento mais valioso dessas atividades.
As opções, em cada caso, referem-se aos erros mais frequentes que os alunos cometem em relação
às frações quando estendem a este domínio numérico ideias construídas a propósito dos números
naturais (por exemplo, pensar que para calcular o dobro de uma fração é necessário operar simultaneamente sobre o numerador e o denominador). A partir desse trabalho, será possível escrever
regras para estabelecer com toda classe como calcular a metade ou o dobro de alguma fração. Será interessante registrar afirmações do tipo:
3 é a metade de 6, mas 1/3 não é a metade de 1/6.
n
O dobro de uma fração é duas vezes essa fração;
assim, o dobro de 1/3 é 2 vezes 1/3, que é 2 x 1/3 = 2/3.
n
Além dessas sugestões, pode-se registrar outras afirmações que surjam das discussões sobre o trabalho dos alunos nas discussões coletivas. Pode ser interessante retomar as anotações feitas nas aulas anteriores e completá-las, revisá-las etc.
19
Formação de Professores
SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES - 4:
Somas facilitadas pelas características do sistema de numeração
(da forma 2.000 + 5.300 = ; 25.000 + 2.850 =)
Orientação geral para as atividades desta sequência
Com estas atividades, pretende-se proporcionar um espaço de debate e reflexão que permita elaborar
conclusões sobre somas desse tipo.
Diferentes instâncias de trabalho estão propostas: individual, em duplas, em pequenos grupos e
coletiva. Ao longo da sequência será necessário considerar a potência de diferentes formas de organização da classe.
Na cabeça ou na calculadora?
1. Observe a lista de cálculos abaixo e anote ao lado se você resolveria mentalmente ou usando a calculadora. Mas atenção: você deve selecionar cinco deles para resolver mentalmente e cinco que você
faria usando a calculadora.
Em seguida, em dupla, compartilhe e discuta com o seu colega as suas escolhas.
a) 2.000 + 5.300 =
b) 2.325 + 2.325 =
c) 25.000 + 2.850 =
d) 30.000 + 9.467 =
e) 22.345 + 77.211 =
f ) 5.000 + 5.400 =
g) 2.400 + 7.020 =
h) 1.987 + 325 =
i) 33.000 + 1.987 =
j) 44.300 + 2.776 =
2. Discussão coletiva – vamos compartilhar com toda a classe e encontrar:
a)Quais são os cálculos que todos (ou a maioria dos alunos) fariam mentalmente? O que eles têm em
comum? Por que seria melhor resolver essas contas mentalmente?
20
Cálculo Mental
b) Vamos selecionar alguns cálculos que todos (ou a maioria) resolveriam usando a calculadora.
O que eles têm em comum? Por que seria melhor resolver essas contas com a calculadora?
Cálculos fáceis ou difíceis
3. Alguns alunos estavam resolvendo as contas do quadro a seguir por cálculo mental e acharam que
algumas contas são fáceis e outras, difíceis.
3.000 + 8.000 =
40.006 + 2.773 =
23.538 + 2.024 =
2.000 + 2.005 =
5.987 + 4.000 =
123.000 + 20.000 =
46.000 + 2.859 =
1.900 + 267 =
2.846 + 1.145 =
30.000 + 8.678 =
77.600 + 1.187 =
22.345 + 77.211 =
3.500 + 4.520 =
a) Qual é a sua opinião? Organize as contas no quadro abaixo, separando as que você acha fáceis das
que acha difíceis para resolver mentalmente.
Cálculos fáceis
Cálculos difíceis
21
Formação de Professores
b)Como você pensou para decidir?
4. Dois alunos estavam conversando sobre esses cálculos fáceis ou difíceis.
Rodrigo: “É difícil fazer a conta 30.000 + 9.467 por que é um número muito grande”.
Emerson: “E daí que o número é grande, eu não acho difícil todas contas com números grandes.
Essa conta dá pra saber o resultado só de olhar!”
Quem tem razão? Por quê?
Escrevam quatro somas que vocês acreditam que podem fazer mais rápido mentalmente do que
com a calculadora:
22
Cálculo Mental
Orientações
As consignas (enunciados) nas quais se pede para que os alunos expliquem como pensaram são mais
complexas, porque os alunos terão o desafio de explicitar e sistematizar os conhecimentos em torno do
valor posicional. A ideia é que a cada atividade o professor os ajude a elaborar conclusões sobre os
números envolvidos nas somas. Esses raciocínios poderão ser utilizados e revisados em outras situações. Dessa maneira, com a ajuda do professor, os alunos estariam em condições de ir produzindo
explicações cada vez mais ajustadas. Se os alunos consideram os termos “unidade”, “dezena”, “centena”,
o professor poderá registrar as conclusões com esse vocabulário ou apresentar tal vocabulário a partir
de algumas dessas propostas.
Aplicação Prática
Duração: 4h
A proposta aqui é que cada professor desenvolva com seus alunos a sequência de atividades sobre cálculo mental planejada no Encontro Presencial. Uma das aulas da sequência será observada pelos professores do grupo na sala de aula de um dos professores. Para isso, sigam os passos a seguir:
Releiam o planejamento e procurem esclarecer eventuais dúvidas com seus colegas de grupo.
n
Retomem os conteúdos que serão trabalhados na atividade e também os encaminhamentos
que planejaram.
n
Se planejaram usar como suporte para apresentação da atividade algum material, como cartaz ou folha xerografada, é preciso já ter em mãos esse material no momento da aplicação da atividade.
n
Vocês planejaram uma sequência de atividades. Combine com o seu grupo a data e horário em que uma
das aulas dessa sequência acontecerá. Definam também quem serão os observadores e quem fará aula
com os seus alunos. É necessário que os professores observadores também realizem o que planejaram
com seu grupo, pois para esta Aplicação Prática não será considerada apenas a aula assistida, mas o trabalho realizado com toda a sequência.
n
Para pensar
A aprendizagem dos conteúdos matemáticos envolvendo o cálculo mental é um trabalho
complexo que demanda vários anos da escolaridade, o que justifica um trabalho sistemático
e frequente com esses conteúdos.
23
Formação de Professores
Registrando a prática
O registro da Aplicação Prática também deverá ser produzido em grupo (professor observado juntamente com os professores observadores). Para isso, utilizem o modelo a seguir:
Registro da atividade
Município:
Escola:
Professor que realizou a aula planejada:
Professores que observaram a aula:
Ano:
Quantidade de alunos presentes no dia da atividade:
Tempo utilizado para a realização da atividade:
1ª PARTE
1- Qual foi a atividade proposta na aula observada pelo grupo?
2- Da aula que escolheram para assistir registrem:
a) Duas falas de alunos que explicitam a aprendizagem do conteúdo abordado.
b) Uma fala do professor que ajudou os alunos a pensarem sobre esse conteúdo.
Contextualizem as falas, ou seja, expliquem/contem em que situação aconteceram.
24
Cálculo Mental
2ª PARTE
1- Compartilhe com seu grupo:
a) As atividades ocorreram conforme o previsto no planejamento?
b) Consideram que a sequência de atividades trouxe algum resultado favorável no sentido de os alunos avançarem
em estratégias de cálculo mental?
2- Depois de compartilhar com seu grupo como foi o desenvolvimento dessa sequência em cada sala, pensem e registrem:
a) Qual é a diferença entre trabalhar com um conteúdo matemático por meio de atividades isoladas e com uma
sequência de atividades?
b) Justifiquem e deem exemplos ocorridos na sala de aula.
25
Formação de Professores
Grupo de Estudos
Duração: 4h
Momento 1- Aprofundando a análise do quadro de distribuição de conteúdos
das páginas 6 e 7
1.Nesse momento, vamos voltar a olhar para o quadro de conteúdos relacionados ao trabalho com
cálculo mental no Ensino Fundamental I.
a) Em grupo, discutam os significados dos conteúdos apresentados no quadro relativos aos 4º e 5º
anos. Completem a tabela a seguir, registrando um exemplo para cada um dos conteúdos, seguindo os primeiros exemplos:
4º ano
Conteúdo
Exemplo
1.482 está entre 1.480 e 1.490
n
(enquadramento nas dezenas)
Enquadramento de um número na casa das
dezenas, centenas, unidades de mil etc.
1.482 está entre 1. 400 e 1.500
n
(enquadramento nas centenas)
1.482 está entre 1.000 e 2.000
n
(enquadramento nas unidades de milhar)
Contar de 100 em 100 a partir de qualquer número
835, 935, 1.035, 1.135...
n
46 está no meio (mesma distância entre) de 42 e 50
n
Número equidistante entre outros dois (no meio de...)
160 está no meio de 130 e 190
n
1.650 está no meio de 1.600 e 1.700
n
Distância entre dois números quaisquer
Metades e dobros de números de 3 ou 4 algarismos
Expressões equivalentes (utilizando as 4 operações)
26
Cálculo Mental
Diferentes maneiras de encontrar um produto
Cálculo da quantidade de algarismos
de um quociente
Estimativa de resultados de divisão
de números naturais
Comparação de frações com números inteiros
(maior, menor ou igual a 1 ou a 2 etc.)
Múltiplos dos primeiros números: 2, 3, 4, 5...
Divisores de alguns números: 10, 12, 16, 15, 20...
Cálculos com moedas e cédulas em uso
Aproximação e arredondamento de resultados
das quatro operações
27
Formação de Professores
5º ano
Conteúdo
Somas na forma 2.000 + 5.300 =
Exemplo
5.000 + 2.850 = 7.850
Subtrações na forma 807.000 – 3.000 =
Frações mais comuns de números inteiros:
1/4 de ...; 1/2 de...; 1 + 1/2 de...; 3/4 de...; etc.
1/4 de 100 = 25; 1/2 de 200 = 100
Dobros e metades de frações
Somas de frações mais usuais
Subtrações de decimais da forma: 1 – 0,25 =
Enquadramento de decimais entre dois números
inteiros 31< 31, 24 < 32
Estimativa e aproximação de resultados de
medições de comprimento (ou distância),
capacidade, peso e tempo
Estimativa de medida dos ângulos mais usuais:
45o (metade de 90o); 30o (terça parte de 90o);
135o (90º + 45º); 60o (dobro de 30o); etc.
Momento 2 - Registro coletivo
1.Para fazer esse registro coletivo, primeiramente, retomem as anotações realizadas ao longo do estudo deste caderno e releiam o texto “O ensino do cálculo mental na escola” (página 3).
2. Façam a leitura da primeira e da segunda colunas, nas quais encontram-se uma questão e uma pequena citação relacionada com a questão apresentada. Depois disso, preencham a 3ª coluna, registrando o que o grupo pensa sobre a questão apresentada .
28
Cálculo Mental
Questão para
pensar:
Uma citação referente
à questão proposta:
Como se pode usar
lápis e papel para
fazer cálculo mental?
“O cálculo mental é um cálculo
reflexivo que contempla a
possibilidade de realizar
cálculos tanto na forma oral
como escrita”3
Por que os cálculos
“A memorização de fatos
numéricos, se bem que não
constitua jamais a via de
ingresso a uma operação,
aparece como produto
necessário, a determinada
altura da aprendizagem (...)”4
memorizados são
importantes?
Registro da opinião do grupo:
3 ESCOBAR, M. Sancha, I. In CASTRO, Adriana, et al. Enseñar matemática em la escuela primaria. Buenos Aires: Tinta Fresca, 2011. p. 94.
4 PARRA, Cecilia e SAIZ, Irma (org). Didática da matemática – Reflexões psicopedagógicas. Porto Alegre: Artmed, 1996. p.200.
5 Idem. p. 210.
6Idem.
29
Formação de Professores
Questão para
pensar:
Uma citação referente
à questão proposta:
Diversidade de
estratégias: por que
é importante ter
lugar para elas nas
aulas de matemática?
“É preciso aceitar, e inclusive
favorecer, em sala de aula, a
pluralidade de procedimentos
de resolução porque isso não
só estimula os alunos a elaborar
sua própria resolução, como
também pode ser fonte de
progresso, de aprendizagem
a partir das confrontações que
se podem organizar entre eles”5
O que o professor
pode fazer para que
os alunos avancem
nas aprendizagens
dos conteúdos
relacionados ao
cálculo mental?
“Outra ferramenta fundamental
de que dispõe o professor é
organizar os intercâmbios e
as discussões entre os alunos,
assim como garantir a difusão
das ‘descobertas’ dos alunos
entre todos eles.”6
Registro da opinião do grupo:
Sugestão da leitura para aprofundar o estudo:
PARRA, Cecilia e SAIZ, Irma (org). Didática da matemática – Reflexões psicopedagógicas.
Porto Alegre: Artmed, 1996.
n
30
Cálculo Mental
Anotações
31
Formação de Professores
32