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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁS
Unidade Universitária de Ciências Exatas e Tecnológicas
Curso de Licenciatura em Matemática
Números Fracionários: Uma Discussão sobre a História, o Ensino, os
Significados e as Operações
Aparecido José da Silva
ANÁPOLIS
2012
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APARECIDO JOSÉ DA SILVA
Números Fracionários: Uma Discussão sobre a História, o Ensino, os
Significados e as Operações
Trabalho de Curso apresentado a Coordenação
Adjunta de TC, como parte dos requisitos para
obtenção do título de Graduado no Curso de
Licenciatura em Matemática da Universidade
Estadual de Goiás sob a orientação da
Professora Msc. Suely Miranda Cavalcante
Bastos.
ANÁPOLIS
2012
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AGRADECIMENTOS
Agradeço em primeiro lugar a Deus, por ter me conduzido durante todo esse
processo me proporcionando a oportunidade deste momento e a realização de mais um
objetivo.
À minha orientadora Suely Miranda Cavalcante Bastos, pela sua paciência,
dedicação, apoio e colaboração durante todas as etapas desse processo.
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“A Matemática apresenta invenções tão sutis
que poderão servir não só para satisfazer os
curiosos como, também para auxiliar as artes
e poupar trabalho aos homens”.
(René Descartes)
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RESUMO
A aprendizagem dos números racionais e as operações entre eles é um dos principais objetivos do ensino de
Matemática no Ensino Fundamental pelo fato de que estão presentes em muitas situações do dia a dia. Porem,
pesquisas atestam o baixo rendimento dos alunos no conteúdo de frações sendo este considerado um dos temas
mais difíceis no Ensino Fundamental. Diante desse quadro, o presente trabalho objetiva, a partir de uma pesquisa
bibliográfica, dar subsídios para o ensino-aprendizagem de fração. Apresentando conceitos que normalmente não
são encontrados nos livros didáticos. Aborda o ensino dos números racionais na sua forma fracionária, voltado
para o Ensino Fundamental: apresenta um pouco da história das frações, considerações sobre o seu ensino e,
principalmente seus significados alem de justificativas para as regras utilizadas nas operações procurando refletir
sobre as dificuldades dos alunos em aprender esse conteúdo. Enfatiza os significados associados às frações e
apresenta as quatro operações fundamentais, tentando esclarecer dúvidas que, na maioria dos livros didáticos,
estão nas entrelinhas e muitos professores deixam de esclarecer pelo fato de não compreender. Por este motivo
deixam de ensinar ou ensinam de forma mecânica (utilizando o método siga o modelo). É um texto que poderá
servir de consulta para professores e alunos que queiram complementar seus conhecimentos acerca deste
conteúdo.
Palavras-chave: Números Racionais; Frações; Ensino das frações; Significados das frações.
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SUMÁRIO
INTRODUÇÃO........................................................................................................................8
1. UM POUCO DA HISTÓRIA DAS FRAÇÕES ............................................................... 10
2. FRAÇÕES NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA............................................................... 13
2.1. As propostas curriculares e o papel do professor no ensino das frações ....................... 15
3. OS SIGNIFICADOS DAS FRAÇÕES ............................................................................. 18
3.1. Frações como parte-todo ............................................................................................... 20
3.2. Frações como medida... ................................................................................................. 23
3.3. Fração como quociente .................................................................................................. 24
3.4. Fração como operador multiplicativo ............................................................................ 26
3.5. Frações como números .................................................................................................. 26
3.6. Razão, probabilidade, porcentagem e a relação entre os significados de fração ........... 28
4. EQUIVALÊNCIA DE FRAÇÕES...................................................................................31
5. AS OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS ENTRE FRAÇÕES...........................................36
5.1. Adição e subtração......................................................................................................... 37
5.2. Multiplicação ................................................................................................................. 44
5.3. Divisão ........................................................................................................................... 47
CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................................. 52
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................. 55
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INTRODUÇÃO
A aprendizagem dos números naturais e racionais bem como as operações entre
eles é um dos principais objetivos do ensino de Matemática no Ensino Fundamental pelo fato
de que estão presentes em muitas situações do nosso dia a dia. Esse uso social frequente
garantiu maior destaque desses conteúdos nos livros didáticos, mas não garante a sua
compreensão e, consequentemente, uma aplicação eficiente.
Segundo Mandarino e Belfort (2006) muitos professores, autores e pesquisadores
da área desprezam o ensino da representação fracionária dos números racionais devido ao uso
crescente das calculadoras e computadores, valorizando mais a sua forma decimal. Porem, se
os significados das frações não forem bem compreendidos a própria construção da escrita
decimal dos números racionais ficará comprometida e, além disso, as frações são essenciais
nos estágios posteriores da escolaridade.
Pesquisas apontam que o interesse dos alunos pela área de exatas é cada vez
menor, o que nos leva a refletir se não seria pelo tratamento que tem sido dado aos conteúdos
de Matemática e suas aplicações desde as series iniciais do Ensino Fundamental até o Ensino
Médio.
A preocupação sobre como está sendo a formação de nossos alunos em relação à
Matemática que de certa forma se tornou o “bicho papão” do ensino juntamente com os
números fracionários e sobre o que o professor precisa saber para ensinar motivou o presente
trabalho.
O texto apresentado aqui, objetiva dar subsídios para o ensino-aprendizagem de
fração apresentando conceitos que normalmente não são encontrados nos livros didáticos.
Aborda o ensino dos números racionais na sua forma fracionária, voltado para o Ensino
Fundamental: apresenta um pouco da história das frações, considerações sobre o seu ensino e,
principalmente seus significados além de justificativas para as regras utilizadas nas operações.
O trabalho foi desenvolvido a partir de uma revisão bibliográfica de autores como
Santos (2005) e Damico (2007), Bertoni, Mandarino e Belfort (2005), dentre outros, e ainda
os Parâmetros Curriculares Nacionais.
Está dividido em capítulos e o primeiro deles relata um pouco da história das
frações como uma forma de atribuir significado aos conceitos matemáticos e contextualizar
alunos e professores no processo de evolução histórica desses conceitos.
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O segundo capítulo discorre sobre as inquietações dos pesquisadores em
Educação Matemática e as tendências sobre o ensino das frações. Trata também, brevemente,
das propostas curriculares e do papel do professor no ensino deste conteúdo.
O capítulo 3, talvez seja o mais importante pelo fato de que poucas são as obras
que tratam do assunto: os significados da fração. São apresentados e discutidos cinco
significados: comparação (ou relação) entre Parte-todo, Medida, Quociente, Operador
Multiplicativo e Fração como um Número. Nesse estudo os conceitos de razão, probabilidade
e porcentagem não são considerados como sendo outros significados de fração, pois
acreditamos que estas interpretações emergem de situações em que estão implícitos os
significados medida, parte-todo e operador multiplicativo.
A Equivalência de Frações, bem como as quatro operações fundamentais – adição,
subtração, multiplicação e divisão de frações – são apresentadas no capítulo quatro. Aqui são
discutidos os conceitos e apresentadas as construções das regras utilizando ilustrações,
situações-problema ou propriedades para justificá-las.
Este texto busca refletir e dar sugestões sobre os números fracionários no ensino
fundamental, as dificuldades dos alunos com as frações e assim tentar desmistificar seu
ensino-aprendizagem, provocar uma inquietação sobre o assunto, promover discussões e
assim contribuir com a formação dos futuros e atuais professores.
Sem ter a pretensão de esgotar o assunto, acreditamos que este trabalho poderá
servir de consulta para professores e alunos que queiram complementar seus conhecimentos
acerca deste conteúdo.
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1. UM POUCO DA HISTÓRIA DAS FRAÇÕES
Desde os primórdios da humanidade os números estão presentes nas mais
diversificadas áreas. Foram aprimorados com o desenvolvimento da linguagem, a necessidade
do cotidiano e o desenvolvimento do comércio. Vários pesquisadores como Boyer (1974) e
Caraça (1998), entre outros, afirmam que o surgimento da matemática deve-se aos problemas
oriundos da vida diária, salvo sua evolução e formalismo. A matemática surgiu da percepção
sensível do real, isto é, a tentativa de construir modelos matemáticos para resolver problemas
reais.
Segundo Santos:
As primeiras informações a respeito da idéia de números são do período paleolítico.
No entanto, poucos progressos fizeram neste campo até se dar a transição ao período
neolítico, durante o qual já existia uma atividade comercial importante entre diversas
povoações (2005, p. 60).
A noção de número surge para resolver problemas do dia a dia, tais como a
necessidade do homem de registrar suas produções e estoques: fazer contagem de grãos,
registrarem suas produções e estoques, organizar suas transações comerciais, contar seus
rebanhos, seus exércitos e dividir o tempo. Estes dilemas estão presentes desde a descoberta
da escrita, segundo Garbi (1997) e, sem sombra de dúvida, com o desenvolvimento da escrita
a matemática teve um grande impulso.
Os números racionais surgiram para solucionar problemas como o de divisões de
terras que margeavam os rios, e pela cobrança de impostos cobrados pelo tamanho das
propriedades. Os números inteiros já conhecidos não eram suficientes para dar a real
representação de grandezas, como comprimento, e área, por exemplo. Daí a necessidade de
subdividir esse número em partes iguais. Segundo Carraher:
Era preciso criar um novo instrumento numérico que pudesse exprimir sempre a
medida de grandeza por um número. Para superar a impossibilidade dos números
inteiros ante a medida, cria-se um novo instrumento numérico, [...] (2008, p. 82).
Desde o século XIX, arqueólogos vêm trabalhando sistematicamente na antiga
região conhecida como Mesopotâmia, onde foram encontradas muitas placas de argila. Dentre
elas aproximadamente 400 são de escritos matemáticos, contendo listas de problemas
matemáticos. A descoberta de importantes documentos egípcios mostrou que por meio de
problemas, esses povos já realizavam cálculos utilizando os números racionais.
O primeiro documento descoberto é chamado de Papiro de Rhind (descoberto por
volta de 1858 e escrito por volta de 1650 a.C. por Ahmes). Este documento reúne 85
11
problemas, muitos deles envolvendo o calculo de números racionais. Na primeira parte do
Papiro há uma tabela contendo as frações ,
,
, representadas como uma soma de
frações unitárias. Apresentamos abaixo alguns exemplos:
2 1 1
= +
5 3 15
2
1
1
= +
11
6 66
2
1
1
1
1
=
+
+
+
29 24 58 174 232
2
1
1
1
1
=
+
+
+
101 101 202 203 606
Segundo Ifrah (1989), na antiguidade, as frações não eram conhecidas como
números. O autor ainda afirma que os egípcios só conheciam as frações denominadas
unitárias (as de numerador igual a um). Segue abaixo a notação que eles utilizavam para
representar as frações:
Os babilônios, com a numeração de base 60, foram os primeiros a atribuir às
frações uma notação racional, exprimindo-as mais ou menos como se expressam graus,
minutos e segundos. Mas a expressão (33; 45) podia expressar 33h 45min ou 33min 45s. Essa
notação era “flutuante” e só o contexto podia precisar. Cita Ifrah (1989), que os babilônios
representavam as frações conforme símbolos abaixo:
Mais tarde os gregos tentaram melhorar o sistema de numeração fracionário dos
babilônios, mas a numeração conhecida por eles na época não era suficiente para simbolizar
corretamente as frações. Eles escreviam da seguinte maneira:
12
A notação moderna de frações deve-se aos hindus. Devido à numeração
posicional decimal, estes povos escreviam as frações mais ou menos como conhecemos
somente separadas por uma barra inclinada, por exemplo, 51/84. Mas foram os árabes que,
após adotarem essa representação para as frações trocaram a barra inclinada por uma barra
horizontal, forma que conhecemos hoje.
As frações não foram bem aceitas por todos os povos da região, devido a sua
complexidade, entretanto foi adotada pelos árabes em suas negociações. Graças às viagens
dos comerciantes árabes os números racionais foram pouco a pouco sendo utilizados por
outros povos.
Os europeus, ao contrário dos árabes, ficaram tão agarrados aos seus sistemas
arcaicos e reticentes diante da novidade que levaram séculos para adotar os novos métodos de
calcular com números racionais.
Somente a partir do século XI graças as atividade dos tradutores e dos
compiladores de obras árabes, gregas e hindus, foi que floresceu os novos métodos de calcular
utilizando os números racionais na Espanha. O contato cultural cada vez mais frequente entre
os dois mundos deu início a instrução dos europeus na matemática, astronomia, ciências
naturais e filosofia.
Entre os séculos XII e XIII chegaram à Europa as obras de Euclides, Ptolomeu,
Aristóteles e muitos outros. Então foi a vez de traduzir para o latim tudo o que chegava às
mãos, o que provocou uma grande e importante troca de conhecimento entre os povos. Os
europeus entusiasmados pelos novos métodos de cálculos, muito mais prático que o método
tradicional, os comunicava aos seus discípulos que eram cada vez mais numerosos.
Neste breve relato histórico observa-se que os grandes avanços das frações vão da
pré-história até a Idade Media. Após esse período, houve uma preocupação maior com o
aperfeiçoamento da escrita e a utilização para os decimais.
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2. FRAÇÕES NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
No atual contexto escolar, o ensino da matemática tem sido foco de estudos e
muitas discussões a respeito de como está sendo transmitido o saber matemático, além de
como está sendo acolhido esse ensinamento por parte dos alunos.
A maioria desses estudos a respeito do ensino de matemática está voltada para o
ensino fundamental, e nos mostra a preocupação de muitos educadores com o processo de
ensino e aprendizagem dessa disciplina. Dentre estas preocupações encontra-se o ensino dos
números racionais: muitos alunos têm dificuldade para compreender e muitos professores
sentem dificuldade para ensinar. Essa dificuldade de aprendizagem dos números racionais é
apontada nas avaliações nacionais, como as do SAEB – (Sistema de Avaliação da Educação
Básica), desenvolvida pelo INEP/MEC (2001, 2003) e reafirmado nas ultimas avaliações
como as de (2010, 2011), que enfoca principalmente na 3º, 4º, 5º e 6º (serie, ano), do ensino
fundamental, a dificuldade em compreender os números racionais principalmente envolvendo
problemas.
Existe uma preocupação por parte dos educadores com o ensino dos números
racionais principalmente em relação às quatro operações envolvendo frações e na resolução
de problemas. Entende-se que os alunos precisam terminar o quinto ano do ensino
fundamental dominando esses conteúdos. Vários autores atestam a diversidade e a
necessidade de se trabalharem com os números racionais segundo Mandarino e Belfort:
Os usos e significados dos números racionais são diversos e importantes para
lidarmos, cotidianamente, com informações necessárias ao exercício da cidadania.
Quando medimos ou descrevemos medidas, por exemplo, é comum recorrermos a
frações (2010, p. 107).
Mas existe um consenso entre vários pesquisadores, de que a construção do
conceito dos números racionais, em especial os de frações não ocorre de maneira natural.
Necessita de uma abordagem que leve a uma construção significativa desse importante
conceito matemático. Segundo Santos:
Para tanto, as frações quando aplicadas a problemas reais e analisadas do ponto de
vista pedagógico assumem várias “interpretações”. Nesse sentido, encontramos
diversos educadores matemáticos cujos estudos caminham nessa direção (2005, p.
73).
No entanto percebe-se pouca atenção por parte dos educadores no ensino das
frações e isso não ocorre somente na sala de aula. Em comparação com o volume das
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pesquisas realizadas sobre a construção do número natural pela criança, o número de
pesquisas sobre a construção do número fracionário é bem reduzido.
A maioria das aulas sobre os números racionais se reduz a aulas expositivas,
seguidas de exercícios repetitivos dos tipos “siga o modelo” e o professor fica restrito
somente ao livro didático, fazendo com que o aluno não tenha uma real compreensão dos
números fracionários.
Em todos os níveis de ensino, é comum que professores e textos resolvam alguns
“exercícios–modelo” mostrando como se faz, pedindo em seguida que o estudante
resolva dezenas de problemas semelhantes. Por “falta de tempo” preferem o “é
assim que se faz” ao invés de deixar que os estudantes pensem por si próprios,
experimentem as suas idéias, dêem ouvidos à sua intuição. Melhor seria se o
professor fosse mais um orientador, um incentivador, um burilador das idéias e
iniciativas dos estudantes (DANTE 1987, p.32-33).
No ensino da matemática ainda é comum a utilização de métodos de memorização
e repetição. De acordo com Dante a justificativa para utilização de tais métodos está no
argumento de que “a repetição leva à fixação” (1987, p. 33). Apesar de que no ensino da
matemática o aluno tem que praticar, não devemos levá-lo apenas para o lado da repetição,
pois praticar é treinar o raciocínio lógico e desenvolver a prática de calcular e não a resolução
de inúmeros exercícios semelhantes.
Os estudos feitos pelo PROEM (Programa de Estudos e Pesquisas no Ensino
Médio), sob orientação de Beatriz D’Ambrosio (1989), apontaram algumas dificuldades dos
alunos em trabalhar com o conceito de frações. Estas dificuldades provavelmente são uma
consequência da confusão que os alunos fazem com os significados de fração. Outro
problema que a pesquisa aponta é que a formação dos professores é cada vez mais
inadequada, formando assim maus profissionais, os quais passam a sua dificuldade aos seus
alunos deixando lacunas enormes no ensino fundamental que os alunos levam para toda sua
vida de estudante.
Assim, é importante refletir sobre o ensino dos números racionais, pois além de
ser essencial para o campo da matemática, também tem seu uso social, como por exemplo, em
uma receita simples de culinária ou em medições de áreas na engenharia ou ainda na
manipulação de fórmulas de remédios pelos farmacêuticos que, na maioria das vezes são
fracionárias, alem de muitos outros segmentos. Os alunos deverão ser conduzidos a enxergar
esse lado prático das frações e aplicar esse conceito no seu dia a dia. Segundo Mandarino e
Belfort:
Em estágios posteriores da escolaridade, as frações são essenciais, como nos
cálculos algébricos que surgem inevitavelmente em problemas de geometria ou de
grandezas e medidas. Ao chegar nesses estágios, é importante que o aluno já esteja
bem familiarizado com as frações. Assim, pode se concentrar no próprio problema e
15
não fica impossibilitado de resolvê-lo corretamente devido a dificuldades
operatórias que deveriam ter sido superadas muito antes (2010, p. 107).
Enfatizamos que se os números racionais na forma fracionária não forem bem
introduzidos nas séries iniciais poderá acarretar problemas futuros ao aluno em toda sua vida
estudantil, visto que esses números têm grande importância na matemática, relacionando-se a
razões, raciocínio proporcional, ao cálculo algébrico, a probabilidades etc.
2.1. As propostas curriculares e o papel do professor no ensino das frações
Vários autores atribuem as dificuldades na aprendizagem dos números
fracionários apontadas na literatura e nas avaliações nacionais à complexidade do conceito de
fração associada aos vários significados do número racional. Estas dificuldades são
percebidas tanto do ponto de vista do seu ensino como em relação à sua aprendizagem.
Bertoni (2008) aponta que propostas curriculares estaduais muito extensas sobre
o tema, que se refletem nos conteúdos de muitos livros didáticos, também contribuem para as
dificuldades dos alunos em relação às frações. O tempo destinado ao ensino deste conteúdo
traduz uma concepção de ensino fundamental que visa à formação do aluno-calculadora – não
importa o que ele entenda ou não, o importante é que consiga realizar qualquer operação com
os números naturais, fracionários, decimais. Não importa mesmo que ele saiba como usar
essas operações ou como combiná-las na resolução de problemas.
As representações fracionárias e decimais dos números racionais são conteúdos
desenvolvidos nos dois últimos anos da primeira fase do ensino fundamental. Porém, o que se
constata é que os alunos chegam à fase seguinte sem compreender os diferentes significados,
associados a esse tipo de número e tampouco os procedimentos de cálculo envolvendo esses
números. Essas dificuldades segundo os PCN possivelmente devem-se ao fato de que a
aprendizagem dos números racionais supõe rupturas com ideias construídas para os números
naturais, tais como:
- Um mesmo número racional pode ser escrito de diversas maneiras, por exemplo,
0,5, 1/2, 2/4, 3/6,...
- A comparação entre frações visto que estão acostumados com 3>2, terão que
compreender uma desigualdade que para eles parece contraditória (1/3<1/2);
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- O fato de o tamanho da escrita numérica, no caso de números naturais, ser um
bom indicador de ordem de grandeza (9658 > 96) o que não ocorre com números decimais
(2,8 > 2,765).
- Ao multiplicar um número natural por outro natural espera-se encontrar um
número maior que ambos, o que não ocorre com os racionais (Ex: 1/2 x 10).
Os aspectos apontados acima apontam para uma necessidade de se elaborar
propostas de ensino que de fato possibilitem ao aluno a compreensão plena do conceito de
fração. O que se observa em relação ao ensino é uma forte tendência para introduzir esse
conceito apenas a partir da relação parte-todo seguido de uma ênfase exagerada em
procedimentos e algoritmos.
Em concordância com Santos (2005), acreditamos o conceito de fração é uma das
mais complexas e importantes ideias da matemática e que seu ensino envolve três aspectos:
1º O fato das frações surgirem frequentemente em situações relacionadas às
medidas e quantidades evidencia a necessidade da extensão dos conjuntos naturais.
2º O trabalho com frações surge como uma oportunidade privilegiada para
alavancar e expandir estruturas mentais necessárias ao desenvolvimento intelectual.
3º São as frações que fundamentarão ideias matemáticas mais complexas, como
por exemplo, as operações algébricas a serem desenvolvidas ao longo do ensino de
Matemática.
É importante ressaltar que, o que o professor precisa saber para ensinar é muito
mais amplo do que aquele que o seu aluno deverá aprender tanto ao nível de profundidade
quanto ao tipo de saber. Portanto, o professor precisa conhecer muito bem o conteúdo que irá
ensinar, seus conceitos e procedimentos, para que possa ser o mediador de um ensino que leve
o aluno a construir seu próprio conhecimento a partir de relações próprias como sugerem os
PCN (1998). Isto significa que os conhecimentos do professor deverão ir alem dos conteúdos
definidos para os níveis nos quais atuará, incluindo conhecimentos a ele articulados que
compõe o campo de aplicação e aprofundamento.
Nos anos finais do Ensino Fundamental o ensino das frações e números decimais
deve visar o desenvolvimento do pensamento numérico por meio de situações de
aprendizagem que levem o aluno a ampliar e consolidar esses significados a partir dos
diferentes usos em contextos sociais e matemáticos e reconhecer que existem números que
não são racionais. Além disso, devem resolver situações-problema envolvendo números
racionais, naturais e irracionais.
17
Com relação aos recursos de que o professor pode lançar mão para ensinar frações
e números decimais, devemos buscar sempre novidades e outros materiais (dourado,
cuisenaire, calculadora, jogos...) além do livro didático para ensinar numa sala de aula,
retirando o dogma de simplesmente jogar inúmeros e repetitivos exercícios aos alunos.
A calculadora, apesar das controvérsias que tem provocado, tem sido
enfaticamente recomendada pela maioria dos pesquisadores e mesmo pelos professores do
ensino fundamental. Dentre as várias razões para seu uso, ressalta-se a possibilidade de
explorar problemas com números frequentes nas situações cotidianas e que demandam
cálculos mais complexos. PCN (1988).
Reconhecer os números racionais em diferentes contextos cotidianos e históricos e
explorar situações-problema que indicam os vários significados da fração alem de localizá-las
na reta numérica reconhecendo que estes podem ser expressos também na forma decimal,
estabelecendo relações entre essas representações são conceitos e procedimentos que deverão
estar dominados pelos alunos ao final do ensino fundamental. Somam-se a estes a análise,
interpretação, formulação e resolução de situações-problema, compreendendo diferentes
significados das operações, envolvendo números naturais, inteiros e racionais, reconhecendo
que diferentes situações-problema podem ser resolvidas por uma única operação e que
eventualmente diferentes operações podem resolver um mesmo problema.
Diante do exposto acima cabe ao professor escolher e adequar as situações que
podem dar significado ao conhecimento das frações para minimizar as dificuldades
encontradas pelos alunos e tornar o seu ensino mais eficiente: abordar o conceito em
diferentes contextos e diversas situações, valorizar mais os aspectos conceituais do que os
operatórios.
18
3. OS SIGNIFICADOS DAS FRAÇÕES
No ensino-aprendizagem das frações parece ficar meio oculta a intenção de, além
de designá-las e representá-las, mostrar que são números com os quais se poderá operar,
comparar com os números naturais e entre si e colocar na reta numérica. Essa intenção não
fica bem consubstanciada, na medida em que as operações com os símbolos numéricos
fracionários surgem de repente, na forma de regras. Os alunos não compreendem os
significados iniciais desses números e as relações entre eles como ocorre quando começam a
perceber o sentido dos números naturais. Assim, não constroem o conceito de número
fracionário. Basta entrar em uma classe de 5º ou 6º ano e formular perguntas como: quanto é
um menos um quarto? Quanto dá metade de um meio? Em um litro e meio, quantos quartos
de litros cabem?
Se o objetivo é formar o conceito de número fracionário nos alunos é necessário
evidenciar a característica quantificadora essencial dos mesmos. De acordo com os estudos de
Bertoni (2009), o conceito claramente formado de que estes números quantificam conduz a
várias percepções:
• de que sem os fracionários só se poderia quantificar coleções constituídas apenas
de objetos inteiros.
• de que é possível comparar, em termos das quantidades que representam, esses
números entre si e com os números naturais;
• do reconhecimento de que esses números entremeiam-se entre os números
naturais;
• do posicionamento dos mesmos na reta numérica;
• do significado das operações entre eles.
Fração é uma forma de representar números não-inteiros, pelo uso de números
inteiros. É expresso pela forma , onde a e b são inteiros e b diferente de zero. Nessa
representação, a primeira parcela da fração, isto é, o número inteiro que ocupa a posição de a
(em cima da barra) é chamado de numerador e a outra parcela, o número que ocupa a
posição de b (embaixo da barra) é o denominador. Denominador – o que denomina, dá nome
à fração.
Ao multiplicarmos as duas parcelas da fração (numerador e denominador) por um
número diferente de zero, obtemos outra fração dita equivalente. As frações equivalentes,
como, por exemplo,
, , ,..., representam o mesmo número na reta real, podendo-se
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substituir uma pela outra quando conveniente. O item seguinte trata mais detalhadamente das
frações equivalentes.
Algumas frações recebem um nome especial por sua singularidade.
- fração irredutível: aquela que não pode ser reduzida, isto é, que não possua uma
equivalente de numerador e denominador menores;
- fração imprópria: fração cujo numerador é maior que o denominador;
- fração aparente: assim chamada, pois representa, na verdade, um número inteiro.
Acontece quando o numerador é um múltiplo do denominador;
- frações inversas: frações cujo denominador e numerador estão trocados. Ex:
e
.
Pode-se falar em 2,5 pizzas numa mesa, mas não em 5,67 crianças numa sala.
Pode-se falar em 1,223 litros de água num balde, mas não de 53,73 árvores num bosque. Por
que algumas quantidades se mostram discretas e outras contínuas?
Quantidade ou grandeza contínua - as que podem ser divididas infinitamente sem
perder as suas características como, por exemplo, uma pizza pode ser dividida em inúmeras
partes iguais sem deixar de ser pizza,
Quantidade ou grandeza discreta - um conjunto de objetos idênticos,
representando um todo e que sua divisão produzirá subconjuntos com o mesmo número de
unidade. Exemplo: em um bosque com mais de 250 árvores cada uma delas representa a
fração
das árvores do bosque.
Segundo Santos (2005) e Damico (2007) existem diferentes classificações dos
significados das frações sem que a importância dessas classificações para o ensino tenha sido
esclarecida. Uma compreensão completa sobre os números racionais, em especial sobre as
frações, requer uma compreensão de cada um desses significados e de como eles se
relacionam. Damico (2007) evidencia que para lidar com os vários significados são
necessárias diferentes estruturas cognitivas e que muitos estudos identificaram diversas fases
de desenvolvimento no pensamento das crianças ao lidarem com os números racionais,
constatando uma gradual diferenciação e progressiva integração dos seus significados.
Santos (2005) e Damico (2007) identificam cinco significados possíveis que
devem ser considerados no ensino-aprendizagem das frações: comparação (ou relação) entre
Parte-todo, Medida, Quociente, Operador Multiplicativo e Fração como um Número.
20
Nesse estudo os conceitos de razão, probabilidade e porcentagem não são
considerados como sendo outros significados de fração, pois em concordância com Santos
(2005) acreditamos que estas interpretações emergem de situações, cuja resolução de
determinados problemas pode recorrer às frações como tratamento didático estando implícitos
os significados medida, parte-todo e operador multiplicativo.
A seguir serão descritas as idéias básicas de cada significado.
3.1. Frações como parte-todo
As frações podem assumir a ideia de partição de um todo – contínuo ou discreto –
em n partes iguais, em que cada parte poderá ser representada por . Se a pessoa se refere a
várias (k) partes do todo então temos . O inteiro 1 =
é uma característica básica nesta
representação. Este é um significado importante a ser desenvolvido por ser fundamental para
o entendimento dos outros quatro tratados aqui.
Frações com esse significado podem ser representadas por figuras que,
principalmente no ensino fundamental, podem ajudar o aluno a compreender melhor essa
repartição. Se um todo foi dividido em três partes iguais e uma foi pintada os alunos podem
interpretar essa representação como um processo de dupla contagem: acima do traço da fração
se escreve o número de partes pintadas e abaixo do traço escreve-se o número total de partes.
Se o todo (retângulo) foi dividido em partes iguais, tratando-se de uma
comparação parte-todo, a parte de cima é chamada de numerador e indica quantas partes do
todo foram utilizadas, e parte de baixo é chamada de denominador, e indica a quantidade
máxima de partes iguais em que o inteiro foi dividido.
Inúmeras são as situações-problema envolvendo o significado de parte-todo que
podem ser encontradas pelo mundo e apresentadas aos alunos normalmente com o auxílio de
modelos envolvendo pizzas, chocolates ou pirulitos. Essa idéia de relação parte-todo começa
a ser apresentada aos alunos por volta do 4º ano do Ensino Fundamental inicialmente
utilizando na maioria das vezes materiais concretos, papel quadriculado ou dobraduras e são
bastante exploradas até o final do 5º ano. Os outros significados são aplicados com outras
21
abordagens na segunda metade do Ensino Fundamental com o objetivo de ampliar os
conhecimentos e resolver problemas (DAMICO, 2007).
Para Marshal (1990 e 1993) e Sweller e Cooper (1985) apud Damico (2007), a
representação visual para a situação parte-todo precisa ser codificada pelo aluno para que ele
possa memorizar quais aspectos das figuras representam o todo, quais representam as partes e
como eles se relacionam. São duas as formas de representação que predominam: a primeira é
o símbolo
que é uma representação visual uma vez que difere dos outros números que os
estudantes conhecem e a segunda tem a ver com dividir regiões, que normalmente são
retângulos ou círculos que podem ser facilmente divididos em pedaços de igual tamanho e
isso envolve aparentemente uma compreensão da noção de área.
Quando tomamos quantidades contínuas divididas em partes congruentes
podem surgir dificuldades em relação a identificação da relação entre a área destacada e a área
total da figura.
As situações seguintes representam
do todo:
Nelas a habilidade requerida é dividir “todos contínuos” em áreas congruentes
e não dividi-los em partes com formas iguais. Para a compreensão completa deste significado
(relação parte-todo) é necessário identificar qual “todo” está sendo tomado como unidade.
Desta forma, a identificação da relação entre a área colorida e a área total da figura requer
estruturas cognitivas distintas que devem ser levadas em consideração quando se elaboram as
metodologias para abordar este significado. Porem, contextualizar com a noção de área pode
ajudar na habilidade dos alunos para aprender conceitos de fração que envolve regiões
geométricas e até medidas.
Veja a seguir um exemplo usual de fração com significado de relação parte-todo
envolvendo quantidade contínua:
22
Tomemos uma barra de chocolate
Dividida em quatro pedaços iguais:
E consumir três desses pedaços:
Foram consumidos
do chocolate.
Vejamos agora um exemplo em que são usados conjuntos discretos:
Fernanda tem 4 botões coloridos, Sofia tem 3 e Bia tem 5, logo juntas elas têm 12
botões. Considerando que cada botão é a unidade de divisão podemos ilustrar a situação da
seguinte maneira:
A representação parte-todo de Fernanda é
A representação parte-todo para Sofia é
23
A representação parte-todo de Bia é
Assim, por exemplo, a “parte” é o número de botões de Sofia e o todo é o número
total de botões. Cada uma das unidades que compõe a “parte” tem tamanho igual – no caso do
nosso exemplo um botão colorido. Entretanto, a divisão não resulta em partes de mesmo
tamanho. São necessárias três partes para formar o todo que são os 12 botões e cada uma
podem ser representadas por uma fração:
– Fernanda,
– Sofia e
– Bia.
É importante ressaltar que apesar de ser importante para as interpretações
posteriores dos números racionais este significado isoladamente é insuficiente para uma
completa compreensão desse conjunto numérico. O processo de dividir, contar, pintar
apresenta-se artificial não refletindo situações reais. Alem disso, a compreensão das frações
impróprias não pode ser adquirida por intermédio deste significado.
3.2. Frações como medidas
A ideia é de comparação de duas grandezas em que é estabelecido um termo de
comparação único para todas as grandezas de mesma espécie, como por exemplo, metros para
comprimento. A questão exige resposta para a pergunta “quantas vezes”? O que se faz dando
um número que exprima o resultado da comparação.
Consideremos dois segmentos de medidas diferentes e tomemos um deles, o
menor, por exemplo, como unidade de medida. Atualmente, não é muito comum o uso das
frações para indicar medidas, as pessoas preferem o uso da escrita decimal, ou seja, os
"números com vírgula". Assim, em vez de se indicar uma altura de dois metros e meio por 2m
e ou por m, prefere-se a indicação 2,5 m.
Porém, o uso das frações para indicar medidas ajuda a formar o conceito de
fração e proporciona um contexto natural para a soma de frações, pois trata-se da união de
duas medidas. Alem disso, facilita a introdução da notação decimal.
O significado de medida também é muito útil para entender as frações maiores
que a unidade. Vamos pensar na seguinte pergunta: Qual é a fração que corresponde a três
inteiros e dois quintos?
24
Acontece que cada uma das barras que representa o inteiro pode também ser
dividida em 5 partes.
A reta numérica é outra boa representação das frações como medida bastando que,
para isso, identifique-se um segmento como unidade de medida e este segmento admitirá
subdivisões congruentes.
3.3. Fração como quociente
Neste caso a fração
símbolo
é olhada como uma divisão entre dois números inteiros e o
representa uma relação entre duas quantidades k e n que significa que às vezes
≠ 0) é usado como um outro modo de escrever a divisão de k por n
(n
.
Este significado sugere a ideia de partilha, de fazer agrupamentos, de divisão
indicada que extrapola as idéias presentes no significado parte-todo. Em situações de
quociente temos duas variáveis, por exemplo, três chocolates e quatro crianças e a fração
25
corresponde à divisão de três chocolates para quatro crianças e também ao resultado da
divisão (cada criança receberá ). Para um estudante que está apreendendo frações a diferença
entre esta interpretação e a de parte-todo é bastante significativa. Para ele, dividir uma
unidade em quatro partes e tomar 3 é diferente de dividir três unidades entre quatro pessoas
apesar do resultado ser o mesmo: ).
Problemas deste tipo auxiliam não somente a compreensão de mais de um
sentido da fração, como também o estabelecimento da relação entre as frações e os números
decimais. Nesse sentido, devem ser exploradas frações decimais para que os alunos percebam,
por exemplo,
=
= 0,2. A partir de exemplos desse tipo, os alunos podem observar que é
possível transformar uma fração decimal em números decimal e vice-versa.
Exemplo 1: Dividir três barras de chocolate em partes iguais entre 4 pessoas.
Que fração representa essa divisão? (quantidade contínua).
Exemplo 2: Tenho 12 bolinhas de gude e vou dividir igualmente entre 4
crianças. Quantas bolinhas cada criança receberá? (quantidade discreta)
Ambas as situações, quantidades contínuas ou discretas, podem ser
representadas por figuras, pois, principalmente as crianças terão uma melhor compreensão.
Exemplo 1: Três barras de chocolate (quantidades contínuas) divididas entre
quatro pessoas.
E dividir as três barras entre 4 pessoas
Assim obteremos a fração .
Exemplo 2: Doze bolinhas de gude (quantidade discreta) divididas entre quatro
crianças.
26
Ao dividir igualmente entre 4 crianças cada criança receberá 3 bolinhas.
3.4. Fração como operador multiplicativo
Este significado define uma estrutura multiplicativa em que o operador
faz duas
operações: uma de multiplicação por k outra de divisão por n.
Em quantidades discretas funciona como modo de ampliação, enquanto que em
quantidades contínuas funciona como modo de redução. Assim as frações, bem como os
números inteiros, podem ser interpretadas como valor escalar aplicado a uma quantidade.
Exemplo 1: Em uma turma do 8º ano, foi aplicada uma prova de matemática para
32 alunos, sendo que somente
da turma obtiveram bons resultados. Quantos alunos tiveram
bons resultados (quantidade discreta).
O número de alunos será obtido multiplicando a quantidade (32) de alunos por 3
dividindo o resultado por 4 assim obtendo 24 alunos. Outra maneira seria dividir o número de
alunos (32) por 4 multiplicar o resultado por 3, também obtendo o mesmo resultado.
Exemplo 2: Uma jarra contém 900 ml de suco e Pedro bebeu
desse. Quantos mililitros de
suco Pedro bebeu? (quantidade contínua).
Da mesma forma que no exemplo anterior, a quantidade de suco que Pedro bebeu
será obtida multiplicando 900 ml por 2 e dividindo o resultado por 3, obtendo 600 ml, ou
ainda dividindo 900 ml por 3 e multiplicando o resultado por 2, e obtendo os mesmos 600 ml.
Nas ampliações e reduções de figuras as escalas são representadas por frações que
correspondem aos respectivos fatores (operadores) de redução ou ampliação.
3.5. Frações como números
27
Assim como números inteiros as frações não precisam necessariamente referir-se
a quantidades ou a situações especificas, isto é, não é necessário fazer referência a uma
situação específica ou a um conjunto de situações para nos remeter a fração com significado
de número e, consequentemente, não há necessidade de abordar esse significado em
quantidades contínuas e discretas.
Representar diferentes frações na reta numérica e representar números decimais
em forma de fração são atividades que podem ajudar no entendimento do significado de
fração como número.
De acordo com Damico (2007 a reta é um poderoso instrumento para construir o
significado de número racional, então utilizá-la no ensino-aprendizagem dos números
racionais, em especial os escritos na forma fracionária, traz inúmeras vantagens:
•
Faz com que os alunos concebam as frações como números tais como 1,
2, 3,...
•
Contribui para a compreensão de que os números racionais são uma
extensão dos números inteiros (e de que os inteiros também são
racionais);
•
Garantem mais naturalidade às frações impróprias e mistas;
•
Contribui para a compreensão da densidade dos números racionais;
•
Pode ser utilizada para a construção do significado de equivalência;
•
Auxilia na construção e consolidação dos conceitos de medida, relação de
ordem e equivalência de frações;
•
Pode auxiliar na compreensão das operações básicas das frações servindo
como modelo representacional.
Entretanto, ainda segundo Damico (2007) alguns problemas podem ser identificados
tanto em alunos como em professores ao trabalhar a fração na reta numerada:
•
Os alunos associam mais facilmente as frações próprias com pontos na reta
quando a graduação é 1;
•
Não associam as frações equivalentes entre si ao mesmo ponto na reta ( e ,
por exemplo);
28
•
Dificuldades em identificar na reta os pontos nos quais o número de
subdivisões da unidade não são iguais ao denominador da fração. Exemplo:
marcar
em uma reta que estiver dividida em duas partes:
A representação das frações na reta numérica também pode ser um caso particular
da relação parte-todo.
Em razão dos diversos significados que podem ser atribuídos à fração (e
consequentemente ao número racional) pode-se considerar que trata-se de um superconceito.
Do ponto de vista do ensino não é indicado isolar completamente cada um dos significados
dos demais. Alguns deles têm vinculações naturais que não se podem ignorar e fazem com
que, ao se tratar de um determinado aspecto de um significado, outros estejam implicitamente
presentes. O indicado é o professor utilizar vários contextos para reforçar a idéia de que os
números racionais assumem vários significados.
Pesquisas apontam que a abordagem que se faz de um determinado conceito de
fração não garante que o aluno construa o conhecimento desse conceito especificamente.
3.6. Razão, probabilidade, porcentagem e a relação entre os significados de fração.
Existem algumas situações em que as frações podem ser interpretadas como razão,
probabilidade e porcentagem e não serão consideradas neste estudo, como outros significados
de fração pelo fato de emergirem de situações cuja resolução pode recorrer às frações que
contenham implícitos os significados medida, parte-todo e operador multiplicativo.
(SANTOS, 2005).
A razão nem sempre está presente nos contextos que lhes confere significado de
fração. Vamos analisar a seguinte situação: dividir 3 biscoitos para 6 crianças. A resposta
pode ser pensada em termos de quociente (ou divisão) – a quantidade de doce que cada
criança recebe, ou em termos de razão – a razão de biscoitos para cada criança.
Outra situação: receita de um suco - um copo de concentrado para três copos de
água. A receita nos remete a duas frações: um pra três ou
em que a fração aparece com
29
significado de medida ou ainda
que representaria a quantidade de concentrado em relação à
quantidade total da mistura com significado de parte-todo.
Entretanto existem situações em que a razão não representa uma fração: dois reais
a cada três quilos de cebola. Em termos de razão a representação seria dois para três ou .
Outro aspecto a ser levado em conta é o fato de que só é possível somar razões se
elas fizerem referência a um mesmo todo, isto é, só é possível somar razões (quantidades
intensivas) se elas puderem ser transformadas em frações (quantidades extensivas),
expressando uma relação parte-todo de um mesmo todo ou de todos iguais.
Segundo Santos (2005), no contexto de fração como probabilidade está implícito
o significado de medida.
Exemplo: Em uma caixa há três bolas azuis e oito bolas pretas, qual a
probabilidade de se sortear ao acaso uma bola azul? A resposta é
. Onde de onze bolas na
caixa três são azuis. Nessa situação está implícito o significado de medida e a fração
representa a probabilidade da ocorrência desse evento que é medida pelo número de casos
favoráveis divididos pelo número de casos possíveis.
Apesar da maioria dos livros didáticos abordar separado do estudo das frações, em
situações que se referem à porcentagem está implícito um dos significados da fração: o de
operador multiplicativo.
Exemplo: Carlos teve aumento no seu salário de 7 %, isto é
. Só tem sentido
dizer 7 % referindo-se a uma quantidade, seja ela discreta ou contínua. A porcentagem tem
significado de operador, pois a % de x significa aplicar a fração
sobre x.
As frações podem ser tomadas também para demonstrar uma complementaridade
entre razão e quociente. Como quociente a fração responde à pergunta “quanto?” advindo do
ato de compartilhar e casos como estes envolvem quantidades extensivas. Como razões as
frações tem caráter intensivo: contem uma propriedade que relaciona uma quantidade e uma
unidade.
Podemos considerar também uma relação existente entre os significados medida e
parte-todo e um contexto que pode exemplificar essa relação é uma situação comum de uma
pizza dividida em 8 partes iguais dos quais 3 já foram comidos. A fração que representa o
todo dividido em 8 partes das quais foram tomados 3 é
que é a relação entre parte e todo.
30
Por outro lado, pode-se considerar também a relação entre as áreas correspondentes entre os 3
pedaços de pizza e o todo (pizza inteira) que denota uma medida ( ).
Rodrigues (2005), em sua pesquisa para identificar que aspectos dos conceitos de
fração relativos aos significados de parte-todo e quociente permanecem sem ser
compreendidos por alunos das series finais do Ensino Fundamental, Ensino Médio e Ensino
Superior na área de exatas concluíram que os alunos ainda apresentam dificuldades
significativas da compreensão do papel da unidade nos problemas envolvendo frações, das
peculiaridades das situações envolvendo grandezas discretas e a explicitação de soluções em
termos de operações com frações.
31
4. EQUIVALÊNCIA DE FRAÇÕES
São equivalentes todas as frações que descrevem a mesma relação entre a parte
considerada e o todo. O conceito de equivalência de frações é fundamental na construção dos
números racionais. Compreender o seu significado é de fundamental importância para o
estudo de comparação e operação de frações.
Os conhecimentos prévios necessários para uma boa compreensão da equivalência
de frações são relacionados ao significado de parte-todo, tanto em situações envolvendo
quantidades contínuas quanto em situações que envolvam quantidades discretas. O indicado é
que, em um primeiro momento as relações de equivalência devem ser desenvolvidas a partir
da exploração de material concreto, desenhos de figuras ou representação de situações que
lhes são familiares.
Estudantes que compreenderam o significado de fração e que manipularam
adequadamente materiais concretos não encontram dificuldades em perceber a seguinte
propriedade: dadas duas frações com o mesmo denominador é maior a que possui maior
numerador.
Se trabalhada utilizando situações bem contextualizadas e/ou apoiadas em figuras
com o significado de parte-todo comparar duas frações de mesmo denominador não apresenta
grandes dificuldades.
Como exemplo, temos o retângulo que representa o inteiro:
Se dividirmos o retângulo ao meio e pintarmos uma dessas partes,
A fração que representara a parte pintada será .
Se dividirmos o retângulo em 4 partes e pintarmos 2 dessas partes,
A fração que representara a parte pintada será .
32
Se dividirmos o retângulo em 8 partes e pintarmos 4 dessas partes,
A fração que representa a parte pintada será
E se repetirmos esse procedimento várias vezes iremos encontrar infinitas frações
equivalentes a .
Observe-se que nestes exemplos todas as frações que representam as partes
pintadas dos retângulos são frações equivalentes, pois representam a mesma parte do todo
(retângulo). Apesar de sua representação numérica ser diferente, todas representa .
A dificuldade surge quando se deseja comparar frações com denominadores
diferentes. Frequentemente os estudantes cometem um erro ao acreditar que
é maior do que
por que 3 é maior do que 2. Nesses casos, é necessário estabelecer parâmetros de
comparação, o que significa padronizar a medida e determinar o todo a ser tomado como
referencia, ou seja, encontrar frações equivalentes às frações dadas, mas que tenham o mesmo
denominador. O indicado é começar com exemplos simples, como
e
que podem ser
percebidos por meio da manipulação de material concreto, ou até mesmo analisando
no
contexto de parte-todo: na primeira pegamos uma parte do todo que foi divido em duas partes
e na segunda pegamos uma parte do todo que foi dividido em quatro partes. Acredita-se que o
aluno poderá concluir rapidamente que
é maior que .
Ao observarmos os exemplos anteriores, podemos verificar que pelo método
geométrico é simples visualizar se duas ou mais frações são equivalentes ou não. Este
processo, apesar de longo e cansativo, servirá para o professor conduzir os estudantes ao
processo aritmético:
33
•
Multiplicar o numerador e o denominador da fração pelo mesmo número,
desde que esse seja diferente de zero, ou
•
Dividir o numerador e o denominar da fração pelo mesmo número desde
que seja diferente de zero.
Exemplo: utilizaremos
como a fração original:
Se multiplicarmos o numerador e o denominador por 2 obteremos,
Se multiplicarmos o numerador e o denominador agora por 3 obteremos,
Exemplo: utilizaremos a fração
como fração original:
Se dividirmos o numerador e o denominador por 2 obteremos:
34
Se dividirmos o numerador e o denominador por 4 obteremos:
Observando as figuras, percebe-se que ao multiplicar numerador e denominador
pelo mesmo número podem ser encontradas infinitas frações equivalentes a uma dada fração,
já no caso da divisão não, pois vamos procurar somente até encontrar uma fração irredutível
(quando o numerador e o denominador são primos entre si, ou seja, o máximo divisor comum
entre eles é 1).
Caso já tenhamos duas frações e precisamos saber se elas são equivalentes ou não,
basta multiplicar o numerador da primeira pelo denominador da segunda, e o denominador da
primeira pelo numerador da segunda:
•
Se os resultados das duas multiplicações forem iguais, as frações são
equivalentes e
•
Se os resultados das duas multiplicações forem diferentes as frações não
são equivalentes.
Exemplo: vamos utilizar as frações
e .
Assim como os resultados da multiplicação foram iguais as frações
e , são
equivalentes, o que pode ser confirmado por meio de uma figura feita como no exemplo
abaixo ou de materiais concretos.
Exemplo: Vamos utilizar as frações
e :
35
Podemos ver que o resultado da multiplicação foi diferente entre as frações.
Neste caso as frações não são equivalentes. E podemos observar pela figura abaixo.
Por que essa regra funciona? Para explicarmos usaremos o mesmo principio dos
números naturais, que nos garante que se pegarmos dois números naturais e subtrairmos um
pelo outro, se o resultado da subtração for zero, então os números são iguais.
Se duas frações são equivalentes, isso quer dizer que elas são iguais, pois
representam a mesma parte do todo, então se subtrairmos uma pela outra naturalmente seu
resultado será zero.
Exemplo: Vamos verificar se as frações
e
.
É importante ressaltar que o conceito de equivalência de frações pode ter vários
níveis de dificuldade, logo o professor deverá estar atento para melhor preparar as atividades
de ensino. Como já foi dito anteriormente, a reta numérica é bastante eficaz para estabelecer
uma relação de ordem entre duas frações.
36
5. As operações fundamentais entre frações
As operações são pontos extremamente importantes na aritmética que é trabalhada
com os alunos a partir dos anos iniciais do Ensino Fundamental. Porém o que se percebe é
uma ênfase exagerada nos algoritmos e o treinamento por intermédio de listas exaustivas de
exercícios repetitivos e descontextualizados. O problema se torna ainda maior quando estas
operações envolvem números racionais, em especial as frações.
A compreensão dos conceitos envolvidos nas operações elementares com fração
deve anteceder a aplicação dos algoritmos e o professor deve propor formas de organização
do seu ensino para assim evitar mecanizações desprovidas de sentido para os alunos.
Bittar (2005), sugere que devemos iniciar o ensino das operações com o uso de
material concreto, e a partir daí apresentar as regras, e ressalta que “não é o objetivo nas series
iniciais o estudo de todas as técnicas, pois o importante é a compreensão das ideias
envolvendo frações”.
Bertoni (2009), por sua vez, sugere iniciar os estudos das operações com frações,
utilizando as famílias das frações, meios, quartos, oitavos, terços, sextos, doze avos, quintos,
décimos, vinte avos. Ela acredita que, dessa forma ao se trabalhar com as famílias
separadamente, consolida-se a ideia de números fracionários.
D’Ambrosio (2002), ressalta que dificilmente são apresentadas justificativas para
as operações com frações continuarem a ser ensinadas. Segundo este autor, apesar da fração
como razão e proporção serem extremamente importantes os professores deixam de trabalhar
essa forma de representação em função das operações, as quais não têm nenhuma
importância, e deveriam ser realizadas apenas com o uso da calculadora.
Bertoni (2006), diz que por ser pouco comum o uso da calculadora com a
representação fracionária em nossa cultura, se observa uma ênfase em nossos livros didáticos
e propostas curriculares em desenvolver esses cálculos de modo mecânico, e que acaba por
resultar em quase nenhum uso funcional autêntico.
Observando os livros didáticos percebe-se que sua maioria inicia as operações de
adição e subtração com um problema envolvendo parte-todo e apresenta primeiro, operações
que envolvem frações com denominadores iguais e depois uma regra para somar frações com
denominadores diferentes. A multiplicação é apresentada primeiramente envolvendo dobro e
37
triplo de números fracionários, e finalizando com a apresentação da regra para a multiplicação
de dois números fracionários. A divisão é apresentada pela regra seguida de vários exercícios
de aplicação dessa regra: repete a primeira fração e multiplica pelo inverso da segunda fração.
A razão para que os algoritmos se tornem regras sem sentido pode ser em virtude
de uma introdução demasiadamente precoce na escola, de manejo de símbolos sem a
existência de um esquema conceitual que os embase. No entanto, também em alguns casos,
por uma introdução desvinculada de um fundamento suficientemente concreto e natural para a
operação (falta da existência de um “modelo de compreensão”). Outro aspecto a se ter em
conta quando se fala dos algoritmos nas operações com frações é o fato de que existe uma
aparente desvinculação entre a regra para resolver uma “conta”, por exemplo,
x
e uma
situação-problema que contenha implicitamente esta operação.
Várias são as razões para que os algoritmos se tornem regras sem sentido,
segundo Damico (2007), uma introdução demasiadamente precoce do manejo de símbolos
sem a existência de um esquema conceitual que os embase, uma introdução desvinculada de
um fundamento suficientemente concreto e natural para a operação ou ainda uma aparente
desvinculação entre a regra para resolver uma “conta”, por exemplo,
x
e uma situação-
problema que contenha implicitamente esta operação.
É preocupante o fato de o trabalho com as operações com frações merecer grande
dedicação do tempo escolar, sem que se verifique, muitas vezes, o sucesso esperado na
aprendizagem de nossos estudantes.
Este trabalho não é suficiente para discutir e esclarecer todos os aspectos
fundamentais sobre o ensino das operações com números fracionários. Assim, optamos por
citar cada uma delas e alertar para os problemas recorrentes no ensino deste tópico. Fica aqui
a sugestão para que os professores aprofundem os estudos e as discussões na escola sobre este
tema, que é tão importante.
5.1 - Adição e Subtração
O ideal é começar a discutir essas operações usando frações de mesmo
denominador, através de situações que são familiares ao aluno. Um apoio visual como
tentativa de melhorar a interpretação da adição ou subtração de frações pode ser um recurso
interessante no processo de ensino. Se o aluno compreendeu bem os significados de medida e
38
a relação parte-todo o conceito de soma e subtração de frações se apresenta com maior
naturalidade.
- Frações com o mesmo denominador
Frações homogêneas – se apoiadas em situações familiares aos alunos ou na
manipulação de objetos concretos fica fácil para o aluno perceber que para somar ou subtrair
frações, basta somar (ou subtrair) o numerador e conservar o denominador.
Exemplo: Representação Geométrica
Observando o desenho podemos fazer a adição algebricamente.
No exemplo seguinte utilizaremos a adição de números fracionários com inteiros,
pois ao observamos os livros didáticos, percebe-se que quase não são encontrados esse tipo de
exemplo o que poderá muitas vezes deixar o professor, principalmente dos anos iniciais do
Ensino Fundamental, em dúvida.
Exemplo: Representação Geométrica da adição 3 +
=.
39
Este exemplo apresenta soma de frações envolvendo frações próprias e
impróprias. Depois de transformar o número 3 em uma fração aparente ( ) o procedimento é o
mesmo utilizado no exemplo anterior: somar a parte que representa o numerador e repetir a
parte que representa o denominador. Algebricamente teremos:
- Frações com denominadores diferentes
Frações heterogêneas - os algoritmos para soma e subtração de frações com
denominadores diferentes pertencem a um nível um pouco mais complexo, logo, o professor
precisará escolher os processos mais adequados para ajudar os alunos a fazer a transposição
dos seus procedimentos pessoais para o procedimento geral. Novamente enfatizamos que os
significados de parte-todo e medida são os mais indicados por que conduzem o aluno de uma
maneira mais natural ao conceito dessas operações.
Uma dificuldade inicial ao se trabalhar adição e subtração de frações com
denominadores diferentes está na identificação da unidade tomada como referência. Quando
somamos
temos que, em primeiro lugar, torná-las expressões do mesmo todo, isto é,
devemos “padronizar a medida”. Então teremos:
e
, logo podemos dizer que
40
. Para o aluno compreender a necessidade de padronizar a medida pode
ser feita uma analogia entre a soma de comprimentos medidos em unidades diferentes, como
por exemplo, 3 m + 25 cm. O professor deverá conduzir os alunos a perceberem que será
necessário transformar metros em centímetros ou centímetros em metros para que a soma seja
efetuada. O importante é utilizar algum método, que possa fazer com que as frações passem a
pertencer ao mesmo todo, como foi feito na unidade de medidas, ou seja, fazer com que o
aluno compreenda que para somar ou subtrair frações os denominadores devem ser iguais.
Se os alunos dominam o conceito de equivalência de frações eles terão condições
de resolver problemas que envolvam adição e subtração de frações sem nenhuma instrução
formal e ainda construir procedimentos significativos de resolução, desde que os contextos
tenham significado para eles.
Exemplo: Representação geométrica de
.
Para efetuarmos a soma precisamos encontrar frações equivalentes às duas frações
dadas que contenham o mesmo denominador.
Agora que já temos as duas frações com o mesmo denominador, basta efetuar a
soma dos numeradores e conservar o denominador.
41
Então,
Para 3 ou mais frações o procedimento utilizado para fazermos a adição (ou
subtração) é o mesmo utilizado para 2 frações.
Exemplo: Representação Geométrica da Adição
Como as frações têm denominadores diferentes temos que achar as frações
equivalentes a elas e que tenham os mesmos denominadores.
42
Agora como já temos as frações equivalentes às frações dadas, basta somar os
numeradores e conservar o denominador.
Para somar três ou mais frações somam-se as duas primeiras pelo algoritmo
anterior e a seguir soma a terceira fração.
43
No processo de ensino o algoritmo deve ser a síntese da evolução das estratégias
pessoais conquistadas a partir da resolução de problemas contextualizados e significativos
para os alunos.
De acordo com Damico (2007) quando o ensino está baseado exclusivamente na
aplicação de algoritmos o processo gira em torno de calcular o mínimo múltiplo comum
(mmc) dos denominadores e a seguir aplicar os passos subseqüentes para alcançar o resultado.
Neste caso, a pergunta: por que se calcula o mmc? Nem sempre é respondida e o
procedimento fica desprovido de significado. No meu ponto de vista, esse procedimento não é
adequado para as series iniciais, pois o aluno ainda não conhece os números primos e isso
somente irá complicar o entendimento da operação.
Aliás, o que muitos professores constatam em suas salas de aula é que a noção de
mmc interrompe e faz um desvio no caminho da construção da ideia de fração. Há outros
caminhos para efetuar a soma ou subtração sem que haja necessidade de se calcular o mmc
que podem ser muito mais eficientes. O indicado é que esses caminhos ou algoritmos sejam
apresentados aos alunos apenas depois de construídos com a participação deles e a partir da
necessidade de generalização. Pouco adianta fazer os alunos decorarem uma regra que não
compreendem e, que, talvez por isso, tenham dificuldades em repeti-las. Isso poderá ser feito
a partir da observação da representação geométrica.
Nas series finais do ensino fundamental e no ensino médio é muito comum fazer
as operações com denominadores diferentes utilizando o mmc. A vantagem em somar ou
subtrair frações com denominadores diferentes utilizando o mmc é já efetuar a operação
utilizando números menores, o que as vezes não acontece no algoritmo apresentado acima.
Primeiro vamos resolver utilizando o produto dos denominadores:
Exemplo:
Agora vamos utilizar a mmc:
44
Utilizando o exemplo anterior
teremos:
5.2. Multiplicação
Segundo BITTAR (2005) a multiplicação de duas frações pode representar uma
dificuldade para os alunos pelo fato de que o resultado da multiplicação de dois números
naturais maiores do que zero, é sempre maior que cada um dos dois fatores e o mesmo não
acontece necessariamente quando um dos fatores é uma fração. Com os racionais, ao contrário
dos inteiros, a multiplicação tem uma natureza conceitualmente complexa: agora a
multiplicação nem sempre produz algo maior.
Assim o professor deve orientar o aluno para o fato de que ao realizar a
multiplicação com números fracionários nem sempre acontecerá o mesmo que com os
números naturais e o produto entre duas frações poderá ser menor que cada um dos fatores.
Com os números racionais a multiplicação pode ser vista como uma função em
que os números se tornam operadores multiplicativos que podem ser associados à ideia de
esticar e encolher própria dos operadores multiplicativos. Por este motivo Carpenter (1994)
apud Damico (2007), defende a ideia de que o conceito de números racionais seja construído
junto com este significado utilizando situações fortemente contextualizadas e que tenham
significado para as crianças.
45
Por outro lado, é fácil para o aluno compreender que multiplicar
mesmo que fazer a adição
por 5 é o
, ou seja, associar a multiplicação à
adição de parcelas iguais e levá-lo a concluir que 5 X
.
Apresentar diversas situações que utilizem multiplicações de números inteiros por
frações unitárias (numerador igual a um) conduzirá o aluno a perceber que para efetuar a
multiplicação de números inteiros por frações ou frações por números inteiros, basta efetuar a
multiplicação do número inteiro pelo numerador da fração ou o numerador da fração pelo
número inteiro (chamar a atenção para o fato de que todo número inteiro tem denominador
igual a um), ou seja,
xa=ax
= .
Contribui também para a compreensão da operação fazer uma associação entre o
símbolo x e palavra de, lembrando ao estudante que se o dobro de 16 é 2 x 16 podemos dizer
também que o triplo de
é3x .
O conhecimento sobre divisão de inteiros (processo de dividir um todo ou inteiro
em partes de tamanhos iguais) também poderá servir de suporte para o desenvolvimento da
compreensão sobre a multiplicação de frações. Se tomarmos as frações
pode ser vista como “partes de um todo”. Neste caso serão procurados os
Desta forma, calcular
devemos considerar os
x
de .
de . Para isto, primeiramente
é encontrar os
do todo. A seguir os
essa operação
serão considerados agora como uma nova
unidade e esta nova unidade (os ) será dividida em três partes de tamanhos iguais e tomadas
duas delas relacionando-a com a unidade original, ou seja,
.
Esta forma de resolução utilizada para interpretar
x
também pode ser
entendida em termos de área como um recurso auxiliar na compreensão de multiplicação de
frações.
Como ilustração utilizaremos uma barra de chocolate para interpretar em termos
de área, a operação
x .
46
Primeiramente consideramos os
do chocolate.
A seguir, tomamos a área correspondente aos
Este novo todo é dividido em 3 partes.
Das quais tomamos 2 delas.
Como resultado obtemos
.
do chocolate como um novo todo.
47
Observando algumas ilustrações associadas à contextos familiares o aluno, com a
mediação do professor, poderá perceber que para efetuar a multiplicação de frações
algebricamente, basta multiplicar o numerador pelo numerador e denominador pelo
denominador.
Analogamente, a multiplicação de três ou mais frações terá como numerador o
produtos de todos os numeradores e como denominador o produto de todos os
denominadores, como no exemplo seguinte:
Caso seja necessário, o resultado encontrado poderá ser simplificado até encontrar a
fração irredutível.
5.3. Divisão
Há muito menos pesquisas sobre as estratégias informais de crianças ao
resolverem problemas que envolvem multiplicação e divisão de frações do que sobre adição e
subtração. Talvez por isto, os professores sintam dificuldades em construir situações que
envolvem a divisão de frações e, muitas vezes nem conseguem identificar estas situações.
Segundo Damico (2007), ao analisar os significados de divisão e medida para os
números inteiros pode-se perceber que, se estes forem completamente compreendidos para
situações que envolvem números inteiros, esta compreensão ajudará a encontrar contextos
significativos para o entendimento da divisão de frações.
Apesar da conexão entre frações e divisão em partes iguais para os inteiros não ser
tão direta, é possível propor problemas simples utilizando contextos que fazem sentido para as
crianças desde que a escolha dos números seja adequada. O interessante é propor situaçõesproblema que contribuem para desenvolver uma compreensão básica sobre divisão de fração e
não para generalizar a divisão como o inverso da multiplicação. Um exemplo: Doze alunos
48
entregaram o trabalho de Matemática na data prevista. Isto representa
da turma. Quantos são
os alunos desta turma?
Este problema pode ser pensado de duas maneiras o que demonstra uma
flexibilidade que se deve encorajar em professores e alunos:
de quanto dão 24? Ou ainda: se
24 corresponde a , quanto corresponde ao número 1?
Ao fazer a conexão entre medida e frações a questão é descobrir quantas vezes a
fração de um todo cabe em uma outra fração deste mesmo todo.
O apelo visual, tantas vezes orientado neste trabalho como uma estratégia
eficiente para a construção de diversos conceitos, nem sempre pode ajudar a construir a ideia
de divisão de frações. As ilustrações poderão sim ser utilizadas com frações que resultem em
quocientes de fácil interpretação como é o caso da divisão de um número natural por uma
fração. Por exemplo, para dividir 6 inteiros por , (6
) precisamos descobrir quantos
cabem em 6.
Ao fazer a ilustração pode-se perceber que, como em cada inteiro cabem dois
em seis inteiros cabem doze .
Neste caso podemos dizer que 6
Para dividir 8 inteiros por
unidades.
= 12.
.
precisamos descobrir quantas vezes o
cabe em 8
49
Observando a figura pode-se perceber que em cada um dos 8 inteiros cabe uma
vez o
e sobra . Como
+ = são necessários pegar o que sobrou de cada dois inteiros
para obter . Contando quantos
terços (
cabem em 8 inteiros chegaremos a um total de 12 dois
).
Logo, 8
12
Pela figura anterior fica clara a dificuldade em ilustrar divisão entre inteiros e
.
frações. Mais difícil ainda ilustrar a divisão entre frações como, por exemplo,
Pesquisadores e o próprio PCN orientam que a divisão de fração deve ser tratada a
partir da segunda metade do Ensino Fundamental inicialmente por meio de materiais
concretos, contextos significativos e ilustrações aplicadas à divisão de número inteiro por
fração. Para dividir fração por fração pode-se aplicar a invariância do quociente.
Para falar em invariância do quociente é importante relembrar duas coisas:
1. Se multiplicarmos o dividendo e o divisor pelo mesmo número (neste caso por
outra fração) o resultado da divisão não se altera, propriedade usada para encontrar frações
equivalentes. Observar que
.
2. Que todo número possui inverso multiplicativo, isto é, o produto entre eles é
igual a um. Exemplo: o inverso multiplicativo de 4 é
, de
é , pois 4 x
=1e x
= 1.
Como pela invariância o “quociente não se altera quando dividendo e divisor são
multiplicados pelo mesmo número diferente de zero” podemos “escolher” multiplicar o
numerador e o denominador pelo inverso multiplicativo do denominador e assim obter um
denominador igual a 1.
Generalizando teremos que:
Aplicando a invariância do quociente para efetuar a divisão
temos:
50
Analisando o algoritmo acima pode-se perceber que ao multiplicar numerador e
denominador pelo inverso multiplicativo do denominador este último sempre será igual a 1,
logo no denominador teremos a multiplicação da primeira fração pelo inverso multiplicativo
da segunda fração. Isto nos garante que podemos realizar a divisão de frações de uma forma
ainda mais prática: “dividir e multiplicar pelo inverso” o que significa na prática “repetir a
primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda fração”.
Exemplos:
1.
2.
A invariância do quociente e consequentemente a regra prática para a divisão de
frações pode ser aplicada também à divisão de números inteiros por frações ou frações por
números inteiros, atentando para o fato de que o número inteiro possui denominador igual a
um.
Concluindo as considerações sobre as operações com fração salientamos que o
professor deve respeitar o desenvolvimento cognitivo de cada aluno e desenvolver atividades
que sejam de possível compreensão. Alem disso, iniciar o trabalho com exemplos simples e
de fácil entendimento e, sempre que possível, utilizar ilustração e material concreto, para uma
melhor visualização dos alunos.
É extremamente importante que o professor detenha o conhecimento sobre os
números fracionários, seus significados e os métodos para efetuar as quatro operações, para
que assim possa escolher estratégias adequadas à sua turma. Deve cuidar para que operações
com frações não sejam repassadas para os alunos de forma mecânica como uma aplicação de
regras prontas que o aluno deverá decorar mesmo se não entender. Tudo isso faz com que o
aprendizado se torne chato e enfadonho, com o sentido único de obtenção de notas, e não
51
desperte no aluno o verdadeiro sentido dos números fracionários, suas aplicações no dia a dia
e nos seus estudos posteriores.
52
CONSIDERAÇÕES FINAIS
É importante o professor:
•
Dominar os conceitos referentes às frações, em especial os seus
significados, pois o que ele precisa saber para ensinar é muito mais amplo
do que aquele que o seu aluno deverá aprender.
•
Elaborar propostas de ensino que de fato possibilitem ao aluno a
compreensão plena do conceito de fração. O que se observa em relação ao
ensino é uma forte tendência para introduzir esse conceito apenas a partir
da relação parte-todo seguido de uma ênfase exagerada em procedimentos
e algoritmos.
•
Não se apegar apenas ao livro didático, lembrando sempre que existem
várias outras ferramentas que podem auxiliar no ensino do conteúdo.
Em relação aos cinco significados apontados aqui:
1. Relação parte-todo – Provavelmente pelo fato de que inúmeras situaçõesproblema envolvendo este significado podem ser encontradas esta é a ideia mais discutida e
apresentada para os alunos desde o 4º ano do Ensino Fundamental. O apelo visual neste caso é
fundamental para a compreensão deste significado juntamente com a utilização de materiais
concretos e contextos significativos para o aluno cuidando para que sejam utilizadas
quantidades contínuas e discretas.
Contextualizar com a noção de área pode ajudar na habilidade dos alunos para
aprender conceitos de fração que envolvem regiões geométricas e até medidas.
É importante ressaltar que apesar de ser importante para as interpretações
posteriores dos números racionais este significado isoladamente é insuficiente para uma
completa compreensão desse conjunto numérico, pois a compreensão das frações impróprias
não pode ser adquirida por intermédio deste significado.
2. Frações como medidas – a compreensão deste significado ajuda a formar o
conceito de fração, proporciona um contexto natural para a soma de frações, pois trata-se da
união de duas medidas, facilita a introdução da notação decimal e é muito útil para ajudar a
entender as frações maiores que a unidade.
3. Fração como Quociente – este significado auxilia não somente a compreensão
de mais de um sentido da fração, como também a relação entre as frações e os números
53
decimais. Alem disso, é muito utilizado em estudos posteriores pelo fato de ser usado como
um outro modo de escrever a divisão de k por n
.
4. Fração como Operador Multiplicativo – um dos significados indicados no PCN.
Em quantidades discretas funciona como modo de ampliação, enquanto que em quantidades
contínuas funciona como modo de redução.
5. Frações como números – assim como os números inteiros as frações não
precisam necessariamente referir-se a situações especificas ou quantidades. Representar
frações na reta numérica e números decimais em forma de fração são atividades que podem
ajudar no entendimento deste significado.
Há situações em que as frações podem ser interpretadas como razão,
probabilidade e porcentagem e não são consideradas neste estudo como outros significados de
fração pelo fato de emergirem de situações cuja resolução pode recorrer às frações que
contenham implícitos os significados medida, parte-todo e operador multiplicativo.
É importante ressaltar que abordagem que se faz de um determinado significado
de fração não garante que o aluno construa o conhecimento desse conceito especificamente.
O conceito de equivalência de frações pode ter vários níveis de dificuldade e é
fundamental na construção dos números racionais. Compreender o seu significado é de
indispensável para o estudo de comparação e operação de frações.
A compreensão dos conceitos envolvidos nas operações elementares com fração
deve anteceder a aplicação dos algoritmos e o professor deve propor formas de organização
do seu ensino para assim evitar mecanizações desprovidas de sentido para os alunos.
O ideal é começar a discutir as operações de adição e subtração usando frações
de mesmo denominador, através de situações que são familiares ao aluno com apoio visual.
Para as frações com denominadores diferentes que pertencem a um nível mais intuitivo, pode
ser feita uma analogia entre a soma de comprimentos medidos em unidades diferentes para
justificar a necessidade de igualar os denominadores. Há mais de um caminho para efetuar a
soma ou subtração sem que haja necessidade de se calcular o MMC que podem ser muito
mais eficientes e que podem ser observados a partir de ilustrações. O MMC é mais indicado
para os anos finais do Ensino Fundamental e Ensino Médio, pelo fato dos alunos já
dominarem o conceito de números primos.
O professor deve orientar o aluno para o fato de que ao realizar a multiplicação
com números fracionários nem sempre o produto entre duas frações poderá ser menor que
cada um dos fatores como nos números naturais. A introdução da multiplicação entre frações
poderá ser associada à adição de parcelas iguais, à associação entre o símbolo x e palavra “de”
54
(dobro “de” 16 é 2 x 16) e ainda ao conhecimento sobre divisão de inteiros. As ilustrações
podem ajudar na compreensão da operação e conduzir o aluno à “regra” da multiplicação de
frações.
Para a divisão pode ser feita uma conexão entre medida e frações: quantas vezes a
fração de um todo cabe em uma outra fração deste mesmo todo? Neste caso, o apelo visual
poderá ser utilizado apenas com frações que resultem em quocientes de fácil interpretação
como é o caso da divisão de um número natural por uma fração. Como a divisão de fração
deve ser tratada a partir da segunda metade do Ensino Fundamental já será possível aplicar a
invariância do quociente e concluir que para dividir frações o que é feito na prática é “repetir
a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda fração”.
Conscientes de que este trabalho não é suficiente para discutir e esclarecer todos
os aspectos fundamentais sobre o ensino das frações – sua história, metodologias adequadas,
significados e operações – optamos por alertar para os problemas recorrentes no ensino deste
conteúdo.
Fica aqui a sugestão para que os professores aprofundem os estudos e as
discussões na escola sobre este tema, que é tão importante.
55
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de Educação Matemática, ano 21, n.31. Rio Claro: UNESP. 2008.
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